Criado em 03/05/12. p. 1 TEORIA DOS CONJUNTOS De uso

NOME: _________________________________________________________
ANO: 9º
ENSINO: FUNDAMENTAL
TURMA: ___________
DATA: ____/____/____
PROF(ª).: ADOLFO COELHO
L Ó G I C A – 2º BIMESTRE
IMPORTANTE
1.  Organize-se, guardando cada lista de exercícios que receber durante o ano, em pasta colecionadora.
2.  Se faltar à aula, procure o professor para registrar o recebimento dos exercícios.
3.  TRAZER ESTE MATERIAL DIDÁTICO EM TODAS AS AULAS DE LÓGICA.
TEORIA DOS CONJUNTOS
De uso corrente em Matemática, a noção
básica de conjunto não é definida, ou seja, é aceita
intuitivamente e, por isso, é chamada noção primitiva.
Ela foi utilizada primeiramente por Georg Cantor
(1845-1918),
matemático
nascido
em
São
Petersburgo, mas que passou a maior parte de sua
vida na Alemanha. Segundo Cantor, a noção de
conjunto designa uma coleção de objetos bem
definidos e discerníveis, chamados elementos do
conjunto.
Pretendemos aqui introduzir alguns conceitos
que também consideramos primitivos:
2  Uma Propriedade de seus elementos
- conjunto: designado, em geral, por uma letra
maiúscula (A, B, C, ..., X, Y, Z);
- elemento: designado, em geral, por uma letra
minúscula (a, b, c, ..., x, y, z);
- pertinência: a relação entre elemento e conjunto,
denotada pelo símbolo , que se lê “pertence a”.
a)
Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto,
então: B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}
b)
Seja C o conjunto dos algarismos do sistema
decimal de numeração, então: C = {x/x é algarismo
do sistema decimal de numeração}
* NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO
A representação de um conjunto pode ser feita de
diversas maneiras, como veremos a seguir.
1  Listagem dos Elementos
Apresentamos um conjunto por meio da listagem
de seus elementos quando relacionamos todos os
elementos que pertencem ao conjunto considerado e
envolvemos essa lista por um par de chaves. Os
elementos de um conjunto, quando apresentados na
forma de listagem, devem ser separados por vírgula ou
por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de
números decimais. O tipo de representação abaixo é
conhecido como representação tabular.
A apresentação de um conjunto por meio da
listagem de seus elementos traz o inconveniente de
não ser uma notação prática para os casos em que
o conjunto apresenta uma infinidade de elementos.
Para estas situações, podemos fazer a apresentação
do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a
todos os elementos do conjunto e somente a estes
elementos.
Exemplos:
3  Diagrama de Venn
A apresentação de um conjunto por meio do
diagrama de Venn é gráfica e, portanto, muito prática.
Os elementos são representados por pontos interiores
a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os
pontos exteriores à linha representam elementos que
não pertencem ao conjunto considerado.
Exemplo: Seja B o conjunto das vogais do nosso
alfabeto.
Exemplos:
a)
Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira,
então:
A = {verde, amarelo, azul, branco}
b)
Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto,
então:
B = {a, e, i, o, u}
c)
Seja C o conjunto dos algarismos do sistema
decimal de numeração, então:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
* RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Um conjunto é formado por elementos. Um
objeto a qualquer pode ser elemento de um
determinado conjunto A. Quando for, dizemos que:
a pertence a A e escrevemos a
A
Caso contrário, dizemos que a não pertence a
A e escrevemos a
A.
Exemplo: Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}
Criado em 29/05/17. p. 1
B = {x | x
He
}
C = {x | x
H e x é um quadrado perfeito}
D = {x | x
H e x < 0}
O algarismo 2 pertence ao conjunto A, então: 2 A.
O algarismo 7 não pertence ao conjunto A, então: 7
A.
 ALGUNS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
< (é menor que)
> (é maior que)
≤ (é menor ou igual a)
≥ (é maior ou igual a)
04. Represente, na forma tabular,
conjuntos:
{ } ou
(conjunto vazio)
(“para todo” ou “para qualquer que seja)
a) A = {x
Z | -3 ≤ x ≤ 3}
b) B = {x
Z | x2 = 9}
c) C = {x
N | x2 = 9}
os
seguintes
(pertence)
d) D = { x
(não pertence)
(existe)
e) E = {x
(está contido)
(não está contido)
(contém)
N | 9 ≤ x < 100}
N | x > 54}
05. Represente, na forma de diagrama, os seguintes
conjuntos:
a) A = {x
N | 2 < x ≤ 12}
b) B = {x
N | 4 < x < 8}
| (tal que)
06. Escreva o conjunto expresso pela propriedade:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. Indique se cada um dos elementos – 4 ;
a) x é um número natural par.
; 3 e
0,25 pertence ou não a cada um destes conjuntos.
b) x é um número natural múltiplo de 5 e menor que
31.
A = {x | x é um número inteiro}
c) x é um quadrilátero que possui 4 ângulos retos.
B = {x | x < 1}
07. Escreva uma propriedade que define o conjunto:
C = {x | 15x – 5 = 0}
a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
D = {x |- 2 ≤ x ≤ }
b) {0, 2, 4, 6}
* SUBCONJUNTOS - Relação de Inclusão
02. Considerando que F = {x | x é estado do sudeste
brasileiro} e G = {x | x é capital de um país
sulamericano}, quais das sentenças seguintes são
verdadeiras?
a) Rio de Janeiro
b) México
c) Lima
Dizemos
que
o conjunto A está
contido
no conjunto B se todo elemento que pertencer a A,
pertencer
também
a B.
Indicamos
que
o conjunto A está contido em B por meio da seguinte
simbologia:
F
G
Obs.: Podemos encontrar em algumas publicações
uma outra notação para a relação de inclusão:
G
d) Montevidéu
G
e) Espírito Santo
f) São Paulo
F
F
O conjunto A não está contido em B quando
existe pelo menos um elemento de A que não pertence
a B. Indicamos que o conjunto A não está contido
em B desta maneira:
03. Se H = {-1, 0, 2, 4, 9}, reescreva cada um dos
conjuntos seguintes enumerando seus elementos.
A = {x | x
H e x < 1}
Exemplos:
Criado em 29/05/17. p. 2
Se o conjunto A está contido no conjunto B,
dizemos que A é um subconjunto de B. Como todo
elemento do conjunto A pertence ao conjunto A,
dizemos que A é subconjunto de A e, por extensão,
todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Importante  A relação de pertinência relaciona um
elemento a um conjunto e a relação de inclusão referese, sempre, a dois conjuntos.
08. Sejam A = { x  N | x é número par compreendido
entre 3 e 15}, B = { x  N | x é um número par
menor que 15} e C = {x  N | x é um número par
diferente de 2}. Usando os símbolos  ou  ,
relacione entre si os conjuntos:
Exemplo 1: Considerando P o conjunto dos números
naturais pares e N o conjunto dos números naturais,
temos:
a) A e B
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
E
c) B e C
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
Neste caso P  N, pois todos os elementos de P
pertencem a N.
Representação por diagrama:
b) A e C
09. Dado os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C
= {3, 4, 5} e D = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique em
verdadeiro (V) ou falso (F):
(
(
(
(
(
(
)A
)C
)B
)D
)C
)A




B
A
D
B
A
 D
10. Considere que:


Exemplo 2: Se A é o conjunto dos retângulos e B é o
conjunto dos quadriláteros, então A  B, pois todo
retângulo é um quadrilátero.
Representação por diagrama:

A é o conjunto dos números naturais ímpares
menores do que 10;
B é o conjunto dos dez primeiros números
naturais;
C é o conjunto dos números primos menores do
que 9.
Use os símbolos  ou
na ordem dada:
 e relacione esses conjuntos
a) A e B
b) C e A
c) C e B
d) A e C
Exemplo 3:Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = {0,
1, 2, 3, 4, 5} e C = {0, 2, 5}, temos:
a)
A  B, pois todo elemento de A pertence a B;
C  A, pois 5  C e 5  A;
B  C, pois todo elemento de C pertence a B.
b) Um diagrama de Venn que representa os conjuntos
A, B e C é o seguinte:
11. Represente na forma de diagrama, os silogismos:
a) * Todo retângulo é paralelogramo.
* Todo paralelogramo é quadrilátero.
* Então, todo retângulo é quadrilátero.
b) * Todo aluno pertence a uma classe.
* Toda classe pertence a uma escola.
* Então, todo aluno pertence a uma escola.
12. Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso.
Daí pode-se concluir que:
a) algum atleta é celta;
Criado em 29/05/17. p. 3
Exemplo: A equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0 apresenta:
b) nenhum atleta é celta;
c) nenhum atleta é bondoso;
d) alguém que seja bondoso é celta;
e) ninguém que seja bondoso é atleta.
13. São dados os conjuntos A = {x | x é um número
ímpar positivo} e B = {y | y é um número inteiro e 0
< y ≤ 4}. Determine o conjunto dos elementos z,
tais que z  B e z  A.
14. Considere as premissas: P1 – Algum A é B. P2 –
Nenhum C é B. Se P1 e P2 são verdadeiras então,
é necessariamente verdadeiro que:
a) Algum A é C.
b) Algum C é A.
c) Nenhum A é C.
d) Nenhum C é A.
e) Algum A não é C.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
15. Classifique como conjunto vazio ou conjunto
unitário, considerando o universo dos números
naturais:
a) A = { x | x é menor do que 1}
b) B = {x | x é maior do que 10 e menor do que 11}
* CONJUNTOS ESPECIAIS
c) C = {x | x é par maior do que 3 e menor do que 5}
Embora conjunto nos ofereça a ideia de
“reunião” de elementos, podemos considerar
como conjunto agrupamentos formados por um só
elemento ou agrupamentos sem elemento algum.
d) D = {x | x é primo maior do que 7 e menor do que
11}
- Conjunto Unitário: Chamamos de conjunto
unitário aquele formado por um só elemento.
f) F = {x | x < 0}
e) E = {x | x + 7 = 4}
g) G = { x | 5x = 60}
Exemplos:
1º) Conjunto dos números primos, pares e positivos: {2}
2º) Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua}
3º) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: {6}
16. Considerando U = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} como
conjunto universo, determinar o conjunto solução
de:
Conjunto
Vazio:
Chamamos
de conjunto
vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos
um conjunto vazio, considerando um conjunto formado
por elementos que admitem uma propriedade
impossível.
a) {x  U | x + 4 = 2}
Exemplo: Conjunto das raízes reais da equação:
x2 + 1 = 0
Dado um conjunto A, dizemos que o seu
conjunto de partes, representado por P (A), é
o conjunto formado por todos os subconjuntos do
conjunto A.
O conjunto vazio pode ser apresentado de
duas formas:  ou { }. Não podemos confundir as
duas notações representando o conjunto vazio por
{} ,
pois
estaríamos
apresentando
um
conjunto unitário cujo elemento é o  .
O
conjunto
vazio
está
contido
em
qualquer conjunto e,
por
isso,
é
considerado
subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele
mesmo.
- Conjunto Universo: Quando desenvolvemos um
determinado
assunto
dentro
da
matemática,
precisamos admitir um conjunto ao qual pertencem os
elementos que desejamos utilizar. Este conjunto é
chamado de conjunto universo e é representado pela
letra maiúscula U.
Uma
determinada
equação
pode
ter
diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto
universo que for estabelecido.
b) {x  U | 3x = 5}
* CONJUNTO DAS PARTES
1 Determinação do Conjunto de partes
Vamos observar, com o exemplo a seguir, o
procedimento que se deve adotar para a determinação
do conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja
o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto de
partes do conjunto A, basta escrevermos todos os
seus subconjuntos:
1º) Subconjunto vazio:  , pois o conjunto vazio é
subconjunto de qualquer conjunto.
2º) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}.
3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e
{3, 5}.
4º) Subconjuntos com três elementos:A = {2, 3, 5}, pois
todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
pode
Assim, o conjunto das partes do conjunto A
ser apresentado da seguinte forma:
P(A) = {
 , {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}.
Criado em 29/05/17. p. 4
2  Número de Elementos do conjunto de partes
Podemos determinar o número de elementos
do conjunto de partes de um conjunto A dado, ou seja,
o número de subconjuntos do referido conjunto, sem
que haja necessidade de escrevermos todos os
elementos do conjunto P(A).
Se A tem n elementos, P(A) tem 2n
21. (Unirio-RJ) Sendo x e y números tais que {1, 2, 3}
= {1, x, y}, pode-se afirmar que:
a) x = 2 e y = 3
b) x + y = 5
c) x < y
d) x ≠ 2
e) y ≠ 2
elementos.
* OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3,
5} apresenta três elementos e, portanto, é de se supor,
pelo uso da relação apresentada, que P (A) = 23 = 8, o
que de fato ocorreu.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
17. Dados A = {0,1} e B = {1, 3, 5}, determine:
- União de Conjuntos: Dados dois conjuntos A e B, a
união (ou reunião) é o conjunto formado pelos
elementos de A mais os elementos de B. E é indicado
por A  B (lê-se: A união B ou A reunião B).
Representamos a união de dois conjuntos da seguinte
forma:
a) P(A)
b) P(B)
c) o número de elementos de P(A)
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e
B = {2, 4, 6, 8, 10}, calcular A  B .
d) o número de elementos de P(B)
Sol.: A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
18. Se P(A) tem 64 elementos, quantos elementos tem
o conjunto A?
Graficamente, temos:
19. Dados os conjuntos X = {1, 2, 3, 4}, Y = {0, 2, 4, 6,
8} e Z = {0, 1, 2}:
a) Determine todos os subconjuntos de X que têm três
elementos cada um.
b) Dê três exemplos de subconjuntos de Y, cada qual
com quatro elementos.
c) Determine o conjunto P(Z).
* IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dois conjuntos são iguais se, e somente se,
eles possuírem os mesmos elementos, em qualquer
ordem e independentemente do número de vezes que
cada elemento se apresenta.
Observe que os elementos comuns não são repetidos.
- Intersecção de Conjuntos: Dados dois conjuntos A
e B, a intersecção é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem simultaneamente a A e B. E
é indicado por A  B (lê-se: A intersecção B ou,
simplesmente, A inter B). Representamos a
intersecção de dois conjuntos da seguinte forma:
Veja o exemplo abaixo:
{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}
Por isso, convencionamos não repetir elementos de
um conjunto.
Exemplo 1: Sendo A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9},
determinar A  B .
Observação 1: Se o conjunto A está contido
em B (A B) e B está contido em A (B A), podemos
afirmar que A = B.
Sol.: A  B = {3, 5, 8}, apenas os elementos comuns
a A e B.
Observação 2: Se A não é igual a B, então A é
diferente de B e escrevemos A ≠ B.
Graficamente:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
20. Obtenha x e y de modo que: {0, 1, 2} = {0, 1, x} e
{2, 3} = {2, 3, y}.
Criado em 29/05/17. p. 5
Sol.: A – B =
pertença a B.

, não existe elemento de A que não
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
22. Dados os conjuntos A = {p, q, r}, B = {r, s} e C = {p,
s, t}, determine os conjuntos:
a) A  B
b) A  C
Exemplo 2: Calcule
{4, 6}.
M N
onde M = {2, 3, 5} e N =
Sol.: M  N   , não há elementos comuns. Nesse
caso, dizemos que os conjuntos são disjuntos.
c) B  C
d) A  B
e) A  C
f) B  C
- Diferença de Conjuntos: Dados os conjuntos A e B,
podemos determinar um conjunto cujos elementos
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto
B. Esse conjunto é chamado diferença entre A e B e
indicado por A – B, que se lê “A menos B”. Assim,
define-se:
A – B = {x | x  A e x
 B}
Graficamente, temos:
23. Sendo A, B e C os conjuntos dados no exercício
anterior, determine:
a) (A  B)  C
b) A  B  C
c) (A  C)  (B  C)
d) (A  C)  (B  C)
24. Dado U = {- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}, sejam A =
{x  U | x < 0}, B = {x  U | - 3 < x < 2} e C = { x
 U | x ≥ 1}.
a) A  B  C
b) A  B  C
c) C  (B  A)
d) (B  A)  C
25. Sabendo que A  B = {2, 5}, B = {2, 5, 9} e A 
B = {2, 3, 5, 8, 9}, represente os conjuntos A e B
por meio de um diagrama.
Exemplo 1: Calcular A – B, sabendo que A = {3, 4, 6,
8, 9} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 10}.
Sol.: A – B = {3, 8, 9}, elementos que estão em A mas
não estão em B.
26. Represente os conjuntos A = {1, 2, 3, 5, 12}, B =
{1, 2, 7, 8, 11} e C = {2, 4, 5, 8, 9} por meio de um
diagrama. A seguir, hachure a região que
representa (A  C)  B.
Graficamente:
27. Para avaliar a quantidade de pessoas que se
mantêm em postos de trabalho na população de
uma pequena cidade, foi realizada uma pesquisa
cujos resultados são apresentados na tabela a
seguir.
Exemplo 2: Sendo A = {1, 3, 5} e B = {0, 1, 3, 5, 6},
calcule A – B.
Criado em 29/05/17. p. 6
Em relação ao conjunto universo U das pessoas
entrevistadas nessa pesquisa, considere os conjuntos:
A = {x  U | x é empregado}, B = {x  U | x é
aposentado}, C = {x  U | x é desempregado}, D = {x
 U | x é do sexo feminino}, E = {x  U | x é do sexo
masculino} e F = {x  U | x é aprendiz}. Calcule o
número de elementos de cada um dos conjuntos M, N,
P e R.
a) M = {x  U | x  A ou x  B}
b) N = A  B
c) P = {x  U | x  C e x  D}
d) Q = C  D
e) R = E  (B  F)
28. Considerando o conjunto universo U = {- 2, - 1, 0,
1, 2, 3, 4, 5} e dados A = {x  U | x ≤ 3}, B = {x 
U | x é ímpar} e C = {x  U | - 2 ≤ x < 1},
determine:
a) A – C
b) C – B
c) (A  C) – B
d) C  (A – B)
29. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) e
justifique:
a)
Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos,
então A  B tem 7 elementos.
b)
Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos,
então A  B tem 2 elementos.
c)
Se A  B =  , A tem 5 elementos e B tem 4
elementos, então A  B tem 9 elementos.
30. Qual a região do diagrama representa peixes com
caudas azuis e barbatanas amarelas que
brilham no escuro, mas não vivem em água
fria?
Criado em 29/05/17. p. 7
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo,
Roberto; Almeida, Nilze. Matemática – Ciência e
Aplicações – 1º ano – Ensino Médio. São Paulo: Saraiva,
2010.
Paiva, Manoel. Matemática Paiva – 1º ano – Ensino
Médio. São Paulo: Moderna, 2009.
Danta, Luiz. Matemática Dante – Volume Único – Ensino
Médio. São Paulo: Ática, 2008.
Símbolos
Matemáticos.
Disponível
em:
http://www.somatematica.com.br/simbolos3.php.
Acesso em: 08/04/12
Teoria
dos
Conjuntos.
Disponível
em:
http://www.vestibulandoweb.com.br/matematica/teoria
/conjuntos.asp. Acesso em: 08/04/12
Raciocínio
Lógico.
Disponível
em:
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAFLUAK/racio
c-logique. Acesso em: 08/04/12
Criado em 29/05/17. p. 8