BINÔMIO DE NEWTON.

BINÔMIO DE NEWTON
1. NÚMERO BINOMIAL:
 Sendo n  N e p  N , com
n  p , temos:
n
n!
  
 p  p ! n  p !
1
1
1
1
2
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
1
6
15
20
15
6
1
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
5.1 PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL:
2. BINOMIAIS COMPLEMENTARES:

n
n
  e   são binomiais complementares se, e
 p
k 
P.1  A soma dos binomiais de uma linha é igual a
2 n , onde n é o “numerador” dos
binomiais.
somente se:
P.2  Toda linha do triângulo de pascal começa com
pk n
1 e termina com 1.
P.3 
3. IGUALDADE DE BINOMIAIS:
 Os números binomiais
n
n
  e   , são iguais
 p
k 
quando:.
pk
Em cada linha do triângulo de pascal os
termos eqüidistantes dos extremos são
iguais, pois são binomiais complementares.
P.4  A soma dos n primeiros binomiais da coluna k
é igual ao binomial localizado “na próxima
linha e na próxima coluna”.
P.5  A soma dos n primeiros binomiais de uma
diagonal (“paralela ao lado oblíquo do
triângulo), é igual ao binomial localizado
“abaixo da última parcela”.
ou
pk n
4. RELAÇÃO DE FERMAT:
 Se n  N , p  N e n 
P.6  RELAÇÃO DE STIFEL:
p , então:
A soma de dois
binomiais “vizinhos” de uma mesma linha é
igual ao binomial situado imediatamente abaixo
do segundo número somado.
n n p  n 
  

 
 p  p  1  p  1
 n   n   n  1
   
  

 p   p  1  p  1
OBSERVAÇÃO:
 A relação de Fermat permite calcular, de uma
maneira muito simples, os coeficientes do
desenvolvimento de
 x  a n
6. BINÔMIO DE NEWTON:
 São expressões do tipo:
.
x y   0n x y
n
5. TRIÂNGULO DE PASCAL:
0

0

 
1

0

 
 2

0

 
 3

0

 
.....
n

0

 
 1

 1

 
 2

1

 
 3

1

 
.....
n

1

 
n
0
x  y  , com
n
n N .
 n
 n
   x n1 y 1  ...    x 0 y n
1
 n
6. 1 PROPRIEDADES:
 2

 2

 
 3

 2

 
.....
n

 2

 
P.1  Os expoentes de x (primeira parcela) vão
decrescendo de um em um, desde n
zero.
 3

 3

 
.....
......
até
P.2  Os expoentes de y (segunda parcela) vão
......
n

n

 
decrescendo de um em um, desde zero
n.
até
P.3  O desenvolvimento de
de
x  y  é formado
Os
vale:
coeficientes
numéricos
n n n n
 ,  ,  ,...,   podem ser calculados
 0 1  2  n
pela definição de Número Binomial ou então
podem ser obtidos diretamente de cada
linha do Triângulo de Pascal. A maneira
mais prática de calcular os coeficientes,
porém, é lembrar que o primeiro é sempre
igual a 1 e que os demais são obtidos a
partir do anterior pela Relação de Fermat
n n p  n 
 . Observe:
 
que é   
 p  p  1  p  1
n
 
p

CADA
COEFICIENTE
 n 

 n  p    p  1  


p

1

EXPOENTE
EXPOENTE
DE x
DE y
AUNENTADO
DE 1
ax by  , com a e
n
desenvolvimento de
x  y 1 .
a.1b.1 ou seja
constantes, obtém-se fazendo
A soma vale, portanto,
a b .
a) 120
c) 840
n
b) 720
d) 5 040
e) 40 320
2. (FRANCO) A soma das soluções de equação
18   18 
   
 é:
 6   4 x  1
a) 8
b) 5
3. (FRANCO)
c) 6
d) 7
e) 10
O termo independente de
2 x  3
5
desenvolvimento
a) 81
c) 162
x no
é::
b) 108
d) 243
e) 486
4. (FRANCO) O termo médio no desenvolvimento de
1

x 
x

COEFICIENTE
SEGUINTE
P.5  A soma dos coeficientes numéricos do
b
1. (FRANCO) Sendo
n  1 termos.
P.4 
18   18 
   
 , então k !
 k   k  4
n
12
é igual a:
12 
  
6
12  2
c)   .x
6
12 
 
6
12 
d)  .x
6
a)
b)
e)
12  2
 .x
6
n
5. (FRANCO)
Para
independente de
que
exista
um
termo
x no desenvolvimento de
n
7. TERMO GERAL:
 O termo de ordem
x  y  ,
p  1 do desenvolvimento de
n
feito
segundo
os
expoentes
DECRESCENTES de x é:
T
2
2
  x  , n deve ser um número inteiro:
x

 n  n p p
 .x . y

p 1
 p
a)
b)
c)
d)
e)
múltiplo de 3
par
divisível por 3
múltiplo de 7
divisível por 11
6. (FRANCO)
O
 O termo de ordem
x  y  ,
p  1 do desenvolvimento de
n
feito
segundo
os
expoentes
da
4
3
expressão

é igual
a:
CRESCENTES de x é:
 n  p n p
T p1   p .x . y
valor
1  sen 2  5.1  sen 2  10.1  sen 2
2
 10.1  sen 2  5.1  sen 2  1
5
a)
sen 25
b) 1  sen 2  1
5
d) 0
e)
7. (FRANCO)
c) - 1
sen 25  1
No desenvolvimento do binômio
8
 2 1
 2 x   , segundo potências decrescentes de
x

TESTES
x, o coeficiente do quinto termo é:
a) 1
c) 1 120
b) 448
d) 1 440
e) 1 792
6

1 
8. (FRANCO) No desenvolvimento de  x 
 ,
3
x

2
qual é o coeficiente do termo em x ?
a) 20
c) 56
b) 35
d) 70
x  y  ,
14. (FRANCO) No desenvolvimento de
ordenado segundo as potências decrescentes de x,
6
1
do termo de
10
a soma do segundo termo com
e) 15
maior coeficiente é igual a oito vezes a soma de
9. (FRANCO) O termo médio do desenvolvimento do
x  2 z 1
todos os coeficientes. Se
6
 2 y
 ax   , segundo potências
b

4 6 3
.x . y . A razão entre a
decrescente de x, é
25
1
e y 
4
z
1
2
,
então:
binômio
z  0,1
c) z   ,0
z  20,50
d) z  1,15
a)
b)
e) n. d. a
e b, nessa ordem é:
1
a)
10
1
b)
6
10. (FRANCO)
1
c)
5
Calcular
2
d)
5
o
décimo
x  y 
desenvolvimento de
expoentes crescentes para x.
12
a)  220. y x
3
c)  220. y x
9
9
3
9
9
3
b) 220. y x
3
d) 220. y x
11. (FRANCO)
15. FRANCO) Se no desenvolvimento de
3
e)
5
termo
12. (FRANCO) Para todo
d) 30
 n 
 é sempre:
de  
n 1  n  1
 p  2

d) 
p

1


 n  2

e) 
 n 1
a)
2
13. (FRANCO)
2 n 1
b)
c)
2 n 1
c)
 x2 1
 

x
 3
5
são
x que satisfaz a
1
3
d) 1
e) 3
17. (FRANCO) Sabendo que os coeficientes do quarto
e do décimo sexto termos do desenvolvimento de
a  b n
são iguais, o coeficiente do termo médio
é:
a) 48 620
c) 16 720
b) 26 180
d) 14 360
A
soma
desenvolvimento de
m é:
 p  1

c) 
p


a) 5
b) 6
e) 12 360
dos
2 x  3 y 
coeficientes
m
c) 10
do
é 625. O valor de
d) 3
e) 4
19. (FRANCO) No desenvolvimento de 3 x  13 há
13 termos. A soma dos coeficientes destes termos
é igual a:
n
O valor numérico da expressão
2n
e) 9
O terceiro e o quarto termo do
b) - 1
18. (FRANCO)
n
n
x n   .x n1 . y   .x n2 . y 2  ...  y n ,
1
 2
x  y  1 , é:
a)
a) - 3
e) 32
p
p. p  1
b)
2
d) 8
iguais. O maior valor real de
condição dada é:
a1 , a2 , a3 ,... ,
n  N * e p  N * , o valor
p
c) 7
desenvolvimento do binômio
e) n. d. a
, a soma dos quatro primeiros termos dessa
seqüência é:
c) 28
b) 6
16. (FRANCO)
Dada a seqüência
b) 15
a) 5
, feito segundo
n n n
n
*
onde a n           ....    , n  N
 0 1  2
n
a) 8
x k e x k 1 são iguais, então k
os coeficientes de
é igual a:
do
3x  515 ,
d)
2 2n
para
e) n. d. a
a)
2 44
2 46
b)
c)
2 48
d)
2 50
e)
2 52
20. (FRANCO) O coeficiente de x na expansão de
7
1

 x  x  é:


a) 0
b) 7
c) 28
d) 35
e) 49
 k  1  k  1



2   3 

21. (FRANCO) A equação:
1
 k  2


 5 
a)
b)
c)
d)
e)
A expressão
p  1  n  1
 , onde
.
n  1  p  1
n
b)  
 p
e) n. d. a
d) 1
 5   5  6   7 
           é igual
 2   3  4   5 
23. (FRANCO) A soma
a:
6
 
5
b)
7
 
6
c)
8
 
7
d)
8
 
 4
e)
8
 
5
24. (FRANCO) Se um número natural n é tal que
10  10  11  12 
          2
 , então n é:
 5   6   7   n  2
a)
b)
c)
d)
e)
Igual a 6 ou - 6.
Um número par.
Um número quadrado perfeito.
Um número maior que 10.
Divisor de 15
25. (FRANCO) A soma
 30   30   30 
   2.     é igual
 8   9   10 
a:
a)
 30 
 31
 31
 32 
 32 
  b)   c)   d)   e)  
9
10 
 11 
9
 10 
26. (FRANCO)
Os três primeiros coeficientes no
n
desenvolvimento
de
 2 1 
x 
 estão em
2x 

progressão aritmética. O valor de n é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
números
e) 12
binomiais
condições, o produto dos possíveis valores de n é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
GABARITO
p  n , com n, p  N * é igual a:
 n  1

a) 
 p 
 n 

c) 
 p  1
Os
 n   n  1
 n  2
 , 
 e 
 , nesta ordem, estão em
0  1 
 2 
progressão aritmética, para
n  N . Nestas
Não admite soluções;
Admite uma solução entre 1 e 5;
Admite uma solução entre 5 e 12;
Admite uma solução entre 12 e 20;
Admite uma solução maior que 20.
22. (FRANCO)
a)
27. (FRANCO)
1. D
7. C
13. B
19. E
25. E
2. B
8. A
14. C
20. D
26. C
3. D
9. C
15. A
21. C
27. A
4. B
10. A
16. E
22. B
5. A
11. D
17. A
23. E
6. A
12. B
18. E
24. E
e) 4