OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS.

OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
1. ADIÇÃO DE POLINÔMIOS:
 A adição de polinômios é a adição de todos os
seus monômios
Exemplo:
3x
 
 Multiplicamos cada termo do primeiro polinômio
por todos os termos do segundo e, a seguir,
reduzimos os termos semelhantes.
Exemplo:
x  2  x 2  3x  4 

 x.x 2  x.3 x  x.4  2.x 2  2.3 x  2.4 
 4 x  3  x 2  7 x  9  3x 2  x 2  4 x  7 x  3  9
2
 x3  3x 2  4 x  2 x 2  6 x  8 
 4 x 2  3x  6
☞ MODO PRÁTICO:
 Escrevemos cada polinômio numa linha,
colocando os termos semelhantes um embaixo do
outro e somamos:
3x 2
x
 7x  9
2
4x
 4x  3
2
4 x  3x  6
2
A soma é:
 3x  6
3x
 
A)  DIVISÃO DE UM POLINÔMIO POR UM
MONÔMIO:
Dividimos cada
monômio.
Exemplo:

24 x
6
  
 20 x5  4 x 2 
termo
do
polinômio
pelo
24 x 6 20 x5

 6 x 4  5 x3
4x2
4x2
B)  DIVISÃO DE POLINÔMIO POR
POLINÔMIO:
 4 x  3  x  7 x  9  3x  x  4 x  7 x  3  9
2
4. DIVISÃO DE POLINÔMIOS:

2. SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS:
 Para subtrair um polinômio de outro, basta
somar o primeiro com o oposto do segundo.
Exemplo:
2
 x 3  x 2  10 x  8
2
2
 2 x  11x  12
2
 Vamos mostrar, através de exemplos, uma regra
prática para efetuar a divisão de polinômios.
Exemplo: Vamos efetuar a divisão:
☞ MODO PRÁTICO:
 Escrevemos cada polinômio numa linha,
colocando os termos semelhantes um embaixo do
outro e somamos:
3x 2
 4x
3
x
 7x
 9  Sinais trocados
2
2x2
 11x  12
3. MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS:
6x
3
 
 11x 2  12 x  15  3x 2  x  4

PASSO 1: Os polinômios devem estar em ordem
decrescente em relação à variável.
6 x 3  11x 2  12 x  15
3x 2  x  4
3
2
PASSO 2: Dividimos o primeiro termo 6x por 3x .
Obtemos 2x
termo de maior grau
grau
A)  MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIO POR
termo de maior
POLINÔMIO:
 Multiplicamos o monômio por todos os termos do
polinômio.
Exemplo:

6 x 3  11x 2  12 x  15
3x 2  x  4
2x

2 x. 3x 2  2 x  4  2 x.3x 2  2 x.2 x  2 x.4 
 6 x3  4 x 2  8 x
B)  MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIO POR
POLINÔMIO:
PASSO 3: Multiplicamos 2x pelos termos do divisor,
colocando o resultado com sinal trocado
sob o dividendo. A seguir, adicionamos
os termos semelhantes e baixamos o
termo seguinte.
6 x3
 6x
3
 11x 2
 12 x  15 3x 2
 2x
2
 8x
 9x
2
 4x
2x
 15
x 4
B  5x  2 y  1
. Então o

 A  B  2x  3y  4
PASSO 4: Repetimos todo o procedimento com o
resto parcial obtido até que o resto tenha
grau menor que o divisor.
5, (FRANCO) Se
 6 x3
 11x 2
 12 x  15 3x 2
x 4
a) 3 x  5 y  3
b) 3 x  5 y  3
 6x
 2x
2
 8x
3
c)  3 x  5 y  3
d)  3 x  5 y  3
 9x2
 4x
 15
 9x
 3x
 12
x
3
3
2
2x
polinômio A é:
6.
(FRANCO)
A B C
QUOCIENTE: 2 x  3
RESTO:  x  3
 OBSERVE QUE:


3
2
6
x

11
x

12
x

15  3x 2  x  4  2 x  3  x  3

 
 
DIVIDENDO
QUOCIENTE
DIVISOR
RESTO
 A   x  2 y  10

Se  B  x  y  1
. Então
C  3x  2 y  1

é igual a:
a) x  y  8
b) 3 x  y  10
c)  5 x  3 y  12
d)  3x  5 y  10
7. (FRANCO) O produto xy  7  xy  9 tem
como resultado:
x 2 y 2  63
2
c) xy  2 xy  63
a)
TESTES
1. (FRANCO) A diferença
é igual a:
b) h
a) 0
4
10h
c) 2h
4
 
 h2  10h4  h2
2

d)
20h 4  2h 2
2. (FRANCO) O resultado de

2
 
3
8 x3  y 2
3
2
c)  8 x  y
2

 6 x3  y 2
3
2
d)  8 x  3 y
a)
3. (FRANCO) O resultado de
 2x
2


a) x  6 x  3
b) x  4 x  6
c)  5 x  6 x  6
d)  5 x  10 x  12
2
c) 0,15 x  21 y
d) 0,15 x  2,1y
x
 10 x  8 é:
2
b) 5 x  4
2
d) 10 x  8
2
10. (FRANCO)
 x x x
   é
3 4 2
A expressão 12  
igual a:
2
2
5x  4
2

x 2 y 2  16 xy  63
b) 1,5 x  0,21y
c) 5 x  4 x
 5 x  8x  6   3x 2  7 x é:
d)
a) 1,5 x  2,1 y
a)
b)
x 2 y 2  2 xy  63
8. (FRANCO) O resultado 0,5  0,3x  4,2 y  é:
9. (FRANCO) O resultado de
  x  y  7 x  2 y é:
3
b)
a)
2
x
b)
x3
2
c)
60x
d)
12x
5
11. (FRANCO) A expressão 3 x  5 x  1   2 x 
é igual a:
2
4. (FRANCO) O resultado de
7
 4 7  4
2
 a     a  4a   é:
2 
2

a) 15 x  x
b) 4 x  15 x  1
c) 19 x  3x
d) 11x  3 x
2
2
2
a)
4a
2a  4a  7
7
b)
4
2
2
c)
2a  4a
4
2
d)
2
12. (FRANCO) Se A   x  5 x  7 e
então 2 A  B é igual a:
2
B  3x  8 ,
a)  2 x  2 x  1
b)  2 x  2 x  6
c)  2 x  7 x  6
d)  2 x  7 x  22
2
2
2
13.
(FRANCO)
x .x  e x
3
3
3
2
Sendo
x
3
x  0,
os resultados de
 são, respectivamente:
a)
x6 e 1
b)
c)
1 e x6
d)
14. (FRANCO) Sendo
x
7
4

x3  5x
2
d) x  5 x  7
b)
c) x  5 x  7
2
15. (FRANCO) O quociente
como resultado:
a) a  a
6
a
60

 a 20  a10 tem
a6  a2
50
10
d) a  a
2
b)
 a10
50
1 e x9
x  0 , o quociente
2
c) a
x9 e 1
4
a) x  5 x
12

1 11 1 10
m  m
2
4
1 13 1 12
m  m
d)
2
4
a) 22m  4m
13
c) 2m
b) 4
10
b)
 4m12
c) -1
17. (FRANCO) Sejam A e B os polinômios
d)
a)
b)
C)
d)
2
A é divisível por B.
A não é divisível por B.
O resto da divisão de A por B é igual a
O resto da divisão de A por B é igual a
4
3
2 x 2  1 é:
a) 2 x  x  1
2x2  x  1
2
d) 2 x  2 x  1
2
b)
c) 2 x  x  1
2
23. (FRANCO) O polinômio que dividido por x  5
tem por quociente x  2 e resto 3 é:
x 2  3x  7
2
d) x  3 x  13
b)
c) x  3x  7
2
22. (FRANCO) O polinômio que, dividido por
2x  3 , tem quociente x  1 e resto 6 é:
a) 2 x  x  3
2x2  x  3
2
d) 2 x  5 x  9
2
b)
c) 2 x  5 x  3
2
B é:
G A B A R I T O
b) 1
c) x
d)
x 1
18. (FRANCO) Dividindo x  2 x  3 por x  1 ,
obtemos para quociente e para resto,
respectivamente:
1. C
6. A
11. C
16. B
21. A
2. B
7. B
12. D
17. C
22. A
3. B
8. D
13. A
18. B
23. B
4. B
9. C
14. D
19. C
24. B
5. D
10. A
15. C
20. C
2
a) x  1 e 2
c) x  1 e  2
x 1 e 2
d) x  1 e  2
b)
19. (FRANCO) O resto da divisão do polinômio
x 3  4 x 2  x  1 por x 2  3 x  1 é:
a)
c)
x 1
 3x  2
b)
d)
3x  2
 3x  2
x 1 .
x 1.
22. (FRANCO) O quociente 4 x  2 x  x  1 por
A  x 2  x e B  x  1 . O quociente de A por
a) 0
3x
21. (FRANCO) Sendo A  3 x  2 x  x  2 e
B  x  1 dois polinômios, temos que:
2
 11m11  44m tem como resultado:
11
a) 0
a) x  3 x  7
16. (FRANCO) O quociente
22m
3
3
 5x  7 x  x é:
5
20. (FRANCO) O resto da divisão de x  3 x  5
por x  1 é: