3 - Curso Mentor

M
(UFJF) Sabendo que o polinômio
2
p(x) = ax3 + bx + 2 é divisível por (x + 1) ,
determine a e b.
Q6.
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Leonardo Santos
Polinômios III
22 de junho de 2016
Professor:
Tema:
(IME) Seja P (x) = x2 + ax + b. Sabe-se
que P (x) e P (P (P (x))) têm uma raiz em comum.
Pode-se armar que para todo valor a e b
Q1. (FAE) Uma matriz quadrada se diz ortogonal
se sua inversa é igual à sua transposta. Dada a a) P (−1)P (1) < 0
b) P (−1)P (1) = 0
matriz
√ )
(
x√
−3 − 5
c) P (−1) + P (1) = 2
A=
d) P (0)P (1) = 0
5 x−3
, em que x ∈ C∗ , a soma dos valores de x que a e) P (0) + P (1) = 0
tornam uma matriz ortogonal é igual a
a) 6 + 4i
b) 6 − 4i
c) 6
d) 4 Q8. (UEM) Sabe-se que todo número complexo z pode ser escrito na forma z = a + bi, onde a
e
b são números reais e i é a unidade imaginária tal
Q2. (CEFET) Se uma das raízes do polinôque
i2 = −1. Além disso, as funções Re(z) e Im(z)
4
2
mio P (x) = x − 8x + ax + b é 2 e P (1) = 9, então
são
denidas
por Re(a + bi) = a e Im(a + bi) = b.
o valor de a5 − 4b é
Sobre
os
números
complexos, assinale o que for
a) −64
b) −28
c) 16
d) 24
correto.
Q3.
(EsPCEx) Considere os polinômios 01 Para quaisquer números complexos z e w vale
p(x) = x80 + 3x79 − x2 − x − 1 e b(x) = x2 + 2x − 3. a relação Re(z · w) = Re(z) · Re(w) − Im(z) · Im(w).
Sendo r(x)( o) resto da divisão de p(x) por b(x), o 02 A equação (2a − bi)(−1 + i) = 1 não possui
solução para quaisquer a, b ∈ R.
valor de r 12 é igual a
3
2
a) 0
b) 12
c) 1
d) 2
e) 52 04 O polinômio x − 6x + 13x possui 3 raízes,
sendo duas raízes reais e uma raiz complexa.
08 Multiplicar por i um ponto do plano complexo
Q4. (UFSC) Em relação às proposições abaixo, é
é equivalente a rotacionar esse ponto 90◦ no sentido
CORRETO armar que:
01 Um polinômio p(x), com coecientes reais, é anti-horário.
211
tal que p(0) = 2 e p(−1) = 3. Se r(x) é o resto da 16 i ∈ C é uma solução da equação x − i = 0.
2
divisão de p(x) por x + x, então r(7) = −5.
Se (x − 2) é um fator do po02 Considere a equação x3 − 4x2 + mx + 30 = 0, Q9. (PUCPR)
3
2
linômio
x
+
kx
+ 12x − 8, então, o valor de k é
em que m é uma constante real. Se r1 = 2, r2 e r3
igual
a:
são as raízes dessa equação, então r1 + r2 + r3 é
a) −3.
b) 2.
c) 3.
d) 6.
e) −6.
um número divisível por 2.
04 Se q(x) é o polinômio dado por q(x) =
P (x) = x4 −2x2 +mx+p
an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a2 x2 + ax + 1, Q10. (UPF) Se o polinmio
2
n
é divisvel por D(x) = x + 1, o valor de m − p é:
−1
.
sendo a ∈ R − {1}, então o valor de q(1) é aa−1
a) −3
b) −1
c) 0
d) 2
e) 3
08 Sejam x, y e z números reais positivos.
O valor de A que satisfaz a √
expressão
[
]
4
1
1
log A = 5 3 log x − 2 log y + log(xz) é 5 x√yz .
Data:
Q7.
(FMP) Seja f : R → R a função polinomial denida por f (x) = x4 − 3x3 + 3x − 9. O fato
de x = 3 ser um zero da função f é equivalente ao
fato de o polinômio x4 − 3x3 + 3x − 9 ser divisível
por
a) x2 − 9
b) x + 3
c) 3
d) x − 3
e) x
Q5.
1
Gabarito
Polinômios III
C
A
Q3. A
Q4. VVFV: Soma 11.
Q5. D
Q6. a = −1; b = 3
Q7. D
Q8. VFFVF: Soma 09.
Q9. E
Q10. E
Q1.
Q2.
2