atividade i

ATIVIDADE I
Denotamos por R o conjunto dos números reais e por R2 o produto cartesiano de
conjuntos R X R = { ( a , b ) | a e b são números reais }.
Existe uma identificação natural entre R2 e o plano cartesiano Oxy, e, dessa forma
nos referiremos a esses dois conjuntos como sendo o mesmo conjunto.
Consideremos um subconjunto D do plano Oxy.
Definição: Uma função f de duas variáveis definida em D é uma regra que
associa a cada par ordenado de números reais (x,y) de D, um único valor real
denotado por f(x,y) .
O conjunto D é chamado o domínio de f . Dada uma expressão f = f(x,y), se não
for feita menção ao domínio D de f, consideraremos como domínio da função o
maior subconjunto do plano Oxy onde a expressão possa ser definida.
Exemplos:
1) A temperatura T em oC (graus centígrados) num ponto (x,y) de uma
superfície em qualquer instante de tempo depende da abcissa x
(medida em cm) e da ordenada y (medida em cm).
Podemos pensar T como função de duas variáveis x e y, e indicamos
essa dependência funcional escrevendo T = f(x,y) ou T = T(x,y).
Vamos supor que exista uma expressão da forma T(x,y) = x2 + y2 , que
exprima essa relação.
Então a temperatura no ponto (2,3) vale T(2,3) = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 0C
.
2) O volume de um cilindro circular depende de seu raio r e de sua altura
h. De fato sabemos que V =  .r2.h .
Podemos dizer então que V é uma função de r e de h, e escrevemos
V(r,h) =  .r2.h .
Para um cilindro de raio 2 cm e altura 3 cm, o seu volume valerá
V(2,3) =  . 22 . 3 = 12  cm3 .
3) Em regiões de inverno severo, a sensação térmica S é frequentemente
utilizada para descrever o rigor aparente do frio. Esse índice S mede a
temperatura subjetiva que depende da temperatura real T e da
velocidade do vento v. Assim S é uma função de T e de v, e podemos
escrever S = S(T,v).
1
A tabela a seguir apresenta valores de S compilados pelo Serviço
Nacional de Meteorologia:
6 10
16 16 14
12 12 9
8
8
5
4
4
0
0
0
-4
-4 -4 -8
-8 -8 -13
-12 -12 -17
-16 -16 -22
20
11
5
0
-5
-10
-15
-21
-26
-31
30
9
3
-3
-8
-14
-20
-25
-31
-37
40
7
1
-5
-11
-17
-23
-29
-35
-41
50
7
0
-6
-12
-18
-25
-31
-37
-43
60
6
0
-7
-13
-19
-26
-32
-39
-45
70
6
-1
-7
-14
-20
-27
-33
-40
-46
80
5
-1
-8
-14
-21
-27
-34
-40
-47
A primeira linha denota a velocidade v do vento medida em km/h e a
primeira coluna denota a temperatura real T medida em graus Celsius.
A tabela mostra, por exemplo, que se a temperatura é 4oC e a velocidade
do vento é 40 km/h, então subjetivamente parecerá tão frio quanto uma
temperatura de cerca de -11oC sem vento.
Portanto, podemos escrever
S(4,40) = -11
4) A lei universal dos gases diz que P.V = n.R.T , onde P é a pressão do
gás, V é o volume, T é a temperatura, n é o número de moles e R é a
constante universal dos gases (todos medidos nas suas respectivas
unidades).
Lembrando que n e R são constantes não-nulas, temos
T=
1
. P.V
nR
, isto é,
a temperatura T é função da pressão P e do volume V , e podemos
escrever
T(P,V) =
1
. P.V
nR
2
EXERCÍCIOS:
1) A temperatura num ponto (x,y) é dada por T(x,y) = x2 + y2 + 4xy + 1 .
Calcular a) a temperatura no ponto (0,0)
b) a temperatura no ponto (1,2)
c) a temperatura no ponto (2,1)
d) T(10,10)
e) T(0,5)
f) T(a,b)
g) T(a,a)
h) T(x,x)
2) Usando a Tabela do exemplo 3) , calcule
a) S(8,50)
, b) S(8,80) , c) S(12,6)
e) S(-4,20) , f) S(-16,80) , g) S(0,10)
, d) S(12,70)
, h) S(0,80)
3) Uma função f tem a forma f(x,y) = a.x + b.y onde a e b são constantes.
Sabendo-se que f(1,1) = 3 e f(2,1) = 5 , calcular a e b .
4) Uma função f tem a forma f(x,y) = a.x2 + b.y2 onde a e b são constantes.
Sabendo-se que f(1,1) = 9 e f(2,1) = 21 , calcular a e b .
5) Uma função f tem a forma f(x,y) = a.x2.y + b.y onde a e b são constantes.
Sabendo-se que f(0,1) = 4 e f(1,1) = 6 , calcular a e b .
6) Uma função f tem a forma f(x,y) = a.x2 + b.y2 + c, onde a, b e c são
constantes. Sabendo-se que f(0,0) = 1, f(1,0) = 3 e f(0,1) = 5 , calcular
a) a, b e c
b) f(x,y) c) f(2,2)
d) f(3,1)
2
e) f(a,a)
f) f(a, a ) g) f(a,2a)
7) Uma função f tem a forma f(x,y) = a.x2 + b.y2 + c, onde a, b e c são
constantes. Sabendo-se que f(0,0) = 2, f(1,1) = 8 e f(1,2) = 20 ,
calcular f(5,1).
8) Uma função f tem a forma f(x,y) = a.x2 + b.y2 + 2xy, onde a e b são
constantes. Sabendo-se que f(1,1) = 8 e f(1,2) = 16 , calcular f(3,3).
9) Uma função f tem a forma f(x,y) = a.x2 + b.y2 + 4xy, onde a e b são
constantes. Sabendo-se que f(1,1) = 10 e f(1,2) = 27 , calcular f(2,2).
10)Uma função f tem a forma f(x,y) = a.x2 + b.y2 + 4xy, onde a e b são
constantes. Sabendo-se que f(1,1) = 10 e f(1,2) = 26 , calcular f(3,3).
3
RESPOSTAS
1) a) 1
e) 26
2) a) -6
b) 14
f) a2 + b2 + 4ab + 1
b) -8
c) 12
d) -1
c) 14
g) 6a2 + 1
e) -15
f) -47
d) 601
h) 6x2 + 1
g) -4
h) -21
3) a = 2 e b =1
4) a = 4 e b = 5
5) a = 2 e b = 4
6)
a) a =2, b=4 e c=1
a) f(x,y) = 2x2 + 4y2 + 1
b) f(2,2) = 25
c) f(3,1) = 23
d) f(a,a) = 6 a2 + 1
e) f(a, a2) = 2 a2 + 4 a4 + 1
f) f(a, 2a) = 18 a2 + 1
7) f(5,1) = 56
8) f(3,3) = 72
9) f(2,2) = 40
10) f(3,3) = 90
4