1. Razões e Proporções

Introdução
Receber hoje R$ 1,00 é melhor que receber o mesmo valor R$ 1,00 daqui a um ano.
Podemos ver que, durante o prazo da operação, o valor do dinheiro envolvido numa
transação financeira varia com o tempo. Em geral, todo empreendimento envolvendo
dinheiro necessita de avaliações periódicas, antes de ser aceito e no decorrer do prazo até a
data final do empreendimento. Portanto, necessitamos de procedimentos de avaliação do
resultado de uma operação em qualquer data. A Matemática Comercial e Financeira é a
disciplina dedicada ao estudo do comportamento do dinheiro em função do tempo.
O principal objetivo deste trabalho é a transmissão de conhecimentos fundamentais
de Matemática Comercial e financeira aplicados à resolução de situações práticas
emergentes no dia-a-dia das empresas.
Você receberá gradativamente teoria e listas de exercícios que o possibilitarão
montar aos poucos sua apostila.Uma vez que você se empenhe nestas atividades e não
deixe acumular dúvidas, certamente conseguirá bom êxito no curso.
Uma advertência deve ser feita àqueles que pretendem estudar Matemática
Financeira ou se dedicar a algum trabalho nessa área. São exigidos desses estudantes e
profissionais análise atenta dos problemas que querem resolver, compreensão clara das
operações financeiras ali envolvidas e familiaridade não só com a linguagem dos
negócios, como também com fórmulas e calculadoras que utilizará. E tudo isso só se
consegue com muito exercício, principalmente para aqueles que se lançam na área pela
primeira vez.
Bons estudos.
Prof. Miguel Inácio
1
1. Razões e Proporções
1.1 - Razão
Você já deve ter ouvido expressões como: “de cada 20 habitantes, 5 são
analfabetos”, “de cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática”, “um dia de sol, para cada dois
de chuva”.
Em cada uma dessas frases sempre clara uma comparação entre dois números.
Assim, no primeiro caso, destacamos 5 entre 20; no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1
para cada 2.
Todas as comparações serão matematicamente expressas por um quociente chamado
razão. Teremos, pois:
a) De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos.
Razão =
5
20
b) De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática.
Razão =
2
10
c) Um dia de sol, para cada dois de chuva.
Razão =
1
2
A razão entre dois números a e b, com
b  0, é o quociente
a
---b
a
, ou a : b.
b
Numerador
Denominador
0
---- = 0 “ZERO pode ser numerador na fração e o resultado é zero.
5
ZERO jamais poderá ser denominador”
2
Exemplos
1) Uma garrafa de cerveja tem capacidade para 600 ml e uma garrafa de refrigerante tem
capacidade para 300 ml. A razão entre as capacidades da garrafa maior para a menor
é:
600ml
=2
300ml
Isso significa que na garrafa de cerveja é possível colocar duas vezes o que cabe em uma
garrafa de refrigerante.
2) A altura de Beatriz é 1,50 m e a altura de Clovis é de 120 cm. A razão entre a altura de
Beatriz e a altura de Clovis é:
150cm 5
  1,25 obs. As unidades devem ser iguais
120cm 4
Propriedade fundamental da razão
a  c  ...  m a c
m
   ... 
b  d  ...n
b d
n
Exemplo:
3) Calcule x, y e z, sabendo que
x y
z
 
e x+y+z=420.
9 11 15
xyz
x y
z
  
como x+y+z=420, podemos escrever:
9  11  15 9 11 15
420 x
y
z
420 x
 ou ou
  x  108

35 9 11 15
35 9
420 y
  y  132
35 11
420 z
  z  180
35 15
3
Lista de exercícios nº1
1) Calcule X, Y e Z, sabendo que
X
Y
Z
=
=
e X+Y+Z = 420
9
11
15
R:X= 108; Y=132; Z= 180
Calcule A, B, C, sabendo que A+B+C= 180 e
A B C
 
5 3 1
R:A=100; B=60; C= 20
2) Calcule X e Y sabendo que
X
Y

a.
e X  Y  187 R: X= 55 ; Y=132
5 12
b .
c.
1 1
=
2 3
X Y
e X Y 
1
1
1
R: X=
; Y=
6
10
15
X Y

e X Y  85 R: X=136 ; Y=51
8
3
1 1
1
3) Calcule X e Y sabendo que 2  3 e x  y 
6
x y
1
1
R:x =
ey=
10
15
4) Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles é
2
.
3
R:24 e 36
5) Calcule a, b e c, sabendo que a+b+c=180 e
a b c
  .
5 3 1
R: a=100; b=60; c=20
6) Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação
8
. Quais são esses números?
5
R:32 e 20
4
7) A idade de um pai está para a de seu filho como 7 esta para
5
. Se a soma das idades
3
é 52, qual a idade de cada um?
R:idade do pai 42 anos; idade do filho 10 anos
8) Sabendo que os números das seqüências (1, a , -4) e (4, 2, b) são inversamente
proporcionais, determine a e b.
R: a= 2 b= -1
9) Qual é o número que, aumentado de 2 unidades, está para 5 assim como 28 está para
20?
R: o nº é 5
10) A soma de três números é igual 555. O primeiro está para os segundo como 8 está
para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três
números?
R:x=184; y=115; z=256
11) Divida o número 70 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5.
R: x=14; y=21; z= 35
12) Divida 184 em partes diretamente proporcionais a
1 2 3
, e .
2 3 4
R:x=48; y=64; z=72
13) Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.
R: x=120; y=80; z=60
14) Um pai deixou R$ 2.870.000,00 para serem divididos entre seus três filhos na razão
inversa das suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um?
R: o 1º recebeu R$1.470,00, o 2º recebeu R$980,00 e o 3º recebeu R$420,00
15) Divida 870 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 5,9
R: 450, 270 e 150
16) Divida 870 em partes proporcionais aos números 7, 10 e 12
R: 210, 300 e 360
17) Três técnicos receberam ao todo R$ 2.550,00. O primeiro trabalhou 15 dias à razão
de 6 horas por dia; o segundo, 25 dias à razão de 4 horas por dia; e o terceiro, 30
dias à razão de 5 horas por dia. Quanto recebeu cada um deles?
R: o 1º recebeu R$675,00, o 2º recebeu R$750,00 e o 3º recebeu R$1.125,00
5
18) Uma pessoa, ao morrer, deixou a herança de R$ 21.720.000,00 para ser repartido
entre três herdeiros, ao mesmo tempo, em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e
3
2 3 1
e inversamente a , e . Quanto recebeu cada um?
4
3 5 3
R:R$6.480.000,00 ; R$12.000.000,00 ; 3.240.000,00
19) Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 18.000,00 R$
22.500,00 e R$ 27.000,00 e obtiveram um lucro líquido de R$ 27.000,00. Qual será
a parte de cada um?
R: x=R$7.200,00 y= R$9.000,00 z= R$10.800,00
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