TEM2004-05-E2

2º Exame de Termodinâmica e Estrutura da Matéria
(LCI, LEN, LEBM, LEGM, LMAT, LMAC)
1º semestre 2004-05
Prof. João P. S. Bizarro
Sábado, 5 de Fevereiro de 2005
Duração do Exame: 2h 30m (com 30m de tolerância)
Constantes: R  8.314 J/mole.º C , k B  1.38054 10 23 J.K -1 , h  6.626 10 34 J.s
Problema I [cotações: a) 2.0 val.; b) 2.0 val.]
Uma barra de ouro, de secção 1 cm2 e comprimento 30 cm, está em contacto com uma
barra de prata de igual secção e comprimento. A extremidade livre da barra de ouro é
mantida a 80 ºC e a de prata a 30 ºC. As condutividades térmicas do ouro e da prata são,
respectivamente, 314 W/m.ºC e 427 W/m.ºC.
a) Em situação estacionária, qual a temperatura da junção de contacto entre as duas
barras?
b) Se o fluxo de calor transmitido ao longo da barra na situação da alínea anterior fosse
usado para aumentar de 1 ºC a temperatura de uma mole de um gás ideal monoatómico, a
volume constante, qual o tempo que seria necessário? (Se não resolveu a alínea anterior,
considere a temperatura da junção igual a 48 ºC).
Problema II [cotações: a) 2.0 val.; b) 1.5 val.; c) 1.0 val.; d) 1.5]
Uma central eléctrica produz 150 MW com um rendimento global de 0.15. O processo é
o seguinte: a queima de carvão, que ocorre a 1200 ºC (fonte quente) gera vapor que faz
mover as turbinas, sendo a respectiva energia mecânica transformada em energia
eléctrica; o vapor é seguidamente condensado ao atravessar uma série de condutas em
contacto térmico com um rio a 22 ºC (fonte fria) que passa junto à central. (Se não
conseguir calcular, admita que a potência fornecida pela fonte quente é de 900 MW)
a) Sabendo que o calor libertado pela combustão do carvão é de 33 kJ/g, calcule quantas
toneladas de carvão consome a central por dia.
b) A montante da central, o rio encontra-se a 20º C. Qual o caudal mínimo (em toneladas
por segundo) que o rio deve possuir para que, a jusante da central, a sua temperatura não
ultrapasse 25º C? O calor específico da água é de 4186 J/kg.ºC.
c) Calcule a entropia produzida pela central numa hora.
d) Se o processo de produção de energia eléctrica fosse reversível, qual a potência que a
central poderia fornecer para o mesmo consumo de carvão?
Problema III [cotações: a) 1.5 val.; b) 2.0 val; c) 1.5 val.]
Considere um átomo de Hélio, cuja massa é m  6.64110 27 kg , confinado numa
“caixa” (i.e. potencial nulo dentro da caixa e infinito fora dela) de lado L  1 m .
a) Mostre que, a uma dimensão ( 0  x  L ), as funções de onda que descrevem os
estados próprios de energia
En  h 2 n 2 8mL2
com
n  1,2,...
têm a forma
 n ( x)  2 L sin nx L .
b) Calcule:
i) o comprimento de onda (c.d.o.) máximo da radiação que este sistema pode
emitir, bem como o momento linear do respectivo fotão. (Se não conseguiu
calcular o c.d.o., admita-o igual a 1016 m.)
ii) compare o c.d.o. do fotão anterior com o c.d.o. de uma partícula no estado
n  1 . (Sugestão: pode começar por obter o momento de uma partícula no estado
n  1 a partir da expressão para E1 .)
c) Sendo n o c.d.o. de uma partícula com energia En , mostre que no limite clássico,
quando n  1, se tem L  n .
Problema IV [cotações: a) 1.5 val.; b) 1.5 val; c) 2.0 val.]
Um gás ideal monoatómico constituído por um número muito grande N de partículas,
cada uma de massa m está em equilíbrio térmico à temperatura absoluta T. O gás está
contido numa caixa cúbica de lado L cujo fundo e topo estão paralelos à superfície
terrestre. Cada partícula está sob o efeito da aceleração gravítica g, sendo a sua energia
total dada por  ( z, v)  12 mv2  mgz ( 0  z  L ).
a) Qual o valor médio
1
2
mv2 da energia cinética de uma partícula?
b) Qual o valor médio mgz da energia potencial de uma partícula? (Sugestão: Comece
por demonstrar que
  L  mgz 
mgz  
ln  e
dz  ,

  0
com   1 / kBT .
c) Diga, justificando devidamente, quais os valores para que tende mgz nos limites:
i) T  0 , mais precisamente kBT  mgL ;
ii) T   , mais precisamente kBT  mgL .