2º Exame de Termodinâmica e Estrutura da Matéria

2º Exame de Termodinâmica e Estrutura da Matéria
(LCI, LEN, LEBM, LEGM, LMAT, LMAC)
1º semestre 2005-06
Prof. João P. S. Bizarro
Quinta, 2 de Fevereiro de 2006
Duração do Exame: 2h 30m (sem tolerância)
Constantes:
R  8.314 J/mole.K ,
N A  6.023 1023 mole-1 ,
k B  1.380 1023 J/K ,
 1.054 1034 Js
Problema I [cotações: a) 1.0+1.0 val.; b) 2.0 val.]
Um recipiente cúbico de vidro, com uma aresta de comprimento L  1 m e paredes de
espessura desprezável, encontra-se cheio com ar a T  293 K e P  105 Pa . Pode-se
considerar o ar como um gás de massa molar M  29 g/mole , e o vidro como um
material isótropo com coeficiente de expansão linear   9 106 K -1 .
a) Calcule:
i) a massa de ar no interior do recipiente;
ii) a velocidade quadrática média de uma “molécula” de ar.
b) Se todo o conjunto (ar+vidro) for aquecido por forma a aumentar a sua temperatura de
T  100 K , vale a pena considerar a variação de volume? (Sugestão: calcule a variação
relativa V / V no volume do recipiente.)
Problema II [cotações: a) 1.0 val.; b) 1.5 val.; c) 2.0 val.; d) 1.5 val.]
Os motores Diesel actuais, ditos de dupla combustão, operam de acordo com um ciclo
termodinâmico aproximadamente composto pelas seguintes transformações:
A  B : compressão adiabática
B  C : aquecimento isométrico (combustão)
C  D : aquecimento isobárico (combustão)
D  E : expansão adiabática
E  A : arrefecimento isométrico
Assume-se o ciclo descrito por ar, considerado como um gás perfeito diatómico (com
vibrações congeladas) de massa molar M  29 g/mole , e são conhecidas as seguintes
quantidades: TA  293 K , PA  105 Pa , PC  65  105 Pa (pressão máxima), TD  2173 K
(temperatura máxima), e VA / VB  19 (taxa de compressão).
a) Esboce o ciclo num diagrama ( P, V ) , identificando os troços em que o ar recebe calor
e em que cede calor.
b) Mostre que o rendimento deste ciclo Diesel é dado por
Diesel  1 
TE  TA
TC  TB   TD  TC 
com   CP / CV o coeficiente de adiabaticidade.
c) Para os valores numéricos dados acima, mostre que se tem TB  951 K , TC  1002 K , e
TE  912 K , e calcule o rendimento Diesel .
d) Funcionando o motor entre duas fontes térmicas às temperaturas TD e TA , calcule a
variação de entropia por Kg de ar durante o ciclo. Comente o resultado.
Problema III [cotações: a) 1.0+1.0 val.; b) 1.0+1.0 val; c) 1.0+1.0 val.]
Considere N osciladores atómicos ( N  1 ) a uma dimensão, de frequência  ,
distinguíveis e em equilíbrio à temperatura absoluta T, os quais se podem distribuir pelos
diferentes níveis de energia
 n   n  1 2  com n  0, 1, 2, ... .
a) Para este sistema:
i) mostre que a sua energia interna pode ser dada por U      N  ln z  , com
z( )  n0 e  n e   1 kBT ;

ii) obtenha U    sabendo que ln z         2   ln 1  e 

.
b) Obtenha, e comente, os valores limite para U (  ) quando:
i)    1 (baixas temperaturas);
ii)    1 (altas temperaturas).
c) Obtenha, e comente, os valores limite para a entropia:
i) S (T  0) ;
ii) S (T  ) .
(Sugestão: pode usar a relação   z N e U para o número de estados acessíveis.)
Problema IV [cotações: a) 1.0 val.; b) 1.0+1.0 val; c) 1.0 val.]
Considere os níveis de energia do problema anterior, com   0.1 eV  1.6 1020 J .
a) Estime a temperatura a partir da qual o correspondente grau de liberdade de vibração
passa a contribuir significativamente para o calor específico.
b) Calcule:
i) o maior comprimento de onda (c.d.o.) da radiação emitida por tal sistema;
ii) o valor do momento linear correspondente. (Se não resolveu a alínea anterior,
pode tomar 1.0 105 m como c.d.o.)


c) Diga, justificando, se a função de onda  ( x)  B exp  mx 2 / 2 pode descrever o
estado fundamental com energia E0   / 2 . (Lembre-se que a energia potencial de um
oscilador harmónico pode escrever-se V ( x)  m 2 x 2 / 2 .)