Chamada para o Relato
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Chamada para o Relato ( 85 a 125 caracteres)
Quando se pensa em função logo vem em nossa mente, duas variáveis uma dependente e uma
independente, mas é só isto?
Texto:
Este cenário poderá mudar sua concepção, ensinar funções é muito divertido.
Aqui estamos tentando passar mais que simples dados, estamos tentando fazer com que estes
dados, tornem-se fáceis de serem estudados, analisados.
Antes de falarmos sobre função modular, temos que entender o que é módulo.
Denomina-se módulo (ou valor absoluto) de um número real x quando:
x, sex 0
|x| =
x, sex 0
Na reta numérica, o módulo de um número corresponde à distância desse
número à origem 0.
“Módulo representa distância”
Sejam os números 3 e –3 são opostos, simétricos.
-3
0
3
A distância até zero é chamado módulo ou valor absoluto de um número real x.
Leitura |x|: módulo de x
O módulo de um número positivo é o próprio número:
|3| = 3
|x| = x se x 0
Módulo de um número negativo é o seu oposto.
|-3| = – ( – 3) = 3
|x| = – x se x 0
x,x IR.
PROPRIEDADES DOS MÓDULOS
M.1
x,x IR.
|x| 0
Essa propriedade decorre imediatamente da definição de módulo, pois sendo
uma distância entre dois pontos, o módulo é um número real positivo ou nulo.
M.2
|x| = 0 x = 0
Tal propriedade afirma que existe um único ponto do eixo real que dista zero
unidade da origem O. É o próprio ponto O:
O
x
0
M.3
Sendo d IR+, tem-se:
|x| = d x d.
A propriedade M.2 é uma particularidade da M.3 quando d = 0. Para d>0, a
propriedade M.3, garante que existem apenas dois pontos distintos do eixo real que distam da
origem a distância d. São opostos de abscissa d e –d:
O
–d
M.4
0
|x| . |y| = |x.y|,
d
{x,y}, {x,y}
IR.
Isto é o produto dos módulos de dois números é igual ao módulo do produto
deles.
M.5
|x|n = xn n é par,
x,x IR, e n IN.
Essa propriedade decorre imediatamente da anterior, pois:
Para n = 0, temos |x|0 = 1 = x0;
Para n 0, temos:
|x|n = |x| ˙ |x| ˙ |x|˙ ... ˙ |x| = |x˙ x ˙ x ˙ ... ˙x| = |xn| (I)
n fatores
Extenção da M.4
Como n é par, temos xn 0; logo temos |xn| = xn. (II)
Por (I) e (II), temos |x|n = xn ( se n é par).
M.6
x
y
x
y
{x,y} , {x,y} IR e y 0
Isto é, o quociente entre os módulos de dois números é igual ao módulo do
quociente entre eles.
M.7
|x| = |a| x = a
{x,y} , {x,y} IR
M.8
|x| a -a x a,
a,a IR+.
M.9
|x| < a -a < x < a,
a,a IR+.
M.10
|x| a x -a ou x a,
M.11
|x| > a x < -a ou x > a,
a, a IR+.
a, a IR+.
Equação Modular
É toda equação em que a variável aparece em módulo. Sua solução é obtida
aplicando-se a definição de módulo.
Inequação Modular
É toda inequação na qual a variável aparece em módulo. Genericamente pode
ser escrita assim:
|x| a ou |x| a ou |x| a ou |x| a, com a IR+.
Para resolvermos uma inequação modular, empregamos o conceito de módulo,
chegando às inequações equivalentes de resoluções conhecidas.
Exemplos:
1. Resolver a inequação |x| 2 x – 2 ou x 2.
Significa que a distância entre x e a origem é maior ou igual a 2.
|
|
|
-2
0
2
Logo, S = {x IR | x – 2 ou x 2}
2.
Resolver a inequação |x| < 3 –3 < x < 3.
Significa que a distância entre x e a origem é menor que 3.
|
-3
0
3
Logo, S = {x IR | – 3 < x < 3}
Função Modular
Uma função f: IR IR dada por f(x) = |x| denomina-se função modular
x, sex 0
f|x| =
x, sex 0
Notação: f(x) = |x|
Lê-se: de x é igual ao módulo de x
Construir o gráfico dessa função, desenhamos as retas y = x e y = -x e cada
uma, o trecho correspondente às condições para x:
(x) = – x
e
(x) = x
x0
x<0
Para (x) = |x| temos:
O gráfico é formado pelas bissetrizes dos quadrantes 1º e 2º.
O conjunto imagem de é I() = { y IR | y 0}.
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Regra prática:
Para construirmos o gráfico de uma função f do tipo (x) =|g(x)|, executamos
os seguintes passos:
1º) Construímos o gráfico da função g: g(x) = 2x2-4x ( Linha azul)
x
y
-1
6
0
0
1
-2
2
0
3
6
2º) f(x) = |g(x)|; para no gráfico de g, conservamos os pontos de ordenadas não
negativas e transformamos os de ordenadas negativas (linha verde) em seus simétricos em
relação ao eixo das abscissas, obtendo assim o gráfico de ( linha marron):
