Números Complexos

Propaganda

Forma algébrica
Forma trigonométrica
Z  a  bi
Z  cis
a  Re  Z 
b  Im  Z 
 Z
  Arg  Z 
P  a,b 
P   cos , s en
O ponto P é o afixo de Z
OP é o afixo vetorial de Z
1
abril 2015
Forma algébrica
Z  a  bi
Z  cis
Z  a  bi
Z   cis   
 Z  a  bi
2
abril 2015
Forma trigonométrica
Z   cis    
Z 2   Z  a  bi
3
abril 2015
Z1  Z   cis  - 
MULTIPLICAÇÃO
Consideremos os dois números complexos
Z1  3  5i
Z1 e Z 2
Z 2  4  2i
Z1  Z2  3  5i    4  2i 
 3   4  2i    5i    4  2i 
 12  6i  20i  10i
 12  6i  20i  10
 2  26i
2
atendendo a que i  -1
2
MULTIPLICAÇÃO
Consideremos dois números complexos quaisquer
Z1  a  bi
Z 2  c  di
Z1  Z2   a  bi    c  di 
 ac  adi  bci  bdi
2
  ac  bd    ad  bc  i
Propriedades da MULTIPLIÇÃO
Comutativa: z1 ,z2  , z1  z2  z2  z1
Associativa: z1 ,z2 ,z3  ,  z1  z2   z3  z1   z2  z3 
Elemento neutro: z  , z 1  1 z  z
Elementos opostos: z1  \ 0 , z2  : z1  z2  z2  z1  1
Propriedades da MULTIPLIÇÃO
Se Z1 ,Z2  , então Z1  Z2  Z1  Z2
Se Z  , então Z  Z  Z
2
Demonstrações (página 188 do manual escolar – Vol. II)

Multiplicação de um número complexo
por i e - i
Consideremos Z  1  2i
Z1  i Z  i 1  2i   2  i
Z2   i Z  i 1  2i   2  i

Multiplicação de um número complexo por i e - i
No Plano de Argand…

Multiplicação de um número complexo por i e - i
Se Z  a  bi então i Z  b  ai
corresponde à rotação do vetor que é a sua imagem
vetorial segundo um ângulo de 90º no sentido negativo
Se Z  a  bi então  i Z  b  ai
corresponde à rotação do vetor que é a sua imagem
vetorial segundo um ângulo de 90º no sentido positivo

(página 188 - manual escolar)

Considere os números complexos:
z1  1  3i
z2  2  i
z3  1  2i
Apresentando o resultado na forma a  bi, calcula:
63.3. iz1  z3  z2 
 i  1  3i   12i    2  i  
  i 3  12i   2  i 
 i  2  3  6i 
 1  7i

(página 188 - manual escolar)

Considere os números complexos:
z1  1  3i
z2  2  i
z3  1  2i
Apresentando o resultado na forma a  bi, calcula:

63.4. z2  z1  z3

  2  i    1  3i  1  2i  
  2  i    5i  
  2  i    5i  
 10i  5i 2 
 5  10i
DIVISÃO
Consideremos os números complexos
Z1  3  5i
Z 2  4  2i
Z1
3  5i
3  5i  4  2i 
12  6i  20  10i




2
2
Z 2 4  2i  4  2i  4  2i 
 4   2i 
8 4i
2 1
8  4i


 i


20 20 5 5
16  4
DIVISÃO
Consideremos dois números complexos quaisquer
Z1  a  bi
Z 2  c  di, com Z 2  0
Z1  Z 2
Z1
a  bi


Z2
c  di
Z2  Z2


 a  bi  c  di 
 c  di  c  di 
 ac  bd   bc  ad  i 
c2  d 2

ac  bd bc  ad
 2
i
2
2
2
c d
c d
(página 189 - manual escolar)
65. Considere os números complexos:
z1  1  3i
z2  2  i
z3  1  i
Representa na forma a  bi :
2  i
2  i
1



65.2.
2
2
z2  2  i  2  i   2    2 
2  i
1 1

  i
8
4 8
z1  z3
1  3i  1  i
2i 2
65.4.


 i
z3  z2 1  i  2  i 3 3

Potenciação
1  i 
2
 1  2i  i 2  2i
 2  i    2  i   2  i    4  4i  i 2   2  i 
3
2
  3  4i  2  i   6  3i  8i  4i 2  2  11i
Se pretendermos calcular
 5  5i 
5
... pelo Binómio de Newton...
abordaremos em breve uma forma mais rápida resolução...

Potenciação

Potências de
i
i 1
i 1
i8  1
i i
i5  i
i i
i  1
i 6  1
i10  1
i  i
i  i
i  i
0
1
2
3
4
7
9
11

i
4n
1
i 4n1  i
i 4n 2  1
i 4n3  i
Potências de
i
no plano de Argand…
67
i =i
416  3
=i  i
3
i
2013
=i
Na calculadora:
6 7
4
2 7
3
16
67 : 4 = 16,…
67 – 4 x 16 = 3
45031
=i  i
1
Na calculadora:
2013
013
1
4
503
2013 : 4 = 503,…
2013 – 4 x 503 = 1

1. Resolve em C as equações:
1.1. 1+z  i  3i 2  i  1
1.2. 2 z  3i  z  2i  i  2
2. Determine x de modo que  3  2i    x  6i 
seja um número real.

3. Calcula e representa na forma algébrica:
71.2. i11  i 5  3 i 74   i 423  i 41  3 i 418 2 
 i 3  i1  3 i 2 
 i  i  3
 1  3i
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO POR i e - i
Forma algébrica
Z  a  bi
i Z  b  a i
 i Z  b  ai
22
abril 2015
Forma trigonométrica
Z  cis
iZ
 
 cis    
 2
iZ
 
 cis    
 2
INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Forma algébrica
Z  a  bi
Z
a  bi
1

 2
2
a

b
Z Z Z
Forma trigonométrica
Z  cis
1 1
 cis   
Z 
23
abril 2015
IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS
Forma algébrica
Forma trigonométrica
Z1  a1  b1i
Z1  1 cis 1
Z 2  a2  b2i
Z 2  2 cis 2
a1  a2
Z1  Z 2  
b1  b2
1  2
Z1  Z 2  
1  2  2k ,k 
24
abril 2015
Z1  a1  b1i
Z 2  a2  b2i
ADIÇÃO
Z1  Z2   a1  a2    b1  b2  i
SUBTRAÇÃO
Z1  Z2   a1  a2   b1  b2  i
MULTIPLICAÇÃO
Z1  Z2   a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i
DIVISÃO
Z1

Z2
25
abril 2015
 a1a2  b1b2   a1b2  a2b1 
+
i
2
2
2
2
 a2    b2   a2    b2 
Z1  1 cis 1
Z 2  2 cis 2
MULTIPLICAÇÃO
Z1  Z2  1 2 cis  1 +2 
DIVISÃO
Z1
1

cis  1  2 
Z2
2
POTENCIAÇÃO
 Z1 
26
10 .05. 2013
n
  1  cis  n1 
n

i
i
i
i
27
10
abril
.05.
2015
2013
4n
1
4n 1
i
4n 2
 1
4n 3
 i
POTÊNCIAS de i
no plano de Argand…
A equação z n  w tem n soluções distintas.
zk  n w  n cis
Seja w   cis  um número complexo, não nulo, e seja n um número natural.
Então, o número complexo w tem n raízes de índice n, que são dadas por
 +2k 
Z k   cis 

n


n
k  0,1, 2,...,n  1
FÓRMULA DE DE MOIVRE DA RADICIAÇÃO
28
abril 2015
OU FÓRMULA DE MOIVRE GENERALIZADA
Considera, no plano complexo, o pentágono [ABCDE] inscrito
numa circunferência de raio 1 e centro na origem do
referencial, representado na figura.
1. Determina z.
2. Representa na forma trigonométrica o
número complexo:
2.1. cuja imagem é A;
2.2. cuja imagem é D;
2.3. em que a imagem do conjugado é C.
29
abril 2015