Funções trigonométricas Um som puro pode ser descrito por uma função da forma: 𝑓 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝑡 𝑇 …. Muitos fenómenos da vida real repetem-se regularmente, tais como a variação da altura das marés, as fases da Lua, a duração do período diurno, o movimento de translação da Terra em torno do Sol, o batimento do coração, o movimento dos ponteiros do relógio … Estes fenómenos designam-se por FENÓMENOS PERIÓDICOS. Uma função 𝑓 diz-se periódica de período 𝑷 ou 𝑷 −periódica se e só se existir um número 𝑃 > 0 tal que: • 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ⟹ (𝑥 + 𝑃) ∈ 𝐷𝑓 • 𝑓(𝑥 + 𝑃) = 𝑓(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 Se 𝑓 é periódica de período 𝑃 e se não houver nenhum número positivo 𝑃’ menor que 𝑃 tal que 𝑓 seja periódica de período 𝑃’, diz-se que 𝑃 é o período positivo mínimo ou período fundamental de 𝑓. Exercício Dada uma função real de variável real f de domínio IR, sabe-se que: . é periódica; . O período positivo mínimo é 3; .𝑓 6 =7 . 𝑓 −1 = 2 Indica o valor de: a) 𝑓 2 b) 𝑓(12) c) 𝑓(3) Função Seno Chama-se função seno, e representa-se por 𝐬𝐞𝐧 ou 𝐬𝐢𝐧, a função real de variável real que a cada número real 𝑥 faz corresponder o seno de um ângulo generalizado de amplitude igual a 𝑥 radianos. 𝒙 ↦ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 Propriedades Domínio: ℝ 𝟏 Contradomínio: −𝟏, 𝟏 −1 ≤ sen 𝑥 ≤ 1 Período fundamental: 𝟐𝝅 sen 𝑥 + 2𝜋 = sen 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ Zeros: 𝒙 = 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ sen 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ Expressão geral dos zeros −𝟏 Propriedades Máximo: 𝟏 Maximizantes: 𝒙 = 𝝅 𝟐 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ 𝟏 𝜋 2 𝜋 sen 𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 2 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ Expressão geral dos maximizantes Mínimo: −𝟏 Minimizantes: 𝒙 = sen 𝑥 = −1 ⟺ 𝑥 = 𝟑𝝅 + 𝟐 3𝜋 2 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ Expressão geral dos minimizantes Paridade: Função ímpar sen −𝑥 = −sen 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ −𝟏 3𝜋 2 Gráfico da função seno Funções trigonométricas inversas Função arco-seno A seguinte restrição da função seno é uma função bijetiva: 𝜋 𝜋 𝑓: − , 2 2 𝑥 → ↦ −1, 1 sen 𝑥 A função inversa de 𝑓 chama-se função arco-seno e representa-se por arcsen ou arcsin: 𝑓 −1 : −1, 1 𝑥 → ↦ 𝜋 𝜋 − , 2 2 arcsen 𝑥 𝜋 𝜋 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ −1, 1 𝑒 𝑦 ∈ − , : arcsinx = y ⇔ 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑦 2 2 Funções trigonométricas inversas Função arco-seno Exemplos: • arcsen 1 2 = 𝜋 6 Repara que sen • arcsen − 3 2 𝜋 6 1 = 2. 𝜋 = −3 𝜋 Repara que sen − 3 = − • arcsen 1 = 3 . 2 𝜋 2 Repara que sen • arcsen −1 = − 𝜋 2 = 1. 𝜋 2 𝜋 Repara que sen − 2 = −1 . Função Cosseno Chama-se função cosseno, e representa-se por 𝐜𝐨𝐬, a função real de variável real que a cada número real 𝑥 faz corresponder o cosseno de um ângulo generalizado de amplitude igual a 𝑥 radianos. 𝒙 ↦ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 Propriedades Domínio: ℝ Contradomínio: −𝟏, 𝟏 −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1 Período fundamental: 𝟐𝝅 cos 𝑥 + 2𝜋 = cos 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ Zeros: 𝒙 = 𝝅 𝟐 + 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ 𝜋 cos 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ Expressão geral dos zeros −𝟏 𝟏 Propriedades Máximo: 𝟏 Maximizantes: 𝒙 = 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ cos 𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 𝟏 Expressão geral dos maximizantes Mínimo: −𝟏 Minimizantes: 𝒙 = 𝝅 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ 𝜋 −𝟏 cos 𝑥 = −1 ⟺ 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ Expressão geral dos minimizantes Paridade: Função par cos −𝑥 = cos 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ Gráfico da função cosseno Funções trigonométricas inversas Função arco-cosseno A seguinte restrição da função cosseno é uma função bijetiva: 𝑔: 0, 𝜋 𝑥 → ↦ −1, 1 cos 𝑥 A função inversa de 𝑔 chama-se função arco-cosseno e representa-se por arccos: 𝑔−1 : −1, 1 𝑥 → ↦ 0, 𝜋 arccos 𝑥 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ −1, 1 𝑒 𝑦 ∈ 0, 𝜋 : arccosx = y ⇔ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑦 Funções trigonométricas inversas Função arco-cosseno Exemplos: • arccos 1 2 = 𝜋 3 Repara que cos • arccos − 3 2 = Repara que cos 𝜋 3 1 = 2. 5𝜋 6 5𝜋 6 =− • arccos 1 = 0 Repara que cos 0 = 1 . • arccos −1 = 𝜋 Repara que cos 𝜋 = −1 . 3 . 2 Função Tangente Chama-se função tangente, e representa-se por 𝐭𝐚𝐧 ou 𝐭𝐠 , a função real de variável real que a cada número real 𝑥 faz corresponder a tangente de um ângulo generalizado de lados não perpendiculares e de amplitude igual a 𝑥 radianos. 𝒙 ↦ 𝐭𝐠 𝒙 Propriedades Domínio: ℝ\ 𝒙: 𝒙 = 𝝅 + 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ 𝟐 Contradomínio: ℝ Período fundamental: 𝝅 𝜋 tg 𝑥 + 𝜋 = tg 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ\ 𝑥: 𝑥 = 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ Zeros: 𝒙 = 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ tg 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ Expressão geral dos zeros Propriedades Maximizantes e minimizantes: Não tem Paridade: Função ímpar t𝑔 −𝑥 = − tg 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ Gráfico da função tangente Funções trigonométricas inversas Função arco-tangente A seguinte restrição da função tangente é uma função bijetiva: 𝜋 𝜋 ℎ: − , 2 2 𝑥 → ℝ ↦ tg 𝑥 A função inversa de ℎ chama-se função arco-tangente e representa-se por arctg: ℎ−1 : ℝ → 𝑥 ↦ 𝜋 𝜋 − , 2 2 arctg 𝑥 𝜋 𝜋 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ ℝ 𝑒 𝑦 ∈ − , : arctanx = y ⇔ 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑦 2 2 Funções trigonométricas inversas Função arco-tangente Exemplos: • arctg 1 = 𝜋 4 Repara que tg 𝜋 4 = 1. • arctg 0 = 0 Repara que tg 0 = 0 . • arctg − 3 3 𝜋 = −6 𝜋 Repara que tg − 6 = − 3 . 3