PPT 3 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS PARTE 1 Ficheiro

Funções
trigonométricas
Um som puro pode ser descrito por uma função da forma:
𝑓 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛
2𝜋
𝑡
𝑇
….
Muitos fenómenos da vida real repetem-se regularmente, tais como a variação
da altura das marés, as fases da Lua, a duração do período diurno, o movimento
de translação da Terra em torno do Sol, o batimento do coração, o movimento dos
ponteiros do relógio …
Estes fenómenos designam-se por FENÓMENOS PERIÓDICOS.
Uma função 𝑓 diz-se periódica de período 𝑷 ou 𝑷 −periódica se e só se
existir um número 𝑃 > 0 tal que:
• 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ⟹ (𝑥 + 𝑃) ∈ 𝐷𝑓
• 𝑓(𝑥 + 𝑃) = 𝑓(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓
Se 𝑓 é periódica de período 𝑃 e se não houver nenhum número
positivo 𝑃’ menor que 𝑃 tal que 𝑓 seja periódica de período 𝑃’, diz-se
que 𝑃 é o período positivo mínimo ou período fundamental de 𝑓.
Exercício
Dada uma função real de variável real f de domínio IR, sabe-se que:
. é periódica;
. O período positivo mínimo é 3;
.𝑓 6 =7
. 𝑓 −1 = 2
Indica o valor de:
a) 𝑓 2
b) 𝑓(12)
c) 𝑓(3)
Função Seno
Chama-se função seno, e representa-se por 𝐬𝐞𝐧 ou 𝐬𝐢𝐧, a função real de
variável real que a cada número real 𝑥 faz corresponder o seno de um
ângulo generalizado de amplitude igual a 𝑥 radianos.
𝒙 ↦ 𝐬𝐞𝐧 𝒙
 Propriedades
Domínio: ℝ
𝟏
Contradomínio: −𝟏, 𝟏
−1 ≤ sen 𝑥 ≤ 1
Período fundamental: 𝟐𝝅
sen 𝑥 + 2𝜋 = sen 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ
Zeros: 𝒙 = 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
sen 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Expressão geral dos zeros
−𝟏
 Propriedades
Máximo: 𝟏
Maximizantes: 𝒙 =
𝝅
𝟐
+ 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
𝟏
𝜋
2
𝜋
sen 𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 2 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Expressão geral dos maximizantes
Mínimo: −𝟏
Minimizantes: 𝒙 =
sen 𝑥 = −1 ⟺ 𝑥 =
𝟑𝝅
+
𝟐
3𝜋
2
𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Expressão geral dos minimizantes
Paridade: Função ímpar
sen −𝑥 = −sen 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ
−𝟏 3𝜋
2
 Gráfico da função seno
Funções trigonométricas inversas
 Função arco-seno
A seguinte restrição da função seno é uma função bijetiva:
𝜋 𝜋
𝑓: − ,
2 2
𝑥
→
↦
−1, 1
sen 𝑥
A função inversa de 𝑓 chama-se função arco-seno e representa-se por
arcsen ou arcsin:
𝑓 −1 : −1, 1
𝑥
→
↦
𝜋 𝜋
− ,
2 2
arcsen 𝑥
𝜋 𝜋
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ −1, 1 𝑒 𝑦 ∈ − , : arcsinx = y ⇔ 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑦
2 2
Funções trigonométricas inversas
 Função arco-seno
Exemplos:
• arcsen
1
2
=
𝜋
6
Repara que sen
• arcsen −
3
2
𝜋
6
1
= 2.
𝜋
= −3
𝜋
Repara que sen − 3 = −
• arcsen 1 =
3
.
2
𝜋
2
Repara que sen
• arcsen −1 = −
𝜋
2
= 1.
𝜋
2
𝜋
Repara que sen − 2 = −1 .
Função Cosseno
Chama-se função cosseno, e representa-se por 𝐜𝐨𝐬, a função real de
variável real que a cada número real 𝑥 faz corresponder o cosseno de um
ângulo generalizado de amplitude igual a 𝑥 radianos.
𝒙 ↦ 𝐜𝐨𝐬 𝒙
 Propriedades
Domínio: ℝ
Contradomínio: −𝟏, 𝟏
−1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1
Período fundamental: 𝟐𝝅
cos 𝑥 + 2𝜋 = cos 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ
Zeros: 𝒙 =
𝝅
𝟐
+ 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
𝜋
cos 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Expressão geral dos zeros
−𝟏
𝟏
 Propriedades
Máximo: 𝟏
Maximizantes: 𝒙 = 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
cos 𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
𝟏
Expressão geral dos maximizantes
Mínimo: −𝟏
Minimizantes: 𝒙 = 𝝅 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
𝜋
−𝟏
cos 𝑥 = −1 ⟺ 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Expressão geral dos minimizantes
Paridade: Função par
cos −𝑥 = cos 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ
 Gráfico da função cosseno
Funções trigonométricas inversas
 Função arco-cosseno
A seguinte restrição da função cosseno é uma função bijetiva:
𝑔: 0, 𝜋
𝑥
→
↦
−1, 1
cos 𝑥
A função inversa de 𝑔 chama-se função arco-cosseno e representa-se
por arccos:
𝑔−1 : −1, 1
𝑥
→
↦
0, 𝜋
arccos 𝑥
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ −1, 1 𝑒 𝑦 ∈ 0, 𝜋 : arccosx = y ⇔ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑦
Funções trigonométricas inversas
 Função arco-cosseno
Exemplos:
• arccos
1
2
=
𝜋
3
Repara que cos
• arccos −
3
2
=
Repara que cos
𝜋
3
1
= 2.
5𝜋
6
5𝜋
6
=−
• arccos 1 = 0
Repara que cos 0 = 1 .
• arccos −1 = 𝜋
Repara que cos 𝜋 = −1 .
3
.
2
Função Tangente
Chama-se função tangente, e representa-se por 𝐭𝐚𝐧 ou 𝐭𝐠 , a função real
de variável real que a cada número real 𝑥 faz corresponder a tangente de
um ângulo generalizado de lados não perpendiculares e de amplitude igual
a 𝑥 radianos.
𝒙 ↦ 𝐭𝐠 𝒙
 Propriedades
Domínio: ℝ\ 𝒙: 𝒙 =
𝝅
+ 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
𝟐
Contradomínio: ℝ
Período fundamental: 𝝅
𝜋
tg 𝑥 + 𝜋 = tg 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ\ 𝑥: 𝑥 = 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Zeros: 𝒙 = 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
tg 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Expressão geral dos zeros
 Propriedades
Maximizantes e minimizantes: Não tem
Paridade: Função ímpar
t𝑔 −𝑥 = − tg 𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ
 Gráfico da função tangente
Funções trigonométricas inversas
 Função arco-tangente
A seguinte restrição da função tangente é uma função bijetiva:
𝜋 𝜋
ℎ: − ,
2 2
𝑥
→
ℝ
↦
tg 𝑥
A função inversa de ℎ chama-se função arco-tangente e representa-se
por arctg:
ℎ−1 : ℝ
→
𝑥
↦
𝜋 𝜋
− ,
2 2
arctg 𝑥
𝜋 𝜋
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ ℝ 𝑒 𝑦 ∈ − , : arctanx = y ⇔ 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑦
2 2
Funções trigonométricas inversas
 Função arco-tangente
Exemplos:
• arctg 1 =
𝜋
4
Repara que tg
𝜋
4
= 1.
• arctg 0 = 0
Repara que tg 0 = 0 .
• arctg −
3
3
𝜋
= −6
𝜋
Repara que tg − 6 = −
3
.
3