Transformação Linear

Transformação Linear
Definição: Sejam U e V dois espaços
vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação)
é denominada Transformação Linear de
U em V se:
a) T
u1  u2   T u1   T u2  , u1, u2 U
b) T
u1   T u1  ,   R, u1  U
Obs: Se U  V então a transformação
linear é chamada de Operador Linear.
Exemplos
1) Transformação Linear Nula
2) Operador Linear Identidade
3)
T : U  V tal que
T  u    u,   R fixo, u  U
4)
T : R  R dada por
T  x, y    2 x,0, x  y 
5)
2
3
T : Pn  R   Pn  R 
definida por
f
T  f  x    f ´ x  
x
Contra - Exemplo
T :RR
definida por
T  x   x , x  R
2
pois temos que:
T  u1  u2    u1  u2   u  2u1u2  u2
2
T  u1   T  u2   u  u2
2
1
2
1
2

2
Propriedades
Sejam dois espaços vetoriais reais e
uma transformação linear entre eles.
Então:
P1)
T  0  0
P2) T  u   T  u  , u U
P3) T
u  v   T u   T v  , u, v U
Propriedades
P4) Se W é um subespaço de U , então
a imagem de W pela transformação
linear é um subespaço vetorial de U ,
isto é, T  W é subespaço vetorial real.
 n
 n
P5) T  iui   iT  ui 
 i 1
 i 1
Propriedades
P6) Sejam U e V espaços vetoriais reais
e B u1 , u2 ,..., un  uma base de U .
Dados v1 , v2 ,..., vn vetores arbitrários de V ,
existe uma transformação linear tal que:
T :U V
e
T  u1   v1 ,T  u2   v2 ,..., T  un   vn
Núcleo e Imagem
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais
e uma transformação linear entre eles,
denomina-se Núcleo da Transformação o
subconjunto do domínio da função dado
por:
ker(T )  N (T )  u  U T (u )  0
Núcleo e Imagem
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais
e uma transformação linear entre eles,
denomina-se Imagem da Transformação
o subconjunto do contra-domínio da função
dado por:
Im(T )  v  V u  U onde T (u )  v
Exercícios
Exercício 01: Verificar se as funções
abaixo são transformações lineares e
determinar seus núcleos e imagens:
a) T : R2  R dada por T  x, y   2 x  3 y
b)
T : P2  R   R definida por
3
T  a2 x 2  a1 x  a0    2a1  a0 , a2  a1 ,3  a0 
c)
 2x
T : R  M2  R  tal que T  x, y   
y
2
x  y
x 
Núcleo e Imagem
Proposição: Dada uma transformação
linear, temos que:
1. O núcleo da transformação é um
subespaço vetorial do domínio da
função.
2. A imagem da transformação é um
subespaço vetorial do contra-domínio
da função.
Recordando
Definição: Uma função do conjunto A no
conjunto B é dita:
1. Injetora se:
a1 , a2  A, a1  a2 então F (a1 )  F (a2 )
ou seja, a1 , a2  A, F  a1   F  a2   a1  a2
2.
Sobrejetora se:
b  B, a  A tal que F  a   b
ou seja, Im  F   B.
Recordando
Definição: Uma função do conjunto A no
conjunto B é dita bijetora se é injetora
e sobrejetora simultâneamente.
Teoremas
Proposição: Uma transformação linear é
injetora se e somente se N T   0 .
Teorema do Núcleo e da Imagem: Dados
dois espaços vetoriais reais de dimensão
finita. Dada uma transformação linear
entre eles, então:
dim  U   dim  N T    dim  Im T  
Resultados Importantes
Proposição: Dada uma transformação
linear, temos que se
U  u1 , u2 ,..., un  então
Im T   T  u1  ,T  u2  ,...,T  un 
Resultados Importantes
Corolário: Dada uma transformação
linear de espaços vetoriais de dimensão
iguais. Então as afirmações abaixo são
equivalentes:
(1) É sobrejetora
(2) É bijetora
(3) É injetora
(4) Transforma base do domínio em
base do contradomínio.
Isomorfismo
Definição: Dados dois espaços vetoriais
reais e uma transformação linear de
entre eles. Dizemos que a transformação
linear é um isomorfismo entre eles se é
uma transformação bijetora (isto é,
injetora e sobrejetora).
Notação:
U  V~
Automorfismo
Definição: Dizemos que um isomorfismo
entre espaços vetoriais reais é um
automorfismo se os espaços são
iguais, ou seja, T é um isomorfismo de
um espaço nele mesmo.
Proposição: Dado um isomorfismo sua
transformação inversa é também um
isomorfismo.
Resultados Importantes
Proposição: Dados dois espaços
vetoriais reais de mesma dimensão,
então a transformação linear dada a
seguir é um isomorfismo entre eles.


T   iui    i vi ,
 i 1
 i 1
onde ui pertence a base de U e
n
n
vi pertence a base de V
Resultados Importantes
Teorema: Dois espaços vetoriais de
dimensão finita são isomorfos se e
somente se
dim  U   dim  V 
Exercícios: Transformações Lineares