UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Aula04 - Modelagem da Histerese Magnética Jean Vianei Leite Maio de 2010. Modelo de Jiles-Atherton Obtido a partir de considerações físicas; Baseado em equações diferenciais; Baixo esforço implementação; computacional e fácil Conjunto de parâmetros relativamente baixo; Pode ser diretamente empregado no MEF com formulação em potencial vetor magnético. Modelo de Jiles-Atherton Laços medido e calculado Modelo de Jiles-Atherton – Laços Menores Laço experimental Laço Calculado Jiles-Atherton – Laços Internos Laços Medidos e calculados Modelo Escalar de Preisach Modelo proposto pelo físico alemão Frederick Preisach em 1935. Estabelece uma relação entre a magnetização M e o campo H. Supõe que o material é composto por um número finito de unidades elementares magnéticas biestáveis. A magnetização total é calculada pela soma das contribuições elementares. Modelo Escalar de Preisach • Cada unidade elementar (histeron) possui uma forma retangular cíclica, função do campo H Campos de chaveamentos a e b Modelo Escalar de Preisach Se Hsat representa o campo magnético de saturação e Msat a correspondente magnetização de saturação, quando H>Hsat, todos os histerons estão positivos e a magnetização é M=Msat. Por outro lado, se H<Hsat, todos os histerons estão negativos e a magnetização é M = -Msat. Das considerações anteriores temos: a H sat b H sat Plano de Preisach ou Triângulo de Preisach • Como a histerese é energeticamente dissipativa: a b • Com as condições anteriores define-se o plano de Preisach como: Cada par (a,b), caracterizando um histeron deve pertencer a este triângulo. Plano de Preisach • Um material ferromagnético é então determinado por uma distribuição estatística p(a,b) dos campos de chaveamento (a,b) pertencente ao triângulo. • p(a,b) é também chamada de função de densidade de Preisach. • A magnetização total é calculada por M ( H ) M sat p(a, b) a,bdadb Plano de Preisach O estado desmagnetizado é representado pela linha b = - a. O triângulo fica dividido em duas superfícies iguais S+ e S-. S+ é a região do plano onde os pares (a,b) tais que a , b 1 S- é a região do plano onde os pares (a,b) tais que a , b 1 Modelo de Preisach • Para qualquer estado magnético do sistema o triângulo é dividido entre duas superfícies S+ e S- separadas por uma linha descontínua. A magnetização é dada pela integral sobre as duas superfícies S+ e S- . M ( H ) M sat p(a, b)dadb p(a, b)dadb S S Modelo de Preisach • O estado magnético do sistema é completamente caracterizado pela linha descontínua. • A linha descontínua é chamada de vetor histórico, h, do material e contém informações sobre a divisão do triângulo e os pontos de inversão da excitação. • O vetor histórico deve verificar as seguintes condições: H0 0 h H 0 , H1, H 2 , H3 , H n ( Hi Hi 1 )( Hi 1 Hi ) 0 for i 1, , n 1 Hi Hi 1 Hi 1 Hi Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h • Considerando o material desmagnetizado, o vetor h possui somente o ponto inicial H = 0. h 0 Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h • Com o crescimento de H, os histerons possuindo a menor do que H são chaveados para a posição +1. No plano de Preisach isso é representado pelo crescimento da linha vertical a = H1. h 0, H1 Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h • Se o campo continua aumentando até H2 = Hsat todos os histerons alcançam a e o triângulo de Preisach é totalmente S+. h 0, H2 Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h • Se o campo começa a decrescer, os histerons cujo b é maior do que H chaveiam para o seu estado negativo. • O processo é representado pelo crescimento da linha horizontal b = H3. h 0, H 2 , H3 Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h • Se o campo atinge o valor de saturação negativo o plano de Preisach é totalmente S-. h 0, H 2 , H5 Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h • Se o campo torna a crescer, os histerons tenderão a atingir a saturação positiva novamente. A linha vertical a = H6 aparece no plano. h 0, H 2 , H 5 , H 6 Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h • Se o campo decresce novamente antes de atingir a saturação, um laço menor pode ser criado. No nosso exemplo H6 varia até H7 (surgimento da linha b = H7) h 0, H 2 , H 5 , H 6 , H 7 Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h • Se H retorna para H6 o laço menor é completo. • Continuando a evolução de H, H6 desaparece de h. Esta é a maneira que o modelo de Preisach consegue representar os laços menores. h 0, H 2 , H 5 , H 7 Note que somente os pontos de inversão são mantidos em h. Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais • A condição para se modelar um material usando Preisach é conhecer a função densidade do mesmo. • Muitos métodos são propostos na literatura para a identificação da mesma através de dados experimentais. • Esses métodos requerem integrações e derivações o que pode introduzir erros e instabilidade numérica na utilização do modelo. p a, b 2 1 2 2 1 c 2 H 0 arctg 1 a b H 0 1 a b H 0 c H 2 c 0 c H0 Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais • Outro método de caracterização é através da função de Everett: – A partir de um ciclo centrado medido de amplitude Hm, para o braço descendente da curva, a magnetização pode ser escrita como: E Hm , H M Hm M H 2 Ver obtenção da eq. anterior na minha tese Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais • Para um conjunto de ciclos centrados, as curvas de Everret podem ser obtidas para diversos níveis de indução ou campo magnético. • Usualmente são usadas entre 15 e 20 curvas medidas para caracterizar o material. • É necessário determinar a função de Everett para todos os pares (H, Hm). Essa tarefa é realizada utilizando um método de interpolação entre as curvas o qual deve verificar a continuidade da função de Everett. • Expressões para interpolação encontram-se detalhadas na literatura. Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais • Função de Everett para um material ferromagnético projetada sobre o triângulo de Preisach. Modelo de Preisach • O modelo apresentado possui como variável independente o campo magnético H. As mesmas considerações são válidas para o caso onde a indução B é a variável independente. • Com B como variável independente , a metodologia se mantém inalterada, entretanto uma nova função de Everett deve ser obtida e o método de interpolação também é outro para evitar instabilidade numérica. • A necessidade de funções de Everett diferentes para caracterização do material a ser modelado com Preisach é um desvantagem do mesmo em relação ao modelo de Jiles-Atherton onde um único conjunto de parâmetros caracteriza o material independente da variável independente considerada. • Convém destacar que a função de Everett possibilita o cálculo da magnetização total sem a necessidade de integração e derivação numérica simplificando de maneira significativa a utilização do modelo. Atividade