Aula

Matemática
Administração - UFMT
Modalidade – Educação a Distância
Capitulo 1 - Conjuntos
 Introdução
 Subconjuntos
 Operações Envolvendo Conjuntos
 Conjunto das Partes de um Conjunto
 Produto Cartesiano
Objetivo do Capítulo
 Reconhecer o que é um Conjunto e um
subconjunto
 Conhecer alguns conjuntos específicos
 Saber realizar operações com conjuntos
Introdução
 Conceito:


Conjunto é uma coleção de objetos de qualquer tipo.
Exemplo



Pessoas residentes no Mato Grosso do Sul
Números inteiros entre 1 e 100.
Numeros reais entre 0 e 1.
 Nomenclatura




Designamos conjuntos por letras maiúsculas: A, B, C...
Os elementos do conjunto são representados por letras minúsculas: a,
b, c...
Conjuntos são apresentados entre chaves.
Exemplo: A = {a,b,c}
Introdução
 Relação de Pertinência

Elemento e conjunto

a A, x  A.
 Formas de designar um conjunto

Listar explicitamente os elementos


A = { 2, 4, 6 }
Designar uma propriedade que permita identificar quem
é e, quem não é elemento

A = { x | x é impar }
Introdução
 Um conjunto que não possui elementos
será denominado Conjunto Vazio e
representado por .
Subconjuntos
 Subconjuntos
 Sejam A e B dois conjuntos tal que todo
elemento de A pertence a B. Quando isto ocorre
dizemos que A é subconjunto de B, isto é,
A  B  x A x  B
leia-se: o conjunto A esta contido no conjunto B
(é subconjunto de B), é equivalente a afirmar
que todo elemento pertencente ao conjunto A
pertence ao conjunto B
Subconjuntos
 Subconjuntos




Exemplos:
{0,1}  {0, 1, 2, 3}
{0, 1}  {0, 1}
{0, 2}  {0, 1, 3, 5}
 Obs1: Se A  B também dizemos que B  A
Se o conjunto A esta contido no B, então o conjunto B contém o conjunto A.
 Obs 2: O conjunto vazio esta contido em qualquer conjunto
Subconjuntos
 IMPORTANTISSIMO

O símbolo  relaciona elemento e conjunto.

O símbolo  relaciona dois conjuntos.
Assim dizemos que 1 {0, 1, 2, 3} e que
{1}  {0, 1, 2, 3}
Subconjuntos
 Admitiremos a existência de um conjunto
que contém todos os elementos com os quais
estamos trabalhando. Denominaremos este
conjunto de Conjunto Universo e
representaremos pela letra E.
Subconjuntos
 Dizemos que o conjunto A e o conjunto B
são iguais se, e somente se, todo elemento de
A estiver em B, e todo elemento de B estiver
em A.
A=BABeBA
Diagrama de Venn (A  B)
Operações Envolvendo Conjuntos
 Intersecção de conjuntos
Sejam P e Q conjuntos de um universo E. A intersecção de P e
Q é o conjunto de elementos de E que pertencem
simultaneamente a P e Q.
P  Q = { xE / x  P e x  Q}
 Exemplo: P ={1,2,3,4} e Q={3,4,5,6} P  Q = {3,4}
 Em geral, se A  B  A  B= A
 A=, AE=A e AA=A, para todo conjunto A ( A)
 Quando AB=, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos
Operações Envolvendo Conjuntos
 União de conjuntos
Sejam P e Q conjuntos de E. A união entre P e Q é o conjunto
de elementos de E que pertencem a P ou a Q (isto é, a pelo
menos um dos conjuntos) e é denotado por:
P  Q = {xE / x  P ou x  Q}
 Exemplo: P ={1,2,3,4} e Q={3,4,5,6} P  Q = {1,2,3,4,5,6}
 Em geral, se A  B  A  B = B
   A=A, A  E=E e AA=A, para todo conjunto A ( A)
Operações Envolvendo Conjuntos
 Complementar de um Conjunto
Seja um conjunto P contido num universo E. Chama-se
complementar de um conjunto P o conjunto de elementos de
E que não pertencem a P, denotado por:
PC = {x / x E e x  P}
A  AC = E, A  AC =  (A e AC são disjuntos) e (AC)C=A
(isto é, o complementar do complementar é o próprio
conjunto), para todo conjunto A. EC =  e  C =E
Exemplo: A= {1,2,3} e E={1,2,3,4,5}  Ac={4,5}
Operações Envolvendo Conjuntos
 Diferença de Conjuntos
 Sejam dois conjuntos P e Q contidos num universo E. A
diferença entre P e Q é o conjunto dos elementos que
pertencem a P e não pertencem a Q, denotado por:
P – Q = { x  E / x  P e x  Q}
Ou ainda que P – Q = P  Qc
Exemplo:
P={1,2,3,4} , Q={3,4,5} então P-Q={1,2}
Conjunto das Partes de um
Conjunto
 Definição
Trata-se do conjunto de subconjuntos de um conjunto A, denotado por P(A).
“ Se um conjunto tem n elementos, então seu conjunto de partes tem 2n
elementos ”
 Exemplo
Seja A={1,2}. Daí P(A)={{1},{2},{1,2},}. Vemos que A tem dois
elementos e P(A) = 22 = 4.
Seja B={1,2,3}.Daí P(B)={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, }. B tem
3 elementos e P(B) tem 23 = 8 elementos.
Produto Cartesiano
 Par Ordenado

Seja o ponto P(4,3) no plano, isto é, a abscissa de
P é 4 e a ordenada de P é 3, diferente do ponto
(3,4), neste caso, a ordem dos elementos faz
diferença.
“ Assim o par (a,b) é denominado para ordenado ”
Produto Cartesiano
 Definição
Sejam dois conjuntos A e B. O produto cartesiano de A por
B é o conjunto dos pares ordenados tal que os primeiros
elementos pertencem a A e os segundos elementos a B, e é
denotado por:
 Representação
A x B = {(x, y) / x  A e y  B}
 Exemplo
A={1,2} e B={4,5} então A x B={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)},
Importantíssimo: A x B  B x A
Capitulo 2 – Conjuntos
Numéricos









Números Naturais
Números Inteiros
Números Racionais
Números Reais
Equações do Primeiro Grau
Inequações do Primeiro Grau
Equações do Segundo Grau
Intervalos
Módulo ou Valor Absoluto
Objetivos do Capitulo
 Reconhecer os principais conjuntos
numéricos que existem;
 Saber resolver equações e inequações de
primeiro e segundo grau;
 Operar com intervalos da reta
 Entender o conceito de valor absoluto ou
módulo de um número
Números Naturais
 Conjunto dos Números Naturais
N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}


Ao somarmos ou multiplicarmos dois números
naturais o resultado é um número natural, por isso
dizemos que o conjunto dos números naturais é
fechado para as operações de soma e multiplicação.
Isto não ocorre para a operação de subtração, por
exemplo: 1 N, 3  N , porém 1 – 3 = -2 N.
Números Inteiros
 Conjunto dos Números Inteiros
Z={. . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}


Veja que ao somarmos, multiplicarmos, ou subtrairmos,
dois números inteiros, o resultado continua sendo um
numero inteiro, por isso o conjunto dos números inteiros
é fechado para estas operações.
Isto não ocorre para a operação de divisão, por exemplo:
-3  Z, -4  Z , porém –3/-4  Z
Números Racionais
 Conjunto dos Números Racionais
a
Q  { | a  Z , b  Z , b  0}
b
Todo número racional pode ser representado sob a forma decimal e sua
representação é infinita e periódica.
N* N  Z Q
N* é a designação do Conjunto dos números naturais sem o zero.
Números Reais
 O conjunto dos números reais (R)
R = Q I
onde I é o conjunto dos números irracionais
Todo número irracional pode ser representado sob a forma decimal infinita
porém a sua representação não pode ser periódica.
Exemplo:
2  1,41421356...
Toda raiz quadrada de numero inteiro cujo resultado não é
um inteiro, é um número irracional.
Equação do
o
1
Grau
 Definição
É toda equação que pode ser reduzida à forma
a .x = b
em que a e b são números reais com a  0.
 A solução da equação é obtida dividindo-se ambos os lados
da equação por a.
 E então o valor b é a solução, ou raiz, do problema.
a
Equação do
o
1
Grau
 Exemplo:
O custo mensal de produção de x camisas de uma fábrica é
C=5000+15x. Qual a quantidade mensal produzida sabendo-se que o
custo mensal é $8000?
Solução:
8.000  5.000  15 x
8.000  5.000  15 x
3.000  15 x
3.000
x
 200
15
Inequação do
o
1
Grau
 São desigualdades que podem ser reduzidas a uma
das seguintes formas
a . x > b ou a . x  b
ou
a . x < b ou a . x  b
em que a e b são números reais com a  0.
 A resolução da desigualdade é similar ao das
equações de 1o grau, porém quando a inequação é
dividia ou multiplicada por um valor negativo, o
sentido da desigualdade muda.
Inequação do
o
1
Grau
 Exemplo 1:Resolva a inequação 3 (x - 4) > x + 2
3( x  4)  x  2
3 x  12  x  2
3 x  x  2  12
2 x  14
x7
O conjunto solução é
S = {x R | x > 7 }
Inequação do
o
1
Grau
 Exemplo 2:Resolva a inequação 2(x - 1) > 5x + 3
2( x  1)  5 x  3
2x  2  5x  3
2 x  5x  3  2
 3x  5
5
x
3
O conjunto solução é
S = {x R | x > -5/3 }
Equação do
o
2
Grau
 Definição
É toda equação que pode ser reduzida à forma
a  x2  b  x  c  0
em que a, b e c são números reais com a  0.
Onde a solução é dada por:
b 
x
2a
onde   b 2  4ac
Equação do
o
2
Grau
 Assim, o número de soluções da equação do
2o Grau depende do valor de .
 Se  < 0 , a equação não admite solução real
 Se  = 0, a equação admite uma solução real
 Se  > 0, a equação admite duas soluções
reais.
Equação do
o
2
Grau
 Exemplo2
x  4x  3  0
a  1; b  4 e c  3
  b 2  4  a  c  (4) 2  4 1 3  16  12  4
Como   0, temos duas soluções
 (4)  4 4  2 6
x

  3 ou
2 1
2
2
S  {1,3}
2
1
2
Intervalos
 Sejam os números reais a e b tais que a < b.
 Os seguintes intervalos são definidos:

Intervalo aberto: ] a, b [ = {x  R | a < x < b}

Intervalo fechado: [ a, b ] = {x / a x b}

Intervalo semi-aberto à esquerda: ] a, b ] = {x / a < x b}

Intervalo semi-aberto à direita: [ a, b [ = {x / a x < b}
Intervalos

















Sejam os números reais a e b tais que a < b.
Os seguintes intervalos são definidos:
Intervalo aberto: ] a, b [ = {x / a < x < b}
Intervalo fechado: [ a, b ] = {x / a x b}
Intervalo semi-aberto à esquerda: ] a, b ] = {x / a < x b}
Intervalo semi-aberto à direita: [ a, b [ = {x / a x < b}
Intervalo aberto de a até infinito: ] a, [ = {x / x > a}
Intervalo fechado de a até infinito: [ a, [ = {x / x a}
Intervalo aberto de menos infinito até b: ] -, b [ = {x / x < b}
Intervalo fechado de menos infinito até b: ] -, b ] = {x / x b}