determinantes

Determinantes
Determinante é um número real associado a uma matriz
quadrada.
Notação: det A ou |A|.
Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem.
Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o
próprio elemento a11.
A = ( 3 ) , logo | A | = 3
Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Seja a matriz de 2ª ordem:
A=
a11
a12
a21
a22
- (a12 ·
a )
O determinante associado à matriz A é o
número real obtido pela diferença entre o
produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária.
a11
a12
a21
a22
= a11 · a22 – a12 · a21
a11 · a22
Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Ex: 1)
7 2 
A

3 5
7 2
3 5
-
= 7.5 - 2.3 = 29
+
Ex: 2)
2 3
 2.10  3.6  20  18  2
6 10
Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem.
Neste caso utilizamos um processo prático chamado
Regra de Sarrus.
Ex: 1)
2 1 3 2 1
5 2 1 5 2
3 1 4 3 1
16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28
Ex: 2)
10 0 1 10 0
6 2 0 6 2
2 1 1 0 1
20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
1 3 5
Ex: 1) 2  9 8  0
0 0 0
1 0 5
2) 2 0 8  0
5 0 16
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
3)
1
2
9
0
8
1
3
2
1
2
9
0

8
1
9
9
6
3
4)  1 0  2  0
4 8 8
0
L1  L 3
2.C1  C 3
• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
1 6 9
5) 3 5 0  0
4 11 9
L1  L 2  L 3
1
3
5
0
6) 3
0
1
7
9
7
7
8
0
2.C1  C 2  C 3
7 5 9 0
• Quando uma das filas é a combinação linear de outras
filas paralelas.
Outras propriedades:
2 3
 18  12  6
Ex: 1)
4 9
a b c
2) Se x y z  10 ,
r s t
2 4
 18  12  6
3 9
a
então b
c
• det(A)=det(At)
x r
y s  10
z t
Outras propriedades:
2 0 0
5 3 0  2.3.7  42
7 9 7
Ex: 1)
2 7 8 0
2)
0
5 8 6
0
0 3 5
0
0 0 2
 2.5.3.2  60
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao
produto dos elementos da diagonal principal
Outras propriedades:
Ex: 1)
2 5
 18  15  3
3 9
a b c
2) Se x y z  5,
r s t
5 2
 15  18  3
9 3
r s t
então x y z  5
a b c
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o
determinante troca de sinal
Outras propriedades:
Ex: 1)
2 3
6
4 9
5.2 3
 5.6  30
5.4 9
a b c
a
b
c
2)Se x y z  10 , então 7.x 7. y 7.z  7.10  70
r s t
r
s
t
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o
determinante também fica multiplicado por esse no
Outras propriedades:
Ex: 1)
2 3
6
4 9
5.2 5.4
 5 2 .6  150
5.3 5.9
2) Se A é 3x3 com det(A)  5, então
det(2.A)  2.det(A)  8.5  40
3
• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A
Outras propriedades:
Ex:
3 2
 4 1
 e B  
.
Sejam A  
5 7
 2 3
Quanto vale det(A.B)?
detA  11
detB  10
det(A.B)  11.10  110
• det(A.B)=detA.detB
Consequência :
A.A -1  I
 det(A.A-1 )  det(I)
 det(A).det(A-1 )  1
 det(A-1 )  1/detA
 2 5
 é :
Ex: O determinan te da inversa de A  
 3 9
det(A-1 )  1/detA  1/3
• det(A-1)=1/detA