Aula 1- Distâncias Astronômicas - LIEF

Aula 1- Distâncias Astronômicas
Área 2, Aula 1
Alexei Machado Müller, Maria de Fátima Oliveira Saraiva & Kepler de Souza Oliveira Filho
Ilustração de uma
medição de distância da
Terra (à direita) à Lua (à
esquerda), fora de
escala, a partir de uma
triangulação.
Introdução
Prezado aluno, em nossa primeira aula, da segunda
área, vamos tratar da determinação de distâncias
estelares (astronômicas). No dia a dia, quando precisamos
medir distâncias usamos réguas, trenas, ou eventualmente
instrumentos mais sofisticados, como a trena eletrônica.
Quando as distâncias são grandes podemos usar relações
matemáticas: semelhança de triângulos (Teorema de
Tales) e razões trigonométricas.
Unidades de medidas
astronômicas
Unidade astronômica: UA
ano-luz: al
parsec: pc
Lembre que
1 kpc = 1.000 pc
1 Mpc = 1.000.000 pc
Este método é chamado triangulação e é usado,
em Astronomia para medir distâncias de planetas e das
estrelas próximas. Para medir distâncias de estrelas
distantes na nossa galáxia, ou de outras galáxias, temos
que recorrer a métodos indiretos, alguns dos quais veremos
ao longo desta disciplina.
Outro problema que se apresenta é a unidade de
medida a ser utilizada. Enquanto o Sistema Internacional
de Unidades indica o metro como unidade padrão de
comprimento, com seus múltiplos e submúltiplos, na
Astronomia temos que recorrer a unidades próprias, pois a
ordem de grandeza das medidas de distância vai muito
além do usual.
A Astronomia adota como unidades de medida de
distância a unidade astronômica (UA), o ano-luz (al) e o
parsec (pc), este com seus múltiplos quiloparsec (kpc) e
megaparsec (Mpc).
Bom estudo!
Objetivos
Nesta aula trataremos de determinação de
distâncias astronômicas e paralaxe, e esperamos que ao
final você esteja apto a:
•
definir as unidades de medida de distância
da Astronomia: unidade astronômica, anoluz e parsec;
•
definir paralaxe;
•
descrever
distância;
•
estabelecer a relação entre o tamanho
angular (aparente), o tamanho linear (real)
e a distância dos objetos astronômicos;
•
explicar como as distâncias estelares são
determinadas;
•
diferenciar entre paralaxe geocêntrica e
paralaxe heliocêntrica.
a
relação
entre
paralaxe
e
Qual a necessidade de
determinarmos a distância
entre as estrelas?
Medidas Astronômicas
Para medir distâncias a pontos inacessíveis
podemos usar a triangulação. Na figura 02.01.01,
esquematizamos como é possível medir a distância que se
encontra uma árvore do outro lado do rio, sem ter que
atravessá-lo.
Figura 02.01.01: Ilustração do método de triangulação para a medida da
distância d entre A e B.
Olhando a árvore de dois pontos distintos, o ponto B
e o ponto C, podemos construir o triângulo ABC, em que a
base é formada pela reta unindo B e C, e os lados BA e CA
são as direções em que a árvore é vista, em relação a um
objeto existente no fundo (uma montanha distante, por
exemplo), a partir dos pontos B e C.
Traçando uma reta DE paralela à direção BA temos
outro triângulo menor, DEC, semelhante ao ABC. Os lados
do triângulo pequeno e a distância entre os dois pontos B e
C podem ser medidos com uma trena, por exemplo, de
forma que DE, EC, DC e BC são conhecidos. Daí aplicamos
a semelhança de triângulos para conhecer os outros lados
do triângulo maior.
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Aplicando o teorema de Tales, temos:
AB BC
BC . DE
= =
então AB
,
DE EC
EC
e, dessa forma, determinamos a distância (d) AB.
Teorema de Tales
Os lados homólogos de
triângulos semelhantes
são proporcionais.
A triangulação só é possível se existe um objeto
distante que possa ser tomado como referência para medir
a variação na direção do objeto próximo quando o
observador muda de posição. Essa mudança na direção do
objeto devido à mudança de posição do observador é
chamada paralaxe.
Paralaxe
Mudança na direção
de um objeto devido à
mudança de posição
do observador.
Figura 02.01.02: Uma esfera O e dois objetos A e B são fotografadas de duas
posições diferentes. Observe a paralaxe que ocorre pela mudança de
posição da máquina fotográfica nas duas fotografias mostradas. Na foto
da esquerda o objeto O aparece mais perto do objeto B; na da direita, o
mesmo objeto parece estar mais próximo do objeto A.
(Autor: Prof. Luiz Carlos Goulart)
Em
Astronomia,
a
paralaxe
é
definida
costumeiramente como a metade do deslocamento
angular total medido, como se observa na figura 02.01.03.
Figura 02.01.03: Ilustração da definição de paralaxe. As duas retas
perpendiculares à linha de base 2D, na figura da esquerda, apontam na
direção do objeto distante tomado como referência. O é o objeto cuja
distância queremos medir.
O corresponde ao objeto cuja distância queremos
medir, 2 D é o deslocamento do observador; A1 e A2 são
ângulos entre a direção desse objeto observado de cada
extremidade do deslocamento do observador e a direção
do objeto distante tomado com referência. Utilizando as
razões trigonométricas teremos:
tanp=
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D
d
.
A1 + A2
e A1, A2 e D são
2
conhecidos, podemos isolar d e obter a distância até o objeto.
Agora, para ângulos muito pequenos ( ≤ 4o), a tangente do
ângulo tem valor muito próximo do valor do próprio ângulo em
radianos. Nas medidas astronômicas, os ângulos paraláticos
são sempre muito pequenos, de forma que sempre podemos
considerar tan p = p (rad).
Como
tanp=
D
d
, p=
Então, teremos:
Importante
Observe que a
paralaxe é tanto menor
quanto maior for a
distância entre o
observador e o objeto.
Simulador de Paralaxe
Estelar
Lembre que
360o = 2π rad.
Se p ≤ 4o, tan p= sen p =
p (rad).
d=
D
.
p(rad)
Paralaxe Geocêntrica e Heliocêntrica
A triangulação é utilizada para medir distâncias entre
estrelas. Porém como elas estão muito distantes a linha de base
(que corresponde ao deslocamento do observador em nosso
exemplo anterior) deve ser muito grande para que o ângulo
paralático (p) seja perceptível. Para fazer a medida de
distância entre a Terra e planetas do sistema solar, ou até a
Lua, o diâmetro da Terra pode ser usado como linha de base.
Já para medir a distância da Terra às estrelas próximas, é
utilizado o diâmetro da órbita da Terra como a linha de base.
Paralaxe Geocêntrica (paralaxe diurna)
A distância da Terra à Lua e aos planetas mais próximos,
hoje, é feita com a utilização de radares, mas, antes de sua
invenção, os astrônomos mediam a distância desses objetos à
Terra usando a paralaxe resultante da observação em pontos
extremos da Terra.
A posição da Lua, por exemplo, em relação às estrelas,
é medida duas vezes, em lados opostos da Terra. A paralaxe
geocêntrica é definida como a metade da variação na
direção observada nos dois lados da Terra, como mostrado na
figura 02.01.04.
Figura 02.01.04: Esquema definindo paralaxe geocêntrica, que é o ângulo p
entre a direção do objeto visto do centro da Terra e a direção do objeto visto
da superfície da Terra.
por:
Essa será a paralaxe geocêntrica (p) e será calculada
p(rad) =
RTerra
d
⇒ d=
RTerra
.
p(rad)
Paralaxe Heliocêntrica (paralaxe anual)
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Para medir distância até estrelas mais próximas é
utilizada a paralaxe heliocêntrica. Essa medida é realizada da
seguinte forma: é feita a medição da direção de uma estrela
em relação às estrelas de fundo quando a Terra está de um
lado do Sol e seis meses depois, quando a Terra estiver do outro
lado do Sol, a medida é refeita.
Figura 02.01.05: A paralaxe heliocêntrica é o ângulo p entre a direção da
estrela vista da posição do Sol e a direção da estrela vista da Terra. É medida
como a metade do deslocamento total da direção da estrela em 6 meses.
Unidade astronômica
Distância média entre a
Terra e o Sol.
Ano-luz
Distância que a luz,
propagando-se no
vácuo, percorre em um
ano.
Parsec
Distância de um objeto
que apresenta uma
paralaxe heliocêntrica
de 1”.
A metade do desvio total na posição da referida estrela
corresponde à paralaxe heliocêntrica (p) e nos possibilita
calcular a distância (d), usando a relação:
R
RoT
,
p(rad=) oT ⇒ d=
d
p(rad)
sendo RoT : raio de órbita da Terra, definido como 1UA.
Logo:
d=
1UA
.
p(rad)
Unidades Astronômicas de Distância
Unidade Astronômica (UA)
Para medidas dentro do sistema solar a unidade mais
adequada é a unidade astronômica, que é a distância média
entre a Terra e o Sol.
1 UA =1,496 x108 km .
Para medir a distância de qualquer objeto, calculada
em unidades astronômicas, usamos:
d(UA)=
1
.
p(rad)
Para saber como se mede a unidade astronômica
acesse o link:
http://astro.if.ufrgs.br/dist/dist.htm#cayennemarte.gif
Ano-luz (al)
Distância que a luz, propagando-se no vácuo, percorre
em um ano. Essa distância é dada por:
1al= c(km/s) x 1 (ano) =2,9979 x 105 km/s x 3,1557 x 107s,
Logo:
1al = 9,46 x 1012 km.
Para saber como é determinada a velocidade da luz
no vácuo acesse o link:
http://astro.if.ufrgs.br/dist/dist.htm#luz
Parsec (pc):
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Um parsec corresponde à distância de um objeto até a
Terra tal que, determinado observador localizado nesse objeto,
veria o raio da órbita da Terra, como se observa na figura
02.01.05, com um tamanho angular de 1”, ou seja, 1 pc
corresponde à distância de um objeto que apresenta uma
paralaxe heliocêntrica de 1”.
Figura 02.01.06: Um objeto cuja paralaxe heliocêntrica é de 1” está a uma
distância da Terra de 1parsec.
Logo, se a distância for 1 pc, a paralaxe será de 1”, que
em radianos será:
Lembre que a distância
de 1 pc corresponde à
paralaxe de 1”.
=
1"
1
2π rad
x
=
4,848 x10 −6 rad.
3.600 " 360
Portanto:
1 pc =
1UA
= 206.265 UA = 3,26 al.
4,848 x10 −6
A distância a que se encontra um objeto em relação
ao observador, medida diretamente em parsec, é dada por:
d(pc)=
1
.
p(" )
A estrela mais próxima da Terra, Próxima Centauri, está
a uma distância de 4,3 al, que é maior do que 1 pc (1,32 pc).
Logo mesmo para a estrela mais próxima a paralaxe é
menor do que 1”(na verdade é 0,76”).
A primeira medida exitosa de uma paralaxe estelar foi
feita por Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) em 1838, para a
estrela 61 Cygni (p~0,3").
Exemplo: Qual é a distância, em parsecs, da estrela 61
Cygni, cuja paralaxe heliocêntrica é 0,3”?
Como:
d(pc)=
1
,
p(" )
então,
d(=
pc)
1
= 3,33 pc.
0,3 "
Resumo
O principal método de determinação das distâncias
astronômicas se baseia no fenômeno da paralaxe, que é o
deslocamento aparente que um objeto sofre quando visto de
posições diferentes:
•
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Paralaxe geocêntrica é um método que pode ser
utilizado para medir distâncias até os planetas mais
próximos, sendo definido como o deslocamento
aparente sofrido pelo objeto quando observado de
dois pontos por uma distância igual ao raio da Terra.
•
Paralaxe heliocêntrica (paralaxe anual) é o único
método direto para medir distâncias estelares (no
alcance de estrelas da vizinhança solar), e é
definida com o deslocamento aparente sofrido
pelo objeto quando observado de dois pontos
separados por uma distância igual ao raio da Terra
(1 UA).
•
Ano- luz (al) é a distância que a luz, propagando-se
no vácuo, percorre em um ano.
•
Parsec (pc) corresponde à distância de um objeto
que apresenta uma paralaxe heliocêntrica de 1”. A
distância de um objeto medida em parsec é igual
ao inverso de sua paralaxe heliocêntrica medida em
segundos de arco:
d(pc)=
1
.
p(" )
Questões de fixação
Agora que vimos o assunto previsto para a aula de
hoje resolva as questões de fixação e compreensão do
conteúdo a seguir, utilizando o fórum, comente e compare
suas respostas com os demais colegas.
Bom trabalho!
1) Sabendo que a visão humana apresenta
paralaxe, desde que a pessoa tenha os dois olhos em
condições normais de funcionamento, considerando que a
distância típica entre os dois olhos é de 7 cm, determine
qual é a paralaxe da visão humana para um objeto que se
encontra a:
a) 1 m de distância do observador?
b) 10 m de distância do observador?
c) 100 m de distância do observador?
d) 1 km de distância do observador?
e) de acordo com seus resultados, qual é a relação
entre paralaxe da visão humana e a distância ao objeto
observado?
2) Sabendo-se que saturno está a 10 UA do Sol,
responda: (quando necessário use o raio da Terra = 6.400
km).
a) Qual é a paralaxe geocêntrica de Saturno?
b) Supondo que os telescópios atuais têm uma
precisão de 0,001”, é possível medir a distância de Saturno
por paralaxe geocêntrica?
3) Sabendo-se que a paralaxe heliocêntrica de
Spica é 0,013”, responda:
Atenção!
Para determinar a
distância de Marte nas
atividades de fixação
acesse:
Paralaxe e distância de
Marte.
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Müller, Saraiva & Kepler
a) Qual é a distância de Spica? (Dê a sua resposta
em parsec, em unidades astronômica, em anos-luz e em
quilômetros).
b) Qual seria a paralaxe heliocêntrica de Spica se
ela fosse medida de Marte?
c) Qual seria a paralaxe de Spica se fosse medida
por um observador na Lua, usando como linha de base o
raio da órbita lunar?(Use raio da Lua = 1.738 km).
Até a próxima aula!