Professora Rosa Figueirôa ofessora Rosa Figueirôa Matemática

Professora
Professora Rosa Figueirôa
Matemática Básica
d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e
trocamos o sinal do número que estava depois da
subtração)
1 - Números Naturais
Conjunto dos Números Naturais representado pela letra
N.
O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,..............}, este conjunto
é infinito ou seja não tem fim.
2 - Números Inteiros
O conjunto Z = {....,-2,-1,0,+1,+2....}, observe que este
conjunto é formado por números negativos, zero e
números positivos. Vale lembrar que zero é um número
nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo.
Reta Numérica Inteira
Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de
crescimento dos números, eles estão crescendo da
esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior que 1 e assim em diante.
Vamos comparar alguns números inteiros.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Atenção:
1º: Zero é maior que qualquer número negativo.
2º: Um é o maior número negativo.
3º: Zero é menor que qualquer número positivo.
4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer
número negativo.
Números opostos ou simétricos
Observe que a distancia do -3 até o zero é a mesma do +3
até o zero, estes números são chamados de opostos ou
simétricos.
Logo:
- 2 é oposto ou simétrico do + 2, + 20 é oposto ou
simétrico do - 20, - 100 é oposto ou simétrico de + 100.
Adição e Subtração de Números Inteiros
Exemplos:
a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e
conservamos os sinais dos números)
b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e
conservamos os sinais dos números)
c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e
conservamos os sinais dos números)
e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e
trocamos o sinal do número que estava depois da
subtração)
Dica:
Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações
pensando em débito (número negativo) e crédito (número
positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15
+ 10, devo 15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico
devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho uma divida de 5 reais
faço mais uma divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13.
Multiplicação e Divisão de Números Inteiros
Exemplos:
a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)
b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +)
c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -)
d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -)
e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)
f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -)
g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)
h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)
Atenção:
Observe que a multiplicação ou divisão de números de
mesmo sinal o resultado e sempre positivo, a multiplicação
ou divisão de números de sinais diferentes o resultado é
sempre negativo.
Potenciação de Números Inteiros
Exemplos:
a) (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9
b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32
c) (-8)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1
positivo)
d) (+9)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1
positivo)
e) (18)1 = 18 (todo número elevado a um é igual a
ele mesmo)
Importante:
(-2)2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de - 22 = -(2) x (2) = - (4) = 4
No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao
quadrado e no segundo caso apenas o número está elevado
ao quadrado.
Radiciação de Números Inteiros
Exemplos:
a) √25=5 (lembre-se que 5 x 5 = 25)
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b) √49=7(lembre-se que 7 x 7 = 49)
c) √-100=?(lembre-se não existe raiz quadrada
de número inteiro negativo)
d)-√100=-10 (observe que neste caso o menos
está fora da raiz, sendo assim existe
a raiz)
e)√-8=-2(lembre-se (-2) x (-2) x (-2) = - 8
Neste caso é raiz cúbica e não raiz
quadrada.
d)√8=2 (lembre-se (2) x (2) x (2) = 8)
Resolvendo Expressões Numéricas com Números
Inteiros
a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)]
= - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6]
=3-2+4-5-6
= 7 - 13
=-6
b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]}
= { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]}
= { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]}
= {- 5 - 8 + 15 - 3}
= - 5 - 8 + 15 - 3
= - 16 + 15
=-1
Adição e Subtração
Reduz-se as frações ao mesmo denominador. Para isso
devemos encontrar o mmc dos denominadores, criarmos
uma mesma seqüência de fração com o novo denominador
e numerador igual ao resultado da divisão do novo
denominador pelo velho multiplicado pelo numerador velho.
Ex.:
Multiplicação
Multiplica-se os numeradores e os denominadores obtendose assim o resultado.
Ex.:
Exercícios
01. Calcule:
Divisão
Deve-se multiplicar a primeira pelo inverso da segunda.
Ex.:
a) 10 – {5+3[2x5-3+(2x5+5)-3]+6 -8}
b) (-10)/5 +3{5x7+2[2x6-3] +5}
c) 50-4x7-{35/5+5[5x3+12+3(2x5-4)]}
5 - Números Fracionários
3 - Números Racionais
Conjunto dos números racionais
Q = {x; x = p/q com p єZ , q є Z e q ≠ 0 }.
O conjunto dos Números Racionais (Q) é formado por
todos os números que podem ser escritos na forma a/b
onde a e b Î Z e b ¹ 0 ( 1º Mandamento da Matemática:
NÃO DIVIDIRÁS POR ZERO)
Exemplos: , 0,25 ou (simplificando) , -5 ou
4 - Operações com Racionais
As operações com número racionais segue as mesma
regras de operação das frações.
Frações
Será representado em nossa apostila da seguinte forma:
a/b
O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b
diferente de zero.
Chamamos: a/b de fração; a de numerador; b de
denominador.
Se a é múltiplo de b, então a/b é um número natural.
Veja um exemplo:
A fração 12/3 é igual a 12:3. Neste caso, 12 é o numerador
e 3 é o denominador. Efetuando a divisão de 12 por 3,
obtemos o quociente 4. Assim, 12/3 é um número natural e
12 é múltiplo de 3.
Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos
conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a
surgir questões que não poderiam ser resolvidas com
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números naturais. Então surgiu o conceito de número
fracionário.
são frações equivalentes, ou seja(1/2 é a metade de 2/2 e
5/10 é a metade de 10/10)
O significado de uma fração
Algumas vezes, a/b é um número natural. Outras vezes,
isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de
a/b?
Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em
partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma
ou algumas, conforme nosso interesse.
Simplificando Frações
Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o
denominador de uma fração pelo mesmo número, esta não
se altera. Encontramos frações equivalentes a fração dada.
Exemplo:
Rosa comeu 4/7 de um bolo. Isso significa que o bolo foi
dividido em 7 partes iguais, Aline teria comido 4 partes: Na
figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas
por Aline, e a parte branca é a parte que sobrou do bolo.
Como se lê uma fração
As frações recebem nomes especiais quando os
denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando
os denominadores são 10, 100, 1000, ...
1/2 um meio 2/5 Dois quintos
1/3 um terço 4/7 quatro sétimos
1/4 um quarto 7/8 sete oitavos
1/5 um quinto 12/9 doze nonos
1/6 um sexto 1/10 um décimo
1/7 um sétimo 1/100 um centésimo
1/8 um oitavo 1/1000 um milésimo
1/9 um nono 5/1000 Cinco milésimos
Frações Próprias
São frações que representam uma quantidade menor que
o inteiro, ou seja representa parte do inteiro.
Ex.:
Frações Impróprias
São frações que representam uma quantidade maior que
o inteiro, ou seja representa uma unidade mais parte dela.
Ex.:
Frações Aparentes
São frações que representam uma unidade, duas
unidades etc.
Ex.:
Exemplos:
3/4 = 6/8, observe que numerador e denominador foram
multiplicados por 2.
12/18 = 4/6 , observe que numerador e denominador foram
divididos por 3.
Reduzindo Frações ao Mesmo Denominador
Ex.:
6 - Operações com Frações
Adição e Subtração de Frações
1º Caso
Denominadores iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta
somar os numeradores e conservar o denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta
subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Ex.:
2º Caso
Denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes,
devemos reduzir as frações ao menor denominador comum
e, em seguida, adicionar ou subtrair as frações equivalentes
às frações dadas. Para obtermos estas frações equivalentes
determinamos m.m.c entre osdenominadores destas
frações.
Ex.:
Multiplicação e Divisão de Frações
Frações Equivalentes
Duas ou mais frações que representam a mesma
quantidade da unidade são equivalentes.
Ex.:
Multiplicação
1º Caso
Multiplicando um número natural por uma fração
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Na multiplicação de um número natural por uma fração,
multiplicamos o número natural pelo numerador da fração
e conservamos o denominador.
Ex.:
Multiplicando Fração por Fração
Na multiplicação de números fracionários, devemos
multiplicar numerador por numerador, e denominador por
denominador.
Ex.:
Divisão
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a
primeira fração pelo inverso da segunda.
Ex.:
Potenciação e radiciação de números fracionários
Potenciação
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário
a um determinado expoente, estamos elevando o
numerador e o denominador a esse expoente:
Ex.:
Radiciação
Na radiciação, quando aplicamos a raiz a um número
fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e
ao denominador:
Ex.:
Exercícios
01.(C.Chagas) Um carro percorreu 2/5 da distância entre
duas cidades e depois mais 2/3 da estrada restante e,
desse modo, faltavam 18km para completar a distância
entre as duas cidades. A distância que o carro percorreu
foi de:
a) 23km
b) 32km
c) 63km
d) 72km
e) 90km
02.(C.Chagas) Do total de 120 funcionários de um
tribunal, 3/4 são homens e os restantes são mulheres. Em
certo dia faltaram ao serviço 1/9 do total de homens e 1/3
do de mulheres. Quantas pessoas compareceram ao
serviço nesse dia?
a) 100
b) 95
c) 90
d) 87
e) 82
03.(C.Chagas) Do total x de funcionários de uma repartição
pública que fazem á condução de veículos automotivos,
sabe-se que 1/5 efetuaram o transporte de materiais e
equipamentos e 2/3 do número restante, o transporte de
pessoas.Se os demais 12 funcionários estão
temporariamente afastados de suas funções, então x é igual
a:
a) 90
b) 75
c) 60
d) 50
e) 45
04.(C.Chagas) O primeiro andar de um prédio vai ser
reformado e os funcionários que lá trabalham serão
removidos. Se 1/3 do total dos funcionários deverão ir para
o segundo andar, 2/5 do total para o terceiro andar e os 28
restantes para o quarto andar, o número de funcionários que
serão removidos é:
a) 50
b) 84
c) 105
d) 120
e) 150
05. .(C.Chagas) Um armário tem quatro prateleiras. Do total
de processos que um auxiliar judiciário deveria arquivar
nesse armário, sabe-se que 1/5 foi colocado na primeira
prateleira, 1/6 na segunda, 3/8 na terceira e os 62 processos
restantes na quarta. Assim sendo, o total de processos
arquivados era:
a) 105
b) 120
c) 204
d) 210
e) 240
06. .(C.Chagas) Observe os dados apresentados na tabela
abaixo:
x
2
5
1
y
3
6
2
x/y
0,66666....
0,83333....
0,5
Se S for a soma dos três resultados apresentados na coluna
x/y, é correto afirmar que S
a) é divisível por 3
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b)
c)
d)
e)
é múltiplo de 5
é um número par
é uma dizima periódica sem representação decimal
Não pode ser calculado porque não podemos somar
dizimas periódicas
07. .(C.Chagas) Certo dia, uma equipe de técnicos
especializados em higiene dental trabalhou em um
programa de orientação, aos funcionários do tribunal
sobre prática de higiene bucal. Sabe-se que 1/3 do total
dos membros da equipe atuou no período das 8 às 10
horas e 2/5 do número restante, das 10 às 12 horas. Se
no período da tarde a orientação foi dada pelos últimos 6
técnicos, o total de membros da equipe era:
a) 12
b) 15
c) 18
d) 21
e) 24
08. .(C.Chagas) Certo mês, todos os agentes de um
presídio participaram de programas de atualização sobre
segurança. Na primeira semana, o número de
participantes correspondem a ¼ do total e na segunda, a
¼ do número restante. Dos que sobram, 3/5 participaram
do programa na terceira semana e os últimos 54, na
quarta semana. O número de agentes desse presídio é:
a) 200
b) 240
c) 280
d) 300
e) 320
09. .(C.Chagas) Um eletricista vistoriou as instalações
elétricas das 48 salas de um prédio. Na primeira semana,
o número de salas vistoriadas correspondeu a ¼ do total
e, na segunda semana correspondeu a ¼ do número
restante. N a terceira semana vistoriou 14 salas e na
quarta semana terminou o serviço. Quantas salas ele
vistoriou na quarta semana?
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
d) 50%
e) 52%
7 - Dízimas
Fracao geratriz
Conforme você já estudou, todo número racional (Conjunto
Q), resulta da divisão de dois número inteiros a divisão pode
resultar em um número inteiro ou decimal.
Convém lembrar que temos decimais exato.
Ex.:
2,45; 0,256; 12,5689; 12,5689
Temos também decimais não exato (dízima periódica)
Ex.:
: 2,555555.... ; 45,252525....; 0,123123123...; 456,12454545;
7,4689999....
Você deve saber, que em uma dízima periódica a parte
decimal que repete, recebe o nome de período, a parte que
não repete é chamada de ante-período, a parte não
decimal é a parte inteira.
Exemplo:
Dízima periódica composta Dízima periódica simples
Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima Periódica
Dízima periódica simples:
Devemos adicionar a parte decimal à parte inteira. Devemos
lembra que a parte decimal será transformada em uma
fração cujo numerador é o período da dízima e o
denominador é um número formado por tantos noves
quantos sãos os algarismos do período.
Ex.:
Dízima periódica composta
Devemos adicionar à parte inteira uma fração cujo
numerador é formado pelo ante-período,seguindo de um
período, menos o ante-período, e cujo denominador é
formado de tantos noves quantos são os algarismos do
período seguidos de tantos zeros quanto são os algarismos
do ante-período.
Ex.:
10. .(C.Chagas) Em uma seção de um tribunal havia um
certo número de processos a serem arquivados. O
número de processos arquivados por um funcionário
correspondeu a ¼ do total e os arquivados por outro
correspondeu a 2/5 do número restante. Em relação ao
número inicial, a porcentagem de processos que deixaram
de ser arquivados foi:
a) 35%
b) 42%
c) 45%
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8 - Números Decimais
Fração Decimal
São frações em que o denominador é uma potência de 10.
Ex.:
Toda fração decimal é escrita na forma de número
decimal.
Ex.:
Números Decimais
Lendo número decimais:
0,25 = Vinte e cinco centésimos;
2,24 = Dois inteiros e vinte e quatro centésimos
12,002 = Doze inteiros e dois milésimos;
0,0002 = Dois décimos de milésimos
Transformando uma fração decimal em número decimal:
Observe: Denominador 10 um número depois da vírgula,
denominador 100 dois números depois da vírgula,
denominador 1000 três números depois da vírgula e assim
por diante.
Transformando um número decimal em fração decimal:
Observe: Um número depois da vírgula denominador 10,
dois números depois da vírgula denominador 100, três
números depois da vírgula denominador 1000 e assim por
diante.
Propriedade: Um número decimal não se altera ao
acrescentarmos zeros a direita do seu último número.
Ex.:
0,4 = 0,400 = 0,4000 = 0,40000
0,23 = 0,230 = 0,2300 = 0,23000 = 0,230000
1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000, 1,20000
9 - Operações com Decimais
Adição
Na adição de números decimais devemos somar os
números de mesma ordem de unidades, décimo com
décimo, centésimo com centésimo.
Antes de iniciar a adição, devemos colocar vírgula debaixo
de vírgula.
Ex.:
0,3 + 0,81
1,42 + 2,03
7,4 + 1,23 + 3,122
Subtração
A subtração de números decimais é efetuada da mesma
forma que a adição.
Ex.:
4,4 - 1,21; 2,21 - 1,211; 9,1 - 4,323
Multiplicação
Efetuamos a multiplicação normalmente.
Em seguida, contam-se as casas decimais de cada número
e o produto fica com o número de casas decimais igual à
soma das casas decimais dos fatores.
Ex.:
4,21 x 2,1; 0,23 x 1,42; 0,42 x 1,2
Divisão
Na divisão de números decimais, o dividendo e o divisor
devem ter o mesmo número de casas decimais. Devemos
igualá-las antes de começar a divisão.
Ex.:
7,02 : 3,51
11,7 : 2,34
23 : 7
Potenciação
Efetuamos da mesma forma que aprendemos com os
números naturais.
Ex.:
(0,2)2= 0,2 x 0,2 = 0,04; (1,2)2= 1,2 x 1,2 = 1,44; (1,23)0=
1; (23,5)1= 23,5
Exercícios
1) (UPE) Numa pequena metrópole, 3/16 dos moradores
são brasileiros. Se o total de
habitantes dessa cidade é 30.000, o número de brasileiros
que residem nessa cidade é:
A) 23.865
B) 24 375
C) 25.435
D) 25.985
E) 26.125
2) (UPE) Se a = 3/2, b =2/4 e c = 3/9. então o valor a - c - b
é:
A)1/3
B)4/3
C)5/4
D)8/3
E) 3/4
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3) (Colégio Militar) A aluna marcela tem uma preferência
pelo estudo das frações. Ao observar as frações 5/6, 9/18,
6/8 e 18/27. Ela verificou que a soma da menor com a
maior é:
A)2/3
B)4/3
C)5/4
D)8/3
A) R$ 524,58
B) R$ 525,48
C) R$ 575,58
D) RS 674,62
E) R$ 675,42
E)3/4
A) par
B) ímpar
7) Uma senhora tinha entre trinta e quarenta ações de uma
empresa para dividir igualmente entre todos os seus netos.
Num ano, quando tinha 3 netos, se a partilha fosse feita,
deixaria 1 ação sobrando. No ano seguinte, nasceu mais um
neto e, ao dividir igualmente entre os quatro netos o mesmo
número de ações, ela observou que sobrariam 3 ações.
Nesta última situação, quantas ações receberá cada neto?
C) múltiplo de 3
A)6
D) múltiplo de 4
B)7
E) primo
C)8
4)(UPE/PM-2OO4) A soma de três números naturais
consecutivos é sempre um número:
D)9
5)(IPAD/PM-2006) No planeta Marte, a temperatura média
na superfície é de -
E)10
C, enquanto que na superfície da
Terra essa temperatura é de, em média, + 14° C. Qua l a
diferença entre a temperatura média na superfície da
Terra e a temperatura média na superfície de Marte?
A)67°C
B)57°C
C)41°C
8) (OBMEP) O aniversário de Carlinhos é no dia 20 julho.
Em agosto de 2005, ao preencher uma
ficha em sua escola, Carlinhos inverteu a posição dos dois
últimos algarismos do ano em que nasceu. A professora que
recebeu a ficha disse: - Carlinhos, por favor, corrija o ano de
seu nascimento, senão as pessoas vão pensar que você
tem 56 anos! Qual era a idade de Carimbos em agosto de
2005?
A) 11 anos
D)39°C
B) 12 anos
E)28°
C) 13 anos
6)(IPAD/CBM-2006) No ano 2000, a renda familiar a em
certo bairro do Recife era de R$ 389,62. Fica abaixo da
renda média da cidade, que era de R$ 914,20 no mesmo
período. De acordo com esses dados, qual a diferença
entre a renda familiar média na cidade do Recife e a renda
familiar média nesse bairro?
D) 14 anos
E) 15 anos
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A) 800 frutas
9)(Cescem-SP) Uma pessoa escreve os números aturais
desde 1 até 125. Então essa pessoa escreveu:
B) 700 frutas
A) 123 algarismos
C) 1000 frutas
B) 125 algarismos
D) 80 frutas.
C) 212 algarismos
E) 1 milheiro.
D) 122 algarismos
E) 267 algarismos
10)(Fuvest-SP-99) Um estudante terminou um trabalho
que tinha n páginas. Para numerar todas essas páginas,
iniciando com a página 1, ele escreveu 270 algarismos.
Então o valor de n é:
13) Em urna agência bancária cinco caixas atendem os
clientes em fila única. Suponha que o atendimento de cada
cliente demora exatamente 3 minutos e que o caixa 1
atende o primeiro da fila ao mesmo tempo em que o caixa 2
atende o segundo, o caixa 3 o terceiro, e assim
sucessivamente. Em que caixa será atendido o sexagésimo
oitavo da fila?
A)99
A)1
B)112
B)2
C)126
C)3
D)148
D)4
E)170
E)5
11)(Covest-04) Em um torneio de tênis, participam 2
jogadores. O perdedor de cada partida é eliminado do
torneio, e o vencedor continua no torneio. Qual o número
de jogos necessários para se chegar a apenas um
ganhador do torneio?
14)(IPAD) Uma pilha tem 100 caixas e um carregador vai
levá-las para um local distante 5Cm de onde elas estão. Ele
carrega 4 caixas por vez. Quantos metros terá andado esse
carregador após ter levado as últimas caixas?
A)28
A) 2500
B)29
B) 2450
C)30
C) 2300
D)31
D) 2000
E)32
E) 1250
12)(IPAD) De cada milheiro de frutas, numa feira livre, se
perde 1 centena de frutas. Supondo-se que, numa feira
livre, existem 3800 laranjas, 2700 abacaxis, 1500
melancias, o desperdício dessas frutas foi de:
15) (IPAD) Maria preparou 340 salgadinhos para o
aniversário de sua filha Júlia. Guardou 27 deles em casa e
mandou 48 para a casa da madrinha de Júlia. Os outros
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salgadinhos foram arrumados igualmente em 5 bandejas.
Quantos salgadinhos havia em cada bandeja?
A)50
Lendo Razões:
Termos de uma Razão
Grandezas Especiais
Escala, é a razão entre a medida no desenho e o
correspondente na medida real.
Exemplo:
Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é
representada por um segmento de
7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km.
Vamos calcular a escala deste mapa.
As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km =
432 000 000 cm
B)51
C)52
D)53
E)54
16) (IPAD) Em um cheque, foi preenchida, por extenso, a
quantia de seis milhões, vinte e cinco mil e três reais.
Usando algarismo, a escrita é:
A) 6025030.
B) 6250030.
C) 6250003.
Velocidade média, é a razão entre a distância a ser
percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as
unidades são diferentes)
Exemplo:
Um carro percorre 320km em 4h. determine a velocidade
média deste carro.
Densidade demográfica, é a razão entre o número de
habitantes e a área.
Ex.:
O estado do Ceará tem uma área de 148 016 km2 e uma
população de 6 471 800 habitantes.
Dê a densidade demográfica do estado do Ceará.
D) 6025300
E) 6025003.
16 (IPAO) O valor da expressão operações de números
inteiros:
77— (45 + (108—97))+2 é igual a:
A) 19
B) 20
C) 43
D)23
Razões Inversas
Vamos observar as seguintes razões.
Observe que o antecessor(5) da primeira é o
conseqüente(5) da segunda.
Observe que o conseqüente(8) da primeira é o
antecessor(8) da segunda.
Dizemos que as razões são inversas.
Ex.:
11 - Proporção
E)45
Proporção, é uma igualdade entre duas razões.
Dados os números racionais a, b, c e d, diferentes de zero,
dizemos que eles formam, nessa ordem uma proporção
quando a razão de a para b for igual a razão de c para d.
Os extremos são 2 e 10, os meios são 5 e 4.
10 - Razão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b,
com b ¹ 0, quociente entre eles.
Indica-se a razão de a para b por ou a : b.
Exemplo:
Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças.
Encontre a razão entre o número de rapazes e o número
de moças. (lembrando que razão é divisão)
Voltando ao exercício anterior, vamos encontrar a razão
entre o número de moças e rapazes.
Propriedade Fundamental das Proporções
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto
dos extremos.
Ex.:
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qual a escala usada?
Exercícios
1) Na sala de 50 alunos, na qual a razão entre meninos e
meninas é de 2:3.Quantos são meninos e meninas?
2) Ari comprou um carro por R$ 18.000,00 e vendeu por
R$ 24.000,00. Qual é a razão entre o lucro e o preço de
venda desse carro?
3) Calcule a velocidade média de um carro que percorreu
210 Km em 3 horas?
14) Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de trabalho.
Quanto receberia se tivesse trabalhando 8 dias a mais?
R$ 12.300,00
R$ 10.400,00
R$ 11.300,00
R$ 13.100,00
R$ 13.200,00
4) Quanto tempo um carro leva para percorrer 400 Km,
mantendo a velocidade média de 80 Km/h?
5) A densidade demográfica de Salvador é de 6.000
hab/Km²( seis mil habitantes por quilometro quadrado).
Qual a população de Salvador, se sua área é de
aproximadamente 300 Km²?
6) Em uma equipe olímpica, 25 atletas são rapazes. Qual
é o número de moças, se a razão entre o número de
rapazes e moças é 5/3 ?
7) Em uma empresa, 2 entre cada 9 trabalhadores
ganham o salário mínimo. Sabendo que 350 trabalhadores
não ganham o salário mínimo.Quantos ganham o salário
mínimo, e qual o total de trabalhadores dessa empresa?
8) A razão entre dois números é 7/3. Sabendo que a
diferença entre eles é 40, quais são esses números?
9) A secretaria de uma escola preenche 10 fichas de
matricula em 30 minutos.
A) Quanto tempo ela leva para preencher 50 fichas?
B) Quanto tempo leva para matricular uma sala de 45
alunos?,
C) Quantas matriculas ela faz em 2 horas de trabalho
ininterrupto?
15) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura
projeta uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por
uma torre de 130 m de altura?
290m
390m
490m
590m
690m
16) A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas
idades sabendo que sua soma é 35 anos.
14 e 20 anos
14 e 21 anos
15 e 20 anos
18 e 17 anos
13 e 22 anos
17) A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar essas
áreas sabendo que a soma é 66 cm².
11)Divida o número 60:
a) em partes proporcionais a 2 e a 3
b) em partes proporcionais a 2 e a 4
a)
22cm² e 44cm²
b)
20cm² 46cm²
c)
21cm² e 45cm²
d)
24cm² e 42 cm²
e)
23cm² e 43cm²
12)Uma pesquisa revelou que 5 em cada grupo de 6000
habitantes de uma cidade são médicos. Se essa cidade
tem 60.000 habitantes, quantos são médicos?
18) A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua
razão é 2/3. Achar os volumes.
13) Se 2 cm num mapa correspondem a 60 Km no real,
17cm³ e 28cm³
10) Divida o número 100 :
a) em duas partes iguais
b)em partes proporcionais a 3 e a 7
c)em partes proporcionais a 4 e a 12
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18cm³ e 27cm³
19cm³ e 28cm³
20cm³ e 27cm³
n.d.a
matemática para quem faz engenharia é peso 3 e historia é
peso 1, isto é devido a engenharia ser um curso ligado a
ciências exatas. Este peso varia de acordo com a área de
atuação do curso.
19) Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3h
para percorrer uma certa distância.Quanto o tempo
demorará para percorrer a mesma distância um outro auto
cuja velocidade é de 120 km/h?
2 horas
3 horas
4 horas
5 horas
6 horas
Exercícios
01. É dado um conjunto de 20 números cuja
12 - Média
Você escuta a todo momento nos noticiários a palavra
média.
Exemplo:
A média de idade da seleção brasileira é 23 anos.
A média de preço da gasolina é 1,33 reais.
Média aritmética de dois ou mais termos é o quociente
do resultado da divisão da soma dos números dados pela
quantidade de números somado.
Exemplos:
1. Calcule a média aritmética entre os número 12, 4, 5, 7.
observe o que foi feito, somamos os quatro número e
dividimos pela quantidade de números.
2. O time de futebol do Cruzeiro de Minas Gerai, fez 6
partidas amistosas, obtendo os
seguintes resultados, 4 x 2, 4 x 3, 2 x 5, 6 x 0, 5 x 3, 2 x 0.
Qual a média de gols marcados nestes amistoso?
Média Aritmética Ponderada
*
Exemplo:
1. Um colégio resolveu inovar a forma de calcular a média
final de seu alunos.
1º bimestre teve peso 2.
2º bimestre teve peso 2.
3° bimestre teve peso 3.
4° bimestre teve peso 3.
Vamos calcular a média anual de Ricardo que obteve as
seguintes notas em historia.
1° bim =3, 2° bim = 2,5, 3° bim = 3,5 e 4° bim = 3
Este tipo de média é muito usada nos vestibulares, você já
deve ter ouvido algum colega falar assim, a prova de
média aritmética é 64. Cada número desse conjunto é
multiplicado por 2 e, em seguida,
acrescido de 5 unidades. Qual é a média aritmética dos 20
números assim obtidos?
02. A média das idades de um grupo de Estudantes é de 22
anos. Excluindo-se o maisNovo deles, que tem 17 anos, a
média do novoGrupo formado passa a ser 23 anos. Quantos
estudantes há no primeiro grupo?
03. Para ser aprovado em uma disciplina o aluno precisa ter
média maior ou igual a 5,0, obtida num conjunto de 5
provas, sendo quatro parcias, com o peso 2. Um aluno
obteve, nas quatro provas parcias, notas iguais a 3,0; 6,0;
5,0 e 7,0. Calcule a nota mínima que esse aluno deverá
obter na prova-exame para ser aprovado.
04. A média aritmética de 100 números é igual a 40,19.
Retirando-se um desses números, a média aritimética dos
99 números restantes passará a ser 40,5. Determine o
número retirado.
a)
b)
c)
d)
9,50
9,43
9,00
8,75
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e) 8,50
A média ponderada do soldado Marcelo, no concurso, foi
de:
05. Nas eleições em 1º turno em todo o país, no dia 13 de
outubro de 1996, inaugurou-se o voto eletrônico. Numa
determinada seção eleitoral, cinco eleitores demoraram
para votar, respectivamente: 1min 4s, 1min 32s, 1min 12s,
1min 52s e 1 min 40s. A média aritmética do tempo de
votação (em minutos e segundos) desses eleitores é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
4,0
5,0
4,5
5,5
3,8
8. (UPE/BM-2004) Um automobilista desenvolve as
velocidades seguintes:
1min 28s
1 min
2min 4 s
1min 58s
1min 4s
75 km / h durante 2 horas
06.(UPE/BM-2004) A média aritmética de 11 números é
45. Se o número 8 for retirado do conjunto, a média
aritimética dos números restantes será:
80 km / h durante 3 horas
90 km / h durante 1 hora
a) 4,0
b) 5,0
A velocidade média alcançada foi de:
c) 4,5
a)
b)
c)
d)
e)
d) 5,5
e) 3,8
07. (UPE/BM -2004) No concurso para cabo de uma
Instituição Militar, o candidato é submetido 4 avaliações:
Matemática e Português com peso 2,0, Avaliação Física
com peso 3,0 e Conhecimentos Específicos com peso 1,0.
O soldado Marcelo se submeteu ao concurso e obteve os
seguintes
Português: Nota 5,0
Matemática: Nota 8,0
Avaliação Física: Nota 3,0
85 km / h
70 km / h
90 km / h
80 km / h
82 km / h
13 - Números Irracionais
I = {x; x é uma dízima não periódica}.
Exemplos de números irracionais:
∏ = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento
de qualquer circunferência e o seu diâmetro)
2,01001000100001... (dízima não periódica)
√ 3 = 1,732050807... (raiz não exata).
14 - Números Reais
Conhecimentos Específicos: Nota 5,0
R = { x; x é racional ou x é irracional}.
Intervalos numéricos
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Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a
todo conjunto de todos números reais compreendidos
entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p
e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q ,
chamada amplitude do intervalo.
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso
contrário, o intervalo é dito aberto.
A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
TIPOS REPRESENTAÇÃO_ OBSERVAÇÃO
* INTERVALO FECHADO
[p;q] = {x є R; p ≤ x ≤ q} inclui os limites p e q
* INTERVALO ABERTO
(p;q) = { x єR; p < x < q} exclui os limites p e q
*INTERVALO FECHADO A ESQUERDA
[p;q) = { x є R; p ≤ x < q} inclui p e exclui q
*INTERVALO FECHADO À DIREITA
(p;q] = {x єR; p < x ≤ q} exclui p e inclui q
* INTERVALO SEMI-FECHADO
[p;∞ ) = {x є R; x ≥ p} valores maiores ou iguais a p.
* INTERVALO SEMI-FECHADO
(- ∞ ; q] = { x є R; x ≤ q} valores menores ou iguais a q.
* INTERVALO SEMI-ABERTO
(-∞ ; q) = { x є R; x < q} valores menores do que q.
* INTERVALO SEMI-ABERTO
(p; ∞ ) = { x > p } valores maiores do que p.
870 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual
a 8+7+0=15, como 15 é divisível por 3, então 870 é divisível
por 3.
Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando
termina em 00 ou quando o número formado pelos dois
últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo:
9500 é divisível por 4, pois termina em 00.
6532 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4.
836 é divisível por 4, pois 36 é divisível por 4.
9870 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 70 não
é divisível por 4.
Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5
quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
425 é divisível por 5, pois termina em 5.
78960 é divisível por 5, pois termina em 0.
976 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é
divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Exemplos:
942 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao
mesmo tempo.
6456 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao
mesmo tempo.
984 não é divisível por 6, é divisível por 2, mas não é
divisível por 3.
357 não é divisível por 6, é divisível por 3, mas não é
divisível por 2.
Divisibilidade por 7 Um número é divisível por 7
15 - Divisibilidade
Critérios de divisibilidade
São critérios que nos permite verificar se um número é
divisível por outro sem precisarmos efetuar grandes
divisões.
Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2
quando ele termina em 0, ou 2, ou
4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos:
8490 é divisível por 2, pois termina em 0.
895 não é divisível por 2, pois não é um número par.
Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando
a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for
divisível por 3.
Exemplo:
Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando
termina em 000, ou quando o
número formado pelos três últimos algarismos da direita for
divisível por 8.
Exemplos:
2000 é divisível por 8, pois termina em 000.
98120 é divisível por 8, pois 120 é divisível por 8.
98112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
78341 não é divisível por 8, pois 341 não é divisível por 8.
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Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando
a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for
divisível por 9.
Exemplo:
6192 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é
igual a 6+1+9+2=18, e como 18 é divisível por 9, então
6192 é divisível por 9.
Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por
10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
8970 é divisível por 10, pois termina em 0.
5987 não é divisível por 10, pois não termina em 0.
Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11
quando a diferença entre as somas dos valores absolutos
dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é
divisível por 11.
Exemplos:
87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si - Sp = 22 - 11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é
divisível por 11.
439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si - Sp = 10 - 21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se
o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo,
para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21.
Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível
por 11.
Divisibilidade por 12 Um número é divisível por 12
quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
1200 é divisível por 12, porque é divisível por 3 e por 4 ao
mesmo tempo.
870 não é divisível por 12 é divisível por 3, mas não é
divisível por 4.
8936 não é divisível por 12 é divisível por 4, mas não é
divisível por 3.
Divisibilidade por 14 Um número é divisível por 14
quando é divisível por 2 e por 7.
Divisibilidade por 15 Um número é divisível por 15 quando
é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.
Exemplos:
9105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 e por 5 ao
mesmo tempo.
9831 não é divisível por 15 é divisível por 3, mas não é
divisível por 5.
680 não é divisível por 15 é divisível por 5, mas não é
divisível por 3.
16 - Números Primos
Devemos antes de tudo lembrar o que são números primos.
Definimos como números primos aqueles que são divisíveis
apenas por 1 e ele mesmo.
Exemplos:
2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é primo.
23 tem apenas os divisores 1 e 23, portanto 23 é primo.
10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é primo.
Atenção:
1 não é um número primo, porque ele tem apenas um
divisor ele mesmo.
2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados
números compostos.
Exemplo: 36 tem mais de dois divisores então 36 é um
número composto.
Como saber se um número é primo
Devemos dividir o número dado pelos números primos
menores que ele, até obter um quociente menor ou igual ao
divisor.
Se nenhum das divisões for exata, o número é primo.
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser escrito na
forma de uma multiplicação em que todos os fatores são
números primos. É o que nós chamamos de forma fatorada
de um número decomposição do número 36:
36 = 9 x 4
36 = 3 x 3 x 2 x 2
36 = 3 x 3 x 2 x 2 = 22 x 32
No produto 2 x 2 x 3 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 36 a decomposição de 36 num
produto de fatores primos.
Então a fatoração de 36 é 22 x 32
Método Prático Escrever a Forma Fatorada de um
Número Natural
Existe um dispositivo prático para fatorar um número.
Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse
dispositivo:
1º Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º A seguir, dividir o quociente obtido pelo seu menor divisor
primo.
3º Proceder dessa forma, daí por diante, até obter o
quociente 1.
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4º A forma fatorada do número
120 = 23 x 3 x 5
Determinação dos divisores de um número
Na prática determinamos todos os divisores de um
número utilizando os seus fatores primos.
Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 72:
1º Fatoramos o número 72.
2º Traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque
ele é divisor de qualquer número.
3º Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos
divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado
de cada fator primo.
4º Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.
Então o conjunto dos divisores de 72 =
{1,2,3,4,6,8,9,12,18,36,72}
17 - Máximo Divisor Comum
(mdc)
O máximo divisor comum entre dois ou mais números
naturais não nulos (números diferentes de zero) é o maior
número que é divisor ao mesmo tempo de todos eles.
Não vamos aqui ensinar todos as formas de se calcular o
mdc, vamos nos ater apenas a algumas delas.
Regra da decomposição simultânea
Escrevemos os números dados, separamos uns dos
outros por vírgulas, e colocamos um traço vertical ao lado
do último. No outro lado do traço colocamos o menor dos
fatores primos que for divisor de todos os números de
uma só vês.
O mdc será a multiplicação dos fatores primos que serão
usados.
Exemplos:
mdc (80; 40; 72; 124) mdc (12; 64)
Propriedade:
Observe o mdc (4, 12, 20), o mdc entre estes números é
4. Você deve notar que 4 é divisor de 12, 20 e dele
mesmo.
Exemplo
mdc (9, 18, 27) = 9, note que 9 é divisor de 18 e 27.
mdc (12, 48, 144) = 12, note que 12 é divisor de 48 e 144.
18 - Mínimo Múltiplo Comum
(mmc)
Regra da decomposição simultânea devemos saber que
existe outras formas de calcular o mmc, mas vamos nos ater
apenas a decomposição simultânea.
OBS: Esta regra difere da usada para o mdc, fique atento as
diferenças.
Exemplos:
mmc (18, 25, 30) = 720
1º: Escrevemos os números dados, separados por vírgulas,
e colocamos um traço vertical a direita dos números dados.
2º: Abaixo de cada número divisível pelo fator primo
colocamos o resultado da divisão. O números não divisíveis
pelo fator primo são repetidos.
3º: Continuamos a divisão até obtermos resto 1 para todos
os números.
mmc (4, 8, 12, 16) = 48 mmc (10, 12, 15) = 60
Propriedade:
Observe, o mmc (10, 20, 100) , note que o maior deles é
múltiplo dos menores ao mesmo tempo, logo o mmc entre
eles vai ser 100.
Exemplo:
mmc (150, 50 ) = 150, pois 150 é múltiplo de 50 e dele
mesmo
mmc (4, 12, 24) = 24, pois 24 é múltiplo de 4, 12 e dele
mesmo
Exercícios
1. Determine s e t inteiros tais que MDC(a, b) = sa + tb
para os seguintes pares de inteiros:
a) a=145; b=72;
b) a=896; b=143
c )a=-123; b=32;
d) a=-75; b=-15;
2. Classifique cada afirmação abaixo em Verdadeira
ou Falsa, justificando:
a) MDC de dois números naturais expressos por n
e 2n+1 é sempre 1, para qualquer natural n.
b) Considere a e b números naturais. Então
MDC(a, ab+1) = 2.
c) MDC de dois números naturais é sempre um
divisor do MMC destes mesmos números. Se a
e b são relativamente primos, MMC(a, b) = |a.b|.
d) MDC de dois números naturais é sempre um
divisor do MMC destes mesmos números.
3. Seja a ∈ N .
a) Determine o
mdc( a , a + 1) ;
mdc( a , a + 2 ) ?
c) Quais as possibilidades para o mdc( a , a + 6) ?
d) Quais as possibilidades para o mdc( a , 3a + 5) ?
b) Quais as possibilidades para o
O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números
naturais não nulos(números diferente de zero), é o menor
número que múltiplo de todos eles.
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4. Prove que o mdc de 2 números inteiros divide o
mmc destes números.
5. Determine todos os números de três algarismos
divisíveis por 8, 11 e 12, simultaneamente.
17. Dois números naturais não primos entre si, mas um
deles sendo primo, são tais que a soma do
quadrado do seu mdc com o quadrado do seu mmc
é 4394. Determine estes números.
6. Quais são as possibilidades para dois números
naturais que têm mdc e mmc iguais?
18. Considere a e b números naturais não primos
entre si, cujo produto é 420. Determine mdc(a, b).
7. Encontre todos os possíveis pares de números
naturais cujo produto é 3600 e cujo mmc é 1200.
19. Sejam m = 2 .3 .5 , n = 2 .3 .5 e p = 2 .5 .7 .
Escreva as condições que devem satisfazer r, s e
t para que n seja divisor comum de m e p.
8. Ache todos os possíveis pares de números cujo
produto é 2160 e o mdc é 20.
9. Determine dois números cuja soma é 120 e o
mmc é 144.
10. Achar o menor número natural que satisfaça
simultaneamente as condições:
• quando dividido por 2 tem resto 1;
• quando dividido por 3 tem resto 2;
• quando dividido por 4 tem resto 3;
• quando dividido por 5 tem resto 4;
• quando dividido por 6 tem resto 5;
• quando dividido por 7 tem resto 6;
• quando dividido por 8 tem resto 7;
• quando dividido por 9 tem resto 8.
11. Determine todos os possíveis números naturais n
tais que:
a) mmc(n, 54) = 54;
b)
mmc(n, 26) = 26.
12. O mmc dois números naturais a e b é igual a 1260
e quando dividimos este mmc pelos números a e
b o produto dos quocientes obtidos é igual a 90.
Determine todos os números naturais a e b
satisfazendo esta condição.
13. O mmc dois números naturais é 300. Dividimos
este mmc por a e b, os quocientes obtidos são
tais que o seu produto vale 50. Determinem todos
os pares de números a e b que satisfazem estas
condições.
14. Prove que o produto de três números
consecutivos é divisível por 6.
15. Se o resto da divisão de um número primo por 3 é
1, mostre que na divisão deste número por 6 o
resto também é 1.
16. Prove: se o resto da divisão de um número inteiro
n por 6 é 5, então o resto da divisão de n por 3 é
2.
6
2
3
2
r
2
s
t
5
4
3
5
20. Dados a = 3 .19.71 , b = 2.3 .19.61 e c =
24.192.71, determine:
a) MDC(a,b);
b)
MDC(a,b,c);
c)
MMC(a,b);
d) MDC(b,c);
e)
MMC(a,c).
21. Seja
x = 2 ⋅ 5 3 ⋅ 17 4 ⋅ 41 , y = 3 4 ⋅ 17 6 ⋅ 312 e
z = 2 3 ⋅ 5 ⋅ 416 ⋅ 47 2 . Determine
b)
mdc( x , z ) ;
a) mdc( x , y ) ;
c)
mdc( x , y , z ) ;
d) mmc( x , y ) ;
e)
mmc( x , z) .
22. Encontre
mdc( a , b ) e mmc( a , b ) , através da
decomposição em fatores primos:
a) a = 20.600, b = 3.300; b)
a = 147.875, b =
166.725.
23. Encontre os valores de x para os quais mdc(20+x, x)
= 4.
24. Verifique se são primos os números: 269, 287, 611,
−709, 1999, 551 e 409.
25. Decomponha em fatores primos os números 2574,
9669, 778, 2390, 718, 1767, 8473, 51262, 10857,
9999, −583, −11000 e 20315.
26. Determine os valores de m e n para que o número
x = 2 3 ⋅ 5 m ⋅ 7 n tenha 84 divisores positivos.
27. Determine o número n = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 , sabendo que
elimina-se 24 divisores de n ao dividi-lo por 2, 18 ao
dividi-lo por 3 e 12 quando dividimos n por 5.
x
y
z
28. Determine os menores números naturais m, n com
10 e 21 divisores respectivamente tais que,
mdc(m, n) = 18 .
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29. De um aeroporto, partem todos os dias, 3 aviões
que fazem rotas internacionais. O primeiro avião
faz a rota de ida e volta em 4 dias, o segundo em
5 dias e o terceiro em 10 dias. Se num certo dia
os três aviões partem simultaneamente, depois de
quantos dias esses aviões partirão novamente no
mesmo dia?
30. Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm período
de translação em torno do Sol de
aproximadamente 12, 30 e 84 anos,
respectivamente. Quanto tempo decorrerá, depois
de uma observação, para que eles voltem a
ocupar simultaneamente as mesmas posições em
que se encontram no momento de observação?
31. Um terreno retangular de 221 m por 117 m será
cercado. Em toda a volta deste cercado serão
plantadas árvores igualmente espaçadas. Qual o
maior espaço possível entre as árvores?
32. Duas pessoas fazendo seus exercícios diários
partem de um mesmo ponto e contornam,
andando, uma pista oval que circula um jardim.
Uma dessas pessoas andando de forma mais
acelerada, dá uma volta completa na pista em 12
min , enquanto a outra, andando mais devagar,
leva 20 min para completar a volta. Depois de
quantos minutos essas duas pessoas voltarão a
se encontrar no ponto de partida?
33. A editora do livro “Matemática” recebeu pedidos
de três livrarias sendo que um pedido de 1300
livros, o segundo pedido de 1950 livros e o
terceiro pedido de 3900 livros. A editora deseja
remeter em n pacotes iguais de tal forma que n
seja o menor possível. Calcule o valor de n.
34. Três peças de tecido medem respectivamente,
180m, 252m e 324m. Pretende-se dividir em
retalhos de igual comprimento. Qual deverá ser
esse comprimento de modo que o número de
retalhos seja o menor possível? Em quantos
pedaços as peças serão dividas?
19 - Divisão Proporcional
Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser
medido, contado.
O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a
capacidade, a velocidade, o tempo,
são alguns exemplos de grandezas.
No nosso dia-a-dia encontramos varias situações em que
relacionamos duas ou mais grandezas.
Em uma corrida quanto maior for a velocidade, menor será o
tempo gasto nessa prova.
Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.
Numa construção, quanto maior for o número de
funcionários, menor será o tempo gasto para que esta fique
pronta. Nesse caso, as grandezas são o número de
funcionário e o tempo.
Grandezas Diretamente Proporcionais Em um determinado
mês do ano o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando
como base esse dado podemos formar a seguinte tabela.
Quantidade de gasolina (em litros) Quantidade a pagar
(em reais)
1 0,50
2 1,00
3 1,50
Observe:
Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago
também dobra.
Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago
também triplica.
Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser
paga e quantidade de gasolina, são chamadas grandezas
diretamente proporcionais.
Duas grandezas são chamadas, diretamente proporcionais
quando, dobrando uma delas a outra também dobra;
triplicando uma delas a outra também triplica.
Observe, que as razões são iguais.
Grandezas inversamente proporcionais
Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir
entre os seus melhores alunos. Se ele escolher apenas 2
alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher
4alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6
alunos, cada um deles receberá 4 livros.
Observe a tabela:
Número de alunos escolhidos.
Números de livros para cada aluno
2 12
46
64
Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela
metade.
Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai
para a terça parte.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando,
dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade;
triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte...
e assim por diante.
Quando duas grandezas são inversamente proporcionais,
os números que expressam essas grandezas variam um na
razão inversa do outro.
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20 - Regra de Três: Simples e
Composta
Consta na história da matemática que os gregos e os
romanos conhecessem as proporções, porem não
chegaram a aplicá-las na resolução de problemas.
Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra
de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa
difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber
Abaci, com o nome de Regra de Três Números
Conhecidos.
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver
problemas que envolvam quatro valores dos quais
conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar
um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples.
· Construir uma tabela, agrupando as grandezas da
mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha
as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
· Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.
· Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
a) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12
m do mesmo tecido?
Observe que as grandezas são diretamente proporcionais,
aumentando o metro do tecido aumenta na mesma
proporção o preço a ser pago.
Observe que o exercício foi montado respeitando o
sentido das setas.
A quantia a ser paga é de R$234,00.
b) Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso
em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h,
em quantas horas seria feito o mesmo percurso?
Observe que as grandezas são inversamente
proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui
na razão inversa.
a) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia.
Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para
descarregar 125m3?
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos
diminuir o número de caminhões.
Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para
cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o
número de caminhões. Portanto a relação é diretamente
roporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar
a razão que contém o termo x com o produto das outras
razões de acordo com o sentido das setas.
Resolução:
Será preciso de 25 caminhões.
Exercícios
1. Um veículo trafegando com uma velocidade média de 60
km/h, faz determinado percurso em duas horas. Quanto
tempo levaria um outro veículo para cumprir o mesmo
percurso se ele mantivesse uma velocidade média de 50
km/h?
2. Uma roda d’água dá 39 voltas em 13 minutos. Quantas
voltas terá dado em uma hora e meia?
3. Duas rodas dentadas estão engrenadas uma na outra. A
menor delas tem 12 dentes e a maior tem 60 dentes.
Quantas voltas terá dado a menor quando a maior der 10
voltas?
4. Qual é a altura de um edifício que projeta uma sombra de
20m, se, no mesma instante, uma estaca vertical de 1 ,5m
projeta uma sombra de 0,5m?
5. Um rato está 45 metros à frente de um gato que o
persegue. Enquanto o rato corre 8m, o gato corre 11m. Qual
a distância que o gato terá de percorrer para alcançar o
rato?
Resolução:
Observe que o exercício foi montado respeitando os
sentidos das setas.
6. Um gato está 18m á frente de um cão que o persegue.
Enquanto o gato corre 7m, o cão corre 9m. Quantos metros
o cão deverá percorrer para alcançar o gato?
Regra de Três Composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com
mais de duas grandezas, direta ou inversamente
proporcionais.
Exemplo:
7. (ESAF – MAIO/09)Existem duas torneiras para encher um
tanque vazio.Se apena a primeira torneira for aberta, ao
máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a
segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá
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em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao
mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque
enchera?
metros de altura, funcionando a 2.000 rotações por minuto,
de quanto será o consumo?
8. (UPE) Para construir uma quadra de futebol , 30
operários levam 40 dias. Quantos dias
levariam 25 operários, de mesma capacidade que os
primeiros, para construírem uma quadra idêntica?
15. Se 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24
operários que trabalhavam 7horas por dia, então quantos
dias serão necessários para terminar o trabalho, sabendo
que 4 operários (oram dispensados e que o restante agora
trabalha 6 horas por dia?
9. (UPE) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual ciência,
são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, operando 5
horas por dia. Se 10 máquinas iguais as primeiras
operassem 10 horas por dia. durante 10 dias, o número de
peças produzidas seria:
10. (UPE) 60 operários constroem um galpão em 12 s.
Quantos dias são necessários para se construir um galpão
de mesmas proporções do anterior com apenas 10
operários?
11. (Covest) Uma obra será executada por 13 operários
(de mesma capacidade de trabalho)
trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6
horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3
operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos
operários restantes no prazo estabelecido anteriormente.
Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários
restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no
prazo previsto?
2
3
12. (Covest) Suponha que x macacos comem x bananas
em x minutos (onde x ê um numero natural dado). Em
quanto tempo espera-se que 5 destes macacos comam 90
bananas?
13. (TRE/PE-2004) Uma máquina corta 15 metros de
papel por minuto. Usando-se outra máquina, com 60% da
capacidade operacional da primeira, é possível cortar 18
metros do mesmo tipo de papel em:
14. (CESESP-82) Um motor de helicóptero consome 45
litros de combustível em 2 horas
de vôo quando funciona a 1.500 rotações por minuto, na
altitude de 1.000 metros. Sabendo- se que, quanto maior
a é altitude maior é o consumo, em 1 hora de vôo, a 1.500
16. Se 27 operários, trabalhando 6 horas por dia levaram 40
dias para construir um parque de formato retangular
medindo 450m de comprimento por 200m de largura,
quantos operários serão necessários para construir um novo
parque, também retangular, medindo 200m de comprimento
por 300m de largura, em 18 dias e trabalhando 8 horas por
dia?
17. (ESAF – MAIO/09)Com 50 trabalhadores com mesma
produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria
pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10
horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os
primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?
21 - Porcentagens
Toda fração de denominador 100, representa uma
porcentagem, como diz o próprio nome por cem.
Exemplo:
Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima
significa por cento.
Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este
símbolo % aparece com muita freqüência em jornais,
revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.
Exemplos:
O crescimento no número de matricula no ensino
fundamental foi de 24%.
A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano.
Desconto de 25% nas compras à vista.
Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser
representada na forma de números decimal, observe os
exemplos.
Exemplos:
,,,
Trabalhando com Porcentagem
Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.
Exemplos:
1. Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você
ganha um desconto de 10%.
Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?
(primeiro representamos na forma de fração decimal)
10% de 100 10% x 100
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300 – 30 = 270
Logo, pagarei 270 reais.
devemos acrescentar nesta sacola para que os caramelos
de fruta sejam 70% do total ?
2. Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m.
Determine quantos metros de mangueira Pedro usou.
32% =
Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira.
6) Um professor de tênis comprou várias bolas, que
acabaram de sofrer um aumento de 5% no preço de cada
uma. Se não houvesse este aumento o professor poderia ter
comprado com a mesma quantidade de dinheiro, mais três
bolas. Quantas bolas o professor comprou ?
3. Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto
devo vendê-la, se quero obter um lucro de 25% sobre o
preço de custo.
O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro.
Então, 2000 + 500 = 2500 reais.
Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais.
4. Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25
000 reais. Quantos por cento eu obtive de lucro?
Lucro: 25 000 – 20 000 = 5 000 ( preço de venda menos o
preço de custo)
(resultado da divisão do lucro pelo preço de custo)
5. O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%,
passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o
preço desta casa antes deste aumento?
Porcentagem Preço
120 35 000
100 x
Logo, o preço anterior era 29 166,67
7) Uma jarra tem 600g de uma mistura de água e açúcar, na
qual 20% é de açúcar. Quanto de água devemos crescentar
para que a mistura passe a ter 5% de açúcar ?
8) Um comerciante aumentou os preços de suas
mercadorias em 150%. Como a venda não
estava satisfatória, volta aos preços praticados antes do
aumento. Em relação aos preços aumentados, qual foi o
percentual de redução ?
9) Numa certa população 18% das pessoas são gordas,
30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são
gordas. Qual a porcentagem de homens na população ?
10) A porcentagem de fumantes de uma cidade é de 32%.
Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o número de
fumantes ficará reduzido a 12800. Calcule:
a)o número de fumantes da cidade.
Exercícios
b)o número de habitantes da cidade.
1) Uma mercadoria que custava R$ 24,00 sofreu um
aumento passando a custar R$ 28,80. Qual foi a taxa de
aumento?
2) Em junho de 1997, com a ameaça de desabamento da
Ponte dos Remédios, em São Paulo, o desvio do tráfego
provocou um aumento do fluxo de veículos em ruas
vizinhas, de 60 veículos por hora, em média para 60
veículos por minuto, em média, conforme noticiário da
época. Admitindo-se esses dados, o fluxo de veículos
nessas ruas no período considerado aumentou de
quantos porcentos?
3) O preço de certa mercadoria sofre anualmente um
aumento de 100%. Supondo que o preço atual seja de R$
100,00, daqui a três anos qual será o preço dessa
mercadoria ?
4) Um vendedor ambulante vende seus produtos com um
lucro de 50% sobre o preço de venda. Qual é o seu lucro
sobre o preço de custo ?
5) Em uma sacola existem 200 caramelos, sendo 110 de
frutas e o resto de leite. Quantos caramelos de fruta
11) Alegando prejuízos com a inflação, um comerciante
aumentou seus preços em 50%.
Logo em seguida, notando grande queda nas vendas,
anunciou um desconto geral de 50%. A variação percentual
sofrida entre preços final e inicial, em termos de valores
originais é igual a:
a) 0%
b) 75%
c) 25%
d) 30%
e) 50%
12) As promoções do tipo "leve 3 pague 2", comuns no
comércio, acenam com um desconto
sobre cada unidade vendida, de:
a) (50/3)%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) (100/3)%
13) Se os preços aumentam 10% ao mês , a porcentagem
de aumento no trimestre será:
a) 30%
b) 33%
c) 33,1%
d) 10%
e) 1,331%
14) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu
um aumento de 80% em maio
e 80% em novembro. Seu salário atual é de :
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a) 2,56x
b) 1,6x
c) 160x
d) 2,6x
e) 3,24x
15) Suponha que, após 2 meses, uma ação tenha se
valorizado 38%. Sabendo-se que a
valorização no primeiro mês foi de 15%, podemos afirmar
que sua valorização no
segundo mês foi de:
a) 23% b) 21,5%
c) 20%
d) 19,5%
e) 18,5%
16) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de
15% e 20% respectivamente, a área
do retângulo é aumentada de:
a) 35%
b) 30%
c) 3,5%
d) 3,8%
e) 38%
17) Descontos sucessivos de 20% e 30% são
equivalentes a um
único desconto de:
a) 25%
b) 26%
c) 44%
d) 45%
e) 50%
18) Um país A tem a % da população e b % da riqueza
mundial. O país B tem c % da população mundial e d %
da riqueza do mundo. Supondo que os cidadãos do país A
compartilham por igual das riquezas de A e que os
cidadãos de B compartilham por igual riquezas de B,
assim a razão da riqueza de um cidadão de A para a
riqueza de um cidadão de B é igual a:
a) ac/bd
b) ad/bc
c) bd/ac
d) ab/cd
e) bc/ad
19) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições:
à vista com 30% de desconto sobre o preço de tabela, ou
no cartão de crédito com 10% de acréscimo sobre o preço
da tabela.Um artigo que à vista sai por R$ 70,00, no
cartão sairá por:
a) R$ 130,00 b) R$ 110,00 c) R$ 101,00 d) R$ 98,00 e) R$
77,00
20) Uma compra de R$ 100000,00 deverá ser paga em
duas parcelas iguais, sendo uma à vista e a outra a
vencer em 30 dias. Se a loja cobra juros de 20% sobre o
saldo devedor, então o valor de cada parcela
desprezando-se os centavos, será de :
a)R$ 54545 b)R$ 56438 c)R$ 55000 d)R$ 58176
e)R$ 60000
22 - Sistemas de Medidas
Comprimento
Leitura das Medidas de Comprimento
A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada
com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a
seguinte medida: 15,048 m.
Seqüência prática
1º) Escrever o quadro de unidades:
km hm dam m dm cm mm
2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o
último algarismo da parte inteira
sob a sua respectiva.
km hm dam m dm cm mm
1 5, 0 4 8
3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida
do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da
unidade de medida do último algarismo da mesma. 15
metros e 48 milímetros
Outros exemplos:
6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"
82,107 dam lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete
centímetros".
0,003 m lê-se "três milímetros".
Transformação de Unidades
Observe as seguintes transformações:
• Transforme 16,584hm em m.
•
km hm dam m dm cm mm
Para transformar hm em m (duas posições à direita)
devemos multiplicar por 100 (10 x 10).
16,584 x 100 = 1.658,4
Ou seja:
16,584hm = 1.658,4m
• Transforme 1,463 dam em cm.
•
km hm dam m dm cm mm
Para transformar dam em cm (três posições à direita)
devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10
x 10).
1,463 x 1.000 = 1,463
Ou seja:
1,463dam = 1.463cm.
• Transforme 176,9m em dam.
•
km hm dam m dm cm mm
Para transformar dam em cm (três posições à esquerda)
devemos dividir por 10.
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176,9 : 10 = 17,69
Ou seja:
176,9m = 17,69dam
• Transforme 978m em km.
•
km hm dam m dm cm mm
Para transformar m em km (três posições à esquerda)
devemos dividir por 1.000.
978 : 1.000 = 0,978
Ou seja:
978m = 0,978km.
Áreas
Medindo Superfícies
Assim como medimos comprimento, também medimos
superfícies planas. Quando falamos em medir uma
superfície plana, temos que compara-la com outra tomada
como unidade padrão e verificamos quantas vezes essa
unidade de medida cabe na superfície que se quer medir.
Unidade de Medida de Superfície
Devemos saber que a unidade fundamental usada para
medir superfície é o metro quadrado(m2), que
corresponde a área de um quadrado em que o lado mede
1 m.
Atenção: Você deve ter notado que cada unidade é maior
que a unidade imediatamente inferior 1000 vezes ou 1000
vezes menor que a unidade imediatamente superior.
No seu dia a dia, você deve ter observado que as unidades
mais usadas são, o m3, cm3 e dm3.
Lendo unidades de volume 4,35 cm3 = Quatro centímetros
cúbicos e trinta e cinco milímetros cúbicos ou quatro virgula
35 centímetros cúbicos. 12,123 m3 = Doze metros cúbicos e
cento e vinte e três decímetros cúbicos ou doze vírgula
cento e vinte e três metros cúbicos.
Transformando unidades 2,234 m3 para dm3 = 2234 dm3
(Observe que a vírgula deslocou para direita 3 casas)
4,4567 dm3 para cm3 = 4456,7 cm3 (Observe que a vírgula
deslocou para direita 3 casas) 4567,5 dm3 para m3 =
4,5675 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 3
casas) 45 cm3 para m3 = 0,000045 (Observe que a vírgula
deslocou para esquerda 6 casas como não tínhamos mais
números completamos com zeros)
Exercícios
1. Transformar para metros:
a) 6,1 2km
b) 6,4dm
c) 0,52hm
Quadro de Unidades Usadas para Medir Superfícies
Múltiplos Unidade fundamental Submúltiplos
d) 8.200cm
km² hm² dam² m² dm² cm² mm²
1.000.000m
2 10.000m 2 100m 2 1m 2 0,01m 2 0,0001m 2 0,000001m
2
Observe que cada unidade é 100 vezes maior que a
unidade imediatamente anterior.
2. Transformar para centímetros:
a)1,3m
b) 42,7dm
Volume
c) 28mm
Chamamos de volume de um sólido geométrico, o espaço
que esse sólido ocupa.
Medindo Volume
Para medirmos volume, usamos a unidade denominada
metro cúbico (m3).
O que é 1 m3?
É o volume de um cubo, em que suas arestas medem 1m.
Exemplo:
Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
Múltiplos Unidade fundamental Submúltiplos
Km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³
d) 1 ,036dam
1. Transformar para metros quadrados:
a) 0,03km2
2
b) 0,58hm
2
c) 6,4dam
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2. Transformar para decâmetros quadrados:
2
f) 32,7hl para dm
3
g)0,6dam para kl
a) 580m
b) 66.000dm
2
3
h) 3.200mm para dl
2
c) 53.700cm
IV. Medidas de massa
3. Transformar para centímetros quadrados:
a) 0,06m2
1. Transformar para decigramas:
2
b) 53dm
a) 0,03kg
2
c) 480mm
b) 3.200mg
III. Medidas de volume
c) 5,2hg
d) 200cg
1. Transformar para metros cúbicos:
23 - Equações do 1º Grau
3
a) 7.500dm
Equações do 1º grau com uma variável
Equação é toda sentença matemática aberta representada
por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que
representam números desconhecidos.
Exemplo: X + 3 = 12 – 4
Forma geral:
ax = b, em que x representa a variável (incógnita) e a e b
são números racionais, com a 0.
Dizemos que a e b são os coeficientes da equação.(ax = b,
é a forma mais simples da equação do 1º grau)
3
b) 0,002hm
3
c) 35.800.000cm
2.Transformar para litros:
a) 13,52hl
b) 32.000cl
c) 5,72dl
3.Transformar para a unidade pedida:
a) 23,5m3 para kI
3
b) 4,3 dm para
3
c) 58,6cm para ml
d) 16,7m3 para dal
3
e) 2,85dl para cm
Exemplos:
x - 4 = 2 + 7, (variável x)
2m + 6 = 12 – 3 ,(variável m)
-2r + 3 = 31, (variável r)
5t + 3 = 2t – 1 , (variável t)
3(b – 2) = 3 + b,(variável b)
4 + 7 = 11, (é uma igualdade, mas não possui uma variável,
portanto não é uma equação do
1º grau)
3x – 12 > 13, (possui uma variável, mas não é uma
igualdade, portanto não é uma equação
do 1º grau)
Obs: Devemos observar duas partes em uma equação, o 1º
membro à esquerda do sinal de
igual e o 2º membro à direita do sinal de igual.
Veja:
Conjunto Universo: Conjunto formado por todos os valores
que a variável pode assumir.
Representamos pela letra U.
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Conjunto Solução: Conjunto formado por valores do
conjunto U que tornam a sentença
verdadeira. Representamos pela letra S.
Exemplo:
Dentre os elementos do conjunto F = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual
deles torna a sentença matemática 2x – 4 = 2, verdadeira.
2(0) – 4 = 2 Errado
2(2) – 4 = 2 Errado
2(3) – 4 = 2 Verdadeiro
2(6) – 4 = 2 Errado
2(8) – 4 = 2 Errado
2(9) – 4 = 2 Errado
Devemos observar que o conjunto U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e
conjunto S = {3}
Raiz da equação
Um dado número é chamado de raiz da equação, quando
este torna a igualdade verdadeira.
Verificando se um dado número é raiz da equação:
Exemplos:
1. Vamos verificar se o número 4 é raiz da equação 9a – 4
= 8 + 6a
Equação 9a – 4 = 8 + 6a
Vamos substituir a por 4 >> 9(4) – 4 = 8 + 6(4) >> 36 – 4 =
8 + 24 >> 32 = 32
Então, o número 4 é raiz da equação ou seja conjunto
solução.
2. Vamos verificar se o número – 3 é raiz da equação 2x –
3 = 3x + 2.
Vamos substituir x por – 3 >> 2(-3) – 3 = 3(-3) + 2 >> - 6 –
3 = - 9 + 2 >> - 9 = - 7 ,
sentença falsa – 9 é diferente de –7 (- 9 … - 7).
Então – 3 não é raiz da equação ou seja não é conjunto
solução da equação.
Equações Equivalentes
Duas ou mais equações que possui o mesmo conjunto
solução (não vazio) são chamadas
equações equivalentes.
Exemplo:
1. Dada as equações , sendo U = Q.
x + 2 = 8, a raiz ou solução é = 6
x = 8 – 2, a raiz ou solução é = 6
x = 6, a raiz ou solução é = 6
Podemos observar que em todas as equações
apresentadas a raiz ou o conjunto solução é o
mesmo. Por esse motivo, são chamadas equações
equivalentes.
Resolvendo Equações do 1º Grau
Resolver uma equação do 1º grau em um determinado
conjunto universo significa determinar
a raiz ou conjunto solução dessa equação, caso exista
solução.
Resolução:
Exemplo:
Vamos resolver a equação 5a + 11 = - 4, sendo U = Q.
Aplicando o principio aditivo, vamos adicionar –11 aos
dois membros da equação, e isolar o
termo que contém a variável a no 1º membro.
5a + 11 = - 4
5a + 11 + (– 11) = - 4 + (– 11)
(adicionamos – 11 para podermos eliminar o + 11 do 1º
membro)
5a = - 4 – 11
5a = - 15
Aplicando o principio multiplicativo, vamos multiplicar os
dois membros por (1/5)
5a . (1/5) = - 15 . (1/5) (multiplicamos os dois lados por (1/5)
para podermos eliminar o 5
que multiplica a variável)
a=-3
logo – 3 0 Q, S = { - 3}
obs:
Devemos lembrar que equação é uma igualdade, tudo que
fizermos em um membro temos
que fazer no outro para que a igualdade permaneça.
Modo prático:
Se você prestou atenção na resolução, deve ter observado
que o número que estava em um
membro com determinado sinal aparece no outro membro
com sinal diferente, e quem estava
multiplicando aparece no outro membro dividindo. No
processo prático fazemos assim.
5a + 11 = - 4
5a = - 4 – 11(observe o sinal do número 11)
5a = -15
a = -(1/5) (observe o número 5)
a=-3
S = {- 3}
Resolvendo equações pelo método prático:
Exemplos:
1) Resolva as seguintes equações do 1º grau com uma
variável sendo U = Q
a) y + 5 = 8
y = 8 – 5 (+5 passou para o 2º membro – 5)
y=3
S = {3}
b) 13x – 16 = - 3x
13x + 3x = 16 (- 3x passou para o 1º membro + 3x)
16x = 16
x= 16/16 (16 estava multiplicando x, passo para o 2º
membro dividindo)
x=1
S = {1}
c) 3(x – 2) – (1 – x) = 13 (aplicamos a propriedade
distributiva da multiplicação)
3x – 6 – 1 + x = 13
3x + x = 13 + 6 +1 (+6 e +1, passaram para o 2º membro – 6
e – 1)
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4x = 20
x= 20/4 (4 passou para o 2º membro dividindo)
x=5
S = {5}
d) (tiramos o mmc)
5t –14 = 8t – 20 (cancelamos os denominadores)
5t – 8t = -20 + 14
- 3t = - 6 (multiplicamos por – 1, 1º membro é negativo)
3t = 6
t=2
S = {2}
2) Vamos resolver a equação 5x – 7 = 5x – 5, sendo U =
Q.
5x – 7 = 5x – 5
5x – 5x = - 5 + 7
0x = 2
x= 2/0
Não existe divisão por zero, dizemos que a equação é
impossível em Q, então S = { }(vazio).
3) Vamos resolver a equação 5x – 4 = - 4 + 5x.
5x – 4 = - 4 + 5x
5x – 5x = - 4 + 4
0x = 0
Dizemos que esta equação é indetermina (Infinitas
soluções), logo S = Q.
4) Determine o conjunto solução da equação 18m – 40 =
22m, sendo U = N.
18m – 40 = 22m
18m – 22m = 40
- 4m = 40 (-1)
4m = - 40
m= -40/4
m = -10
Não existe – 10 no conjunto N(naturais), logo S = { }.
Usando Equações para Resolver Problemas do 1º
Grau
Exemplos:
1)Um número somado com seu dobro é igual quinze.
Determine este número.
x + 2x = 15
3x = 15
x= 15/3
x=5
O número procurado é 5.
2)Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13
animais e 46 pés. Quantas galinhas e
quantos coelhos há nesse terreiro?
Coelho = x
Galinhas = 13 – x (total de animais menos o número de
coelhos)
Logo, 4x+2(13-x)=46 (número de pés de coelho vezes o
numero de coelhos + número de pés
de galinha vezes o número de galinha é igual ao total de
pés).
4x+2(13-x)=46
4x + 26 – 2x = 46
4x – 2x = 46 – 26
2x = 20
x= 20/2
x = 10
Número de coelhos = 10
Número de galinhas = 13 - 10 = 3
24 - Inequações de 1º grau
Denominamos de inequação, toda sentença matemática
aberta representada por uma desigualdade.
O sinais de desigualdade que usamos nas inequações são:
>(maior), <(menor), ≤(menor eigual), ≥(maior e igual).
Exemplos:
2x - 5 < 2, 4x - 3(x+2) > 5(x+9), 2m - 6 £ m - 700
Resolução
A forma que usamos para resolver as inequações é a
mesma usada nas equações, observando que as equações
são igualdades e as inequações são desigualdades.
Exemplos:
x-9>7-x
Obs: Observe que no segundo exemplo a inequação foi
multiplicada por -1, o sinal da equação que era <(menor),
passou a ser >(maior). Sempre que multiplicarmos uma
inequação por -1, temos que inverter o sinal da
desigualdade.
Exercícios
1. (UFPE-2004/2ª fase/Mat. 2) Um provedor de acesso à
internet cobra R$ 0,20 por hora de acesso durante o
dia, e R$ 0,08 por hora de acesso durante a noite. Se
um usuário pagou R$ 4,64 por 28 horas de uso, indique
quantas horas de acesso foram usadas durante a noite.
2. (UFPE-2004/2ª fase/Mat. 3) O preço da corrida de táxi
na cidade R é calculado adicionando um valor fixo de
R$ 2,50 a R$ 1,30 por cada quilômetro rodado,
enquanto na cidade S o preço é obtido adicionando um
valor fixo de R$ 3,40 a R$ 1,25 por quilômetro rodado.
A partir de quantos quilômetros rodados, o táxi da
cidade R deixa de ser mais barato que o da cidade S?
3. Uma dose de certa droga é injetada em um paciente e,
às 8h, a concentração sangüínea da droga é de 1,0
mg/ml. Passadas quatro horas a concentração passa a
ser de 0,2 mg/ml. Admitindo que a concentração seja
uma função linear do tempo, em quantos minutos,
contados a partir das 12h, a concentração da droga
será zero?
4. Um provedor de acesso à internet oferece dois planos
para seus assinantes:
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Plano A – Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$
0,03 por cada minuto de conexão durante o mês.
Plano B – Assinatura mensal de R$ 10,00 mais R$
0,02 por cada minuto de conexão durante o mês.
Acima de quantos minutos de conexão por mês é
mais econômico optar pelo plano B?
a) 160
b) 180
c) 200
d) 220
e) 240
5. (UCsal-BA) Em um certo país, as pessoas maiores
de 21 anos pagam um imposto progressivo sobre os
rendimentos. Esse imposto corresponde a 10% sobre
as primeiras 1.000 unidades monetárias recebidas e
20% sobre os ganhos que ultrapassam esse valor.
Nessas condições, indicando por i o valor do imposto
e por r uma renda superior a 1.000, tem-se:
a) i = 0,2r – 100
b) i = 100 + 0,2r
c) i = 0,3r
d) i = 100 + 0,3r
e) i = r – 100
6. (FGV-SP/Eaesp) Uma fábrica de camisas tem um
custo mensal dado por C = 5.000 + 15x, onde x é o
número de camisas produzidas por mês. Cada
camisa é vendida por R$ 25,00. Atualmente, o lucro
mensal é de:
7. R$ 2.000,00. Para dobrar esse lucro, a fábrica deverá
produzir e vender mensalmente:
a) O dobro do que produz e vende.
b) 100 unidades a mais do que produz e vende.
c) 200 unidades a mais do que produz e vende.
d) 300 unidades a mais do que produz e vende.
e) 50% a mais do que produz e vende.
8. (Unifor-CE) Um caminhoneiro gasta, mensalmente,
uma quantia fixa de R$ 800,00 na manutenção de
seu caminhão. Além disso, sabe-se que esse
caminhão consome, em média, 20 litros de diesel a
cada 100km rodados e que 1 litro de diesel custa R$
0,60. A expressão que permite calcular a sua
despesa mensal D, em reais, em função do número x
de quilômetros percorridos pelo caminhão no mês é:
a) D = 0,06 • (2x + 800)
b) D = 0,12 • x + 800
c) D = 0,06 • x + 800
d) D = 0,12 • x
e) D = 0,06 • x
9. (Fuvest-SP) A função que representa o valor a ser pago
após um desconto de 3% sobre o valor x de uma
mercadoria é:
a) f(x) = x – 3
b) f(x) = 0,97x
c) f(x) = 1,3x
d) f(x) = -3x
e) f(x) = 1,03x
10. (FGV-SP) Um terreno vale hoje R$ 40.000,00 e estimase que daqui a 4 anos seu valor seja R$ 42.000,00.
Admitindo-se que o valor do imóvel seja função do 1º
grau do tempo (medido em anos e com valor zero na
data de hoje), seu valor daqui a 6 anos e 4 meses será
aproximadamente:
a) R$ 43.066,00
b) R$ 43.166,00
c) R$ 43.266,00
d) R$ 43.366,00
e) R$ 43,466,00
11. O salário de uma vendedora é função de 1º grau do
total de suas vendas. Quando ela vendeu R$ 1.200,00
seu salário foi de R$ 300,00 e quando vendeu R$
1.800,00, seu salário foi de R$ 360,00. Quanto ela
precisa vender para ter um salário de R$ 500,00?
12. Uma empresa que produz um único artigo está
procurando determinar o volume de vendas (em reais)
para o mês de março de 1998, para que seu lucro
neste mês represente 30% do total das vendas. Para
produzir tal artigo, a empresa tem dois tipos de
despesas: uma fixa e uma despesa variável. A despesa
fixa foi estimada em R$ 120.000,00, enquanto a
despesa variável deverá ser igual a 40% do total das
vendas. Qual o volume de vendas que realiza as
expectativas do empresário?
a) R$ 400.000,00
b) R$ 500.000,00
c) R$ 200.000,00
d) R$ 280.000,00
e) R$ 375.000,00
13. A quantidade de combustível gasto por um veículo
blindado, por quilômetro rodado, está indicada pelo
gráfico abaixo. Qual a função que representa o
consumo C(d) em relação à distância d percorrida?
a)
b)
c)
d)
e)
C(d) = 0,75d
C(d) = 0,25d
C(d) = 1,75d
C(d) = 1,25d
C(d) = 1,20d
14. (COVEST) A poluição atmosférica em metrópoles
aumenta ao longo do dia. Em certo dia, a concentração
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de poluentes no ar, às 8h, era de 20 partículas, e, às
12h, era de 80 partículas, em cada milhão de
partículas. Admitindo que a variação de poluentes no
ar durante o dia é uma função afim do tempo, qual o
número de partículas poluentes no ar em cada milhão
de partículas, às 10h20?
a)
b)
c)
d)
e)
45
50
55
60
65
c) R$ 3.150,00
d) R$ 3.300,00
e) R$ 3.750,00
18. O gráfico abaixo informa a quantia a ser paga pelo
consumo de água, em certa cidade da Região
Nordeste. De acordo com o gráfico, um consumo de 28
3
m importa no pagamento de:
a) R$ 20,00
b) R$ 58,00
c) R$ 72,00
d) R$ 92,00
e) R$ 112,00
15. Uma empresa, para construir uma estrada, cobra
uma taxa fixa mais uma taxa que varia de acordo
com o número de quilômetros de estrada construída.
O gráfico abaixo descreve o custo da obra, em
milhões de dólares, em função do número de
quilômetros construídos. Qual será o custo total da
obra, sabendo que a estrada terá 50 km de
extensão?
16. Uma caixa d’água de forma cilíndrica é alimentada
por uma torneira. Aberta a torneira, o volume da caixa
d’água vai aumentando em função do tempo,
segundo o gráfico abaixo. Sabendo que o volume da
3
caixa d’água é 3,8 m e que a caixa estava vazia
quando a torneira foi aberta, quanto tempo a torneira
deve permanecer aberta para encher completamente
a caixa?
19. Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao
Maracanã 90.000 torcedores. Três portões foram
abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um
número constante de pessoas por minuto. A partir
desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo
constante de pessoas aumentou. Os pontos que
definem o número de pessoas dentro do estádio em
função do horário de entrada estão contidos no gráfico
a seguir. Quando o número de torcedores atingiu
45.000, o relógio estava marcando 15 horas e alguns
minutos. Encontre o valor destes minutos.
17. O valor de um carro popular decresce linearmente
com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que o
preço de fábrica é R$ 7.500,00 e que, depois de 6
anos de uso, é R$ 1.200,00, seu valor após 4 anos
de uso, em reais, é:
a) R$ 2.100,00
b) R$ 2.400,00
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