Pêndulo Simples Capítulo

Manual de Laboratório – Física Experimental I- Hatsumi Mukai e Paulo R.G. Fernandes
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Capítulo
Pêndulo Simples
6.1 Introdução:
Um pêndulo simples se define como uma massa m suspensa por um fio
inextensível, de comprimento L com massa desprezível em relação ao valor de m.
Se a massa se desloca para uma posição θ (ângulo que o fio faz com a vertical,
que deve ser < 150) e então for abandonada (velocidade inicial zero), o pêndulo
começa a oscilar. O caminho percorrido pela massa suspensa é chamado de arco.
O período de oscilação que vamos chamar de T é o tempo necessário para a
massa passar duas vezes consecutivas pelo mesmo ponto, movendo-se na mesma
direção, isto é, o tempo que a massa leva para sair de um ponto e voltar ao mesmo
ponto percorrendo o mesmo arco. O pêndulo descreve uma trajetória circular, um
arco de circunferência de raio L.
Estudaremos o movimento do pêndulo segundo as direções radial e
tangencial. Na ausência de atritos, as forças que agem sobre a partícula de massa
m são apenas duas: Seu peso, mg , vertical para baixo e a ação do fio, a tração T,
de direção radial e sentido indicado na figura 6.1.
Figura 6.1 - As grandezas T , P, Px e Py são grandezas vetoriais.
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Na ilustração (Fig. 6.1), as componentes da força peso segundo as direções
radial e tangencial valem:
Direção radial : Py = mg cos θ .
Direção tangencial : Px = mg senθ .
Equação do movimento segundo a direção radial
A segunda lei de Newton permite escrever
ma y = T − mg cos θ ,
(6.1)
como a y = 0 , não há movimento nesta direção T = mg cos θ .
Equação do movimento segundo a direção tangencial
dv
. Recordamos que, a componente
dt
tangencial da aceleração total descreve unicamente as variações do módulo da
velocidade da partícula, enquanto que a componente radial dá conta das
variações na direção da velocidade no decorrer do tempo. A segunda lei de
Newton permite escrever:
ma x = mg sen θ ,
(6.2)
lembrando sempre que as leis de Newton são aplicáveis em referenciais
inerciais.
Usando que: v = ω R , onde nesse caso R = L (comprimento do fio) e
derivando essa equação em relação ao tempo obtemos:
A aceleração da partícula é ax =
dω
d 2θ
ax = R
=L 2 ,
dt
dt
e lembrando que, no caso do pêndulo, a força max é do tipo restauradora
escrevemos ma x = − mg sen θ que na forma diferencial fica:
d 2θ g
+ sen θ = 0
dt 2 L
(6.3)
Oscilações de pequena amplitude
sen θ
Desenvolvendo o
sen θ = θ −
θ
3
3!
+
θ
5
5!
−
θ
7
7!
da eq. (6.3) em série de Taylor temos:
+ ........ (ângulo em radianos)
Quando o ângulo de oscilação do pêndulo é pequeno ( θ < 15 ), temos que
sen θ ≈ θ . Dessa forma, o pêndulo descreverá oscilações harmônicas descritas
pela equação diferencial
0
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d 2θ g
+ θ = 0,
dt 2 L
2
cuja solução é : θ (t ) = θ 0 cos (ω t + φ ) com freqüência ω =
freqüência angular é ω =
g
. Uma vez que a
L
2π
, o período de oscilação do pêndulo será, portanto
T
L
T = 2π
.
(6.4)
g
No final do apêndice C, mostramos uma forma alternativa de obter a expressão
(6.4) através dos conceitos de torque e momento de inércia.
Glossário
Ângulo =
Arco
x
⇒ θ (rad ) = (para ângulos pequenos)
Raio
L
θ = ângulo de oscilação
2π
ω=
= velocidade angular ou freqüência angular
T
T = período de oscilação = tempo necessário para uma oscilação completa
v=
1
= freqüência (expressa em Hz quando T é expresso em segundos)
T
6.2 Experimento: Pêndulo Simples
- Experimento 6.1:
Objetivos:
9 Obter experimentalmente a equação geral para o período de oscilação
de um pêndulo simples;
9 Determinar a aceleração da gravidade local;
9 Verificar a independência da massa no período.
Para isso iremos:
¾ Estudar o movimento de um pêndulo, verificando a relação entre o período
e o comprimento do fio;
¾ Observar a variação do período de oscilação de um pêndulo simples, em
função do ângulo θ (ângulo inicial de lançamento);
¾ Observar a relação entre o período e a massa pendular;
¾ Construção de gráficos a partir dos dados experimentais;
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¾ Interpretação física dos gráficos obtidos.
Materiais Utilizados:
•
•
•
•
•
•
•
•
Massa pendular;
Fio de suspensão;
Cronômetro;
Trena;
Fita adesiva;
Transferidor;
Balança;
Suporte na parede.
Procedimento:
1.
2.
3.
4.
M1 =
L(cm)
100
Ajuste o comprimento do fio do pêndulo de modo que tenha
uma medida pré-determinada da ponta do fio ao centro de
massa da massa pendular;
Para a realização do experimento, desloca-se a massa
pendular da posição de equilíbrio, até um ângulo θ  ,
obedecendo a relação de que este ângulo não deve ser
maior do que 15º.
Após ter deslocado a massa e determinado uma posição
inicial de lançamento, solta-se a massa e marca-se o tempo
de 10 oscilações completas, repetindo esta operação 3
vezes para cada comprimento L do fio; Utilize 5 diferentes
comprimentos para L;
Marque na tabela 6.1 os valores de L e o respectivo período
médio, T para três valores de massa pendular (divida em
equipes, cada equipe faz com uma massa de valor
diferente, sendo que apenas um comprimento de fio fique
fixo entre todas as equipes);
g
T(s)
M2 =
L(cm)
g
T(s)
100
M3 =
L(cm)
g
T(s)
100
Tabela 6.1 – Tabela de dados experimentais – Sugestão: cada equipe executa
o experimento com uma massa diferente e preenche-se a tabela.
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5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
A partir da tabela acima, construa os gráficos T x L (período
em função do comprimento do fio), na mesma escala, para
três massas pendulares: M1, M2 e M3;
Linearize, se necessário, o gráfico T x L e determine a
constante física envolvida; Faça a linearização utilizando
papel milimetrado e também com o di-log;
Obtenha a equação analítica (via regressão linear) da reta
obtida na linearização e trace a reta ajustada;
Se desejar, confeccione os gráficos no computador,
utilizando o software Microsoft Origin (qualquer versão) e
compare com os gráficos confeccionados manualmente;
Compare a medida da aceleração gravitacional obtida
experimentalmente em sala de aula (aceleração
determinada pela equação do período utilizando os dados
experimentais) com o valor existente na literatura científica
(dada por: g = 9,8 m/s²) e determine o desvio percentual;
Discuta os desvios encontrados entre os valores de g (valor
obtido em sala de aula com o da literatura);
Comente sobre a variação do período com a massa
pendular. Há dependência? Justifique.
6.3 Bibliografia
[1] D. Halliday, R. Resnick , J. Walker – Fundamentos de Física – Vol.1, 3ª
Edição LTC Editora - (1998);
[2] H. M. Nussenzveig – Curso de Física Básica – 1 – Mecânica – 3a Edição –
Edgard Blücher Ltda – (1996);
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