APOSTILA-ESTATISTICA- COMPLETA

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005
1
UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
DEPARTEAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
PROF. Ms. ARMANDO ANDREAZZA
Matemático-Mestrado em Economia-UFRGS/2003
Analista de Valores Mobiliários-APIMEC/CVM-2005
Agente Autônomo de Investimentos-24-11-2004
e-mail: [email protected]
Home Page: www.andreazza.com
RESUMO DOS CONTEÚDOS
E EXERCÍCIOS PRÁTICOS
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1° Trim.
2° Trim.
3° Trim.
4° Trim.
Caxias do Sul, março de 2005.
ESTATÍSTICA – GERAL a APLICADA - PROF ARMANDO ANDREAZZA - 2005
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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005
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PROBABILIDADE e ESTATÍSTICA
Prof. Armando Andreazza
CAPÍTULO 1 – CÁLCULO DAS PROBABILIDADDES
1) PROBABILIDADE :
É o modelo matemático construído para estudar os fenômenos aleatórios. Sabemos da
importância dos experimentos da ciência e da engenharia.
2)FENÔMENOS:
A) DETERMINÍSTICOS:
São aqueles cujas mesmas causas geram os mesmos efeitos.
EX.: 1) fenômenos de física. 2) gravidade, corrente elétrica.
B) ALEATÓRIOS: (determinísticos ou estocásticos):
São aqueles cujas mesmas causas geram efeitos diferentes.
Ex.: 1) sorteios 2)loterias 3)produção de peças. 4) pesquisas 5) jogos de dados
3)EXPERIMENTOS: SÍMBOLO: E
Experimentos: LANÇAR A MOEDA
: JOGAR UM DADO
fato de não se poder dizem de antemão qual será o resultado que
- Se caracterizam pelo
acontecerá.
- o resultado só será conhecido após a realização do experimento, embora sejam conhecidos
antecipadamente os seus possíveis resultados.
Ex.: 1)lançamento de uma moeda: cara(C) e coroa(K) à {C,K}.
2)jogar um dado: pode resultar as faces
à {1,2,3,4,5,6}.
3)máquina que fabrica parafusos: resultados à {defeituoso, não defeituoso}
4)medir "duração da vida” de uma lâmpada: à {0 < t < 6.000}
4) ESPAÇO AMOSTRAL:
Símbolo: S
No. de elementos do espaço: n(S).
É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório
n
Total de Resultados Possíveis: 2
Ex.: 1) jogar um dado. S = {1,2,3,4,5,6}
N(S) = 6
2) jogar duas moeda. S = {cc, ck, kc, kk}
N(S) = 4
Nos exemplos, abaixo, calcule o valor de S e N(S):
1)Loteria Esportiva :_____________________
2)O sexo de um bebê no 1º mês de vida?:____________________________
3)Verificar fusível:____________________________________________________
4)Contagem de chamadas telefônicas p/hora.:_______________________________
5)Jogar 2 dados.:________________________________________________
5) EVENTOS : A,B,C,... Um evento é um subconjunto A do espaço amostral S, i.é, é um
conjunto de resultados possíveis. Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Ex.: Seja um DADO à eventos são as faces PARES.
Assim, se A e B são eventos, então
1. A U B é um evento “ A, ou b, ou ambos”.
2. A I B é o evento A e B.
3. A é o evento “não-A”.
4. A – B é o evento “A , mas não-B”.
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6)TIPOS DE EVENTOS:
1–EVENTOS SIMPLES: formado por um elemento.
2-EVENTOS COMPOSTOS: formado por 2 ou + eventos
3-EVENTOS CERTOS: sempre ocorre na realização do evento
4-EVENTOS IMPOSSÍVEIS: nunca ocorre na real. do evento.
5-EVENTOS COMPLEMENTARES: é formado por todos os elementos do espaço
amostral(S), que não pertencem a “A”.
A ∪ A = S ou A ∩ A = 0
6-EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Não podem acontecer ao mesmo tempo e não
possuem elementos comuns.
Ex.: 1) Moeda: { Cara(C); Coroa(K)}
2) Fusível: { Queimado; Bom}
7- EVENTOS INDEPENDENTES: Podem acontecer simultaneamente, um não depende do outro.
Ex.:
1) duas moedas: cara(C) e coroa(K)
2) dois fusíveis: bom e bom.
8- EVENTOS DEPENDENTE OU CONDICIONAIS:
- Quando o aparecimento de um deles estiver condicionado, vinculado ou depender do
aparecimento anterior do outro.
ex.:1) jogar 1 moeda e considerar 3 casos: 3 coroas sucessivas.
2) seja uma urna com 30 bolas: retirar uma bola supondo que seja impar:
próxima ser múltiplo de 3 ? de 5?
qual a prob. da
9-EVENTO SOMA: A+B OU AUB: é a união de dois ou mais conjuntos.
A = {2,3) B = {4} à AUB = {2,3,4}.
É o evento que ocorre se A ou B ou ambos ocorrem.
A ∩ B ou A int B
10-EVENTO PRODUTO:
- É a interseção de conjuntos.
- É o evento que ocorre se A e B ocorrem.
- Ex.: lançar um dado :à A = {2,3,5} (Face com números primos)
B = {2} (par } à A inter B = {2} (Primo e Par)
CONCEITO DE PROBABILIDADE
Em qualquer experimento aleatório, há sempre uma incerteza quanto a ocorrência, ou não, de
determinado evento.
- Seja o espaço amostral S. A probabilidade de ocorrer o evento A. P(A) é uma função
definida no S(espaço amostral) que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes
axiomas:
I)
0 ≤ P(A) ≤1
II) P(C) = 1
III) P(I) = 0
IU) P(AUB)=P(A)+P(B)
Para eventos mutuamente exclusivos (A/\B = 0)
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DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE: ( A PRIORI)
P ( A) =
N ( A)
N (S )
P( A) =
No. CASOS FAVORÁVEIS
No. CASOS POSSÍVEIS
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE – PROCESSO DE FREQÜÊNCIA –
(A POSTERIORI).
fi
, onde N 
→ ∞
N
Se após N repetições de um experimento se observam fi repetições de um determinado evento então
a probabilidade é fi/n ou fi = fi/n ou P(A)= fi/n
P( A) = Lim
TEOREMAS PRINCIPAIS
I)TEOREMAS DA SOMA:
1º) P( A ∪ B ) = P(A) + P(B)à para dois eventos mutuamente excludentes
2º) P( A ∪ B ) = P(A) + P(B) – P( A ∩ B ) quando A ∩ B ≠ φ à eventos quaisquer
II) TEOREMAS DO PRODUTO
3º) P( A ∩ B ) = P(A).P(B)
à INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTCA.
º
4 ) P( A ∩ B ) = P(A) P(B/A)
à PROBABILIDADE CONDICIONAL
P( A ∩ B ) = P(B) P(A/B)
P(A/ B) =
P(AIB)
⇒ P(AIB) = P(B)P(A/ B)
P(B)
P(B / A) =
P( A I B)
⇒ P( A I B) = P( A)P(B / A)
P( A)
III) TEOREMA COMPLEMENTAR
P( A) = 1− P( A)
OBS.: Para 3 eventos quaisquer: A, B e C
1) P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) - P( A ∩ B ) - P( A ∩ C ) - P( B ∩ C ) +
+ P( A ∩ B ∩ C )
2) Para quaisquer eventos A e B: P(A)=P( A ∩ B )+P( A ∩ B )
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VI) TEOREMA DE BAYES
Se A1, A2,...,An, N eventos mutuamente exclusivos, cuja união é o espaço amostral S, isto é, um
dos eventos deve necessariamente ocorrer, então, se A é um evento, temos o seguinte teorema:
P( Ai / B) =
P( Ai ).P(B / Ai )
P( A1 ).P(B / A1 ) + ... + P( An ).P(B / An )
Ex.: 1- Tomamos duas caixas iguais. Na 1ª há 3 bolas brancas e 7 pretas e na 2ª. 1 branca e 4 pretas.
Escolhe-se uma caixa ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que é branca.
Qual é a probabilidade de que a caixa de onde foi extraída a bola seja a 1.ª?
COR \ CAIXAà
BRANCA
PRETA
CAIXA 1
3
7
CAIXA 2
1
4
1º à SELECIONAR A BOLA BRANCA
2º à P(C1), P(C2): SELECIONAR CAIXA.
P(C1) =1/2. P(C2)=1/2.
P(B/C1)=3/10
P(C1 / B) =
P(C1 ).P(B / C1 )
P(C1 ).P(B / C1 ) + P(C2 ).P(B / C2 )
P(B/C2)=1/5.
1/2. 3/10
3
P(C1 / B) =
= =0,6
1/2.3/10+1/2.1/5 5
Ex.: 2 – Vejamos a seguinte aplicação:
CORES \ URNAS
U1
PRETAS
3
BRANCAS
1
VERMELHAS
5
9
U2
4
3
2
9
U3
4
3
1
8
Questões:
- Escolher uma urna ao acaso e dela extrair uma bola. Verifica-se que é branca.
qual a probabilidade de ter vinda da urna: a) U2
b) U3
A) Resp.:
P(Ui) = 1/3 pois P(U1) = P(U2) = P(U3).
P(Br/U1)= 1/9
P(Br/U2)= 3/9
P(Br/U3)=3/8
1/ 3. 3/ 9
24
P(U2 / Br) =
= = 0,4068
1/ 3.1/ 9 +1/ 3.3/ 9 +1/ 3.3/ 8 59
B) Resp.: P(U3/Br)=27/59=0,457
EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO 1 –
PÁG. 23
1. Lance um dado e uma moeda.
a) Construa o espaço amostra
b) Enumere os seguintes eventos
A = {coroa, marcado por número par}
B = {cara, marcado por número ímpar}
C = {múltiplos de 3}
c) Expresse os eventos
I) B
II) A ou B ocorrem
III) B e C ocorrem
d) Quais dos eventos A, B e C são mutuamente exclusivos?
IV) A ∪ B
=
A∩B
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2. Se P(A) = 1/2; P(B) = 1/4 e A e B mutuamente exclusivos, calcular:
a) P( A )
b) P( B )
c) P(A ∩ B) =
d) P(A ∪ B) =
e) P( A ∩ B ) = P( A ∪ B ) =1 - P(A ∩ B)
é a 1ª Lei de Morgan
f) P ( A ∪ B ) = P ( A ∩ B ) = 1 - P(A ∪ B) é a
3. Se P(A)=1/2; P(B)=1/3 e P(A ∩ B)= 1/4
Calcule:
a) P ( A ∪ B ) =
2ª Lei de Morgan
b) P ( A ∪ B ) =
c) P ( A ∩ B ) =
4. Determine a probabilidade de cada evento:
a) um número par aparece no lançamento de um dado não viciado;
b) um rei aparece ao extrair-se uma carta de um baralho;
c) pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas;
d) pelo menos uma cara aparece no lançamento de "n" moedas;
e) duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho;
f) uma carta de copas e uma de ouro aparecem ao extraírem-se duas cartas de um baralho.
5. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3..., 50. Qual a probabilidade de:
a) o número ser divisão por 5;
b) terminar em 3;
c) ser primo;
d) ser divisível por 6 ou por 8.
6. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas, quando retiramos uma carta de um baralho?
7. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:
a) a soma ser menor que 4;
b) a soma ser 9;
c) o primeiro resultado ser maior do que o segundo.
7
8. Numa urna são misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas são retiradas (a, b)sem
reposição. Qual a probabilidade de a + b = 10?
9. Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida
ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a) ela não tenha defeitos graves;
b) ela não tenha defeitos;
c) ela ou seja boa ou tenha defeitos graves.
10. Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabilidade de
que:
a) ambas sejam perfeitas;
b) pelo menos uma seja perfeita;
c) nenhuma tenha defeito grave;
d) nenhuma seja perfeita.
11)Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de:
a) todas pretas;
b) exatamente uma branca;
c) ao menos uma preta.
12. Numa classe existem 5 alunos do 4º ano, 4 do 2º ano e 3 do 3º ano. Qual a probabilidade de serem
sorteados 2 alunos do 2º ano, 3 do 4º ano e 2 do 3º?
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13. Numa urna existem N bolas assim distribuídas: Nv (quantidade de bolas vermelhas); Na (quantidade de
bolas azuis) e Np (número de bolas pretas). Qual a probabilidade de retirarmos “n” bolas; sendo Nv (nº
de bolas vermelhas); Na (nº de bolas azuis) e Np (nº de bolas pretas).
EXERCÍCIOS – SÉRIE II – CAPÍTULO 1 – PÁG.30
P( A ∩ B) =1/4, calcular:
b) P(A/B); c)P(B/A); d) P[( A ∪ B ) / B ];
1. Dado P(A) = 1/2; P(B)=1/3 ;
a) P ( A ∪ B );
2. Faça A e B serem eventos com P(A)= 1/2 ; P(B)= 1/3 e P(A ∩ B)=1/4
Encontre P ( A / B ) e
P( B / A ).
3. Qual a probabilidade de que r pessoas façam aniversário em dias distintos?
4. As probabilidades de 3 jogadores marcarem um “penalty” são respectivamente 2/3, 4/5 e 7/10.
Se cada um “cobrar” uma única vez, qual a probabilidade de:
a) todos acertarem;
b) apenas um acertar;
c) todos errarem.
5. A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado abaixo é dada por “p”. Se todos os
relés funcionarem independentemente, qual será a probabilidade de que haja corrente entre os terminais L
e R?
+----------| |----------| |-----------+
L
|
1
2
|
R
.---è-----|
|-è------.
|
|
----------| |--------| | ------------3
4
6. Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4 vermelhas e 3 pretas. Outra contém 18 bolas: 5 brancas, 6
vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de que as duas bolas
sejam da mesma cor?
7. Numa bolsa temos 5 moedas de R$ 1,00 d 4 de R$ 0,50. Qual a probabilidade
de, ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50?
8.Uma urna contém 5 bolas pretas, três vermelhas e duas brancas. Foram extraídas 3 bolas com
reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas
bolas pretas e uma vermelha?
9. A urna nº1 contém: 1 bola vermelha e 2 brancas. A urna no.2 contém:2 bolas vermelhas e 1 branca.
Tiramos aleatoriamente uma bola da urna nº1, colocamos na urna nº2 e misturamos. Em seguida tiramos
aleatoriamente uma bola da urna nº2. Qual é a probabilidade de tirarmos uma bola branca da urna nº2?
10. A urna 1 contém "x" bolas brancas, e "y" bolas vermelhas. A urna 2 contém "z" bolas brancas e "v"
vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1 e posta na urna 2. A seguir uma bola é escolhida ao
acaso da urna 2. Qual será a probabilidade de que esta bola seja branca?
11. Uma contém 10 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. São feitas retiradas aleatórias. Cada bola retirada é
resposta, juntamente com 5 bolas da mesma cor. Qual é a probabilidade de saírem nessa ordem: 1 preta,
1 preta, 1 vermelha, 1 vermelha? E nesta ordem: 1 preta, 1 vermelha, 1 preta, 1 vermelha? Dado que a
primeira bola é preta, qual é a probabilidade de que a segunda seja preta?
12. Uma caixa A contém 8 peças, das quais 3 são defeituosas e uma caixa B contém 5 peças, das quais
2 são defeituosas. Uma peça é retirada aleatoriamente de cada caixa:
I) Qual a probabilidade p de que ambas as peças não sejam defeituosas?
II) Qual é a probabilidade p de que uma peça seja defeituosa e a outra não?
III) Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual é a probabilidade p de que a peça defeituosa venha da
caixa A?
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13. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é 3/4 e de seu marido 3/5. Calcular a
probabilidade de:
a) apenas o homem estar vivo;
b) somente a mulher estar viva;
c) pelo menos um estar vivo;
d) ambos estarem vivos.
14. Uma urna A contém 4 bolas: 2 brancas, 2 pretas; uma urna B contém 5 bolas: 3 brancas, 2 pretas.
Uma bola é transferida de A para B. Uma bola é retirada de B e verificada ser branca. Qual é a
probabilidade de que a bola transferida tenha sido branca?
15. São dadas duas urnas A e B. A urna A contém uma bola preta e uma vermelha. A urna B contém duas
bolas pretas e três vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna B. Uma bola é então extraída ao
caso, da urna B. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor?
b) Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a Segunda foi preta?
16. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna e
abandonada, e duas de outra cor são colocadas na urna. Uma Segunda bola é então selecionada da urna.
Encontre a probabilidade de que:
I) a segunda bola seja vermelha; eI
II)ambas as bolas sejam da mesma cor.
17. Recorrendo-se ao problema precedente:
I)se a segunda bola é vermelha, qual é a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha?
II) se ambas são da mesma cor, qual é a probabilidade de que sejam brancas?
18) A urna A contém X bolas vermelhas e Y bolas brancas e a urna B contém Z bolas vermelhas e V bolas
brancas.
I) Se uma é selecionada ao acaso, e uma bola é retirada, qual é a probabilidade de que a bola seja
vermelha
II) Se uma bola é retirada da urna A e colocada na urna B, e uma bola é retirada da urna B, qual é a
probabilidade de que a segunda bola seja vermelha?
19) Uma urna contém X bolas brancas e Y bolas pretas. Extraem-se todas elas. Qual a probabilidade de
que saiam primeiro as brancas e as pretas ?
20) Seja E: lançar dois dados, e A = {(x1, x2)/x1+x2=8}
B={(x1,x2)/x1= x2)}
Calcular: a) P(A/B)
TEOREMA DE BAYES
21. Temos duas caixas: na primeira há 3 bolas brancas e 7 pretas e na 2ª., 1 bola branca e 5 pretas.
De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que é preta. Qual a probabilidade
de que a caixa de onde for extraída a bola seja a primeira? e a segunda?
22. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é 3/4, de B é 1/6 e de C é 1/20. a
probabilidade do indivíduo de classe A comprar um carro da marca D 1/10; de B comprar da marca D é 3/5
e de C é 3/10. Em certa loja comprou-se um carro da marca D. Qual a probabilidade de que o
indivíduo da classe B o tenha comprado?
23. Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais do que 1,80 m de altura. Por outro
lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de
1,80 m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher?
24. Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma
fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça
é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da
máquina B?
25. Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que têm
tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que não têm tuberculose
reagem positivamente. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso e o teste Y é aplicado. Qual
a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste?
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EXERCÍCIOS - SÉRIE III - CAPÍTULO 1 - PÁG. 34
1. Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem:
a) três caras;
b) duas caras e uma coroa;
c) uma cara; d) pelo menos uma coroa;
e) nenhuma cara.
2. São lançados dois dados. Qual a probabilidade de:
a) obter-se um par de pontos iguais;
b) um par de pontos diferentes;
c) um par em que o 1º < 2º;
d) a soma dos pontos ser um número par;
e) obter-se soma 7, se o par de pontos é diferente;
f) obter-se soma 6, dado que o par de pontos é igual;
g) a soma ser 14.
3. A probabilidade de o aluno X resolver esse problema é 3/5 e a do aluno Y é 4/7. Qual a probabilidade de
que o problema seja resolvido?
4. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número 5 ou um
número par?
5. Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição:
Homens
Mulheres
Menores
5
3
Adultos
5
2
Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de ser homem?
b) Qual a probabilidade de ser adulto?
c) Qual a probabilidade de ser menor e mulher?
d) Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a
probabilidade de ser homem?
e) Dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser
menor?
6. Um número é escolhido ao acaso no conjunto {1,2,3,...,20}. Verificar se são independentes os eventos:
a) X: o número é múltiplo de 3.
Y: o número é par.
b) M: o número é primo.
N: o número é impar.
7. Um grupo de 100 pessoas apresenta, de acordo com o sexo e filiação partidária, a seguinte composição:
SEXO
Homens
Mulheres
Arena
21
14
MDB
39
26
Calcular:
a)a probabilidade de um escolhido ser homem;
b)a probabilidade de um escolhido ser mulher do partido MDB;
c)a percentagem dos partidários do MDB;
d)a porcentagem dos homens filiados à Arena;
e)se o sorteado for da Arena, qual a probabilidade de ser mulher;
f)se o sorteado for homem, qual a probabilidade de ser MDB.
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I – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES - PROBABILIDADE
1.
Seja o experimento que consiste na extração de uma carta do baralho. Consideremos o evento A como extração
de um ás, o evento B a extração de um rei. Qual a P de, ao extrair uma carta do baralho, aparecer um ás ou um
rei ?
Resp.: 15,38%
2. Seja A o evento consistente na extração de ás e o evento B extração de uma carta de copas. Qual a P de, ao
extrairmos uma carta do baralho, aparecer um ás ou carta de copas?
Resp.: 30,7%
3. Seja A o evento que consiste na extração de um ás de um baralho com 52 cartas. Calcular a probabilidade do evento
A e de seu complemento.
Resp. a) 7,69% b) 92,30%
4.Extraem-se, com reposição, duas cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a P de que ambas sejam de ouro ?
Resp.: 6,25%
5. Resolver o problema anterior( no. 4) considerando o experimento, sem reposição
Resp.: 5,88 %
6.Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Qual a probabilidade de se tirar uma bola marcada por um múltiplo
de 3 ou de 5 ?
Resp.: 46,7%
7. De posse da letras AAAMMTTEIC, colocadas em uma urna e extraindo as dez letras, qual a probabilidade de se
obter a palavra MATEMÁTICA ? Resolver o exercício com e sem reposição das letras retiradas.
a) Extração com reposição
Resp.: 432/10.000.000.000
b) Extração sem reposição
Resp.: 1/151.200
8.Joga-se uma moeda três vezes ( ou três moedas uma vez). Calcular:
a) A probabilidade de se obterem exatamente 2 caras?
b) A probabilidade de se obter pelo menos 2 caras ?
Resp.: 3/8
Resp.: ½
CAPÍTULO 2 – VARIÁVEL ALEATÓRIA
2.1) VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA(V.A.D.)
a)DEFINIÇÃO: uma função que associa a cada elemento de um espaço amostral discreto um número real é dita de
Variável Aleatória Discreta(V. A. D.)
Ex.: 1) moeda è S = {Cara,Coroa}
2) Seja X uma função tal que: X(cara) = 1 X(coroa) = 0
P(X=1) è P(cara)
= 1/2
P(X=0) è P(COROA) = 1/2
P(X = x) = ½ ; X= 0, 1
= 0 ; p.qq. outro valor
b)FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
TEOREMA: As quantidades P(X=x) constituem um distribuição de probabilidade no sentido de
que: a)
0 < P(x) < 1
)
∑P(x) =1
x
c)
∑P(x) = P(X = x)
j<x
è Função de Distribuição de probabilidades de X. P(X) pode ser expressa por uma tabela,
gráfico ou fórmula.
c) FUNÇÃO DE REPARTIÇÃO - Probabilidade Acumulada
Se X uma variável aleatória discreta. Define-se Função de Repartição da Variável Aleatória X,
no ponto X, como sendo a Probabilidade de que X assuma um valor menor ou iguala X, isto é:
F(X) = P(X ≤ x)
A função de probabilidade acumulada: FX(x) = P(X ≤ x) =
∑ p( x )
xi ≤ x
i
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Propriedades:
1. F(X) = ∑P(Xi ) cálculo de F(x)
Xi ≤X
2. F (−∞) = 0
3. F (+∞) = 1
4. P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a )
5. P(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a ) + P( X = a )
6. P(a < X < b) = F (b) − F (a ) − P( X = b)
Ex.: Admitindo que a variável aleatória X tome os valores 0, 1, 2 com probabilidade 1/3, 1/6, ½
respectivamente.
F(x) = 0
se X < 0
F(x) = 1/3
se 0 ≤ X ≤ 1
F(x) = 1/2
se 1 ≤ X < 2
Construir o gráfico de F(x).
c) FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (f.d.p.)
Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabilidade f(x) é uma função
que satisfaz as seguintes condições:
a) f(x) ≥ 0 para todo X ∈ Rx
b)
∫ f ( x)dx = 1
Além disso, define-se, para qualquer a < b em R x
Rx
b
c)
P(a < X < b) = ∫ f (x)dx Se o valor for X0, tem-se para a função P(X=x0)=0, pois
a
X0
P( X = x0 ) = ∫ f (x)dx = 0
X0
d) Quanto à função Repartição, neste caso ela é definida como:
x
F(X ) = ∫ f (x)dx
−∞
Ex.: 1) Seja X uma variável aleatória contínua. Com a seguinte função densidade de probabilidade:
2x èpara 0 < X < 1
F(x)= 0
è para qualquer outro valor.
Construir os gráficos da função densidade e da função Repartição.
CHANCE:
Chance a favor de um evento é igual a razão do número de resultados favoráveis para um número
de resultados não-favoráveis.
Ex.: 1) 10 bolas è 8 vermelhas e 2 verdes.
P(VERDE) =
2
1
= èPROBABILIDADE
8+2 5
èCHANCE A FAVOR DE VERDE = 2: 8
1 : 4 ou “ um para quatro”
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1) (v.a.d.)è Tomemos a distribuição do número de crianças do sexo masculino em famílias
de 4 filhos: 0, 1, 2, 3, 4. as probabilidades correspondentes são:
P(0)=(1/2)4 = 1/16
P(2) = 6. (1/2)4 = 6/16
P(4)=(1/2)4 = 1/16
P(1) = 4. (1/2)4 = 4/16
4
P(3)=4. (1/2) = 4/16
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE:
Xi
P(Xi)
TOTAL
0
1/16
1
4/16
2
6/16
3
4/16
4
1/16
∑=1
2.2 - MEDIDAS DE POSIÇÃO: ESPERANÇA MATEMÁTICA OU MÉDIA
2.2.1) - V. A . DISCRETA: E ( X ) = ∑ Pi . X i = ∑ X . P ( X ) = µ X = µ
O valor esperado de uma variável aleatória discreta X é definida como:
a) E(X) = ∑ x.P(x) b) E(K)=K c) E(K.K)=K.E(K) d)E(K±Y)=E(X) ±E(Y)
x
e) E(aX±b)=aE(X) ±b
∞
2.2.2) - V.A. CONTÍNUA:
E(X ) = µX = µ = ∫ xf (x)dx
−∞
2.2.3 - DESVIO-PADRÃO/VARIÂNCIA.
2.2.3.1- V.A. DISCRETA:
2.2.3.2 - V. A. CONTÍNUA:
VAR(Xi ) = ∑ (Xi − X)2.P(Xi )
∞
VAR( Xi ) = ∫ ( X − X )2 f ( x)dx
−∞
2.3 – SOMA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS:(Combinação Linear)
2.3.1 - A média da soma ou da diferença de duas v. a. é a soma ou a diferença das médias.
X X ±Y = X X ± X Y
OU
µ X ±Y = µ X ± µY
2.3.2 – A variância da soma ou a diferença de duas v. a.
independentes é a soma das respectivas variâncias:
σ 2 ( X ±Y) = σ 2 ( X ) +σ 2 (Y) ou σ x±y = σ x2 +σ y2
Ex.: 1) µ x
2)
= µ y = 10 ou µ x + y = 10 + 10 = 20
σ ′X + σ Y = 3 ⇔ σ X +Y = 3 2 + 3 2 = 4,24
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2.4. Variância
a)σ2 =
∑
[(X - µx)2]/N =
∑
(X - µx)2 Px(X)
x
b) VAR(K)=K c) VAR(K.K) = K2.VAR(X)
Para dois valores ( X e Y):
d) VAR(X±Y)=VAR(X) + VAR(Y) ± 2COV(X,Y)
e) VAR(aX±b) = a2.var(X) f) VAR(X) = E(X2) – {E(X)}2
g) σ x = VAR( X )
O desvio-padrão, σx, é a raiz quadrada positiva da variância.
2.4.1 -Variância de uma Variável Aleatória Discreta (Fórm. Alternativa): σ2= ∑ x2P(x) - µ2
x
2.5. Covariância
Seja X uma variável aleatória com média µX , e seja Y uma variável aleatória com média µY. O
valor esperado de (X - µX)(Y - µY) é chamado covariância entre X e Y, denotado COV (X,Y). Para
variáveis aleatórias discretas,
∑ [( X − X )((Y − Y ) ou COV(X,Y) = E(X.Y) – E(X). E(Y)
COV (X,Y) =
N
Se X e Y são independentes è COV(X,Y) = 0
COV ( X , Y )
2.6. Correlação ρ =
σ X .σ Y
2.7. Somas e Diferenças de Variáveis Aleatórias
Sejam X e Y var. aleat. com médias µX e µY e var. σ2 X e σ2Y . As propriedades resultantes são:
E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(X) + c
V(aX + bY + c) = V(X)a2 + b2V(Y) + 2abCov(XY)
2.8 - Variáveis Aleatórias Contínuas
2.8.1- P ( a < X < b ) =
∫
b
a
f ( x ) dx ⇔ a < b
2.8.2 - CONCEITO DE INTEGRAL
a)
c)
∫
∞
−∞
f ( x ) dx = 1
P(X = x0 ) = 0
P( X = x0 ) = ∫ f (x)dx = 0
X0
b)
d)
X0
P(a < X < b) = F (b) − F (a)
e) TODAS AS PROBABILIDADE. ABAIXO SÃO IGUAIS:
P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( a < X ≤ b ) = P ( a ≤ X < b) = P (a < X < b)
2.8.3)
f(x) é f.d.p. se


1 . f ( x ) ≥


∞
 2 .
∫ f ( x ) dx

− ∞
b
0
P(a ≤ x ≤ b) = ∫ f ( x)dx
= 1
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a
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∞
2.8.4) E ( x) =
∫ x. f ( x)dx
9.3) VAR( x ) =
−∞
14
∞
∫ (x − µ)
2
. f ( x)dx
−∞
2.8.5) E ( X 2 ) = E ( X 2 ) − {E ( X )}
2
2.8.6 Teorema Tchebychev
P ( X − E(X) ≥ K) ≤ [V(X)]/K2 ou
P ( X − E(X) < K σX ) ≥ 1-(1/ K2)
2.9- TÉCNICAS DE CONTAGEM
2.9.1. PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO.
Se há "n" decisões seqüências cada uma com "m" escolhas, o número total de resultados
possíveis é:
MN 
→313 = 1.594.323
Ex.: Um teste com 20 questões V ou F qual a p(acertar teste)=
1
1
=
20
2
1 . 040 . 576
2.9.2. PRINCIPIO FUNDAMENTAL
Se um evento pode acontecer de qualquer um de “N1” modos e se, quando ocorrer um outro
evento pode realizar-se de qualquer um dos “N2” modos então o número de maneiras segundo as
quais ambos os eventos podem ocorrer numa determinada ordem será: N1 . N2
Ex.: Se há 3 candidatos a governador e 5 a prefeito, os dois cargos podem ser preenchidos de:
3 x 5 = 15 modos
2.9.3. FATORIAL(!): Fatorial de N representado por N! é definido por:
N!=N(N-1)(N-2).....1 ONDE 0! = 1àPor definição
Ex.: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
2.9.4.PERMUTAÇÕES ( ARRANJOS)
2.9.4.1-PERMUTAÇÕES DE N OBJETOS: N!
2.9.4.2-PERMUTAÇÕES COM r ELEM. e ”N”
n!
(n − r )!
n!
(n − r)!
OBS.:1-Número de "permutações de “N” objetos é número de maneiras pelas quais os objetos
podem ser arranjados.
2-Permutação é um arranjo quando utiliza a "totalidade" dos elementos.( n = r)
r
I) Pn,r = Pn =
r
II) An,r = An =
2.9.5-PERMUTAÇÃO C/REPETIÇÕES:
nPn 1 , n 2 , n 3 ,..., n k =
n!
N 1 ! N 2 ! N 3 !.... N n !
Onde A = N 1 + N 2 + ... + N n
2.9.6. COMBINAÇÕES:
C NR =
N!
⇔ ( RN ) => Fatorial
( N − R )! R !
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Uma combinação de "N" objetos diferentes, tomados “R” de cada vez, e uma escolha de “R” dos
”N” objetos, não se levando em consideração a "ordem" de sua disposição.
2) nCr = nCn-r ===> 20C17 = 20C3= 20.19.18 = 1.148 (*) Usando Taxas Complementares
1.2.3
2)
C =1
0
n
3)
C =1
4) C = n
n
n
1
n
EX. 1- Qual o número de combinações das letras: A, B e C, tomadas 2 de cada vez.
3C2 = C32 =
3.2
= 3 ⇒ AB, AC, BC 
→( AB = BA)
2
note-se: AB é a mesma combinação do que BA mas não é a mesma permutação(arranjo).
2.9.7. DIAGRAMA DA ÁRVORE
Questões
Nº1
Nº 2
Nº 3
RESULTADOS
VVV
VVF
V
F
V
V
V
F
F
VFV
VFF
*
F
V
F
V
F
V
F
FVV
FVF
FFV
FFF
Nº DE QUESTÕES-TOTAIS ( total de resultados para V e F);
2n n=2 è
22=4
n=3è23=8
n=5 è 25=32
2.10 - EXERCÍCIOS:
1.Num torneio há 4 times de futebol. De quantas maneiras pode apresentar-se o resultado final?
Resp.: 24
2.Quantos números distintos com 3 algarismos cada, podemos formar com os dígitos 1,2,3 sem que nenhum
dígito seja repetido em cada número.
Resp.: 3!=6
3.Cinco colegas saem de férias numa longa viagem de automóvel. Todos sabem dirigir. De quantas maneiras
diferentes podem sentar-se esses amigos?
Resp.: 120
4. Quantos números distintos com 10 algarismos podemos formar com os dígitos de 0 a 9.
Resp.: 3.628.800
5. Quantos números distintos com 2 algarismos podemos formar com os dígitos 1,2,34, sem que nenhum
dígito seja repetido em cada número.
Resp.: 12
6. De quantas maneiras 8 pessoas podem sentar num banco se existem somente 4 lugares disponíveis?
Resp.: 1.680
7.Um campeonato de futebol é disputado por 16 clubes. De quantas maneiras distintas esses clubes podem
classificar-se nos três primeiros lugares.
Resp.: 3.360
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8.Quantas permutações distintas de 3 letras podemos formar com as letras RRRRUUUN?
Resp: 280
9. Quantos comitês distintos, de 3 pessoas de cada, podemos formar com um grupo de 10 pessoas.
Resp.: 120
10. A partir dos dígitos 1,2,3 e 4, forma grupos distintos de números com 2 algarismos cada, em que os
grupos difiram entre si apenas pelos dígitos que compões, sem se levar em conta a ordem dos mesmos.
Resp.: 6
2.9.8 -EXEMPLOS DE APLICAÇÃO(Esperança Matemática)
1. Um empreiteiro faz a seguinte estimativa.
Prazo de execução
Probabilidade
10 d
0,30
15 d
0,20
22 d
0,50
Resp.: 17 dias
2. Suponha-se que uma loja tenha compilado os seguintes dados sobre vendas de televisores:
( Xi)) No. Vendidos P(x) =Freq. Relativa
0
0,20
1
0,30
2
0,30
3
0,15
4
0,05
Resp.: 1.55 televisores
3. Um investidor julga que tem 40% de probabilidade de ganhar de R$ 50.000,00 e 60% de
probabilidade de perder R$ 30.000,00 num investimento. Seu ganho esperado é:
Resp: R$ 2.000,00
4. Um empreiteiro faz as seguintes estimativas:
Prazo de Execução Probabilidade
20 d
0,30
10 d
0,20
25 d
0,50
Resp.: 20,5 dias
5. Suponhamos que seja jogada uma moeda com P(K) = 0,60 e P( C ) = 0,40. Aqui temos
uma distribuição de probabilidade diferentes para uso o no. de caras em duas jogadas da moeda.
Resp.: E(K) = 1,2 caras
6. Uma família com 3 filhos . Qual a Probabilidade de nascer menina ? ou menino?
a) Construir a tabela de Distr. de Probabilidades
b) Calcular a média e o desvio padrão.
c) Construir o diagrama da árvore.
7. Determinar a constante “C” de modo que a função:
Cx2 ,
0<X<3
a) f(x) = 
0,
em caso contrário.
b) Calcule P( 1 < x < 2)
8. Uma variável aleatória tem a seguinte densidade de probabilidade :
x < 0 , f(X) =0
0 ≤ x<1, f(x) = kx2
x ≥ 1, f(x) = 0
Resp.: C = 1/9
Resp.: 7/27
Resp.: 3
9) Seja x uma v. a. c., com a seguinte função densidade
f(x) = 0
para x < 0
f(x) = 3x2 para 0 < x < 1
f(x) = 0
para x >
Calcular: E(x), VAR(x) e DESVIO-PADRÃO.
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1
1
0
3
E( X ) = ∫ x.3x 2dx = 3∫ x3dx =
a)
b) VAR( X ) =
∫ (X − X )
c) DESVIO-PADRÃO:
2
17
3x4 1 3
|0 =
4
4
f ( x)dx = ∫ ( x − 3 / 4) 2 3x 2 dx =
1
0
3
80
σ( x) = 3/ 8 = 0,19
EXERCÍCIOS - SÉRIE III - CAPÍTULO 2 - PÁG. 59
1. Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y:
x
y
1
2
a)
b)
c)
e)
f)
-2
0,1
0,2
-1
0,2
0,1
4
0
0,1
5
0,3
0
achar as distribuições marginais de X e Y;
Calcular E[X], E[Y] e E[X, Y] ;
Calcular a covariância entre X e Y; d) Calcular σx e σy ;
Calcular ρxy;
As variâncias são independentes? Por quê?
2. Sejam M e N duas variáveis aleatórias com as seguintes distribuições:
M
1
3
N
5
10
12
PM)
0,6
0,4
P(N)
0,3
0,5
0,2
a)
b)
c)
d)
achar a distribuição conjunta de ( M,N );
calcule E[M] e E[N];
calcular σ(M) e σ(N);
qual é o valor de ρMN ? por quê ?
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Capítulo 3 – MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
DE PROBABILIDADE
(LEIS ou MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETAS)
3.1- LEI ou DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI.
DEFINIÇÃO: Experimento de Bernoulli é o experimento aleatório e, que tem somente dois
resultados possíveis: - sucesso ( s)
- insucesso(fracasso)(i)
S = {S, I}
P(x) à X àX1 = 1 (sucesso = p)
P(x1) = p
X àX2 = 0 (fracasso = q )
P(X2) = 1 –p = q
µ = E(x)
σ2 = p.q
P( X = x ) = p x .q 1− x ou
P(X=x) = px (1-p)1-x
E(X) = p
VAR((X) = p.q
3.2 - LEI OU DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - ( COM REPOSIÇÃO )
DEFINIÇÃO: é o experimento aleatório de “Bernoulli” repetido “N” vezes (tentativas),
sempre nas mesmas condições , no qual se podem ocorrer duas alternativas, ou seja:
1. N provas (tentativas) independentes e do mesmo tipo, são realizadas.
2. Cada prova(tentativa) admite dois resultados – sucesso ou fracasso.
3. A probabilidade de sucesso em cada prova é: “ P ” e de fracasso é: “ 1 – p = q ”.
P(X = x) =Cnx pxqn−x OU P(X = x) =(nx)pxqn−x
MÉDIA DA BINOMIAL:
µ(x) = n. p
VARIÂNCIA DA BINOMIAL:
σ 2 (x) = n. p.q
Ex.1 - Jogando a moeda 4 vezes. Supondo-se que cara seja sucesso. Qual a probabilidade de obter X = 3,
isto é, 3 caras).
Dados: N = 4 X = 3 P = ½
Q=½
Resp.: P(3) = ¼ = 0,25
2 – Uma prova com 6 questões, cada uma com 5 alternativas. Quem acertar 3 ou mais questões
é considerado aprovado. Um aluno não se preparou para a prova.
Qual é a probabilidade de ser aprovado ?
Resp.: P(X≥3)=p(3)+p(4)+p(5)+p(6) = 9,89%
3 - Numa prova com 10 questões, com as alternativas V ou F (2 alternativas: sucesso ou
fracasso). Qual a Probabilidade de tirar 5 ou mais ?
Resp.: PX ≥ 5) = 0,6231 ou 62,31%
.
4- Qual a probabilidade de acertar na loteria esportiva( no chute).
1
13 1 13 2 0
P ( X = 13 ) = C 13
( ) ( ) =
= 0, 000 . 000 .6272
3
3
1 .594 .323
3.3 - Distribuição Multinomial ou Polinomial(com reposição – independentes)
- é uma generalização da distribuição binomial
- é uma das mais importantes distribuições da variável discreta .
- considerando um experimento e, seu espaço amostral s, e uma partição de s, em k
eventos mutuamente exclusivos a1,a2,a3,....ak,( isto é, um somente um, dos eventos
ai ocorrerá. repetindo e experiência “n” vezes, temos
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Sejam “N” provas, com a probabilidade de A1 ocorrer X1 vezes, A2 ocorra X2 vezes,...Ak ocorra
Xk vezes, então a P é igual a:
P( X1 , X 2,...X k ) =
n!
p1X1 . p2X 2 ... pkX k (permutações c/repetição)
X 1! X 2!...X k !
Ex.1. Numa caixa existem 5 bolas vermelhas, 3 azuis e 2 brancas. Selecionando-se, ao acaso
e com reposição 4 bolas dessa caixa, calcular a probabilidade de encontrarmos:
3
a) 2 vermelhas, 1 azul e 1 branca.
∑X
i
= 2 +1 +1 = 4 e
1
∑p
i
p1 =
5
10
p2 =
3
10
p3 =
2
ou
10
= 0,5 + 0,3 + 0,2 = 1
P( X 1 = 2, X 2 = 1, X 3 = 1) =
4!
x(0,5) 2 x(0,3)1 x(0,2)1 = 0,18
2!1!1!
b) 3 vermelhas e 1 azul.
P( X 1 = 3, X 2 = 1, X 3 = 0) =
4!
x(0,5)3 x(0,3)1 x(0,2)0 = 0,15
3!1! 0!
3.4 - MODELO OU DISTRIBUIÇÃO DE POISSON - (Lei da Eventos Raros)
Conceito: é uma extensão do modelo binomial, quando o número de provas n tende ao infinito. Em muitos
casos, conhecemos o no. de sucessos, porém se torna difícil e, as vezes, sem sentido, determinar o
número de fracassos ou no. total de provas.
Ex.: O No. de emendas num rolo de fita colante. Poderemos determinar quantas emendas possui,
porém não sabemos contar quantas emendas não ocorreram?
P(X = x) =
µx −µ
λx
.e ou P(X = x) = e−λ onde µ = λ..t
x!
x!
µ x .e−µ
P( X = x) =
x!
ϖ =n.p=σ2 =λ
P(X=x) = (e-λ λx)/x!
E(X) = λ
VAR(X) = λ
Ex.: 1- Há um defeito em cada 250 m de tecido. Qual a probabilidade que na produção de 500.
Haja:
a) Nenhum defeito
P(X=0) = 13,534%
b) Mais de 1 defeito
P(X>1) = 1 – [P(x=0) + P(X=1)]=59,398
c) Se a produção é de 500 m, num período de 60 dias de trabalho, em quantos dias podemos
esperar a produção sem defeito.
Resp.: P(X=0 dias) = P(X=0) . 60 = 8 dias
2. O número de ligações telefônicas, por unidade de tempo é 5 . Qual a P de Ter recebido 10 chamadas.
Resp.: P(X=10) = 0,018 ou 1,8%
3.5 - DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
(TEORIA DAS FILAS – ENVOLVE MODELO DE BERNOULLI)
Qual a Probabilidade de que sejam necessárias “n” provas independentes para se obter o primeiro
sucesso, quando o sucesso em cada prova é P ?
- Logo X: número de tentativas necessárias ao aparecimento do primeiro sucesso.
- Diferença da Binomial:
O Experimento E é realizado até que A ocorra pela 1ª vez. Na binomial o no. de repetições é
predeterminado, neste é um número aleatório.:
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20
Ex.: 1)Fábrica: número de itens produzidos até que surja um item defeituoso.
2)Jogos: no. de partidas jogadas(ganhas) até perder-se a 1ª.
3)Chegada de clientes: lapso de tempo entre duas chegadas(filas, guichê, semáforo, .. )
A variável tempo é contado como variável discreta.
4) Telefone: tempo de espera para uma chamada telefônica.
P(X = x) = p.qx−1
a) Média e Desvio padrão:
µ=
x-1
ou f(x) = p(1-p)
para x = 1, 2,..., ∞
1
q
e σ2 = 2
p
p
Ex.: 1)Em uma determinada localidade a P de ocorrência de tempestade(tormenta) em dia de
verão(dez, jan e fev) é de 0,1. Admitindo-se a independência de um dia para outro, qual é a
probabilidade de ocorrer a 1ª tempestade na estação de verão no dia 24 de janeiro.
Solução: Seja X o No. de dias ( verão começa em 21 de dez.)
Verão: 21/12 a 24/01 àX = 34 dias
a) p =0,1
q = 1-p
q=0,9
X = 1,2,3, ..., 34
34−1
ou 0,3%
Resp.: P(X =34) =(0,1)(0,9) =0,003
2) Num programa de rádio, fazem-se perguntas aos ouvintes, que respondem por telefone e a
resposta correta ganha um prêmio. Em geral 15% dos que respondem acertam as questões.
a) Qual a P de que a 8ª pessoa a telefonar ganhe um prêmio?
Resp.: 4,81%
b) Qual a P de que o próximo seja ganho por um dos primeiros 5 a telefonar? Resp.: 55,6%
c) Qual é o No. médio de telefonemas necessários para o prêmio ser ganho?
Resp.: 7 tel.
3.6 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA (Sem Reposição).
Conceito: 1. Seja o seguinte problema: uma urna contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10
pretas. Tirando-se 5 bolas, qual a probabilidade de saírem 2 pretas?
5
Solução: 3.6.1 – Com Reposição ( utiliza-se a binomial) P(2) = ( ).(0, 2) 2 .(0,8) 3 = 0,2048
2
3.6.2 – Sem Reposição: usa-se o modelo Hipergeométrico.
C Xx .C Nn−−xX
P( X = x) =
C Nn
onde
ou
 r  N − r 

 
 x  n − x 
P ( X = x) =
N
 
n 
N = No. total de Bolas de uma urna
X = Total de Bolas Pretas – No. de sucessos da população
n = extraem-se n bolas - No. de bolas extraídas
x = probabilidade de entre elas haver x bolas pretas –
5− 2
C102 .C 50
− 10
P ( 2) =
= 0, 2098
5
C 50
E(X) = n.p
p =
r
N
VAR( X ) = np(1 − p)
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( N − n)
N −1
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2. Suponha que uma urna contenha 200 bolas brancas e 100 pretas e que a probabilidade de se
extrair qualquer bola é a mesma. Pede-se:
a) Em três extrações obtermos duas bolas pretas e uma branca.( Sem reposição) Resp.: 22,2 %
b) Obter uma ou duas pretas .
Resp.: 66,9%
3.7. Pascal: Quando um experimento aleatório é repetido independentemente até que um evento
A ocorra pela n-ésima vez.
 x − 1 r k − r
rq
r
 p q
e
VAR( X )
E(X ) =
P( X = x ) = 
p
p2
 r −1
Ex.1)A probabilidade de que um evento, por ex.: um sinal de trânsito esteja aberto numa esquina é
0,20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 10 vezes para encontrá-lo
aberto pela 4ª vez?
9
Solução: r = 4 p=0,20
q=0,80
P( X = 10) =  (0,20) 4 .(0,80) 6 = 0,03523
3
EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO 3 - PÁG. 68
Distribuição Binomial.
1. Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcular as seguintes probabilidades:
a) de ocorrer 6 caras;
b) de dar pelo menos 2 caras;
c) de não dar nenhuma coroa;
d) de dar pelo menos uma coroa;
e) de não dar 5 caras e 5 coroas.
2. Admitindo-se que os nascimentos de meninos e meninas sejam iguais,calcular a probabilidade de um
casal com 6 filhos ter 4 filhos homens e 2 mulheres.
3. Em 320 famílias com 4 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem:
a) nenhuma menina;
b) 3 meninos;
c) 4 meninos.
4. Qual a probabilidade de obter ao menos uma vez o ponto 3 em "n" jogadas de um dado?
5. Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 5 partidas, calcule a
probabilidade de:
a) X vencer exatamente 3 partidas;
b) X vencer ao menos uma partida;
c) X vencer mais da metade das partidas.
6. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a probabilidade de:
a) acertar exatamente 2 tiros?
b) não acertar nenhum tiro?
7. Num teste do tipo certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, respondendo as
questões ao acaso, acertar 70% das perguntas?
9. Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que, numa amostra de
100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos:
a) nenhuma defeituosa;
b) 3 defeituosas;
c) mais do que 1 boa.
10. Aplique a definição de Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta para provar que a
média de uma binomial é n.p e a variância n.p.q.
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Distribuição Multinomial
11. Jogue um dado 8 vezes. Calcule a probabilidade de aparecer 2 números 2; 2 números 5
12. As lâmpadas coloridas produzidas por uma fábrica são 60% verdes, 30% azuis e 10% amarelas. Em
5 lâmpadas, encontre a probabilidade de que 2 sejam verdes, 1 azul e 2 amarelas.
13. O sangue humano foi classificado em 4 tipos: A, O, B e AB. Numa certa população, as probabilidades
destes tipos são respectivamente: 0,40; 0,45; 0,10 e 0,05. Qual a probabilidade de que em 5 indivíduos
escolhidos ao acaso haja:
a) dois do tipo A e um de cada um dos outros?
b) três do tipo A e dois do tipo O?
Distribuição de Poisson
14. Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas, havia em média um estouro de
pneu cada 5.000 km.
a) Qual a probabilidade que num teste de 3.000 Km haja no máximo um pneu estourado?
b) Qual a probabilidade de que um carro ande 8.000 Km sem estourar
nenhum pneu?
15. Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcular a probabilidade de:
a) receber 4 chamadas num dia;
b) receber 3 ou mais chamadas num dia.
16. A média de chamadas telefônicas numa hora é 3. Qual a probabilidade de:
a) receber exatamente 3 chamadas numa hora?
b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos?
17. Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na proporção de 1 defeito por metro quadrado.
Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2 x 2 m?
18. Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000. Em uma cidade de
100.000 habitantes, encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha havido:
a) 0;
b) 1;
c) 2;
d) 2 ou mais suicídios.
19. Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro
de 500 páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha:
a) nenhum erro;
b) exatamente 2 erros.
20. Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade
de em uma hora:
a) atender exatamente 2 clientes;
b) atender 3 clientes.
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CAP. 4 - MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUAS DE
PROBABILIDADE
PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CONTINUAS
4.1 Distribuição Uniforme ou Retangular
Se X é uma variável uniformemente distribuída no intervalo [a, b] a sua função densidade é dada por:
para x fora de [a, b]
 f ( x) = 0

1

para a ≤ x ≤ b
 f ( x) = b − a

Sua função Repartição é:
para x < a
F(x) = 0

x -a

para a ≤ x < b
F(x) =
b
a

para x ≥ b
F(x) = 1
Média: µ x =
a+b
2
Variância: σ x2 =
(b − a) 2
12
4.2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL – (Gauss-deMoivre – Laplace)
O estudo da chamada distribuição normal iniciou-se no século XVII, quando se começou a observar que, se
um objeto fosse pesado repetidamente, os pesos observados não eram idênticos, havendo uma variação entre
as medidas. Se um número razoável de medições fosse feito, a distribuição das observações apresentam um
padrão regular, hoje reconhecido como sendo o da distribuição normal. Erros de observações de
características diversas também seguiam o mesmo padrão. De fato, a distribuição era inicialmente
identificada como “curva normal de erros”. Esta curva, originada por deMoivre em 1733, foi também
estudada por Laplace e Karl Frederich Gauss (1777-1868).
Como base nos trabalhos de Pascal (1623-1662), de Fermat(1601-1665), e Bernouilli(1654-1705), Abraham
de Moivre(1667-1754) foi capaz de mostrar que a curva matemática que modela esse tipo possui a seguinte
expressão:
X : N ( µ , σ ) onde f ( x; µ , σ ) =
2
2
1
σ 2π
e
1 x−µ 2
− (
)
2 σ
, para - ∞ <x< ∞
Onde os seus parâmetros são a média µ da população e o desvio-padrão σ da população.
Qualquer distribuição de Gauss-deMoivre-Laplace de média µ e desvio-padrão σ, mediante a transformação
linear.
f(x) =
1
2πσ
e
2
 x −µ 
−1 
2  σ 
2
- ∞ <x< ∞
Se X= N(µ , σ2 ) ou X: N(µ , σ2 ),
E(X) = µ
V(X) = σ2
Z = (X - µ) / σ 2 segue Z~N(0,1) ou Z:N(0,1);
a −µ
b−µ 
<Z<

σ
σ 

P(a<X<b) = P 
4.3 APROXIMAÇÃO NORMAL DA DISTRIB. BINOMINAL OU CORREÇÃO DE
CONTINUIDADE
Na prática uma variável contínua só pode ser expressa por valores discretos, por causa da limitação dos
instrumentos de medida . Além disso uma variável discreta pode se tratada como contínua desde que o nº de
observações seja muito grande.
Em ambos os casos somos obrigados a fazer uma correção de continuidade. A correção de continuidade é
feita somando-se ou subtraindo-se 0,5 conforme o caso.
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4.4 Distribuição Exponencial
 f (t ) = λe − λt se t ≥ 0 λ > 0

 f (t ) = 0 se t < 0
f(t)
t0
E (t ) =
1
λ
VAR(t ) =
24
1
λ2
t
EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO 4 - PÁG. 84
Distribuição Uniforme.
1. Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta[1,4]. Calcular:
a) probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 2 e 3;
b) entre 0,5 e 2,5;
c) seja exatamente o 2;
d) a média dessa distribuição;
e) a variância dessa distribuição.
Distribuição Normal
4. Faça Z uma variável com distribuição normal padronizada e encontre:
a) P (0 ≤ z ≤ 1,44)
b) P(-0,85 < z < 0)
c) P(-1,48 < z < 2,05)
d) P(0,72 < z < 1,89)
e) P(z ≥1,08)
f) P(z ≥ -0,66)
g) P(|z|≤ 0,5)
5. A duração de um certo componente eletrônico tem média 850 dias e desvio-padrão 45 dias. Calcular
a probabilidade desse componente durar:
a) entre 700 e 1.000 dias;
b) mais de 800 dias;
c) menos que 750 dias;
d) exatamente 1.000 dias.
e) Qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor no máximo 5% dos
componentes?
6. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio-padrão 5,5kg.
Encontre o número de alunos que pesam:
a) entre 60 e 70 Kg;
b) mais que 63,2 Kg.
7. Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média 73 e desvio-padrão
15. 15% dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% dos mais atrasados recebem nota F.
Encontre o mínimo para receber A e o mínimo para passar, não receber F.
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8. Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele
obedecia a uma distribuição normal, de média 48.000 Km e desvio-padrão 2.000 km. Calcular a
probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:
a) dure mais que 46.000 km
b) dure entre 45.000 e 50.000 km.
9. X é uma variável aleatória contínua, tal que X = N(12,25). Qual a probabilidade de uma observação ao
acaso:
a) ser menor do que -3;
b) cair entre -1 e 15.
10. O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno de uma média
de R$180,00 com desvio-padrão de R$25,00. Pede-se:
a)encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal
situado entre R$ 150,00 e R$ 178,00;
b)dentro de que desvios de ambos os lados da média, cairão 96% dos
salários?
11. Certo produto tem peso médio de 10g e desvio-padrão 0,5g. É embalado em caixas de 120 unidades
que pesam em média 150g e desvio-padrão 8g.
Qual a probabilidade de que uma caixa cheia pese mais que 1.370 g?
12. Determinada máquina enche latas baseada no peso bruto com média 1kg e
desvio-padrão 25g.
As latas tem peso médio de 90g com desvio-padrão 8g. Pede-se:
a) a probabilidade de uma lata conter menos de 870g de peso líquido;
b) a probabilidade de uma lata conter mais de 900g de peso líquido.
13. Um avião de turismo de 4 lugares pode levar uma carga útil de 350kg. Supondo que os passageiros têm
peso médio de 70kg com distribuição normal de peso e desvio-padrão 20Kg, e que a bagagem de cada
passageiro pese em média 12Kg, com desvio-padrão 5Kg e distribuição normal do peso. Calcular a
probabilidade de:
a) haver sobrecarga se o piloto não pesar os 4 passageiros e respectiva bagagem;
b) que o piloto tenha de tirar pelo menos 50 kg de gasolina para evitar sobrecarga.
14. Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores a 19. Encontrar a
média e a variância da distribuição.
15. Seja Y uma função tal que Y = X1 + X2 + X3 e as variáveis Xi são independentes com as seguintes
distribuições: X1 = N(10,9); X2 = N(-2,4); X3 = N(5,25). Qual é a distribuição de Y?
16. Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fábrica é de 0,25 polegadas, e
desvio-padrão, 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se seu diâmetro é maior que 0,28
polegadas ou menor que 0,20 polegadas.
a) Encontre a porcentagem de parafusos defeituosos.
b) Qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo 12% de parafusos defeituosos?
17. Suponha que a duração de vida de dois equipamentos E1 e E2 tenham respectivamente distribuições:
N(45,9) e N(40,36). Se o equipamento tiver que ser usado por um período de 45horas, qual deles deve ser
preferido?
18. Certa máquina de empacotar determinado produto oferece variações de peso com desvio-padrão de
20 g. Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 10% tenham menos que
400g?
Calcule a probabilidade de um pacote sair com mais de 450g.
Distribuição Exponencial
19. Uma lâmpada tem a duração de acordo com a densidade de probabilidade a
seguir:
f(t) = {
0.
1
e
1000
t<0
1
−
1000
' t≤ 0
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Determinar:
a) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime antes de 1.000 horas;
b) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime depois de sua duração média;
c) qual é o desvio-padrão da distribuição.
20. Se as interrupções no suprimento de energia elétrica ocorrem segundo uma distribuição de Poisson
com a média de uma interrupção por mês (quatro semanas), qual a probabilidade de que entre duas
interrupções consecutivas haja um intervalo de:
a) menos de uma semana;
b) entre dez e doze semanas;
c) exatamente um mês;
d) mais de três semanas.
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EXERCÍCIOS – SÉRIE I - CAPÍTULO 5 - PÁG. 107
1. Montar uma série cronológica para representar os valores das exportações de
açúcar, fornecidas pelo Instituto do Açúcar e do Álcool, nos anos de 1965
a
1971 em milhares de dólares: 60.193 - 80.114 - 812.826 - 106.879 - 112.064 126.740 - 149.548.
2.
Idealizar
uma
série
geográfica para
representar
o
seguinte
fato:
população
da região Norte do Brasil em 1970, sabendo-se que
em
Rondônia,
Acre,
Amazonas, Roraima, Pará e Amapá, temos, respectivamente:
116.620
218.006 - 960.934 - 41.638 - 2.197.072 e 116.480 habitantes, segundo dados da
Fundação IBGE.
3.
Fazer uma tabela estatística para representar o movimento religioso
de
certo município no período 1975-1977, que apresentou os seguintes
dados: em
1975,
houve
56.738 habitantes batizados (dos
quais
26.914
do
sexo
feminino),
15.884
casamentos
e 13.678 extremas-unções.
Em
1976, houve
33.915 batizados do sexo masculino e 29.568 do sexo feminino; os casamentos
foram
em
número de 71.232, 34.127 eram do
sexo
masculino;
as
extremas-unções foram 16.107 e os casamentos 16.774.
4.
A tabela a seguir mostra as áreas, em milhões de km2,
dos
oceanos.
Representar graficamente os dados, usando: a)um gráfico de colunas;
b)um
gráfico de setores.
Oceano
Antártica
Ártico
Atlântico
Índico
Pacífico
Área(milhões(km2 )
36,8
23,2
199,4
137,9
342,7
5. Representar em um gráfico polar os dados:
Meses
J
F
M
A
M
J
Temperatura (oC ) 28
29
27
24
20
19
J
18
A
21
S
22
O
24
N
28
D
30
6. Construir um gráfico em barras que represente a série:
INAMPS - Benefícios Concedidos - Brasil - 1973
Espécie
Quantidade
Auxílio-natalidade
901.000
Auxílio-doença
467.000
Auxílio-funeral
88.000
Aposentadoria por Invalidez
40.000
Aposentadoria por Tempo de Serviço
39.000
Abono Permanente em Serviço
30.000
Pensão por Morte
73.000
Outras Espécies
44.000
Fonte: Mensário Estatístico do INAMPS.
7. Usando um gráfico em curva, representar a tabela a seguir
Índices dos Preços Recebidos p/Agricultores do Brasil/76(1966 = 100)
Meses
Índices
Lavoura
Produtos Animais
Agropecuário
Janeiro
1.304
884
1.044
Fevereiro
1.418
891
1.092
Março
1.494
916
1.136
Abril
1.580
943
1.186
Maio
1.715
964
1.250
Junho
1.816
960
1.287
Julho
1.929
972
1.337
Agosto
2.013
1.015
1.396
Setembro
2.113
1.066
1.473
Outubro
2.197
1.097
1.517
Novembro
2.290
1.119
1.566
Dezembro
2.358
1.144
1.607
Fonte: IBGE.
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EXERCÍCIOS
-
SÉRIE II
-
CAPÍTULO 5 –
28
página 116
1.
Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se:
a) construir a distribuição de freqüência;
b) construir o gráfico das freqüências;
c) determinar as freqüências relativas;
d) determinar as freqüências acumuladas;
e) qual é a amplitude amostral;
f)
qual a porcentagem de elementos maiores que 5.
2.
Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 100 indivíduos (dadas em cm):
151 - 152 - 154 - 155 - 158 -159
-159 - 160 - 161 - 161
161 - 162 - 163 - 163 - 163 -164
-165 - 165 - 165 - 166
166
-166
-166 -167
-167 -167
-167 - 167
-168
-168
168
-168
-168 -168
-168 -168
-168 - 168
-169 - 169
169
-169 - 169 - 169
-169 -170
-170 - 170
-170
-170
170 - 170 - 171 - 171 - 171 -171
-172 - 172 - 172 - 173
173 - 173
-174 -174
-174 -175
-175 - 175
-175
-176
176
-176
-176 -177
-177 -177
-177 - 178
-178
-178
179 - 179 - 180 - 180 - 180 -180
-181 - 181 - 181 - 182
182 - 182 - 183 - 184
-185 -186
-187 - 188
-190
-190
Pede-se determinar
a) a amplitude amostral;
b)
o número de classes;
c) a amplitude das classes;
d)
os limites das classes;
e) as freqüências absolutas das classes;
f)
as freqüências relativas;
g) os pontos médios das classes;
h) a freqüência acumulada;
i)
o histograma - polígono de freqüência; os gráficos de freqüência acumulada.
3. As notas de 32 estudantes de uma classe estão descritas a seguir:
6,0 - 0,0 - 2,0 - 6,5 - 5,0 - 3,5 - 4,0 - 7, O
8,0 - 7,0 - 8,5 - 6,0 - 4,5 - 0,0 - 6,5 - 6, O
2,0 - 5,0 - 5,5 - 5,0 - 7,0 - 1,5 - 5,0 - 5,0
4,0 - 4,5 - 4,0 - 1,0 - 5,5 - 3,5 - 2,5 - 4,5
Determinar:
a) o rol;
b) as distribuições de freqüências (variável contínua). (Sugestão: iniciar por O e intervalo de classe 1,5);
c) o maior e o menor graus;
d) a amplitude total;
e) qual a porcentagem dos alunos que tiveram nota menor do que 4;
f)
qual o limite superior da segunda classe;
g) qual o ponto médio da quarta classe;
h) qual o ponto médio da terceira classe;
i)
os gráficos (histograma e gráfico da Freq. Acumulada).
4. Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir:
69 57 72 54 93 68 72 58 64 62
65 76 60 49 74 59 66 83 70 45
60 81 71 67 63 64 53 73 81 50
67 68 53 75 65 58 80 60 63 53
a) Construir a tabela de distribuição defreqüência, dado Log 40 = 1,6.
b) Construir os gráficos da distribuição.
Valores
1
2
3
4
5
6
7
8
Freqüência ( fi )
4
4
Freqüência Acumulada( Fi )
16
7
5
7
28
38
45
Freqüência Relativa( f’i )
0,08
0,16
0,14
0,14
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EXERCÍCIOS - SÉRIE III - CAPÍTULO 5 - Pág. 122
1. Determinar a média aritmética das seguintes séries:
a) 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6
b) 7, 8, 8, 10, 12
c) 3,2; 4; 0,75; 2,13; 4,75
d) 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90
2. A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0;
2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado.
3. Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média.
a) Xi 3 4 7 8 12
b) Xi 10 11 12 13
-------------------------------------------fi 2 5 8 4 3
fi
5 8 10 6
c) Xi Fi=Fac
--------2 3
3 9
4 19
5 25
6 28
d) Xi fi
----------7 1/16
8 5/18
9 1/3
10 2/9
11 5/48
e) Xi fi
--- -------85 5
87 1
88 10
89 3
90 5
4.
Dadas as estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a média.
Estaturas(cm)
145|-150 150|-155 155|-160 160|-165 165|-170 170|-175 175|-180 180|-185
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------No. dos alunos
2
10
27
38
27
21
8
7
5. Abaixo temos a distribuição dos aluguéis de 65 casas. Determine pelo processo abreviado sua média.
Aluguel(mil R$) 1,5|-3,5 3,5|-5,5 5,5|-7,5 7,5|-9,5 9,5|-11,5
--------------------------------------------------------------------------------No. de casas (fi)
12
18
20
10
5
6. Dada a distribuição
Classes
68|-72 72|-76 76|-80 80|-84
-----------------------------------------------------------Fi=Fac
8
20
35
40
determinar a média.
7. Dados os seguintes números:
3 5 7 9 2 4 6 8 10 15 20 25 0 1
2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 8 6 5 4
3 2 1 0 10 15 20 25 12 11 8 6 4 2 1
3 5 7 9 11
a) Construa a distribuição de freqüência ( do tipo "A".)
b) Determine a média.
8. Turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa
disciplina:
turma A (40 alunos) - média 6,5
turma B (35 alunos) - média 6,0
turma C (35 alunos) - média 4,0
turma D (20 alunos) - média 7,5 Determine a média geral.
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9.Dada a amostra:
28 33 27
27 33 31
31 33 30
23 29 30
18 15 16
30
27
32
24
17
31
31
30
28
17
30
28
33
34
18
33
27
27
30
19
30
29
33
30
19
33
31
31
18
20
30
29
24
33
17
29
a) Agrupar os elementos em classes (inicie pelo 15) e use h = 5.
b) Construir a tabela de distribuição de freqüência do tipo "B".
c) Determinar a média pelo processo abreviado.
10. Calcule a média geométrica para as séries:
a) 8, 15, 10, 12
b) 3, 4, 5, 6, 7, 8
c) xi 8 9 10 11 12
-----------------------------fi 12 10 7 5 3
11. Encontre a média harmônica para as séries:
a) 5, 7, 12, 15
b) Xi 2 3 4 5 6
----------------------fi 3 4 6 5 2
12. Tem-se R$2.000,00 disponíveis, mensalmente, para a compra de determinado artigo que custou, nos meses de
junho, julho e agosto, respectivamente, R$200,00; R$ 500,00 e R$ 700,00. Qual foi o custo médio do artigo
para esse período?
13. Utilizando a série de dados: 2, 7, 8 e 15, comprove as seguintes propriedades da média aritmética.
a)
A soma dos desvios em torno da média é zero. Isto é
∑ (x
i
− x) = 0
b) Somando ou subtraindo a mesma quantidade arbitrária de todos os valores da série, a média ficará aumentada
ou diminuída dessa mesma quantidade.
c) Multiplicando ou dividindo cada termo de uma série por uma constante, a média ficará multiplicada ou
dividida pela constante.
d ) A soma dos quadrados dos desvios medidos em relação à média é um mínimo, ou seja, é sempre menor que a
soma dos quadrados dos desvios medidos em relação a outro valor qualquer. Isto é,
∑ (x
i
− x ) 2 é mínima.
EXERCíCIOS - SÉRIE IV - CAPÍTULO 5 - Pág. 135
1. Para
I)
II)
III)
IV)
cada série, determine a mediana:
1, 3, 3, 4, 5, 6, 6
1, 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9
12, 7, 10, 8, 8
82, 86, 88, 84, 91, 93
3. Para a distribuição, determine a mediana:
I) Classes 1|-3
3|-5
5|-7
7|-9
9|-11
11|-13
--------------------------------------------------fi
3
5
8
6
4
3
4. Para cada série, determine a moda:
I) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10
II) 43, 40, 42, 43, 47, 45, 45, 43, 44, 48
5. Para cada distribuição, determine a moda:
Xi
72
75
78
80
--------------------------fi
8
18
28
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6. Para a distribuição, determine a moda pelos dois processos(Pearson):
I) Classes 7|-10
10|-13
13|-16
16|-19
19|-22
----------------------------------------------------fi
6
10
15
10
5
7. Para as distribuições:
I) Classes
4|-6
6|-8
8|-10
10|-12
---------------------------------------fi
4
11
15
5
Calcule D6, P65 e Q1.
8. Abaixo temos a distribuições do número de acidentes por dia, durante 53
dias, em certa rodovia:
No. de acidentes
0
1
2
3
4
--------------------------------------No. de dias
20 15 10
5
3
pede-se:
a) determinar a média;
b) determinar a mediana;
c) calcular a moda;
d) qual a porcentagem de dias em que tivemos dois ou mais acidentes por dia?
9. O Nº de operários, numa fábrica, nos últimos dois anos, foi:
Ano\Mês
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
------------------------------------------------------------------------1975
4
8
3
6
7
7
3
8
2
4
3
3
1976
7
4
6
5
10
5
4
3
5
4
4
1
Faça X --> número de operários acidentados por mês.
a) Construa a distribuição de freqüência
b) Calcule a moda, mediana e moda.
10. Sendo:
Idade(a)
10|-14 14|-18 18|-22 22|-26 26|-30 30|-34 34|-38 38|-42
-------------------------------------------------------------------------------No. de pessoas
15
28
40
30
20
15
10
5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
determinar a m_‚“dia (processo abreviado);
calcular a medida que deixa 50% dos elementos;
determinar a moda (fórmula de Czuber);
calcular o 3º decil;
determinar a medida que deixa 1/4 dos elementos;
calcular o percentil 80;
qual a porcentagem das pessoas maiores de idade?
11.
Foi
pedido aos alunos de uma classe de 40 alunos que
escolhessem
um
dentre os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Obteve-se o seguinte
resultado:
8
8
7
6
a)
b)
c)
d)
-
0
4
7
5
-
2
1
6
5
-
3
9
0
1
-
3
6
1
2
-
5
6
3
5
-
7
6
3
2
-
7
8
3
5
-
7
3
7
3
-
9
3
7
2
montar a distribuição de freqüência;
determinar a média;
qual foi o no. mais escolhido? O que ele representa?
calcule a mediana.
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12. Abaixo estão dadas as notas(em créditos) de 50 alunos:
32
60
85
33
52
65
77
84
65
74
57
71
35
81
50
35
64
74
47
54
68
80
61
41
91
55
73
59
53
77
45
41
55
78
48
69
85
67
39
60
76
94
98
66
66
73
42
65
94
88
89
Pede-se:
a) determinar a amplitude total da amostra;
b) número de classes pela fórmula Sturges. Dado log50 = 1,7;
c) amplitude das classes;
d) quais as classes? (inicie pelo 30);
e) freqüências absolutas das classes;
f) freqüências relativas;
g) pontos médios das classes;
h) freqüências acumulada;
i) histograma;
j) polígono de freqüências;
k) gráfico da freqüências acumulada;
l) média - processo abreviado;
m) moda - processo gráfico;
n) mediana - pelo gráfico do item k;
o) 1º e 3º quartis - pelo gráfico do item k;
p) 7º decil e 55º percentil pelo gráfico.
EXERCÍCIOS - SÉRIE V - CAPÍTULO 5 – pág. 151
Medidas de Dispersão, Assimetria, Curtose.
1. Dada a amostra: 2, 3, 4, 5, 7, 10, 12
a) qual é a amplitude total? b) determine o desvio médio;
c) calcule a variância.
2.
Para a série 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9.
a) construir a distribuição simples de freqüência; b) calcular a amplitude;
c) determinar o desvio médio;
d) calcular a variância populacional;
e) determinar o desvio-padrão populacional;
f) calcular o coeficiente de variação.
3.
Calcular a variância amostral:
Classes
2|--4
Freqüências ( fi )
3
4.
4|--6
5
6|--8
8
8|--10
6
10|--12
3
Num teste aplicado a 20 alunos, obteve-se a seguinte distribuição de pontos:
Pontos
35|--45
45|--55
55|---65
65|--75
75|--85
No. De alunos
1
3
8
3
3
a)
c)
e)
f)
85|--95
2
calcular o desvio médio;
b)determinar a variância populacional;
determinar o desvio-padrão;
d)calcular o coeficiente de variação;
determinar o coeficiente de assimetria (12 coeficiente de Pearson);
calcular o coeficiente de curtose.
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5.
Abaixo temos a distribuição de freqüência dos pesos de uma amostra 45 alunos:
Peso em kg
40|--45
45|--50
50|---55
55|--60
60|--65
No. de alunos
4
10
15
8
5
a)
c)
e)
65|--70
3
determinar a média;
b) determinar a variância;
qual é o valor do coeficiente de variação? d) a distribuição é simétrica?
a distribuição é mesocúrtica?
6. Sendo:
Classes
Freqüências ( fi )
Calcular:
30|--40
10
40|--50
20
50|---60
35
60|--70
25
70|--80
10
X , S 2 , S , CV , AS , K
7. A distribuição abaixo possui desvio-padrão igual a 3,02.
variabilidade.
Classes
0|--4
4|--8
8|---12
Freqüências
2
3
2
8.
33
Determine o valor do coeficiente de
Um fabricante de caixas de cartolina fabrica três tipos de caixa. Testa-s a resistência de cada caixa,
tomando-se uma amostra de 100 caixas determinando-se a pressão necessária para romper cada caixa.
São o seguintes os resultados dos testes:
Tipos de caixas
Pressão média de ruptura (bária)
Desvio-padrão das pressões (bária)
a)
b)
A
150
40
8
200
50
c
300
60
que tipo de caixa apresenta a menor variação absoluta na pressão de ruptura?
que tipo de caixa apresenta a maior variação na pressão de ruptura?
9. Um pesquisador da rádio XY aborda 30 transeuntes ao acaso e pergunta-lhes a idade. O resultado é dado
pela tabela:
35 26 39 25 39
22
42 40 39
22 21
40
16 32 39
21 28
39
18 37 23
14 27
44
30 32 21
15 26
43
a)
b)
c)
resuma as informações sob forma de uma distribuição de freqüência. Dado l og30 = 1,48;
apresente os dados na forma de um histograma;
calcule a média e o desvio-padrão amostral.
10. É dada a distribuição dos salários semanais de 1 00 funcionários:
Salário por semana($) 500|--1.000 1.000|--1.500 1.500|--2.000
No. de empregados
26
43
17
a)
b)
c)
2.000|--2.500
9
2.500|--3.000
5
calcule a variância populacional;
a distribuição é assimétrica?
distribuição é leptocúrtica?
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34
EXERCÍCIOS - SÉRIE VI – CA PÍTULO 5 – pág. 153
Medidas de Posição, Dispersão, Assimetria e Curtose.
1. Dada a série: 1,2; 1,4; 1,5; 1,8; 2 calcular a média e o desvio-padrão populacional.
2. Calcular:
a) média
b) mediana
c) moda
e) coeficiente de assimetria da seguinte distribuição:
Altura(cm) Freqüências
160 |-- 164
5
164 |-- 168
13
168 |-- 172
22
172 |-- 176
25
176 |-- 180
10
180 |-- 184
3
Total ( N )
d) desvio médio
3. Num fim de semana, o supermercado X vendeu as seguintes quantidades carne:
Tipo de Carne
Preço ( $ por kg ) Quantidade (kg)
Boi
35
1.000
Porco
38
450
Galinha
39
600
Peru
45
350
Peixe
28
250
Total ( N )
Qual foi o preço médio por quilograma vendido?
4. Completar os dados que faltam para a seguinte distribuição:
Valores ( Xi )
Freqüência ( fi )
Freqüência Acumulada( Fi Freqüência Relativa( f’i )
)
1
4
0,04
2
8
3
30
0,18
4
27
0,27
5
15
72
6
83
7
10
93
0,10
8
5. Encontrar a freqüência correspondente à terceira classe da distribuição a seguir, sabendo-se que a média
é igual a 11,50.
Xi
5
8
13
18
25
Freqüência ( fi )
4
5
......
3
1
6. Achar o 1º quartil, o 7º decil e o 73º percentil da distribuição:
Classes (Xi )
0 |-- 1
1 |-- 2
2 |--3
Freqüência ( fi )
10
12
12
3 |-- 4
10
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4 |-- 5
6
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7. Obter a moda e a variância para a distribuição amostral:
Classes (Xi )
0 |-- 25
25 |-- 50
50 |--75
Freqüência ( fi )
20
140
180
35
75 |-- 100
40
100 |-- 125
10
8. Lançando um dado 50 vezes, obteve-se a seguinte distribuição:
Xi - Classes Freqüências ( fi )
1
6
2
11
3
6
4
7
5
9
6
11
Total ( N )
Calcular a variância populacional e o desvio-padrão.
9.
Calcule a média e a variância amostral:
Classes
30.000
30.002
Fac ( Fi )
10
22
30.004
36
30.006
46
30.008
50
Estudar a distribuição abaixo, com respeito à assimetria e à curtose.
Classes
150|--200 200|--250
250|--300
300|--350
350|--400
Freqüências( fi )
5
16
21
28
19
30.010
52
10.
400|--450
8
450|--500
3
11. Cronometrando o tempo para várias provas de uma gincana automobilística, encontramos:
Equipe 1: 40 provas
tempo médio: 45 segundos
variância: 400 segundos ao quadrado
Equipe 2: tempo:
20 40 50 80
No. de provas:
10 15 30 5
a)
qual o coeficiente de variação relativo à equipe 1 ?
b) qual a média da equipe 2?
c) qual o desvio-padrão relativo à equipe 2?
d) qual a média aritmética referente às duas equipes consideradas em conjunto?
e) qual a equipe que apresentou resultados mais homogêneos? Justifique,
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36
12. Dada a amostra de 60 rendas (em milhares) de dada região geográfica:
10 7 8
5 4
3 2 9
9 6
3 15 1
13 14
4 3 6
6 8
10 11 12
13 14
2 15 5
4 10
2 1 3
8 10
11 13 14
15 16
8 9 5
3 2
3 3 4
4 4
5 6 7
8 9
1 12 13
14 16
a) agrupar os elementos em classes. Sendo K = 6 e h = 3; Li=0
b) construir o histograma e o polígono de freqüência acumulada;
c) construir o gráfico de freqüência acumulada;
d) calcular a média;
e)calcular a mediana;
f) determinar o 3º quartil;
g)calcular o 4º decil;
h) calcular o 47º percentil;
i)determinar a medida que deixa 25% das rendas;
j) calcular o desvio médio;
l) determinar a variância;
m) determinar o desvio-padrão;
n) qual é o valor do coeficiente de variação?
o) a distribuição é simétrica?
p) a distribuição é mesocúrtica ?
q) Usando o gráfico da freqüência acumulada, determine o 1º quartil, o 7º decil e o 80º percentil;
r) Prepare um relatório para a descrição das rendas dessa famílias.
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EXERCÍCIOS - SÉRIE VII - CAPÍTULO 5 – Pág. 157
Para cada uma das questões abaixo, assinale a alternativa correta.
1. A média aritmética é a razão entre:
a) ( ) o número de valores e o somatório deles;
b) ( ) o somatório dos valores e o número deles;
c) ( ) os valores extremos;
d) ( ) os dois valores centrais.
2. Na série 60, 90, 80, 60, 50 a moda será:
a) ( ) 50;
b) ( ) 60;
c) ( ) 66;
d) ( ) 90.
3. A medida que tem o mesmo número de valores abaixo e acima dela é:
a) ( ) a moda;
b) ( ) a média;
c) ( ) a mediana;
d) ( ) o lugar mediano.
4. a soma dos desvios entre cada valor e a média é:
a) ( ) positiva;
b) ( ) negativa;
b) ( ) diferente de zero;
d) ( ) zero.
5. Na
a)
b)
c)
d)
série
( ) a
( ) a
( ) a
( ) a
60, 50, 70, 80, 90 o valor 70 será:
média e a moda;
média e a mediana;
mediana e a moda;
média, a mediana e a moda.
6. quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou
número de erros, utilizamos:
a) ( ) moda;
b) ( ) média;
c) ( ) mediana;
d) ( ) qualquer das anteriores.
maior
7. Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retângulos foram anotadas as
freqüências absolutas, então a mediana é:
-----|
|
-----|
|
|
|
|
|
-----|
| 30 |
|
| 25 |
|
-----|
|
| 20 |
|
-----|
|
| 15 |
| 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-----------------------------------2
4
6
8
10
12
a) ( ) 6,5;
b) ( ) 8,0;
c) ( ) 7,5;
d) ( ) 7,0.
8. Na série, 15, 20, 30, 40, 50, há abaixo da mediana:
a) ( ) 3 valores;
b) ( ) 2 valores;
c) ( ) 3,5 valores;
d) ( ) 4 valores.
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9. Dada a figura a seguir, podemos afirmar que:
a) ( ) a moda é maior do que a mediana e menor do que a média;
b) ( ) a moda é menor que a mediana e maior do que a média;
c) ( ) a moda é menor do que a mediana e esta maior do que a média;
d) ( ) a mediana é maior do que a média e menor do que a moda.
38
fi
X
10. O
a)
b)
c)
d)
coeficiente de variação é uma medida que expressa a razão entre:
( ) desvio-padrão e média;
( ) média e desvio-padrão;
( ) amplitude semi-interquartílica e mediana;
( ) desvio-padrão e moda.
11. O cálculo da variância supõe o conhecimento da:
a) ( ) média;
b) ( ) mediana;
c) ( ) ponto médio;
d) ( ) moda.
12. Numa distribuição de valores iguais, o desvio-padrão:
a) ( ) negativo;
b) ( ) positivo;
c) ( ) a unidade;
d) ( ) zero.
13. Na série 10, 20, 40, 50, 70, 80, a mediana ser_ “:
a) ( ) 30;
b) ( ) 35;
c) ( ) 40;
d) ( ) 45.
14. Examinando a figura a seguir podemos dizer: ( curvas de freqüência )
B
A
X
a)( ) o desvio-padrão da distribuição A é maior do que o da distribuição B, e as
médias são iguais;
b)( ) o desvio-padrão de A é menor do que o de B e as médias são diferentes;
c)( ) o desvio-padrão de A é igual ao de B, independentemente de valor da média;
d)( ) as distribuições possuem o mesmo coeficiente de variação.
15. Realizou-se uma prova de matemática para duas turmas.
foram os seguintes:
Os
resultados
Turma A: X =5 σ = 2,5
Turma B: X =4 σ = 2,0
Com esses resultados, podemos afirmar:
a)( )a turma B apresentou maior dispersão absoluta;
b)( )a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta;
c)( )tanto a dispersão absoluta quanto a relativa são maiores para a turma B;
d)( )a dispersão absoluta de A é maior do que a de B, mas em termos relativos
as duas turmas não diferem quanto ao grau de dispersão das notas.
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16. O desvio-padrão de um conjunto de dados é 9. A variância será:
a) ( ) 3;
b) ( ) 18;
c) ( ) 36;
d) ( ) 81.
17. 50% dos dados da distribuição situam-se:
a) ( ) abaixo da média;
b) ( ) acima da mediana;
c) ( ) abaixo da moda;
d) ( ) acima da média.
39
18. Dada a figura a seguir (polígono de freqüência), o primeiro quartil da
distribuição será:
a) ( ) 5,0;
b) ( ) 5,5;
c) ( ) 4,8;
d) ( ) 3,0.
19. Os coeficientes de variação dos resultados abaixo são:
Estatística:
X = 80; S = 16
História:
X = 20; S = 5
a) ( ) 16% e 40%;
c) ( ) 50% e 40%;
b) ( ) 20% e 25%
d) ( ) 80% e 40%.
20. Média, mediana e moda são medidas de:
a) ( ) dispersão;
b) ( ) posição;
c) ( ) assimetria;
d) ( ) curtose.
21. Uma empresa possui dois serventes recebendo salários de R$2.500,00 cada
um, quatro escriturários recebendo R$ 6.000,00 cada um, um chefe de escritório
com salário de R$10.000,00 e três técnicos recebendo R$ 22.000,00 cada um.
A média destes salários:
a) ( ) R$ 1.050,00;
b) ( ) R$ 5.050,00;
c) ( ) R$ 26.250,00;
d) ( ) n.r.a.
22. O valor dominante de uma distribuição de freqüência chama-se:
a) ( ) mediana;
b) ( ) média;
c) ( ) moda;
d) ( ) 1º quartil.
23. Na distribuição abaixo:
Classes
30 |--- 40
40 |--- 50
50 |--- 60
60 |--- 70
70 |--- 80
Total
A moda é:
a) ( ) 50,6;
c) ( ) 50;
Freqüências
10
20
35
25
10
100
24. Para a distribuição
Classes
150|-200
200|-250
.fi
5
16
A média será:
a) ( ) 350;
c) ( ) 324,76;
b) ( ) 55;
d) ( ) 56.
250|-300
21
300|-350
28
350|-400
19
400|-450
8
450|-500
3
b) ( ) 314;
d) ( ) 323,80.
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25. O valor da medida que deixa 45% dos elementos da distribuição:
Renda
10|-20 20|-30 30|-40 40|-50 50|-60 60|-70 70|-80
No. de
50
100
150
250
150
100
80
Famílias
é: a) ( ) 45;
c) ( ) 46;
é:
6|-- 8
10
a) ( ) 7,20;
c) ( ) 6,60;
27. A média da distribuição
Classes
0 |-- 6
Fi
1
6| -- 12
2
10|-- 12
5
é: a) ( ) 12;
c) ( ) 16;
29. A variância da distribuição:
Classes
1 |-- 3
3| -- 5
.fi
1/5
2/2
12| ---18
5
b) ( ) 8,5;
d) ( )11,4.
28. O desvio médio da distribuição:
Classes
90 |-- 110
110| -- 130
.fi
2
2
30. A
a)
b)
c)
d)
8|-- 10
3
b) ( ) 5,50;
d) ( ) 7,20.
a) ( ) 12,0;
c) ( ) 10,83;
é: a) ( ) 2,24;
c) ( ) 2,5;
90|-100
50
b) ( ) 50;
d) ( ) 63.
26. O 5º decil da distribuição
Classes
2|-- 4
4|--6
.fi
5
7
é:
80|-90
70
130| ---150
5
b) ( ) 14;
d) ( ) 18.
5| ---7
2/5
b) ( ) 2,8;
c) ( ) 4.
média de uma série de valores iguais a uma constante é:
( ) zero;
( ) o valor da constante;
( ) a unidade;
( ) não é possível calcular o desvio-padrão.
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EXERCÍCIOS - SÉRIE VIII - CAPÍTULO 5 - Pág. 163
1. Explique qual a utilidade das medidas de posição. Dê 3 exemplos.
2. O que são medidas de dispersão?
3. Fale sobre as medidas de curtose.
4. Se multiplicarmos todos os elementos de uma série por uma constante, que
acontecerá com a média? E com a variância da série?
5.
Quanto vale o
∑(X
i
− X )?
6.
Se somarmos a todos os elementos de uma série um número, o que
acontecerá com a média e a variância da série?
7. O 1º decil é igual ao décimo percentil? Explique.
8. Para analisar os dados de uma folha de pagamentos, quais medidas você
utilizaria para:
a) descobrir o salário mais freqüente;
b) descobrir o salário que divide os pagamentos em partes iguais;
c) descobrir a dispersão absoluta em torno da média;
d) descobrir o grau de dispersão relativo.
9. Numa distribuição, teremos sempre a mediana
aritmética entre o 1º e 3º quartis. Discuta.
como
sendo
a
média
EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO IV - PÁG. 76 - versão 3.0
APROXIMAÇÃO NORMAL DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
1. Uma moeda é lançada 12 vezes. Determinar a probabilidade de que o número de coroas ocorra entre 4
e 7 inclusive, usando a aproximação normal da binomial.
2. Um dado é atirado 180 vezes. Encontre a probabilidade de que o número 5
apareça:
a) entre 28 e 32 vezes inclusive;
b) 31 vezes;
c) mais do que 35 vezes.
3. A probabilidade de sucesso de um quadro de um artista é 1/3. Expostos 18
quadros. Calcular a probabilidade de:
a) 8 terem sucesso;
b) menos do que 3.
4. Calcule a probabilidade de aparecer de 45 a 60 vezes inclusive o dígito
7 entre 400 números aleatórios.
5. Calcular a probabilidade de termos entre 3 a 8 peças (inclusive) defeituosas numa amostra de 100
elementos escolhidos ao acaso de uma população com 5% de defeituosas.
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CAPÍTULO 6 – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
6.1 - CONCEITOS
6.1.1 - População(N): é o conjunto formado por indivíduos ou objetos que têm pelo menos uma
variável comum e observável. Podemos falar em:
•
•
•
•
população dos alunos do primeiro período de uma faculdade;
população dos operários da indústria automobilística;
população de alturas em cm das pessoas de determinado bairro;
população de peças fabricadas numa linha de produção, e assim por diante.
Tamanho de uma população(N) finita é o número de elementos que a compõem.
6.1.2 - Amostra(n): fixada uma população, qualquer subconjunto formado exclusivamente por
seus elementos é denominado amostra desta população. Amostragem:
é o processo de seleção
de uma amostra, que possibilita o estudo das características da população.
6.1.3 - Erro amostral. é o erro que ocorre justamente pelo uso da amostra.
6.1.4 - Parâmetro:
é a medida usada para descrever uma característica numérica populacional.
Genericamente representaremos por Θ . A média ( µ ), a variância ( σ 2 ) e o coeficiente de
correlação ( ρ ) são alguns exemplos de parâmetros populacionais.
6.1.5 - Estimador:
também denominado Estatística de um parâmetro populacional; é uma
característica numérica determinada na amostra, uma função de seus elementos. Genericamente,
representaremos por Θ̂ (. A média amostral ( X ), a variância amostral S2 ) e o coeficiente de
correlação amostral (R) são exemplos de estimadores.
6.1.5.1 - Estimativa: é o valor numérico determinado pelo estimador, que genericamente é
ˆ − Θ . O valor
representado por Θ̂ o . O erro amostral, que designado por ε , é definido por: ε = Θ
de Θ̂ varia em cada uma das NN amostras de tamanho n, tiradas da população.
Logo, Θ̂ é uma variável aleatória e, como tal, podemos determinar a E ( Θ̂ ), VAR( Θ̂ ) isto é, a
esperança matemática de Θ̂ e sua variância. Podemos desmembrar o erro amostral em duas
partes:
Θ̂ o =[ Θ̂ - E( Θ̂ )] + [E( Θ̂ ) - Θ ]
1:parte casual 2:viés ou desvio
O viés pode aparecer na seleção da amostra, na coleta dos dados ou na estimação dos
parâmetros.
6.2 - Viés de Seleção
A amostragem pode ser probabilística e não probabilística. Amostragem probabilística é o processo
de seleção de uma amostra no qual cada unidade amostral da população tem probabilidade diferente
de zero e conhecida de pertencer à amostra.
Na amostragem não probabilística, a probabilidade de seleção é desconhecida para alguns ou todos
os elementos da população, podendo alguns destes elementos ter probabilidade nula de
pertencer à amostra, como por exemplo em amostras intencionais, a esmo ou de voluntários.
O melhor modo de evitar o viés de seleção é o uso do sorteio, seja ele manual ou por meio de
uma tabela de números aleatórios, ou então pela geração de números aleatórios por computador.
A amostragem probabilística é isenta de viés de seleção.
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6.3 - Viés na Coleta de Dados
Este tipo de vício pode ocorrer principalmente quando se substitui a unidade de amostragem ou
quando há falta de respostas.
6.4 - Viés de Estimação
Este tipo de vício pode ser controlado fazendo-se amostragens probabilísticas.
6.5 - Estimador Não-Viesado
)
O estimador θ é dito um estimador não-viesado do parâmetro θ se
)
E( θ ) = θ
6.6 - Eficiência
)
)
)
)
)
)
Para θ 1 e θ 2 , estimadores não-viesados de θ, θ 1 é mais eficiente que θ 2 se V( θ 1) < V( θ 2)
EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO 6 - Pág.173
1. Uma população se constitui dos números 2, 3, 4, 5. Considere todas
as amostras possíveis, de tamanho 2, que podem ser extraídas dessa
população com reposição. Determine: a) média da população, b) o
desvio-padrão da população,c) a média da distribuição amostral das
médias amostrais, d) o desvio-padrão da distribuição amostral das
médias. Constate que:
µ ( x) = µ e σ (x ) =
σ
n
2. Considere os dados da população do exercício anterior e amostras de
tamanho 2 sem reposição. Constate que:
µ (x ) = µ e σ ( x) =
σ
N −n
(
)
n N −1
CAPÍTULO 7 – TEORIA DA AMOSTRAGEM
“Generalização dos resultado da amostra para a população”.
Conceitos sobre inferência estatística e distribuições por amostragem.
Definição: “ é o estudo das relações entre uma população e as amostras dela extraídas”.
7.1. População: 1) finita: nº de elementos é finito
2) infinita: nº de elementos, não pode ser fixado(determinado).
População é o Universo.
Ex.: população infinita: salinidade nos mares, estrelas, números pares,...
7.2. Amostragem: é a técnica de se extrair amostras da população.
a) com reposição: “Quando cada elemento sorteado para a amostra é recolocado na população para novo
N
sorteio”: N
b) sem reposição: “Cada elemento não é mais colocado na população; não pode se repetir.
N
C Nn ==>   = C Nn
n 
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7.3. Amostra aleatória – (a . a): “é aquela cujos elementos são retirados da população por um processo
aleatório, em geral por sorteio”.
Nº aleatórios – são tabelas confeccionadas por computador (calculadoras).
7.4. Tipos de Amostragem:
7.4.1 Amostragem aleatória simples (a .a .a)
É o trabalho feito com uma única amostra aleatória e constitui a mais simples técnica usada.
POPULAÇÃO
AMOSTRA
- Pontos importantes para a amostra ser representativa:
a) Amostra deve ser aleatória, ou seja, cada elemento deve ser aleatório, ou seja, cada elemento deve ter a
mesma chance de acontecer. 1/N.
b) Se baseia no cálculo de probabilidades.
c) Não pode ser apenas pelo bom senso.
POPULAÇÃO
AMOSTRA
7.4.2 Amostragem estratificada:
Quando a população é muito grande, por exemplo, cidades, dividimos a cidade em estrato e de cada estrato
tiramos uma amostra.
Variância pequena entre estratos homogêneos
n1 + n2 + n3 +......+ nt = n
7.4.3 Amostragem por conglomerados
-Região muito heterogêneos
- Região com qualidade parecidas
- A variância entre cada parte é grande.
Ex.: Conjunto de indivíduos
Renda per capita centro
Bairro
7.4.4 Amostragem sistemática: Bairro
Seleciona-se uma rua. Pegue uma casa e pula 2 casas.
Ex.: Seja N = 500 e n = 50
Calcula-se N/n ou o inteiro mais próximo a “a”. Sorteia-se, um nº então 1 e “a” formando-se a amostra dos
elementos: X; X + a; X + 2 a; ...
7.5. Tamanho da População – N
É o nº de elementos que compõem a população.
7.6. Tamanho da Amostra (n).
É o nº de elementos que compõem a amostra.
n<N
mas se n = N é um censo.
Censo: Quando trabalhamos com toda população.
7.7. Parâmetro
É qualquer medida feita da população.
Ex.: Média, Desvio – padrão, variância ...
7.8. Estimador – (ou estatística)
É qualquer medida feita na amostra (média a variância da amostra).
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7.8.1 Estimação: Quando usarmos os resultados extraídos da amostra para produzir inferências sobre a
população da qual foi extraída aleatoriamente a amostra.
7.8.2: Quando usamos os resultados extraídos da amostra para tentarmos valores de certos Teste de
Hipóteses parâmetros da população ou mesmo testarmos a natureza da população.
Quanto aos testes de hipótese eles podem ser de dois tipos:
(i)
Paramétricos: quando formulamos hipóteses com respeito ao valor de um parâmetro populacional
(ii)
Aderência: quando formulamos hipóteses com respeito à natureza da distribuição da população.
Estimar: avaliar
Estimador serve para estimar o parâmetro correspondente.
Simbologia
Medida
Média
variância
desvio-padrão
X =
Parâmetro (população)
µ,
σ2,
σ
∑
∑f
Estimador (amostra)
X,
s2 (n-1),
s (n-1)
n
fi X i
S2 =
∑ (X
i =1
i
i
− X )2. fi
n −1
Na teoria da amostragem, são consideradas duas dimensões:
a)Dimensionamento da amostra-vide fórmulas na Tabela 7.1
b)Composição da amostra – vide métodos a seguir:
7.9 Métodos Probabilísticos
O método de amostragem probabilística exige que cada elemento da população possua
determinada possibilidade de ser selecionado. Se N for o tamanho da população, a probabilidade de
cada elemento é 1/N.
7.9.1 AMOSTRAGEM CASUAL SIMPLES
Definição: uma amostra se diz casual simples quando P(X=xi )=1
Tanto para amostragem com reposição como para sem reposição, temos: P(X=x)=1/N
Ver tabela de dígitos aleatórios - Tabela 5
7.9.2 - AMOSTRAGEM POR ESTRATIFICAÇÃO
Seja a população formada por: 1,2,3,4,...,7,8,9
o mesmo exemplo abordado anteriormente. Devemos usar uma variável critério" para separar a
população em estratos.
No exemplo, o critério de estratificação será:
E1: grupo formado pelos três menores valores; E1 = 1, 2, 3
E2: grupo formado pelos três valores centrais; E2 = 4, 5, 6
E3: grupo formado pelos três maiores valores. E3 = 7, 8, 9
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46
EXEMPLO
Dada a população de 50.000 operários da indústria automobilística, formar uma amostra de 5% de
operários para estimar seu salário médio.
Usando a variável critério "cargo" para estratificar essa população, e considerando amostras de 5%
de cada estrato obtido, chegamos ao seguinte quadro.
Çargos
População
Amostra
Chefes de seção
5.000
250
Operários especializados
1.500
750
Operários não especializados
30.000
1.500
Total
50.000
2.500
A amostragem por estratificação tem as seguintes características:
• dentro de cada estrato há uma grande homogeneidade, ou então uma pequena variabilidade;
• entre os estratos há uma grande heterogeneidade, ou então uma grande variabilidade.
No primeiro exemplo, retiramos o mesmo número de elementos de cada um dos estratos e, no
segundo, fizemos uma partilha proporcional.
7.9.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS
Se estivermos interessados no salário médio dos operários da indústria automobilística, como no exemplo
anterior, podemos selecionar uma montadora e, dentro dela, estudar os salários. Há uma mudança
fundamental na unidade de sorteio. Passamos de elemento para grupo.
Consideramos conglomerados os grupos de elementos com as seguintes características:
• dentro de cada conglomerado há uma grande heterogeneidade, ou então uma grande
variabilidade;
• entre os conglomerados há uma pequena variabilidade, ou então uma grande
homogeneidade.
7.9.4 - AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
Consideramos uma população de tamanho N e dela tiramos uma amostra de tamanho n. Definimos
N
a = : fator de sistematização
n
Sorteamos um número entre 1 e a. Seja m esse número:
• O primeiro elemento da amostra é o de número m;
• O segundo elemento da amostra é o de número a + m;
• terceiro elemento da amostra é o de número 2s + m;
• n-ésimo elemento da amostra é o de número (n - 1)s + m.
Para esse tipo de amostragem é necessário que a população esteja ordenada, por exemplo, em nomes de uma
lista telefônica ou em números das casas de uma rua.
EXEMPLO
De uma população de N = 1000 elementos ordenados, retirar uma amostra sistemática de tamanho
1000
100. a =
= 10
100
Seja 1 ≤ m ≤ 10 1. Suponhamos que m = 7. Logo temos:
1º) elemento da amostra 7º
2º) elemento da amostra 17º
3º) elemento da amostra 27º
......
º
100 elemento da amostra 997º
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47
7.10-MÉTODOS NÃO PROBABILÍSTICOS
São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra. Não é possível
generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as amostras não-probabilísticas não
garantem a representatividade da população.
7.10.1 – Amostragem Acidental
Normalmente utilizada em pesquisa de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente
escolhidos.
7.10.2 – Amostragem Intencional
De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que
irão compor a amostra.
7.10.3 – Amostragem, por Quotas
Um dos métodos de amostragem mais comumente usados em levantamentos de mercado e em
prévias eleitorais é o método de amostragem por quotas
EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO 7-Pág.182
1. Dada a seguinte população ( renda em $ 1000)
29
6
34
12
15
31
34
20
8
30
8
15
24
22
35
31
25
26
20
10
30
4
16
21
14
21
16
18
20
12
31
20
12
18
12
25
26
13
10
5
13
19
30
17
25
29
25
28
32
15
10
21
18
7
16
14
11
22
21
36
32
17
15
13
8
12
23
25
13
21
5
12
32
21
10
30
30
10
14
17
34
22
30
48
19
12
8
7
15
20
26
25
22
30
33
14
17
13
10
9
a)Calcule o tamanho da amostra para se estimar a média, sendo d=$2000,
σ =$7.000 e 1 - α = 95,5%.
b) agrupar os elementos em classe;
c) calcular sua média;
d) calcular o desvio-padrão amostral;
e) o que você pode afirmar quanto ao valor da média amostral.
2.
Escolha
uma página qualquer da lista telefônica e retire
sistemática de vinte nomes.
3.
Calcule
o
tamanho da amostra de seus colegas
estimar a proporção dos usuários de óculos.
1
−
desta
1
e 1000
' , população infinita, d = 0,05 e
4.
Sendo 1000
determine o tamanho amostral.
uma
amostra
faculdade,
para
1 - α = 95,5%,
ˆ = q = 0,5 , população de 200.000, d = 0,05 e 1 - α = 95,5% determine
5. Sendo p
tamanho amostral. Compare com o resultado obtido no Exercício 4.
6.
Determine
o
tamanho
amostral para se estimar
trabalhadores do município em que você mora.
o
salário
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médio
o
dos
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48
CAPÍTULO 8 - INTERVALOS DE CONFIANÇA
ESTIMAÇÃO
8.1 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Usualmente, é impraticável observar toda uma população, seja pelo custo caríssimo seja por
dificuldades diversas. Examina-se então uma amostra. Se essa amostra for bastante representativa,
os resultados obtidos poderão ser generalizados para toda a população.
O pesquisador poderá levantar hipóteses das possibilidades das generalizações dos resultados aos
experimentos semelhantes. Deverá testar essas hipóteses que poderão ser rejeitadas.
Um experimento pode ter por finalidade a determinação da estimativa de um parâmetro de uma
função.
Toda conclusão tirada por uma amostragem, quando generalizada para a população, virá
acompanhada de um grau de incerteza ou risco.
Ao conjunto de técnicas e procedimentos que permitem dar ao pesquisador um grau de
confiabilidade, de confiança, nas afirmações que faz para a população, baseadas nos resultados das
amostras, damos o nome de Inferência Estatística.
O problema fundamental da Inferência Estatística, portanto, é medir o grau de incerteza ou risco
dessas generalizações. Os instrumentos da Inferência Estatística permitem a viabilidade das
conclusões por meio de afirmações estatísticas.
8.1.2 ESTIMAÇAO DE PARAMETROS
Um dos objetivos básicos da experimentação é a estimação de parâmetros. Estuda-se uma
população cuja distribuição é considerada conhecida por meio de sua função de densidade de
probabilidade(f.d.p), f ( X , Θ1 , Θ 2 ,..., Θ n ) onde X é uma variável aleatória e Θ i , i = 1,2,3,..., p são
os parâmetros da distribuição.
EXEMPLO
X : N ( µ , σ 2 ) onde f ( x; µ , σ 2 ) =
1
1 x−µ 2
− (
)
2 σ
, portanto, a distribuição de X, que é normal,
σ 2π
depende de 2 parâmetros µ eσ 2 .
Temos de avaliar um ou mais parâmetros da distribuição populacional, tomando por base uma
amostra casual simples X1, X2,....,Xn. O principal problema é procurar funções de observações que
forneçam estimativas dos parâmetros.
Logo: X =
1 n
∑ X i é um estimador de µ
n i =1
e
e
X = X 0 é uma estimativa.
1 n
( x i − x ) 2 é um estimador de σ
e S 2 = S 02 é uma estimativa calculada na amostra.
∑
n − 1 i =1
8.1.2 TIPOS DE ESTIMAÇÃO
Há dois tipos fundamentais de estimação: por ponto e por intervalo.
S2 =
8.1.3 ESTIMAÇÃO POR PONTO
Na Estimação por Ponto, a partir das observações, calcula-se uma estimativa, usando o estimador
ou "estatística". A distribuição por amostragem dos estimadores torna possível o estudo das
qualidades de um estimador.
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8.1.4 Qualidades de um Bom Estimador
Quanto
maior o grau de concentração da distribuição amostral do estimador em torno do verdadeiro valor
do parâmetro populacional, tanto melhor será o estimador. As principais qualidades que deve ter
um estimador são:
a) consistência;
b) ausência de vício;
c) eficiência;
d) suficiência.
8.1.5 ESTIMAÇÃO POR INTERVALO
A estimação por pontos de um parâmetro não possui uma medida do possível erro cometido na
estimação. Uma maneira de expressar a precisão da estimação é estabelecer limites, que com certa
probabilidade incluam o verdadeiro valor do parâmetro da população.
Esses limites são chamados "limites de confiança": determinam um Intervalo de Confiança, no qual
deverá estar o verdadeiro valor do parâmetro.
Logo, a estimação por intervalo consiste na fixação de dois valores tais que (1 - α ) seja a
probabilidade de que o intervalo, por eles determinado, contenha o verdadeiro valor do parâmetro.
α : nível de incerteza ou grau de desconfiança.
1 -α : coeficiente de confiança ou nível de confiabilidade(nível de significância)
Portanto, α nos dá a medida da incerteza desta inferência (nível de significância). Logo, a partir
de informação de amostra, devemos calcular os limites de um intervalo, valores críticos, que em (1 α )% dos casos inclua o valor do parâmetro a estimar e em α % dos casos não inclua o valor do
parâmetro.
8-1.6 - RESUMO DA ESTIMAÇÃO POR INTERVALOS DA MÉDIA
POPULAÇÃO
TAMANHO DA
MOSTRA
GRANDE (n ≥ 30 )
NORMALMENTE
DISTRIBUÍDA
PEQUENA (n < 30)
GRANDE (n ≥ 30 )
PEQUENA (n < 30)
Onde: 1- α = 1 −
*
*
+
++
X ±t
X ±z
σ X conhecido
X ±z
X ±z
X ±z
X ±z
σ
σ x desconhecido
X±z
n
σ
X ±t
n
*
σ
n
σ
n
S
**
n
S
n
+
X ±z
S
X ±k
S
n
++
n
1
α
⇒K=
2
α
k
Utiliza o Teorema do Limite Central.
Z é utilizado como uma aproximação de t
utilizamos Z como uma aproximação de t
Intervalo pouco confiável
S
n
σ
n
σ desconhecido

para n < 30
è
X −z
σ
n
≤µ≤X +z
σ
n
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8.2. Intervalos de Confiança(IC) para a Média( µ )de uma População Normal
com Variância Conhecida ( σ 2 )
σ
σ
< µ < x + zα / 2
x - zα / 2
n
n
8.3. Intervalos de Confiança para a Média( µ ) de uma População Normal:
Variância Populacional (YEst=a+bX
)Desconhecida
x−
tα / 2 S x
< µ < x+
tα / 2 S x
n
n
8.4. Intervalos de Confiança para a Variância de uma População Normal
(n − 1) S x2
(n − 1) S x2
2
<σ <
onde ϕ = n − 1 graus de liberdade
2
2
χ sup
χ inf
8.5. Intervalos de Confiança para o Desvio-Padrão
(n − 1)
(n − 1)
S.
≤ σ ≤ S.
onde ϕ = n − 1 graus de liberdade
2
2
χ sup
χ inf
8.6. Intervalos de Confiança para a Proporção da População (Grandes Amostras)
p̂ x − z α / 2
p̂ x (1 − p̂ x )
p̂ x (1 − p̂ x )
< p < p̂ x + z α / 2
n
n
8.7. Intervalos de Confiança para Diferença entre Médias: Pares Combinados
Uma amostra aleatória de n pares de observações de uma distribuição com médias µX e µY.
Sejam d s Sd a média e o desvio-padrão amostrais observados para n diferenças di = xi – yi:
d − t n −1,α / 2
Sd
n
< µ X − µ Y < d + t n −1,α / 2
Sd
n
8.8. Intervalos de Confiança para Diferença entre Médias: Amostras Independentes
(Variâncias Conhecidas ou Grandes Amostras)
Suponha que temos amostras aleatórias independentes com nx e ny observações de distribuições
normais com médias µX e µY e variâncias σ2 X e σ2Y. Se as médias amostrais observadas são x e
y , então o intervalo de confiança para (µX - µY) é dada por
2
2
2
2
( x - y ) - zα/2 σ X + σ Y < µ X − µ Y < ( x − y) + z α / 2 σ X + σ Y
nx
ny
nx
ny
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Tabela 8.9 - FÓRMULAS PARA CÁLCULOS DOS
INTERVALOS DE CONFIANÇA ( I.C.)
TEORIA DA ESTIMAÇÃO
AMOSTRAS
A -ESTIMATIVA DE MÉDIA1ª PONTUAL
2ª INTERVALAR
σ conhecido
σ desconhecido
3º TAMANHO DA AMOSTRA
σ conhecido
σ desconhecido
B-ESTIMATIVA DE PROPORÇÃO 1º Pontual
2º intervalar
3º tamanho da amostra
C- ESTIMATIVAS DA DIFERENÇA
DE MÉDIAS σ conhecido
σ desconhecido
D-ESTIMATIVA DO INTERVALO
P/VARIÂNCIA
INFINITA
X ±Z
X ±t
FINITA
X
σ
X
σ N −n
X ±Z
n N −1
n
S
X ±t
n
 z.σ 
n=

 E 
2
n=
z 2 .σ 2 .N
z 2 .σ 2 + E 2 ( N − 1)
p±z
 p (1 − p ) 
n = z2 
2

 E

( x1 − x 2 ) ± t.S
n
N −n
N −1
t 2 .S 2 .N
n= 2 2
t .S + E 2 ( N − 1)
x
p=
n
2
 t.S 
n= 
 E 
x
p=
n
p (1 − p )
p±z
n
( x1 − x 2 ) ± z
S
σ 12 σ 22
+
n1 n 2
1
1
+
n1 n 2
n=
p (1 − p )
n
N −n
N −1
z 2 . p (1 − p ).N
( N − 1) E 2 + z 2 p (1 − p )
( x1 − x 2 ) ± z
( x1 − x 2 ) ± t.S
σ 12 σ 22
+
n1 n 2
N −n
N −1
1
1
+
n1 n 2
N −n
N −1
(n1 − 1) S 12 + (n 2 − 1)S 22
(n − 1) S 2
(n − 1) S 2
2
=
S
≤
σ
≤
n1 + n 2 − 2
χ 2 sup
χ 2 inf
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52
EXERCICIOS - SÉRIE 1 - PÁG. 193
Construa os IC e interprete cada resultado
Para a Média Populacional.
1.
Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para uma medida uma
média de 5,2 mm. Sabendo-se que as medidas têm distribuição normal com desvio-padrão populacional
1,2 mm, construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%.
De uma distribuição normal com a σ = 1,96, obteve-se a seguinte amostra: 25,2; 26,0; 26,4; 27,1;
28,2; 28,4. Determinar o intervalo de confiança para a . média da população, sendo α = 0,05 e
α = 0,10.
3. Suponha que as alturas dos alunos de nossa faculdade tenham distribuição normal com a
σ = 15 cm. Foi retirada uma amostra aleatória de 100 alunos obtendo-se X = 175 cm. Construir,
ao nível de significância de 95% o intervalo para a verdadeira altura média dos alunos.
2
2.
4.
Dados n = 10, X = 110 e S = 10, determinar os intervalos de confiança g aos níveis de 90% e 95%.
5.
Uma amostra é composta pelos seguintes elementos: 7, 7, 8, 9, 9, 9, 1 0, 11, 11, 11, 12, 13, 13, 14,
15, 15. Construir os intervalos de confiança para a média sendo: 1 - α = 97,5% e 1 - α = 75%.
6. Colhida uma amostra de 30 peças, forneceu os seguintes pesos:
250,
265,
267,
269,
271,
275,
277,
281,
283,
287,
289,
291,
293,
293,
298,
301,
303,
306,
307,
309,
311,
315,
319,
322,
324,
328,
335,
284,
307,
339.
Por meio da construção do intervalo de confiança, responder se esta amostra satisfaz a especificação
pela qual o peso médio deve ser 300 kg.
Sugestão:
Adote α = 5%.
7. Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se seguintes medidas para os
diâmetros:
10,
l1,
l1,
l1,
12,
12,
12,
12,
13,
13,
13,
13,
13,
13,
13,
13,
13,
13,
13,
13,
14,
14,
14,
14,
14,
15,
15,
15,
16,
16.
a)
b)
Estimar a média e a variância;
Construir um intervalo de confiança para a média sendo
α
= 5%.
8. Em quatro leituras experimentais de um "comercial" de 30 segundos, u locutor levou em média 29,2
segundos com uma S2 = 5,76 segundos a quadrado. Construir os limites de confiança para a média.
Dado α = 10
9. Construir intervalos de confiança para a média admitindo-se as seguinte distribuições amostrais, ao
nível de 95%:
a)
Classes
0 |--- 5
5 |--- 10
10 |--- 15
15 |--- 20
fi
2
3
5
2
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53
Intervalos de Confiança para a Variância
10.
Supondo populações normais, construir o intervalo de confiança para a variância ao nível de 90% para
as amostras:
a) 44,9 - 44,1 - 43 - 42,9 - 43,2 - 44,5;
b) 2 - 2 - 2 - 3 - 3 - 4 - 5 - 5 - 5 - 5 - 6 - 6 - 7 - 7 - 8.
11.
Suponhamos que uma amostra de n = 10 fornecesse S2 = 2,25. Quais os limites de confiança a 80%
para a verdadeira variância?
12.
Sendo X uma população tal que X = N ( µ , σ ) em que
2
amostra de tamanho 15 forneceu os valores
de confiança de 95% para
σ2.
∑X
J
µ e σ são desconhecidos. Uma
= 8,7e
2
∑X
2
J
=27,3. Determinar um intervalo
13.
Determinar, ao nível de 99%, o intervalo para o desvio-padrão da população que deu origem à amostra
do exercício 6 desta série.
14.
Qual é o intervalo de confiança que conterá com 90% a verdadeira variância de uma população normal
que resultou
X J = 700,8e X J2 =23.436,80 de uma amostra de 30 elementos?
∑
∑
Intervalos de Confiança para a Proporção
15. Uma centena de componentes foi ensaiada e 93 deles funcionaram mais de 500 horas. Determinar um
intervalo de confiança de 95% para a proporção.
16. Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostra-nos que 25% deles são casas de aluguel. Qual é o
intervalo de confiança da proporção de casas de aluguel? α = 2%.
17. Em 50 lances de uma moeda, foram obtidas 30 caras. A partir de um intervalo de confiança de 96%,
pode-se dizer que a moeda é honesta?
18. Para verificar se um dado era viciado, jogou-se o mesmo 120 vezes, obtendo-se 25 vezes o número
cinco. Calcular um intervalo de confiança para a proporção α = 1%. Pode-se dizer que o dado é
viciado?
19. Uma amostra de 300 habitantes de uma cidade mostrou que 180 desejavam a água fluorada. Encontrar
os limites de confiança de 90% e 95% para a proporção da população favorável a fluoração.
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54
CAPÍTULO 9 – TESTES DE HIPÓTESES
9.1 - HIPÓTESE ESTATÍSTICA.
É uma suposição quanto ao valor de um parâmetri populacional que será verificada por um teste
paramétrico ou uma afirmação quanto à natureza de população que será verificada por um teste de
aderência.
9.1.1 - EXEMPLOS DE HIPÓTESES ESTATÍSTICAS:
1. A média populacional da altura dos estudantes brasileiros é 1,70m, isto é, a µ=1,70m.
2. 3% das peças são defeituosas.
3. A % dos desempregados em duas cidades vizinhas é igual.
9.2 - TESTE DE HIPÓTESE OU DE SIGNIFICÂNCIA.
-O teste de hipótese é uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com
base nos elementos amostrais.
-A finalidade de um teste de significância é avaliar afirmações sobre os valores de parâmetros
populacionais.
.3 – HIPÓTESE NULA ( Ho ) e ALTERNATIVA( H1).
Ho = Hipótese Nula ou Hipótese de Nulidade.
É uma hipótese de que não haja diferença. Formulada com expresso propósito de ser rejeitada.
H1 = Hipótese Alternativa
-É a definição operacional da hipótese de pesquisa do pesquisador.
-A hipótese de pesquisa é a predição deduzida da teoria que está sendo comprovada.
-A hipótese alternativa geralmente representa a suposição que o pesquisador quer prova.
9.4 - TESTE UNILATERAIS E TESTE BILATERAIS
1. TESTE BICAUDAL
Ho = p = 0,50
H1 = p ≠ 0,50
α/2
Rejeitar
α/2
Aceitar Ho
V.C.
Rejeitar Ho
V.C.
2. TESTE UNICAUDAL À ESQUERDA
Ho = p = 0,50
H1 = p<0,50
α
Rejeitar
Aceitar Ho
V.C.
3. TESTE UNICAUDAL À DIREITA
Ho= p= 0,50
H1= p > 0,50 (desvio abaixo)
Aceitar Ho
Rejeitar Ho
V.C.
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55
9.5 - TESTE DE SIGNIFICÂNCIA- PROCEDIMENTOS
Os teste de significância são usadas para avaliar afirmações sobre parâmetros populacionais.
O processo geral consiste no seguinte:
1. Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa.
2. Escolher a distribuição amostral adequada.
3. Escolher um nível de significância (valores críticos).
4. Calcular a estatística teste e comprá-la com os valores críticos.
5. Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística teste excede os valores críticos; caso contrário,
aceitá-la.
Se o Ho é verdadeira:
Distribuição amostral supondo
Ho Verdadeiro
Estes resultados
não são prováveis.
Estes resultados são prováveis
Estes resultados não são prováveis
9.6 - TESTE DE UMA AMOSTRA PARA MÉDIAS.e PROPORÇÕES
-Utiliza –se o teste de uma amostra para tentar uma afirmação sobre uma única média
populacional.
-Escolhe-se o nível de significância, extrai-se uma amostra de n observação e calcula-se a média
amostral e a estatística teste.
Suponhamos que uma certa distribuição dependa de um parâmetro Θ e que não se conheça Θ ou,
então, há razões para acreditar que o Θ variou, seja pelo passar do tempo ou, então, pela introdução
de novas técnicas na produção, por exemplo.
A Inferência Estatística fornece um processo de análise denominado Teste de Hipóteses, que
permite se decidir por um valor do parâmetro Θ ou por sua modificação com um grau de risco
conhecido.
Formulamos duas hipóteses básicas:
H0 : hipótese nula ou da existência.
H1: hipótese alternativa.
Testamos hipóteses para tomarmos uma decisão entre duas alternativas. Por essa razão o Teste de
Hipótese é um Processo de Decisão Estatística.
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Vejamos alguns exemplos de hipótese
· os chips da marca A têm vida média µ = µ 0
· o nível de inteligência de uma população de universitários é µ = µ 0
· o equipamento A produz peças com variabilidade menor que a do equipamento B: σ A2 < σ B2
· o aço produzido pelo processo A é mais duro que o aço produzido pelo processo B: µ A > µ B .
Podemos, pois, apresentar as hipóteses genéricas que englobam a maioria dos casos:
1. para testes bilaterais
H 0 : µ = µ 0
para testes unilaterais à direita
2. 
H 1 : µ > µ 0
H 0 : µ = µ 0
para testes unilaterais à esquerda
3. 
H
:
µ
<
µ
0
 1
9.7 - ESTATÍSTICA TESTE=
média amostral( x ) − média alegada( µ )
Desvio padrão da distribuição amostral
1º) σx conhecido – A estatística Teste é:
Zteste =
X − µ0
σx
n
X − µ0
2º) σx desconhecido- A estatística Teste é: tteste =
sx
n
9.8 - DISTRIBUIÇÃO DE t DE STUDENT
COMPARAÇÃO DE DUAS MEDIAS: T.H. PARA A DIFERENÇA DE
DUAS MEDIAS
Analisaremos os vários casos de comparações de médias de duas populações normais. Em geral
faremos testes sobre a diferença entre duas médias populacionais:
H 0 = µ1 − µ 2 = µ d
sendo na maioria dos casos µ d = 0 , o que significa que estaremos testando a igualdade entre as
médias: H 0 : µ1 = µ 2
Consideraremos dois casos na comparação das médias: dados emparelhados (populações
correlacionadas) e, dados não emparelhados (populações não correlacionadas).
9.9 - DADOS EMPARELHADOS
Fazemos testes de comparação de médias para dados emparelhados quando os resultados das duas
amostras são relacionados dois a dois, de acordo com algum critério que fornece uma influência
entre os vários pares e sobre os valores de cada par. Para cada par definido, o valor da primeira
amostra está claramente associado ao respectivo valor da segunda amostra.
Para exemplificar, tomaremos um grupo de pessoas que fizeram determinada dieta por uma
semana. Medimos o peso no início e no final da dieta. As pessoas estão claramente determinadas.
A identidade de cada uma tem influência nos valores observados de seu peso, porém essa influência
deve ser aproximadamente igual dentro de cada par de valores do tipo "antes" e "depois".
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Ao tomarmos a diferença entre vários pares de valores e trabalharmos com elas, a influência
individual de cada pessoa deverá desaparecer, ficando apenas a influência da dieta.
Calculamos as diferenças para cada par de valores, produzindo dados de uma amostra de n
diferenças.
H 0 : µ '1 − µ 2 = µ d = 0

H 1 : µ d > 0 ou µ d < 0
r
S
1 n
d−µ
d = ∑ di
t=
onde S d = d
Sd
n i =1
n
d:
µd :
Sd:
N:
média da amostra das diferenças
valor das diferenças entre médias das populações a ser testado
desvio padrão da amostra das diferenças
tamanho da amostra das diferenças.
9.10 - TIPO DE ERROS - ERROS DE DECISÃO
Podemos cometer um erro de decisão quando feito o Teste de Hipótese:
1. Rejeitamos uma hipótese nula verdadeira: é o denominado erro de 1ª espécie ou do tipo I.
2. Não rejeitamos uma Ho falsa: é o chamado erro de 2ª espécie ou erro do tipo II.
Resumindo:
Decisão
Não rejeitar
Rejeitar
H0
Verdadeira
Falsa
Não há erro
Erro do tipo I
Erro do tipo II- β
Não há erro
Só podemos cometer o erro do tipo 1 quando rejeitamos Ho, e o erro do tipo II, quando não
rejeitamos H0.
1. ERRO TIPO I ou erro de primeira espécie: “ Comete-se um erro TIPO I rejeitando-se Ho é
verdadeira. A PROBABILIDADE DE UM ERRO Tipo I é igual ao nível de significância de
um teste de hipótese, α (alfa)”.
2. ERRO TIPO II ou erro de Segunda espécie ( β, Beta).
“Comete-se um erro Tipo II aceitando-se Ho quando ela é falsa.”
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9.11 - FÓRMULAS PARA TESTES DE HIPÓTESES
1) X ± Z
n
n
x − µ0
13) t t =
n
x − µ0
tt =
s
9)
P=
n
1
k2
 (n1 − 1) S12 + (n2 − 1)S 22   1
1 

  + 
n1 + n2 − 2

  n1 n 2 
Sd
3σ
24) χ
n
12) t t
14) X t2 =
p1 − p 2
17) Z t =
1
1
p(1 − p)  + 
 n1 n 2 
21) Sd =
n
23) LIC = µ −
26) f e =
x − µ0
s
X1 − X 2
p o (1 − p o )
n
20) Sd =
n
x − µ0
6) z t =
σ
α
α
11)
σ 12 σ 22
+
n1 n 2
p − p0
16) Z t =
S
3) X ± t
n
X1 − X 2
Zt =
n
8) k t =
N −n
N −1
σ
n
10)
5) k =
N −n
N −1
σ
2) X ± Z
S
4) X ± k
7) z t =
σ
2
∑d
=∑
2
− n.(d ) 2
n −1
(O − E )
E
2
(n − 1) S
σ2
18) p =
=
2
X1 − X 2
S12 S 22
+
n1 n 2
15) z t =
x1 + x 2
n1 + n 2
19) d =
22) LSC = µ +
25) t t =
S −σ
σ
2(n − 1)
∑d
n
3σ
n
d
Sd
(∑ L)(∑ C )
N
EXERCÍCIOS - SÉRIE II - CAPÍTULO 9 - página 218
Testes para a Média Populacional
1 . Uma amostra de 25 elementos resultou média 13,5 com desvio-padrão 4,4. Efetuar o teste ao nível de
0,05 para a hipótese que µ = 16 contra µ ≠ 16; e µ < 1 6.
2 . Retirada uma amostra de 15 parafusos, obteve-se as seguintes medidas para seus diâmetros:
10
10 10 11 11 12
1 2 12 12
13
3.
13
14
Testar Ho: µ = 12,5 contra
Dada a distribuição amostral
Classes
fi
5 |--- 10
3
14
14 15
µ ≠ 12,5; µ > 12,5; µ < 12,5. Adotando α = 0,05.
10 |--- 15
5
15|---- 20 20|---- 25
25|---- 30
8
3
2
Testar a hipótese de que a média da população é 20 contra H,: µ ≠ 20, sendo α = 2,5%.
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4. As estaturas de 20 recém-nascidos foram tomadas no Departamento de Pediatria da FMRP, cujos
resultados são em cm.:
41 50 52 49 49 54 50 47 52 49
50 52 50 47 49 51 46 5 0 49 50
a) Suponha inicialmente que a população das estaturas é normal com variância 2 cm2; teste a hipótese
de que a média desta normal é 50 cm ( α = 0,05 ) ( teste unicaudal ).
b) Faça o mesmo teste para a média, mas agora desconhecendo a variância ( teste unicaudal );
5. 15 animais foram alimentados com uma certa dieta durante 3 semanas e verificou-se os seguintes
aumentos de pesos:
25 30 32 24 40 34 37 33
34 28 30 32 38 29 31
Testar a hipótese de que a média é 30, sendo α = 10% ( teste bicaudal ).
Testes para a Variância Populacional
6. Um laboratório fez oito determinações da quantidade de impurezas em porções de certo composto. Os
valores eram: 12,4; 12,6; 12,0; 12,0; 12,1; 12,3; 12,5 e 12,7 mg.
a) Estimar a variância de impurezas entre porções.
b) Testar a hipótese de que a variância é 1, ao nível de
α = 0,05 e α = 0,10, contra H,: σ 2
< 1.
7. Testar Ho : σ = 10 contra H1 : σ ≠ 10 admitindo a seguinte distribuição:
Classes
5 |-- 10
10 |-- 15
15 |-- 20
20 |-- 25
25 |-- 30
.fi
3
5
8
3
1
Admita α = 20%
2
2
8. Suponha X = N( µ ,
∑X
J
= 8,7 e
∑X
2
J
σ 2 ) em que µ e σ 2
são desconhecidos. Uma amostra de tamanho 15 forneceu
= 27,32 . Testar a hipótese de que a variância da população é 4. Adotar
α = 1%
(testes uni e bicaudal).
Testes para a Proporção
9.Uma amostra de 500 eleitores selecionados ao acaso dá 52% ao Partido Democrático. Poderia esta amostra
ter sido retirada de uma população que tivesse 50% de eleitores democratas? Admita α = 0,05.
10. Com base na tabela
Homens
Mulheres
Total
a)
b)
c)
11.
Cigarros
Slfiltro
Cigarros
Clfiltro
12
8
20
64
26
90
Não fumam
14
16
30
Total
90
50
140
Testar a hipótese de que a proporção de fumantes é 80% sendo α = 0,04.
Testar a hipótese de que a proporção dos que fumam cigarros com filtro é 70%. α = 0,02.
Testar a hipótese de que a população de fumantes femininas é 40%. α = 0,01.
Lança-se uma moeda 1 00 vezes e obtém-se 60 caras. Testar ao nível de 5% a hipótese de que a
moeda é honesta.
12. Uma pesquisa revelou que das 500 donas de casas consultadas, 300 preferiram o detergente A. Testar a
hipótese ao nível de 0,04 para
H0: p = 0,5 contra H,: p ≠ 0,5.
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13.
60
A experiência tem demonstrado que 40% dos estudantes são reprovados num exame de
ESTATÍSTICA (?). Se 40 de 90 estudantes fossem reprovados, poderíamos concluir que esses
estudantes são inferiores em Estatística? α = 5%.
Testes para a Igualdade de Duas Variâncias
14. Para verificar a eficácia de uma nova droga foram injetadas doses em 72 ratos, obtendo-se a seguinte
tabela:
Tamanho da amostra
Variância
Machos
Fêmeas
15.
16.
41
31
43,2
29,5
Testar a igualdade das variâncias sendo α = 10%.
Tome duas dietas quaisquer do exercício 19 e teste a igualdade das variâncias sendo α = 10%.
Sendo α = 10%, testar a igualdade das variâncias para as duas marcas A e B do exercício 18.
Testes para a Igualdade entre Duas Médias
17. Sendo:
Amostra 1: n, = 60;
X = 5,71;
σ 2 = 43
σ 2 = 28
Amostra 2: n2 = 35; X = 4,12:
testar H0: µ 1 = µ 2 sendo α = 0,04.
18. Na tabela abaixo estão registrados os índices de vendas em 6 supermercados para os produtos
concorrentes da marca A e marca B. Testar a hipótese de que a diferença das médias no índice de vendas
entre as marcas é zero. Sendo α = 5%.
SUPERMERCADO
Marca A
Marca B
1
14
4
2
20
16
3
2
28
4
11
9
5
5
31
6
12
10
XA =
XB =
SA =
tcrítico=
SB =
tteste =
19. Com a finalidade de se estudar a influência da dieta no ganho de peso de prematuros, um grupo de 25
recém-nascidos (com pesos entre 1500 e 2000 g) foi dividido em 5 grupos de 5 crianças cada, e submetidas a
diferentes dietas. Os dados abaixo representam o ganho médio diário em gramas:
DIETAS
Cálculos
A
B
C
D
E
22
22
42
21
26
31
26
30
21
19
31
24
28
17
23
26
21
26
19
25
27
40
25
28
17
137
133
151
106
110
α
∑X
2
i
3811
3777
4749
2316
2480
X =
S =
a) Tome 2 dietas quaisquer e teste a igualdade de médias.
α =0,05. b)
Repita o teste para outras duas.
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Da população feminina extraiu-se uma amostra resultando:
Renda ( em $ 1.000)
10 |-- 25
25 |-- 40
40 |-- 55
No. De mulheres
7
12
10
55 |-- 70
6
70 |-- 85
4
Da população masculina retirou uma amostra resultado:
Rendas ( em $ 1.000)
15 |-- 30
30 |-- 45
No. De homens
8
15
60 |-- 75
7
75 |-- 90
3
20.
45 |-- 60
12
Testar ao nível de 10% a hipótese de que a diferença entre a renda média dos homens e das
mulheres valha $ 5.000,00.
Testes para igualdade de duas proporções:
21.
Uma empresa de pesquisa de opinião pública seleciona, aleatoriamente, 300 eleitores de São
Paulo e 400 do Rio de Janeiro, e pergunta a cada um se votará ou não no candidato A nas
próximas eleições. 75 eleitores de SP e 120 do RJ respondem afirmativamente. Há diferença
significativa entre as proporções de eleitores a favor de A naqueles dois Estados? Use α =
5%.
22.
Estão em teste dois processos para fechar latas de comestíveis. Numa seqüência de 1.000
latas, o processo 1 gera 50 rejeições, enquanto o processo 2 acusa apenas 200 rejeições.
Pode-se, no nível de 0,05, concluir que os dois processos sejam diferentes?
23.
Numa pesquisa sobre possuidores de videocassete, encontram-se 120 das 200 casas
pesquisadas do bairro X e 240 das 500 residências do bairro Y. Há diferença significativa
entre a proporção de possuidores de vídeo nos dois bairros? Use α = 10%.
CAPÍTULO 10 – ESTATÍSTICA NÃO PARAMÉTRICA
TESTES DE ADERÊNCIA E TABELAS DE CONTINGÊNCIA
10.1 - TESTES DE ADERÊNCIA
Consideremos um experimento aleatório onde:
k - categoria de provas ou classes;
Oi - freqüência absoluta observada da i-ésima categoria;
Ei - freqüência absoluta esperada da i-ésima categoria.
n
n
(O − Ei ) 2
(e − oi ) 2
o2
Definimos χ 2 = ∑ i
=∑ i
=∑ i −n
Ei
ei
i =1
i =1 ei
Sendo que necessariamente:
n
n
i =1
i =1
∑ ei = ∑ o i = n
Por meio dessa expressão podemos realizar testes que permitam verificar se os resultados práticos
obtidos em um experimento aleatório seguem uma determinada distribuição.
No teste, só há uma região de rejeição à direita, pois quanto mais próximo for Oi de Ei, portanto
mais próximo ao zero (à esquerda da χ 2 ), mais perfeita será a aderência testada.
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Faremos testes de aderência para verificar se determinados dados seguem uma distribuição de
probabilidade, como Binomial, Poisson ou Normal. Podemos verificar também se há distribuição
de famílias por classes de renda, por exemplo.
10.2 - Ajustamentos e Testes de Aderência
Apresentamos um procedimento para efetuarmos um ajustamento e o teste de aderência desse ajustamento:
1) realiza-se um levantamento da amostra e ordenam-se os dados;
2) observa-se o tipo de distribuição e propõe-se um modelo para a distribuição: Binomial,
Poisson, Normal etc.
3) estimam-se os parâmetros de que dependem esta distribuição proposta;
4) com estas estimativas, executa-se o ajustamento, verificando quais seriam os valores esperados,
com base nessa estimativa, isto é, testa-se a aderência, verificando-se se é possível admitir que
os valores observados seguem a distribuição proposta.
EXEMPLO 1.
Seja um dado que é lançado 120 vezes.
Testar a hipótese de que os dados sejam perfeitos, ao nível de 5%.
Ho: O dado é perfeito (honesto).
H1: O dado não é perfeito.
Nota-se que as hipóteses são qualitativas. (g.l.= Φ = ( k − 1) − r , onde r são os estimadores,
neste caso não é usado nenhum). Como por Ho o dado é perfeito, deveremos ter como Ei, =
valor esperado de cada face 20 vezes, pois as faces são equiprováveis e
1
1
p = ∴120. = 20 vezes cada face. A tabela abaixo determina
6
6
faces
Oi
Ei
Oi2 / E i
Oi2
1
25
20
625
31,25
2
17
20
289
14,45
3
15
20
225
11,25
4
23
20
529
26,45
5
24
20
576
28,80
6
26
20
256
12,80
Total(n)
120
125,00
2
2
χ calc
= 125 − 120 => χ calc
=5
2
α = 5% Φ = g.l. = 6 − 1 − 0 = 5 então χ crit
= χ 52, 5% = 11,0705
95%
Como
RC
5%
11,0705
, não se rejeita H0, isto é, ao nível de 5%, podemos concluir que o dado é
Como χ < χ
perfeito, honesto.
10.3 Tabelas de Contingência
São tabelas de dupla entrada construídas com o propósito de estudar a relação entre as duas
variáveis de classificação. Em particular, pode-se desejar saber se as duas variáveis são
relacionadas de algum modo. Por meio do teste χ 2 é possível verificar se as variáveis são
independentes. Se r = número de linhas e c=número de colunas, então o número de graus de
liberdade é Φ = ( r − 1)( c − 1) = (l -1)(c - 1).
2
calc
2
crit
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10.4- EXEMPLO
No Congresso Americano, grupos de Democratas e Republicanos votaram em um projeto de
interesse nacional como está na tabela abaixo. Ao nível de 5%, testar a hipótese de não haver
diferença entre os dois partidos, com relação a esse projeto.
Partido\Votos
A favor
Contra
Indecisos
Total
Democratas
25
78
37
Republicanos
118
61
25
Total
2
2
Resp.: χ calc
= 9,0881 χ crit
= χ α = 5,9915 α = 5% Φ = ( 2 − 1)(3−!) = 2
Rejeita-se H0, logo os políticos não votaram independentemente da orientação de seus
partidos.
Observação
Quando Φ =1, o teste não é tão eficiente como nos outros casos. Yates sugeriu que fosse feita uma
correção de continuidade:
n
{|Oi − Ei | −0,5 }2
{|ei − oi | −0,5 }2
2
χ =∑
=∑
Ei
ei
i =1
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64
EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO 10 – página 226
1.Uma moeda é lançada 200 vezes e verifica-se 110 caras e 90 coroas. Testar a honestidade da
moeda, sendo α = 0,10.
2.Um dado é lançado 180 vezes e as seguintes freqüências são observadas:
Eventos
Sair o 1 Sair o 2
Sair o 3
Sair o 4
Sair o 5
Sair o 6
Freqüências
31
28
35
26
29
31
Testar a hipótese do dado não ser viciado adotando α = 0,05 e α = 0,025
3. Em 240 lances de um par de dados, observaram-se 17 somas “4” e “ 42” somas “ 7”. Verificar
se os dados são honestos adotando o nível de significância 0,01.
4. O último algarismo do CIC/CPF de 40 pessoas resultou:
2 8 0 4 5 7 3 7 7 4 3 2 1 0 9 6 5 9
8 0 3 3 2 1 9
8 7 6 6 0 1 2 4 9 3 7
Testar se é razoável supor esses números aleatórios, α = 5%.
1
6
9
4
5. O número de pessoas de certa raça que possua 4 tipos de sangue estaria nas proporções 0,18;
0,48; 0,20; 0,14. Dadas as freqüências observadas de 180; 360; 130; e 100 para uma outra raça,
coloque à prova a hipótese da igualdade das distribuições . Adote α = 2,5 %.
6. O número de livros emprestados por uma biblioteca, durante uma determinada semana, está
indicando a seguir. Testar a hipótese de o número de livros emprestado não depender do dia da
semana, sendo α = 0,01.
Dia da semana
Nº de livros emprestados
Seg
110
Ter
135
Qua
120
Qui
146
Sex
114
.
EXERCÍCIOS - SÉRIE II - CAPÍTULO 10 – página 231
Testar ( α = 5%) se há alguma relação entre as notas escolares e o salário.
1.
S
A
L
Á
R
I
O
S
NOTAS ESCOLARES
ALTA
fO
ALTO
MÉDIO
BAIXO
TOTAL
%
18
26
6
fe
MÉDIA
fO
17
38
15
fe
BAIXA
fO
fe
TOTAL
fO
%
fe
5
16
9
2.A tabela apresenta os resultados de um experimento destinado a investigar o efeito da vacinação de animais
contra determinada doença. Testar a homogeneidade dos resultados utilizando: a) α = 5%; b) α = 1%.
Vacinados
Não vacinados
Contraíram a doença
14
16
Não contraíram a doença
42
28
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3.
Determine o valor do coeficiente de contingência considerando os dados:
Arena
PMDB
Homens
50
72
Mulheres
29
35
4.
Verificar se há associação entre os níveis de renda e os municípios onde foram pesquisados 400
Níveis de renda
moradores. Adote α = 1%
Municípios
1
2
A
B
C
D
28
44
42
78
30
78
24
76
5. O dados abaixo são o resultado de um questionário aplicado a 500 eleitores.
Opinião a respeito
Partidos
Da pena de morte
Esquerda
Centro
Direita
fO
fe
fO
fe
fO
Total
fe
Aprovam
35
50
80
Não aprovam
45
80
60
Sem opinião
20
70
60
TotaL
Os dados sugerem que a opinião em relação à pena de morte seja independente do partido? Use
α
= 5%.
EXERCÍCIOS - SÉRIE III - CAPÍTULO 10 – página 247.
1. Para cada uma das situações aplique o teste dos sinais e o teste de Wilcoxon. Adote α = 2,5%.
a) Indivíduos submetidos a um programa de dieta.
Peso (kg) pré-dieta
b)
Peso (kg) pós-dieta
Continuação
55
63
78
81
68
58
60
60
50
65
78
79
70
57
58
62
48
49
90
93
90
56
66
67
50
51
81
85
90
58
64
68
75
85
90
50
58
83
47
70
81
80
60
55
75
52
73
74
48
68
72
86
80
70
70
53
65
70
83
81
Veículos com um novo aditivo.
Km/l
Antes
Depois
Antes
Depois
8,7
9,8
10,0
9,6
8,5
5,8
6,3
12,5
8,8
7,3
12,5
13,8
9,3
9,2
9,5
9,6
8,8
6,5
7,0
11,5
8,9
8,0
11,0
14,0
4,8
6,7
8,3
9,5
10,5
12,5
12,5
9,0
14,0
13,0
9,5
8,0
5,5
6,8
8,5
9,0
10,0
13,0
12,0
10,0
12,0
11,0
10,5
9,3
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2.
Use o teste de Mann-Whitney para determinar se a média do grupo X é maior do que a média
do grupo Y.
Adote α = 1%.
X: 63 65 70 48 50 81 88 99 35 47 75 85 61
Y:
90 50 60 70 40 38 89 47 51 65 87
α = 1%.
3.
Aplique o teste da mediana nos dados do Exercício 2. Adote
4.
São dadas as durações (em km) de duas marcas de amortecedores. Aplique um teste para
verificar a igualdade das quilometragens. Use α = 5%.
Marca A
26.560
21.900
28.800
27.700
31.800
24.500
27.800
30.600
25.600
24.600
25.400
35.500
26.300
27.900
28.400
Compare as conclusões.
Marca B
33.400
29.600
25.500
27.900
24.500
23.800
27.800
30.100
28.860
27.700
24.450
32.300
34.300
5.
Testaram-se quatro tipos de lâmpadas para determinar se havia diferença entre suas vidas médias.
Adote α = 5% para realizar o teste estatístico que confirma, ou não, a igualdade da duração.
MARCA A
MARCA B
MARCA C
MARCA D
6.
A
B
C
704
752
873
690
604
709
666
850
1.038
717
1.021
824
881
921
992
856
924
761
816
915
672
991
918
734
723
591
805
981
978 1.203
799
700
Verificar se há diferença entre as vendas médias dos shoppings. Use α = 2,5%.
(Em $ 1.000.000)
3,2
4,8
5,0
2,7
1,8
6,0 7,0 5,5
6,2
1,3
1,7
2,0
5,0
2,3
5,0
4,0
3,0
2,0
1, 7 1,0 4,5
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CAPÍTULO 11 - ANÁLISE DA VARIÂNCIA - COMPARAÇÃO DE
VÁRIAS MÉDIAS - (ANOVA)
11.1 – INTRODUÇÃO
Trata-se de um método estatístico, desenvolvido por Fisher, que através de testes de igualdades
de médias, verifica se fatores produzem mudanças sistemáticas em alguma variável de interesse. Os
fatores propostos podem ser variáveis quantitativas ou qualitativas, enquanto a variável dependente
deve ser quantitativa (intervalar) e é observada dentro das classes dos fatores - os tratamentos.
Ex.: pode-se estar interessado no consumo de combustíveis dos automóveis. Poder-se-ia
admitir que a marca do veículo, idade, potência etc. como fatores. Por meio da análise da variância
é possível verificar se as marcas, idade, potência,..., ou uma combinação desses fatores produzem
efeitos apreciáveis sobre o consumo, ou se concluir que tais fatores não têm influência sobre o
consumo.
11.1.1 – HIPÓTESES DO MODELO
Há três suposições básicas que devem ser satisfeitas para que se possa aplicar a análise da
variância.
1. As amostras devem ser aleatórias e independentes.
2. As amostras devem ser extraídas de populações normais.
3. As populações devem ter variâncias iguais.
11.2 - CLASSIFICAÇÃO ÚNICA OU EXPERIMENTO DE UM FATOR.
Admite-se um único fator (variável independente) que é subdivido em tratamentos (níveis do
fator). A variável de estudo (variável dependente) é medida através de amostras de cada tratamento.
Eis a configuração desse tipo de experimento:
11.3 - CLASSIFICAÇÃO ÚNICA OU EXPERIMENTO DE UM FATOR.
Tratamentos
Ementos da
1
2
3
.......
amostra
1
X11
X21
X31
Xk1
2
X12
X22
X32
Xk2
3
X13
X23
X33
Xk3
...
ni
X1n1
X2n2
xknk
x3n3
Somas
Médias
x1
x2
x3
xk
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TOTAL
x
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11.4 – Quadro de Análise de Variância
Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade
K–1
Entre Tratamentos
Qe
(colunas)
Dentro
das
Amostras
(Linhas/Residual)
Total
Qr = Qt − Qe
n-k
Quadros Médios
Qe
S e2 =
K −1
Q − Qe
S r2 = t
n−K
Teste F
Fcak
S e2
= 2
Sr
n-1
Qt
Ho: µ1 = µ 2 = µ 3 = ... = µ k
A hipótese alternativa é de que pelo menos um par de médias seja diferente:
H1: µ p = µ q para p ≠ q
A aceitação de Ho revelará que o fator considerado não acarreta mudanças significativas na
variável de estudo. Por outro lado, a rejeição de Ho indicará, com risco α , que o fator considerado
exerce influência sobre a variável de estudo.
F tabelado com (k-1) g.l. no numerador e (n-k) no denominador, fixando certo nível α de
significância.
Se Fcal ≤ Ftab , então aceita-se Ho e conclui-se com risco α que o fator considerado não causa efeito
sobre a variável em estudo. Por outro lado, se Fcal > Ftab , rejeita-se Ho, concluindo-se pela
diferença das médias e conseqüente influência do fator sobre a variável analisada.
11.5 – CLASSIFICAÇÃO DE DOIS CRITÉRIOS OU EXPERIMENTOS DE DOIS
FATORES
Admitem-se dois fatores (variáveis independentes). A variável de estudo (variável dependente) é
observada em cada cela, combinação dos tratamentos do fator 1, e dos blocos do fator 2. Tem-se
uma tabela de “k” colunas e “L” linhas. Ou seja, K . L = n observações.
11.6 - Primeiro critério (colunas) = tratamentos. FATOR (1)
Tratamentos
Ementos da
FATOR(1)
1
2
3
K
Amostra - FATOR(2)
.......
Segundo
X11
X21
X31
Xk1
Critério
X12
X22
X32
Xk2
(linhas)
X13
X23
X33
Xk3
Blocos
X1n1
X2n2
xknk
x3n3
x1
x2
x3
xk
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TOTAL
x
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11.7 – Quadro de Análise de Variância – QAV
Fonte de Variação Soma de Quadrados
Graus
Liberdade
Entre colunas
Tratamentos
FATOR 1
Q EC
 (∑ xij )2 
 −C K – 1
= ∑
L 
I 


Residual
Total
Teste F
Q EC
K −1
Q
S = EL
L −1
C
cal
S C2
= 2
Sr
L
cal
S L2
= 2
Sr
F
2
L
Qr = Qt − Q EC − Q EL
(K-1(L-1)
Qt = ∑∑ xij2 − C
n-1
i
de Quadros Médios
S C2 =
Entre linhas
Blocos/Dentro das
 (∑ x ij )2 
Amostras/Residual) Q EL = ∑ 
−C L - k
K 
I 
FATOR 2


69
S r2 =
Qr
( K − 1)( L − 1)
F
j
11.8 - EXPERIMENTO DE DOIS FATORES COM REPETIÇÃO
Nesse caso haverá mais de um valor correspondente a um tratamento e um bloco. Admite-se que
haja R valores para cada posição. Tem-se K colunas (tratamentos); L linhas(blocos) e R
observações para cada interação.
11.9 – Quadro de Análise de Variância – QAV
Fonte de Variação
Soma de Quadrados
Entre colunas
Graus
Liberdade
Q EC
K–1
Entre linhas
L-k
Devida à Interação
Q EL
Qi
(L-1)(K-1)
Residual
Qr
LK(R-1)
Qt = ∑∑ xij2 − C
n-1
Total
i
j
de Quadros Médios
Q EC
K −1
Q
S L2 = EL
L −1
Qi
S i2 =
( K − 1)( L − 1)
Qr
S r2 =
LK ( R − 1)
Qt
S t2 =
(n − 1
S C2 =
Teste F
C
cal
F
S C2
= 2
Sr
FcalL =
S L2
S r2
FcalI =
S I2
S r2
Os Fcal da última coluna podem ser usados para testar as hipóteses nulas:
H OC : Todas as médias de tratamento(colunas) são iguais;
H OL : Todas as médias de blocos (linhas) são iguais;
H OI : Não há interações entre tratamentos e blocos.
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70
EXERCÍCIOS - SÉRIE 1 - CAPÍTULO 11 – página 282
1.
Quatro analistas determinaram o rendimento de dado processo, obtendo:
Analistas
________________________________________
1
2
3
4
________________________________________
26
17
36
20
27
20
33
18
24
22
31
17
25
21
29
22
29
21
28
23
_______________________________________
Determine:
2.
3.
4.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
as médias para os diferentes analistas;
a média total;
a variação total;
a variação entre tratamentos;
a variação dentro dos tratamentos (residual);
se há diferença entre as médias, adote α = 5%;
se possível, identifique os pares de médias diferentes, usando o teste de Scheffé.
Uma companhia deseja testar Quatro tipos diferentes de válvulas A, B, C, D. .As vidas médias
em horas constam da tabela que segue, em que cada tipo foi testado aleatoriamente em seis
aparelhos idênticos. Teste se há diferença significativa entre as válvulas, ao nível de 5%.
A
53
58
56
60
51
55
B
52
60
52
58
50
54
C
51
57
55
53
54
50
D
49
54
52
50
53
51
São feitas cinco misturas da mesma liga metálica e para cada mistura serão efetuadas seis
determinações da densidade. Os resultados são:
Densidades
Mistura A
3,6
3,5
3,7
3,1
3,1
3,2
Mistura B
3,3
3,5
3,4
3,2
3,4
3,4
Mistura C
3,5
3,3
3,4
3,4
3,3
3,2
Mistura D
3,5
3,4
3,0
3,3
3,3
3,8
Mistura E
3,7
3,4
3,6
3,5
3,6
3,4
Há evidência de que certas misturas tenham densidade média maior do que outra? α = 5%.
Os dados a seguir representam, em segundos',' o tempo gasto por cinco operários para realizar
certa tarefa, usando três máquinas diferentes. Considerando α = 5%, verifique se há
diferenças entre as máquinas e entre os operários.
Máquinas
Operários
A
B
C
1
40
59
42
2
39
55
51
3
47
55
45
4
45
50
40
5
52
52
41
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71
5. Plantam-se quatro tipos diferentes de sementes de café em cinco blocos. Cada bloco é dividido
em quatro lotes, pelos quais se distribuem, então, aleatoriamente, os quatro tipos de sementes. Ao
nível de significância de 0,05, teste se a produção, indicada na tabela, varia significativamente:
a) devido ao solo (isto é, os cinco blocos);
b) devido à variedade do café.
Tipos de café
I
II
III
IV
A
15
12
10
14
B
19
15
12
11
Blocos
C
18
14
15
12
D
16
11
12
16
E
17
16
11
14
6 A seguir estão anotadas as quantidade vendidas de certo artigo, considerando-se três preços de
venda e três tipos de distribuidores:
Preços
Distribuidores
P1 = 54
P2 = 49
P3 = 44
Farmácias
78 - 76
108 - 106
124 - 122
74 - 77
110 - 104
123 - 125
Drogarias
78 - 78
108 - 110
126 - 125
80 - 77
111 - 107
122 - 128
Outros
80 - 78
110 - 106
128 - 130
79 - 81
108 - 111
126 - 129
a) Testar se a distribuição interfere nas quantidades vendidas;
b) testar se o preço interfere nas quantidades vendidas;
c) testar o efeito da interação.
Observação: Adote α = 5% para os três testes.
7.
Três técnicos fazem três determinações de dureza em cada um de quatro blocos de certo metal.
Ao nível de 5% determine se
a) as durezas médias dos blocos são constantes;
b) as determinações dos técnicos são iguais;
c) há alguma interação entre técnicos e blocos.
Blocos
Técnicos
1
2
3
4
x
516 513 514
517 513 513
512 508 511
506 505 506
y
529 517 519
513 510 511
509 512 513
508 508 508
z
518 520 518
517 515 516
506 508 509
507 506 506
8.
Um experimento foi executado por seis máquinas e dez operários, de modo que cada operário
use cada máquina apenas uma vez. Complete o quadro a seguir e faça as conclusões ao nível
de 5%.
Fonte de variação
Soma dos quadrados
G.L. Quadrados médios Teste F
Entre máquinas
904
Entre operários
2.334
Resíduo
Total
5.832
8.
Aplique a regra de Scheffé para descobrir as médias diferentes, considerando os dados do
Exercício 7.
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72
11.10 – TESTES DA ANOVA
O método de análise de variância indica a aceitação ou rejeição da hipótese de igualdade das
médias. Se Ho for rejeitada, pelo menos uma das médias é diferente das demais . A análise da
variância permite afirmar que, ao nível de 5% de significância, existe pelo menos uma média de
tratamentos diferentes. Surge, então, a questão: Quais médias devem ser consideradas diferentes?
Existem alguns testes para a solução dessa questão.
Q.M .R.
r
onde: q é um valor obtido em uma tabela de Student, ao nível de significância α .
Q.M.R. = Quadrado Médio do Resíduo.
R = é o número de elementos submetidos a cada tratamento.
1º) teste de Tukey
(Sônia Vieira- pág. 236) d .m.s = q
2º) teste de SCHEFFÉ(Fonseca/Martins-pág, 279):
a) Para o caso do modelo de classificação única:
1
1
| X A − X B |> S r2 9( K − 1)( +
Fα [( K − 1); (n − K )]
nA N B
Cap 12 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
Prof. Armando Andreazza
CORRELAÇÃO: Estuda a relação entre duas variáveis com o auxílio de um gráfico(chamado
diagrama de dispersão) e de um medida(chamada coeficiente de correlação linear)
REGRESSÃO: Estuda as relações lineares entre duas variáveis com o auxílio da equação e do
gráfico de uma linha reta, chamada reta de regressão.
INTERVALO DE VARIAÇÃO E DE PREDIÇÃO: Este método analisa as diferenças existentes
entre os valores preditos de uma variável e os valores efetivamente observados.
REGRESSÃO MÚLTIPLA: Este método procura uma equação linear que relacione três ou mais
variáveis. O coeficiente de determinação múltipla é apresentado como uma medida de quão bem os
pontos amostrais se ajustam, ou aderem, à equação linear.
CORRELAÇÃO:
Existe uma CORRELAÇÃO entre duas variáveis quando uma delas está, de alguma forma,
relacionada coma outra.
Vamos determinar (para dados emparelhados ou bivariados) se há correlação entre a variável X e a
variável Y.
1 - EQUAÇÃO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Uma medida da “quantidade do ajustamento” da curva C aos dados apresentados(aderência) é
proporcionada pela quantidade D12 + D22 + ... + Dn2 D, se ela é pequena, o ajustamento é BOM; se é
grande o ajustamento é MAU.
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73
DEFINIÇÃO: de todas as curvas que se ajustam a um conjunto de pontos, que tem a propriedade
de apresentar o mínimo valor de: D12 + D22 + ... + Dn2 , é denominada a melhor curva de
ajustamento.
Y Est = a + bX
Para calcular o valor dos coeficientes utilizamos as fórmulas abaixo :
Coeficiente Linear: a
Coeficiente Angular(declividade): b
Os valores de seus parâmetros “a” e “b” são determinados, pelo
quadrados pela resolução do seguinte sistema de equação:
b=
NΣXY- ΣX. ΣY
NΣX2 − ( ΣX)2
a=
método dos mínimos
ΣY - bΣX
N
Ex.1) Y = f(x) ou P = f (L/a), que se lê: O preço (P) é uma função f(x) do lucro-por-ação (L/a).
Por esta metodologia, procede-se, em primeiro lugar, a definição da função P/L do mercado, no
momento em que se está determinando o preço de lançamento da ação.
Para tanto levanta-se os lucros/ação e os preços para o conjunto de ações pertencentes ao setor ou
ao mercado como um todo e, por ajuste de regressão, define a função ajustante de menor erro
padrão de estimativa.
A título de exemplo, tem-se os seguintes preços médios ( P) e as relações do lucro por ação (LPa)
levantados da Revista Bolsa (nº 624), relativos a empresas pertencentes ao índice BOVESPA,
selecionadas ao acaso.
EMPRESA AÇÃO (Lpa=X)
(P=Y)
( Lpa)2
P. (Lpa)
(P)2
BANESPA
PN
1,93
10,12
BANCO NACION ON
1,37
7,50
CEMIG
PN
0,10
0,95
SOUZA CRUZ
ON
4,32
37,00
DOCAS DE SAN ON
2,14
20,90
FERRO BRASILE PN
0,73
2,30
PETROBRÁS
PN
1,55
29,91
UNIPAR
PB
1,74
17,00
TOTAIS (
∑
)
2- Admitindo-se que a função de melhores ajustes seja uma reta do tipo:
P = a + b (Lpa)
< ---------->
Y = a + bX
Preço = f( Lucro por Ação)
Construa o gráfico dos dados acima.
3 - CORRELAÇÃO de Pearson ( r ou R):
R=
NΣXY−ΣX.ΣY
[NΣX2 - (ΣX)2][NΣY2 - (ΣY)2]
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74
Características de R:
1. O valor de r varia de -1 a +1: − 1 ≤ R ≤ +1
2. Um relacionamento positivo ( R é +) entre duas variáveis indica que os valores altos ou baixos de
uma das variáveis, correspondem valores altos ou baixos da outra.
3. Se R = + 1 indica um relacionamento perfeito e posotivo.
4. Se R = - 1 indica um relacionamento negativo e perfeito
5. Um relacionamento negativo ( R é -) entre duas variáveis indica que os valores altos ou baixos
de uma das variáveis, correspondem valores altos ou baixos da outra.
6. Se R = 0 indica total ausência de relacionamento entre as variáveis.
4 – Coeficiente de Determinação ( R2):
R2 =
(R)2 (%)
var iância explicada em y
var iância total em y
5 - DADOS POR POSTOS: O COEFICIENTE r DE SPEARMAN.
A correlação por postos de Spearman é uma técnica não-paramétrica para avaliar o grau de
relacionamento entre observações emparelhadas de duas variáveis, quando os dados se dispõem em
postos.
Rsp = 1 −
6∑ d 2
n(n 2 − 1)
Ex.:1. Dois provadores devem julgar 12 vinhos. Cada um atribuirá postos denotando a preferência,
desde 1 (mais alta ) até 12 ( mais baixa). Calcular coeficiente de correlação de Spearmen para os
dados da tabela abaixo:
Vinho
Juiz
Juiz
Diferença(d)
Diferença(d2)
1
1
3
2
5
4
3
2
1
4
7
5
5
4
2
6
8
9
7
3
7
8
6
6
9
9
8
10
12
10
11
11
11
12
10
12
∑
Resp.: Rsp = ..............
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Ex. 2) Calcular o coeficiente de correlação de Spearman entre o peso e a altura de 10 estudantes do
sexo masculino selecionados ao acaso.
PESOS(kg)
80
60
75
56
60
78
80
73
80
82
ALTURA(cm)
175
170
174
163
165
175
180
170
170
168
POSIÇÕES
PESOS ALTURAS
d2
d
∑=
∑=
Resp.: rsp=................
6 – Um Teste de Significância de Rsp.
O valor do coeficiente de correlação amostral pode ser usado como estimativa do verdadeiro
coeficiente de correlação, ρ, da população. A menção de r como valor isolado pode dar a impressão
errônea de que se trata do valor efetivo. Por isso, em geral é mais conveniente incluir um intervalo
de confiança para o verdadeiro valor de juntamente com a estatística amostral.
Em outros casos pode se necessário avaliar uma avaliação sobre o valor ρ. A maneira mais
simples é construir um intervalo de confiança para r e observar se o valor alegado está ou não
incluído no intervalo. Em caso afirmativo, aceita-se Ho; em caso negativo, rejeita-se Ho e aceita-se
a alternativa. Por exemplo, suponhamos
Ho: ρ = 0,3 e H1: ρ ≠ 0,3. Se obtivermos um intervalo de confiança de + 0,05 a + 0,26,
rejeitaremos H0 porque +0,3 não está no intervalo. Teste de Significância(Ho: ρ=0)
t =
O processo pode ser calculado pela fórmula:
r−0
(1 − r 2 ) /( n − 2 )
Ex.: Uma amostra de 24 observações dá r =0,50. Queremos saber se r é significativo ao nível de
0,01. A estatística teste é: t =
0 ,50 − 0
(1 − 0 , 50 ) /( 24 − 2 )
2
= 5 , 42
O valor bilateral de t, com n – 2 graus de liberdade para o nível 0,01 é 2,819. Portanto, assim,
concluir que r ≠ 0 ou seja Rejeita-se Ho.
Conclusão: ACEITA-SE HO: Não há relação entre as variáveis
REJEITA-SE HO: Há relação significativa entre as variáveis.
ρ à população
r à amostra
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7 -CÁLCULO DA CORRELAÇÃO DE PEARSON: r ( USANDO A HP-12C):
( teclas da HP-12C estarão entre colchetes):
1) Introdução dos dados: 1º par de dados (X,Y)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
[ g ].... > [ y$ , r ]
variável Y ----> [ ENTER ]
variável X ----> [ A
]
2º par de dados (X,Y) ......
3º par de dados (X,Y) .......
...........
nº par de dados (X,Y)
[X ≥ ≤ Y ]
$, r]
0 [ g ].... > [ y
STO 0
0 [ g ][ x$ , r] [CHS]
RCL 0
è
R
è
a
(Coef. Linear ou intersecção do eixo Y’Y)
[X ≥≤ Y]
[ ÷ ] è b (Coeficiente Angular ou declividade) )
8)
VALOR PROJETADO: y’
EX..: Se o lucro por ação for 5,00 ( ou Lpa = 5)
9)
digite 5
10)
[ g ].... > [ y$ , r ]
à Valor esperado ( projetado )
Ex.: 2 . Sejam as seguintes empresas:
Empresa
BRASIL
CEMIG
ERICSSON
IPIRANGA
MARCOPOLO
TELEBRAS
TELESP
KLABIN
VARIG
Código
BB 4
CMI4
ERI4
PTI4
POM4
TEL4
TLS3
KLA4
VAG4
Lpa
3,50
1,35
2,50
4,70
2,40
5,70
2,30
5,20
1,40
Preço Médio
8,09
45,26
30,17
16,56
215,00
112,45
324,00
1,02
2,01
1) Qual o valor da Correlação ( R ):............................................................................
2) Há correlação entre o preço de mercado e o lucro por ação ? ...............................
3) Estabeleça a equação da análise de regressão:........................................................
3) Qual o valor do Preço de a ação se o Lucro por Ação for R$ 5,00?.......................
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Ex. 3) Os dados abaixo referem-se ao volume de precipitação pluviométrica(mm) e o volume de
produção de leite tipo C, em determinada região do país:
ANOS PROD. DE ÍNDICE
LEITE
PLUVIOMÉTRICO
1990
22
23
91
25
21
92
31
28
93
29
27
94
27
23
95
31
28
96
32
27
97
28
22
98
30
26
99
30
25
∑
a) Ajustar os dados através de um modelo linear: Y = a + bX.
b) Admitindo-se, em 2000, um índice de pluviosidade de 24 mm, qual deverá ser o volume
esperado de produção do leite tipo C?
Resp.: a =
b=
r=
R2 =.....................
4) Dez alunos foram submetidos a um teste de Estatística de Matemática, obtendo as notas:
ALUNOS Estatística(X) Matemática(Y)
A
7
6
B
6
9
C
8
10
D
10
9
E
3
2
F
4
3
G
8
9
H
7
5
I
6
6
J
2
3
∑
a) calcular a variância de X e Y.
Resp.: cov(X,Y) = 5,9
b) Determinar as variâncias de X e de Y.
Resp.: S x2 = 6 S y2 = 7
c) Determinar o coeficiente de Correlação de X e Y.
Resp.: r = 0,91
d) Se for ajustada uma reta aos valores de X e Y( tomando Y como variável dependente), qual o
valor do coeficiente angular b e do coeficiente linear a ? Resp.: b = 0,98 a = 0,12
e) Representar graficamente a reta: Y = 0,12 + 0,98 X
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CAP. 13 - CONTROLE DE QUALIDADE
A qualidade de um produto pode ser medidas de várias maneiras, porém, quando há uma
produção em grande escala, a qualidade pode, geralmente, ser medida por uma simples característica do produto.
Por um exemplo: a espessura de um parafuso.
Nestes casos, haverá sempre certa variação, mesmo que os processos de produção sejam
constantes. Esta variação pode ser atribuída a duas principais causas:
1º)CAUSA ALEATÓRIAS: são aquelas provenientes do processo de produção. Elas exercem um
pequeno efeito na qualidade do produto não provocando maiores conseqüências.
Quando num processo da produção somente esta causa está sendo notada dizemos que o
processo está sob controle estatístico.
2º)CAUSAS RELEVANTES: Quando a variabilidade torna-se anormal, isto é, as características
do produto se alteram sensivelmente, diz-se que as causas são relevantes.
OBJETIVO DE CONTROLE DE QUALIDADE: determinar as causas relevantes de variações
de qualidade tão logo elas ocorram no processo de produção.
GRÁFICOS DE CONTROLE
Seja X uma variável aleatória continua tal que conheçamos o valor da sua média (µ) e
desvio-padrão (σ).
Então, X tem uma distribuição normal X ≅ N ( µ , σ 2 ) .Se escolhemos amostras de tamanho
n e calcularmos suas médias, já deduzimos que x tem distribuição normal de média µ e variância
x−µ
σ2
σ2
, ou seja, X ≅ N ( µ,
), e que Z =
é a distribuição normal reduzida de α .
σ
n
n
n
Observando uma tabela de curva normal padronizada, notamos que:
68,26%
dos valores de x estão no intervalo µ ± σ
95,44%
dos valores de x estão no intervalo µ ± 2σ
99,73%
dos valores de x estão no intervalo µ ± 3σ
Se analisarmos o terceiro intervalo, podemos afirmar que só muito raramente e unicamente devido ao
acaso, teremos um valor de x caindo fora do intervalo- µ ±
3σ
n
. Então, se obtivermos um valor de x
fora desses limites, devemos suspeitar que alguma causa relevante está presente e tomar as devidas
providênciasd para sua localização e efetuarmos a correção.
Os gráficos mais utilizados são os da média, do desvio-padrão, da amplitude e o da
fração deficiente. O mais aplicado é o gráfico da média, contudo, em certas variações
importantes é conveniente construirmos os dois gráficos – o da média e o desvio-padrão.
O gráfico da amplitude é utilizado em lugar do desvio-padrão pela sua facilidade de
cálculos. O gráfico da fração deficiente é mais utilizado para controle de qualidade de atributos ( de
qualidades e produto). Geralmente, quando a variável é discreta.
FASES DO CONTROLE DE QUALIDADE:
1) Especificação
2) Fabricação
3) Inspeção
O Controle Estatístico de Qualidade atua em todo processo produtivo.
Inspeção - Qualidade do Produto – Produtos Acabado.
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79
GRÁFICO DA MÉDIA:
1.Estimar µ e σ, usando N = 100 elementos(tamanho), n = 5 itens e k = 20 amostras.
k
∑x
∑x
=1
1
⇒
( x1 + x 2 + ... + x k ) = i =1
k
k
k
3. Estimativa do desvio-padrão - pela amplitude amostral:
3.1 - σ → R = ( X máx − X min ) ⇔ Range(amplitude)
R + R2 + ... + Rk
3.2 - R = 1
k
R
3.3 - σ =
d2
3.4 d2 = 2,326 ( Valor Tabelado, conforme tabela abaixo).
oneX =
i
⇒X=
i
L.M . = X
TABELA I – FATORES PARA CÁLCULO DOS LIMITES EM GRÁFICOS DE
CONTROLE - (Sistema Norte-Americano)
Gráfico de Amplitude
Gráfico do Desvio-Padrão
Tamanh Gráfico da média
o da
Limites de controle
Linha
Limites de Controle
Linha
Limites de Controle
Amostra
Média
Média
n
A
A1
A2
.d2
.d3 D1 D2 D3 D4
C2 1/c2 B1 B2 B3 B4
4
1,500
5
1,342 1,596 0,577 2.326
0,86 0
4,91 0
2.11 0,84 1.18 0
1,75 0
0,949
0,79
5,46
1,77
1,58
10
1,880
1,028
0,729
0,308
2,059
3,078
0,88
0
0,68
3,68
0
3,26
0,22
0,56
0,92
1,77
1,08
0
0,2
1,84
0
3,26
2,08
0,28 1,71
Reprodução parcial do “ASTM” – Manual on Control of Materials”, 1951.
Fórmula para cálculo do A2
A2 =
3
d2 n
⇔
A2 =
3
2,326 5
= 0,577
TABELA II - FÓRMULAS PARA CÁLCULO DOS LIMITES EM
GRÁFICOS DE CONTROLE - Sistema Norte-Americano
Gráfico de
Controle
da
Média, por σ
Média, por R
Desvio-Padrão
Amplitude
Norma conhecida
Linha
Limites de
Média
Controle
µ
--c2.σ
d2. σ
Norma desconhecida
Linha
Limites de
Média
Controle
µ = ± A.σ
x
x ± A1 .s
---B1. σ; B2. σ
D1. σ; D1. σ
x
x ± A2 .R
s
B3. s ; B4. s
R
D3 .R ; D 4 .R
Fonte: Estas tabelas encontram-se no Livro:
LOURENÇO FILHO, Rui de C. B..Controle Estatística de Qualidade.LTC:Rio de
Janeiro.1981.
PARANTHAMAN, D. Controle da qualidade. São Paulo: McGraw-Hill,1990.
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LIMITES DE CONTROLE por Amplitude
FÓRMULAS I - NORMA CONHECIDA: µ e σ
3σ
OBS.: LIMITE SUPERIOR CONTROLEà L.S.C.
L.S.C. = µ +
n
3σ
L.I.C. = µ LIMITE INFERIOR DE CONTROLEà L.I.C.
n
FÓRMULAS II - NORMA DESCONHECIDA: µ e σ
L.S .C . = X + A2 .R
onde A2 = 0,577
L.I .C. = X − A2 .R
EXEMPLO 1
Verificar se o processo de fabricação de eixos, definido pela norma: média do processo
µ= 5,60 e desvio-padrão σ = 0,05. Vinte amostras(k=20), com 5 itens (n=5), foram extraídos de
hora em hora. Utilizar o gráfico da média, por σ.
Calcular os limites(tabela II) e traçar o gráfico.
1- L.S.C.= µ + A . σ
2- L.I.C. = µ - A . σ
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EXEMPLO 2 - Valores Observados de 20 amostras de 5 itens na fase inicial do controle de um
processo de fabricação. Calcular os Limites de Controle e construir o gráfico, utilizando os dados
da Tabela 2
AMOSTRA
X1
X2
X3
X4
X5
R
X
1
143
137
145
137
138
140,0
8
2
141
142
147
140
140
3
142
137
145
140
132
4
137
147
142
137
135
5
137
146
142
142
140
6
145
144
146
148
149
7
137
145
144
137
140
8
144
142
143
135
144
9
140
132
144
145
141
10
132
135
136
130
141
11
137
142
142
145
143
12
142
142
143
140
135
13
136
142
140
139
137
14
142
144
140
138
143
15
139
146
143
140
139
16
140
145
142
139
137
17
134
147
143
141
142
18
138
145
141
137
141
19
140
145
143
144
138
20
145
145
137
138
140
Calcular a média das médias e a
R=
X=
Amplitude(Range) média
Resp.: L.S.C = 140,76 + 0,577 . 8,70 = 145,78
L.I.C. = 140,76 – 0,577 . 8,70 = 135,74
Exemplo 3 - (Livro Fonseca e Martins - capa vermelha - pág 256)
Admitindo-se que um processo de fabricação de parafusos esteja sujeito a uma média de 0,9996
polegadas para sua espessura com um desvio-padrão de 0,0106 polegadas. Construir o gráfico de
controle para verificar se as seguintes amostras estão dentro dos limites, ou seja, se o processo está
sob controle:
AMOSTRAS:
Nº 1
Nº 2
Nº 3
Nº 4
Nº 5
1,005
1,012
0,990
0,993
1,006
1,013
1,011
0,999
0,994
0,997
0,997
0,982
1,004
1,006
0,994
1,003
0,993
1,017
1,002
1,019
1,987
1,000
1,015
0,998
1,000
Resp.: LCS = 1,0138
LCI = 0,9854
X = 0,9996
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Exemplo 4
Foram colhidas 10 amostras de 5 elementos cada uma, de acordo com os abaixo:
DADOS
AMOSTRAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9,989
10,030
10,005
9,997
10,001
10,004
90,998
10,003
10,050
9,997
10,004
10,002
10,006
10,045
9,998
10,007
9,978
9,995
9,999
10,003
10,000
9,992
9,990
9,910
10,025
9,995
10,006
10,008
9,999
10,014
9,994
9,994
10,035
9,998
10,008
9,996
10,010
10,010
9,985
10,011
10,005
10,001
9,995
10,001
9,925
10,002
9,935
9,925
10,040
10,025
a) estimar µ e σ;
b) construir o gráfico de controle;
c) pode-se dizer que o processo está sob controle?
Exemplo 5.
Admita que o processo de produção dom produto do exercício Nº 4 esteja sujeita a uma média 10
e desvio-padrão 0,1.
a) construir o gráfico de controle para esses valores;
b) quais as conclusões?
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83
TABELA 1 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Distribuição Z
Z
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
3,10
3,20
3,30
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
4,00
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9987
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,9987
0,9991
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,9987
0,9991
0,9994
0,9995
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,9988
0,9991
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,9988
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,7123
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,7157
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
ESTATÍSTICA – GERAL a APLICADA - PROF ARMANDO ANDREAZZA - 2005
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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005
84
2
Tabela 2 – Distribuição de χ
Nível de significância
gl
0,10
0,05
0,025
0,010
0,005
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
150
200
1.000
2,7055
4,6052
6,2514
7,7794
9,2363
10,6446
12,0170
13,3616
14,6837
15,9872
17,2750
18,5493
19,8119
21,0641
22,3071
23,5418
24,7690
25,9894
27,2036
28,4120
29,6151
30,8133
32,0069
33,1962
34,3816
35,5632
36,7412
37,9159
39,0875
40,2560
51,8050
63,1671
74,3970
85,5270
96,5782
107,5650
118,4980
172,5812
226,0210
1.057,7240
3,8415
5,9915
7,8147
9,4877
11,0705
12,5916
14,0671
15,5073
16,9190
18,3070
19,6752
21,0261
22,3620
23,6848
24,9958
26,2962
27,5871
28,8693
30,1435
31,4104
32,6706
33,9245
35,1725
36,4150
37,6525
38,8851
40,1133
41,3372
42,5569
43,7730
55,7585
67,5048
79,0820
90,5313
101,8795
113,1452
124,3421
179,5806
233,9942
1.074,6794
5,0239
7,3778
9,3484
11,1433
12,8325
14,4494
16,0128
17,5345
19,0228
20,4832
21,9200
23,3367
24,7356
26,1189
27,4884
28,8453
30,1910
31,5264
32,8523
34,1696
35,4789
36,7807
38,0756
39,3641
40,6465
41,9231
43,1945
44,4608
45,7223
46,9792
59,3417
71,4202
83,2977
95,0231
106,6285
118,1359
129,5613
185,8004
241,0578
1.089,5307
6,6349
9,2104
11,3449
13,2767
15,0863
16,8119
18,4753
20,0902
21,6660
23,2093
24,7250
26,2170
27,6882
29,1412
30,5780
31,9999
33,4087
34,8052
36,1908
37,5663
38,9322
40,2894
41,6383
42,9798
44,3140
45,6416
46,9628
48,2782
49,5878
50,8922
63,6908
76,1538
88,3794
100,4251
112,3288
124,1162
135,8069
193,2075
249,4452
1.106,9690
7,8794
10,5965
12,8381
14,8602
16,7496
18,5475
20,2777
21,9549
23,5893
25,1881
26,7569
28,2997
29,8193
31,3194
32,8015
34,2671
35,7184
37,1564
38,5821
39,9969
41,4009
42,7957
44,1814
45,5584
46,9280
48,2898
49,6450
50,9936
52,3355
53,6719
66,7660
79,4898
91,9518
104,2148
116,3209
128,2987
140,1697
198,3599
255,2638
1.118,9475
ESTATÍSTICA – GERAL a APLICADA - PROF ARMANDO ANDREAZZA - 2005
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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005
85
Tabela 3. Distribuição F de Snedecor α = 5%
Colunas: Graus de Liberdade Numerador
Linhas: Graus de Liberdade Denominador
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
500
1000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
4052
98,50
34,12
21,20
16,26
13,75
12,25
11,26
10,56
10,04
9,65
9,33
9,07
8,86
8,68
8,53
8,40
8,29
8,18
8,10
8,02
7,95
7,88
7,82
7,77
7,72
7,68
7,64
7,60
7,56
7,31
7,17
7,08
7,01
6,96
6,93
6,90
6,69
6,66
4999
99,00
30,82
18,00
13,27
10,92
9,55
8,65
8,02
7,56
7,21
6,93
6,70
6,51
6,36
6,23
6,11
6,01
5,93
5,85
5,78
5,72
5,66
5,61
5,57
5,53
5,49
5,45
5,42
5,39
5,18
5,06
4,98
4,92
4,88
4,85
4,82
4,65
4,63
5404
99,16
29,46
16,69
12,06
9,78
8,45
7,59
6,99
6,55
6,22
5,95
5,74
5,56
5,42
5,29
5,19
5,09
5,01
4,94
4,87
4,82
4,76
4,72
4,68
4,64
4,60
4,57
4,54
4,51
4,31
4,20
4,13
4,07
4,04
4,01
3,98
3,82
3,80
5624
99,25
28,71
15,98
11,39
9,15
7,85
7,01
6,42
5,99
5,67
5,41
5,21
5,04
4,89
4,77
4,67
4,58
4,50
4,43
4,37
4,31
4,26
4,22
4,18
4,14
4,11
4,07
4,04
4,02
3,83
3,72
3,65
3,60
3,56
3,53
3,51
3,36
3,34
5764
99,30
28,24
15,52
10,97
8,75
7,46
6,63
6,06
5,64
5,32
5,06
4,86
4,69
4,56
4,44
4,34
4,25
4,17
4,10
4,04
3,99
3,94
3,90
3,85
3,82
3,78
3,75
3,73
3,70
3,51
3,41
3,34
3,29
3,26
3,23
3,21
3,05
3,04
5859
99,33
27,91
15,21
10,67
8,47
7,19
6,37
5,80
5,39
5,07
4,82
4,62
4,46
4,32
4,20
4,10
4,01
3,94
3,87
3,81
3,76
3,71
3,67
3,63
3,59
3,56
3,53
3,50
3,47
3,29
3,19
3,12
3,07
3,04
3,01
2,99
2,84
2,82
5928
99,36
27,67
14,98
10,46
8,26
6,99
6,18
5,61
5,20
4,89
4,64
4,44
4,28
4,14
4,03
3,93
3,84
3,77
3,70
3,64
3,59
3,54
3,50
3,46
3,42
3,39
3,36
3,33
3,30
3,12
3,02
2,95
2,91
2,87
2,84
2,82
2,68
2,66
5981
99,38
27,49
14,80
10,29
8,10
6,84
6,03
5,47
5,06
4,74
4,50
4,30
4,14
4,00
3,89
3,79
3,71
3,63
3,56
3,51
3,45
3,41
3,36
3,32
3,29
3,26
3,23
3,20
3,17
2,99
2,89
2,82
2,78
2,74
2,72
2,69
2,55
2,53
6022
99,39
27,34
14,66
10,16
7,98
6,72
5,91
5,35
4,94
4,63
4,39
4,19
4,03
3,89
3,78
3,68
3,60
3,52
3,46
3,40
3,35
3,30
3,26
3,22
3,18
3,15
3,12
3,09
3,07
2,89
2,78
2,72
2,67
2,64
2,61
2,59
2,44
2,43
6056
99,40
27,23
14,55
10,05
7,87
6,62
5,81
5,26
4,85
4,54
4,30
4,10
3,94
3,80
3,69
3,59
3,51
3,43
3,37
3,31
3,26
3,21
3,17
3,13
3,09
3,06
3,03
3,00
2,98
2,80
2,70
2,63
2,59
2,55
2,52
2,50
2,36
2,34
6083
99,41
27,13
14,45
9,96
7,79
6,54
5,73
5,18
4,77
4,46
4,22
4,02
3,86
3,73
3,62
3,52
3,43
3,36
3,29
3,24
3,18
3,14
3,09
3,06
3,02
2,99
2,96
2,93
2,91
2,73
2,63
2,56
2,51
2,48
2,45
2,43
2,28
2,27
6107
99,42
27,05
14,37
9,89
7,72
6,47
5,67
5,11
4,71
4,40
4,16
3,96
3,80
3,67
3,55
3,46
3,37
3,30
3,23
3,17
3,12
3,07
3,03
2,99
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,66
2,56
2,50
2,45
2,42
2,39
2,37
2,22
2,20
6157
99,43
26,87
14,20
9,72
7,56
6,31
5,52
4,96
4,56
4,25
4,01
3,82
3,66
3,52
3,41
3,31
3,23
3,15
3,09
3,03
2,98
2,93
2,89
2,85
2,81
2,78
2,75
2,73
2,70
2,52
2,42
2,35
2,31
2,27
2,24
2,22
2,07
2,06
6209
99,45
26,69
14,02
9,55
7,40
6,16
5,36
4,81
4,41
4,10
3,86
3,66
3,51
3,37
3,26
3,16
3,08
3,00
2,94
2,88
2,83
2,78
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,37
2,27
2,20
2,15
2,12
2,09
2,07
1,92
1,90
ESTATÍSTICA – GERAL a APLICADA - PROF ARMANDO ANDREAZZA - 2005
85
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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005
86
TABELA 4 - Distribuição t de Student
W. S. GOSSET – t de Studen
Duas caudas
Uma cauda
0,20
0,10
0,10
0,05
0,05
0,03
0,02
0,01
0,010
0,005
0,0010
0,0005
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,315
1,314
1,313
1,311
1,310
1,309
1,309
1,308
1,307
1,306
1,306
1,305
1,304
1,304
1,303
1,303
1,302
1,302
1,301
1,301
1,300
1,300
1,299
1,299
1,299
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
1,696
1,694
1,692
1,691
1,690
1,688
1,687
1,686
1,685
1,684
1,683
1,682
1,681
1,680
1,679
1,679
1,678
1,677
1,677
1,676
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,056
2,052
2,048
2,045
2,042
2,040
2,037
2,035
2,032
2,030
2,028
2,026
2,024
2,023
2,021
2,020
2,018
2,017
2,015
2,014
2,013
2,012
2,011
2,010
2,009
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,453
2,449
2,445
2,441
2,438
2,434
2,431
2,429
2,426
2,423
2,421
2,418
2,416
2,414
2,412
2,410
2,408
2,407
2,405
2,403
63,656
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
2,744
2,738
2,733
2,728
2,724
2,719
2,715
2,712
2,708
2,704
2,701
2,698
2,695
2,692
2,690
2,687
2,685
2,682
2,680
2,678
636,578
31,600
12,924
8,610
6,869
5,959
5,408
5,041
4,781
4,587
4,437
4,318
4,221
4,140
4,073
4,015
3,965
3,922
3,883
3,850
3,819
3,792
3,768
3,745
3,725
3,707
3,689
3,674
3,660
3,646
3,633
3,622
3,611
3,601
3,591
3,582
3,574
3,566
3,558
3,551
3,544
3,538
3,532
3,526
3,520
3,515
3,510
3,505
3,500
3,496
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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005
Tabela 5.
87
Dígitos aleatórios
03991
38555
17546
32643
69572
10461
95554
73704
52861
68777
93716
32886
92052
95819
39510
16894
59780
46215
06831
35905
98953
09958
15917
19640
85244
73231
18065
06253
99413
35159
39528
81616
07586
90767
40188
72484
18711
16120
04235
28193
82474
53342
82641
13574
29593
25593
44276
22820
17200
88627
24122
61196
30532
03788
48228
66591
30231
21704
97599
63379
27699
92692
10274
75867
85783
06494
61773
12202
20717
47619
03152
22109
94205
82037
87481
19121
78508
20380
10268
37220
34414
63439
67049
79495
91704
82157
75363
09070
04146
30552
86887
44989
93399
52162
04737
55087
16822
45547
90286
21031
88618
71299
27954
80863
33564
19161
23853
58909
00514
60780
41290
05870
82444
20247
48460
67312
01119
99005
81759
85558
74857
92784
04921
45197
15191
15957
26340
73701
25332
18782
48545
75122
92904
69902
94972
35247
11724
13141
63742
11598
18619
74627
32392
78464
62095
13674
73707
19763
22501
36787
90899
78038
55986
87539
16818
75754
70267
66485
08823
60311
60833
43529
88722
94813
74457
25983
06318
56736
31900
90561
01291
38384
66164
54155
72848
41349
74761
49431
83436
11834
19152
36024
94458
54158
75051
00023
00867
74284
34243
93029
12302
76378
05041
46978
47665
80783
41605
49807
35482
64382
34677
45305
59747
16520
68652
58300
07521
67277
69676
27376
74910
61318
76503
11654
92852
64345
31855
34513
99893
55866
19325
14413
39663
02181
88448
81540 60365 94653
70951 83799 42402
77544 32960 07405
68161 19322 53845
03584 11220 94747
35075
56623
36409
57620
07399
33949
34442
83232
52606
37408
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ESTATÍSTICA – GERAL a APLICADA - PROF ARMANDO ANDREAZZA - 2005
87
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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005
88
TABELA 6 - DISTRIBUIÇÃO LOG-NORMAL e gráfico
DISTRIBUIÇÃO LOG-NORMAL
Média
Desvio P.
Step
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
2,6
0,8
1
P(X)
0,0000
0,002536
0,014558
0,028568
0,039442
0,046337
0,049891
0,050999
0,050442
0,048813
0,046538
0,043911
0,041129
0,038323
0,035577
0,032943
0,03045
0,028114
0,025938
0,023923
0,022063
0,02035
0,018775
0,01733
0,016004
0,014789
0,013674
0,012652
0,011715
0,010856
0,010067
0,009343
0,008677
0,008065
0,007502
0,006984
0,006506
0,006066
0,005659
0,005284
0,004937
da distribuição normal Y=ln(X)
da distribuição normal Y=ln(X)
Distribuição Lognormal
E[X] 18,54
Var(X) 308,19
Desvio P. 17,56
Média=2,6 Desvio Padrão=0,8
E[X]=18,54 e Desvio P.=17,56
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88
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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005
89
TABELA 7 – GRÁFICO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
DISTRIBUIÇÃO
NORMAL
Função densidade de
probabilidade
Média 40
D.Padrão 8
Média 44000
D.Padrão
0
0,0000
2,5
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ESTATÍSTICA – GERAL a APLICADA - PROF ARMANDO ANDREAZZA - 2005
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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005
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BIBLIOGRAFIA - [email protected] - www.andreazza.com
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