Variáveis Aleatórias - ICEB-UFOP

Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Variáveis Aleatórias - parte I
Erica Castilho Rodrigues
9 de Outubro de 2012
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições de Probabilidade
Parâmetros das variáveis aleatórias
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Introdução
3
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
◮
Frequentemente estamos interessados em resumir o
resultado de um experimento aleatório através de um
número.
◮
Em muitos casos, o espaço amostral é apenas uma
descrição dos resultados possíveis.
◮
Em outros, é necessário associar um número com cada
resultado do espaço amostral.
◮
Exemplo: lançamos três moedas e observamos o número
de caras que aparecem.
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
◮
Não sabemos de ante-mão qual o resultado do
experimento aleatório.
◮
Portanto o valor da variável resultante também não é
conhecido.
◮
Por isso uma variável que associa um número ao
resultado do experimento aleatório é conhecida como
variável aleatória.
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Variável Aleatória
É uma variável cujo valor numérico é único para cada resultado
do experimento.
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Exemplos de Variáveis Aleatórias
◮
Números de mulheres entre 20 passageiros que acabaram
de entrar em um ônibus.
◮
Altura de uma adolescente do sexo feminino selecionada
aleatoriamente numa viagem.
◮
Número de acidentes com ônibus interestaduais ocorridos
no Rio Grande do Sul.
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
◮
Precisamos de uma notação para distinguir variável
aleatória de número real.
◮
Uma variável aleatória é denotada por letra maiúscula, tal
como X .
◮
Depois do experimento ser conduzido, o valor observado
da variável aleatória é denotado por letra minúscula, tal
como x = 70 miliampéres.
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
◮
Algumas medidas podem assumir qualquer valor em um
intervalo de números reais.
◮
Exemplo: o comprimento de uma peça pode assumir
qualquer valor positivo.
◮
Esse tipo de variável é denominada contínua.
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
◮
Em alguns casos podemos registrar variáveis que são
apenas pontos discretos na reta.
◮
Exemplo: o número de bits que são transmitidos e
recebidos com erro.
◮
Nesse tipo de situação dizemos que a variável aleatória é
discreta.
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas
◮
Discreta: possui uma faixa finita (ou infinita contável) de
valores.
◮
Contínua: possui um intervalo (tanto finito como infinito)
de números reais para sua faixa.
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Exemplos de Variáveis Aleatórias
◮
Discretas:
◮
◮
◮
◮
número de arranhões em uma superfície;
proporção de parte defeituosas em 1000 resultados;
número de bits transmitidos e recebidos com erro.
Contínuas:
◮
◮
◮
◮
corrente elétrica;
comprimento;
pressão;
temperatura.
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
◮
◮
Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado.
Resultados possíveis:
C = cara
◮
K = coroa .
Variável aleatória:
X = número de caras da moeda.
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições de Probabilidade
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Distribuições de Probabilidade
Variável Aleatória Discreta (exemplos)
◮
jogar dados
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(
1 se sair a face 6
X=
0 caso contrário .
valores possíveis de X:X = {0, 1} .
◮
jogar uma moeda 5 vezes
X = número de caras em 5 lances
valores possíveis de X:X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} .
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Distribuições de Probabilidade
Variável Aleatória Discreta (exemplos)
◮
Número de crianças que visitam um parque.
◮
Número de clientes que preferem viajar para a Europa à
viajar para os EUA.
Tipo de pessoas que visitam um zoológico:
◮
◮
◮
◮
◮
família,
amigos,
escolares,
outros.
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Distribuições de Probabilidade
Exemplo:
◮
Um sistema de comunicação possui 48 linhas externas.
◮
O sistema é observado e algumas linhas estão sendo
usadas.
◮
Seja a variável X o número de linhas em uso.
◮
X pode assumir quaisquer valores inteiros de 0 até 48.
◮
Exemplo: se o sistema é observado e 10 linhas estão em
uso x = 10.
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Distribuições de Probabilidade
Exemplo:
◮
Em um processo de fabricação de semicondutor, dois
lotes de pastilhas são testadas.
◮
Cada pastilha é classificada como passa ou falha.
◮
A probabilidade de uma pastilha passar no teste é 0,8.
◮
As pastilhas falham independentemente umas das outras.
◮
Por exemplo, a probabilidade da primeira pastilha passar e
a segunda falhar, denotada por {pf }, é dada por
P({pf }) = (0, 8)(0, 2) = 0, 16
◮
Defina X como o número de pastilhas que passam.
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
◮
Distribuições de Probabilidade
A tabela a seguir mostra os valores de X que são
atribuídos a cada resultado do experimento
Resultados
Pastilha 1 Pastilha 2
Passa
Passa
Passa
Falha
Passa
Falha
Falha
Falha
Probabilidade
(0, 8)2 = 0, 64
(0, 2)(0, 8) = 0, 16
(0, 2)(0, 8) = 0, 16
(0, 2)2 = 0, 04
x
2
1
1
0
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Distribuições de Probabilidade
Distribuições de Probabilidade
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Distribuições de Probabilidade
◮
Muitas vezes ignoramos o espaço amostral original do
experimento.
◮
E estamos interessados apenas na distribuição de
probabilidade da variável aleatória.
◮
No exemplo das pastilhas, estávamos interessados
apenas no número de pastilhas que falham.
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Distribuições de Probabilidade
◮
A distribuição de probabilidade é uma descrição das
probabilidades associadas com os valores possíveis de X .
◮
Para uma variável discreta, a distribuição é apenas uma
lista de valores possíveis com suas probabilidades
associadas.
◮
Em alguns casos pode ser conveniente expressar a
probabilidade como uma fórmula.
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Distribuições de Probabilidade
Exemplo:
◮
Considere um canal de transmissão através do qual são
transmitidos bits.
◮
Existe a possibilidade desses bits serem transmitidos com
erro.
◮
Seja X o número de bits com erros nos próximos 4 bits.
◮
Os valores possíveis de X são {0, 1, 2, 3, 4}.
◮
Suponha que as probabilidades associadas a cada valor
são
P(X = 0) = 0, 651 P(X = 1) = 0, 2916 P(X = 2) = 0, 0486
P(X = 3) = 0, 0036 P(X = 4) = 0, 0001
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
◮
Distribuições de Probabilidade
A figura abaixo mostra representação gráfica da
distribuição de X .
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Distribuições de Probabilidade
O termo aleatório indica que a cada possível valor da v.a.
atribuímos uma probabilidade de ocorrência.
Função de Probabilidade Discreta
Descreve como as probabilidades estão distribuídas para cada
um dos valores da variável aleatória que está sendo
observada.
◮
Uma lista de valores possíveis da variável com as
probabilidades associadas.
X
P(X = xi )
◮
x1
p1
x2
p2
x3
p3
x4
p4
x5
p5
Temos que
0 ≤ pi ≤ 1
e
X
pi = 1 .
i
25
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Distribuições de Probabilidade
Exemplo:
◮
Estamos analisando o número de grupos escolares que
visitam um parque diariamente.
◮
Seja X o número de grupos escolares que visitam o
parque em um dia.
Em 310 dias de operação, o parque apresentou a seguinte
distribuição
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
◮
em 51 dias, nenhum grupo apareceu;
em 105 dias, houve a visita de um grupo de escolares;
em 74 dias, houve visita de dois grupos;
em 40 dias, três;
em 25 dias, quatro;
em 10 dias, cinco;
em 5 dias, seis grupos visitaram o parque.
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Distribuições de Probabilidade
Exemplo: (continuação)
◮
Vamos encontrar a distribuição de X .
x
0
1
2
3
4
5
6
Total
P(X = x)
51
310
105
310
74
310
40
310
25
310
10
310
5
310
1
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Distribuições de Probabilidade
Exemplo: (continuação)
◮ Temos então que:
◮
em um dia qualquer, a chance de não aparecer nenhum
grupo de escolares é
51/310 = 16%
◮
a chance de aparecerem 6 grupos é
5/310 = 2%
◮
a chance de aparecerem pelo menos 2 grupos
P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = = 1 − P(X = 0) − P(X = 1)
= 1−
105
51
−
= 50% .
310 310
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Distribuições de Probabilidade
Exemplo: (continuação)
◮
Essas informações podem ser úteis para tomadores de
decisão.
◮
Podem usá-las para o planejamento de eventos.
Dependendo da distribuição do número de pessoas
podem alocar:
◮
◮
◮
◮
◮
médicos;
enfermeiros;
primeiros socorros;
número de monitores.
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Parâmetros das variáveis aleatórias
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
◮
Uma variável aleatória pode ser caracterizada por
parâmetros como:
◮
valor esperado e desvio-padrão.
Valor esperado ou média
◮
Seja X uma variável aleatória.
◮
X assume valores
x1 , x2 , . . . , xn .
◮
O valor esperado de X é dado por
E (X ) = x1 P(X = x1 ) + x2 P(X = x2 ) + · · · + xn P(X = xn ) .
◮
Fornece uma ideia da tendência central da variável.
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Exemplo:
◮ Considere o exemplo dos grupos que visitam o parque.
◮ Seja X o número de grupos que visitam por dia.
◮ Relembre que a distribuição de X é dada por
x
0
1
2
3
4
5
6
Total
E (X ) = 0 ∗
P(X = x)
51
310
105
310
74
310
40
310
25
310
10
310
5
310
1
105
5
51
+1∗
+ ··· + 6 ∗
= 1, 80 .
310
310
310
32
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Exemplo:
◮
Seja X uma variável aleatória com a seguinte distribuição
de probabilidade
xi
P(X = xi )
◮
20
0,20
25
0,15
30
0,25
35
0,4
A esperança de X é dada por
E (X ) = 20∗(0, 20)+25∗(0, 15)+30∗(0, 25)+35∗(0, 4) = 29, 25.
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
◮
O valor esperado nos dá ideia de tendência central.
◮
Nem sempre essa informação é suficiente.
◮
Precisamos de uma medida de variabilidade ou dispersão.
◮
Essa medida é dada pela variância.
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Variância e desvio padrão
◮
Seja X uma variável aleatória.
◮
X assume valores
x1 , x2 , . . . , xn .
◮
A variância de X é dada por
Var (X ) = (x1 −E (X ))2 P(X = x1 )+(x2 −E (X ))2 P(X = x2 )+
· · · + (xn − E (X ))2 P(X = xn ) .
◮
Fornece uma ideia da variabilidade em relação à media.
◮
O devio padrão é dado por
p
Var (X )
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Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
◮
Considere o exemplo anterior, em X tem distribuição de
probabilidade
xi
P(X = xi )
20
0,20
25
0,15
30
0,25
◮
Lembre que E (X ) = 29, 25
◮
Temos que a variância de X é dada por
35
0,4
Var (X ) = (20 − 29, 25)2 ∗ 0, 20 + (25 − 29, 25)2 ∗ 0, 15+
(30 − 29, 5)2 ∗ 0, 25 + (35 − 29, 5)2 ∗ 0, 40 = 31.98 .
36
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Exemplo:
◮ Lançamos dois dados.
◮ Seja X a soma das faces dos dados.
◮ Temos que a distribuição de X é dada por
xi
P(X = xi )
◮
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
A esperança de X é dada por
E (X ) = 2 ∗
◮
3
3
1
+3∗
+ · · · + 10 ∗
=7.
36
36
36
A variância de X é dada por
Var (X ) = (2−7)2
3
1
1
+(3−7)2 +· · ·+(12−7)2
= 5, 83.
36
36
36
37
Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Exemplo:
◮
O desvio padrão é dado por
p
p
Var (X ) = 5, 83 .
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