Permutação - Sistema SEI

Permutação
n-upla
Seja n∈ IN * , uma n-upla ( x 1 , x 2 , ..., x n ) é um coleção de n elementos ordenados.
Em uma n-upla a ordem é importante, ou seja, não basta conhecer os elementos que formam a n-upla, mas também a
sua ordem.
Ex.1:
( Pedro, Paulo ) é uma 2-upla distinta de ( Paulo, Pedro ) .
Permutação
Uma Permutação de uma n-upla é uma n-upla cujos elementos são os elementos da n-upla original em uma ordem
arbitrária.
Ex.2:
Uma permutação de ( 1, 2, 3 ) é ( 1, 3, 2 )
O nosso interesse é determinar o número de permutações de uma n-upla, por exemplo:
O conjunto de todas as permutações de ( 1, 2, 3 ) é
P = { (1,2,3), (2,1,3), (3,1,2 ), (1, 3, 2 ), (2, 3,1), (3, 2,1) }
Então existem 6 permutações de ( 1, 2, 3 ) .
Note que explicitar todas as permutações possíveis de uma n-upla pode ser demorado, porém determinar a quantidade
de permutações possíveis não é, podemos usar o Princípio Multiplicativo para determinar este número, assim:
O número de Permutações de uma n-upla, de elementos distintos dois a dois, será representado por Pn e pelo
Princípio Multiplicativo vale:
Pn = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ .... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⇔ Pn = n!
Ex.3:
Determine o número anagramas da palavra ITA.
Solução:
Um anagrama de uma palavra é uma palavra formada pelas mesmas letras da palavra original em uma ordem arbitrária,
assim são anagramas da palavra ITA,
ITA, IAT, TIA, AIT, ATI e TAI.
Note que um anagrama nada mais é do que uma permutação das letras da palavra então podemos pensar na palavra ITA
com uma 3-upla, ou seja, ( I, T, A ) e cada permutação desta 3-upla será um anagrama da palavra ITA, assim o número de
anagramas de uma palavra é o número de permutações de suas letras, neste caso como a palavra ITA é formada por 3 letras
distintas, temos
P3 = 3! = 6 .
Ex.4: (IME 1988) Considere um torneio de xadrez com 10 participantes. Na primeira rodada cada participante joga apenas
uma vez, de modo que há 5 jogos realizados simultaneamente. De quantas formas distintas esta primeira rodada
pode ser realizada? Justifique sua resposta.
Solução:
A primeira rodada será formada por 5 jogos, ou seja,
[1
P1 × P2 ][P5 × P6 ] [P5 × P6 ][P7 × P8 ][P9 × P10 ]
424
31
424
31
424
31
424
3 1424
3
Jogo 1
Jogo 2
Jogo 3
Jogo 4
Jogo 5
Lembrando que a ordem dos jogos não importa, nem que a ordem dos participantes em cada jogo também não, logo
P10
P5 × (P2 )5
= 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945 .
Ex.5: (IME 1984) Determine a soma de todos os números inteiros que são obtidos permutando-se, sem repetição, os
algarismos 1, 2, 3, 4 e 5.
Solução:
A cada permutação do número 12345 associaremos, de maneira única, uma outra permutação, da seguinte forma:
1→ 5
2→4
3→3
4→5
5 →1
Assim ao número 12.345 associaremos o número 54.321 e note que feito isso a soma destas duas permutações é constante e
iguala 66.666 para qualquer permutação, logo a soma de todas as permutações pode ser obtida da seguinte forma:
P
S = 66.666 × 5 = 3.999.960
2
Permutação com elementos Repetidos
Caso a n-upla seja formada por elementos nem todos distintos, teremos um número menor de permutações.
Ex.6:
O conjunto de todas as permutações de ( 1,2 ,2 ) é P = {( 1,2 ,2 ), ( 2,1,2 ), ( 2,2,1 )}
O número de Permutações com Elementos Repetidos de uma n-upla com repetições
(
n , n 2 , ..., n k
representada por Pn ,
) e pelo Princípio Multiplicativo vale:
n , n 2 , ..., n k
n 1!⋅ n 2 !⋅ ... ⋅ n k !⋅ Pn ,
n , n 2 , ..., n k
= Pn ⇔ Pn ,
=
n!
n 1!⋅ n 2 !⋅ ... ⋅ n k !
n 1 , n 2 , ...n k ∈ IN * é
Ex.7:
Determine o número de anagramas da palavra Araraquara..
Solução:
Conforme visto no exemplo 3, o número de anagramas é o número de permutações das letras da palavra, neste caso
nem todas as letras são distintas, na palavra Araraquara encontram-se
5 letras a’s
3 letras r’s
1 letra q
1 letra u
Logo o número de anagramas da palavra Araraquara é
5, 3
P10
=
10!
= 5.040
5!⋅ 3!
Ex.8:(IME 1996) É dado um tabuleiro 4x4. Deseja-se atingir o quadrado inferior direito a partir do quadrado superior esquerdo.
Os movimentos permitidos são os representados pelas setas:
De quantas maneiras isto é possível?
Solução:
Podemos representar uma trajetória possível por uma sequência de setas:
1. Horizontais (H),
2. Verticais (V),
3. Diagonais (D).
Assim ( H, H, H, V, V, V ) é uma trajetória possível bem como qualquer permutação sua também será uma
trajetória possível, então teremos
6!
= 20 Trajetórias distintas
3!⋅ 3!
Analogamente
( D, V, V, H, H ) ⇒
5!
= 30 trajetórias distintas
2!⋅ 2!
4!
= 12 trajetórias distintas
2!
( D, D, D ) ⇒ 1 trajetória
( D, D, V, H ) ⇒
Logo existem 63 trajetórias possíveis.
Permutação Circular
Uma permutação cíclica ou circular de uma n-upla é uma n-upla obtida da n-upla original por uma translação de
todos os seus elementos.
Ex.9:
Determine o conjunto das permutações circulares de ( 1, 2, 3 ) .
Solução:
O conjunto das permutações circulares de ( 1, 2, 3 ) é PC = { ( 1, 2, 3 ), ( 3,1, 2 ), ( 2, 3 ,1 ) } .
Observe que todas as ternas podem ser obtidas da terna original transladando os seus elementos nenhuma vez, uma
vez ou duas vezes respectivamente.
O número de permutações circulares distintas de uma n-upla, de cotas distintas duas a duas, é o número de
permutações da n-upla desconsiderando as permutações circulares de cada n-upla.
Assim o número de permutações circulares de uma n-upla, de cotas distintas duas a duas, será representado por
PC n e pelo Princípio Multiplicativo vale:
n!
n ⋅ PC n = n! ⇔ PC n = = (n − 1)!
n
Ex.10:
Determine o número de maneiras distintas que cinco pessoas podem se posicionar em torno de uma mesa redonda.
Solução:
O número de maneiras que estas pessoas podem se posicionar é o número de permutações circulares de uma 5upla, de cotas distintas duas a duas. Basta pensar nas pessoas como os elementos da 5-upla.
Então
5!
PC 5 = = 4 ! = 24 .
5