Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado 2cm

PIRÂMIDES
Questão 01. (ITA) Uma pirâmide regular
tem por base um quadrado de lado 2cm.
Sabe-se que as faces formam com a base
ângulos de 45°. Então, a razão entre a área
da base e a área lateral é igual a:
1
2
3
a) 2
b)
c) 6 d)
e)
3
2
3
RESOLUÇÃO:
Observe o esboço:
Seja h e g, respectivamente, as medidas em
centímetros da altura e do apótema lateral
dessa
pirâmide.
Assim
temos
1
2
que gera g 2 = 2 ⇒
cos 45º = =
g
2
2 2
⇒ g = 2 cm.
2
2 2
Vemos que cada face é um triângulo de
base 2 cm e altura g. A área de um triângulo
é dada pelo produto da medida da base pela
altura dividido por 2, então a superfície de
2 2
uma face lateral é S F =
= 2 cm2.
2
Claramente é possível ver que a lateral é
formada por 4 faces, logo a área lateral é
dada por S L = 4 2 .
Agora, em relação a base temos um
quadrado de lado 2cm, então a área da base
é S B = 2 2 = 4 cm2.
Então, a razão pedida na questão é
SB
4
1
2
2
=
=
.
=
SL 4 2
2
2 2
g=
2
.
2
=
Questão 02. (ITA) A razão entre a área da
base de uma pirâmide regular de base
quadrada e a área de uma das faces é 2.
Sabendo que o volume da pirâmide é de
12m3, temos que a altura da pirâmide mede
(em metros):
a) 1
b)2
c) 3
d)4
e) 5
RESOLUÇÃO:
Seja h, g e a, respectivamente, as medidas,
em metros, da altura, do apótema da base
lateral e do apótema da base da pirâmide
tem-se:
2a.g
S B = ( 2a ) 2 = 4 a 2
SF =
= a.g
2
Pela razão oferecida:
S F 4a 2
=
= 2 ⇒ g = 2a
SB
a.g
Outra informação indicada é que o volume
da pirâmide é 12cm3, então
V =
1
1
S B .H = 12 ⇒ .4a 2 .h = 12 ⇒ 4a 2 .h = 36
3
3
Assim a 2 .h = 9 . Agora, pelo teorema de
Pitágoras g 2 = h 2 + a 2 , como g = 2a
temos
( 2a ) 2 = h 2 + a 2 ⇒ 4a 2 = h 2 + a 2
h2
3
2
a .h = 9
que gera 3a 2 = h 2 ⇒ a 2 =
, assim
substituindo
em
temos
2
h
a 2 .h =
.h = 9 logo h 3 = 27 ⇒ h = 3 cm.
3
Questão 03. (ITA) Seja uma pirâmide
regular de base hexagonal e altura 10 m. A
que distância do vértice devemos cortá-la
por um plano paralelo à base de forma que
o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do
volume da pirâmide original?
a) 2 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. e) 8 m.
PROFESSOR AZEVEDO
PIRÂMIDES
RESOLUÇÃO:
Vejamos um esboço:
Sendo V1 o volume da pirâmide de altura d
e V2 o volume da pirâmide de altura
Questão 04. (ITA) Uma pirâmide regular
tem por base um hexágono cuja diagonal
menor mede 3 3 cm. As faces laterais
desta pirâmide formam diedros de 60° com
o plano da base.
A área total da pirâmide, em cm2, é
81
81 3
81 2
a)
b)
c)
2
2
2
d) 27 3
e) 27 2
RESOLUÇÃO:
Vejamos um esboço.
3
V
d 
h = 10m, tem-se: 1 =   Assim
V2  10 
3
1
d 1
d 
= ⇒ d = 5m
  = ⇒
8
10 2
 10 
Questão 04. (ITA) Considere uma
pirâmide regular de altura igual a 5 cm e
cuja base é formada por um quadrado de
área igual a 8 cm2. A distância de cada face
desta pirâmide ao centro de sua base, em
cm, é igual a:
15
5 6
4 3
7
a)
b)
c)
d)
e) 3
3
9
5
5
RESOLUÇÃO:
Vejamos um esboço.
Temos que d é a altura relativa a hipotenusa
do triângulo retângulo VOM. Ainda
tomando x = MV temos x 2 = 5 2 + ( 2 ) 2
⇒ x 2 = 25 + 2 = 27 ⇒ x = 3 3 ,
agora
pelas relações métricas no triângulo
retângulo VOM temos 3 3.d = 2 .5 assim
d=
5 2
3 3
.
3
3
=
5 6
9
Sejam g, h, a e L, respectivamente o
apótema lateral da pirâmide, a altura da
pirâmide, a o apótema da base e L a aresta
da base. Assim temos que a diagonal menor
é equivalente ao dobro da altura de um
triângulo equilátero de lado L. Logo
L 3
2.
=3 3⇒ L=3
2
Ainda temos a como a altura de um
triângulo equilátero de lado 3cm
L 3 3 3
a=
=
,
então
podemos
2
2
determinar g atráves de uma razão
trigonométrica
3 3
1
cos 60º = 2 = ⇒ g = 3 3
g
2
A área lateral é:
3.3 3
S L = 6.
= 27 3 cm 2
2
A área da base é:
(3 3 ) 3 3 27
S L = 3.
=
3 cm 2
2
2
A área da base é:
27
81
3 + 27 3 =
ST = S B + S L =
3 cm 2
2
2
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