I UNIDADE

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO – 2o ANO DO ENSINO MÉDIO
DATA: 25/04/09
PROFESSOR: MALTEZ
Em um poliedro convexo, a soma dos ângulos das faces é igual a 5040º.
Sabendo que ele possui 26 arestas, então o número de faces é:
RESOLUÇÃO
Sf = 360 (V – 2)
F+V=A+2
5040º = 360º (V – 2)
F + 16 = 26 + 2
14 = V – 2
F + 16 = 28
V = 16
F = 12
Um prisma triangular regular possui altura igual a 2 3 cm e a área de uma base igual a 9 3 cm 2 .
Então a área lateral desse prisma é igual a:
RESOLUÇÃO
Área da base:
9 3
Planificação:
2 3
4
2 3
2 = 36
=6
6
SL = 3 . 6 . 2 3  36 3cm 2
Um prisma quadrangular regular de área total 56 cm2, cuja altura é o triplo da aresta da base, possui
volume igual a:
RESOLUÇÃO


3


3


4 .  . 3 + 22 = 56
122 + 22 = 56
142 = 56
2 = 4
 = 2 cm; logo h = 6 cm
V = S'B . h
P
R
O
J
No prisma hexagonal regular ao lado, o apótema da base é igual a 3 3 m eE a aresta
T
lateral vale 4 3 m.
O
Então sua área total é igual a:
I
1
N
T
E
MATEMÁTICA
V = 22 . 6 = 4 . 6 = 24 cm3
RESOLUÇÃO
O apótema da base é igual à altura do triângulo equilátero:
 3
Logo 3 3 
2
=6m
Área total:


ST = 6 . 6 . 4 3  2 . 6 .
4 3
3 3.

62 3
4
S T  144 3  108 3
6
S'T  252 3m2
2m
Numa cozinha de 3 m de comprimento, 2 m de largura e de 2,80 m de
altura, as portas e janelas ocupam uma área de 4 m2. Para azulejar as
quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra de 10% a mais da área a
ladrilhar.
3m
2,80m
A metragem de ladrilhos a comprar é:
RESOLUÇÃO
2m
As quatro paredes correspondem à área lateral do paralelepípedo
2 . 3 . 2 . 2,8 + 2 . 2 . 2,80 = 16,80 + 11,20 = 28,00 cm2
3m
A ladrilhar: 28,00 – 4,00 = 24,00 m2
Como é aconselhável comprar mais 10%, então a metragem a comprar será
2,80m
24,00 + 10% . 24,00 = 26,40 m2 .
Um tanque cúbico, com face inferior horizontal, tem de volume 1 m3 e contém água até sua metade.
Após mergulhar uma pedra de granito, o nível da água subiu 8 cm.
O volume dessa pedra é:
RESOLUÇÃO
O volume da pedra é o volume de água que "subiu"
V = a3  a3 = 1  a = 1 m
1m
0,08m
Vpedra = 1 . 1. 0,08 = 0,08 m3 = 80 dm3
P
R
A base de uma pirâmide regular é um triângulo equilátero cujo lado mede 8 cm.
O Se a altura dessa
3
J
pirâmide mede 5 3 cm, o seu volume, em cm , é:
E
T
RESOLUÇÃO
O
2
I
N
T
E
MATEMÁTICA
1m
h  5 3 cm
8
Área da base: S B 
V
8
8
82 3
 16 3 cm2
4
1
.16 3 . 5 3  80 cm3
3
V
Em um cubo de aresta
3
6 , considera-se o tetraedro VABC, como indicado na figura.
O volume do tetraedro é:
C
B
RESOLUÇÃO
VC = a  3 6 é altura do tetraedro.
A
A área da base é a área do triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B.
Logo S' ABC 
V
3
6 . 3 6 3 62

2
2
1 3 62 3
1 3 63 6
.
. 6 .
  1u.v.
3 2
3 2
6
Uma pirâmide quadrangular regular possui todas as arestas iguais a
2 u.c.
A área lateral dessa pirâmide, em unidades de área, é:
RESOLUÇÃO
A área lateral é 4 vezes a área de uma face lateral.
Usando a fórmula da área para o triângulo equilátero, temos
 2
4.
2
SL
2
4
3
 2 3 u.a.
2
m
P
Uma pirâmide regular de base arbitrária possui aresta lateral igual 5 cm e apótema
R da pirâmide igual a
4 cm. Então a aresta da base dessa pirâmide é igual a:
O
J
RESOLUÇÃO
E
T
Pelo teorema de Pitágoras, 52 = 42 + x2
O
5
4
x
x
3
I
N
T
E
MATEMÁTICA
2
Como x = 3, logo 2x = 6 cm
QUESTÕES DISCURSIVAS
Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares.
Determine quantas faces triangulares e quantas faces quadrangulares ele possui.
RESOLUÇÃO
x  no de faces 
A+2=F+V
y  no de faces 
20 + 2 = F + 10
F = 12
x + y = 12
3x + 4y = 40, pois A 
L
.
2
Resolvendo o sistema, x = 8 e y = 4
Portanto 8 faces triangulares e 4 quadrangulares.
Num prisma regular de base quadrada, a aresta da base é a metade da aresta lateral.
Se sua área lateral é de 128 cm2, calcule o volume do prisma.
RESOLUÇÃO
4 . x . 2x = 128
2x
x
x2 = 16  x = 4
V = x2 . 2x
Uma piscina tem o formato e as medidas da figura abaixo.
Determine o volume máximo de água, em litros, que a piscina pode conter.
RESOLUÇÃO
4m
4
2m
P
R
O
J
9m
E
T
O
I
N
T
E
MATEMÁTICA
ou V = 16 . 8 = 128 cm3
0,80 m
V = 6 . 2 . 4 + 3 . 4 . 0,80
V = 48 + 9,60
V = 57,60 m3 ou V = 57600 
Uma pirâmide hexagonal regular tem 4 cm de altura e a aresta de sua base mede 2 3cm.
Calcule a área total dessa pirâmide.
RESOLUÇÃO
4
m
4
3
2 3
O apótema da pirâmide é:
Se o lado da base mede 2 3 , então o
m2 = 42 + 32
 3 2 3. 3
apótema da base, a 

3
2
2
m=5
 
m= 5
2 3
2
2 3 .5
2 3 . 3
S T  SL  SB  6 .
6.
 30 3  18 3
2
4
S T  48 3 cm 2
A figura ao lado mostra um cubo de aresta 6 cm e uma pirâmide cujo vértice é o
centro de uma face do cubo e cuja base é a face oposta.
Determine o volume dessa pirâmide.
RESOLUÇÃO
SB = a2 = 62 = 36 cm2
h = a  h = 6 cm
1
. 36 . 6  72 cm3
3
P
R
O
J
E
T
O
5
I
N
T
E
MATEMÁTICA
V