Resolução

Resolução do exame de recurso (23/09/2004):
1.
Pela Regra de Leibniz:
d 
dx 

2
2
t2
  e x 2  x3   2 x  3x 2  e ln x 2  1  e x 2  x3   2 x  3x 2  e ln xln x  1 
e
dt
 
x
x
ln x

2
3 2
2
3 2
2
3 2
ln x 1
 e x  x   2 x  3x 2  e ln x
  e x  x   2 x  3x 2  x ln x  x 1  e x  x   2 x  3x 2  x ln x 1
x
x 2  x3




  





2.1.
3
1
1 1
1
1
1  x 1 
3
L3   2
dx  

dx  ln x  1  ln x  1 2  ln

C.
A.
2 2 x 1 x 1
2
2  x  1  2
2 x 1
1 2
1 1 3
  ln  ln   ln  0,203
2 4
3 2 2
3
3
Cálculo auxiliar:
1
1
1
1
A
B
2




 2
2
R.
Tapa
x 1 x 1
x  1  x  1 x  1 x  1 x  1
Regra do Tapa:
1
 1 
A


 x  1 x1 2
1
 1 
; B


2
 x  1 x 1
O lucro obtido no terceiro ano foi de, aproximadamente, 203.000,00€.
2.2.

a
 x 1 
 a 1
1
1
1
1
1
lim Lt    2
dx  lim  2
dx  lim ln
 lim  ln
 ln  

t  
a   x  1
2 a   x  1  2 2 a  a  1
3
2 x 1
2

a
1 
a 1 
1 1 
1
1 1
  ln    ln 1  ln    ln  0,549
ln  alim


2 
a 1 
3 2 
3
2 3
A longo, longo prazo, os lucros da empresa serão de, aproximadamente, 549.000,00€.
Ou seja, a empresa será viável!
3.1.
dy
 2 1 2
 2 1 2
 2 1 2
xy dy  0
 x  y   xyy'  0   x  y   xy  0   x  y dx  
2 
2 
dx


2
N  x, y 
M  x, y 
Como
Mas,
M
x, y    y  y  N x, y  , a equação diferencial não é total exacta.
y
x
M
x, y   N x, y 
yy
2
y
x

   f x 
N x, y 
xy
x
é
função
somente
de
x.
2
2
f  x dx
1
  dx
 2 ln x
e x e
 e ln x  x  2  2
Consequentemente, e 
x
é factor integrante,
função somente de x, da equação diferencial.
3.2.
y ' '2 y ' y  x
Trata-se duma equação diferencial linear de ordem 2 não homogénea com coeficientes
constantes.
Equação diferencial homogénea associada:
y ' '2 y ' y  0
Equação característica:
2  2  1  0    1    1
Assim, y h x   C1e x  C 2 xe x ; C1 , C2  IR .
Uma solução particular da equação diferencial inicial é da forma:
y p  x   ax  b  y ' p x   a  y ' ' p x   0
Substituindo na equação diferencial inicial, obtém-se:
a  1
a  1
0  2a  ax  b  x  ax   2a  b   x  

 2a  b  0
b  2
Assim, y p x   x  2 .
Logo, a solução geral é:
yx   C1e x  C2 xex  x  2 ; C1 , C2  IR .
4.1.
1 0


1    
1 0
2

0

1 L2  L1
1
L3  L1
1 0  0


0   1 
0 0  1
- Sistema possível determinado    0 ;
- Sistema possível indeterminado  C. impossível;
- Sistema impossível    0 .
4.2.
1 0  1  x1  0
1  1 2   x   1

 2   
1 0  2  x3  1
Pelo método de Gauss-Jordan:

1 0  1 0


1  1 2 1 L2  L1
1 0  2 1 L3  L1


1 0  1 0


0  1 3 1  L2
0 0  1 1  L3


 x 1
1 0  1 0  L1  L3 1 0 0  1
 1


 L 3 L 

 x2 4
0
1

3

1
0
1
0

4

2
3






0 0 1  1
0 0 1  1
 x3 1
5.1.
1 0 2 
A  3   
0  1 1 
Pela Regra de Sarrus:
det A  1  1  3   1  2  0    0  0    2   1   1  3  0 1    6    2  6
5.2.
A é invertível sse det A  0  2  6  0    3 .
5.3.
1 0 2
1 3 0 


T
A  3 1 1  A  0 1  1
0  1 1
2 1 1 
 1 1

1 1
 3 0
Adj ( A)  
 1 1
3 0
 1 1

0
2
1
2
1

0

1
0 1 

1
2 1 
 2  2  2
0
1 3 

 3 1
5 
1
2 1  
 3 1
1 
0
1 3  
1
0 1 
Pela alínea 5.1., det A  2  1  6  4 .
1
1
1 
 2  2  2   2
2
2 

1
1 
 3
5 .
1
Assim, A 1 
Adj ( A) 

3
1
5




4
4
 4 
det( A)
 4
 3 1
1   3
1
1 
4
4
 4
5.4.
det  A 2 B 1    det A 2 B 1    det 2  A 
2  6
1
1
2
  2  6 

det B  C. A.
3
3
2
Cálculo auxiliar:
 1 1 1
B   1 2 3
 1  1 0
detB  1 2  0  1  1  1  1 3  1  1 2  1   1  3   1  1 1 0  3
6.1.
1 0 0  x   x 
 f  f  0 1 0  y    y   f
0 0 1  z   z 
2
6.2.
x  0

f x, y, z   0   y  0  0,0,0 é ponto crítico.
z  0

1 0 0
 2 f 0,0,0  0 1 0  matriz definida positiva
0 0 1
 f 0,0,0 é mínimo local.
6.3.1.
f f

x y
0
g x, y   
h(t )dt  
x y
0
h(t )dt
Pela Regra de Leibniz:
hx  y   1 hx  y 
g x, y   


hx  y   1 hx  y 
h1 1
Assim, como h1  1, g 1,0       .
h1 1
6.3.2.
Como g 1,0  1,1  0,0 , o ponto 1,0 não é ponto crítico, logo não é maximizante.
Ou seja, a afirmação é falsa.