GAVARITO P1, FUNDAMENTOS DA MATEM´ATICA, MA 148 30/04

GAVARITO P1, FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA, MA 148
30/04/2013
1. Seja n um número natural. Deduzir uma fórmula para a somatoria
n
X
Sn =
x(x + 1)(x + 2) ,
x=1
e logo provar sua resposta por Indução Matemática.
P
P
P
P
Temos Sn = nx=1 (x3 + 3x2 + 2x) = nx=1 x3 + 3 nx=1 x2 + 2 nx=1 x. Logo
n2 (n + 1)2
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)
+3
+2
4
6
2
isto é, Sn = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/4. Agora vejamos que esta fórmula é verdadeira por
indução. Se n = 1, S1 = 6 = 1 · 2 · 3. Suponhamos que a fórmula é certa para n = k.
Temos que
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
Sk+1 = Sk + (k + 1)(k + 2)(k + 3) =
+ (k + 1)(k + 2)(k + 3)
4
ou seja Sk+1 = (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)/4 o que mostra que a fórmula é certa para
n = k + 1.
Sn =
2. Provar que não existem números inteiros m e n tais que
m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4) = n4 + 5n + 1 .
(Sugestão: Trabalhar em Z5 .)
Suponhamos que tais n, m existem. Sejam Am = m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4) e
Bn = n4 + 5n + 1. Em Z5 , Ām = 0̄ e B̄n = n̄4 + 1̄. Se n̄ = 0̄, B̄n = 1̄ e se n̄ 6= 0̄,
B̄n = 1̄ + 1̄ = 2̄. Logo não poremos ter Am = Bn .
3. Existem inteiros x e y tais que 5x2 − 7y 2 = 1? (Sugestao: Trabalhe em Z5 ou Z7 .)
Suponhamos que tais inteiros x, y existem. Logo em Z5
5x2 − 7y 2 = 1̄
e logo −7y 2 = 1̄, ou seja 2̄ȳ 2 = 1̄. Mas 2̄ȳ 2 ∈ {0̄, 2̄, 3̄}, assem tais x, y nao podem existir.
4. Seja N = an 10n + an−1 10n−1 + . . . + a1 10 + a0 , onde n é um número natural e cada ai é
inteiro. Provar que N é múltiplo de 3 se e somente se an + an−1 + . . . + a1 + a0 é múltiplo
de 3.
Por definição, um número inteiro α é multiplo de 3 se e somente se ᾱ = 0̄ em Z3 . Agora
2
3
observamos que em Z3 , 10 = 1̄ e logo 10 = 1̄, 10 = 1̄, ...Pelo tanto em Z3
N̄ = ān + ān−1 + . . . + ā1 + ā0 = an + an−1 + . . . + a1 + a0
1
2
e segue a prova.
5. Seja A um conjunto provisto de dois operações binarias internas a+b e a·b. Suponhamos
que se satisfazem as seguinte propriedade:
(a)
(b)
(c)
(d)
A operação + é associativa;
Existe 0 ∈ A tal que a + 0 = a para todo a ∈ A;
Para cada a ∈ A existe b ∈ A tal que a + b = 0;
Temos a · (b + c) = a · b + a · c para todo a, b, c ∈ A.
(i) Provar que a · 0 = 0 para tudo a ∈ A;
(ii) Se A tem elemento neutro ao respeito de ·, denotado por 1, e se A tem pelo menos
dois elementos, provar que 0 6= 1.
(i) Temos a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 (usamos (b) e (d)). Agora por (c) temos que
existe b com a · 0 + b = 0. Logo
a · 0 + b = (a · 0 + a · 0) + b = a · 0 + (a · 0 + b)
por (a). Logo 0 = a · 0 + 0 = a · 0.
(ii) Seja a ∈ A. Logo a = a · 1. Se 1 = 0, teriamos a = a · 1 = a · 0 ou seja a = 0 por a
parte (i); isto é teriamos que A = {0} o que não é possivel pois A tem pelo menos dois
elementos.