Modelos e Simulações de Dispositivos - Poli Monografias

Modelos e Simulações de Dispositivos Semicondutores
Felipe Senra Ribeiro
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Eletrônica e de Computação da
Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Engenheiro.
Orientador: Mario Vaz da Silva Filho
Coorientador: Antônio Carneiro de Mesquita Filho
Rio de Janeiro
Março de 2015
Modelos e Simulações de Dispositivos Semicondutores
Felipe Senra Ribeiro
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA ELETRÔNICA E DE COMPUTAÇÃO DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO ELETRÔNICO
E DE COMPUTAÇÃO
Autor:
Felipe Senra Ribeiro
Orientador:
Prof. Antônio Carneiro de Mesquita Filho, Dr.d’État.
Orientador:
Prof. Mario Vaz da Silva Filho, D. Sc.
Examinador:
Prof. Carlos Fernando Teodósio Soares, D. Sc.
Examinador:
Prof. Fernando Antônio Pinto Barúqui, D. Sc.
Rio de Janeiro,RJ - BRASIL
Março de 2015
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Escola Politécnica - Departamento de Eletrônica e de Computação
Centro de Tecnologia, bloco H, sala H-217, Cidade Universitária
Rio de Janeiro - RJ CEP 21949-900
Este exemplar é de propriedade da Universidade Federal do Rio de Janeiro, que
poderá incluí-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar
qualquer forma de arquivamento.
É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha
a ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidade
comercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es).
iii
AGRADECIMENTO
Dedico este trabalho aos diversos professores que me ajudaram na minha formação.
iv
RESUMO
Nesse trabalho estudamos as bases teóricas de funcionamento dos dispositivos
semicondutores, apresentamos modelos e métodos de simulação desses dispositivos, afim de
simular diversos dispositivos como diodos e transistores bipolar e MOSFET; só utilizando
informações geométricas e físicas do problema.
Palavras-Chave: TCAD, Equações de Deriva-Difusão, Modelagem de Semicondutor, WENO.
v
ABSTRACT
In this work we present an overview of the physics of semiconductor devices. We
present models and methods for simulation of these devices, with the objective to simulate
devices such diodes and transistos; only using geometrical and physical information.
Key-words: TCAD, Drift-Diffusion, Semiconductor Modeling, WENO.
vi
SIGLAS
UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro
EDP - Equações Diferenciais Parciais
MOSFET - Metal Oxide Semicondutor Field Effect Transistor
MESFET - Metal Semicondutor Field Effect Transistor
TCAD - Technology Computer Aided Design
LDD - Light Doped Drain
WENO - Weighted Essentially Non-Oscillatory
JARVIS - Just A Rather Very Intelligent System
SPICE - Simulated Program with Integrated Circuits Emphasis
LDU - Lower-Diagonal-Upper
MVC - Model-View-Controller
SHR - Shockley-Hall-Read
CCD - Charge-Coupled Device
FEM - Finite Element Method
∆f - Laplaciano de f
∇f - Divergente de f
D
- Derivada Total
Dt
∂
- Derivada Parcial
∂x
∂Ω - Bordo da região Omega
vii
FICHA CATALOGRÁFICA
Ribeiro, Felipe Senra
Modelos e Simulações de Dispositivos Semicondutores
/ Felipe Senra Ribeiro. – Rio de Janeiro:UFRJ / Escola Politécnica,2015
X, 85 p.: il.
Orientador: Mario Vaz da Silva Filho
Co-orientador: Antônio Carneiro de Mesquita Filho
Projeto Final– UFRJ/POLI/ Engenharia Eletrônica e de Computação, 2015
Bibliografia: p. 83-84
1. Microeletrônica 2. Simulação.
I. Silva Filho, Mario Vaz da et al
Mesquita Filho, Antônio Carneiro de
II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Engenharia Eletrônica e de Computação
III. Titulo
viii
Sumário
Lista de ilustrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
Lista de tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
1 Introdução . . . . . . . . . .
1.1 Tema . . . . . . . . . . .
1.2 Delimitação . . . . . . .
1.3 Justificativa . . . . . . .
1.4 Objetivos . . . . . . . .
1.5 Metodologia . . . . . . .
1.6 Descrição . . . . . . . .
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2 Física de Semicondutores . . . .
2.1 Equação de Boltzmann . . . .
2.1.1 Ponto Material . . . .
2.2 A Rede Cristalina . . . . . .
2.2.1 Muitas partículas . . .
2.3 Modelo Bipolar de Boltzmann
2.3.1 Colisões . . . . . . . .
2.3.2 Condições de fronteira
2.3.3 Teorema de Boltzmann
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3 Modelos Determinísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Método do Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Modelo Hidrodinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Mobilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Expansão de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Modelo Deriva-Difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Mobilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Mudanças de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.1 Formulação Natural . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.2 Formulação Quasi-Fermi . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.3 Formulação Slotboom . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Modelos Recombinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Recombinação de Ionização por Impacto . . . . . . . . . . .
3.4.2 Recombinação de Auger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Microeletrônica Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Método de Monte Carlo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Convergência do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Técnicas de Redução de Variância . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2.1 Domínio de Rejeição . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2.2 Transformação Conforme . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2.3 Monte Carlo de uma partícula . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2.4 Ensemble estatístico de Monte Carlo . . . . . . . . . .
4.1.2.5 Ensemble estatístico de Monte Carlo Auto-consistente
4.1.2.6 Seleção aleatória de vôo . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2.7 Full-Band Monte Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Exemplos de Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3.1
Damocles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3.2 MOCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Fluxo do simulador de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Métodos Determinísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Método Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1.1 PADRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1.2 FIELDAY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Métodos de Diferenças Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2.1 Resolvendo Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2.2 Esquema Scharfetter-Gummel . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2.3 Iteração de Gummel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2.4 Método Weno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 O Simulador . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 O simulador . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Projeto do Simulador . . . . .
5.2 Mapas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Transformações de Variáveis . .
5.2.1.1 Mudança de Escala . .
5.2.1.2 Mudança de variáveis
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3.4.3 Recombinação de SHR . . . .
3.4.4 Recombinação de fóton . . .
Condições de Fronteira . . . . . . . .
3.5.1 Contato Ôhmico . . . . . . .
3.5.2 Contato Schottky . . . . . .
3.5.3 Contato Óxido-Semicondutor
Exemplo: Modelo MOSFET. . . . . .
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5.2.1.3 Variáveis simétricas . . . . . . . .
5.3 Recombinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 WENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Implementação da Condição de Dirichlet .
5.5.2 Implementação da Condição de Base . . .
5.5.3 Implementação da Condição de Neumman
5.5.4 Implementação da Condição de Óxido . .
5.6 Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Método de Elementos Finitos . . . . . . . . . . .
5.10 Interface Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Utilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Evolução no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Resultados . . . . . . . . . .
6.1 Introdução . . . . . . . .
6.2 Diodo 1D . . . . . . . .
6.3 Diodo PIN . . . . . . . .
6.4 Transistor Bipolar 1-d .
6.5 Diodo 2D . . . . . . . .
6.6 Transistor MOSFET . .
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7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
xi
Lista de ilustrações
Figura
Figura
Figura
Figura
1
2
3
4
–
–
–
–
Superfície de Fermi do Silício [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]
Orientações do cristal [Setyawan e Curtarolo 2010] . . . . . . . . .
Diagrama Energia-k [Setyawan e Curtarolo 2010] . . . . . . . . . .
Condição de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 15
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
5
6
7
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9
–
–
–
–
–
Recombinação de Ionização por Impacto
Recombinação Auger . . . . . . . . . . .
Recombinação SHR . . . . . . . . . . . .
Recombinação Fóton . . . . . . . . . . .
Geometria do MOSFET . . . . . . . . .
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
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15
– Exemplo de Monte Carlo . . . . . . . . . .
– MOCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Fluxograma do Simulador de Monte Carlo
– Função Base . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Iteração de Gummel . . . . . . . . . . . .
– Esquema WENO . . . . . . . . . . . . . .
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33
36
37
39
43
44
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
– Modelo MVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Diagrama dos módulos do Simulador . . . . . . .
– Diagrama do módulo Mapas . . . . . . . . . . . .
– Diagrama do módulo das Recombinações . . . . .
– Diagrama do módulo WENO . . . . . . . . . . .
– Diagrama do módulo das Condições de Fronteira
– Diagrama do módulo Poisson . . . . . . . . . . .
– Diagrama de módulo Álgebra Linear . . . . . . .
– Típica matriz esparsa . . . . . . . . . . . . . . . .
– Diagrama de módulo de Modelos . . . . . . . . .
– Diagrama de Modulo de Elementos Finitos . . . .
– Diagrama de módulo de Interface Gráfica . . . .
– Diagrama do Modulo de Utilidades . . . . . . . .
– Diagrama do módulo Time-Stepper . . . . . . . .
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47
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51
51
52
53
53
54
56
56
57
57
58
Figura
Figura
Figura
Figura
30
32
34
36
– Diodo PN . . . . . . . .
– Diodo PIN . . . . . . .
– Transistor Bipolar NPN
– Diodo PN 2D . . . . . .
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. 60
. 61
. 62
. 63
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Figura 38 – Transistor MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Figura 40 – Transistor MOSFET dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
xiii
xiv
Lista de tabelas
Tabela
Tabela
Tabela
Tabela
1
2
3
4
–
–
–
–
Tabela
Tabela
Tabela
Tabela
de
de
de
de
Coeficientes de Mobilidade .
coeficientes da recombinação
coeficientes da recombinação
coeficientes da recombinação
. . . . . . . . . . . . . . .
de ionização por impacto
Auger . . . . . . . . . . .
SHR . . . . . . . . . . . .
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23
27
27
28
Tabela 5 – Tabela de Propriedades do Silício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Tabela 6 – Tabela de Mudanças de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1
1 Introdução
1.1 Tema
Nesse trabalho estudamos as bases teóricas de funcionamento dos dispositivos
semicondutores, apresentamos modelos e métodos de simulação desses dispositivos, dos
quais escolhemos um, o método WENO, para implementar e aplicar em um caso específico
de interesse, o transistor MOSFET.
1.2 Delimitação
Estudaremos os modelos em equações diferenciais parciais que regem dispositivos,
evitando os aspectos de existência e focando mais na modelagem das equações e dos
dispositivos. Na parte computacional, expomos como funcionam as principais técnicas de
simulação, os métodos de Monte Carlo, elementos finitos e diferenças finitas. Apresentaremos os resultados do simulador feito neste trabalho e os aprendizados na construção
deste.
Deixamos para trabalhos futuros diversos assuntos, desde questões teóricas como
existência e unicidade das soluções, indo pelos efeitos dos processos de geração de calor
do dispositivo, efeitos de tunelamento e processos de fabricação, até simulação de outros
dispositivos, como tiristor e CCD.
1.3 Justificativa
O desenvolvimento tecnológico da eletrônica nos últimos 50 anos foi singular, nunca
antes na humanidade fora visto um surgimento de tantas novas tecnologias ao mesmo
tempo. Muito se deve ao fato de que a engenharia criou um processo de desenvolvimento
baseado em projeto-simulação-experimentação. A simulação, a mais nova destes três
irmãos, alavancou este boom tecnológico, devido à possibilidade de testar em simulações
as hipóteses para novos dispositivos, o que gerou uma grande economia para o projeto em
geral.
1.4 Objetivos
Os principais objetivos deste trabalho são a compreensão dos modelos e métodos
computacionais, a fim de implementá-los e obter resultados que sejam fidedignos à realidade.
Capítulo 1. Introdução
2
1.5 Metodologia
A metodologia aplicada foi primeiramente o entendimento das equações que regem
os dispositivos, para assim usarmos este conhecimento mais adiante nos métodos computacionais. Em uma segunda etapa, estudamos os métodos numéricos para a simulação,
expondo aspectos de implementação e aspectos de convergência. Por último faremos uma
análise das simulações com a realidade de forma comparativa.
1.6 Descrição
O trabalho está dividido em três partes. A primeira parte trata das bases teóricas
da Física de Semicondutores, apresentando de forma mais concisa e completa possível os
aspectos físicos e matemáticos, se iniciando no Capítulo 1 com os modelos baseados em
partículas, e terminando no Capítulo 2, nos modelos mais simples como o de deriva-difusão
e o hidrodinâmico. Nestes capítulos há uma ênfase no desenvolvimento das equações, das
quais, muitas das contas desse desenvolvimento podem ser omitidas numa primeira leitura.
A segunda parte desse trabalho se inicia no terceiro capítulo, onde são descritos
os métodos numéricos e técnicas de simulação usados neste trabalho, e finda no quarto
capítulo, com a apresentação do Método WENO e seu uso na simulação de dispositivos
semicondutores.
Terceira parte deste trabalho começa com o Capítulo 5, onde são apresentados
os estudos de caso, mostrando os resultados para diversos dispositivos. Na conclusão,
que se dá no Capítulo 6, são analisados os resultados obtidos e são propostas formas de
continuação deste trabalho.
3
2 Física de Semicondutores
Neste capítulo os processos dinâmicos da geração, recombinação, armazenamento e
transporte de cargas elétricas em semicondutores são descritos, usando a chamada teoria
semi-clássica, com um equacionamento derivado da mecânica quântica. Este capítulo é
baseado em Markowich, Ringhofer e Schmeiser 1990.
2.1 Equação de Boltzmann
A teoria cinética que rege a geração, recombinação, armazenamento e transporte de
elétrons em semicondutores será apresentada neste capítulo, inicialmente pelas equações
de dinâmica sem colisões entre elétrons, usando resultados das mecânicas clássica e
quântica. Após, incluiremos as interações dos elétrons com o cristal, usando a solução da
equação de Schrödinger. Seguiremos incluindo o efeito dos campos elétricos internos e
externos, usando a equação de Poisson. Finalmente incluiremos as colisões entre elétrons e
o cristal e chegaremos na equação de Boltzmann que usaremos nos algoritmos de simulação.
Terminaremos este capítulo discutindo as condições de fronteira e inicial, e o Teorema-H,
resultado essencial para existência de solução [Poupaud 1990] [Rossani 2002].
2.1.1
Ponto Material
Primeiro vamos considerar uma única partícula material, usando uma função de
distribuição de matéria ρ, indicadora de onde está a partícula. Esta função dependente
do tempo, posição e velocidade. O valor dessa função de densidade de probabilidade na
mecânica quântica varia entre 0 e 1, e na mecânica clássica é o delta de Kronecker, de
valor 1 no ponto <3 ⊗ <3 que define a posição e a velocidade da partícula e 0 em todos os
demais pontos.
ρ(t, x, v) : <+ ⊗ <3 ⊗ <3 → <
(t, x, v) → ρ(t, x, v)
(2.1)
(2.2)
Se nenhuma partícula for adicionada ou removida do sistema, implica que a derivada
de ρ, a densidade de partículas, em relação ao tempo será igual a zero. Assim aplicando a
derivada em relação ao tempo e, pelo fato de que há uma dependência da posição e da
velocidade no tempo, que implica no uso da regra da cadeia, resultará na equação abaixo.
Neste caso, considerando a posição e a velocidade da partícula dependentes do tempo,
mas não uma da outra, tem-se que :
Capítulo 2. Física de Semicondutores
4
Dρ(t, x, v)
∂ρ(t, x, v) ∂x
∂v
=
+
· ∇x ρ(t, x, v) +
· ∇v ρ(t, x, v) = 0
Dt
∂t
∂t
∂t
(2.3)
Associando a velocidade da partícula com sua posição, considerando a energia
conservada (constante) e utilizando a teoria da mecânica clássica, tem-se que a energia da
partícula é dada por [Kibble e Frank 2004]:
H(t, x, v) = m
v2
+ U (t, x)
2
(2.4)
2
Onde U(t,x) é a função potencial, m v2 é a energia cinética. Derivando em relação
ao tempo temos:
DH(t, x, v)
∂H(t, x, v) ∂x
∂v
=
+
· ∇x H(t, x, v) +
· ∇v H(t, x, v) = 0
Dt
∂t
∂t
∂t
∂U (t, x) ∂x
∂v
=
+
· ∇x U (t, x) +
· mv = 0
∂t
∂t
∂t
∂x
∂v
∂U (t, x)
=
· ∇x U (t, x) +
· mv
−
∂t
∂t
∂t
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Assumindo que não há influência externa e que o campo seja estático, então U não
depende do tempo, e tem-se que:
∇x U (t, x) = −
Onde:
∂v
m
∂t
∂x
=v
∂t
(2.8)
(2.9)
Como resultado, a equação de Liouville será dada por:
∂ρ(t, x, v)
∇x U (t, x)
Dρ(t, x, v)
=
+ v · ∇x ρ(t, x, v) −
· ∇v ρ(t, x, v) = 0
Dt
∂t
m
(2.10)
Por esta equação, a posição da partícula só depende das condições iniciais e das
forças que agem sobre a partícula. Para isso devemos lembrar de alguns exemplos de
energias da mecânica clássica, abaixo mostrado, onde G é a constante da gravidade, v
é a velocidade, x é a posição, A é vetor potencial eletromagnético e U potencial escalar
eletromagnético, m1 e m2 são as massas de dois corpos e m é a massa de uma partícula.
v 2 Gm1 m2
+
2
|x|
(v − A(x, t))2
=m
− U (x, t)
2
H(t, x, v)Gravidade = m
H(t, x, v)Elétrica
(2.11)
(2.12)
Capítulo 2. Física de Semicondutores
5
U (t, x, v)Gravidade =
Gm1 m2
|x|
U (t, x, v)Elétrica = A · v + U (x, t)
(2.13)
(2.14)
As mesmas deduções podem ser repetidas para a mecânica quântica, lembrando
alguns postulados:
• Principio de exclusão de Pauli: Não pode haver ocupação de um estado quântico por
mais de uma partícula.
• Principio de incerteza de Heisenberg: Não é possível saber a posição e o momento de
uma partícula ao mesmo tempo.
∆x∆p ≥
~
2
(2.15)
Usando a definição do hamiltoniano para mecânica quântica, onde ϕ é a função de
onda e ~ é a constante reduzida de Planck [L.D. 2006].
~2
∆ϕ + U (t, x)ϕ
2m
−i~∂t ϕ = H(t, x, v)ϕ = Eϕ
H(t, x, v)ϕ = −
(2.16)
(2.17)
Derivando em relação ao tempo temos:
∂H(t, x, v) ∂x
∂v
DH(t, x, v)
=
+
· ∇x H(t, x, v) +
· ∇v H(t, x, v) = 0
Dt
∂t
∂t
∂t
∂U (t, x) ∂x
∂v
+
· ∇x U (t, x)ϕ +
· (−~i∇ϕ) = 0
∂t
∂t
∂t
∂U (t, x)
∂x
∂v
−
=
· ∇x U (t, x)ϕ +
· (−~i∇ϕ)
∂t
∂t
∂t
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Supomos que U não depende do tempo e que não sofre influências externas. Logo,
temos que:
∂v
∇x U (t, x)ϕ = − (~)
(2.21)
∂t
Onde :
∂x
=v
∂t
(2.22)
Repetindo o mesmo argumento que usamos para chegar na equação 2.12, usando a
equação 2.5, obtemos a equação de Liouville referente a mecânica quântica, dada por:
Dρ(t, x, v)
∂ρ(t, x, v)
∇x U (t, x)
=
+ v · ∇x ρ(t, x, v) −
· ∇v ρ(t, x, v) = 0
Dt
∂t
~
(2.23)
Capítulo 2. Física de Semicondutores
6
Assim vemos que a posição da partícula só depende das condições iniciais e das
forças que agem sobre ela. Para isso devemos lembrar de alguns exemplos de energias da
mecânica quântica, abaixo mostrado, onde H é a função de Heaviside, v é a velocidade, x
é a posição, ω é a frequência angular do oscilador , V0 Potencial do poço e m é massa da
partícula.
U (x)Harmônico
mω 2 x2
=
2
U (x)Poço = V0 (Ĥ(x) − Ĥ(x − a))
(2.24)
(2.25)
Devemos lembrar agora que a derivada é dada por um limite da diferença entre
um passo posterior e o passo atual e que, além disso, as partículas que colidem num certo
momento alteraram a dinâmica das partículas dentro de uma região pequena. Logo, a
derivada deixa de ser zero nestas pequenas regiões, o que implica num operador de colisão,
o que leva à equação abaixo:
Dρ(t, x(t), v(t))
ρ(t + ∆t, x(t), v(t)) − ρ(t, x(t), v(t))
∂ρ(t, x, v)
∇x U (t, x)
=
=
+ v · ∇x ρ(t, x, v) −
· ∇v ρ(t, x, v) =
Dt
∆t
∂t
~
(2.26)
Dρ(t, x, v) Dt
colisão
O operador de colisão será renomeado para Q(ρ), e na seção 2.3.1 será discutido
sobre o operador colisão. Assim obtemos a equação de Boltzmann:
∂ρ(t, x, v)
∇x U (t, x)
+ v · ∇x ρ(t, x, v) −
· ∇v ρ(t, x, v) = Q(ρ)
∂t
~
(2.27)
Os resultados acima estão em (Markowich,1990, Capitulo 1) [Markowich, Ringhofer
e Schmeiser 1990]. Algumas referências para a mecânica clássica são os livros [Kibble e
Frank 2004], [Neto 2004], [Lemos 2007] e [L.D.].
Capítulo 2. Física de Semicondutores
2.2
7
A Rede Cristalina
Após a discussão sobre a dinâmica de uma partícula, devemos considerar os efeitos
da rede cristalina sobre essas partículas. Para isso vamos considerar que o potencial da
rede cristalina seja periódico, já que a rede em si é periódica. Assim, vamos enunciar um
teorema que carateriza a solução da equação de Schrödinger, onde k é vetor de onda do
cristal e j é o índice de energia do cristal. [Blakemore 2002]
Teorema 2.2.1. (Teorema de Bloch):Toda solução da equação de Schrödinger com um
potencial periódico pode ser expresso da seguinte forma
ϕj (x) = eik·x ukj (x)
(2.28)
Agora que temos o teorema de Bloch, podemos definir a superfície de energia
constante de uma rede cristalina, conhecida como a superfície de Fermi. Esta possui
informações sobre o comportamento do elétron e do buraco no cristal, como a velocidade
e massa efetiva do elétron e do buraco.
Figura 1 – Superfície de Fermi do Silício [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]
Supondo uma banda de energia parabólica, as expressões para velocidade e massa
efetiva são:
~2 k 2
E(k) =
2mef f
~2
mef f = ∂ 2 E(k)
(2.29)
(2.30)
∂k2
v=
∇k E(k)
~
(2.31)
Capítulo 2. Física de Semicondutores
8
Devemos ressaltar que a estrutura do cristal, seja face-centrada ou outro tipo, afeta
o comportamento dos elétrons e buracos. Assim, elétrons ou buracos irão percorrer o
cristal com propriedades que dependem da orientação e de como o cristal é cortado de
forma específica para cada aplicação. Abaixo, temos duas figuras que mostram os tipos de
orientação e como a energia muda em relação às orientações.
Figura 2 – Orientações do cristal [Setyawan e Curtarolo 2010]
Figura 3 – Diagrama Energia-k [Setyawan e Curtarolo 2010]
Capítulo 2. Física de Semicondutores
9
2.2.1 Muitas partículas
Generalizando os resultados anteriores para varias partículas, a função de distribuição de matéria, para todas as partículas, ρ pode ser expressa da seguinte forma:
ρ(t, x, v) : <+ ⊗ <3n ⊗ <3n → <
(2.32)
(t, x, v) → ρ(t, x, v)
(2.33)
Derivando temos :
n
Dρ(t, x, v) X
∂ρ(t, x, v)
∇xi U (t, x)
=
+ vi · ∇xi ρ(t, x, v) −
· ∇vi ρ(t, x, v)
Dt
∂t
~
i
!
(2.34)
Sendo o campo elétrico o gradiente do potencial elétrico, pela terceira lei de Newton,
o campo elétrico induzido por uma partícula sobre outra é o mesmo em magnitude, mas
de direção oposta. Além disso, o campo exercido sobre uma partícula é a soma dos campos
de todas as partículas somado ao campo externo.
∇xi U (t, x) = E(xi , xj ) = −E(xj , xi ) = −∇xj U (t, x)
∇xi U (t, x) =
∇xj U (t, x) = −
n
X
j
n
X
(2.35)
E(xi , xj ) + Eext (xi )
(2.36)
E(xi , xj ) + Eext (xj )
(2.37)
i
Dρ(t, x, v)
=
Dt
n
n
X
∂ρ(t, x, v) X
∇xi U (t, x)
+
vi · ∇xi ρ(t, x, v) −
· ∇vi ρ(t, x, v)
∂t
~
i
i

n
n
X
Dρ(t, x, v) 
 ∂ρ(t, x, v) X
=
+
vi · ∇xi ρ(t, x, v) −

Dt
∂t
i
i
(
n
P
!

E(xi , xj ) + Eext (xi ))
j
~
(2.38)



· ∇vi ρ(t, x, v)
(2.39)
Separando os campos elétricos internos do externo, e utilizando o argumento de
que podemos calcular ρ de uma certa partícula integrando sobre todos os outros caminhos
das outras partículas. Assim, temos que :
Z
ρ(t, xi , vi ) =
ρ(t, x1 , v1 , ..., xi , vi , ..., xn , vn )dx1 dv1 ...dxi−1 dvi−1 dxi+1 dvi+1 dxn dvn
(2.40)
Capítulo 2. Física de Semicondutores
Dρ(t, x, v)
=
Dt
10
n
n
n
i
i
j
X X (E(xi , xj )
∂ρ(t, x, v) X
Eext (xi ))
+
vi · ∇xi ρ(t, x, v) −
· ∇vi ρ(t, x, v) +
· ∇vi ρ(t, x, v)
∂t
~
~
!
(2.41)
n
∂ρ(t, x, v) X
Eext (xi ))
Dρ(t, x, v)
=
+
vi · ∇xi ρ(t, x, v) −
· ∇vi ρ(t, x, v)
Dt
∂t
~
i
−
n X
n Z
X
(E(xi , xj )
i
~
j
· ∇vi ρ(t, x1 , v1 , ..., xn , vn )dx1 dv1 ...dxi−1 dvi−1 dxi+1 dvi+1 dxn dvn dx
(2.42)
n
∂ρ(t, x, v) X
Dρ(t, x, v)
Eext (xi ))
=
+
· ∇vi ρ(t, x, v)
vi · ∇xi ρ(t, x, v) −
Dt
∂t
~
i
Z
n
X
(E(xi , xj )
∇vi ·
ρ(t, x1 , v1 , ..., xi , vi , ..., xn , vn )dx1 dv1 ...dxi−1 dvi−1 dxi+1 dvi+1 dxn dvn dx
−
~
i
(2.43)
Definindo o campo efetivo como a soma dos campos externo e interno. Assim
obtemos que a equação de Liouville serve para muitas partículas:
Z
Eef f =
(E(xi , xj )ρ(t, x1 , v1 , ..., xi , vi , ..., xn , vn )dx1 dv1 ...dxi−1 dvi−1 dxi+1 dvi+1 dxn dvn dx + Eext (xi ))
(2.44)
Dρ(t, x, v)
=
Dt
∂ρ(t, x, v)
Eef f (t, xi )
+ vi · ∇xi ρ(t, x, v) −
· ∇vi ρ(t, x, v) = 0
∂t
~
(2.45)
Calculando o divergente do campo elétrico efetivo e aplicando a Teoria Eletromagnética, chegamos na equação de Poisson, onde n é a concentração de elétrons e C é a
concentração de Dopantes:
q
∇ · Eef f = ∇ · Eext − n
(2.46)
q
−∆φef f = −∆φext − n
(2.47)
q
∇ · Eext = C
(2.48)
Capítulo 2. Física de Semicondutores
11
∆φef f = −
q(C − n)
(2.49)
Supondo que a função ρ pode ser escrita como produto de funções de densidade
para cada partícula, como definida no começo deste capítulo, temos:
ρ(t, x, v) = Πdi Pi (t, xi , vi )
(2.50)
!
n
n
X
∂Πdi Pi (t, xi , vi ) X
∇
U
(t,
x)
x
i
+
· ∇vi Πdi Pi (t, xi , vi )
vi · ∇xi Πdi Pi (t, xi , vi ) −
∂t
~
i
i
(2.51)
Dρ(t, x, v)
=
Dt
Aplicando nesta expressão a regra do produto da derivada e colocando termos em
evidência, temos:
n
n
∂Pj (t, xj , vj ) X
Dρ(t, x, v) X
Πnj6=i (Pj (t, xj , vj ))
Πnj6=i Pj (t, xj , vj )vi · ∇xi Pi (t, xi , vi )
=
+
Dt
∂t
i
i
−
n
X
i
Πnj6=i Pj (t, xj , vj )
∇xi U (t, x)
· ∇vi Pi (t, xi , vi )
~
(2.52)
Dρ(t, x, v)
=
Dt
n
X
i
∂Pj (t, xj , vj )
Πnj6=i (Pj (t, xj , vj )(
∂t
!
∇xi U (t, x)
+ vi · ∇xi Pi (t, xi , vi ) −
· ∇vi Pi (t, xi , vi )
~
(2.53)
Assim, temos a equação de Liouville para cada partícula. Substituindo pela derivada
total de cada partícula, achamos a regra da derivada do produto.
n
X
Dρ(t, x, v)
DPi (t, x, v)
=
Πnj6=i (Pj (t, xj , vj ))
Dt
Dt
i
!
(2.54)
Capítulo 2. Física de Semicondutores
12
2.3 Modelo Bipolar de Boltzmann
Tipicamente num semicondutor intrínseco, um elétron de valência quando está
na banda de condução leva a uma ausência de carga em alguma ligação da estrutura
cristalina. Logo deveria existir elemento correspondente na banda de valência para que
a quantidade de carga seja equilibrada e esse elemento é o buraco. Assim podemos usar
a mesma análise que deduzimos acima, para derivar um par de equações de Boltzmann,
para cada partícula. Nos materiais semicondutores extrínsecos, temos que há um excesso
de buracos ou elétrons, dependendo do dopante. Ainda deve-se adicionar a equação de
Poisson ao sistema, para preservar o equilíbrio de cargas do sistema como em 2.49, mas
separando a concentração n em duas partes, uma positiva(p) e outra negativa(n).
∂ρn (t, x, v)
∇x Un (t, x)
+ vn · ∇x ρn (t, x, v) −
· ∇vn ρn (t, x, v) = Q(ρn )
∂t
~
(2.55)
∇x U (t, x)
∂ρp (t, x, v)
− v · ∇x ρ(t, x, v) −
· ∇v ρ(t, x, v) = Q(ρp )
∂t
~
(2.56)
∆φef f = −
q(C − n + p)
(2.57)
Dado o sistema acima, não haverá interação entre os elétrons e buracos (somente
terá interação entre elétron/buraco e a rede cristalina). Assim, deve-se adicionar às equações
os operadores de colisão que vão atrelar as duas partículas, In (ρn , ρp ) e In (ρn , ρn ).
∇x Un (t, x)
∂ρn (t, x, v)
+ vn · ∇x ρn (t, x, v) −
· ∇vn ρn (t, x, v) = Q(ρn ) + In (ρn , ρp ) (2.58)
∂t
~
∂ρp (t, x, v)
∇x U (t, x)
+ v · ∇x ρ(t, x, v) −
· ∇v ρ(t, x, v) = Q(ρp ) + Ip (ρn , ρp )
∂t
~
(2.59)
2.3.1 Colisões
Estudaremos os efeitos de colisão no modelo. Para isso, considere que o conjunto
de partículas livres esteja dentro de uma região limitada, como exemplo, uma caixa. Essas
partículas irão interagir umas com as outras, mas é necessário supor algumas hipóteses
simplificadoras:
• Caos Molecular: Onde a velocidade de uma partícula não depende da velocidades e
da posição das outras partículas.
Capítulo 2. Física de Semicondutores
13
• Interações Binárias e Ternárias: Onde se considera que os processos predominantes
serão colisões de partículas binárias e ternárias dentro da região, onde teremos uma
nuvem de gás de elétrons diluídos.
• Taxa de Dispersão: No tempo médio de interação, as forças predominantes são as
forças de interação entre partículas.
• Variação limitada: ρ deve variar muito pouco entre o tempo médio de colisão e o
tempo médio de partícula livre.
Então, temos que a probabilidade de mudar o estado k → k 0 é dada pela probabilidade de estar no estado k 0 , vezes a probabilidade de não estar no estado k, vezes a razão
de espalhamento s:
P (x, k → k 0 , t) = s(x, k 0 , k)f (x, k 0 , t)(1 − f (x, k, t))
(2.60)
E temos que o operador de colisão é dado pela diferença entre a probabilidade de
sair do estado k e ir para o estado k’ e a probabilidade de sair do estado k’ e ir para o
estado k. Considerando todos os estados para ter a solução, e isso se torna uma soma de
todos os estado, e que quando passamos o limite da diferença dos estados para zero se
tem a integral sobre todos os estados.
0
Q(f ) = P (x, k → k 0 , t) − P (x, k 0 → k, t)
Q(f ) = lim
X
Q(f ) = lim
X
∆k→0
∆k→0
Q(f ) =
Q(f ) =
0
(2.61)
Q(f ) ∆k
(2.62)
(P (x, k → k 0 , t) − P (x, k 0 → k, t))∆k
(2.63)
Z
(P (x, k → k 0 , t) − P (x, k 0 → k, t))dk
Z
(s(x, k 0 , k)f (x, k 0 , t)(1 − f (x, k, t)) − s(x, k, k 0 )f (x, k, t)(1 − f (x, k 0 , t)))dk
(2.64)
(2.65)
Os principais tipos de mecanismos de colisão são:
- Colisão da rede: Na temperatura de zero absoluto, os átomos na estrutura cristalina
vibram em torno do seu equilíbrio fixo. Estas vibrações são quantizadas e denominadas de
fônons. Pode-se diferenciar os fônons em acústicos e ópticos. Fônons acústicos surgem de
deslocamentos de átomos da estrutura no mesmo sentido, tais como ondas de som. Fônons
ópticos descrevem deslocamentos no vector de onda pela interação com a luz.
- Colisão de Impurezas: No processo de dopagem, são adicionados átomos que
forneceram elétrons ou buracos para a rede cristalina, que alteram a estrutura da rede
cristalina. Essas alterações acarretam no aumento de colisões e na maior dependência das
colisões pela temperatura.
Capítulo 2. Física de Semicondutores
14
- Colisão de Portadores: A influência das interações elétron-elétron sobre a dinâmica
de transporte é mais pronunciada em semicondutores degenerados.
Agora podemos escrever o sistema de equações por completo, uma vez que temos a
expressão para o operador de colisão e relacionamos todas as equações entre si.


 ∂ρ(t,x,v) + v · ∇x ρ(t, x, v) − ∇x U (t,x)

∂t
~


ZZZ


s(x, v, v 0 )(ρ(t, x, v) ∗ (1 − ρ(t, x0 , v 0 )) − s(x, v 0 , v)ρ(t, x0 , v 0 ) ∗ (1 − ρ(t, x, v)))dv 0
Q(ρ) =






∆U
· ∇v ρ(t, x, v) = Q(ρ)
B
ef f
= − q(C−n)
(2.66)
Podemos ainda achar os operadores de colisão do modelo bipolar. Primeiro, considerando a probabilidade do elétron mudar de estado, k 0 → k ,que é dada pela probabilidade
do elétron estar no estado k 0 , vezes as probabilidades do buraco estar no estado k, vezes a
razão de espalhamento r(x, k 0 , t). O mesmo pode ser feito para os buracos, só tomando as
probabilidades de não estarem no estado vezes razão de espalhamento q(x, k 0 , t).
Pp (x, k → k 0 , t) = q(x, k 0 , t)(1 − ρn (x, k 0 , t))(1 − ρp (x, k, t))
(2.67)
Pn (x, k → k 0 , t) = r(x, k 0 , t)ρn (x, k 0 , t)ρp (x, k, t)
(2.68)
E temos que o operador de colisão entre portadoras para o buraco é dado pela
diferença entre a probabilidade do buraco mudar de estado k 0 → k e a probabilidade
do elétron mudar de estado k 0 → k. Devemos considerar todos os estados, somando as
probabilidades de todos; e supondo que se dá um peso ∆k para cada mudança, podemos
aplicar o processo de limite para achar uma integral sobre todos os estados.
0
Ip (ρn , ρp ) = Pp (x, k → k 0 , t) − Pn (x, k 0 → k, t)
Ip (ρn , ρp ) = lim
∆k→0
Ip (ρn , ρp ) =
Ip (ρn , ρp ) =
Z
Z
X
0
Ip (ρn , ρp )∆k
(2.70)
(Pp (x, k → k 0 , t) − Pn (x, k 0 → k, t))∆k
(2.71)
∆k→0
Ip (ρn , ρp ) = lim
X
(2.69)
(Pp (x, k → k 0 , t) − Pn (x, k 0 → k, t))dk
(2.72)
(q(x, k 0 , t)(1 − ρn (x, k 0 , t))(1 − ρp (x, k, t)) − r(x, k 0 , t)ρn (x, k 0 , t)ρp (x, k, t))dk
(2.73)
Capítulo 2. Física de Semicondutores
15
2.3.2 Condições de fronteira
Como nosso problema envolve um sistema dinâmico em domínio limitado, devemos
agora falar sobre condições inicias e de fronteira do problema. Devemos considerar como
condição inicial algum tipo de solução estacionária do problema, primeiro devido à nãolinearidade do problema, segundo, devemos considerar que deve haver conservação de
carga, que é basicamente fazer a equação de Poisson ser respeitada.
Vamos relembrar algumas condições de fronteira das equações diferenciais parciais.
Chamamos de condição de Dirichlet, quando o valor da função é fixado sobre parte do
bordo correspondente. O significado físico dessa condição é que estamos aplicando um
potencial naquela região, ou seja em um contato.
Outra condição é a condição de Neumman, que aparece quando sabemos como
a função varia no bordo, pela derivada da função ser conhecida ou pela projeção do
gradiente da função na direção normal ao bordo. Essas condições têm como significado
físico: isolamento entre dispositivos ou contatos do tipo MOS.
Por último, vamos colocar uma condição periódica na velocidade para ficar consistente com a zona de Brillouin, ou seja, vamos dizer que ρ(t, x, k) = ρ(t, x, −k).
Figura 4 – Condição de Fronteira
Capítulo 2. Física de Semicondutores
16
2.3.3 Teorema de Boltzmann
Um resultado muito importante nesse tipo de problema é a existência de um
funcional crescente associado com as equações. Esse funcional é chamado de Entropia. Esse
resultado é chamado de Teorema H, ou Teorema de Boltzmann, mas sua demonstração
está nos seguintes artigos: [Poupaud 1990]e [Rossani 2002].
Teorema 2.3.1. (Teorema de Boltzmann):
Seja ρ uma solução para a equação de Boltzmann, considere o seguinte funcional avaliado
sobre a função ρ:
RR
ρe
−E(k)
Kb T
H(t) = B Q(ρ)(log( 1−ρ ))dxdk
Então, temos que o funcional é um funcional de Lyapunov, o que implica :
∂H(t)
≥0
∂t
Teorema 2.3.2. (Teorema de Boltzmann para o modelo bipolar):
Seja (ρn , ρp ) uma solução para a equação de Boltzmann bipolar, considere o seguinte
funcional avaliado sobre a função (ρn , ρp ):
−E(k)
−E(k)
RR
ρn e K b T
B Q(ρn )(log( 1−ρn
ρp e Kb T
B Q(ρp )(log( 1−ρp
RR
))dxdk + 2
))dxdk
H(t) =
Então, temos que o funcional de Lyapunov, o que implica:
∂H(t)
≥0
∂t
17
3 Modelos Determinísticos
Modelos com alto grau de complexidade dificultam o projeto e podem inviabilizar o processo como um todo, a menos que se façam simplificações. Nesse capítulo
veremos brevemente os modelos mais utilizados e as ideias por traz desses métodos. À luz
do Capítulo 1, vamos entender como simplificar a equação de Boltzmann, usando o método do momento para chegar nos modelos de Deriva-Difusão e Modelo Hidrodinâmico.
3.1
Método do Momento
Relembrando a teoria de probabilidade, temos que o operador momento (ou
esperança) mostra informações sobre a distribuição, como a média da distribuição e o
desvio padrão. Mas esse operador pode nos ajudar a simplificar nosso modelo, por exemplo, quando queremos descrever a evolução da média. Um caso muito parecido é a medianização, onde queremos saber como age um pêndulo simples forçado na base, que fica
oscilando em torno de um equilíbrio, como o Pêndulo de Kapitza, maiores detalhes
vide [L.D.]. Então, definimos o Momento pela equação 3.1, onde j é a ordem do momento
e Ij é o conjunto de índices.
Mj [ρ] =
ZZZ
(Πk∈Ij vk )ρ(t, x, v)dv
(3.1)
Temos como resultados da equação de Boltzmann em equilíbrio térmico que as
distribuições de Fermi-Dirac são soluções e que podem ser aproximadas por distribuições
de Maxwell. Assim, vamos multiplicar a equação de Boltzmann por uma distribuição de
Maxwell para poder simplificar o problema. O parâmetro kb é a constante de Boltzmann,
T é a temperatura, m é a massa.
F (v) = (
m 3
)2
2kb T
F (v) ≈ M (v) = (
1
1+e
−m|v|2
2kb T
2
m 3 −m|v|
) 2 e 2kb T
2kb T
(3.2)
(3.3)
Utilizando o método dos momentos para calcular o momento de ordem zero,
chegaremos na primeira equação do nosso modelo simplificado. Primeiro podemos observar que o operador colisão é igual a zero, já que ao integrar em relação a v 0 e devido a
integral ser simétrica, o resultado dará zero. Além disso, podemos observar que o termo
correspondente à derivada em relação à velocidade também desaparecerá, devido ao fato
de que o cristal é periódico.
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
ZZZ
18
∂ρ(t, x, v)
∇x U (t, x)
+ v · ∇x ρ(t, x, v) −
· ∇v ρ(t, x, v)dv =
∂t
~
(3.4)
ZZZ
φ(t, v, v 0 )(M (t, x, v) ∗ F (t, x0 , v 0 ) − M (t, x0 , v 0 ) ∗ F (t, x, v))dxdvdv 0
Ω
ZZZ
1 ∂U (t, x)
(
m
∂x
ZZZ
∂ρ(t, x, v)
dv +
∂t
ZZZ
v · ∇x ρ(t, x, v)dv −
∂ρ(t, x, v)
∂U (t, x)
dv +
∂vx
∂y
ZZZ
∇x U (t, x)
·
m
ZZZ
∂ρ(t, x, v)
∂U (t, x)
dv +
∂vy
∂z
ZZZ
ZZZ
ZZZ
∂ρ(t, x, v)
dv +
∂t
∇v ρ(t, x, v)dv = 0
(3.5)
∂ρ(t, x, v)
dv = 0
∂vz
(3.6)
∂ρ(t, x, v)
dv = ρ(t, x, v)|B = 0
∂vx
(3.7)
ZZZ
v · ∇x ρ(t, x, v)dv = 0
(3.8)
∂M 0 (x, t)
+ ∇x · M 1 (x, t) = 0
∂t
(3.9)
Calculando os momentos de primeira ordem da mesma forma acima, vamos ter
que o operador colisão não desaparecerá. Utilizando a integração por partes no termo da
velocidade, teremos que o primeiro termo é zero, devido ao fato do cristal ser periódico,
sobrando, assim, o momento de ordem zero. Por fim, temos o surgimento dos momentos
de segunda ordem, devido ao fato de que teremos uma componente da velocidade
multiplicando o vetor velocidade.
ZZZ
vk
ZZZ
∇x U (t, x)
∂ρ(t, x, v)
+ vk v · ∇x ρ(t, x, v) − vk
· ∇v ρ(t, x, v)dv =
∂t
~
(3.10)
vk φ(t, v, v 0 )(M (t, x, v) ∗ F (t, x0 , v 0 ) − M (t, x0 , v 0 ) ∗ F (t, x, v))dxdvdv 0
Ω
ZZZ
vk
∂ρ(t, x, v)
dv +
∂t
ZZZ
vk v · ∇x ρ(t, x, v)dv −
∇x U (t, x)
·
m
ZZZ
ZZZ
vk ∇v ρ(t, x, v)dv =
vQ(f )dv
(3.11)
Ω
ZZZ
ZZZ
vk ∇v ρ(t, x, v)dv = vk ρ(t, x, v)|B −
ZZZ
vk ρ(t, x, v)dv = −
ρ(t, x, v)dv
∂M 1 (x, t)
∇x U (t, x) 0
+ ∇x · M 2 (x, t) +
M (x, t) =
∂t
m
(3.12)
ZZZ
vQ(f )dv
(3.13)
Calculando os momentos de segunda ordem da mesma forma acima, vamos ter
que o operador colisão não desaparecerá. Utilizando a integração por partes no termo da
velocidade, teremos que o primeiro termo é zero devido ao fato do cristal ser periódico,
sobrando, assim, os momentos de primeira ordem. Por fim temos que o surgimento dos
momentos de terceira ordem, devido ao fato de que teremos uma componente da
velocidade multiplicando o vetor velocidade.
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
ZZZ
vk vl
ZZZ
19
∂ρ(t, x, v)
∇x U (t, x)
+ vk vl v · ∇x ρ(t, x, v) − vk vl
· ∇v ρ(t, x, v)dv =
∂t
~
(3.14)
vk vl φ(t, v, v 0 )(M (t, x, v) ∗ F (t, x0 , v 0 ) − M (t, x0 , v 0 ) ∗ F (t, x, v))dxdvdv 0
Ω
ZZZ
vk vl
∂ρ(t, x, v)
dv +
∂t
ZZZ
vk vl v · ∇x ρ(t, x, v)dv −
∇x U (t, x)
·
m
ZZZ
ZZZ
vk vl ∇v ρ(t, x, v)dv =
v ⊗ vQ(f )dv
Ω
(3.15)
ZZZ
ZZZ
vl vk ∇v ρ(t, x, v)dv = vl vk ρ(t, x, v)|B −
ZZZ
ZZZ
vk ρ(t, x, v)dv −
ZZZ
vl vk ∇v ρ(t, x, v)dv = −
vl ρ(t, x, v)dv
(3.16)
vk ρ(t, x, v)dv
(3.17)
ZZZ
vl ρ(t, x, v)dv −
∂M 2 (x, t)
∇x U (t, x)
+ ∇x · M 3 (x, t) +
⊗ M 1 (x, t) =
∂t
m
ZZZ
v ⊗ vQ(f )dv
(3.18)
Considerando os três primeiros momentos, chegamos ao seguinte sistema de
equações:
∂M 0 (x, t)
+ ∇x · M 1 (x, t) = 0
∂t
ZZZ
∂M 1 (x, t)
∇x U (t, x) 0
2
+ ∇x · M (x, t) +
M (x, t) =
vQ(f )dv
∂t
m
ZZZ
∂M 2 (x, t)
∇x U (t, x)
+ ∇x · M 3 (x, t) +
⊗ M 1 (x, t) =
v ⊗ vQ(f )dv
∂t
m
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
Será convencionado que n é a concentração de elétrons, J é a corrente de
elétrons e W é a energia dos elétrons.
n(x, t) = M 0 (x, t)
(3.23)
J(x, t) = −qM 1 (x, t)
m
W (x, t) = T r(M 2 (x, t))
2
(3.24)
(3.25)
3.2 Modelo Hidrodinâmico
Com os três primeiros momentos em conjunto à equação de Poisson, teremos
um sistema de equações diferenciais parciais. Primeiro vamos aplicar Traço na equação do
segundo momento, para podermos achar a dinâmica da energia.
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
20
∂n(x, t)
+ ∇x · J(x, t) = 0
(3.26)
∂t
−µm ZZZ
−µm ∂J(x, t)
+ µq(∇x · W (x, t) − ∇x U (t, x)n(x, t)) =
vQ(f )dv (3.27)
q
∂t
q
ZZZ
∂W (x, t) m
∇x U (t, x)
+ ∇x · T r(M 3 (x, t)) − T r(
⊗ J(x, t)) = T r(
v ⊗ vQ(f )dv)
∂t
2
2
(3.28)
∆n = q(n − C)
(3.29)
O sistema ainda não é determinado, já que a variável M 3 (x, t) não pode ser
determinada, então substituiremos essa variável pela ansatz abaixo, onde T é o tensor de
temperatura, v a velocidade, Kb a constante de Boltzmann e m é a massa efetiva.
2(vW + nKb T · v)
m
Logo a expressão final para equação é dada por:
(M 3 (x, t)) =
(3.30)
ZZZ
m
∂W (x, t)
+ ∇x · (vW + nKb T · v) − ∇x U (t, x) · J(x, t) = T r(
v ⊗ vQ(f )dv) (3.31)
∂t
2
Assim, o sistema fica determinado e pode ser escrito conforme abaixo, onde
nomeamos os operadores de colisão como energia de colisão e corrente de colisão.
∂n(x, t)
+ ∇x · J(x, t) = 0
∂t
(3.32)
−µm ∂J(x, t)
+ µq(∇x · W (x, t) − ∇x U (t, x)n(x, t)) = J(x, t)|colisão
q
∂t
(3.33)
∂W (x, t)
+ ∇x · (vW + nKb T · v) − ∇x U (t, x) · J(x, t) = W (x, t)|colisão
∂t
∆n = q(n − C)
(3.34)
(3.35)
3.2.1 Mobilidade
Um dos parâmetros importantes é a mobilidade do elétron, que é a razão entre
a velocidade da partícula (v) e o campo elétrico (E) sobre ela.
µe ≈
v
E
(3.36)
Vários mecanismos influenciam na mobilidade, como: temperatura, tipo de
dopante, intensidade do campo elétrico, velocidade de saturação e tipo de semicondutor.
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
21
Assim, temos que vários modelos existem na literatura, por exemplo, temos o modelo de
Caughey e Thomas, que varia conforme a razão entre a concentração de dopante (C) e a
concentração intrínseca (n), considerando o tipo de dopante, conforme expressão abaixo:
µh = µDop−min +
µDop−max − µDop−min
1 + (C/ni)0.711
(3.37)
Outro modelo considerado, quando temos um campo elétrico elevado e há uma
velocidade de saturação para elétrons, é dado pela equação abaixo:
µh =
µh−max
E α
1 + ( vsat
)
(3.38)
(3.39)
Outros tipos de modelos de mobilidade existem, como em [Klaassen 1992]
e [Klaassen 1992]. São usados para considerar outros tipo de efeitos que afetam a
mobilidade, como a temperatura. Assim, para combinar todos esse modelos de mobilidade
temos a Regra de Matthiessen, dada por:
X 1
1
=
µtot
i µi
(3.40)
Além disso, temos a relação de Einstein que relaciona a mobilidade com a
difusibilidade da partícula, sendo dada pela seguinte relação:
De = µe
3.2.2
kb T
q
(3.41)
Expansão de Hilbert
Vamos mostrar outro método que é usado para a dedução dos modelos. Esse
método consiste em utilizar uma mudança de escala e usar aproximação de Taylor sobre o
fator de escala.
f = f0 + f1 + f2 2
(3.42)
Assim, quando aplicamos a expansão temos:
2 ∂ρn (t, x, v)
∇x Un (t, x)
+ vn · ∇x ρn (t, x, v) −
· ∇vn ρn (t, x, v) = Q(ρn ) + 2 In (ρn , ρp )
∂t
~
(3.43)
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
22
∇x U (t, x)
2 ∂ρp (t, x, v)
+ v · ∇x ρ(t, x, v) −
· ∇v ρ(t, x, v) = Q(ρp ) + 2 Ip (ρn , ρp )
∂t
~
(3.44)
Agrupando em relação as potencias de , obtemos as seguintes equações:
Q(ρp0 ) = 0
Q(ρp1 ) = v · ∇x ρp1 (t, x, v) −
∇x U (t, x)
· ∇v ρp1 (t, x, v)
~
∂ρp0 (t, x, v)
∇x U (t, x)
+ v · ∇x ρp1 ((t, x, v) −
· ∇v ρp1 (t, x, v) = Ip (ρn0 , ρp0 )
∂t
~
Q(ρn0 ) = 0
Q(ρn1 ) = v · ∇x ρ(t, x, v) −
∇x U (t, x)
· ∇v ρ(t, x, v)
~
∂ρn0 (t, x, v)
∇x U (t, x)
+ v · ∇x ρn1 (t, x, v) −
· ∇v ρn1 (t, x, v) = Ip (ρn0 , ρp0 )
∂t
~
(3.45)
(3.46)
(3.47)
(3.48)
(3.49)
(3.50)
As variáveis n e p serão as concentrações de elétrons e buracos, Jp e Jn serão
correntes de elétrons e buracos, a partir das expressões abaixo (onde M (v) é a distribuição de Maxwell).
ρn0
M (v)
ρp0
p(x, t) =
M (v)
n(x, t) =
(3.51)
(3.52)
Jp (x, t) = µp (ρp1 − qM (v))
(3.53)
Jn (x, t) = −µn (ρn1 + qM (v))
(3.54)
Substituindo as equações 3.54-58 nas equações 3.50 e 3.53 teremos o seguinte
sistema:
∂n(x, t) 1
− ∇x · Jn (x, t) = −R
∂t
q
∂p(x, t) 1
+ ∇x · Jp (x, t) = −R
∂t
q
(3.55)
(3.56)
Jn (x, t) = qµn nE + qDn n
(3.57)
Jp (x, t) = qµp nE − qDp p
(3.58)
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
23
3.3 Modelo Deriva-Difusão
Como derivado a partir da expansão de Hilbert, em conjunto com a lei da
conservação das cargas, chegamos ao modelo Deriva-Difusão.
∂n(x, t) 1
− ∇x · Jn (x, t) = −R
∂t
q
∂p(x, t) 1
+ ∇x · Jp (x, t) = −R
∂t
q
(3.59)
(3.60)
Jn (x, t) = qµn nE + qDn n
(3.61)
Jp (x, t) = qµp nE − qDp p
(3.62)
∆U = q(n − p − c(x))
(3.63)
3.3.1 Mobilidade
A mobilidade do elétron(µe ) e a mobilidade do buraco(µb ) são parâmetros
importantes. Como dito anteriormente, a razão entre a velocidade da partícula e o campo
elétrico sobre ela.
v
(3.64)
E
Vários mecanismos influenciam na mobilidade, como temperatura, tipo de
dopante, intensidade do campo elétrico, velocidade de saturação e tipo de semicondutor.
Assim temos que vários modelos existem na literatura, por exemplo temos o modelo de
Caughey e Thomas, que varia conforme a razão entre a concentração de dopante (C) e a
concentração intrínseca (n), considerando o tipo de dopante, conforme expressão abaixo:
µe(b) ≈
µe(b) = µDop−min +
µDop−max − µDop−min
1 + (C/ni)α
(3.65)
Tabela 1 – Tabela de Coeficientes de Mobilidade
Dopante
µDop−min
Fosforo
68.5
µDop−max
α
1414
0.711
Boro
44.9
470.5 0.719
Outro modelo é dado quando temos um campo elétrico elevado e velocidade de
saturação:
µe(b) =
µh−max
E α
1 + ( vsat
)
(3.66)
Além disso, temos a relação de Einstein que relaciona a mobilidade com a
difusibilidade da partícula, sendo dada por:
kb T
De(b) = µe(b)
(3.67)
q
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
24
3.3.2 Mudanças de variáveis
Sempre há visões diferentes sobre um mesmo assunto, e assim temos transformações que mudam a forma de ver sobre o nosso problema. Assim, vamos discutir sobre
três tipos de escolha de variáveis mais comuns para o nosso problema.
3.3.2.1 Formulação Natural
A primeira escolha de variáveis é usar a tensão (v) e as concentrações de elétron
(n) e buracos (p).
V(T ensão)
(3.68)
n(elétron)
(3.69)
p(buracos)
(3.70)




λ2 ∆φ = (n − p − C)





∂n


+ ∇Jn = −R


 ∂t
∂p
− ∇Jp = −R
∂t





Jn (x, t) = qµn nE + qDn n






Jp (x, t) = qµp nE − qDp p
(3.71)
3.3.2.2 Formulação Quasi-Fermi
A segunda escolha de variáveis é usar a tensão e os potenciais Quasi-Fermi dos
elétrons e buracos(φn e φp ). A relação com a formulação natural é dada por, onde λ é o
comprimento de Debye:
(3.72)
V(T ensão)
q(V −φn )
kb T
(3.73)
−q(V −φp )
kb T
(3.74)
n(elétron) = ni e
p(buracos) = ni e
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
25
Assim, podemos obter o seguinte sistema nas novas variáveis:



λ2 ∆φ = (δ 2 eV −φn − δ 2 eφp −V



q(V −φn )




∂(ni e kb T )


+ ∇Jn = −R

∂t


−q(V −φp )
∂(ni e








Jp





kb T
)
∂t
− C)
− ∇Jp = −R
(3.75)
= −µp δ 2 eV −φn ∇φn
Jn = −µn δ 2 eφp −V ∇φp
3.3.2.3 Formulação Slotboom
A terceira escolha de variáveis é usar a tensão e a razão dos elétrons(u) e
buracos(v) pela quantidade intrínseca.
V (T ensão)
−qV
(3.76)
)
(3.77)
)
(3.78)
n = (ni e kb T u
qV
p = (ni e kb T v
Assim podemos obter o seguinte sistema nas novas variáveis:



λ2 ∆φ = (δ 2 eV u − δ 2 e−V v




−qV



 ∂(ni e kb T u) + ∇J = −R

n

∂t


qV
∂(n e kb T v)
i
+ −∇Jp


∂t





Jp = −µp δ 2 eV ∇u






2 −V

Jn = −µn δ e
= −R
∇v
− C)
(3.79)
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
26
3.4 Modelos Recombinação
Até agora não falamos sobre como simplificar os termos de Colisão, assim considerando o modelo bipolar de Boltzmann. Tome os termos de colisão e integramos em
relação a k, para achar os tipos de simplificações que precisamos. Primeiro vamos usar um
resultado de [Poupaud 1990], que diz que a integral do operador Q é zero para toda
solução do problema, assim temos que nos preocupar só sobre os Operadores In e Ip .
ZZZ
Rn =
ZZZ
Rp =
Q(ρn )dv +
Q(ρp )dv +
ZZZ
ZZZ
In (ρn , ρp )dv
(3.80)
Ip (ρn , ρp )dv
(3.81)
Assim, voltamos ao sistema deriva-difusão. Então devemos encontrar:
Rp (ρn , ρp ) =
Z
(q(x, k, k 0 )(ρn (x, k, k 0 )ρp (x, k, t) − 1)dkdk 0
Rp (ρn , ρp ) =
Z
ρn0 = nM (v)n
(3.83)
ρp0 = pM (v)p
(3.84)
(q(x, k, k 0 )(nM (v)n pM (v)p − 1)dkdk 0
Rp (ρn , ρp ) =
(3.82)
Z
(q(x, k, k 0 )(
np
− 1)dkdk 0
2
ni
Rp (ρn , ρp ) = A(x)(np − n2i )
(3.85)
(3.86)
(3.87)
Temos, então, a primeira forma de recombinação, conhecida como recombinação
banda a banda.
3.4.1
Recombinação de Ionização por Impacto
A recombinação de ionização por impacto é um processo de geração de três
partículas. Os portadores viajam através de alto campo elétrico, logo essas partículas tem
uma alta energia, sofrem colisões com elétrons que estão na banda de valência. O excesso
de energia é transferido para esses elétrons que vão para a banda de condução criando
novos pares de elétrons-buracos. Estes pares de elétrons-buracos secundários também
podem ter uma energia relativamente elevada. Neste caso, o efeito de avalanche é
desencadeado e a densidade dos portadores aumenta fortemente.
Rp (ρn , ρp ) = |Jn |e
−Ec rit
E
+ |Jp |e
−Ec rit
E
(3.88)
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
27
Tabela 2 – Tabela de coeficientes da recombinação de ionização por impacto
Sigla
Valor
αn
αp
Encrit
Epcrit
106 (cm−1 )
2 ∗ 106 (cm−1 )
V
2 ∗ 106 ( cm
)
6 V
1, 66 ∗ 10 ( cm )
Figura 5 – Recombinação de Ionização por Impacto
3.4.2 Recombinação de Auger
O efeito Auger é apenas o processo inverso de Ionização por impacto. Neste
tipo de recombinação, o excesso de energia emitido por uma recombinação de elétrons
com um buraco é absorvido por um segundo elétron (em qualquer banda) em vez de
apenas emitir energia, como um fóton. O elétron em seguida doa a sua energia adicional
numa série de colisões com a rede, relaxa de volta ao bordo da banda. Assim, este efeito é
o resultado de interações entre partículas múltiplas, incluindo vários elétrons e um buraco
ou vários buracos e um elétron.
Rp (ρn , ρp ) = (Cn n + Cp p)(np − n2i )
Tabela 3 – Tabela de coeficientes da recombinação Auger
Sigla
P Valor
Cn
Cp
2, 8 ∗ 10−31 (cm6 s−1 )
9, 9 ∗ 10−32 (cm6 s−1 )
(3.89)
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
28
Figura 6 – Recombinação Auger
3.4.3
Recombinação de SHR
Essa recombinação ocorre quando um elétron ou buraco cai numa "armadilha",
um nível de energia dentro da banda proibida, causada pela presença de um átomo
externo ou um defeito estrutural. Uma vez que a armadilha está cheia não pode aceitar
outro elétron. A energia dos elétrons que ocupam as armadilhas, que pode num segundo
passo se recombinar com um buraco, completando, assim, o processo de recombinação.
Vamos nos referir a esse processo como Recombinação de Shockley-Hall-Read (SHR).
Rp (ρn , ρp ) =
(np − n2i )
τp (n) + τn (p)
Tabela 4 – Tabela de coeficientes da recombinação SHR
Sigla
Valor
τn
τp
10−6 (s)
10−5 (s)
Figura 7 – Recombinação SHR
(3.90)
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
3.4.4
29
Recombinação de fóton
A geração de uma carga devido à absorção de luz ocorre se a energia do fóton é
grande o suficiente para levantar um elétron da banda de valência para um estado vazio
na banda de condução, gerando um par elétron-buraco. A energia dos fótons necessita ser
pelo menos igual à energia de banda proibida para satisfazer a condição. O fóton é absorvido neste processo e o excesso de energia, Eφ é adicionado para o elétron ou buraco sob a
forma de energia cinética.
Rp (ρn , ρp ) =
αPopt
Eφ A
(3.91)
Figura 8 – Recombinação Fóton
3.5 Condições de Fronteira
Como discutido no Capítulo 2, as condições de fronteira são parte essencial do
proble- ma. Para isso vamos discutir alguns tipos de condições de fronteira. Primeiro
vamos tratar da condição artificial, que se trata de uma condição de Neumman homogênea, que garante que não haverá influência externa do dispositivo naquela região. Essa
condição é usada para simular dispositivos onde não há nenhuma forma de interação no
bordo dessa restrição ou para poder simular dispositivos separados.
∂u =0
∂x ∂Ω
(3.92)
Jn v̇|∂Ω = 0
(3.93)
Jp v̇|∂Ω = 0
(3.94)
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
3.5.1
30
Contato Ôhmico
O Contato ôhmico que surge na junção metal-semicondutor devido a uma
pequena diferença entre as energias de Fermi do metal e do semicondutor( ∆φ < kT
). O
q
contato ôhmico foi modelado no Capítulo 2 como sendo uma condição de Dirichlet, ou
seja, sabemos que ele é constante na região. Logo, quando olhamos para a equação de
Poisson, usando formulação de Slotboom, obtemos que:
∆u ≈ 0
(3.95)
∆u = (eφ + e−φ − C(x)) ≈ 0
(3.96)
Usando a expressão do cosseno hiperbólico, temos:
φ|∂Ω = ln(
−C +
n|∂Ω =
p|∂Ω =
3.5.2
√
C+
C 2 + 4σ 4
) + V0
2σ 2
√
−C +
C 2 + 4σ 4
2
(3.97)
(3.98)
√
C 2 + 4σ 4
2
(3.99)
Contato Schottky
Outra forma de contato é o contato Schottky, que surge na junção metalsemicondutor devido a uma alta diferença entre a energia de Fermi do metal e do semicondutor (∆φ > kT
). O contato Schottky pode ser modelado como sendo uma condição de
q
Dirichlet não-homogênea, na qual o valor da barreira de Schottky corresponde ao termo
não homogêneo, e ainda considerarmos que há saída de corrente, que será proporcional ao
excedente de cargas no contato vezes as velocidades de recombinação(vp e vn ).
φ|∂Ω = Vschottky + V0
(3.100)
Jn v̇|∂Ω = −qvn (n − ns )
(3.101)
Jp v̇|∂Ω = qvp (p − ps )
(3.102)
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
31
3.5.3 Contato Óxido-Semicondutor
Um tipo de contato importante que será usado mais a frente é o contato óxidosemicondutor, que é utilizado em transistores MOSFET. Ele constitui em um contato
metálico ligado ao um óxido, que gera um campo elétrico na interface entre o óxido e
semicondutor.
∂u ∂u = ox
+ Qint
si
∂x ∂Ω
∂x ∂Ω
(3.103)
Jn v̇|∂Ω = 0
(3.104)
Jp v̇|∂Ω = 0
(3.105)
3.6 Exemplo: Modelo MOSFET.
Um dos principais dispositivos utilizados atualmente é o transistor de efeito de
campo metal-óxido-semicondutor, MOSFET, que possui diversas aplicações na eletrônica
analógica e digital. Esse dispositivo possui três camadas, conhecidas como fonte, canal e
dreno, respectivamente representados pelas áreas A, B ,C. A área D representa o óxido de
gate e a área E representa o substrato. Aplicando tensões nos contatos, afim de criar uma
diferença de potencial entre dreno e fonte, podemos controlar a corrente que ira passar da
fonte passando pelo canal e saindo pelo dreno. O controle da corrente é devido ao campo
gerado pelo óxido de gate, quando aplicada uma diferença de potencial entre o gate e o
dreno, gera um campo elétrico que pinça a corrente de elétrons que está passando. Em
baixo damos o modelo do MOSFET na formulação de Quasi-Fermi.



λ2 ∆φ = (δ 2 eV −φn − δ 2 eφp −V







∇Jn = R








∇Jp = R







Jp = −µp δ 2 eV −φn ∇φn



− C)
2 φp −V
Jn = −µn δ e
∇φp






φn = φp = 0 em ∂Ωf onte







φn = φp = Vdreno em ∂Ωdreno








φn = φp = Vbuck em ∂Ωdreno





 ∂u = ∂u + Q
em
ox ∂x
int
si ∂x
∂Ω
∂Ω
(3.106)
∂Ωgate
Capítulo 3. Modelos Determinísticos
32
D
A
B
C
E
Figura 9 – Geometria do MOSFET
33
4 Microeletrônica Computacional
Como em qualquer outra área da engenharia, o desenvolvimento contínuo dos métodos computacionais tem aberto novas fronteiras na microeletrônica. Nesse capítulo os métodos
mais utilizados e os conceitos envolvidos na sua concepção e implementação serão examinados. A
discussão apresentada nos Capítulos 1 e 2, servirá de base para o entendimento da solução numérica da equação de Boltzmann usando o método de Monte Carlo, bem como a solução dos modelos de Deriva-Difusão e Hidrodinâmico, usando métodos determinísticos tais como o método de
Elementos Finitos e Diferenças Finitas.
"Sir, ainda existem terabytes de
cálculos necessários antes de um
voo real acontecer ..."
JARVIS, filme Homem de Ferro
4.1 Método de Monte Carlo:
O método de Monte Carlo foi desenvolvido durante a Segunda Guerra Mundial, pelos
cientistas do projeto Manhattan e dado esse nome em homenagem ao tio de Stanislaw Ulam, um
dos cientistas, sendo esse tio famoso por perder dinheiro nos cassinos de Monte Carlo. Esse método, baseado em conceitos de probabilidade, possibilitou a solução de vários problemas antes
jamais resolvidos, como calculo numérico de certas integrais.
Esse método constitui em escolher pontos de forma aleatória dentro de um cubo Ndimensional, e se esses pontos pertencem ao sistema, esse ponto é considerado na conta, caso
contrario é descartado. A verificação se esse ponto respeita o sistema é feita pelas condições do
problema, muitas dessas condições são limitações de Funcionais (Energia, Entropia,... ) ou
condições inicias ou de bordo.
R 1 R √1−x2
0
0
Um exemplo clássico de aplicação do método é o cálculo de
π
4,
que é dado pela integral
1dxdy , que é a integral da área do circulo. Assim, escolhemos pontos aleatórios
dentro do quadrado [0, 1] ⊗ [0, 1] , e caso esteja no circulo, guarde o ponto (que estão em azul na
figura abaixo), caso contrariou, jogue fora (que estão em vermelho na figura abaixo).
.............. ...... .
... .... . ...........
........................ .
.......................................
..... .. .....
Figura 10 – Exemplo de Monte Carlo
Capítulo 4. Microeletrônica Computacional
34
4.1.1 Convergência do método
Será então mostrado o porquê do método convergir, através do seguinte
teorema: [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]
Teorema 4.1.1. Monte Carlo (Convergência de Monte Carlo) A Ordem de Convergência do
método de Monte Carlo é da ordem
√1
n
4.1.2 Técnicas de Redução de Variância
Mas há várias técnicas que auxiliam a convergência do Monte Carlo. A seguir será
feito um apanhado dessas técnicas, retiradas dos livros [Fasching, Selberherr e Halama 1993]
e [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010], para poder elucidar como diminuir a variância,
melhorando, assim, a convergência.
4.1.2.1 Domínio de Rejeição
Como anteriormente aplicada, essa técnica verifica se os pontos estão na região, e caso
não estejam, sejam retirados.
4.1.2.2 Transformação Conforme
Pode-se usar mudanças de variáveis tais que o Jacobiano permaneça unitário. Para
isso tomamos a seguinte transformação Φ da seguinte maneira :
Φ(t, x, v)<3 → <3
0
0
(4.1)
0
(x, y, z) → (x , y , z )
(4.2)
JΦ = 1
Z
(4.3)
Z
f (Φ)dv =
Z
f (Φ)JΦ dΦ =
f (Φ)dΦ
(4.4)
Essa técnica é utilizada para cálculos de integrais.
4.1.2.3 Monte Carlo de uma partícula
Para este tipo de simulação, uma partícula aleatória é injetada e o movimento é computado por todo o domínio, pela expressão abaixo ou usando algum método numérico, até que
ele sai através do contato. Outra carga é, então, injetada e o processo é repetido para simular
um conjunto de trajetórias. Esta abordagem é mais útil para estudar as propriedades do
material, como a velocidade de deriva e a energia média.
qEt
~
qEt2
r(t) = r0 + k0 t +
2~
k(t) = k0 +
(4.5)
(4.6)
Capítulo 4. Microeletrônica Computacional
35
4.1.2.4 Ensemble estatístico de Monte Carlo
Em vez de única portadora, um grande conjunto de partículas é simulada ao mesmo
tempo. Este procedimento é, obviamente, um bom candidato para supercomputação, uma vez
que se pode aplicar a paralelização. Esta abordagem é adequada para simulações de transitórios.
4.1.2.5 Ensemble estatístico de Monte Carlo Auto-consistente
Este método casa os procedimentos de Ensemble estatístico Monte Carlo com a equação de Poisson, e é o mais adequado para a simulação do dispositivo. Normalmente, a equação
de Poisson é resolvida em intervalos fixos de tempo para atualizar o campo interno, de modo a
refletir a redistribuição interna de carga, devido ao movimento das partículas. Uma das técnicas
para garantir a auto-consistência é projetar as cargas das partículas na malha da equação de
Poisson, conhecida como Cloud-In-Cell.
4.1.2.6 Seleção aleatória de vôo
Dada uma trajetória que sofreu uma colisão, temos que calcular a probabilidade de
que o elétron irá sofrer uma segunda colisão no intervalo centrado em t com variação
dt
2,
que é
dada pela expressão:
Z t
P (t) dt = P [k(t)] exp[−
P [k(t0 )] dt0 ] dt
(4.7)
0
Onde P [k(t)]dt é a probabilidade de que um elétron no estado k sofre uma colisão
durante o tempo dt. Devido à complexidade da integral no expoente, é impraticável para gerar
voos livres estocásticos com a distribuição da equação acima. Para ultrapassar essa dificuldade,
usa-se um regime fictício de auto espalhamento. Ao fazer isso, o espalhamento total, incluindo o
auto-espalhamento, é constante. Por seleção aleatória, se o auto espalhamento selecionado k’ é o
mesmo com k depois a colisão, então se continua voo sem colisão. Assumindo que p(k) = τ0−1 e
que seja constate; a equação reduz-se para:
.
1
exp(−t/ au0 ).
(4.8)
τ0
Uma variável aleatória r pode ser usado de forma muito simples para gerar voos
P (t) =
estocásticos livres, cuja duração será dado por tr = −τ0 ln(r). O tempo de computador utilizado
para o auto espalhamento é mais do que compensado pela simplificação do calculo da duração de
voo livre.
4.1.2.7 Full-Band Monte Carlo.
Por último, descrevemos a técnica mais usada atualmente, conhecida como Full-Band
Monte Carlo, que consiste considerar todo o diagrama de energia do cristal. Devido ao alto custo
computacional, esse método é recomendado para uso em altas energias, onde apresenta os efeitos
de elétron quente e campos elétricos grandes. Daremos dois exemplos concretos de software que
usam esse tipo de técnica na próxima subseção.
Capítulo 4. Microeletrônica Computacional
36
4.1.3 Exemplos de Software
Após o apanhado de técnicas feito anteriormente, vamos mostrar dois programas
desenvolvidos para indústria.
4.1.3.1
Damocles
Desenvolvido pela IBM, esse programa simula usando o método de Full Band Monte
Carlo, para dispositivos como unipolares, canais P e N,Si MOSFETs, MESFETs GaAs e transístores bipolares de Si, considerando as taxas de espalhamento consistente com a estrutura de
banda e considerando as interações de longo e de curto alcance entre as operadoras. [Laux,
Fischetti e Frank 1990]
4.1.3.2 MOCA
Desenvolvido na Universidade de Illinois em Urbana-Champaign, o MOCA, um simulador de Full Band Monte Carlo bidimensional, que pode ser acessado em [NanoHub 2014].
Usando uma abordagem semi-clássica, possui um sistema de correção considerando a equação de
Schrödinger, sendo capaz de simular dispositivos como MOSFET de comprimento de canal de 50
nm. MOCA também trata do transporte de forma detalhada usando a técnica de Full Band
Monte Carlo e considera efeitos de fônon (acústico e dispersão óptica), colisões (usando uma
malha bem fina para resolver a equação de Poisson), espalhamento de rugosidade da superfície e
ionização por impacto. [Ravishankar et al. 2005]
Figura 11 – MOCA
Capítulo 4. Microeletrônica Computacional
37
4.1.4 Fluxo do simulador de Monte Carlo
Relembrando do problema do Capítulo 1, abaixo está a equação de Boltzmann em
conjunto com a equação de Poisson, que modelam os dispositivos semicondutores. Deve-se
ressaltar que as principais dificuldades do problema para simular é a integral do operador de
colisão, a escolha da trajetória, e como acoplar com o problema de Poisson.


∂ρ(t,x,v)

+ v · ∇x ρ(t, x, v) − ∇x U~(t,x) · ∇v ρ(t, x, v) = Q(ρ)


∂t
ZZZ



Q(ρ) =
s(x, v, v 0 )(ρ(t, x, v) ∗ (1 − ρ(t, x0 , v 0 )) − s(x, v 0 , v)ρ(t, x0 , v 0 ) ∗ (1 − ρ(t, x, v)))dv 0


B




∆Uef f = − q(C−n)
(4.9)
A ideia geral de um simulador de semicondutores usando o método de Monte Carlo é
gerar através de algoritmos de números pseudo-aleatórios uma configuração inicial para uma
partícula, para depois gerar uma simulação do voo livre da partícula, que tem como trajetória as
equações 4.11 e 4.12 com o campo elétrico fixo. No próximo passo, usando as trajetórias computadas, resolvemos a equação de Poisson para todas as partículas. Após este passo verificamos se
chegamos ao término da simulação, em caso positivo, se faz o pós-processamento, em caso
negativo, utilizando as informações previamente calculadas, geram-se as colisões e reiteramos o
processo, recomeçando pela computação do voo livre.
Inicialização
de Dados
Computação
dos Voos
livres
Gerar
Evento de
Colisão
não
Resolver
equação
de Poisson
Acabou o
tempo de
simulação
sim
Coletar
Parar
dados
Figura 12 – Fluxograma do Simulador de Monte Carlo
Capítulo 4. Microeletrônica Computacional
38
4.2 Métodos Determinísticos
Agora vamos considerar os métodos numéricos para os modelos do Capítulo 2. Como a
complexidade do modelo é reduzida, vamos observar o aumento da ordem de convergência do
método numérico, onde teremos ordem de convergência linear(O(n)) ou superior O(nα ).
4.2.1 Método Elementos Finitos
A partir da segunda metade do seculo 20 temos o surgimento de um novo método
proposto por Courant, e tem grande repercussão na Engenharia Civil. A sua grande vantagem é
poder tratar facilmente problemas com geometrias complicadas. Assim vamos mostrar como
funciona o método, considerando o problema da equação de Poisson com fronteira mista, como
visto nas equações 4.16-18.
∆u = f
(4.10)
u|∂Ωd = g1
(4.11)
∇ u|∂Ωn = g2
(4.12)
A essência do FEM é projetar a equação que rege o modelo num conjunto de funções
de base apropriadamente escolhidas, utilizar uma formulação variacional do problema. Para isso,
projetamos a equação sobre uma função teste φ. Agora aplicamos as identidades de Green
(resultado imediato do teorema fundamental do cálculo)
Z
Z
f φdx
(4.13)
∇uφdSx
(4.14)
∆uφdx =
Ω
Z
∆uφdx = −
Ω
−
Ω
∇u∇φdx +
∇u∇φdx +
Z
∇u∇φdx +
Z
∇g1 φdSx =
g2 φdSx +
∂Ωn
∇uφdSx =
Z ∂Ω
Z Ω
Ω
Z
∂Ω
Ω
−
Z
Z
∂Ωd
Z
f φdx
(4.15)
f φdx
(4.16)
ZΩ
Ω
Deve-se definir o elemento sendo a tríplice contendo um subdomínio do domínio, o
conjunto de vértices desse subdomínio e um conjunto de funções bases referente a esse subdomínio. Estes subdomínios podem ser triângulos ou quadriláteros no caso bidimensional, e
tetraedros ou prismas no caso tridimensional, que são parte de domínio computacional discretizado. Cada vértice de cada subdomínio será chamado nó, e são de vital importância para as
funções base. As funções bases que são um conjunto de funções que são zeros em todo o espaço
da simulação a não ser no subdomínio perto de um certo nó, onde ela é uma função continua por
partes, derivável até certo grau. Um elemento vizinho é um elemento que contém o nó j, e os nós
vizinhos são aqueles que estão contidos nestes elementos. Na figura abaixo é um exemplo de
função base.
Capítulo 4. Microeletrônica Computacional
39
Figura 13 – Função Base
Tome um conjunto de função bases para que cobre todo o domínio, ou seja existe uma
função base para cada subdomínio do domínio, e suponha que a solução e as funções de fronteira
seja uma combinação linear dessas funções, a essa suposição dá-se o nome de método de Petrov–
Galerkin. Assim deve-se expandir a soma e escolher como φ inicial do procedimento como cada
uma das funções bases do conjunto, chegando a um conjunto de N-equações.
u≈
N
X
ai φi g1 ≈
N
X
i
−
Z
Ω
−
Z
∇
N
X
Ω
−
Z
∇
−
Z
∇
Ω
−
N
X
i
N
X
ai φi ∇φdx +
ai φi ∇φdx +
∂Ωn
ai φi ∇φdx +
ai φi ∇φj dx +
Z
ai
Ω
∇φi ∇φj dx +
Z
∂Ωn
Z
N
X
Z
N
X
i
Z
∇
∇
bi φi φdSx +
∂Ωd
Z
∇
bi φi φj dSx +
∂Ωd
Z
bi
φi φj dSx +
∂Ωn
N
X
i
(4.17)
Z
∇g1 φdSx =
f φdx
Z
ci φi φdSx =
f φdx
i
N
X
ci φi φdSx =
Z X
N
Ω
Z
ci φi φj dSx =
ci
∂Ωd
∇φi φj dSx =
N
X
i
fi φi φdx
i
N
X
Ω
i
Z
(4.19)
Ω
i
N
X
(4.18)
Ω
N
X
∂Ωd
Z
i
fi φi
∂Ωd
bi φi φdSx +
i
N
X
i
g2 φdSx +
i
N
X
Z
∂Ωn
i
N
X
Z
bi φi f ≈
i
∂Ωn
i
i
N
X
N
X
i
i
N
X
Ω
∇
ci φi g2 ≈
fi φi φj dx
(4.20)
(4.21)
i
Z
fi
φi φj dx
(4.22)
Ω
Agora devemos usar o fato de que as funções bases são definidas numa região limitada,
assim todas as integrais tem um valor definido e temos que os valores de bi ,bi e fi são definidos
como sendo as projeções de g1 ,g2 e f no espaço das funções base. Logo após usar técnicas de
Capítulo 4. Microeletrônica Computacional
40
interpolação para estimar o valor dessas integrais, chegamos num problema de álgebra linear.
−
N
X
i
Z
ai [
∇φi ∇φj dx] +
Ω
N
X
i
Z
bi [
φi φj dSx ] +
∂Ωn
N
X
Z
ci [
∇φi φj dSx ] =
∂Ωd
i
N
X
i
Z
fi [
φi φj dx]
Ω
(4.23)
−
N
X
i
ai [Aij ] = −
N
X
bi [Kij ] −
i
N
X
ci [Lij ] +
i
N
X
fi [Mij ]
[A]x = −[K]b − [L]c + [M ]f
Z
Aij =
(4.24)
i
(4.25)
∇φi ∇φj dx
(4.26)
φi φj dSx
(4.27)
∇φi φj dSx
(4.28)
φi φj dx
(4.29)
g2 φj dSx
(4.30)
∇g1 φj dSx
(4.31)
ZΩ
Kij =
∂Ωn
Z
Lij =
∂Ωd
Z
Mij =
Ω
Z
ci =
Z ∂Ωn
bi =
∂Ωd
4.2.1.1 PADRE
Desenvolvido pela Bell Laboratories, o simulador PADRE é capaz de simular até a
terceira dimensão, capaz de simular soluções estacionárias, transientes, e análise de pequenos
sinais. Esse software é capaz de simular geometrias arbitrárias, heterojunção, modelos de canal
curto e elétrons quentes. [Fasching, Selberherr e Halama 1993]
4.2.1.2 FIELDAY
Desenvolvido pela IBM, especificamente por um grupo de engenheiros da IBM
Burlington, com o intuito de estudar e otimizar os dispositivos semicondutor como o transistor
bipolar. Esse software pode resolver tanto os modelos Hidrodinâmicos e Deriva-Difusão; capaz de
simular até três dimensões; capaz de simular inúmeros efeitos, como efeitos de impacto de
partículas alfas e cósmicas, aquecimento, alta dopagem, e efeitos de tunelamento. [Fasching,
Selberherr e Halama 1993]
Capítulo 4. Microeletrônica Computacional
41
4.2.2 Métodos de Diferenças Finitas
Outro tipo de método muito usado é o método das diferenças finitas, onde operadores
das derivadas espaciais são calculados diretamente pelas diferenças entre pontos próximos. Esse
método se baseia no teorema de Taylor, e foi a primeira abordagem para simulação numérica de
diversas EDP’s. Assim do cálculo temos:
∂u
u(x + δx) − u(x)
≈
(4.32)
∂x
δx
Mas podemos achar outras formas equivalentes de aproximar a derivada, como essas
abaixo:
∂u
u(x) − u(x − δx)
≈
∂x
δx
(4.33)
∂u
u(x + δ) − u(x − δx)
≈
(4.34)
∂x
2δx
Então como pode ser observado podemos sempre escolher um conjunto de pontos, tais
que existe um conjunto de pesos para aproximar a derivada (o mesmo procedimento pode ser
usado para aproximar derivadas de ordem maiores). Para esse conjunto de pontos e pesos é dado
o nome de esquema numérico de diferenças finitas, ou só esquema. Os esquemas acima citados
são respectivamente o esquema Forward-Euler, Backward-Euler, e o centrado.
4.2.2.1 Resolvendo Poisson
Para resolver as equações de Poisson utilizasse o esquema centrado com a metade do
intervalo para achar a primeira derivada, e depois reaplicar o esquema centrado com a metade
do intervalo para achar uma aproximação da segunda derivada.
∂u(x +
∂2u
∂ ∂u
=
≈
2
∂x
∂x ∂x
δx
2 )
− ∂u(x −
δx
δx
2 )
=
u(x + δx) + u(x − δx) − 2u(x)
(δx)2
(4.35)
Usando a formulação de Slootbloom na equação de Poisson e aplicando o esquema
acima para a segunda derivada temos que :
∆φ = (eφ − e−φ − C)
u(x + δx) + u(x − δx) − 2u(x)
= (eφ − e−φ − C)
(δx)2
(4.36)
(4.37)
Usando a seguinte aproximação, φ = φ0 + δφ, temos que :
∆(φ0 + δφ) = (e(φ0 +δφ) − e−(φ0 +δφ) − C)
φ0
−φ0
∆φ0 + ∆δφ = (e (1 + δφ) − e
(1 − δφ) − C)
(4.38)
(4.39)
Agora usando a diferença finita no laplaciano, temos que:
δφ(x + δx) + δφ(x − δx) − 2δφ(x)
= (eφ0 (1 + δφ) − e−φ0 (1 − δφ) − C)
(δx)2
−2
δφ(x + δx) δφ(x − δx)
+
+(
− eφ0 − e−φ0 )δφ(x) = (eφ0 − e−φ0 − C)
2
2
(δx)
(δx)
(δx)2
(4.40)
(4.41)
Capítulo 4. Microeletrônica Computacional
42
Usando a formulação natural temos que:
−2
δφ(x + δx) δφ(x − δx)
+
+(
− n − p)δφ(x) = (n − p − C)
2
2
(δx)
(δx)
(δx)2
(4.42)
4.2.2.2 Esquema Scharfetter-Gummel
Para o calculo das equações de corrente elétrica vamos considerar o esquema numérico
conhecido como esquema de Scharfetter-Gummel, devido ao artigo [Scharfetter e Gummel 1969],
no qual eles propõem a seguinte expressão para o calculo da corrente que passa entre 2 pontos
da malha:
Ji− 1 = eDi− 1
2
−Vi
i−1
ni B( Vi −V
) − ni−1 B( Vi−1
)
VT
VT
∆
2
(4.43)
onde
B(x) =
ex
x
−1
(4.44)
Assim podemos aproximar a primeira derivada por:
Ji+ 1 − Ji− 1
∂J
2
2
≈
∂x
∆
Será deduzido agora a forma como achar a equação 4.49.
Jn (x, t) = −qµn (D
dn
− nE)
µn dx
dn
= Jn (x, t) + qµn nE
Dµn dx
dn
µn E
1
=
Jn (x, t) + n dx
D
ax+c
Jn (x, t) + qµn nE = e
Ji− 1 + qµn ni+1
2
= ea(xi+1 −xi )
Ji− 1 + qµn ni
(4.45)
(4.46)
(4.47)
(4.48)
(4.49)
(4.50)
2
(1 − e
a(xi+1 −xi )
)Ji− 1 = qµn (ni+1 − ea(xi+1 −xi ) ni ))
(4.51)
aqµn (ni+1 − ea(xi+1 −xi ) ni ))
(1 − ea(xi+1 −xi ) )
(4.52)
2
Ji− 1 =
2
Ji− 1 =
2
i−1
i−1
ni B( Vi −V
) − ni−1 B( Vi −V
)
VT
VT
∆
B(x) =
ex
x
−1
(4.53)
(4.54)
Capítulo 4. Microeletrônica Computacional
43
4.2.2.3 Iteração de Gummel
Portanto sabemos simular a corrente e as equações de Poisson separadamente. Entretanto essas equações estão vinculadas entre si, logo temos que acoplar esses métodos, para isso
vamos usar o método de Newton. O método de Newton é um método numérico que é usado para
achar raízes de um polinômio, utilizando a expansão de Taylor até primeira derivada, onde
chegamos nas equações abaixo para o caso de uma função com três variáveis.

−λ2 ∆∗
wk+1 = wk + d
(4.55)
F 0 (wk+1 )d = −F (wk )h
(4.56)

−1
1

˙
F (wk+1 ) = 
 ∇(µn n∇∗)
˙ n (−∇ ∗ + ∗ ∇V )) + ∂R
∇(µ
∂n
˙ n (−∇ ∗ − ∗ ∇V )) + ∂R
(µ
0
∇(−µp p∇∗)
∂R 
∂p 
∂R
∂p

∂n
(4.57)
Mas esse método tem um alto custo computacional. Uma simplificação que consiste
em considerar baixas correntes e baixa taxa de recombinação, o que leva a diminuição do acoplamento do sistema, uma vez que com essas considerações, os seguintes termos da matriz
F 0 (wk+1 ) , a1,3 ,a1,2 ,a3,1 ,a2,1 , são pequenos, assim levando a um método iterativo, conhecido
como método iterativo de Gummel.

F 0 (wk+1 ) = 


−λ2 ∆∗
1
˙ n (−∇ ∗ + ∗ ∇V )) +
∇(µ
∂R
∂n
−1




˙ n (−∇ ∗ − ∗ ∇V )) +
(µ
Inicializar
Simulação
Resolver
Poisson estacionária
Resolver
Corrente
de elétron
Resolver
Corrente
de buracos
Atualizar
Valores.
sim
Resolver
Poisson
Transiente
Convergiu
?
não
Parar
Figura 14 – Iteração de Gummel
∂R
∂n
(4.58)
Capítulo 4. Microeletrônica Computacional
44
4.2.2.4 Método Weno
Uma grande dificuldade numérica é tratar dos efeitos de onda de choque, que aparecem nos modelos de equação diferenciais parciais hiperbólicas (que são escritos genericamente na
forma abaixo), onde a solução fica descontínua devido aos efeito não-linear da equação que
queremos simular.
∂u
= ∇ · F (u)
(4.59)
∂t
Quando se trunca uma série de Fourier de uma função descontínua ocorre o aparecimento de flutuações na série de Fourier dessa função. Assim quando calculamos uma solução
para o nosso problema, o truncamento numérico gera oscilações na solução computada, que
podem instabilizar a simulação. Para podermos simular com essas equações usaremos um método de diferenças finitas chamado WENO(Weight Essential Non-Oscillatory ) [Shu 1998], em que
consis- te em calcular diversos esquemas numéricos para a derivada em relação a x, e fazer uma
combinação linear usando pesos.
Figura 15 – Esquema WENO
Para isso devemos primeiramente calcular os indicadores de suavidade βi , quando
menor for o indicador mais suave a função é, consequentemente menor as chance de se ter
choque nessa região.
β1 =
β2 =
β3 =
1
3
1
3
1
3
4u2i−2 − 19ui−2 ui−1 + 25u2i−1 + 11ui−2 ui − 31ui−1 ui + 10u2i
4u2i−1 − 13ui−1 ui + 13u2i + 5ui−1 ui+1 − 13ui ui+1 + 4u2i+1
10u2i − 31ui ui+1 + 25u2i+1 + 11ui ui+2 − 19ui+1 ui+2 + 4u2i+2
(4.60)
Com o indicador, achamos os pesos, que possui diversas variantes de implementações,
sendo abaixo representada os pesos do WENO-SHU e WENO-Z [?]. Os valores γj são os pesos
quando se está numa região continua, é o erro de máquina.
Capítulo 4. Microeletrônica Computacional
45
γj
(ε + βj )2
w̃j
wj =
w̃1 + w̃2 + w̃3
w̃j =
(4.61)
(4.62)
Para o peso do WENO-Z:
τ
).
(ε + βj )p
w̃j
wj =
w̃1 + w̃2 + w̃3
w̃j = γj (1 +
(4.63)
(4.64)
Assim temos como calcular o valor de ui− 1 , possibilitando o calculo da derivada :
2
ui− 1 =
2
w1 ∗ u1 (x) + w1 ∗ u2 (x) + w3 ∗ u3 (x)
δx
(4.65)
Agora podemos usar o esquema de Schaffeter-Gummel em conjunto com o método
WENO para tratar de problemas de descontinuidade.
1
Ji−
1 =
2
2
Ji−
1
2
3
Ji−
1
2
=
=
i+1 +5Vi
i+1 +5Vi
i+1 −5Vi
2ni+1 B( −Vi−1 +2V
) + 5ni B( −Vi−1 +2V
) − ni−1 B( Vi−1 −2V
)
6VT
6VT
6VT
6∆
−5Vi+1
−5Vi+1
i+2 +5Vi+1
−ni+2 B( Vi −2Vi+2
) + 5ni+1 B( −Vi +2V6V
) + 2ni B( Vi −2Vi+2
)
6VT
6VT
T
6∆
i−1 +2Vi
i−1 +2Vi
i−1 +2Vi
) − 7ni−1 B( 11Vi−2 −7V
) + 2ni B( 11Vi−2 −7V
)
11ni−2 B( 11Vi−2 −7V
6VT
6VT
6VT
6∆
(4.66)
(4.67)
(4.68)
46
5 O Simulador
A partir dos conhecimentos apresentados nos três primeiros capítulos, podemos
apresentar um programa que fizemos para a simulação de dispositivos semicondutores,
principal objetivo desse trabalho. Para isso vamos explicar como foram implementados os
métodos computa- cionais e algoritmos.
5.1 O simulador
O simulador foi escrito em C\C++ , no intuito de gerar um código eficiente,
rápido e reutilizável. O design pattern Modelo-Visualizador-Controlador (MVC) é a
filosofia geral por traz do simulador, onde separamos o programa em 3 partes, uma
responsável por visualizar os resultados e interagir com o usuário (Visualizador), uma
responsável pelas contas (O modelo), e uma para controlar o programa (O Controlador).
Figura 16 – Modelo MVC
Usamos as seguintes bibliotecas como parte do código:
• wxWidget : Utilizamos essa biblioteca de interface gráfica para gerar uma interface
fácil, leve e que não utilize software proprietário.
• CXSparse : Biblioteca de Álgebra Linear para gerar Matrizes esparsas.
• Open GL : Utilizamos essa biblioteca em conjunto com o wxWidget para plotar os
resultados.
5.1.1
Projeto do Simulador
Como todo programa moderno, o simulador foi dividido em módulos, cada um
com seu propósito. Diversas técnicas de programação orientadas a objetos foram usadas,
como object slicing, quando utilizamos uma classe abstrata como ponteiro das suas classes
filhas a fim de criar um vetor de classes filhas; Template [Shapira 2006], onde criamos um
Capítulo 5. O Simulador
47
Simulador
Time
Stepper
Util
GUI
FEM Model
Álgebra
Linear
Poisson Constraint WENO Recomb Maps
Figura 17 – Diagrama dos módulos do Simulador
tipo genérico, que ao ser parametrizado, gera um tipo concreto, possibilitando reúso de
código, como por exemplo gerar nós de uma malha em 1D, 2D, 3D. Os módulos, tais
como mostrados na figura 16, são os seguintes
• GUI : Responsável pela interação entre usuário e o simulador, recebendo parâmetros do
usuário e plotando os resultados. Utilizamos a biblioteca wxWidget para implementar
toda a interface gráfica em conjunto com a biblioteca OpenGL para plotar os resultados
graficamente. As informações ao serem recebidas são transmitidas para a classe
ProgramControl, que está no módulo Util, que transferira aos outros módulos do
programa. Além disso, as informações para Plot serão enviadas pelo ProgramControl.
• FEM : Responsável pelos modelos usando a abordagem do método de elementos finitos,
como definição de nós, elementos e malha. As funcionalidades desse módulo vão desde
criação das matrizes até o refinamento da malha.
• Util: Contém classes para controle do programa, escrita de arquivos, e outras funcionalidades secundárias.
• Álgebra Linear: Responsável por toda operação matricial, desde alocar memória para a
matriz até resolver o sistema matricial de forma direta (utilizando o algoritmo LDU).
Utilizamos a biblioteca CXSparse para criar matrizes esparsas e resolver o sistema.
• Maps: Responsável por todo o tipo de transformações, como mudança de variáveis, escala
e tipo de material.
• Model: Responsável por todos Modelos de simulação, Toda classe concreta desse módulo
encapsula as classes dos métodos utilizados, ou seja, temos dentro desses modelos instâncias de classes dos módulos Poisson, Time Stepper, Álgebra Linear, Constraint, Recomb,
WENO, Maps, Util.
• Recomb: Responsável pelos operadores de recombinação.
• Poisson: Responsável pelos Solvers da equação de Poisson para diferenças finitas.
• WENO: Responsável pelo método de diferenças finitas WENO.
• Constraint : Responsável pelas condições de contorno.
• Time Stepper: Responsável pelos métodos de integração temporal como Runge-Kutta e
Multi-Passo.
Capítulo 5. O Simulador
48
5.2 Mapas
O primeiro módulo do sistema é responsável por guardar as transformações de
variáveis e guardar os parâmetros de cada material. Os dados em cada classe são os
parâmetros do material e os métodos são as transformações de variáveis necessárias.
Maps
Maps
SiMaps
Figura 18 – Diagrama do módulo Mapas
Tabela 5 – Tabela de Propriedades do Silício
Sigla
Propriedades do Silício
Valor
Vth
ni
si
µn
µp
Cn
Cp
τn
τp
αn
αp
Encrit
Epcrit
Tensão
Concentração intrínseca de Portadoras
Permissividade relativa
Mobilidade dos elétron
Mobilidade dos buracos
Coeficiente de Auger
Coeficiente de Auger
Tempo de armadilha
Tempo de armadilha
Coeficiente de Impacto Ionizante
Coeficiente de Impacto Ionizante
Campo Critico para Impacto Ionizante
Campo Critico para Impacto Ionizante
0.026(V)
1, 1 ∗ 1011
11.9
1400(cm2 V −1 s−1 )
450(cm2 V −1 s−1 )
2, 8 ∗ 10−31 (cm6 s−1 )
9, 9 ∗ 10−32 (cm6 s−1 )
10−6 (s)
10−5 (s)
106 (cm−1 )
2 ∗ 106 (cm−1 )
V
2 ∗ 106 ( cm
)
6 V
1, 66 ∗ 10 ( cm )
5.2.1 Transformações de Variáveis
Certas transformações são usadas para poder melhorar a eficiência e a acurácia
da simulação, através de mudanças em escala (para diminuir os erros de ponto flutuante
ou estabilizar a simulação) e mudança de variáveis (para conseguir maior estabilidade ou
obter informações que precisamos).
5.2.1.1 Mudança de Escala
O uso de mudanças de escala tem um papel principal no algoritmo, uma vez
que permite melhorar a eficiência das contas, com o uso de valores menores na hora de
Capítulo 5. O Simulador
49
simular e evita os erros de estouro de precisão por baixo e por cima(overflow e underflow).
As classes desse módulo possuem métodos que permitem a troca de escalas, referente às
escalas na tabela abaixo.
Tabela 6 – Tabela de Mudanças de Escala
Variável
Variável escalada
Formula
Espaço
Comprimento de Debye intrínseco
Ld =
q
Comprimento de Debye extrínseco
Ld =
Potencial
Potencial térmico
VT =
ekb T
q 2 Nmax
kb T
q
Concentração de portadoras
Concentração intrínseca
Concentração de máxima dopagem
Tamanho do passo temporal
N = ni
N = Nmax
Ts = qN µ
Tempo
kb T
2
q q ni
5.2.1.2 Mudança de variáveis
Como foi dito no Capítulo 2, as 3 formulações de variáveis (natural, quasi-fermi
e Slootblom), ajudam a obter diferentes informações do problema. Na parte numérica,
usamos as variáveis de Slootblom para poder simular a solução estacionária, e quando
queremos simular a parte de transiente usamos as variáveis naturais.
5.2.1.3 Variáveis simétricas
Existe a necessidade de mudarmos as variáveis do problema devido à instabilidade numérica, e uma das técnicas é usar matrizes simétricas. Matrizes simétricas
possuem autovalores reais, e assim melhorar na estabilidade do método numérico. No caso
de modelos Hidrodinâmicos, temos que o sistema de matrizes não é nada simétrico, dados
pelas, matrizes Ai . Assim, temos a seguinte transformação de variáveis V(u) que leva ao
sistemas de matrizes simétricas A0i . Só apresentamos as matrizes aqui nesse trabalho, para
maiores explicações ver o seguinte artigo [Aluru et al. 1993]

2
µ − u2


 u1
1
 u2
V = 
T 

 u3

−1

0



−u1 u3
1

A1 = 
−u2 u3
T 

 a2 − u21 − e1 γ

−u3 (a2 − u21 − e1 )

1






v1



1 
 U = v
v2






v3


eint +
0
u3
0
−u1 γ
−u1 u3 γ


0
0
u3
−u2 γ
−u2 u3 γ










2
(5.1)
v
2
1
u1
u2
−u3 (γ − 2)
e1 − u23 γ

0



0


 (5.2)
0



γ

u3 (γ + 1)
Capítulo 5. O Simulador
50


0
u3
0
−u1 γ
−u1 u3 γ
1
0
u3
−u2 γ
−u2 u3 γ
0
u1
u2
−u3 (γ − 2)
e1 − u23 γ
0



0


 (5.3)
0



γ

u3 (γ + 1)

0
u3
0
−u1 γ
−u1 u3 γ
0
0
u3
−u2 γ
−u2 u3 γ
1
u1
u2
−u3 (γ − 2)
e1 − u23 γ
0



0


 (5.4)
0



γ

u3 (γ + 1)
0



−u1 u3
1

A2 = 
−u2 u3
T 

2
 a − u21 − e1 γ

−u3 (a2 − u21 − e1 )
0



−u1 u3
1

A3 = 
−u2 u3
T 

2
 a − u21 − e1 γ

−u3 (a2 − u21 − e1 )

u1 u3
u3 c1
u1 e3
v
e1 βT + u21 e4
u 1 c2
u 1 c2
u2 u1 e4
u1 c2
u1 c3
u1 u3 e4
u2 u1 e4
u1 u3 e4
u1 (e5 + 2e1 βvT )
u1 u2
u2 c1
u1 c2
c2
u1 c2
u2 (u22 + β3vT )
u1 u3
u1 u2 u3
u 3 c2
u2 e3
u2 u1 e4
e1 βvT + u22 e4
u1 u2 u3
u2 u1 e4
u3 c2
e1 βvT + u22 e4
u 2 c3
u2 u3 e4
u2 u3 e4
u2 (e5 + 2e1 βvT )
u
 3

u1 u3
T βT 
0

A3 = 2 u2 u3
v 

 c3
u1 u3
u3 c1
u1 u2 u3
u1 c3
u2 u3
u1 u2 u3
u3 c2
u2 c3
c3
u 1 c2
u 2 c3
u3 (u23 + β3vT )
u3 e3
u3 u1 e4
u2 u3 e4
e1 βvT + u23 e4
u3 e3
u1 u3 e4
u2 u3 e4
e1 βvT + u23 e4
u3 (e5 + 2e1 βvT )
0



T βT 

u1 u2
v2 

u1 u3

u1 e3

u
 2

u1 u2
T βT 
0

A2 = 2  c2
v 

u2 u3

u2 e3


c1
u1 (u21 +

u1 u2
u 2 c1
A1 =
u1
c1

3v
βT
)
u2 c1
u3 c1
v
e1 βT + u21 e4










(5.5)











(5.6)











(5.7)
Capítulo 5. O Simulador
51
5.3 Recombinação
Nesse módulo temos as classes responsáveis por representar os efeitos de recombinação dos dispositivos. Utilizamos uma classe abstrata pai, para poder além de criar
uma interface de programa genérica, poder criar pilhas de objetos diferentes. Cada objeto
pega as variáveis do problema, tensão e concentração de portadoras, e calcula os termos
de recombinação, adicionando o valor de recombinação ao vetor b, nas matrizes
respectivas para as equações de corrente para a buraco e elétron.
Recomb
Recomb
Band
Impact
SHR
Auger
Photon
Figura 19 – Diagrama do módulo das Recombinações
5.4 WENO
Nesse módulo temos as classes responsáveis pela implementação do método
WENO. Assim criamos uma classe WENO, onde usamos o método WENO-SHU, e
criamos a classe WENO-Z, uma variante do WENO desenvolvida na UFRJ [Borges et al.
2008].
WENO
WENO
WENO-Z
Figura 20 – Diagrama do módulo WENO
5.5 Condições de Fronteira
Nesse módulo temos as classes responsáveis por representar as condições de
fronteira. Utilizamos uma classe abstrata pai, para poder além de criar uma interface
genérica para esse módulo, podermos criar pilhas de objetos diferentes.
Capítulo 5. O Simulador
52
Constraint
AbstractConstraint
GateConstraint
NeumannConstraint
DirichletConstraint
BaseConstraint
Figura 21 – Diagrama do módulo das Condições de Fronteira
5.5.1 Implementação da Condição de Dirichlet
A implementação da Condição de Dirichlet é a mais fácil, já que só se deve
estampar uma identidade na matriz do problema e adicionar o valor no vetor b do sistema
linear, como a expressão abaixo indica.
h
i
· · · 0 1 0 · · · x = ui,j
5.5.2 Implementação da Condição de Base
A implementação da Condição de Base é parecida com a condição de Dirichlet,
mas só adiciona o valor da corrente de base exatamente nas equações que deriva-difusão.
h
i
AJ x = · · · 0 1 0 · · · x = Jbase
5.5.3 Implementação da Condição de Neumman
A implementação da condição de Neumman se da pela implementação dos
pontos fantasmas, ou seja, considerar que o ponto que está fora do grid de simulação
como sendo replica do outro ponto, ou seja, ui+1 = ui−1 . Logo o sistema fica como mostra
a condição abaixo.
ui−1,j −4ui,j +ui+1,j +2ui±1,j
= bi
h2
5.5.4 Implementação da Condição de Óxido
A implementação do óxido é a mais difícil de todas já que se trata da condição
de Neumman não homogênea. Utiliza-se a técnica do ponto fantasma em conjunto com
um termo adicional referente a parte não homogênea.
ui−1,j −4ui,j +ui+1,j +2ui±1,j
= bi + (2(uih−vg ))
h2
5.6 Poisson
Nesse módulo temos as classes responsáveis por resolver a equação de Poisson
em diferenças finitas. Utilizamos uma classe abstrata pai, para poder além de criar uma
interface entre o modelo e as classes desse módulo. Há quatro classes nesse módulo, cada
Capítulo 5. O Simulador
53
uma responsável por resolver o problema de Possion em um determinado cenário, como,
por exemplo, resolver a equação em 2D usando variáveis naturais, como é na classe
Poisson2D. Utilizamos uma técnica de zig-zag no grid na hora de resolver o sistema 2D,
de forma idêntica ao usado na televisão analógica.
Poisson
Poisson
Poisson2D
PoissonSlootbloom
PoissonSlootbloom2D
Figura 22 – Diagrama do módulo Poisson
5.7
Álgebra Linear
Toda a tarefa até agora foi transformar o problema em um sistema linear.
Agora, deve-se resolver o sistema linear, para isso temos o módulo de Álgebra Linear.
Além de uma classe pai abstrata, temos duas classes filhas LDUSolver e SparseSolver, que
representam respectivamente as matrizes de forma não-esparsa e de forma esparsa, ambas
sendo resolvidas pelo algorítimo LDU.
Álgebra
Linear
MatrixSolver
SparseSolver
LDUSolver
Figura 23 – Diagrama de módulo Álgebra Linear
Os seguintes tópicos referentes à álgebra linear devem ser discutidos para
mostrar certos aspectos do simulador, listado abaixo:
• Esparsidade da Matriz
• Estampar Matrizes
• Algoritmo LDU
Deve-se reparar que o sistema está cheio de zeros ou de valores repetidos, como
pode ser visto na figura abaixo, e guardar esses valores adiciona um custo computacional
elevado. Assim, o custo adicional de guardar os índices de cada valor não negativo se
Capítulo 5. O Simulador
54
torna vantajoso em quando se assume que não devemos guardar os valores zeros, assim
diminuindo os custos de memória.
Figura 24 – Típica matriz esparsa
Há vários formatos de como guardar uma matriz de forma esparsa, e vamos só
citar o formato de lista de coordenadas que é simplesmente o uso de três colunas para
indicar o valor e os índices, como mostrado abaixo. Esse é o formato usado no CXsparse.
h
i
V alores = · · · aij · · ·
h
i
h
i
Indice1 = · · · i · · ·
Indice2 = · · · j · · ·
Uma técnica muito usada em circuitos elétricos é o de estampa de matriz, que
são sub-matrizes que são adicionadas a matriz geral do problema. Essa mesma técnica é
utilizada no método de diferenças e elementos finitos, já que cada ponto ou nó só será
influenciado por alguns pontos
e nós.

a44 a48 
A0 = 
a84 a88


..
..
.
.
A=


· · ·





· · ·


A44 + a44 · · · A48 + a48
..
.
A84 + a84 · · · A88 + a88
..
..
.
.


· · ·





· · ·


Por último, devemos discutir o uso do algoritmo LDU, que é basicamente a
eliminação gaussiana com pivoteamento. A escolha desse algorítimo é devida ao fato que
ele não é um método iterativo, já que mesmo que os métodos iterativos sejam bem mais
rápidos, eles não necessariamente convergem em tempo finito de iterações.
Capítulo 5. O Simulador
55
Algoritmo 1: Algorítimo LDU
Entrada: Vector b, Matriz A
Saída: Vetor x
inicio
repita
Use índice i ;
if Se Aii é igual a 0 then
Procure por alguma linha com índice maior que i, onde o i-ésimo valor
dessa linha seja diferente de zero e permute essa linha com a linha i.
else
repita
Use índice m ;
ii
Tome o valor de Pivô como p = −A
.
Aim
repita
Use índice j ;
Ajm = Ajm -p*Ajm
bj = bj - p*bj
até Repita da i-ésima coluna até a ultima coluna;
até Repita da linha i+1 até a ultima linha;
end
até Repita até a ultima linha;
repita
Use índice j ;
repita
Use índice i ; bj = bj - Aj,i bi
até Repita de j+1 até ultima coluna;
j
xj = Abjj
até Repita da ultima linha até primeira linha;
fin
5.8 Modelo
A ideia de modelo na filosofia do MVC é de instanciar as informações geradas e
criadas, ou seja será onde realmente acontece o processamento de informação. Assim
sendo, nesse módulo, teremos as classes que implementam o processo de simulação como
um todo, juntado dentro de uma mesma instância de uma classe do modelo, instancias
das classes dos módulos Constraint, Poisson ,FEM, WENO, Linear Álgebra, TimeStepper
e Util.
Capítulo 5. O Simulador
56
Model
Model
FDModel1D
FDModel2D
FEMModel2D
Figura 25 – Diagrama de módulo de Modelos
5.9 Método de Elementos Finitos
Nesse módulo do Simulador temos todas as classes de implementação do
método de elementos finitos. Utilizamos diversas técnicas de template para aumentar o
reúso do código, por exemplo colocando a dimensão como parâmetro de template,
evitando a construção de uma classe para cada dimensão.
FEM
Mesh
FEM
Current
Poisson
Node
PoissonSlootBloom
Figura 26 – Diagrama de Modulo de Elementos Finitos
5.10 Interface Gráfica
Como é conhecido desde os princípios da análise numérica que uma imagem
vale por mais de mil autovalores, devemos saber como plotar os resultados. É essencial
saber plotar os dados, para poder analisar os valores obtidos. Usamos nesse módulo a
biblioteca WxWidget, sendo uma API gráfica portável, capaz de gerar gráficos a partir da
Biblioteca OpenGl.
Para desenhar, usamos um vetor de objetos, capaz de guardar vários objetos
diferentes, sendo todos esses filhos do mesmo pai, como já foi descrito acima. Assim sendo
temos um classe para desenhar um Elemento Finito, uma para desenhar uma superfície,
para escrever um texto, e assim por diante.
Capítulo 5. O Simulador
57
GUI
GraphicApp GraphicObject
GraphicMain
GLCanvas
GraphicPlot
Figura 27 – Diagrama de módulo de Interface Gráfica
5.11 Utilidades
Nesse módulo, temos as classes que fazem parte do sistema de controle do programa ou que interferem em diversos módulos do programa. Primeiramente temos a
Classe ControlProgram, que recebera os comandos dos usuários e controlar as partes
dos sistemas para gerar as saídas pedidas. Como exemplo, caso o usuário queira mudar
algum parâmetro da simulação, uma instância singleton (ou seja uma única e exclusiva
instância dessa classe) tratara de pegar o valor novo inserido pelo usuário e coloca-lo no
modelo selecionado, e re-executara a simulação e encaminhara os resultados para a interface gráfica para plotar. Outras classes que são usadas como auxiliar de controle também
estão nesse módulo, como classes para escrever em arquivo. Além disso temos um conjunto de funções especiais que são da natureza do problema, como a função de Bernoulli e
Integral de Fermi de índice meio, implementadas em Util Func.h , e se encontra nesta
parte do programa já que tanto quanto simulação quanto a parte gráfica necessitarão
dessas funções para plotagem.
Util
Util func
ControlProgram
Semi
Project
Figura 28 – Diagrama do Modulo de Utilidades
Capítulo 5. O Simulador
58
5.12 Evolução no tempo
Neste módulo estão implementados os métodos computacionais para evolução
do tempo.
TimeStepper
RungeKutta
TimeIntegrator
MultiStep
Figura 29 – Diagrama do módulo Time-Stepper
Foi implementado as duas classes mais significativas desses métodos, Multiestágio e Multi-passo. A classe dos métodos Multiestágio, são representados pelos método
de euler e Runge-Kutta e basicamente é utilizam o estagio, ou seja pontos intermediários
entre o ponto atual ao próximo ponto.
k1 = f (xi , yi )
k2 = f (xi + 21 , yi + 12 k1 h)
k3 = f (xi + 21 , yi + 12 k2 h)
k4 = f (xi + h, yi + k3 h)
yi+1 = yi + 16 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )h
A classe dos métodos Multi-Passo, são representados pelos métodos trapézio e
gear, e tem como característica a utilização dos passos anteriores para para calcular os
valores simulados.
k = 1 : yn+1 = yn + hfn
k = 2 : yn+1 = yn + h 23 fn − 12 fn−1
23
f
12 n
h 55
f
24 n
k = 3 : yn+1 = yn + h
−
k = 4 : yn+1 = yn +
−
16
f
12 n−1
59
f
24 n−1
+
+
5
f
12 n−2
37
f
24 n−2
−
9
f
24 n−3
.
59
6 Resultados
Os quatro capítulos anteriores foram um longo caminho para agora aplicar o
simu- lador nos casos de testes da literatura. Os testes vão desde o Diodo até o Transistor
MOSFET, passando por 1 ou 2 dimensões. Apresentaremos graficamente os resultados e a
descrição do dispositivo.
6.1 Introdução
Após uma longa discussão sobre os modelos e como simular os dispositivos,
vamos testar o simulador com alguns casos comuns de dispositivo, como o Diodo PN,
Diodo PIN, Transistor bipolar e o Transistor MOSFET. A escolha desses dispositivos é
devida primeiramente ao constante uso deles frente a outros dispositivos. Além de plotarmos as curvas de Voltagem-Corrente de cada dispositivo, usando a escala de ampere para
corrente e volts para tensão; plotamos as concentrações de portadoras, para exemplificar
como ocorrem algumas modificações dessas concentrações quando o dispositivo está em
operação; plotamos o potencial ao longo do dispositivo, já que esta é alterado quando o
dispositivo esta em operação; plotamos o campo elétrico ao longo do dispositivo, que pode
ser usado para indicar os campos de junções e mostrar como o campo é usado em
dispositivo MOSFET.
As escalas que foram usadas são: corrente em ampere, o potencial em Volts, o
comprimento esta na multiplicidade de comprimento de Debye, que para todas as
simulações é de 1,3 µm, o campo elétrico em V/cm e a concentração esta em cm−3 .
6.2 Diodo 1D
O caso mais simples é o diodo PN, já que só apresenta uma junção. Assim
vamos considerar que se tenha um valor N = 1016 e P = 1016 , com a dopagem dividida
igualmente. Os resultados obtidos são condizentes com o observado nos dispositivos reais,
como mostra as curvas de Tensão-Corrente, que apresenta a curva de crescimento exponencial tipica do diodo com a voltagem de 0.7 V. No gráfico da concentração de portadoras, temos em vermelho os elétrons e em verde os buracos. O gráfico do campo elétrico
apresenta no meio da junção um campo elétrico simétrico, como esperado e o gráfico do
potencial apresenta uma diferença de potencial de 0.7 V entre os contatos (que são o
extremo de cada gráfico), como esperado.
Capítulo 6. Resultados
60
N
P
Figura 30 – Diodo PN
(a) Gráfico VI
(c) Dopagem
(b) Campo Elétrico
(d) Potencial
6.3 Diodo PIN
Outro caso de simulação é o diodo PIN, em que é colocada uma dopagem intermediária no meio do dispositivo, sendo usado como fotodetector ou resistor de resistência variável em RF. Assim, vamos considerar que se tenha um valor N+ = 1018 , N = 1016
e P = 1016 , dividido, respectivamente, nos seguintes comprimentos: 30 Debye (39µm), 20
Debye (26µm) e 50 Debye (65 µm). Não foi simulada a característica de fotodetector. Os
resultados obtidos são condizentes com o teórico, como mostram as curvas de TensãoCorrente, concentração de portadoras, campo elétrico e potencial.
Capítulo 6. Resultados
61
N+
N
P
Figura 32 – Diodo PIN
(a) Gráfico VI
(c) Dopagem
(b) Campo Elétrico
(d) Potencial
6.4 Transistor Bipolar 1-d
Mesmo que aparentemente o transistor bipolar seja tomado com 2 dimensões,
existem estratégias para poder simulá-lo com só uma dimensão. Podemos tomar um
triodo com a dopagem de NPN, e utilizar uma condição de fronteira constante para região
da base, podendo, assim, simular o dispositivo. A dopagem do dispositivo é N = 1018 e P
= 1016 (que devido a dopagem simétrica implica num β pequeno), e na figura 33-a, as
correntes de base foram 5mA, 3mA,1mA, 500µ 300µ. Nas figuras 33 d-f em verde é
mostrado o comportamento do transistor com 5 volts no coletor, o qual este é
representado pelo contado no ponto zero.
Capítulo 6. Resultados
62
N
P
N
Figura 34 – Transistor Bipolar NPN
(a) Gráfico Vce IC
(b) Campo Elétrico
(c) Campo Elétrico Estacionário
(d) Potencial
(e) Concentração de elétrons
(f) Concentração de buracos
6.5 Diodo 2D
Retornamos ao caso simples do diodo PN, para podermos comparar com o caso
1d. Considere que se tenha um valor N = 1016 e P = 1016 , idêntico ao primeiro caso, com
a dopagem dividida igualmente. O comprimento e largura do dispositivo são 78(µm) por
78(µm), ou seja 60 por 60 de comprimento de Debye. Os resultados obtidos são condizentes com o observado com os dispositivos reais, como mostra as curvas de TensãoCorrente, que apresenta a curva de crescimento exponencial típica do diodo com a voltagem de 0.7 V, além de apresentar um aumento de corrente devido ao fato de considerar a
Capítulo 6. Resultados
63
largura do diodo. No caso 2d, foram feitas algumas modificações na plotagem como plotar
em separado as concentrações de portadoras e plotar o campo elétrico em vetores sobre o
potencial no diodo.
N
P
Figura 36 – Diodo PN 2D
(a) Gráfico VI
(b) Campo Elétrico sobre Potencial
(c) Concentração de elétrons
(d) Concentração de buracos
(e) Potencial
Capítulo 6. Resultados
64
6.6 Transistor MOSFET
O transistor MOSFET, um dos dispositivos mais versáteis da indústria, usado
deste circuitos digitais até sensores de imagem, é o último caso deste trabalho. Simulamos
um MOSFET tipo-N, como indicado na figura 38, com um canal de comprimento de 52
µm(40 Comprimentos de Debye), dopagem de dreno e fonte N = 1020 e de substrato P =
1016 , em tecnologia LDD(Light-Doped-Drain) de dopagem N = 1018 , onde se evita injeções
de portadoras no óxido entre o GATE e dreno e fonte. O óxido sob a porta tem espessura
65 nm, e permissividade relativa 3,9. O resultado desta simulação, como pode ser visto nas
figuras 38 a - d, coincidem com o esperado, tanto nas concentrações de elétrons e buracos,
como no potencial e campo elétrico estacionários nas regiões de dreno, fonte, substrato e
canal, comprovando o funcionamento correto do simulador desenvolvido neste trabalho.
D
A
B
C
E
Figura 38 – Transistor MOSFET
(a) Concentração de elétrons
(c) Concentração de buracos
(b) Potencial estacionário
(d) Campo Elétrico sobre Potencial
Capítulo 6. Resultados
65
Os resultados da simulação do comportamento dinâmico deste transistor,
mostrados nas figuras 40, confirmam que há condução quando Vgs ≥ Vth (gráfico Vgs ID
com Vds = 2V). No gráfico Vds ID , quando Vgs = 0.6V o dispositivo está cortado (Para
simular em inversão fraca é necessário usar uma malha não-uniforme) mas conduz com
Vgs entre 0.8V até 1.0V, em passos de 0.02V. Esta condução na região de saturação se dá
com IDS independente Vds e variando quadraticamente em relação Vgs . No gráfico de
concentração de elétrons, em escala log, observa-se canal pinçado perto do contato do
dreno para tensões Vgs − Vth ≥ 0. Nos demais gráficos podemos observar o efeito do canal,
com o decréscimo de buracos, a subida de tensão e o surgimento de um grande campo
elétrico na região do gate. Assim podemos concluir que simulamos corretamente este
MOSFET de canal longo.
(a) Gráfico Vgs Ids
(c) Concentração de Elétrons
(e) Potencial
(b) Gráfico Vds Ids
(d) Concentração de Buracos
(f) Campo Elétrico sobre Potencial
Figura 40 – Transistor MOSFET dinâmico
66
7 Conclusão
Assim chegamos ao fim dessa longa jornada, com muitas derivadas, muitas
matrizes e muitas equações. Assim encerramos esta apresentação nesse último capítulo,
com o intuito de resumir o que foi feito e como prosseguir em trabalhos futuros.
7.1 Introdução
Nesse trabalho foram estudados os modelos de dispositivos semicondutores até
como simulá-los. Para isso, passamos por equações de derivadas parciais e modelos físicos,
como a equação de Boltzmann e seus modelos aproximados, como o modelo deriva-difusão
e o modelo hidrodinâmico. Depois foram estudados os métodos computacionais para simular os dispositivos, como o método de Monte Carlo, Elementos Finitos e Diferenças
Finitas. Finalmente, foi explicado o projeto do simulador e apresentamos os resultados dos
testes realizados.
Obtivemos resultados bem satisfatórios, como mostra a semelhança entre as
curvas de dispositivos simulados com os da literatura. Assim, o simulador poderia ser
usado para explorar novas tecnologias e auxiliar no ensino. Finalmente, pode-se alterar os
diversos parâmetros do dispositivo, como a geometria e o material.
7.2 Trabalhos Futuros
A área de microeletrônica computacional é muito extensa e demanda um estudo
aprofundado e abrangente, envolvendo desde uma matemática avançada, conhecimentos
físicos, algoritmos e métodos numéricos. Assim, vamos enumerar os possíveis trabalhos
para o futuro:
• Efeito Hall: O efeito Hall apresenta diversas aplicações, como medição corrente num
fio até cálculo da dopagem de um semicondutor. Para simular devemos retornar até
a equação de Boltzmann e refazer os modelos determinísticos considerando o campo
magnético. [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]
• Simulador de Monte Carlo: Em pequenas escalas, os modelos de semicondutores
como deriva-difusão e hidrodinâmico perdem sua precisão, normalmente em 500
nanômetros e 100 nanômetros, respectivamente. Para continuar o desenvolvimento
para escalas menores, se torna necessário escrever um simulador usando o método
de Monte-Carlo. [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]
Capítulo 7. Conclusão
67
• Efeitos Térmicos: Além de considerar os efeitos em baixas temperaturas, os efeitos
de aquecimento do dispositivo, que seria de vital importância para dispositivos de
potência como IGFET e o Tiristor. Para isso, devemos acoplar ao sistema a equação
do calor abaixo, que rege a evolução da temperatura, onde T é a temperatura e H é
a geração de calor. [Selberherr 2006] [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]
ρc
∂T
− H = ∇ · (k∇T )
∂t
(7.1)
• Correções Quânticas: Alguns efeitos quânticos não foram levados em consideração,
como o tunelamento, não sendo possível simular o diodo Túnel e outros. Para se
implementar esses efeitos deveríamos resolver a equação de Schrödinger acoplada a
equação de Poisson. [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]
• Novos Materiais: A família de semicondutores se torna cada vez mais extensa, e
como nesse trabalho só foi considerado o silício como material, poderíamos estender
os resultados para Arseneto de Gálio, e outros. [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]
• Outras Formas de Recombinação: Além das recombinações mencionadas nessa obra,
existem outras a serem consideradas, como a Fowler-Nordheim, que modela Injeção
de carga no óxido. [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]
• Processos de Fabricação: Além de simularmos os dispositivos poderíamos simular os
processos de fabricação desses dispositivos, como a difusão de dopagem e oxidação
para formação do gate. Muitos dos processos de fabricação são modelados com equações de derivadas parciais, como a equação do calor para o processo difusivo e
equação de transporte, para o processo de oxidação. [Selberherr 2006]
• Spice: Um passo interessante será acoplar o simulador com o spice para simular todo
o circuito ao mesmo tempo, podendo assim levar a simulações mais robusta. Assim
em vez de ser usado o modelos de data-fitting do spice, poderíamos usar as simulações aqui apresentadas, que levariam a resultados mais próximos da
realidade. [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]
• Métodos Iterativos e outros algoritmos: A muito a ser explorado na parte de algoritmos, como implementação de métodos iterativos para resolver sistema lineares e
melhorias no Newton-Raphson. Uma lista de possíveis melhorias seria: [Markowich,
Ringhofer e Schmeiser 1990] [Selberherr 2006]
– Outros formatos de matrizes esparsas.
– Matrizes de Condicionamento.
– Métodos Iterativos(Gradiente Conjugado,...)
Capítulo 7. Conclusão
68
– Métodos de Quasi-Newton e outros.
– Refinamento Adaptativo
• Aprofundamento Teórico: Devido ao nível de graduação, foram evitados certos tipos
de discussão, deste a existência de solução e espaços de solução, até estabilidade e
convergência de métodos numéricos, uma vez que esse nível de análise é visto em
cursos de mestrado. Entretanto, esse tipo de análise é necessária, que pode ser
exemplificado com o dispositivo tiristor, que não possui unicidade na existência da
solução estacionária, o que justifica o comportamento do dispositivo, já que para
uma certa voltagem há existência de dois níveis de corrente. [Markowich, Ringhofer
e Schmeiser 1990]
69
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72
Índice
algorítimo
LDU, 53
Cloud-In-Cell, 35
condição
de Dirichlet, 15
de Neumnan, 15
periódica, 15
contato
óxido-semicondutor, 31
ôhmico, 30
Schottky, 30
Design Pattern
MVC, 46
singleton, 57
template, 46
equação de
deriva-difusão, 21
Boltzmann, 3
deriva-difusão, 23
Hidrodinâmica, 19
Liouville, 4
Poisson, 3
Schrödinger, 3
esquema, 41
Backward-Euler, 41
centrado, 41
de Scharfetter-Gummel, 42
Forward-Euler, 41
Formulação
Natural, 24
Quasi-Fermi, 24
Slootbloom, 25
funcional de Lyapunov, 16
Iteração de Gummel, 43
método
de Monte Carlo, 33
de Petrov–Galerkin, 39
do Elemento Finito, 38
dos momentos, 17
gear, 58
Runge-Kutta, 58
trapézio, 58
WENO, 44
matriz, 53
esparsa , 53
simétrica, 49
medianização, 17
Momento, 17
Operador Traço, 19
Pêndulo de Kapitza, 17
ponto fantasma, 52
recombinação
banda a banda, 26
de Auger, 27
de fóton, 29
de impacto por ionização, 26
SHR, 28
Regra de Matthiessen, 21
Teorema de Bloch, 7
Teorema H, 16
WENO
SHU, 44
Z, 44