átomo núcleo -orbitando -magnésio -maior

Estrutura Atômica
Química Quântica
Profa. Dra. Carla Dalmolin
 O Átomo de Hidrogênio
 Momento angular
 Spin
Átomos Hidrogenóides
 Átomo ou um íon que contem apenas 1 elétron
 H, He+, Li2+, etc.
 A Eq. de Schrödinger pode ser resolvida exatamente apenas para
átomos hidrogenóides.
 Estrutura de átomos polieletrônicos e moléculas são descritas a
partir de conceitos desenvolvidos para os átomos hidrogenóides
Energia Potencial Coulombiana
+Ze
r
Ze2
V 
4 0 r
 Hamiltoniano para o elétron e um núcleo de massa mN:
Hˆ  Eˆ k ,elétron  Eˆ k ,núcleo  Vˆ
2
2
2


Ze
Hˆ  
 e2 
 2N 
2me
2mN
4 0 r
2
2
2



* 2  2  2  2
x
y
z
Separação de Variáveis
 A Eq. de Schrödinger é separada em duas:
 Movimento translacional: movimentação do centro de massa através do espaço.
 Movimento do elétron em relação ao núcleo.
ψtotal = ψc.m..ψ
Etotal = Ec.m..E
 Onde a equação para o movimento do elétron é:
 μ = massa reduzida
2 2
Ze2
1
1
1

 
  E ;


2
4 0 r
 me mN
1
1
*

me
mN
  me
Separação de Variáveis
 A Energia Potencial é esferossimétrica:
não depende do ângulo
 A eq. do movimento do elétron pode
ser separada nas componentes radial
e angular
ψ(r,θ,ϕ) = R(r).Y(θ,ϕ)
Função de onda radial
2
2
 d u
 Vef u  Eu
2
2 dr
* u  rR

Função de onda angular
2Y  l (l  1)Y
1 2
1 

 


sin

sin 2   2 sin  

2
Função de Onda Radial
 Descrição analítica do movimento de uma partícula de massa μ numa
região unidimensional 0 < r < ∞ com energia potencial Vef(r)
 2 d 2u

 Vef u  Eu
2
2 dr
* u  rR( r )
Ze2
l (l  1) 2
Vef  

4 0 r
2r 2
Energia potencial coulombiana do elétron
no campo do núcleo
Força centrífuga proporcionada pelo
momento angular do elétron em relação
ao núcleo
Função de Onda Radial
 Quando ℓ = 0: elétron não tem momento angular
 Vef é puramente coulombiana e atrativa para qualquer valor de r
 Quando ℓ ≠ 0: o termo da força centrífuga contribui para Vef
Termo coulombiano »
Termo centrífugo »
Ecoulombica  1
Ecentrífuga  1
r
r2
Quando o elétron está próximo do núcleo:
r~0
Termo repulsivo (centrífugo) domina a componente
atrativa (coulombiana)
Função de Onda Radial
 Soluções radiais:
 Função R(r):
 2 d 2u

 Vef u  Eu
2
2 dr
* u  rR( r )
Ze2
l (l  1) 2
Vef  

4 0 r
2r 2
 Energia (E):
Z 2 e 4
En  
; n  1,2,...
2 2 2
32  0  n
Forma Geral da Função de Onda
Radial
Rn,l (r )  N n,l  L
l
2Zr

na0
2l 1
n 1
(  )e

2
4 0  2
a0 
me e 2
 Raio de Bohr (a0): raio da órbita do elétron com menor energia
no modelo primitivo de Bohr para o átomo de hidrogênio.
 L(ρ): Polinômio associado de Laguerre, polinômio em ρ
 N: constante de normalização
Forma Geral da Função de Onda
Radial
 ψ(n,l,ml) = R(n,l)Y(l,ml) ; Y: harmônicos esféricos
Funções de Onda Radiais
Exemplo
 Calcule a densidade de probabilidade no núcleo de um elétron com n = 1,
l = 0 e ml = 0
 Calcula-se ψ em r = 0
3
2
Z  1 
 1,0,0 (0, ,  )  R1,0 (0)Y0,0 ( ,  )  2   
 a0   4 
 Portanto, a densidade de probabilidade é:
3
Z
 1,0,0 (0, ,  ) 2  3
a0
 Para o hidrogênio (Z = 1):
 1,0,0 (0, ,  ) 2  2,15.106 pm3
1
2
Orbitais Atômicos
 Um orbital atômico é a função de onda de um elétron em um átomo.
 Cada orbital atômico de um átomo hidrogenóide é definido por 3 números
quânticos: n, l e ml
 n = número quântico principal (n = 1, 2, 3, ...); determina a energia do elétron
Z 2 e 4
En  
; n  1, 2,...
2 2 2 2
32  0  n
 l e ml: derivados das soluções angulares; especificam o momento angular do
elétron em torno do núcleo
 O momento angular de um elétron num orbital com número quântico l (l = 0,
1, 2,...,n-1) é dado por:
1
Módulo do momento angular  {l (l  1)} 2 ; l  0,1,2..., n  1
 E a componente z do momento angular de um elétron num orbital com
número quântico ml (ml = 0, ±1,±2,...,±l) é dado por:
Componente em z  ml ; ml  0,1,2,...,l
Spin
 Além dos movimentos de translação e rotação em torno do núcleo, o
elétron também apresenta um movimento de rotação em torno do próprio
eixo
 Momento angular intrínseco: spin
 As condições de contorno do spin são diferentes das condições para uma
partícula girando em torno de um ponto central
 A resolução para o momento angular e magnético spin são obtidas apenas
com a combinação da mecânica quântica com a teoria da relatividade especial:
mecânica quântica relativística
 Para diferenciar os dois movimentos:
 Número quânticos spin (s), que para o elétron é restrito a s = ½
 Número quântico magnético do spin (ms), ms = s, s-1, ..., -s
 para o elétron: ms = ±½
Os níveis de Energia
 Níveis de energia calculados para o átomo de H
 As energias (e as separações) são proporcionais a Z2
 Energias negativas: estados ligados
 A energia do átomo é menor que a do elétron e do
núcleo infinitamente distantes (energia nula)
 Energias positivas: estados não-ligados
 Estados correspondentes ao elétron expelido de um
átomo devido a uma colisão de alta energia
 Energias não-quantizadas
H e4
hcRH
hcRH 
 En   2
2 2
32  0 
n
Espectro do Hidrogênio
 Série de Lyman: n1 = 1
 Série de Balmer: n1 = 2
 Série de Paschen: n1 = 3
Energia quantizada: transições eletrônicas
 1 1 
~
  RH  2  2 
 n1 n2 
RH = 109677cm-1
Energia de Ionização
 Energia mínima necessária para remover um elétron do átomo no estado
fundamental (n = 1)
 Para o átomo de H:
n1  1  E1  hcRH
n2    E2  0
E  I  hcRH
 I = 2,179 aJ (2,179.10-18 J) ou 13,60 eV
Camadas e Subcamadas
 Todos os orbitais com o mesmo valor de n forma
uma camada do átomo
 Os orbitais com mesmo valor de n, mas
diferentes valores de l, formam uma subcamada
Para os átomos
hidrogenóides, todos os
orbitais de uma mesma
camada tem a mesma
energia
Os Orbitais s
 Para o átomo de H (Z=1) no estado fundamental (n=1, l=0, ml=0)

1
a 
1
3 2
0
e
r
a0
Cálculo do raio médio
 Calcule o raio médio do orbital 1s para um átomo hidrogenóide
 O raio médio é o valor esperado <r>
r   * rd   r  d
2
d  r 2 dr sin dd
 Com a função de onda na forma ψ = RY:
  2
r     rRn2,l Yl ,ml sin dd
2
0 0 0
 2

r   r R dr    Yl ,ml sin dd
3
2
n ,l
0
2
0 0

r   r 3 Rn2,l dr
0
 Para o orbital 1s:
3
2
H (Z=1) : <r> = 79 pm
He+ (Z=2): <r> = 40 pm

 Z   Zr a0
3a0
4Z 3 3 2 Zr a0


R1,0  2  e
 r  3 r e
dr 
a0 0
2Z
 a0 
Cálculo do Raio Mais Provável
 Função de Distribuição Radial, P(r): densidade de probabilidade que,
multiplicada por dr, dá a probabilidade de encontrar o elétron no interior de
uma casca esférica de espessura dr, à distância r do núcleo.
 É o máximo da função radial do orbital 1s
dP
0
dr
 Para o orbital 1s:
dP 4Z 3 
2Zr 2   a0 8Z 3  Zr 
e
 3  2r 
 3 r 1  e
dr
a0 
a0 
a0  a0 
2 Zr
2 Zr
a0
a
dP
 0 se r  0 (solução ignorada) ou r  0
dr
Z
r*/pm
H
He+
Li2+
Be3+
52,9
26,5
17,6
13,2
Orbitais p
 Quando l = 1, há 3 orbitais que se diferenciam apenas pelos valores de ml
 ml: momento angular em relação ao eixo z
 o elétron tem o mesmo módulo de momento angular nos 3 orbitais, mas com
direções diferentes
 Função de onda de um orbital 2p
 Para ml = 0:
5
2
 Zr
Z
1
2 a0


  R2,1 (r )Y1,0 ( ,  ) 
r
cos

e
4(2 )1 2  a0 
  r cos f (r )  zf (r )
 Para ml = ±1
 x  r sin  cos f (r )  xf (r )
 y  r sin  sin f (r )  yf (r )
Orbitais p
 pz: a função de onda é nula em qualquer ponto do plano xy onde z = 0, ou
seja, o plano xy é um plano nodal
 O orbital px tem a mesma forma de pz, mas está orientado sobre o eixo x.
O orbital py está orientado sobre o eixo y
 A função de onda de qualquer orbital p pode ser escrita como o produto de x,
y, ou z e uma mesma função radial (que depende de n)
Orbitais d