Programa Recursivo

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
Aula 04 – Programa Recursivo
e Máquinas
Prof.ª Danielle Casillo
Funções recursivas
Alguma função é recursiva quando é definida
em termos dela própria.
Teoria da Computação
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Recursão - definição
Uma definição na qual o item que está sendo
definido aparece como parte da definição;
O que devo ter?
◦ Uma Base ⇒ Ponto de Partida
◦ Um Passo Recursivo ⇒ Gerar novos casos
Conceito poderoso
◦ Define conjuntos infinitos com comandos finitos
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Recursão - definição
Vantagens
◦ Redução do tamanho do código fonte
◦ Permite descrever algoritmos de forma mais clara
e concisa
Desvantagens
◦ Redução do desempenho de execução devido ao
tempo para gerenciamento de chamadas
◦ Dificuldades
na
depuração
de
programas
recursivos, especialmente se a recursão for muito
profunda
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Recursão - definição
Uma sub-rotina recursiva pode ser:
◦ Diretamente recursiva:
P chama P;
◦ Indiretamente recursiva
P chama Q chama R.... chama P.
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Passos para desenvolvimento
de algoritmos recursivos
Passo 1: Entender o problema.
Exemplo: Série de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...
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Passos para desenvolvimento
de algoritmos recursivos
Passo 2: Formular o problema em uma (ou
mais) funções/procedimentos recursivos.
◦
◦
◦
◦
◦
Fibonacci(1)
Fibonacci(2)
Fibonacci(3)
Fibonacci(4)
Fibonacci(5)
=
=
=
=
=
1
1
2
3
5
Qual é a sequência (equação matemática)?
◦ Fibonacci(1) = 1
◦ Fibonacci(2) = 1
◦ Fibonacci(n) = Fibonacci(n -1) + Fibonacci(n - 2)
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Passos para desenvolvimento
de algoritmos recursivos
Passo 3: Implementar:
Teoria da Computação
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Passos para desenvolvimento
de algoritmos recursivos
Passo 4: Testar:
◦ A primeira coisa a fazer é verificar se o
algoritmo sempre chegará ao caso trivial (fim do
programa). Depois disso execute um teste
montando a árvore de recursividade para alguns
casos.
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Recursividade
Quando elaboramos uma rotina para efetuar
uma tarefa, as possíveis soluções podem estar
em uma entre duas classes:
a) Solução Iterativa: na forma de uma rotina
“fechada”, que especifica a rotina como uma
sequência de passos onde o problema original
não aparece. Por exemplo, o fatorial de n é:
fat(n) = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1
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Recursividade
b) Solução Recursiva: a solução é expressa em
uma forma “aberta”, onde a solução depende
da solução do mesmo problema para um caso
mais simples ou reduzido. Assim, podemos
expressar a mesma função fat(n) do exemplo
anterior como:
fat(n) = n * fat(n-1)
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Implementação de Fatorial
Recursivo X Não Recursivo
Implementação não Recursiva
Function Fatorial (n: integer):
real;
var i : integer;
result: real;
begin
result :=1;
for i:= 2 to n do
result := result * i;
Fatorial:= result;
end;
Implementação Recursiva
Function Fatorial (n: integer): real;
begin
If n = 0 then
Fatorial := 1;
else
Fatorial := n * Fatorial (n-1);
end;
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Idéia básica
Como já citado, a recursão corresponde a uma
função “chamar” a si mesma, dentro de seu
código;
A execução de uma recursão cria uma árvore em
que cada nó, que não seja nó folha, tenha um
número N de filhos, sendo N o número de vezes
que a função chama a si mesma dentro de seu
código;
Os nós folhas geralmente representam o final da
recursão naquele trajeto e constituem o que
chamamos de “caso de parada”.
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Dicas
Não se aprende recursividade sem praticar
Para montar um algoritmo recursivo
◦ Defina pelo menos um caso básico (condição de
terminação);
◦ Quebre o problema em problemas menores,
definindo o(s) caso(s) com recursão(ões)
◦ Fazer o teste de finitude, isto é, certificar-se de
que as sucessivas chamadas recursivas levam
obrigatoriamente, e numa quantidade finita de
vezes, ao(s) caso(s) básico(s)
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Programa Recursivo
Eu sou você amanhã, digo,
uma recursão adiante
Recursão é uma forma indutiva de definir programas.
Sub-rotinas permitem a estruturação hierárquica de
programas, possibilitando níveis diferenciados de abstração.
Conjunto de Identificadores de Sub-Rotinas - R1, R2, ..
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Programa Recursivo
Expressões de sub-rotinas:
◦ A operação vazia
sub-rotinas.
constitui uma expressão de
◦ Cada identificador de operação constitui uma
expressão de sub-rotinas.
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Programa Recursivo
◦ A Composição Sequencial: é denotada por:
D1;D2 resulta em uma expressão de sub-rotina
cujo efeito é a execução de D1 e, após, a
execução de D2.
◦ A Composição Condicional: Se D1 e D2 são
expressões de sub-rotinas e T é um identificador
de teste, então a composição condicional é
denotada por: (se T então D1 senão D2)
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Programa Recursivo
Um Programa Recursivo P tem a seguinte
forma:
P é E0 onde R1 def E1, R2 def E2, ..., Rn
def En
em que (suponha k ∈ {1, 2, ..., n}):
◦ E0 : expressão inicial a qual é uma expressão de
sub-rotinas;
◦ Ek : expressão que define a sub-rotina
identificada por Rk.
◦ A operação
vazia constitui um programa
recursivo que não faz coisa alguma.
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Programa Recursivo
Exemplo: programa recursivo
P é R; S onde
R def F; (se T então R senão G; S),
S def (se T então senão F; R)
Note que a recursão é implícita, no sentido em
que as subrotinas R e S se referenciam
mutuamente, e portanto, R e S se autoreferenciam indiretamente.
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Programa Recursivo
A computação de um programa recursivo
consiste na avaliação da expressão inicial onde
cada identificador de sub-rotina referenciado é
substituído pela correspondente expressão que
o define, e assim sucessivamente, até que seja
substituído
pela
expressão
vazia
,
determinando o fim da recursão.
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Programa Recursivo
Até agora, foram definidos três tipos de
programas. Entretanto, esses programas são
incapazes de descrever uma computação, pois
não se tem a natureza das operações ou dos
testes,
mas
apenas
um
conjunto
de
identificadores. A natureza das operações e
testes é especificada na definição de
máquina.
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Exercícios
1.
Identifique e compare construções análogas
às usadas nas definições de programas
monolítico, iterativo e recursivo na linguagem
de programação C++.
Programa monolítico, Programa Iterativo, Programa Recursivo
if A > 0 then
{
A = A – 1;
B = B + 1;
}
while A > 0 do
{
A = A – 1;
B = B + 1;
}
function TC
{
if A > 0 then
{
A = A – 1;
B = B + 1;
TC;
}
}
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Exercícios
2.
Fatorial para um programa recursivo:
function fatorial (int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else
return n * fatorial (n - 1);
}
3)
Faça o mesmo programa para um programa
iterativo
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Exercícios
int n;
{
long f = 1;
int i;
if (n == 0)
return f;
else
{
for (i = 1; i <= n; i++)
f = f * i;
return f;
}
}
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Máquinas
Interpreta os programas de acordo com os
dados fornecidos.
É capaz de interpretar um programa desde que
possua uma interpretação para cada operação
ou teste que constitui o programa.
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Máquinas: definição
A máquina deve suprir todas as informações
necessárias para que a computação de um
programa possa ser descrita:
Caractrerísticas:
◦ cada identificador de operação deve caracterizar
uma transformação na estrutura da memória da
máquina;
◦ cada identificador de teste interpretado pela
máquina deve ser associado a uma função
verdade;
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Máquinas
Características:
◦ nem todo identificador de operação ou teste é
definido em uma máquina;
◦ para cada identificador de operação ou teste
definido em uma máquina, existe somente uma
função associada;
◦ deve descrever o armazenamento ou a
recuperação de informações na estrutura de
memória.
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Máquina: definição
Uma Máquina é uma 7-upla
M = (V, X, Y, πX, πY, ПF, ПT)
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
V
X
Y
πX
πY
ПF
ПT
conjunto de valores de memória;
conjunto de valores de entrada;
conjunto de valores de saída;
função de entrada tal que: πX: X → V
função de saída tal que: πY : V → Y
conjunto de interpretações de operações;
conjunto de interpretações de testes;
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Máquina: definição
Em que:
◦ ПF conjunto de interpretações de operações tal
que, para cada identificador de operação F
interpretado por M, existe uma única função: πF:
V → V em ПF
◦ ПT conjunto de interpretações de testes tal que,
para cada identificador de teste T interpretado
por M, existe uma única função: πT: V →
{verdadeiro, falso} em ПT
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Máquina: Representação Gráfica
M = (V , X, Y, πx, πy, ПF, ПT)
X; (πx)
V
ΠF , ΠT
Y; (πY)
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Máquina: exemplo
Máquina de dois registradores: Suponha
uma especificação de uma máquina com dois
registradores a e b os quais assumem valores
em N (conjunto dos números naturais), com
duas operações e um teste:
◦
◦
◦
◦
subtração de 1 em a, se a > 0;
adição de 1 em b;
teste se a é zero.
Os valores de entrada são armazenados em a
(zerando b) e a saída retorna o valor de b.
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Máquina: exemplo
Dois_reg = (N2, N, N, armazena_a, retorna_b,
{subtrai_a, adiciona_b}, {a_zero})
N2, N, N - Conjuntos de Memória, Entrada e Saída
armazena_a (n) = (n, 0)
retorna_b (n, m) = m
subtrai_a (n, m) = (n-1, m) se n ≠ 0 e (0, m) se n = 0
adiciona_b (n, m) = (n, m+1)
a_zero (n, m) = verdadeiro se n = 0 e falso se n ≠ 0
obs: dois registradores com valores em N podem ser definidos pelo
produto cartesiano N2 onde os registradores a e b são
representados pela primeira e segunda componente.
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Programa para uma máquina
Sejam M = (V, X, Y, πX, πY , ПF , ПT) uma
máquina e P um programa onde PF e PT são os
conjuntos de identificadores de operações e de
testes de P, respectivamente.
P é um programa para a máquina M se, e
somente, se:
◦ para qualquer F ∈ PF, existe uma única função
→V em ПF;
πF: V→
◦ para qualquer T ∈ PT, existe uma única função
→ {verdadeiro, falso} em ПT.
πT: V→
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Programa para a máquina
dois_reg
Programa iterativo para a máquina de dois
registradores:
◦ Programa Iterativo itv_b←
←a
até a_zero
faça (subtrai_a; adiciona_b)
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Programa para a máquina
dois_reg
Programa recursivo para a máquina de dois
registradores:
◦ Programa Recursivo rec_b←
←a
rec_b ← a é R onde
R def (se a_zero então senão S; R),
S def subtrai_a; adiciona_b
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