DETERMINAÇÃO SIMULTÂNEA DA LATITUDE E

JOSÉ MILTON ARANA
DETERMINAÇÃO SIMULTÂNEA
DA
LATITUDE
E
LONGITUDE ASTRONÔMICA (uma nova solução)
2
SUMÁRIO
1.
INTRODUÇÃO ......................................3
2.
APRESENTAÇÃO DA NOVA SOLUÇÃO.....................5
3.
LISTA DE ESTRELAS ...............................7
4.
OPERAÇÕES DE CAMPO..............................12
5.
CORREÇÕES ......................................13
6.
CÁLCULO DA LATITUDE E LONGITUDE ................16
7.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS......................17
3
DETERMINAÇÃO SIMULTÂNEA DA LATITUDE E LONGITUDE
1.
INTRODUÇÃO
Neste
seminário,
procura-se
tratar,
fundamentalmente,
da
determinação simultânea da latitude e longitude astronômica, por
observação à estrelas em um mesmo almicantarado.
Apresenta-se também a nova solução matemática, desenvolvida
pelos pesquizadores L. A. Kivioja e J. A. Mihalko, pertencentes à
School of Civil Engineering, Pordue University, West Lafayette,
Indiana (USA). O trabalho desenvolvido por estes pesquizadores,
foi apresentado com o título NEW METHOD FOR REDUCTION OF ASTROLABE
OBSERVATIONS
USING
RECTANGULAR
COORDINATES
ON
THE
CELESTIAL
SPHERE.
Analiticamente,
latitude
e
a
longitude
solução
da
astronômica,
determinação
pode
ser
simultânea
obtida
da
através
de
observação à três estrelas, podendo também ser obtida através de
observações a mais de três estrelas.
Na determinação simultânea através de observação à mais de
três
estrelas,
objeto
do
presente
trabalho,
é
conhecido
como
método de Gauss Generalizado, a solução dá-se com uso do método
dos mínimos quadrados.
No desenvolvimento deste, procurou-se abordar todas as etapas
da determinação simultânea, ou seja, a elaboração da lista de
estrelas, as operações de campo, as correções às observações, e
finalmente o procedimento de cálculos.
4
2.
APRESENTAÇÃO DA NOVA SOLUÇÃO
Definindo-se o sistema de coordenadas retangulares x, y e z,
Z = Polo Norte
conforme segue:
Eixo de rotação instantâneo
E
Meridiano de
Greenwich
δ
Y
L = 900 E
360-H
Equador Celeste
X
00
L=
PS
figura 1
onde:
-
0
Origem do sistema, coincidente com o centro da esfera celeste, que
coincide
com o centro de mas-
sa da Terra.
- Eixo Z. Coincidente com o eixo de rotação da Terra. Orienta do positivamente para o polo norte.
- Eixo X. Formado pela interseção do plano que contém o
ridiano de Greenwich com
equador
celeste,
o
orientado
plano
positivamente
meridiano superior de Greenwich.
- Eixo Y. Completa o sistema dextrógiro.
que
me-
contém
o
segundo
o
5
Considerado o sistema de coordenadas retilíneas (acima), as
coordenadas de uma estrela, em uma posição qualquer, pode ser
determinada por:
X = cos δ
cos (360 - H)
¦
Y = cos δ
sen (360 - H)
¦
Z = sen δ
1
¦
Ou ainda:
cos δ
cos H
¦
Y = -cos δ
sen H
¦
X =
Z =
A
sen δ
2
¦
geometria
analítica
nos
ensina
que
a
distância
de
um
ponto(P1) de coordenadas x1, y1, e z1, de um sistema de coordenadas
ortogonal,
à
origem
do
sistema,
pode
ser
calculada
com
a
expressão:
l1 = (x12+ y12+ z12)1/2
Nos
ensina
também
que
3
o
ângulo
(Z)
formado
por
segmentos de reta, na origem do sistema, é dado por:
cos Z = (x1x2 + y1y2 + z1z2) / l1l2
4
dois
6
Sendo um dos pontos 1 ou 2, o zênite, então conforme definido
acima, o ângulo Z é então a distância zenital da estrela.
Estando os pontos (estrelas) na superfície da esfera celeste,
cujo
centro
coincide
com
a
origem
do
sistema
de
coordenadas
rertilínea, a expressão 4 pode ser reescrita:
cos Z = x1xz + y1yz + z1zz
5
Caso tenhamos n estrelas, observadas com a mesma distância
zenital, ter-se-á:
x1xz + y1yz + z1zz = cos Z ¦
x2xz + y2yz + z2zz = cos Z ¦
x3xz + y3yz + z3zz = cos Z ¦
.
¦
.
¦
6
xnxz + ynyz + znzz = cos Z ¦
A declinação do zênite é numericamente igual à latitude (ϕ)
da estação de observação. O ângulo diedro formado pelo plano que
contém o meridiano de Greenwich e o plano que contém o meridiano
local é definida como longitude (L).
Pode-se obter as coordenadas retangulares do zênite através
das seguintes expressões:
7
xz = cos ϕ
cos L
¦
yz = cos ϕ
sen L
¦
zz = sen ϕ
7
¦
Assim, a latitude e a longitude astronômica de um ponto podem
ser determinadas a partir das coordenadas retangulares do zenite,
conforme segue:
ϕ
L =
3.
arc tg(zz/(xz2+yz2)1/2)
=
arc tg(yz/xz)
8
9
LISTA DE ESTRELAS
Para a elaboração da lista de estrelas, sugere-se, que sejam
feitas algumas considerações às estrelas a serem observadas, ou
seja:
a.
b.
Ter brilho entre 3.0 e 7.0;
Azimute(A)
de
observação
próximo à região central dos
quadrantes; e
c.
Período de observação, para
nor que duas horas.
cada grupo de estrelas, me-
8
Uma restrição imposta ao método, é que as estrelas devem ter
ϕ + Z e
declinação compreendida entre
ϕ - Z. Isto para uma
estação de observação de latitude, no almicantarado de distância
zenital Z.
Dado o triângulo de posição,
Z
0
180 -A
900 - ϕ
900 - h
PN
H
Q
900 - δ
E
figura 2
Onde:
Z - Distância Zenital da Estrela;
E - Estrela (em uma posição qualquer);
ϕ - Latitude da estação de observação;
Pn- Polo norte;
h - Altura da estrela;
A - Azimute da estrela;
Q - Ângulo paralático;
H - Ângulo horário da estrela E; e
δ - Declinação da estrela.
9
Aplicando-se
a
fórmula
dos
quatros
elementos,
relativos
a
lados, da trigonometria esférica, no triângulo de posição (figura
2), tem-se:
cos(90- δ) = cos(90- ϕ) cos(90-h) + sen(90- ϕ) sen(90-h) cos (180-A)
10
ou,
sen δ = sen ϕ
cosZ – cos ϕ
senZ cosA
. . . . . . . . . . . . 11
ou ainda,
cosA = tg ϕ
cotgZ – sec ϕ
cosecZ sen δ
. . . . . . . . . . 12
Aplicando-se a analogia dos senos no triângulo de posição,
tem-se:
sen H
= sen(180-A) . . .
sen(90-h)
sen(90-δ)
. . . . . . . . . . . . . . . 13
ou,
sen H = senZ secδ
Com
auxílio
da
senA. . . . . . . . . . . . . . . 14
expressão
11,
determina-se
os
limites
de
declinação, das estrelas a serem observadas, de maneira a atender
o item b das recomendações.
Assim,
atendendo-se
esta
recomendação,
declinação das estrelas para observações, no
os
limites
de
almicantarado Z =
30o, em uma estação de latitude 22o07'18", no primeiro e quarto
quadrantes,
10
-44o52'26" <
δ
<
-36o17'05"
,
Para observações no segundo e terceiro quadrantes,
-3o27'56" <
δ
<
3o03'20"
Então, para esses limites de declinação (acima), o ângulo
horário das estrelas será menor que uma hora e quarenata minutos
(1h40min), em valor absoluto. Assim, recomenda-se que a escolha
das estrelas de um catálogo estrelas seja feita, conforme segue:
a.
Decidida
expressão
a
hora
15,
legal
do
início
determina-se
a
das
hora
observações,
sideral
através
correspondente
ao início dos trabalhos(Si);
Si = So + Lo + (Hl + F) 1.002737909265
15
Onde:
So - Hora sideral à zero hora TU;
Lo - Longitude aproximada da estação;
Hl - Hora legal do início das observações;
F
- Fuso horário (positivo à oeste de Greenwich)
b. Através da expressão 14,determina-se o ângulo horário que
a
estrela cruzará o almicantarado;
c. O cálculo da hora sideral, que a estrela cruza o almicantarado, dá-se através da expressão 16.
S = H + α
16
11
Onde,
H
azimutes
será
positivo
pertencentes
< A < 180o), negativo
ao
para
observações
às
estrelas
de
(0o
primeiro e segundo quadrantes
(180o <
no terceiro e quarto quadrante
A < 360o); e
d. A expressão 12,proporciona o cálculo do azimute da estreno
almicantarado.
observações
a
Onde,
oeste
do
o
azimute
meridiano
será
local,
e
la
positivo
para
negativo
para
observações a leste.
Estrelas observáveis com angulo horário (H) positivo, terão
correspondente azimute também positivo, ou seja, petencentes ao
primeiro
ou
segundo
quadrante.
Estrelas
abserváveis
com
ângulo
horário negativo, terão correspondente azimute também negativo, ou
seja, pertencentes ao terceiro e quarto quadrantes.
Então, para observação à estrelas a leste o ângulo horário
mínimo das estrelas será de 1h40min. A equação 16, perminte o
cálculo do limíte inferior da excensão reta(
α
= Si - H
α
> Si + 1h40min
) das estrelas,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ou,
12
Com desenvolvimento similar, estrelas observáveis a oeste,
deve ter ascensão reta
α
>
Si - 1h40min.
O período de observação às estrelas, de um mesmo grupo, não
deve ser superior a duas horas, esta recomendação, deve-se ao fato
de as condições atmosféricas serem consideradas constantes, neste
intervalo considerado.
Sempre que o período de observações for maior que duas horas,
as
estrelas
devem
ser
tratadas
como
pertencentes
a
grupos
diferente.
Um
grupo
de
estrelas
deve
ser
formado
por
estrelas
pertencentes aos quatros quadrantes, ou seja, caso o grupo seja
composto por quarenta (40) estrelas, a distribuição ideal será de
dez estrelas por quadrantes. O recomendado, é que na formação de
um
grupo,
a
distribuição
das
estrelas,
nos
quadrantes,
seja
iguais, mesmo número de estrelas por quadrante.
4.
OPERAÇÕES DE CAMPO
Estando o instrumento instalado e nivelado, na estação de
observação, faz-se a orientação aproximada do mesmo. A orientação
do
instrumento
orientação
é
pode
apenas
ser
para
aproximda,
que
estrela, possa ser observada.
a
pois
estrela,
a
finalidade
contida
na
desta
lista
de
13
Registra-se no círculo de leitura vertical do instrumento, a
distância
zenital
do
almicantarado,
onde
serão
efetuadas
as
observações às estrelas.
Em um relógio auxiliar, registra-se a hora sideral local
aproximada. A finalidade deste é de orientar o
observador, para o
instânte da passagem da estrela pelo almicantarado.
No início, meio e fim de cada período de observação (grupo de
estrelas),
faz-se
a
comparação
rádio-cronômetro,
e
também
a
leitura de pressão e temperatura.
Registra-se, no círculo de leituras horizontal, o azimute da
primeira estrela a ser observada.
A imagem da estrela, ao adentrar no campo visual da luneta do
teodolito,
nivela-se
procedimento
deve
o
ser
nível
de
tomado
Horrebow
para
todas
do
as
teodolito.
estrelas
a
Este
serem
observadas.
Determina-se
o
instante
cronométrico
da
estrela,
quando
a
mesma atinge o almicantarado.
5.
CORREÇÕES
O método de determinação simultânea da latitude e longitude
astronômica por observações de estrelas em um mesmo almicantarado,
fundamentalmente, são observados os instantes cronométricos em que
as estrelas cruzam o almicantarado. Assim, deve-se fazer correções
aos instantes observados.
14
Sugere-se que sejam efetuadas as seguintes correções:
1. Refração atmosférica
O efeito da refração atmosférica é a elevação aparente dos
astros.
A
correção
desse
efeito
nas
determinações
dos
ângulos
zenitais dos astros é sempre positiva, ou seja, deve-se somar a
correção ao ângulo zenital lido, e subraida quando a determinação
for da altura do astro. A correção deste efeito pode ser calculada
através da expressão 18.
R" = 16,276" (P/T) tan Z'
18
Z = Z' + R
19
e,
Onde,
R" - Correção da refração atmosférica, em segundos de arco;
P
- Pressão atmosférica em milibar;
T
- Temperatura atmosférica, em graus Kelvins,
(oK =
o
C + 273,16);
2. Tempo de propagação
Para observações de alta precisão, deve ser considerado o tempo
dispendido pela onda de rádio para trafegar da emissora de rádio à
antena do rádio receptor.
O
tempo
instante
de
propagação
cronométrico
das
calculado
(∆T),
observações,
ou
deve
então
ser
somado
ao
subtraído
do
estado do cronógrafo (determinado na comparação rádio-cronógrafo).
15
3. Correção de emissão
As emissoras de rádio retransmitem sinais horários no sistema
de Tempo Universal Coordenado (TUC), no entanto, este sistema de
tempo, geralmente, esta defasado em relação ao sistema de Tempo
Universal (TU1), sistema de tempo fundamental da astronomia de
posição.
DTU1 = TU1 - TUC
20
4. Marcha e Estado do Conógrafo
Entende-se por marcha de um marcador de tempo, como sendo a
quantidade que este marcador adianta ou atrasa por unidade de
tempo. Estado de um marcador de tempo é definido como sendo a
quantidade de tempo que o marcador está adiantado ou atrasado em
relação a um determinado sistema de tempo, sideral ou médio.
E = H - T
m = E - Eo/(T - To)
22
E = Eo + m(T - To)
23
Onde:
E
21
- Estado do marcador de tempo;
16
Eo
-
Estado
inicial
do
marcador
de
tempo
(obtido
na
compara-
ção rádio-cronômetro);
T
- Instante cronométrico;
To - Instante cronométrico, da comparação rádio-cronômetro;
H
- Hora correspondente ao instante cronométrico; e
m
- Marcha do marcador de tempo.
6.
PROCEDIMENTO PARA CÁLCULO
Tendo-se aplicado as correções, às observações, descritas no
ítem 5. O cálculo simultâneo da latitude e longitude, pode-se dar,
conforme segue:
a.
Através da
expressão 15, com Lo, calcula-se a hora
si-
deral (S), correspondente ao instante observado (Hl);
b.
Cálculo do ângulo horário da estrela, com uso da expressão 16, no instante em que a mesma cruza o almicantarado;
c.
Cálculo das coordenadas retangulares das estrelas, com uso das
expressões 2;
d.
Nas equações 6, com auxílio do método dos
drados,
das
do
determina-se
zenite
(xz,
as
yz,
coordenadas
zz).
Estas
mínimos
retangulares
coordenadas
quaajusta-
devem
sa-
tisfazer a equação da esfera ( xz2 + yz2 + zz2)1/2 = r; e
e. Com as coordenadas do zenite ajustadas, na equação 8 e 9,
determina-se a latitude e longitude, respectivamente.
17
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
¦1¦
COSTA, S. M. A. Projeto Pró-Astro. Curitiba.
Dissertação de Mestrado.
Universidade
Federal
do
Paraná.
1988.
¦2¦
GEMAEL, C. Introdução à Astronomia Esférica.
Curitiba.
Diretório Acadêmico do Setor de Tecnologia.
Universidade Federal do Paraná. 1981.
¦3¦
HATSCHBACH, F.
Determinações
Astronômicas.
Universidade Federal do Paraná. 1981.
¦4¦
__________. Tempo em Astronomia. Curitiba.Curso de PósGraduação em Ciências
Geodésicas.
Departamento
de
Geociências. Setor de Tecnologia. Universidade Federal do Paraná. 1979.
¦5¦
KIVIOJA, L. A. and MIHALKO,J. A. New Method for
Reduction of Astrolabe Observations Using Rectangular Coordinates in the Celestial Sphere.
Bulletin
Geodésique. Paris, v. 59. n. 4. 1985.
¦6¦
MUELLER, I. I. Spherical and Pratical Astronomy as
Aplied to Geodesy. New York. Frederick Ungar
Publishing CO. 1977.
¦7¦
ROBBINS, A. R. Fielda and Geodetic
Engineering, n.13, v.9, 1976.
Astronomy,
Curitiba.
Military