estatística é 600

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Aula 11
Estatística . ........................................................................................... 2
Classe . ................................................................................................ 7
Limites de classe .................................................................................... 7
Amplitude de um intervalo de classe. ........................................................ 7
Amplitude total da Distribuição . ............................................................... 8
Ponto médio de uma classe ..................................................................... 8
Tipos de frequências ............................................................................... 9
Medidas de Posição ...............................................................................11
Médias . ...............................................................................................11
Propriedades da média aritmética . ..........................................................13
Cálculo breve da Média Aritmética . ..........................................................15
23 Mediana (Md) .....................................................................................
Moda . .................................................................................................31
Moda Bruta ..........................................................................................32
Processo de Czuber ...............................................................................33
33 Processo de King . ................................................................................
Propriedades da Moda............................................................................34
Medidas de dispersão ou variabilidade . ....................................................36
Desvio Absoluto Médio (Dm). ..................................................................36
Desvio padrão e Variância . .....................................................................40
Propriedades da Variância . .....................................................................46
Propriedades do Desvio-padrão . ..............................................................46
Método simplificado para o desvio padrão e variância . ...............................48
Relação das questões comentadas . .........................................................61
Gabaritos .............................................................................................69
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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Estatística
A Estatística, ramo da Matemática Aplicada, teve origem na história
do homem. Desde a Antiguidade, vários povos registravam o número de
habitantes, de nascimentos, de óbitos, distribuíam equitativamente terras ao
povo. Na Idade Média colhiam-se informações, geralmente com finalidades
tributárias ou bélicas. No início do século XVIII o estudo de tais fatos foi
adquirindo feição verdadeiramente científica. A palavra foi proposta pela
primeira vez no século XVII, em latim, por Schmeitzel na Universidade de Lena
e adotada pelo acadêmico alemão Godofredo Achenwall.
As tabelas tornaram-se mais completas, surgiram as representações
gráficas e o cálculo das probabilidades, e a Estatística deixou de ser uma
simples catalogação de dados numéricos para se tornar o estudo de “como
chegar a conclusões sobre o todo (população), partindo da observação
de partes do todo (amostras)”.
Podemos dizer, então, que a Estatística é uma parte da Matemática
Aplicada que fornece métodos para a c oleta, organização, descrição,
análise e interpretação de dados para a utilização dos mesmos na tomada
de decisões.
A coleta, organização e a descrição dos dados estão a cargo da
Estatística Descritiva. A análise e a interpretação dos dados ficam a cargo
da Estatística Inferencial.
O aspecto essencial da Estatística é o de proporcionar métodos inferenciais,
que permitam obter conclusões que transcendam os dados obtidos
inicialmente.
Vamos à primeira fase de um processo estatístico. Imagine que você foi o
encarregado para fazer uma pesquisa sobre a altura dos alunos do Ponto dos
Concursos. Como são muitos alunos, você decidiu realizar uma pesquisa com
apenas 40 alunos. Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às
estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos do
Ponto, resultando a seguinte tabela de valores:
166
164
160
155
156
160
160
155
155
172
161
162
164
169
153
150
161
168
151
157
162
168
155
170
156
160
163
152
164
158
165
156
163
154
158
167
173
160
161
161
Obviamente, quando você começa a sua pesquisa, os seus dados não estão
organizados. A esses dados desorganizados denominamos dados brutos.
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A esse tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados, denominamos tabela primitiva.
O próximo passo, após realizar a coleta dos dados, é organizar esses dados em
ordem crescente ou decrescente. Denominamos os dados dispostos em ordem
crescente ou decrescente de rol.
Em suma, um rol é um arranjo de dados numéricos brutos em ordem
crescente ou decrescente. Colocar os dados brutos em rol é uma das fases da
Estatística Descritiva.
À diferença entre o maior e o menor número do rol chama-se amplitude total
dos dados.
Então vamos lá... Coloquemos os dados em ordem crescente!
150
151
152
153
154
155
155
155
155
156
156
156
157
158
158
160
160
160
160
160
161
161
161
161
162
162
163
163
164
164
164
165
166
167
168
168
169
170
172
173
Um pouco melhor ou não?
Agora, podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor estatura (150
cm) e qual a maior (173 cm); que a amplitude total de variação foi de 173 –
150 = 23 cm.
01. (Economista - Instituto de Previdência do Estado de Santa Catarina –
FEPESE/2006) Verifique os conjuntos A, B, C e D abaixo, no formato de rol e
assinale a alternativa correta.
a) A amplitude total do conjunto C é igual a 0,28.
b) Não é possível calcular a amplitude total do conjunto D, pois estamos diante
de um rol decrescente.
c) A amplitude de todos os conjuntos é igual a 7.
d) A amplitude total do conjunto A é 2,1.
e) A amplitude total do conjunto B é o dobro da amplitude total do conjunto A.
Resolução
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O primeiro passo é organizar os conjuntos A, B, C e D em formato de rol.
Tanto faz organizar em ordem crescente ou decrescente. Por questão de
costume, organizarei em ordem crescente.
A
B
C
D
0,05
0,25
0,01
1
0,5
0,5
0,02
2
1
1
0,03
2
2
3
0,04
3
3
7
0,05
3
5
10
0,06
4
5,1
10,35
0,07
5
A amplitude total de um conjunto é a diferença entre o maior elemento e o
menor elemento. Assim:
a) A amplitude total do conjunto C é igual a 0,07 – 0,01 = 0,06. A letra A
é, portanto, falsa.
b) A amplitude total do conjunto D é 5 – 1 = 4. A letra B é, portanto, falsa.
c) A amplitude de todos os conjuntos é igual a 10,35 – 0,01 =10,34. A letra
C é, portanto, falsa.
d) A amplitude total do conjunto A é igual a 5,1 – 0,05 = 5,05. A letra D
é , portanto, falsa.
e) A amplitude total do conjunto B é igual a 10,35 – 0,25 = 10,1. Portanto a
amplitude total do conjunto B é o dobro da amplitude total do conjunto A e a
alternativa E é verdadeira.
Letra E
02. (Auditor Interno do Poder Executivo- Secretarias de Estado da Fazenda e
da Administração – 2005 – FEPESE) Os pesos de 80 pacientes internados em
um hospital estão relacionados na tabela abaixo.
Com referência a essa tabela, determine a amplitude total. Assinale a única
alternativa correta.
a) 49
b) 53
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c) 79
d) 80
e) 97
Resolução
A amplitude total de um conjunto é a diferença entre o maior elemento e o
menor elemento.
O maior elemento desse conjunto é 99 (4ª coluna e 6ª linha) e o menor
elemento é 50 (9ª coluna e 7ª linha). Assim a amplitude total é
99 – 50 = 49.
Letra A
Vamos começar um estudo pormenorizado das distribuições de frequências, seus elementos e propriedades.
Voltemos ao exemplo inicial de nossa aula para entendermos as próximas explicações.
Imagine que você foi o encarregado de fazer uma pesquisa sobre a altura dos
alunos do Ponto dos Concursos. Como são muitos alunos, você decidiu realizar
uma pesquisa com apenas 40 alunos. Suponhamos termos feito uma coleta de
dados relativos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra
dos alunos do Ponto, resultando a seguinte tabela de valores:
166
164
160
155
156
160
160
155
155
172
161
162
164
169
153
150
161
168
151
157
162
168
155
170
156
160
163
152
164
158
165
156
163
154
158
167
173
160
161
161
Denominamos os dados dispostos em ordem crescente ou decrescente de rol.
150
151
152
153
154
155
155
155
155
156
156
156
157
158
158
160
160
160
160
160
161
161
161
161
162
162
163
163
164
164
164
165
166
167
168
168
169
170
172
173
Denominamos frequência o número de alunos que fica relacionado a um
determinado valor da variável. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o
nome de distribuição de frequência.
Por exemplo, temos 4 alunos com 161 cm de altura. Portanto 4 é a frequência do dado 161 cm.
Vamos relacionar cada dado com a sua frequência correspondente.
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Estat. (cm) Freq. Estat. (cm) Freq. Estat. (cm) Freq.
150
1
158
2
167
1
151
1
160
5
168
2
152
1
161
4
169
1
153
1
162
2
170
1
154
1
163
2
172
1
155
4
164
3
173
1
156
3
165
1
157
1
166
1
Total
40
O processo dado é ainda inconveniente, já que exige muito espaço, mesmo
quando o número de valores da variável é de tamanho razoável. Sendo
possível, a solução mais aceitável, pela própria natureza da variável
contínua, é o agrupamento em vários intervalos.
Assim, se um dos intervalos for, por exemplo, 154 158 (154 ≤ x< 158), em
vez de dizermos que a estatura de 1 aluno é 154 cm; de 4 alunos, 155 cm; de
3 alunos, 156 cm; e de 1 aluno, 157 cm, diremos que 9 alunos têm estaturas
entre 154, inclusive, e 158 cm, exclusive. Deste modo, estaremos agrupando
os valores da variável em intervalos, sendo que, em Estatística, preferimos
chamar os intervalos de classes.
O símbolo ⊢ será muito utilizado e significa que incluímos o limite
inferior do intervalo e excluímos o limite superior do intervalo.
Chamando de frequência de uma classe o número de valores da variável
pertencentes à classe, os dados da tabela acima podem ser dispostos como na
próxima tabela, denominada distribuição de frequência com intervalos de
classe:
Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos
Estaturas
Frequência
(cm)
150 154
4
154 158
9
158 162
11
162 166
8
166 170
5
170 174
3
Total
40
Ao agruparmos os valores da variável em classes, ganhamos em simplicidade,
mas perdemos em pormenores. Não sabemos mais qual a altura exata de cada
um dos alunos.
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O que pretendemos com a construção dessa nova tabela, é realçar o que há de
essencial nos dados e, também tornar possível o uso de técnicas analíticas
para sua total descrição, até porque a Estatística tem por finalidade
específica analisar o c onjunto de valores, desinteressando-se por
casos isolados.
Analisemos, agora, detalhadamente,
uma distribuição de frequências.
cada
um
dos
elementos
de
Elementos de uma distribuição de frequência
Estaturas de 40 alunos Ponto dos Concursos
Estaturas
Frequência
(cm)
150⊢154
4
154⊢158
9
158⊢162
11
162⊢166
8
166⊢170
5
170⊢174
3
Total
40
Classe
É cada um dos grupos ou intervalos obtidos a partir do agrupamento ou
conjunto de dados.
Por exemplo, a terceira classe é 158⊢162.
Limites de classe
Denominamos limites de classe os extremos de cada classe. O menor
número é o limite inferior da classe ( linf ) e o maior número, o limite
superior da classe ( lsup ). Na segunda classe, por exemplo, temos:
linf = 154 e lsup = 158
Amplitude de um intervalo de classe
Amplitude de um intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo de
classe é a medida do intervalo que define a classe. É obtida pela diferença
entre os limites superior e inferior dessa classe e designamos por h . Assim,
h = lsup − linf
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Por exemplo, na terceira classe da tabela acima, temos:
h = 162 − 158 = 4
Amplitude total da Distribuição
Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior
da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira
classe (limite inferior mínimo).
AT = lmáx − lmín
Em nosso exemplo, temos:
AT = 174 − 150 = 24 ⇒ AT = 24cm
É evidente que, se as classes possuem o mesmo intervalo, verificamos a rela
AT = K ⋅ h . Essa expressão é de fácil compreensão, visto que são 6 classes e
que a amplitude de cada classe é igual a 4. Assim, a amplitude total é igual a
6 x 4 = 24.
Ponto médio de uma classe
Ponto médio de uma classe ( xi ) é, como o próprio nome indica, o ponto que
divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Para obtermos o ponto
médio de uma classe, calculamos a média aritmética dos limites da classe.
lim infi + lim supi
xi =
2
Assim, o ponto médio da quarta classe, em nosso exemplo é:
liminf4 + limsup4
162 + 166
⇒ x4 =
= 164
x4 =
2
2
x4 = 164cm
O ponto médio de uma classe é o valor que a representa.
Se as amplitudes dos intervalos de classes forem constantes (como
aconteceu no nosso exemplo), podemos calcular os pontos médios das
classes da seguinte maneira:
i) Calculamos o primeiro ponto médio.
ii) Para calcular os próximos pontos médios, basta adicionar a
amplitude de cada classe ao ponto médio da classe anterior.
Dessa forma, como o primeiro ponto médio é 152 cm, o próximo ponto
médio é 152 + 4 = 156. O terceiro ponto médio é 156 + 4 = 160 cm.
Estaturas
(cm)
150 154
154⊢
⊢158
158 162
162 166
166⊢
⊢170
170 174
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Xi
152
156
160
164
168
172
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Tipos de frequências
Frequências simples ou absolutas ( f i )
São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe.
A soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados.
k
∑f
i
=n
O símbolo ∑ significa somatório. Nesse caso, como k = 6 (número de classes),
então
i =1
=
+
+
+
+
í
+
1 6.
= 4 + 9 + 11 + 8 + 5 + 3 = 40
Frequências relativas ( fri )
São os valores das razões entre as frequências simples e a frequência total,
normalmente expressas em porcentagem.
f
fri = i
n
Lembre-se que para transformar qualquer fração para a forma percentual
devemos multiplicá-la por 100%.
No nosso exemplo, a freqüência relativa da terceira classe é:
f
11
fr3 = 3 =
⋅100% = 27,5% ∴ fr3 = 27,5%
40 40
Evidentemente o somatório das frequências relativas é igual a 1 (100%). O
propósito das frequências relativas é o de permitir a análise ou facilitar as
comparações de cada classe com o total de observações.
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Frequência absoluta acumulada crescente – “abaixo de” ( fac )
É o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do
intervalo de uma dada classe.
faci = f1 + f 2 + ... + fi
O procedimento para o cálculo desta frequência é o seguinte:
i) Repete-se a frequência absoluta da primeira classe.
ii) Para calcular a próxima frequência acumulada, devemos somar a frequência
acumulada anterior com a frequência absoluta da classe correspondente.
Estaturas
(cm)
150 154
fi
fac
4
4
154 158
9
13
158 162
11
24
162 166
8
32
166 170
5
37
170 174
3
40
Total
40
O que significa existirem 24 alunos com estatura abaixo de 162 cm (limite
superior da terceira classe).
Frequência absoluta acumulada decrescente ( fad )
É o total das frequências de todos os valores superiores ao limite inferior do
intervalo de uma dada classe.
fad i = f i + f i +1 + ... + f k
O procedimento para o cálculo desta frequência é o seguinte:
i) Repete-se a frequência absoluta da última classe.
ii) Para calcular a próxima frequência acumulada (de baixo para cima),
devemos somar a frequência acumulada anterior com a frequência absoluta da
classe correspondente.
Estaturas
(cm)
150 154
154 158
158 162
162 166
166 170
170 174
Total
fi
fad
4
9
11
8
5
3
40
40
36
27
16
8
3
O que significa existirem 27 alunos com estatura igual ou superior a 158 cm
(limite inferior da terceira classe).
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Podemos representar essas frequências acumuladas na forma percentual
(frequência relativa acumulada) dividindo pelo total de observações (n) e
multiplicando por 100%.
Medidas de Posição
Nos itens anteriores, vimos como resumir um conjunto de dados em tabelas de
frequência e também como representá-los graficamente. Agora, a partir dos
valores assumidos por uma variável quantitativa, vamos estabelecer medidas
correspondentes a um resumo da distribuição de tais valores. Estabeleceremos
um valor médio ou central e um valor indicativo do grau de variabilidade ou
dispersão em torno do valor central. Como valores centrais vamos estudar a
média, a mediana (e outras medidas separatrizes (quantis) como o decil,
quartil, percentil, etc) e a moda.
Médias
Uma ideia bastante importante é a de média. Estudaremos apenas a média
aritmética.
Vejamos um exemplo.
Sabendo-se que a produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana,
foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos para produção média da
semana:
x=
10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 98
=
= 14
7
7
Logo, x = 14 litros .
Ou seja, para calcular a média aritmética de uma lista de números, devemos
somar os valores e dividir pela quantidade de dados.
x + x + x + ... + xn
x= 1 2 3
n
Em suma, média aritmética para o rol é o quociente da divisão da soma dos
valores da variável pelo número deles:
∑ xi
x=
n
Dados agrupados
●Sem intervalos de classe
Consideramos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando
para variável o número de filhos do sexo masculino.
Nº de
fi
meninos
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
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Neste caso, como as frequências são números indicadores da intensidade de
cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos
leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:
∑ xi ⋅ fi
x=
n
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma
coluna correspondente aos produtos xi f i .
xi
fi
xi f i
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
0
6
20
36
16
∑ xi fi = 78
A primeira linha nos diz que existem 2 famílias com nenhum
filho homem, totalizando 0 filhos.
A segunda linha nos diz que existem 6 famílias com 1 filho
homem, totalizando 6 filhos homens.
A terceira linha nos diz que existem 10 famílias com 2 filhos homens, totalizando 20 filhos homens.
E assim sucessivamente. No total, essas 34 famílias, possuem juntas 78
filhos homens.
Temos, então:
∑ xi fi = 78 = 2,3
x=
34
n
Isto é,
x = 2,3 meninos
Observação: Sendo x uma variável discreta, como interpretar o resultado
obtido, 2 meninos e 3 décimos de menino? O valor médio 2,3 meninos sugere,
neste caso, que o maior número de famílias tem 2 meninos e 2 meninas,
sendo, porém, a tendência geral de uma leve superioridade numérica em
relação ao número de meninos.
● Com intervalos de classe
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um
determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e
determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula
∑ xi fi
x=
n
Onde xi é o ponto médio da classe.
Ora, quando temos dados distribuídos em classes perdemos informações. Não
temos mais as alturas exatas de cada um dos alunos. Olhe, por exemplo, para
a segunda classe da tabela seguinte. Temos 9 alunos com a altura entre 154
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(inclusive) e 158 cm. Não sabemos a altura de cada um dos 9 alunos.
Convencionamos que os 9 alunos possuem 156 cm (ponto médio da classe).
Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos
Estaturas Frequência
(cm)
150 154
4
154 158
9
158 162
11
162 166
8
166 170
5
170 174
3
Total
40
Vamos, inicialmente, abrir uma coluna para os pontos médios e outra para os
produtos xi f i .
Estaturas
(cm)
150 154
154 158
158 162
162 166
166 170
170 174
Total
fi
xi
xi f i
4
9
11
8
5
3
40
152
156
160
164
168
172
608
1404
1760
1312
840
516
∑ xi fi = 6440
Neste caso,
x=
∑x f
i i
n
=
6440
= 161 cm
40
Vamos agora conhecer algumas propriedades importantíssimas sobre média
aritmética para que possamos garantir alguma eventual questão teórica sobre
este assunto e aproveitar para aprendermos um método mais fácil para
calcular média aritmética em distribuições de frequências.
Propriedades da média aritmética
i) A média aritmética sempre existe e é única.
ii) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de
uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa
constante.
iii)
Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável
por uma constante c , a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida)
por essa constante.
iv)
A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula.
v) A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação à média aritmética é um valor mínimo.
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Vamos verificar essas propriedades através de exemplos.
Consideremos a sequência de dados (2,4,6,8,10,10,12,12), calculemos sua
média e verifiquemos as propriedades acima:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 10 + 12 + 12
8
∴x = 8
Consideremos uma constante c=2. Adicionando essa constante a todos os
valores da sequência acima, temos a sequência (4,6,8,10,12,12,14,14).
E a nova média será:
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 12 + 14 + 14
x' =
8
∴ x ' = 10
Observe que x ' = x + 2 .
Multipliquemos agora a constante c=2 e obtemos a sequência
(4,8,12,16,20,20,24,24) cuja média é:
x=
x '' =
4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 20 + 24 + 24
8
∴ x '' = 16
Observe que x '' = 2 ⋅ x .
Ainda trabalhando na sequência (2,4,6,8,10,10,12,12).
Sabemos que a média aritmética desse conjunto de dados é x = 8 .
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento
de um conjunto de valores e a média aritmética. Para o exemplo dado, temos:
d1 = x1 − x = −6
d5 = x5 − x = 2
d 2 = x2 − x = −4
d 6 = x6 − x = 2
d3 = x3 − x = −2
d7 = x7 − x = 4
d 4 = x4 − x = 0
d8 = x8 − x = 4
Facilmente verificamos que a soma dos desvios em relação à média é igual a
zero. De fato,
∑ di = − 6 − 4 − 2 + 0 + 2 + 2 + 4 = 0
Finalmente, verifiquemos a 5ª propriedade.
Calculemos a soma dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética:
∑ di2 =(−6)2 + (−4)2 + (−2)2 + 02 + 22 + 22 + 42 + 42
∑d
2
i
=96
A propriedade nos diz que, para este conjunto A, o valor 96 é um valor
mínimo. Isso porque, se construirmos um conjunto dos desvios d i ' formado
pela diferença entre os elementos xi do conjunto e uma constante que não
seja a média, ou seja, um conjunto dos desvios em torno de um valor qualquer
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diferente da média e, feito isso, acharmos o conjunto (di ') 2 e em seguida
calcularmos o seu somatório
∑ (d ')
2
i
, este último valor será maior do que 96.
Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvios em relação ao
número 5 (diferente da média aritmética 8).
∑ (d ')
2
i
=( −3) 2 + ( −1) 2 + 12 + 32 + 52 + 52 + 7 2 + 7 2
∑ (d ')
i
Assim,
∑ (d ') > ∑ (d )
2
i
2
i
2
=168
.
De posse dessas propriedades, vamos aprender um método simplificado
(através de uma questão resolvida) para o cálculo da média aritmética em
distribuições de frequências. Esse método só é válido nos casos em que as
amplitudes das classes são constantes!
Cálculo breve da Média Aritmética
03. (PETROBRAS 2008 – Administrador Júnior – CESGRANRIO) A tabela abaixo
apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas frequências.
Não há observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes (em
kgf)
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
Frequências
2
5
7
8
3
O peso médio do conjunto de pessoas, em kgf, é
(A) 60
(B) 65
(C) 67
(D) 70
(E) 75
Resolução I
Para calcular a média aritmética de uma distribuição de frequências,
convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado
intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio.
Abriremos inicialmente uma coluna para os pontos médios das classes
(xi) e em seguida multiplicaremos esses valores pelas suas respectivas
frequências.
O ponto médio é a média aritmética dos extremos da classe. Por exemplo, o
ponto médio da primeira classe é
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40 + 50 90
=
= 45 .
2
2
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Classes (em
kgf)
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
Frequências
xi
xi.fi
2
5
7
8
3
45
55
65
75
85
90
275
455
600
255
Basta-nos agora somar os valores da coluna xi f i e dividir pela quantidade de
observações.
x=
∑x f
i i
n
=
90 + 275 + 455 + 600 + 255 1675
=
= 67kgf
2+5+7 +8+3
25
Letra C
Resolução II
Baseado nas propriedades da média aritmética que descrevi na anteriormente,
podemos agora resolver essa questão usando um artifício: calcular a média
com o auxílio da variável transformada.
Este método que irei descrever só poderá ser utilizado se as
amplitudes de TODAS c lasses forem iguais. No nosso exemplo, as
amplitudes de todas as classes são iguais a 10 kgf (50 – 40 = 60 – 50
= ... = 90 – 80 = 10).
Média aritmética
i) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante qualquer de todos os
valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou
diminuída) dessa constante.
ii) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por
uma constante qualquer, a média do conjunto fica multiplicada (ou
dividida) por essa constante.
A mudança de variável será feita da seguinte forma:
subtrairemos c erta c onstante a todos os valores da variável. Assim, a
média aritmética também será subtraída. Em seguida, dividiremos por
outra c onstante todos os valores obtidos. Assim, a média aritmética
será dividida por essa constante.
A c onstante que iremos subtrair será qualquer um dos pontos
médios. A c onstante que iremos dividir será a amplitude das c lasses.
Daremos origem a uma variável Y definida por
Y=
X − Xi
, onde Xi é o
h
ponto médio de uma classe qualquer e h é amplitude das classes.
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Daremos preferência ao ponto médio da primeira classe! Dessa forma,
a variável transformada será
Assim,
45 − 45
=0
10
75 − 45
Y4 =
=3
10
Y1 =
Y=
X − 45
.
10
55 − 45
=1
10
85 − 45
Y5 =
=4
10
Y2 =
Y3 =
65 − 45
=2
10
Não foi coincidência!! Se fizermos essa mudança de variável (subtrair
o ponto médio da primeira classe e dividir pela amplitude das classes),
a variável transformada sempre assumirá os valores 0,1,2,3,4,...
Construímos a seguinte tabela:
yi
0
1
2
3
4
Frequências
2
5
7
8
3
Calcularemos a média aritmética da variável transformada Y. Para isso,
multiplicaremos os valores obtidos pelas suas respectivas frequências:
Frequências
yi.fi
yi
0
2
0
1
5
5
2
7
14
3
8
24
4
3
12
A média será
y f
∑
y=
i i
n
=
0 + 5 + 14 + 24 + 12 55
=
= 2, 2kgf
2+5+7 +8+3
25
.
Essa é a média da variável transformada Y!
Se
Y=
X − 45
, então concluímos que X = 10 ⋅ Y + 45 .
10
Agora aplicamos as propriedades da média aritmética. A média de X
será a média de Y multiplicada por 10 e adicionada 45 unidades.
Se
X = aY + b , então X = aY + b
X = 10 ⋅ 2, 2 + 45 = 67 kgf .
Letra C
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Deixe-me resumir o método (admitindo que escolheremos o primeiro
ponto médio para a mudança de variável e que as amplitudes de todas
as classes são iguais):
i)
Construa a coluna da variável transformada Y, constituída pelos
números naturais 0,1,2,3,4,5... (Você não precisa fazer o cálculo
para descobrir os valores da variável Y. Eles sempre assumirão
esses valores.)
ii)
Multiplique os valores da variável transformada pelas
respectivas frequências, some os valores e divida por n (n é
o somatório das frequências). Assim, c alculamos a média
da variável transformada.
iii) Para calcular a média da variável original, devemos multiplicar a
média aritmética encontrada pela amplitude e somar o ponto
médio da primeira classe.
Vamos resolver novamente a questão utilizando o dispositivo prático.
Classes (em
Frequências
kgf)
40 – 50
2
50 – 60
5
60 – 70
7
70 – 80
8
80 – 90
3
Abrimos a coluna da variável transformada e multiplicamos pelas
respectivas frequências.
Classes (em
kgf)
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
y=
∑y f
i i
n
=
Frequências
yi
yi.fi
2
5
7
8
3
0
1
2
3
4
2x0=0
5x1=5
7x2=14
8x3=24
3x4=12
0 + 5 + 14 + 24 + 12 55
=
= 2, 2kgf
2+5+7 +8+3
25
Agora, multiplicamos esse valor pela amplitude dos intervalos (10) e
adicionamos o ponto médio da primeira classe (45).
X = 10 ⋅ 2, 2 + 45 = 67 kgf
Vamos calcular novamente a média aritmética das estaturas dos 40
alunos do Ponto dos Concursos.
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Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos
Estaturas
Frequência
(cm)
150 154
4
154 158
9
158 162
11
162 166
8
166 170
5
170 174
3
Total
40
Já que as amplitudes são constantes (154 – 150 = ... = 174 -170 = 4 ),
podemos aplicar o dispositivo prático com o auxílio da variável
transformada.
Abrimos a coluna da variável transformada e multiplicamos pelas
respectivas frequências.
Estaturas
(cm)
150 154
154 158
158 162
fi
yi
yi ⋅ f i
4
9
11
0
1
2
162 166
166 170
170 174
Total
8
5
3
40
3
4
5
4x0=0
9x1=9
11 x 2 =
22
8 x 3 = 24
5 x 4 = 20
3 x 5 =15
∑ yi ⋅ fi = 90
y f
∑
y=
i i
n
=
90
= 2, 25
40
Agora, multiplicamos esse valor pela amplitude dos intervalos (4) e
adicionamos o ponto médio da primeira classe (
150 + 154
= 152 ).
2
X = 4 ⋅ 2, 25 + 152 = 161cm .
04. (Auditor IBGE – CESGRANRIO 2010) A tabela abaixo apresenta a
distribuição de frequências das idades de um grupo de crianças.
Classes (em anos)
0 ˫- 2
2 ˫- 4
4 ˫- 6
6 ˫- 8
8 ˫- 10
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fi
5
2
4
2
7
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A média das idades dessas crianças, em anos, é
(A) 5,0
(B) 5,2
(C) 5,4
(D) 5,6
(E) 5,8
Resolução
Já que as amplitudes são constantes (2 – 0 = 4 – 2 = ... = 10 – 8 = 2),
podemos calcular a média aritmética com o auxílio da variável transformada.
i)
Construa a c oluna da variável transformada Y, c onstituída pelos
números naturais 0,1,2,3,4,5...
ii)
Multiplique os valores da variável transformada pelas respectivas
frequências, some os valores e divida por n (n é o somatório das
frequências).
Assim,
c alculamos
a
média
da
variável
transformada.
iii) Para calcular a média da variável original, devemos multiplicar a
média aritmética encontrada pela amplitude e somar o ponto
médio da primeira classe.
yi
fi
yi ⋅ f i
0
1
2
3
4
Total
5
2
4
2
7
20
0
2
8
6
28
44
y=
∑y f
i i
n
=
44
= 2, 2
20
Agora, multiplicamos esse valor pela amplitude dos intervalos (2) e
adicionamos o ponto médio da primeira classe (
0+2
= 1 ).
2
X = 2 ⋅ 2, 2 + 1 = 5, 4 .
Letra C
05. (Estatístico – Pref. Manaus 2004 CESGRANRIO) Analise as afirmativas a
seguir, a respeito da média aritmética.
I - a soma dos resíduos em relação à média aritmética é sempre igual a zero;
II - é em relação à média aritmética que a soma dos valores absolutos dos
resíduos é mínima;
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III - é em relação à média aritmética que a soma dos quadrados dos resíduos
é mínima.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
(A) II, somente.
(B) I e II somente.
(C) I e III somente.
(D) II e III somente.
(E) I, II e III.
Resolução
Questão puramente teórica! Uma digna aula sobre média aritmética. Vamos
analisar cada um dos itens:
I. A soma dos resíduos em relação à média aritmética é sempre igual a zero.
(VERDADEIRO)
Já justifiquei essa propriedade com um exemplo. Ei-lo novamente.
Consideremos a sequência de dados (2,4,6,8,10,10,12,12).
A média aritmética é dada por
x=
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 10 + 12 + 12
8
∴x = 8
Sabemos que a média aritmética desse conjunto de dados é x = 8 .
Denominamos desvio ou resíduo em relação à média a diferença entre
cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética. Para o
exemplo dado, temos:
d1 = x1 − x = −6
d 5 = x5 − x = 2
d 2 = x2 − x = −4
d 6 = x6 − x = 2
d 3 = x3 − x = −2
d 7 = x7 − x = 4
d 4 = x4 − x = 0
d8 = x8 − x = 4
Facilmente verificamos que a soma dos desvios em relação à média é igual a
zero. De fato,
∑d
i
=−6−4−2+0+2+2+4 = 0.
Obviamente essa não foi uma demonstração matemática. Apenas ilustrei a
propriedade através de um exemplo. De fato, qualquer que seja a distribuição
de dados, a soma dos desvios em relação à média sempre é igual a zero!
II - é em relação à média aritmética que a soma dos valores absolutos dos
resíduos é mínima. (FALSO)
A proposição é falsa, pois é em relação à mediana (estudaremos ainda
nesta aula) que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínima.
III - é em relação à média aritmética que a soma dos quadrados dos resíduos
é mínima. (VERDADEIRO)
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Voltemos ao nosso exemplo: a sequência (2,4,6,8,10,10,12,12).
Os desvios em relação à media já foram calculados. Para calcular a soma dos
quadrados, devemos elevar cada resíduo ao quadrado e depois somar.
∑d
2
i
=(−6) 2 + (−4)2 + (−2) 2 + 02 + 22 + 22 + 42 + 42
∑d
2
i
=96
A propriedade nos diz que, para este conjunto A, o valor 96 é um valor
mínimo. Isso porque, se construirmos um conjunto dos desvios d i ' formado
pela diferença entre os elementos xi do conjunto e uma constante que não
seja a média, ou seja, um conjunto dos desvios em torno de um valor qualquer
diferente da média e, feito isso, acharmos o conjunto (di ') 2 e em seguida
calcularmos o seu somatório
∑ (d ')
i
2
, este último valor será maior do que 96.
Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvios em relação ao
número 5 (diferente da média aritmética 8).
∑ (d ')
i
2
=( −3) 2 + (−1)2 + 12 + 32 + 52 + 52 + 7 2 + 7 2
∑ (d ')
2
i
Assim,
∑ (d ') > ∑ (d )
2
i
i
2
=168
.
Letra C
06. (MPE-RO CESGRANRIO 2005) A tabela apresenta uma distribuição de
frequência dos salários dos 200 empregados de certa empresa.
Salário (R$)
260 – 520
520 – 1040
1040 – 1560
1560 - 2600
Frequência
50
100
30
20
O salário médio, aproximadamente, vale:
(A) R$ 600,00
(B) R$ 780,00
(C) R$ 890,50
(D) R$ 1 040,00
(E) R$ 1430,00
Nessa questão as amplitudes não são constantes!! Portanto, não poderemos calcular a média aritmética com o auxílio da variável transformada.
Para calcular a média aritmética de uma distribuição de frequências,
convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado
intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio.
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Abriremos inicialmente uma coluna para os pontos médios das classes
(xi) e em seguida multiplicaremos esses valores pelas suas respectivas
frequências.
Lembre-se que para calcular o ponto médio das classes, basta calcular a média
aritmética dos extremos das classes, por exemplo, o primeiro ponto médio é
260 + 520
= 390 .
2
Salário (R$)
260 – 520
520 – 1040
1040 – 1560
1560 - 2600
x=
∑x f
i i
n
=
xi
390
780
1300
2080
fi
50
100
30
20
xi.fi
19.500
78.000
39.000
41.600
19.500 + 78.000 + 39.000 + 41.600 178.100
=
= 890,50
200
200
Letra C
Mediana (Md)
A mediana é outra medida de posição definida como número que se encontra
no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma
ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados
segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto
que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
Dados não-agrupados
Dada uma série de valores, como, por exemplo:
5,10,13,12,7,8,4,3,9.
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da
ordenação (colocar os dados brutos em rol) dos valores. 3,4,5,7,8,9,10,12,13.
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de
elementos à direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o número 8,
já que, nessa série, há 4 elementos acima dele e quatro abaixo.
Temos então,
Md=8.
Se, porém a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por
definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais
da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio.
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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Assim, a série de valores 2,6,7,10,12,13,18,21 tem para mediana a média
aritmética entre 10 e 12.
Logo,
10 + 12
Md =
= 11
2
∴ Md = 11
Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo n o
número de elementos da série, o valor mediano será:
n +1
- o termo de ordem
, se n for ímpar.
2
n n
- a média aritmética dos termos de ordem
e + 1 , se n for par.
2 2
Observações:
i) O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série.
Quando o número de elementos da série é ímpar, há coincidência. O
mesmo não acontece, porém, quando esse número é par.
ii) A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série
ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre a mediana e a
média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos).
iii) A mediana é também designada por valor mediano.
Dados Agrupados
Sem intervalos de classe
Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente
superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor
da variável que corresponde a tal frequência acumulada.
Xi
fac
fi
2
2
2
4
6
8
6
10
18
8
12
30
10
9
39
Verificamos facilmente que o número de elementos da distribuição é ímpar.
Desta forma, temos apenas uma posição central.
39 + 1
Posição central:
= 20
2
Temos então que a mediana será o termo da 20ª posição. Através da
frequência acumulada temos que Md=8.
Xi
2
4
6
8
10
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fi
2
6
10
12
10
fac
2
8
18
30
40
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Neste segundo exemplo, o número de elementos da distribuição é par, e, como
40
vimos, teremos duas posições centrais:
=20 e 20 + 1 = 21
2
Novamente, através da frequência acumulada verificamos que as duas
posições centrais são iguais a 8.
8+8
Assim, Md =
=8.
2
E como último exemplo:
Xi
fi
fac
2
2
2
4
6
8
6
10
18
8
12
30
10
6
36
Como o número de elementos é par, teremos duas posições centrais.
36
=18 e 18 + 1 = 19 .
2
O termo de posição 18 é igual a 6 e o termo de posição 19 é igual a 8. Temos
então que a mediana será
Md =
6+8
=7.
2
E quanto ao cálculo da mediana em distribuições de frequências?
Vejamos através das próximas questões resolvidas.
07. (PETROBRAS 2008 – Administrador Júnior – CESGRANRIO) A tabela abaixo
apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas frequências.
Não há observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes (em
kgf)
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
Frequências
2
5
7
8
3
O valor aproximado, em kgf, do peso mediano do conjunto de pessoas é
(A) 67
(B) 68
(C) 69
(D) 70
(E) 71
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Resolução
A mediana é
outra medida de posição definida como número que se encontra no centro de
uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em
outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo
uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o
separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
No cálculo da mediana em uma distribuição de frequência não teremos a
preocupação de determinarmos se o número de elementos é par ou ímpar. Os
passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão:
i) Descobrir a classe mediana.
ii) Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de frequências.
n
. Em
Para determinarmos a classe mediana, deveremos calcular o valor
2
seguida comparamos esse valor com os valores da frequência absoluta
acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequência acumulada seja
n
maior ou igual ao valor de .
2
n 25
No nosso caso, n=2+5+7+8+3=25. Assim,
=
= 12,5 . Devemos construir a
2 2
coluna de frequência absoluta acumulada crescente.
E como se constrói essa coluna? Para a primeira classe devemos simplesmente
repetir a frequência absoluta. Para as outras, devemos somar a frequência
absoluta da classe com a frequência acumulada anterior. Deixe-me mostrar no
exemplo:
Ou seja,
Classes (em
kgf)
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
Frequências
Fac
2
5
7
8
3
2
2+5=7
7+7=14
8+14=22
3+22=25
Classes (em
kgf)
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
Frequências
Fac
2
5
7
8
3
2
7
14
22
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26
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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Para determinar a classe mediana, devemos comparar cada uma das
frequências acumuladas com o valor 12,5. Quando encontrarmos o primeiro
valor que for maior ou igual a 12,5 teremos determinado a classe mediana.
Classes (em
kgf)
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
Frequências
Fac
2
5
7
8
3
2
7
14
22
25
Classe mediana
(14 > 12,5)
Estamos prontos para aplicarmos a fórmula da mediana.
n

 2 − facANT 
Md = linf + 
⋅h
f
i




Precisaremos dos seguintes valores:
Limite inferior da classe mediana ( linf = 60 ).
n
= 12, 5
2
Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana ( fac ANT = 7 ).
Frequência absoluta da classe mediana ( f i = 7 )
Amplitude da classe mediana ( h = 70 − 60 = 10 )
A mediana é dada por:
n
 2 − fac ANT
Md = linf + 
fi




12,5 − 7 
 ⋅ h = 60 + 
 ⋅10 ≅ 67,85 ≅ 68cm
7




Letra B
08. (Auditor IBGE – CESGRANRIO 2010)
A tabela abaixo apresenta
a distribuição de frequências das idades de um grupo de crianças.
Classes (em anos)
0 ˫- 2
2 ˫- 4
4 ˫- 6
6 ˫- 8
8 ˫- 10
fi
5
2
4
2
7
A mediana da distribuição de frequências apresentada é
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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(A) 5,5
(B) 5,6
(C) 5,7
(D) 5,8
(E) 5,9
Resolução
Os passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão:
i) Descobrir a classe mediana.
ii) Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de frequências.
n
. Em
Para determinarmos a classe mediana, deveremos calcular o valor
2
seguida comparamos esse valor com os valores da frequência absoluta
acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequência acumulada seja
n 20
n
maior ou igual ao valor de . No nosso caso, n = 20. Logo, =
= 10 .
2
2 2
Devemos construir a coluna de frequência absoluta acumulada crescente.
Classes (em anos)
0 ˫- 2
2 ˫- 4
4 ˫- 6
6 ˫- 8
8 ˫- 10
fi
5
2
4
2
7
Fac
5
7
11
13
20
Vamos procurar a classe mediana. Basta olhar para a coluna de frequências
n
= 10 . A primeira frequência acumulada
acumuladas e comparar com o valor
2
que for maior ou igual a 10 caracterizará a classe mediana. Verificamos
facilmente que 11>10.
Classes (em anos)
0 ˫- 2
2 ˫- 4
4 ˫- 6
6 ˫- 8
8 ˫- 10
fi
5
2
4
2
7
Fac
5
7
11
13
20
Classe mediana
(11 > 10)
Coloquei em vermelho os valores que utilizaremos na fórmula da mediana.
Precisaremos dos seguintes valores:
Limite inferior da classe mediana ( linf = 4 ).
n
= 10
2
Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana ( fac ANT = 7 ).
Frequência absoluta da classe mediana ( f i = 4 )
Amplitude da classe mediana ( h = 6 − 4 = 2 )
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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A mediana é dada por:
n
 2 − fac ANT
Md = linf + 
fi




10 − 7 
⋅h = 4+ 
 ⋅ 2 = 5,5
4




Letra A
(MPE-RO CESGRANRIO
2005) O enunciado a seguir refere-se às
questões de números 09 e 10.
A tabela apresenta uma distribuição de frequência dos salários dos
200 empregados de certa empresa.
Salário (R$)
Frequência
260 – 520
50
520 – 1040
100
1040 – 1560
30
1560 - 2600
20
09. O salário mediano vale, aproximadamente:
(A) R$ 600,00
(B) R$ 780,00
(C) R$ 890,50
(D) R$ 1 040,00
(E) R$ 1 430,00
Resolução
Os passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão:
i) Descobrir a classe mediana.
ii) Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de frequências.
Para descobrir a classe mediana devemos calcular
n
. Como n = 200, temos
2
n
= 100 . E o que fazer agora? Construir a coluna das frequências
2
acumuladas.
que
Salário (R$)
260 – 520
520 – 1040
1040 – 1560
1560 - 2600
Frequência
50
100
30
20
fac
50
150
180
200
Classe mediana
(150 > 100)
Novamente em vermelho os valores que utilizaremos na fórmula da mediana.
Precisaremos dos seguintes valores:
Limite inferior da classe mediana ( linf = 520 ).
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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n
= 100
2
Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana ( fac ANT = 50 ).
Frequência absoluta da classe mediana ( f i = 100 )
Amplitude da classe mediana ( h = 1040 − 520 = 520 ). Observe que nessa
questão as amplitudes não são constantes. Para o cálculo da mediana
deveremos utilizar a amplitude da classe mediana!! Cuidado...
A mediana é dada por:
n
 2 − fac ANT
Md = linf + 
fi




100 − 50 
 ⋅ h = 520 + 
 ⋅ 520 = 780
100




Letra B
10. O terceiro quartil, aproximadamente, vale:
(A) R$ 600,00
(B) R$ 780,00
(C) R$ 890,50
(D) R$ 1 040,00
(E) R$ 1 430,00
Resolução
O método para calcular o terceiro quartil (e as outras medidas separatrizes
como decis, percentis e os outros quartis) é muito parecido com o da mediana.
Em tempo: os decis dividem a distribuição em 10 partes de mesma frequência.
Os percentis dividem a distribuição em 100 partes de mesma frequência. Os
quartis dividem a distribuição em 4 partes de mesma frequência. A mediana
divide a distribuição em 2 partes de mesma frequência.
n
3n
calcularemos
. O denominador
4
2
é igual a 4 porque trata-se de um quartil (dividimos a distribuição em quatros
partes). O numerador é 3n porque estamos calculando o terceiro quartil.
Então, a única coisa que vai mudar na fórmula, é que ao invés de utilizarmos
n
3n
utilizaremos
. E para calcular a classe do terceiro quartil deveremos
4
2
3n
procurar a frequência acumulada que é maior ou igual a
. A fórmula do
4
terceiro quartil ficará
 3n

 4 − fac ANT 
Q3 = linf + 
⋅h
f
i




Diferença: ao invés de calcularmos o valor
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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Já que n = 200, então
3n 3 ⋅ 200
=
= 150 .
4
4
E o que fazer agora? Construir a coluna das frequências acumuladas.
Salário (R$)
260 – 520
520 – 1040
1040 – 1560
1560 - 2600
Frequência
50
100
30
20
fac
50
150
180
200
Classe do
terceiro quartil
(150=150)
Novamente em vermelho os valores que utilizaremos na fórmula da mediana.
Precisaremos dos seguintes valores:
Limite inferior da classe mediana ( linf = 520 ).
3n
= 150
4
Frequência acumulada da classe anterior à classe do terceiro quartil (
fac ANT = 50 ).
Frequência absoluta da classe do terceiro quartil ( f i = 100 )
Amplitude da classe do terceiro quartil ( h = 1040 − 520 = 520 ). Observe que
nessa questão as amplitudes não são constantes. Para o cálculo do
terceiro quartil deveremos utilizar a amplitude da classe do terceiro
quartil!! Cuidado...
O terceiro quartil é dado por:
 3n
 4 − fac ANT
Q3 = linf + 
fi




150 − 50 
⋅
=
+
520
h

 100  ⋅ 520 = 1040




Letra D
Moda
Foi Karl Pearson quem introduziu em Estatística pela primeira vez,no
século XIX, o conceito de moda, talvez baseado no próprio significado da
palavra.
A moda é definida como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maior
frequência em um rol. Baseado neste contexto, um conjunto de valores pode
apresentar mais de uma moda. Neste caso dizemos ser plurimodal, caso
contrário, será unimodal, ou ainda, amodal (quando todos os valores das
variáveis em estudo apresentarem uma mesma frequência).
i) Para dados não agrupados em classe
Para a identificação da moda em um conjunto ordenado de valores não
agrupados em classe, basta verificar, no conjunto, aquele valore que
aparece com maior frequência.
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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Exemplos:
X1={1,2,3,4,5,6} (Conjunto amodal)
X2={10,10,12,13,18} Mo=10 (Conjunto Unimodal)
X3={100,100,200,200,300,600} Mo=100 e Mo=200
(Conjunto bimodal)
ii) Para dados agrupados – não agrupados em classe
Quando os dados estiverem dispostos em uma Tabela de Frequência, não
agrupados em classe, a localização da moda é imediata, bastando para isso,
verificar na tabela, qual o valor predominante.
Estatura Freq.
(m)
1,60
3
8
1,62
1,64
12
1,70
20
1,73
10
7
1,80
1,83
3
1,88
1
Na tabela o valor modal é 1,70m, isto porque é o resultado que apresenta o
maior número de alunos (20).
iii)
Dados agrupados em classe
Tratando-se de dados agrupados em classe, a moda não é percebida tão
facilmente como nos casos anteriores. Para tal, utilizamos diversos processos
na sua obtenção. Mas qualquer que seja o processo adotado, o primeiro passo
é identificar a classe que contém a maior frequência. A esta classe
denominamos classe-modal.
Aprenderemos a determinar a moda da distribuição de frequências pelo
método da moda bruta, pelo Método de Czuber e pelo Método de King.
Se a questão não especificar qual das fórmulas a ser empregada, pedindo
apenas que se calcule a moda, usaremos a fórmula de Czuber.
Consequentemente, só empregaremos a fórmula de King quando assim for
solicitado expressamente.
Moda Bruta
De todos os processos, este é o mais elementar, bastando, para isso, tomar o
ponto médio da classe modal (aquela que contém a maior frequência).
Na próxima tabela, verificamos, de imediato, que a distribuição possui apenas
uma Moda e, que ela está contida na classe 4 ˫ 6 chamada Classe Modal.
Logo, o ponto médio da classe modal o caso, Nota 5, é conhecida como Moda
Bruta.
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Notas
Classe
0˫2
2˫4
4˫6
6˫8
8 ˫10
fi
∑
27
16
34
17
16
fi = 110
Processo de Czuber
O processo utilizado por Czuber leva em consideração as frequências anterior e
posterior à Classe Modal.
Moc = Moda (Processos de Czuber)
∆1 = f máx − f ant
∆ 2 = f m áx − f post
h = amplitude do intervalo de classe
li = Limite inferior da classe modal
Assim, a moda de Czuber é dada por
 ∆1 
MoC = li + 
 ⋅h
 ∆1 + ∆ 2 
Observação: A demonstração desta fórmula foi colocada por mim no site do
Ponto dos Concursos no link
http://www.pontodosconcursos.com.br/artigos3.asp?prof=249&art=5103&idpa
g=4
No nosso exemplo,
∆1 = 34 − 16 = 18
∆ 2 = 34 − 17 = 17
h=2
li = 4
Logo,
 18 
MoC = 4 + 
⋅ 2 = 5, 0285
18 + 17 
∴ MoC = 5, 0285
Processo de King
No processo proposto por King, é considerada a influência sobre a classe
modal das freqüências das classes anterior e posterior. A inconveniência deste
processo é justamente não levar em consideração a frequência da classe
modal.
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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 f post 
MoK = li + 
⋅h
 f ant + f post 
No nosso exemplo,
f post = 17
f ant = 16
h=2
li = 4
Logo,
 17 
MoK = 4 + 
 ⋅ 2 = 5,0303
17 + 16 
∴ MoK = 5, 0303
Propriedades da Moda
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma
variável, a moda do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.
Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por
uma constante c , a moda do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa
constante.
11. (AFRFB 2009 ESAF) Considere a seguinte amostra aleatória das idades
em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a
essa amostra, marque a única opção correta:
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24,
36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.
b) A moda e a média das idades são iguais a 27.
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.
Resolução
Média aritmética:
x=
∑x
i
n
1052
x=
≅ 28, 43
37
Rol: 23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27,
27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39,
41.
37 + 1
A mediana será o termo de ordem
= 19º . Logo, a mediana é 27.
2
A moda é definida como sendo aquele valor ou valores que ocorrem
com maior frequência em um rol.
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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A moda é 27.
Letra E
12. (AFRF 1998) Os dados seguintes, ordenados do menor para o
maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de
ações, tomadas numa bolsa de valores internacional. A unidade
monetária é o dólar americano.
4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,1
0,10,10,11,11,12,12,13,13,14, 15,15,15,16,16,18,23.
Assinale a opção que corresponde ao preço modal.
a) 8
b) 23
c) 7
d) 10
e) 9
Resolução
Questão muito fácil!
Basta verificar o valor de maior frequência. Facilmente verifica-se que a moda
é 8, pois ele tem a maior frequência (aparece mais vezes).
Letra A
13. (AFRF/ESAF/1996) Para efeito desta questão, c onsidere
osseguintes dados.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS
DA
EMPRESA ALFA, EM 01.01.90
Classes de Idades
Pontos Médios
fi
(anos)
(PM)
19,5˫24,5
2
22
24,5˫29,5
9
27
29,5˫34,5
23
32
34,5˫39,5
29
37
39,5˫44,5
18
42
44,5˫49,5
12
47
49,5˫54,5
7
52
Total
100
Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em 1º/01/90.
a) 35,97
b) 36,26
c) 36,76
d) 37,03
e) 37,31
Resolução
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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O primeiro passo é determinar a classe modal (maior frequência). A classe
modal é a quarta classe 34,5˫39,5, cuja frequência é 29. A frequência anterior
à classe modal é 23, e temos que ∆1=29 – 23 = 6. A frequência posterior à
classe modal é 18 e temos que ∆2=29 – 18 = 11.
O limite inferior da classe modal é 34,5 e a amplitude da classe modal é 5.
Assim, a moda de Czuber será
Letra B
 ∆1 
MoC = li + 
⋅h
∆
+
∆
 1
2
 6 
MoC = 34,5 + 
⋅ 5 = 36, 26
 6 + 11 
Medidas de dispersão ou variabilidade
Discutimos diversas maneiras de obter um valor que fosse representativo para
os demais em um dado conjunto. Muitas vezes apenas os cálculos ou
apresentações de um valor específico para um conjunto qualquer não são
suficientes para caracterizar uma distribuição ou um conjunto de valores.
O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se (afastar-se) em
torno de um valor chama-se variação ou dispersão dos dados. Dispõe-se de
várias medidas de dispersão. Estudaremos as mais importantes.
Desvio Absoluto Médio (Dm)
Aprendemos que a soma algébrica dos desvios tomados em relação à média
é nula.
Assim, não nos importaria “criar” uma medida de dispersão que utilize a
soma algébrica dos desvios, pois essa, como sabemos, é sempre zero.
Temos duas alternativas a tomar: trocar o sinal dos desvios negativos (calcular
o módulo dos desvios) ou elevar os desvios negativos ao quadrado (pois todo
número elevado ao quadrado não é negativo).
Ao tomar a primeira posição, damos origem ao desvio absoluto médio e
ao tomar a segunda posição damos origem à variância.
O desvio absoluto médio também é chamado apenas de desvio médio ou
desvio absoluto.
Desvio médio é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios da
distribuição, em relação a uma medida de tendência central: média ou
mediana. Na presente aula limitar-nos-emos apenas em relação à média
aritmética.
n
Dm =
∑X
i
−X
i =1
n
Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequência
com dados agrupados em classe ou dados isolados ponderados, utilizaremos a
seguinte fórmula:
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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n
Dm =
∑X
i
− X ⋅ fi
i =1
n
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento
de um conjunto de valores e a média aritmética.
(2,4,6,8,10,10,12,12)
A média aritmética dessa lista de números é igual a 8. Por exemplo, o desvio
em relação à média do primeiro número é 2 – 8 = - 6.
d1 = x1 − x = −6
d5 = x5 − x = 2
d 2 = x2 − x = −4
d 6 = x6 − x = 2
d3 = x3 − x = −2
d 7 = x7 − x = 4
d 4 = x4 − x = 0
d8 = x8 − x = 4
Para calcular o desvio absoluto médio, devemos considerar o valor absoluto
(módulo) dos valores acima obtidos.
d1 = 6
d5 = 2
d2 = 4
d6 = 2
d3 = 2
d7 = 4
d4 = 0
d8 = 4
Dam =
∑d
i
n
Onde di é a diferença entre cada valor e a média aritmética.
Dam =
6+4+2+0+2+2+4+4
8
Dam = 3
Vejamos um exemplo do cálculo do desvio absoluto médio em uma distribuição
de frequências. O primeiro passo é calcular a média aritmética da distribuição
(se possível utilizando o método simplificado). Em seguida, devemos calcular
cada desvio em relação à média, tomar seus valores absolutos, multiplicar
cada resultado pela frequência da classe, somar todos os valores e dividir por
n.
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequência
com dados agrupados em classe ou dados isolados ponderados, utilizaremos a
seguinte fórmula:
n
Dam =
∑X
i
− X ⋅ fi
i =1
n
14. (AFRF 2002.2/ESAF) O atributo do tipo contínuo X, observado
como um inteiro, numa amostra de tamanho 100, obtida de uma
população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências
seguinte:
Classes
29,5-39,5
39,5-49,5
49,5-59,5
59,5-69,5
69,5-79,5
79,5-89,5
89,5-99,5
Frequência
(f)
4
8
14
20
26
18
10
Assinale a opção que c orresponde ao desvio absoluto médio do
atributo X.
a) 16,0
b) 17,0
c) 16,6
d) 18,1
e) 13,0
Resolução
O primeiro passo, como foi dito, é calcular a média aritmética da distribuição.
Já que as amplitudes são constantes (iguais a 10), então poderemos utilizar o
método breve. Lembrando que devemos abrir uma coluna para a variável
transformada y, que é formada pela sequência dos números naturais.
Classes
(f)
yi
29,5-39,5
4
0
39,5-49,5
8
1
49,5-59,5
14
2
59,5-69,5
20
3
69,5-79,5
26
4
79,5-89,5
18
5
89,5-99,5
10
6
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38
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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Para calcular a média aritmética, devemos multiplicar os valores da variável
transformada pelas suas respectivas frequências. Somar os valores e dividir
por “n”.
Classes
29,5-39,5
39,5-49,5
49,5-59,5
59,5-69,5
69,5-79,5
79,5-89,5
89,5-99,5
y=
(f)
4
8
14
20
26
18
10
yi
0
1
2
3
4
5
6
yi.f
0
8
28
60
104
90
60
350
= 3,5
100
Essa é a média da variável transformada. Para calcular a média da variável
original, devemos multiplicar a média aritmética encontrada pela
amplitude e somar o ponto médio da primeira classe.
x = y ⋅ h + x1
x = 3,5 ⋅10 + 34,5
x = 69,5
Para calcular o desvio absoluto médio, devemos calcular o módulo da diferença
entre cada ponto médio e a média aritmética.
Calculamos o primeiro ponto médio, que é a média aritmética entre 29,5 e
39,5. Logo, o primeiro ponto médio é igual a 34,5.
Para calcular os próximos pontos médios, basta adicionar a amplitude das
classes. Ou seja, o próximo ponto médio é igual a 34,5 + 10 = 44,5.
Classes
29,5-39,5
39,5-49,5
49,5-59,5
59,5-69,5
69,5-79,5
79,5-89,5
89,5-99,5
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(f)
4
8
14
20
26
18
10
Xi
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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A média aritmética é igual a 69,5. O desvio da primeira classe é
34,5 – 69,5 = - 35. O módulo desse desvio é 35. Faremos da mesma maneira
o cálculo nas próximas classes.
Classes
29,5-39,5
39,5-49,5
49,5-59,5
59,5-69,5
69,5-79,5
79,5-89,5
89,5-99,5
(f)
4
8
14
20
26
18
10
Xi
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
│Xi-X│
35
25
15
5
5
15
25
O próximo passo é multiplicar cada desvio pela sua respectiva frequência.
Classes (f)
Xi
│Xi-X│ │Xi-X│.f
29,5-39,5 4 34,5
35
140
39,5-49,5 8 44,5
25
200
49,5-59,5 14 54,5
15
210
59,5-69,5 20 64,5
5
100
69,5-79,5 26 74,5
5
130
79,5-89,5 18 84,5
15
270
89,5-99,5 10 94,5
25
250
Estamos prontos para calcular o desvio absoluto médio. Basta somar
os valores da última coluna e dividir por n.
Dam =
Letra E
1300
= 13
100
Desvio padrão e Variância
De todas as medidas de dispersão apresentadas até aqui, o Desvio Padrão é o
mais utilizado, e cuja definição nada mais é do que a raiz quadrada da média
aritmética dos quadrados dos desvios.
O c onceito de desvio padrão está intimamente ligado ao estudo
da variância. Essas duas medidas de dispersão apresentam
uma peculiaridade: teremos que prestar atenção se questão será
c om amostras ou com a população.
Suponhamos que desejamos conhecer alguma coisa sobre
determinada população – por exemplo, a média salarial, o desvio padrão
das alturas, o
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40
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
percentual de intenções de voto para um determinado candidato - e essa
população é composta de milhares (talvez milhões) de elementos, de tal modo
que seria muito difícil pesquisar o valor correto, pois seria inviável pesquisar
todos os elementos. Nesse caso, temo de recorrer aos valores encontrados em
uma amostra!!
Seja qual for o caso, o fato é que, em muitas situações, precisamos obter as
informações de uma amostra. O valor da população, chamado de parâmetro
populacional, é desconhecido. O que é possível de se obter é um valor da
amostra, que supostamente nos dá uma ideia do valor correto (populacional)
do parâmetro. Esse valor amostral é chamado de estimador do parâmetro
populacional.
Por exemplo, queremos saber a média de idade dos estudantes do Ponto dos
Concursos. Como há muitos estudantes, recorremos a uma amostra de,
digamos 150 alunos. A média da amostra encontrada foi de 24 anos. Essa é a
nossa estimativa! Mas a média de idade dos estudantes do Ponto dos
Concursos é realmente 24 anos? Não dá para saber, a não ser que todos
os estudantes do Ponto fossem pesquisados.
Portanto, são coisas diferentes o parâmetro populacional e o estimador
e, portanto, devem ser representados de maneiras diferentes, por exemplo:
X = média amostral (estimador )
µ = média populacional (parâmetro populacional )
E não é só uma diferença de valores!! O parâmetro populacional é, em geral,
um valor fixo. O estimador depende da amostra.
A principal propriedade desejável de um estimador é a de que esse estimador,
na média, acerte o valor correto. Ou seja, se pudéssemos repetir a experiência
infinitas vezes, o valor médio das estimativas encontradas em cada
experimento seria o valor correto do parâmetro populacional.
A esperança (trataremos a esperança c om detalhes neste c urso) do
estimador deve ser o parâmetro populacional. Se isso ocorre, dizemos que o
estimador é não viesado (não viciado). Se, entretanto, o estimador erra,
em média, dizemos que ele é viesado (viciado).
Pois bem, o desvio padrão é a raiz quadrada da média aritmética dos
quadrados dos desvios.
No caso do rol (população), aplicaremos a seguinte fórmula:
'=(
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∑)* − *,-
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41
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequência
com dados agrupados em classe ou dados isolados ponderados, utilizaremos a
seguinte fórmula:
∑)* − *,- ∙
'=(
São fórmulas muito parecidas com a do desvio absoluto médio. A diferença é
que no lugar de tomar os valores absolutos dos desvios, devemos elevar os
desvios ao quadrado. E do resultado final, extrair a raiz quadrada.
E se estivermos trabalhando com amostras. A única diferença é que o
denominador da fórmula não será “n”! Será “n-1”!!
∑)01 20,-
=/
52
3 ∙4
1
é um estimador não viciado (não viesado) da variância.
Utilizaremos a seguinte notação: se estivermos trabalhando com população, a
letra indicadora do desvio padrão será a letra grega sigma σ. O desvio padrão
amostral será designado pela letra latina s.
Lembrando mais uma vez: se estivermos trabalhando com amostras, na
fórmula do desvio padrão (e também da variância que veremos adiante) o
denominador deverá ser trocado por n-1.
E quanto às fórmulas da variância??
Se você sabe como calcular o desvio padrão, automaticamente já
sabe calcular a variância. Basta não extrair a raiz quadrada.
Variância populacional
∑)* − *,- ∙
' =
Variância Amostral
∑)* −−1*,- ∙
=
Em suma, a variância é o quadrado do desvio padrão e o desvio
padrão é a raiz quadrada da variância!!!
Vejamos alguns exemplos.
15. (Auditor IBGE - CESGRANRIO 2010) No último mês, Alípio fez apenas 8
ligações de seu telefone celular cujas durações, em minutos, estão
apresentadas no rol abaixo.
5 2 11 8 3 8 7 4
O valor aproximado do desvio padrão desse conjunto de tempos, em minutos,
é
(A) 3,1
(B) 2,8
(C) 2,5
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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(D) 2,2
(E) 2,0
Resolução
Nesse caso, não estamos trabalhando com uma amostra. Pois Alípio fez
apenas 8 ligações de seu telefone celular. Então, na fórmula do desvio-padrão
o denominador será o próprio n (o número de elementos da população).
Estamos trabalhando com um parâmetro populacional.
σ =
2
∑ ( x − x)
2
i
n
Devemos, portanto, calcular a média aritmética dos elementos da população e
finalmente aplicarmos a fórmula do desvio-padrão populacional.
µ=
5 + 2 + 11 + 8 + 3 + 8 + 7 + 4
=6
8
xi
xi − x
( x − x)
5
2
5 – 6 = -1
2 – 6 = -4
11
8
3
8
7
4
11 – 6 = 5
8–6=2
3 – 6 = -3
8–6=2
7–6=1
4 – 6 = -2
(-1)2 = 1
(-4)2 =
16
2
5 = 25
22 = 4
(-3)2 = 9
22 = 4
12 = 1
(-2)2 = 4
E o desvio-padrão será
σ2 =
2
i
1 + 16 + 25 + 4 + 9 + 4 + 1 + 4
64
=
= 8.
8
8
Podemos calcular o valor aproximado da 8 utilizando o método de NewtonRaphson. Para aprender com detalhes o método de Newton-Raphson basta
acessar
o
link
que
disponibilizei
no
site
do
Ponto:
http://www.pontodosconcursos.com.br/artigos3.asp?prof=249&art=4951&idpa
g=4.
Em resumo, o método de Newton-Raphson diz que toda raiz quadrada pode
ser aproximada por uma fração em que o numerador é formado por uma
soma de dois números: o próprio número e o quadrado perfeito mais
próximo. Já no denominador, você vai multiplicar a raiz quadrada do
quadrado perfeito por 2.
No nosso caso, o quadrado perfeito mais próximo de 8 é 9 (32). Então o
numerador será 8+9. E no denominador sempre devemos multiplicar a raiz
quadrada do quadrado perfeito por 2.
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43
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
σ2 = 8 ≅
8 + 9 17
= ≅ 2,83
2⋅3 6
Letra B
16. (PETROBRAS 2008 – Administrador Júnior – CESGRANRIO) Do total de
funcionários de uma empresa, foi retirada uma amostra de seis indivíduos. A
tabela abaixo apresenta o tempo trabalhado na empresa, em anos completos,
por cada um deles.
X1 X2 X3 X4 X5 X6
3 7 2 2 3 1
A variância dessa amostra é
(A) 3,7
(B) 4,0
(C) 4,4
(D) 5,0
(E) 5,5
Resolução
s
2
∑ ( x − x)
=
i
n −1
2
é um estimador não viciado (não viesado) da variância.
Lembre-se que quando trabalhamos com amostras (desvio padrão e variância)
o denominador das fórmulas serão sempre n-1.
Voltemos agora à nossa questão.
X1 X2 X3 X4 X5 X6
3 7 2 2 3 1
Queremos calcular a variância dessa amostra.
Primeiramente calculemos a média dessa amostra.
x=
3 + 7 + 2 + 2 + 3 +1
=3
6
Calculemos agora os quadrados dos desvios dos valores da amostra em
relação à média.
2
xi
xi − x
xi − x
(
3
7
2
2
3
1
3-3=0
7-3=4
2 - 3 = -1
2 - 3 = -1
3-3=0
1 – 3 = -2
)
02 = 0
42 = 16
(-1)2 = 1
(-1)2 = 1
02 = 0
(-2)2 = 4
Assim, a variância amostral é dada por:
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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s
2
∑ ( x − x)
=
2
i
n −1
=
0 + 16 + 1 + 1 + 0 + 4 22
=
= 4, 4
6 −1
5
Letra C
Está lembrado da nossa pesquisa com uma amostra de 40 alunos do
Ponto, em que pesquisamos a estatura deles?
Vamos calcular o desvio padrão e a variância dessa amostra.
Estaturas de 40 alunos do Ponto
Estaturas
fi
xi
(cm)
150 - 154
4
152
154 - 158
9
156
158 - 162
11
160
162 - 166
8
164
166 - 170
5
168
170 - 174
3
172
Total
40
Já tivemos a oportunidade de calcular a média aritmética x = 161 cm .
Para calcular o desvio padrão e a variância, devemos calcular o
quadrado dos desvios em relação a média. Por exemplo: o primeiro
ponto médio é igual a 152, portanto seu desvio é igual a 152 – 161 = 9. Devemos calcular (-9)2 = 81. Em seguida devemos multiplicar esses
valores pelas suas respectivas frequências. Obtemos a seguinte tabela:
(x − X ) (x − X )
2
fi
xi
4
9
11
8
5
3
40
152
156
160
164
168
172
i
i
81
25
1
9
49
121
2
⋅ fi
324
225
11
72
245
363
∑ =1240
Lembrando que no cálculo dessas duas medidas de dispersão, ao
trabalhar com amostras, devemos colocar n-1 no denominador.
∑( X
n
S =
2
i =1
i
−X
)
2
⋅ fi
1240
= 31, 79
40 − 1
n −1
S = 31, 79 = 5, 638
=
(Tente calcular um valor aproximado do desvio padrão utilizando o método de
Newton-Raphson).
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Esse exemplo foi um pouco trabalhoso!! Por isso, aprenderemos algumas
propriedades do desvio padrão e da variância e um método simplificado para o
cálculo dessas medidas.
O desvio padrão goza de algumas propriedades parecidas com as da média
aritmética.
Propriedades da Variância
i) Somando-se ou subtraindo-se uma c onstante qualquer a c ada
elemento de um conjunto de valores, a variância não se altera.
ii) Se multiplicarmos ou dividirmos uma c onstante qualquer a c ada
elemento de um conjunto de valores, a variância ficará multiplicada ou
dividida pelo quadrado dessa constante.
Por exemplo, se os valores triplicam, a variância é multiplicada por 9 (32). Se
os valores são quadruplicados, a variância é multiplicada por 16 (42).
Em relação à adição e à subtração, tem-se que a variância não é influenciada.
Isso porque a variância é uma medida de dispersão – se somarmos o mesmo
valor a todos os valores de X, eles continuarão dispersos, espalhados da
mesma forma, apenas mudarão de posição.
É válida, portanto, a seguinte relação:
var(aX + b) = a 2 ⋅ var( X )
Temos propriedades muito parecidas o desvio padrão.
Propriedades do Desvio-padrão
i) Somando-se ou subtraindo-se uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, o desvio padrão não se altera.
ii) Se multiplicarmos ou dividirmos uma constante qualquer a cada
elemento de um conjunto de valores, o desvio padrão ficará multiplicado
ou dividido por essa constante.
Isso porque o desvio-padrão, da mesma forma que a variância, é uma medida
de dispersão.
Por exemplo, imagine que a média aritmética das idades de 100 pessoas é
igual a 20 anos. Daqui a 5 anos, todas as pessoas ficarão 5 anos mais velhas.
Ou seja, nós adicionamos 5 às idades de todas as 100 pessoas. Dessa forma,
a média aritmética que hoje é igual a 20 anos, daqui a 5 anos será 20+5=25
anos.
Da mesma maneira, se triplicarmos as idades de todas as 100 pessoas, ou
seja, se multiplicamos todas as idades por 3, a média aritmética também será
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
multiplicada por 3. A média que originalmente era igual a 20 anos será igual
a 20x3=60 anos.
Nesse exemplo das 100 pessoas, daqui a 5 anos as idades estarão igualmente
espalhadas. Por exemplo, se seu irmão é 4 anos mais velho do que você, ele
sempre será 4 anos mais velho do que você. Suas idades estarão sempre com
o mesmo grau de afastamento. Assim, a adição e a subtração não alteram
o desvio-padrão e a variância.
É válida, portanto, a seguinte relação:
i)
dp ( aX + b ) = a ⋅ dp ( X )
17. (PETROBRAS 2006 – Administrador Pleno – CESGRANRIO) Se Y = 2X+1
e a variância de X vale 2, a variância de Y é igual a:
(A) 2
(B) 4
(C) 5
(D) 8
(E) 9
Resolução
É importantíssimo conhecermos algumas propriedades da variância:
i) Somando-se ou subtraindo-se uma c onstante qualquer a c ada
elemento de um conjunto de valores, a variância não se altera.
ii) Se multiplicarmos ou dividirmos uma c onstante qualquer a c ada
elemento de um conjunto de valores, a variância ficará multiplicada ou
dividida pelo quadrado dessa constante.
Por exemplo, se os valores triplicam, a variância é multiplicada por 9 (32). Se
os valores são quadruplicados, a variância é multiplicada por 16 (42).
Em relação à adição e à subtração, tem-se que a variância não é influenciada.
Isso porque a variância é uma medida de dispersão – se somarmos o mesmo
valor a todos os valores de X, eles continuarão dispersos, espalhados da
mesma forma, apenas mudarão de posição.
É válida, portanto, a seguinte relação:
var(aX + b) = a 2 ⋅ var( X )
Assim, var(2 X + 1) = 2 ⋅ var( X ) = 4 ⋅ 2 = 8 .
Poderíamos raciocinar da seguinte maneira:
2
Como chegamos à variável Y a partir da variável X? Multiplicamos os valores
de X por 2 e em seguida adicionamos 1 ao resultado encontrado.
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Assim, a variância (que é igual a 2) multiplicada por 4 é igual a
8. Letra D
Método simplificado para o desvio padrão e variância
Há c asos em que é muito trabalhoso c alcular a média aritmética, em
seguida c alcular os desvios em relação à média, elevar esses valores
ao quadrado, etc. Ufa! Cansou só de ler...
Por isso, existe um método simplificado para o c álculos dessas
medidas de dispersão. Esse método dispensa o cálculo dos desvios!! O
método é descrito a partir das seguintes fórmulas:
Fórmula Desenvolvida do desvio padrão para distribuição de
freqüências
No caso de estarmos trabalhando com os elementos uma população:
1
' =( ∙6
* ∙ −
)∑ * ∙ -
7
No caso de estarmos trabalhando com os elementos de uma amostra:
2

X i ⋅ fi ) 
(
1 
∑
2

S=
∑ X i ⋅ fi −

n −1 
n


Simplificado????? Este método está parecendo muito complicado!!!! Calma...
Se não fosse simplificado eu nem falaria nele... ☺
Para começar: qual a diferença entre ∑ * ∙
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e )∑ * ∙ - ?
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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∑* ∙
Você deve elevar o ponto médio (valor da variável) ao quadrado, multiplicar pela frequência e em seguida somar os valores.
)∑ * ∙ Você deve multiplicar o ponto médio (valor da variável)
pela frequência, somar esses valores e elevar o resultado ao quadrado.
Como é que vamos utilizar essas fórmulas? No lugar de trabalhar com a
variável original, trabalharemos com a variável transformada. Sim, aquela
mesma da média aritmética, que é formada pela sucessão dos números
naturais. Então, na fórmula, no lugar de trabalhar com a variável X,
trabalharemos com a variável transformada Y (0,1,2,3,4...). Calculamos o
desvio padrão e a variância da variável transformada.
Na média aritmética, para fazer o caminho da volta, nós multiplicávamos a
média da variável transformada pela amplitude da classe e depois
adicionávamos o primeiro ponto médio.
Aqui é bem mais fácil!!
O caminho da volta:
Desvio padrão: basta multiplicar pela amplitude.
Variância: basta multiplicar pelo quadrado da amplitude.
Vamos calcular novamente o desvio padrão e a variância dos 40 alunos
do ponto com o método simplificado.
Utilizaremos a fórmula desenvolvida juntamente com a variável transformada:
2


⋅
X
f
(
)
1 
∑
i
i
2
S=
∑Xi ⋅ fi − n 
n −1


No lugar da variável X, utilizaremos a variável Y formada pela
sucessão dos números naturais.
Estaturas de 40 alunos do Ponto
fi
xi
Estaturas
(cm)
150⊢
⊢154
4
152
154 158
9
156
158⊢
⊢162
11
160
162 166
8
164
166 170
5
168
170⊢
⊢174
3
172
Total
40
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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fi
xi
yi
yi ⋅ f i
yi 2
yi 2 ⋅ f i
4
9
11
8
5
3
40
152
156
160
164
168
172
0
1
2
3
4
5
0
9
22
24
20
15
∑ =90
0
1
4
9
16
25
0
9
44
72
80
75
∑ =280
Qual o significado de cada uma das colunas desta tabela? Dê uma olhada na
fórmula:
2

X i ⋅ fi ) 
(
1 
∑
2

S=
∑ X i ⋅ fi −

n −1 
n


∑* ∙
Você deve elevar o ponto médio (valor da variável) ao quadrado,
multiplicar pela frequência e em seguida somar os valores.
)∑ * ∙ Você deve multiplicar o ponto médio (valor da variável) pela
frequência, somar esses valores e elevar o resultado ao quadrado.
Já que estamos trabalhando com a variável transformada:
∑8 ∙
Você deve elevar Y ao quadrado (coluna 5), multiplicar pela
frequência (coluna 6) e em seguida somar os valores (coluna 6 – última linha).
)∑ 8 ∙ Você deve multiplicar Y pela frequência (coluna 4), somar esses
valores (coluna 4 – última linha) e elevar o resultado ao quadrado.
Cálculo da Variância da Variável Transformada y
2


y
f
⋅
(
)
1
∑
i
i
 ∑ yi2 ⋅ f i −

Sy2 =

n −1 
n


1
S y 2 = [ 280 − 202,5] = 1,9871
39
O valor 202,5 foi obtido elevando 90 ao quadrado e dividindo o resultado por
40.
O caminho da volta:
Variância: basta multiplicar pelo quadrado da amplitude.
Assim, S 2 = 1, 9871× 42 = 31, 79
E o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
S = 31, 79 = 5, 638
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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18. (Auditor do Governo do Estado do Amapá – FGV/ 2010) Os dados a seguir
são as quantidades de empregados de cinco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6.
A variância da quantidade de empregados dessas cinco empresas é igual a:
(A) 0,8.
(B) 1,2.
(C) 1,6.
(D) 2,0.
(E) 2,4.
Resolução
Podemos calcular a variância dessa população pelo método tradicional
ou pelo método simplificado.
Método Simplificado
)∑ * ∙ 1
' = ∙6 * ∙ −
7
∑* ∙
Você deve elevar o ponto médio (valor da variável) ao quadrado, multiplicar pela frequência e em seguida somar os valores.
)∑ * ∙ Você deve multiplicar o ponto médio (valor da variável) pela
frequência, somar esses valores e elevar o resultado ao quadrado.
Nesse caso, as frequências são todas iguais a 1. Logo, a fórmula fica assim:
' =
1
∙6
* −
)∑ * -
7
∑*
Você deve elevar o ponto médio (valor da variável) ao quadrado,
em seguida somar os valores.
)∑ *-
Você deve somar os valores e elevar o resultado ao quadrado.
Assim,
9
* = 6 + 5 + 8 + 5 + 6 = 186
* : = )6 + 5 + 8 + 5 + 6- = 900
' =
1
1
900
< = ∙ 6 = 1,2
∙ ;186 −
5
5
5
Letra B
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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19. (AFRF 1998/ESAF) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior,
foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas
numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,1
0, 11,11,12,12, 13,13,14, 15,15,15,16,16,18,23.
Os valores seguintes foram calculados para a amostra:
∑X
= 490 e
∑X
(∑ X )
−
2
i
= 668 .
50
Assinale a opção que c orresponde à mediana e à variância amostral,
respectivamente (com aproximação de uma casa decimal).
a) 9,0 e 14,0
b) 9,5 e 14,0
c) 9,0 e 13,6
d) 8,0 e 13,6
e) 8,0 e 15,0
i
2
i
Resolução
Quanto à mediana não há problema: são 50 preços (número par). Assim, a
mediana será a média aritmética entre o 25º e o 26º termos. A mediana é
igual a 9.
E quanto à variância amostral? A ESAF foi muito generosa!! Privilegiou quem
sabia a fórmula desenvolvida. Quem não sabia... Sinto muito! Pois calcular os
desvios, elevá-los ao quadrado, depois somar...Acabou o tempo da prova!
∑X
2
i
(∑ X )
−
i
50
2
= 668
Esse foi o presente da ESAF!!
2


X
(
)
1
∑
i
2
2

S =
∑ X i − n 
n −1 


Agora, lembre-se que tratando de amostras o denominador deve ser
n-1.
S2 =
1
⋅ 668
50 − 1
S 2 = 13, 6
Letra C
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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Uma observação importante: já que a variância é o quadrado do desvio
padrão, então a sua unidade de medida será o quadrado da medida do
desvio padrão. Logo, se estamos trabalhando c om alturas em metros,
então a unidade da variância será m2; se estamos trabalhando c om
massas em kg, a unidade da variância será kg2,...
20. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento – Economista – 2006
– FEPESE) Sobre medidas de dispersão, é correto afirmar:
a) O desvio padrão é medido em quadrados da unidade da variável original.
b) O desvio padrão é a raiz quadrada da covariância entre duas variáveis.
c) A variância tem relação linear com os afastamentos da média.
d) Maior variância significa que a média da amostra é mais elevada.
e) A variância não é expressa em unidades da variável original.
Resolução
a) O desvio padrão é medido na mesma unidade da variável. Falso.
b) O desvio padrão é a raiz quadrada da variância da variável original. Falso.
c) A variância não tem relação linear com os afastamentos (desvios)
da média, pois elevamos os desvios ao quadrado. Falso.
d) Maior variância significa maior afastamento em relação à média. Falso.
e) Verdadeiro.
Letra E
21. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Em uma amostra de
cinco residências de uma determinada rua, registram-se os seguintes números
de moradores em cada uma:
A variância amostral é
(A) 5,8
(B) 5,5
(C) 5,1
(D) 4,8
(E) 4,4
Resolução
X1 X2 X3 X4 X5
3 6 2 7 2
Queremos calcular a variância dessa amostra.
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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Primeiramente calculemos a média dessa amostra.
3+6+2+7+2
=4
5
Calculemos agora os quadrados dos desvios dos valores da amostra em
relação à média.
2
xi
xi − x
x −x
?=
3
6
2
7
2
3 − 4 = −1
6 − 4 = 2
2 − 4 = −2
7 − 4 = 3
2 − 4 = −2
(
)
)−1- = 1
2 =4
)−2- = 4
3 =9
)−2- = 4
i
Assim, a variância amostral é dada
por:
1 + 4 + 4 + 9 + 4 22
= 5,5
=
=
∑)? − ?4
5−1
=
Letra B
−1
Leia a tabela a seguir para responder às questões de nos 22 a 24.
22. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Considerando-se que
uma pessoa será escolhida ao acaso, qual a probabilidade de que a sua idade
esteja entre 28 e 36 anos, dado que a pessoa escolhida terá 24 anos ou mais?
(A) 11/40
(B) 13/32
(C) 19/40
(D) 19/32
(E) 29/40
Resolução
O primeiro passo é calcular a coluna de frequências absolutas. Para isto,
repetimos a primeira frequência acumulada e calculamos as diferenças entre
as frequências acumuladas consecutivas.
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Idades
(anos)
20⊢
⊢24
24 28
28⊢
⊢32
32 36
36⊢40
Frequência
Acumulada
20
52
78
90
100
Frequência
Absoluta
20
52 − 20 = 32
78 52 26
90 − 78 = 12
100 − 90 = 10
A tabela ficará assim:
Idades
(anos)
20⊢
⊢24
24 28
28⊢
⊢32
32 36
36⊢40
Frequência
Absoluta
20
32
26
12
10
O total de pessoas com idade entre 28 e 36 anos é igual a 26 + 12 = 38 (basta
somar as frequências da terceira e da quarta classe).
Como a pessoa escolhida tem 24 anos ou mais, então estamos considerando
um universo de 32 + 26 + 12 + 10 = 80 pessoas.
A probabilidade de que a sua idade esteja entre 28 e 36 anos, dado que a
pessoa escolhida terá 24 anos ou mais é igual a:
38 19
=
80 40
Letra C
23. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Sejam A e md,
respectivamente, a média e a mediana das idades. O valor de A – md é
(A) 0,80
(B) 0,75
(C) 0,70
(D) 0,65
(E) 0,60
Resolução
Na questão 22, construímos a seguinte tabela.
Idades
(anos)
20⊢24
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Frequência
Absoluta
20
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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24⊢
⊢28
28 32
32⊢
⊢36
36 40
32
26
12
10
Para calcular a média aritmética de uma distribuição de frequências,
convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado
intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio.
Abriremos inicialmente uma coluna para os pontos médios das classes
(xi) e em seguida multiplicaremos esses valores pelas suas respectivas
frequências.
O ponto médio é a média aritmética dos extremos da classe. Por exemplo, o
BC
ponto médio da primeira classe é
= 22.
Idades (anos)
Frequência
Absoluta
20
32
26
12
10
20⊢
⊢24
24 28
28⊢
⊢32
32 36
36⊢40
? ⋅
?
22
26
30
34
38
20
32
26
12
10
x
x
x
x
x
22
26
30
34
38
=
=
=
=
=
440
832
780
408
380
Basta-nos agora somar os valores da coluna xi f i e dividir pela quantidade de
observações (o somatório das frequências absolutas é igual a 100).
A=
440 + 832 + 780 + 408 + 380
= 28,40
100
A mediana é outra medida de posição definida como número que se encontra
no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma
ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados
segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto
que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
No cálculo da mediana em uma distribuição de frequência não teremos a
preocupação de determinarmos se o número de elementos é par ou ímpar. Os
passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão:
i) Descobrir a classe mediana.
ii) Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de frequências.
n
. Em
Para determinarmos a classe mediana, deveremos calcular o valor
2
seguida comparamos esse valor com os valores da frequência absoluta
acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequência acumulada seja
n
maior ou igual ao valor de .
2
Como são 100 pessoas, então /2 = 50.
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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Para determinar a classe mediana, devemos comparar cada uma das
frequências acumuladas com o valor 50. Quando encontrarmos o primeiro
valor que for maior ou igual a 50 teremos determinado a classe mediana.
Classe mediana
(52 > 50)
Estamos prontos para aplicarmos a fórmula da mediana.
n

 2 − fac ANT 
Md = linf + 
⋅h
fi




Precisaremos dos seguintes valores:
Limite inferior da classe mediana (F 54 = 24).
/2 = 50
Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana (
Frequência absoluta da classe mediana ( = 52 − 20 = 32)
Amplitude da classe mediana (J = 28 − 24 = 4)
A mediana é dada por:
−
K = F 54 + L 2
K = 24 + ;
K = 24 + ;
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GHI
GHI
= 20).
M∙J
50 − 20
<∙4
32
30
< ∙ 4 = 27,75
32
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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Desta forma:
A − K = 28,40 − 27,75 = 0,65
Letra D
24. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) A distância interquartil é, aproximadamente,
(A) 6,3
(B) 6,5
(C) 6,7
(D) 6,9
(E) 7,1
Resolução
A distância interquartil é igual à diferença entre o terceiro quartil e o
primeiro quartil.
O método para calcular os quartis (e as outras medidas separatrizes
como decis, percentis) é muito parecido com o da mediana.
n
5
Diferença: ao invés de calcularmos o valor
calcularemos (se for o primeiro
2
3n
quartil) ou
(se for o terceiro quartil). O denominador é igual a 4 porque
4
trata-se de um quartil (dividimos a distribuição em quatros partes). O
numerador é 1n porque estamos calculando o primeiro quartil ou 3n porque
estamos calculando o terceiro quartil.
Para calcular a classe do primeiro quartil deveremos procurar a frequência
acumulada que é maior ou igual n/4. A fórmula do primeiro quartil ficará
−
N = F 54 + L 4
GHI
M∙J
E para calcular a classe do terceiro quartil deveremos procurar a frequência
3n
acumulada que é maior ou igual a
. A fórmula do terceiro quartil ficará
4
 3n

 4 − fac ANT 
Q3 = linf + 
⋅h
f
i




i)
Cálculo do primeiro quartil
Como são 100 pessoas, então n/4 = 25.
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Devemos comparar cada uma das frequências acumuladas com o valor 25.
Quando encontrarmos o primeiro valor que for maior ou igual a 25 teremos
determinado a classe do primeiro quartil.
Classe do
primeiro quartil
(52 >25)
Estamos prontos para aplicarmos a fórmula do primeiro quartil.
−
N = F 54 + L 4
GHI
M∙J
Precisaremos dos seguintes valores:
Limite inferior da classe do primeiro quartil (F 54 = 24).
/4 = 25
Frequência acumulada da classe anterior à classe do primeiro quartil
(
GHI = 20).
Frequência absoluta da classe do primeiro quartil ( = 52 − 20 = 32)
Amplitude da classe do primeiro quartil (J = 28 − 24 = 4)
O primeiro quartil é dado por:
−
N = F 54 + L 4
GHI
M∙J
25 − 20
N = 24 + ;
<∙4
32
ii)
5
N = 24 + ; < ∙ 4 = 24,625
32
Cálculo do terceiro quartil
Como são 100 pessoas, então 3n/4 = 75.
Devemos comparar cada uma das frequências acumuladas com o valor 75.
Quando encontrarmos o primeiro valor que for maior ou igual a 75 teremos
determinado a classe do terceiro quartil.
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Classe do
primeiro quartil
(78 >75)
Estamos prontos para aplicarmos a fórmula do terceiro quartil.
3
−
GHI
M∙J
N =F +L 4
54
Precisaremos dos seguintes valores:
Limite inferior da classe do terceiro quartil (F 54 = 28).
3 /4 = 75
Frequência acumulada da classe anterior à classe do terceiro quartil (
52).
Frequência absoluta da classe do terceiro quartil ( = 78 − 52 = 26)
Amplitude da classe do terceiro quartil (J = 28 − 24 = 4)
O terceiro quartil é dado por:
3
−
GHI
N =F +L 4
M∙J
GHI
=
54
75 − 52
N = 28 + ;
<∙4
26
23
N = 28 + ; < ∙ 4 ≅ 31,538
26
Desta forma, a distância interquartil é aproximadamente:
N − N ≅ 31,538 − 24,625
N − N ≅ 6,913
Letra D
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Relação das questões comentadas
01. (Economista - Instituto de Previdência do Estado de Santa Catarina –
FEPESE/2006) Verifique os conjuntos A, B, C e D abaixo, no formato de rol e
assinale a alternativa correta.
a) A amplitude total do conjunto C é igual a 0,28.
b) Não é possível calcular a amplitude total do conjunto D, pois estamos diante
de um rol decrescente.
c) A amplitude de todos os conjuntos é igual a 7.
d) A amplitude total do conjunto A é 2,1.
e) A amplitude total do conjunto B é o dobro da amplitude total do conjunto A.
02. (Auditor Interno do Poder Executivo- Secretarias de Estado da Fazenda e
da Administração – 2005 – FEPESE) Os pesos de 80 pacientes internados em
um hospital estão relacionados na tabela abaixo.
Com referência a essa tabela, determine a amplitude total. Assinale a única
alternativa correta.
a) 49
b) 53
c) 79
d) 80
e) 97
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03. (PETROBRAS 2008 – Administrador Júnior – CESGRANRIO) A tabela abaixo
apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas frequências.
Não há observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes (em
kgf)
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
Frequências
2
5
7
8
3
O peso médio do conjunto de pessoas, em kgf, é
(A) 60
(B) 65
(C) 67
(D) 70
(E) 75
04. (Auditor IBGE – CESGRANRIO 2010) A tabela abaixo apresenta a
distribuição de frequências das idades de um grupo de crianças.
Classes (em anos)
0 ˫- 2
2 ˫- 4
4 ˫- 6
6 ˫- 8
8 ˫- 10
fi
5
2
4
2
7
A média das idades dessas crianças, em anos, é
(A) 5,0
(B) 5,2
(C) 5,4
(D) 5,6
(E) 5,8
05. (Estatístico – Pref. Manaus 2004 CESGRANRIO) Analise as afirmativas
a seguir, a respeito da média aritmética.
I - a soma dos resíduos em relação à média aritmética é sempre igual a zero;
II - é em relação à média aritmética que a soma dos valores absolutos dos
resíduos é mínima;
III - é em relação à média aritmética que a soma dos quadrados dos resíduos
é mínima.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
(A) II, somente.
(B) I e II somente.
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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(C) I e III somente.
(D) II e III somente.
(E) I, II e III.
06. (MPE-RO CESGRANRIO 2005) A tabela apresenta uma distribuição
de frequência dos salários dos 200 empregados de certa empresa.
Salário (R$)
260 – 520
520 – 1040
1040 – 1560
1560 - 2600
Frequência
50
100
30
20
O salário médio, aproximadamente, vale:
(A) R$ 600,00
(B) R$ 780,00
(C) R$ 890,50
(D) R$ 1 040,00
(E) R$ 1430,00
07. (PETROBRAS 2008 – Administrador Júnior – CESGRANRIO) A tabela abaixo
apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas frequências.
Não há observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes (em
kgf)
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90
Frequências
2
5
7
8
3
O valor aproximado, em kgf, do peso mediano do conjunto de pessoas é
(A) 67
(B) 68
(C) 69
(D) 70
(E) 71
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08. (Auditor IBGE – CESGRANRIO 2010)
A tabela abaixo apresenta a
distribuição de frequências das idades de um grupo de crianças.
Classes (em anos)
0 ˫- 2
2 ˫- 4
4 ˫- 6
6 ˫- 8
8 ˫- 10
fi
5
2
4
2
7
A mediana da distribuição de frequências apresentada é
(A) 5,5
(B) 5,6
(C) 5,7
(D) 5,8
(E) 5,9
(MPE-RO CESGRANRIO
2005) O enunciado a seguir refere-se às
questões de números 09 e 10.
A tabela apresenta uma distribuição de frequência dos salários dos 200
empregados de certa empresa.
Salário (R$)
260 – 520
520 – 1040
1040 – 1560
1560 - 2600
Frequência
50
100
30
20
09. O salário mediano vale, aproximadamente:
(A) R$ 600,00
(B) R$ 780,00
(C) R$ 890,50
(D) R$ 1 040,00
(E) R$ 1 430,00
10. O terceiro quartil, aproximadamente, vale:
(A) R$ 600,00
(B) R$ 780,00
(C) R$ 890,50
(D) R$ 1 040,00
(E) R$ 1 430,00
11. (AFRFB 2009 ESAF) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em
anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa
amostra, marque a única opção correta:
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36,
32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.
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64
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.
b) A moda e a média das idades são iguais a 27.
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.
12. (AFRF 1998) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas
numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,1
0,11,11,12,12,13,13,14, 15,15,15,16,16,18,23.
Assinale a opção que corresponde ao preço modal.
a) 8
b) 23
c) 7
d) 10
e) 9
13. (AFRF/ESAF/1996) Para efeito desta questão, considere os
seguintes dados.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA
EMPRESA ALFA, EM 01.01.90
Pontos Médios
fi
(PM)
Classes de Idades
(anos)
19,5˫24,5
2
22
24,5˫29,5
9
27
29,5˫34,5
23
32
34,5˫39,5
29
37
39,5˫44,5
18
42
44,5˫49,5
12
47
49,5˫54,5
7
52
Total
100
Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em 1º/01/90.
a) 35,97
b) 36,26
c) 36,76
d) 37,03
e) 37,31
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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14. (AFRF 2002.2/ESAF) O atributo do tipo contínuo X, observado
como um inteiro, numa amostra de tamanho 100, obtida de uma
população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências
seguinte:
Classes
Frequência (f)
29,5-39,5
4
39,5-49,5
8
49,5-59,5
14
59,5-69,5
20
69,5-79,5
26
79,5-89,5
18
89,5-99,5
10
Assinale a opção que c orresponde ao desvio absoluto médio do
atributo X.
a) 16,0
b) 17,0
c) 16,6
d) 18,1
e) 13,0
15. (Auditor IBGE - CESGRANRIO 2010) No último mês, Alípio fez apenas 8
ligações de seu telefone celular cujas durações, em minutos, estão
apresentadas no rol abaixo.
5 2 11 8 3 8 7 4
O valor aproximado do desvio padrão desse conjunto de tempos, em minutos,
é
(A) 3,1
(B) 2,8
(C) 2,5
(D) 2,2
(E) 2,0
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16. (PETROBRAS 2008 – Administrador Júnior – CESGRANRIO) Do total de
funcionários de uma empresa, foi retirada uma amostra de seis indivíduos. A
tabela abaixo apresenta o tempo trabalhado na empresa, em anos completos,
por cada um deles.
X1 X2 X3 X4 X5 X6
3 7 2 2 3 1
A variância dessa amostra é
(A) 3,7
(B) 4,0
(C) 4,4
(D) 5,0
(E) 5,5
17. (PETROBRAS 2006 – Administrador Pleno – CESGRANRIO) Se Y = 2X+1
e a variância de X vale 2, a variância de Y é igual a:
(A) 2
(B) 4
(C) 5
(D) 8
(E) 9
18. (Auditor do Governo do Estado do Amapá – FGV/ 2010) Os dados a seguir
são as quantidades de empregados de cinco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6.
A variância da quantidade de empregados dessas cinco empresas é igual a:
(A) 0,8.
(B) 1,2.
(C) 1,6.
(D) 2,0.
(E) 2,4
19. (AFRF 1998/ESAF) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior,
foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas
numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,1
0, 11,11,12,12, 13,13,14, 15,15,15,16,16,18,23.
Os valores seguintes foram calculados para a amostra:
∑X
= 490 e
∑X
(∑ X )
−
2
i
= 668 .
50
Assinale a opção que c orresponde à mediana e à variância amostral,
respectivamente (com aproximação de uma casa decimal).
a) 9,0 e 14,0
b) 9,5 e 14,0
c) 9,0 e 13,6
d) 8,0 e 13,6
e) 8,0 e 15,0
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i
2
i
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20. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento – Economista – 2006 –
FEPESE) Sobre medidas de dispersão, é correto afirmar:
a) O desvio padrão é medido em quadrados da unidade da variável original.
b) O desvio padrão é a raiz quadrada da covariância entre duas variáveis.
c) A variância tem relação linear com os afastamentos da média.
d) Maior variância significa que a média da amostra é mais elevada.
e) A variância não é expressa em unidades da variável original.
21. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Em uma amostra de
cinco residências de uma determinada rua, registram-se os seguintes números
de moradores em cada uma:
A variância amostral é
(A) 5,8
(B) 5,5
(C) 5,1
(D) 4,8
(E) 4,4
22. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Considerando-se que
uma pessoa será escolhida ao acaso, qual a probabilidade de que a sua idade
esteja entre 28 e 36 anos, dado que a pessoa escolhida terá 24 anos ou mais?
(A) 11/40
(B) 13/32
(C) 19/40
(D) 19/32
(E) 29/40
23. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) Sejam A e md,
respectivamente, a média e a mediana das idades. O valor de A – md é
(A) 0,80
(B) 0,75
(C) 0,70
(D) 0,65
(E) 0,60
24. (Técnico Administrativo BNDES 2008/CESGRANRIO) A distância interquartil é, aproximadamente,
(A) 6,3
(B) 6,5
(C) 6,7
(D) 6,9
(E) 7,1
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Gabaritos
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
E
A
C
C
C
C
B
A
B
D
E
A
B
E
B
C
D
B
C
E
B
C
D
D
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