ERROS COMETIDOS EM ÁLGEBRA POR ALUNOS DO 8° E 9
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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE - UNESC CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA RAFAEL GUSTAVO ROSENG ZANETTE ERROS COMETIDOS EM ÁLGEBRA POR ALUNOS DO 8° E 9° ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL CRICIÚMA-SC, MAIO DE 2009 RAFAEL GUSTAVO ROSENG ZANETTE ERROS COMETIDOS EM ALGEBRA POR ALUNOS DO 8° E 9° ANOS DO ENSINO FUNDAMENTAL Monografia apresentada ao Setor de Pós-Graduação da Universidade do Extremo Sul CatarinenseUNESC, para a obtenção do título de especialista em Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Ademir Damazio CRICIÚMA, MAIO DE 2009 Dedico mais esta vitória a todos que me apoiaram sempre: minha família, amigos verdadeiros, professores e acima de tudo, a Deus AGRADECIMENTO Agradeço aos professores que fomentaram mais essa jornada. Principalmente ao meu professor orientador, que sempre acreditou que eu conseguiria concluir minha jornada. “A álgebra é generosa: frequentemente ela dá mais do que se lhe pediu”. Jean Le Rond D'Alembert RESUMO Nesse estudo focamos questões relacionadas à Educação Matemática. Mais especificamente, teve como objetivo analisar os erros cometidos pelos alunos do 8° e 9° anos do Ensino Fundamental no processo de apropriação das significações da de conceitos algébricos. Por isso, a pergunta diretriz foi: Quais erros que os alunos dos oitavos e nonos anos do Ensino Fundamental cometem em relação aos conceitos algébricos? Os dados foram coletados diretamente com os alunos de uma escola da Rede Particular de Ensino da cidade de Criciúma, ao desenvolverem atividades de ensino relacionadas com conceitos algébricos. Na análise, elencamos os erros classificados em conformidade com os conceitos algébricos, além de indicarmos a ocorrência trazida pela literatura. A evidência maior fica para quase a unanimidade dos alunos adicionarem termos algébricos semelhantes e multiplicarem o expoente pela base. . Palavras-chave: erros; álgebra, ensino fundamental. . SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................11 1.1 Problema ............................................................................................................12 1.2 Objetivos ............................................................................................................12 1.2.1 Objetivo geral .................................................................................................12 1.2.2 Objetivos Específicos ....................................................................................12 1.3 Questões Norteadoras ......................................................................................13 2. REFERENCIAL TEÓRICO....................................................................................14 2.1 As diferentes concepções da álgebra .............................................................16 2.1.1 Álgebra como aritmética generalizada .........................................................17 2.1.2 Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas ................................................................................................................17 2.1.3 Álgebra como estudo de relações entre grandezas....................................19 2.1.4 Álgebra como estudo das estruturas ...........................................................20 2.1.5 As variáveis na ciência da computação .......................................................21 2.2 Erros Em Álgebra ..............................................................................................21 2.2.1 - A Natureza e Significados dos Símbolos e das Letras .............................22 2.2.2 – O Objetivo da Atividade e a Natureza das Respostas em Álgebra .........23 2.2.3 – A Compreensão da Aritmética Por Parte dos Alunos ..............................23 2.2.4 O Uso Inadequado de Fórmulas ou Regras de Procedimentos .................24 2.2.4.1 Erro Relativo Ao Mau Uso Da Propriedade Distributiva ..........................24 2.2.4.2 Erros Relativos ao Uso dos Recíprocos ...................................................25 2.2.4.3 Erros de Cancelamento ..............................................................................26 2.2.4.4 Erros Devido a Falsas Generalizações Dos Números..............................26 2.2.4.5 O Uso de Métodos Informais Por Parte dos Estudantes .........................27 2.2.5 Erros na Resolução de Equações.................................................................27 2.2.5.1 Erros Que Se Originam Na Transcrição Dos Conceitos Da Aritmética Para Álgebra ............................................................................................................28 2.2.5.2 Uso Inapropriado de fórmulas ou regras de procedimentos ..................29 3 METODOLOGIA ....................................................................................................31 4 DIAGNOSTICANDO OS ERROS EM ALGEBRA .................................................33 4.1 Erro 1: na Adição e Subtração de Polinômios................................................33 4.2 Erro 2: em Potenciação.....................................................................................33 4.3 Erro 3: Divisão algébrica (erros de cancelamento) ........................................34 4.4 Erro 4: Produtos notáveis.................................................................................34 4.5 Erro 5: Substituição em fórmulas ....................................................................35 4.6 Erro 6: Valor numérico......................................................................................35 4.7 Erro 7: Igualdade ...............................................................................................35 4.8 Erro 8: Frações algébricas ...............................................................................37 4.9 Erro 9: Operações com frações algébricas.....................................................37 4.10 Erro 10: Na propriedade distributiva .............................................................38 4.11 Erro 11: Em Radicais.......................................................................................38 4.12 Erro 12: Em equações do 1º grau ..................................................................39 4.13 Erro 13: Em equações do 2º grau ..................................................................40 4.14 Erro 14: Teorema de Pitágoras ......................................................................41 5 CONCLUSÃO ........................................................................................................42 REFERÊNCIAS.........................................................................................................44 11 1 INTRODUÇÃO A necessidade de sobrevivência, de entender e explicar os fenômenos do mundo ao seu redor leva o homem a questionar constantemente o meio em que vive e as pessoas que fazem parte da sua realidade. E é por meio da pesquisa que o homem busca soluções para seus problemas e sua vontade de entender esses fenômenos. A pesquisa contribui para produção do conhecimento da humanidade ao longo da história, interferindo direta ou indiretamente, em várias questões da realidade em que o sujeito e o objeto estão inseridos: culturais, sociais, educacionais, econômicas e políticas. Portanto, pensar que uma pesquisa pode tornar-se neutra é mito, uma vez que pode contribuir para a transformação do ser humano, como pesquisador. Ao problematizar a realidade é importante questionar-se sobre quem são os interessados no resultado da pesquisa, a fim de avaliar a sua relevância na construção do conhecimento. Em educação, o problema a ser pesquisado, normalmente surge quando nos deparamos com alguma dificuldade de aprendizado dos alunos. Pode aparecer também, pela análise de outras pesquisas concluídas, de relatos de outros profissionais da educação, em nossa própria vivência escolar, etc. Temos identificado que é na Álgebra que os alunos apresentam os maiores problemas de aprendizagem, pois não conseguem distinguir os diferentes significados que as letras podem assumir nessa área da Matemática. Nesse sentido, é que surgem nossas preocupações para que não se propague a idéia de que a Álgebra é grande problema no ensino e na aprendizagem da Matemática. Temos que admitir que parte dessa estado depreciativo é responsabilidade de nós professores, porque ainda temos priorizado as regras e insistimos que os alunos decore-as em detrimento da apropriação dos significados. Pela nossa vivência em sala de aula, tanto como aluno como professor, podemos perceber que raramente os alunos conseguem memorizar todas as regras jogadas ao acaso por professores com pouco preparo ou sem preocupação com a aprendizagem. 12 Em Álgebra, saber diferenciar os significados que uma letra pode assumir trará ao aluno mais segurança e clareza não só neste ramo, como em qualquer ramo da Matemática, assim como na Física, em que o emprego de letras em fórmulas é amplamente usado. A Álgebra também tem papel fundamental no desenvolvimento do raciocínio abstrato dos estudantes. Sendo assim, é passível de erros, dificuldades e obstáculos no processo escolar de formação de conceitos de conceitos, isto é, de aprendizagem. Por esse motivo, acreditamos que identificar e entender as dificuldades que os alunos apresentam ao distinguir esses significados dará uma contribuição relevante para que progridam no desenvolvimento do pensamento matemático. 1.1 Problema Quais erros cometidos pelos alunos dos oitavo e nono anos do Ensino Fundamental, relacionados aos conceitos algébricos? 1.2 Objetivos 1.2.1 Objetivo geral Analisar os erros cometidos pelos alunos do 8° e 9° anos do Ensino Fundamental no processo de apropriação das significações algébricas. 1.2.2 Objetivos Específicos • Identificar os erros dos alunos relacionados ao processo de apropriação das significações algébricas. • Comparar os erros cometidos pelos alunos com os erros levantados na produção bibliográfica. 13 1.3 Questões Norteadoras • Quais produções bibliográficas foram construídas sobre erros em Álgebra? • Os erros cometidos pelos alunos sujeitos da pesquisa coincidem com aqueles levantados pela literatura? 14 2. REFERENCIAL TEÓRICO Um dos pilares da sociedade atual é a Educação, definida por D’Ambrosio (1999, p. 99) como: [... ]conjunto de estratégias desenvolvidas pela sociedade para: (i) possibilitar a cada indivíduo atingir seu potencial criativo; (ii) estimular e facilitar a ação comum, com finalidade de viver em sociedade e de exercer a cidadania. O autor acrescenta que é pela educação que se formam bons profissionais, cidadãos críticos e responsáveis. Ter uma boa educação dará mais oportunidades de emprego, tornará o individuo um cidadão mais consciente de suas responsabilidades, deveres e direitos. Está, pois, na Escola a responsabilidade de contribuir na formação dos indivíduos que sustentarão a sociedade justa e mais igualitária. Ensinar de maneira eficaz é o maior desafio para o desenvolvimento das crianças, jovens e adultos rumo à inserção neste contexto pretendido. Porém, tornase necessário a adoção de posturas e métodos de ensinar e aprender diferentes daqueles que historicamente foram referência nas escolas e, conseqüentemente, contribuíram para a formação da sociedade atual marcada por princípios de injustiças. Compreender o aluno, conhecer sua realidade, preocupar-se com problemas extraclasse são alguns exemplos de responsabilidades que o sistema de ensino incorporou ao contexto escolar, ficando para trás o antigo modelo de ensino bancário. Mas o grande problema de incorporar novos deveres à educação formal pode ter tirado de foco o verdadeiro objetivo da escola. O fato de a aprendizagem de o aluno ser uma das principais preocupações da escola fez com que surgissem novas propostas ou tendências pedagógicas e antigos sistemas, considerados tradicionais, fossem deixados de lado por não satisfazer o aprendizado do aluno. Em Educação Matemática, as proposições didáticas emergentes combatem o formalismo clássico com o argumento de que sua ênfase está valorização da memorização e a repetição de forma mecânica, isto é, sem a devida compreensão. Além do desafio de criar novas abordagens para o ensino de matemática, professores se deparam com o preconceito adquirido nas séries iniciais com relação 15 à matemática. Um exemplo disso é percebido no ensino das quatro operações básicas que, de acordo com Grando (1995, p. 111): “é possível identificar dificuldades e obstáculos tanto em nível conceitual como em nível de algoritmo” Um motivo para o desgosto pela matemática, por parte dos alunos, é fato de que muitos professores enfocam-na de forma isolada, como se fosse um campo de conhecimento completamente distinto dos outros. Com isso, muitas vezes, proporciona para a criança um aprendizado sem sentido por não ter relações com qualquer outra disciplina. Esse ponto de vista reforça a afirmativa de D’Ambrosio (1999, p. 98) quando diz que “um dos maiores erros que se pratica em educação, em particular Educação Matemática, é desvincular a Matemática das outras atividades humanas”. Esta aversão também pode ser explicada pelo sentimento de frustração dos alunos ao tentar fazer alguma atividade e ao final da correção, perceber que não obtiveram o resultado correto. O erro constante, geralmente leva o aluno a não querer aprender certas disciplinas por medo de cometer novos erros ou repetir os antigos. Erros em matemática tornam-se mais graves e constantes quando o assunto é a álgebra, que exige dos alunos o maior grau de abstração possível. De acordo com Booth (1997, p.23) a álgebra “é uma fonte de confusão e atitudes negativas consideráveis entre os alunos”. É comum, por exemplo, alunos dizerem que x + y = xy ou que x.x = 2 x . No caso do erro x + y = xy , “a ação efetiva associada ao símbolo de adição é, na maioria dos casos, juntar os termos [...]. Isso talvez não seja surpreendente, dado que as idéias primitivas de adição envolviam a união física de dois conjuntos” (BOOTH, 1997, p.23). Esta ação até poderia ser plenamente aceitável se estivessem estudando aritmética. De acordo com Booth (1997, p. 23), “Uma das maneiras de tentar descobrir o que torna a álgebra difícil é identificar os tipos de erros que os alunos comumente cometem nessa matéria e investigar as razões desses erros”. Mas para isso, é preciso analisar o que o aluno pensou ao cometer tais erros, o que remete às diferentes concepções da álgebra. 16 2.1 As diferentes concepções da álgebra Para podermos analisar os erros em álgebra, devemos antes entender suas diferentes definições. Zalman Usiskin (1997) faz um estudo sobre essa temática e identificou diferentes perspectivas, além de definir o papel da álgebra no ensino médio. Para ele: [...] a álgebra da escola média tem a ver com compreensão do significado das ‘letras’ (hoje comumente chamadas de variáveis) e consideramos que os alunos estão estudando álgebra quando encontram variáveis pela primeira vez.(USISKIN, 1997, p. 09) Essa redução à “compreensão do significado das letras” é uma limitação ao real significado da álgebra. Usiskin mostra, no mesmo artigo, que álgebra tem um significado mais amplo ao comentar sobre os computadores que manipulam variáveis cegamente, sem se preocupar com sua representação ou sua natureza. De acordo com Usiskin (1997), os alunos pensam que todas as letras representam números. Todavia, alerta que as letras, muitas vezes, não são unicamente números. Na geometria, por exemplo, ela pode representar uma medida de comprimento, um ponto ou até mesmo uma figura. Usiskin (1997) evidência outras significações para as letras. Por exemplo, no ensino superior, como em Lógica, onde p , q e r podem representar proposições; na Análise, temos a letra f representando uma função; em Álgebra Linear a letra A pode representar uma matriz e v um vetor. Esses exemplos deixam claros que o significado de variável não é somente um valor numérico desconhecido. À parte da questão sobre o significado das letras em álgebra, ainda Usiskin levanta dois problemas. O primeiro diz respeito sobre até que ponto os alunos precisam utilizar as diversas técnicas manipulatórias. A importância de muitos algoritmos algébricos está sendo questionada devido ao ensino da matemática, aos poucos, deixa de ser tradicional e entra numa nova realidade. Outro ponto de fundamental importância e gerador de discussões entre professores é o papel das funções e quando devemos introduzi-las. As funções, propriamente ditas, aparecem normalmente em livros do 1° ano do ensino médio, com exceção para as funções polinomiais do primeiro e segundo graus que são apresentadas na oitava série (ou nono ano) do ensino fundamental. Essas 17 aparições, segundo Usiskin (1997), são feitas em “tópicos relativamente insignificantes, e só passam a ter importância no segundo ano”. Para o autor, é preciso deixar claro qual o papel do ensino da álgebra e até que ponto pode-se explorar os seu conceitos algébricos nas suas diferentes concepções, a seguir apresentadas. 2.1.1 Álgebra como aritmética generalizada Usiskin (1997, p. 13) afirma que “é natural pensar nas variáveis como generalizadora de modelos. Por exemplo, generaliza-se 3 + 5.7 = 5.7 + 3 como a + b = b + a ”. Essa noção de generalizadora de modelos, segundo Usiskin, é fundamental em modelagem matemática. Nessa concepção, os alunos precisam saber como traduzir e generalizar para transcrever em linguagem algébrica um modelo aritmético. De acordo com Usiskin (1997, p. 13): “é impossível estudar aritmética adequadamente sem lidar implícita ou explicitamente com variáveis”, uma vez que há superioridade da linguagem algébrica sobre qualquer outra linguagem comum, por exemplo, o português. Para o referido autor, dizer que qualquer número multiplicado por um resulta no próprio, é mais difícil de compreender do que simplesmente n.1 = n . Algebricamente, a sentença escrita em uma frase torna-se mais simples de entender ao representarmos com a letra n todo e qualquer número. Para argumentar sua afirmação sobre a superioridade da linguagem algébrica, diz que, depois de sua invenção por François Viéte, o conhecimento matemático ampliou-se rapidamente. Em cinqüenta anos inventa-se a geometria analítica e em cem anos o Cálculo. 2.1.2 Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas Essa concepção difere da concepção anterior que ao chegar a um modelo algébrico, atinge a resolução de uma atividade. Nessa concepção, determinar o modelo é apenas o primeiro passo para resolução de algum problema. 18 Tomaremos o seguinte exemplo: A metade de um número subtraído da sua terça parte resulta em nove. Generalizando, teríamos em linguagem algébrica a seguinte expressão: x x − =9. 2 3 Na álgebra como generalizadora de modelos não temos incógnitas, apenas traduzimos para linguagem algébrica a expressão e as relações entre os números sem dar a sensação de incógnitas. Porém, ao se tratar de resolução de problemas, a generalização é apenas o primeiro passo e as letras representam incógnitas ou constantes. Vamos resolver a equação extraída do problema transformando primeiramente as duas frações em frações equivalentes com denominadores iguais: 3.x 2.x − =9 3.2 2.3 Multiplicando os fatores: 3x 2 x − =9 6 6 Subtraindo: x =9 6 Podemos pensar que se dividirmos o número x por 6 iremos obter 9. Logo, o valor da incógnita é o resultado da multiplicação do 6 pelo 9, obtendo x = 54 . Usiskin (1997, p. 15) afirma que muitos alunos sentem dificuldade na passagem da linguagem aritmética para algébrica por que “para armar a equação, devemos raciocinar exatamente da maneira contrária à que empregaríamos para resolver o problema aritmeticamente”. Resumindo, Usiskin (1997, p. 15) diz que: Nesta concepção de álgebra, as variáveis são ou incógnitas ou constantes. Enquanto as instruções-chave no uso de uma variável como generalizadora de modelos são traduzir e generalizar, neste caso as instruções-chave são simplificar e resolver. 19 Traduzir para linguagem algébrica nesta concepção torna-se apenas o primeiro passo da resolução do problema. É necessário manipular os símbolos algébricos para chegar ao verdadeiro resultado final que, geralmente, é numérico. Outro ponto que diferencia essas duas concepções. 2.1.3 Álgebra como estudo de relações entre grandezas O estudo da álgebra, nesta concepção, é um tanto semelhante à primeira, isto é, generalização da aritmética. Porém, nesse caso, a álgebra é vista como relações entre grandezas, assim como na fórmula para o cálculo da área de um retângulo A = b.h , adotada por Usiskin a título de ilustração. Nesse caso, as letras estão relacionadas, respectivamente, às grandezas de Área e as duas dimensões (base e altura ou largura e comprimento) do retângulo. Usiskin (1997, p. 15) procura diferenciar esta concepção quando manipulamos fórmulas dizendo que: Não se tem a sensação de estar lidando com uma incógnita, pois não estamos resolvendo nada. Fórmulas como A = b.h transmitem uma sensação diferente de generalizações como 1 = n.(1/ n) , embora se possa pensar numa fórmula como um tipo especial de generalização. Ele afirma que a álgebra como estudo das relações pode ser iniciada com as fórmulas, mas a diferença principal entre esta concepção e a anterior são as variáveis. Quando se referem a grandezas, as variáveis são tratadas como o domínio, ou ainda como parâmetros e, em ambas, existe uma relação de dependência de valores, também utilizadas nas funções. O exemplo proposto por Usiskin (1997) evidencia as diferentes noções de variáveis e incógnitas: Ache a equação da reta pelo ponto (6, 2) com inclinação 11. Segundo o autor este tipo de proposição mostra a utilização das letras sob vários aspectos: variável, incógnita e constante. A sua resolução implica na combinação de todas as significações de variáveis das demais concepções, por isso, pode estar aí a explicação das dificuldades que alguns alunos têm em relação à função, começando que a uma reta relaciona-se a uma função do tipo y = mx + b . O m é o argumento (constante), x é o domínio e y é o contradomínio, tornando b 20 a incógnita. Substituindo teríamos 2 = 11.6 + b , obtendo b = −64 . Nota-se que não são determinados x nem y , porque não eram incógnitas, mas fora atribuídos valores para elas para como forma de determinar o valor de b . Finalmente, o b é substituído para obter y = 11x − 64 . É importante que fique claro as diferentes significações dadas às letras neste caso – incógnita, parâmetro e variável – para manipulação correta por parte dos alunos deste tipo de situação. Não ter consciência dessas diferenças, gera dúvidas em relação à falta de valor numérico para x e y , tradicionalmente associados à incógnitas. 2.1.4 Álgebra como estudo das estruturas Esta concepção de álgebra está presente, normalmente, nos cursos superiores e envolve estudo de estruturas como grupos, anéis, corpos e espaços vetoriais e, aparentemente, não existe muita relação com a álgebra do ensino médio. Entretanto, Usiskin (1997, p. 18) afirma: [..] os corpos dos números reais e dos números complexos e os vários anéis de polinômios fundamentem a teoria da álgebra e as propriedades dos domínios de integridade e dos grupos expliquem por que certas equações podem ser resolvidas e outras não. Contudo, reconhecemos a álgebra como o estudo das estruturas pelas propriedades que atribuímos às operações com números reais e polinômios. Para ilustrar essa concepção, citaremos o mesmo exemplo dado Usiskin (1997, p.18): Fatorar 3 x 2 + 4 xa − 132a 2 . Nesse caso, a noção de variável não se parece com nenhuma vista até agora. Não é incógnita, nem parâmetro, nem função e nem relação entre grandezas. Também, percebe-se que a expressão não representa uma função e tão pouco é um modelo aritmético generalizado. A fatoração solicitada é (3 x + 22a ).( x − 6a ) , pois ao multiplicar os binômios entre si, obtém-se o polinômio dado no enunciado. Entretanto, também poderia, segundo Usiskin, dar valores para a e x , em ambas às situações, e verificar que o resultado é o mesmo. Então: O aluno tende a tratar as variáveis como sinais no papel, sem nenhuma referência numérica. Na concepção de álgebra como estudo de estruturas, a variável é pouco mais que um símbolo arbitrário. (USISKIN,1997, p. 15). 21 2.1.5 As variáveis na ciência da computação De acordo com Usiskin (1997, 19), a álgebra em computação é um pouco diferente da álgebra em matemática. Ele comenta que, em matemática, x = x + 2 é uma equação sem solução, mas em BASIC - utilizado para desenvolver sistemas essa sentença significa que o computador deve substituir um número armazenado numa determinada localização por outras duas unidades maiores. Usiskin ainda cita Davis, Jockusch e McKinight para reforçar seu ponto de vista: Os computadores nos fornecem outra visão do conceito matemático básico de variável. Do ponto de vista do computador, o nome de uma variável pode ser pensado como endereço de algum registro específico de sua memória, e o valor da variável como o conteúdo desse registro de memória. Ainda, na ciência da computação são identificadas outras questões, entre as quais são citadas: fileiras de letras e números, envolvimento de grande número de variáveis que representam diferentes objetos, cobrem-se todos os usos das variáveis já descritos. 2.2 Erros Em Álgebra Para Robayna (1996), ter conhecimento dos erros cometidos pelos alunos que se iniciam em álgebra é importante para o professor porque, dessa forma, sabemos como eles interpretam os problemas e como utilizam os diferentes procedimentos algébricos. Além disso, é possível identificar as possíveis dificuldades dos alunos no aprendizado da álgebra. Robayna (1996) baseia-se num estudo feito no Reino Unido, entre 1980 a 1983, e publicado em 1984, pelo grupo do projeto Strategies and Errors in Secondary Mathematics (SESM). O estudo foi feito com crianças com idades entre treze e dezesseis anos e mostra que apesar da diferença, os erros cometidos são similares. O estudo concluiu que os erros podiam ser atribuídos, principalmente, aos seguintes aspectos: a natureza e o significado dos símbolos e letras, o objetivo da atividade e as respostas algébricas, a compreensão da aritmética por parte dos estudantes e, finalmente, pelo uso inadequado de fórmulas. 22 2.2.1 - A Natureza e Significados dos Símbolos e das Letras Para Robayna (1996, p 97), “os símbolos são um recurso que permite denotar e manipular abstrações”. Uma das primeiras coisas que o aluno fará é tentar reconhecer os símbolos para poder operar com eles e depois interpretar o resultado. Este conhecimento, segundo Robayna, permite a transferência dos conhecimentos aritméticos para a álgebra. Mas uma interpretação errada dos símbolos pode levar vários erros de natureza e significado tal qual dizer que 10 x é resultado da expressão 4 x + 6 . O sinal + dá ideia de ação a realizar, ou seja, realizar a operação de adicionar. Pensar no símbolo + no resultado de algum problema é de difícil aceitação por parte dos alunos, pois têm incutido desde sua iniciação na escola que + requer uma ação, mas essa noção é importante no desenvolvimento do conhecimento algébrico. Em relação ao sinal de igualdade, podemos ver uma dificuldade ainda maior. De acordo com Robayna (1996) existe uma mudança conceitual muito grande da aritmética para álgebra, exigindo que o aluno adquira um conceito totalmente novo, ainda que a notação ( = ) seja a mesma. As características conceituais diferenciam-se principalmente quando saímos da aritmética e entramos no estudo de equações. Na aritmética, utilizamos o símbolo ( = ) para conectar uma expressão numérica ao seu resultado: 5 + 8 = 13 ou ainda para mostrar seqüências de passos que levam a um resultado final: 5(2 + 8) = 5.10 = 50 . Em ambos os casos, o símbolo de igualdade leva a um resultado numérico e sempre tem apenas uma direção. Robayna (1996) diz ainda que, em alguns casos, os alunos transportam esse significado da igualdade para a álgebra e confundem com o significado do = nas equações: 5 x + 3 = 2 x + 6 . Na sua concepção, a diferença entre equações e expressões aritméticas é que equações não são verdades universais, o que significa que o símbolo da igualdade não relaciona identidades, mas faz com que a incógnita assuma um valor que torne a equação verdadeira. 23 Segue abaixo um exemplo de equívoco, apontado por Robayna (1996, p 99): 3 7x + =3 2 + x x −1 3( x − 1) + 7 x(2 + x) = 3 Outra diferença entre álgebra e aritmética está nos significados dados às letras. Estas, em aritmética, aparecem de uma forma diferente visto que ‘m’ e ‘g’ usa-se para representar metros e gramas; em álgebra o aspecto mais significativo para o seu uso está no sentido de incógnitas e variáveis. 2.2.2 – O Objetivo da Atividade e a Natureza das Respostas em Álgebra Robayna (1996) define de forma clara as diferenças entre as respostas algébricas e aritméticas. Para ele, as respostas em aritméticas são números concretos, mas na álgebra podemos obter como resultado relações e procedimentos ou ainda a simplificação de uma expressão algébrica. Um dos objetivos de se usar a álgebra para obter relações é o seu uso como fórmulas a fim de obter uma solução numérica. O problema é que muitos estudantes não se dão conta de que nem sempre se exige uma única e numérica. Para Robayna (1996), essa idéia de que se deve sempre encontrar uma solução numérica é um dos motivos de os alunos freqüentemente simplificarem expressões do tipo 2 x + 3 y = 5 xy . Ele acredita que esse erro se dá por dois motivos: dificuldade de aceitar a falta de fechamento ou, simplesmente, porque deve-se dar uma resposta objetiva assim, como na aritmética. 2.2.3 – A Compreensão da Aritmética Por Parte dos Alunos Robayna (1996) diz que “a álgebra não está separada da aritmética; na verdade ela é em grande parte aritmética generalizada”. Isso explica muitas dificuldades por parte dos alunos no uso de parênteses, na potenciação, em frações, etc. 24 Alunos que têm dificuldades em frações e cometem erros como estes: 1 1 1 + = 2 3 5 1 1 2 + = 2 3 5 1 1 1 + = 2 3 6 Irão traduzir as mesmas dificuldades no campo algébrico. Outro erro comum, trazido da aritmética pode ser ilustrado no exemplo dado por Robayna (1996, p 101): −(a + b) = − a + b ou no caso das frações − a+b a b = − + . Neste caso, ele diz que a maioria dos erros deste tipo tem como c c c causa a má generalização de propriedades aritméticas. Como dito antes, a maioria dos erros em aritmética se reflete na álgebra. Assim, um aluno comete o erro 2³ = 6 é o mesmo aluno que faz x ³ = 3 x . 2.2.4 O Uso Inadequado de Fórmulas ou Regras de Procedimentos Segundo Robayna (1996) alguns erros acontecem pelo uso inadequado de alguma fórmula tirada de algum texto ou livro e aplicada incorretamente em uma situação diferente. Muitos desses erros tornam-se falsas generalizações de operações. Robayna (1996) enumera cinco tipos de erros que, para ele, são fatores importantes, pois levam o aluno a usar de forma errada uma fórmula: Erros relativos ao mau uso da propriedade distributiva, mau uso dos recíprocos, erros de cancelamento, erros gerados pela falsa generalização de números e uso de métodos informais por parte dos estudantes. 2.2.4.1 Erro Relativo Ao Mau Uso Da Propriedade Distributiva O uso da propriedade distributiva de forma inapropriada pode gerar pelo menos três tipos de erros, o primeiro e mais comum é quando o aluno não a como mostra Robayna: 25 a.(b + c) = a.b + c ou a. (b + c) = b + ac Ele ainda chama atenção de que em certos casos os alunos não conseguem aplicar a propriedade distributiva pela direita: (a + b).c = ? Também podemos encontrar erros dos tipos: a+b = a + b (a + b)² = a ² + b ² a.(b.c) = (a.b).(a.c) a a a = + b+c b c Para Robayna (1996, p.102): Uma justificativa para esses feitos poderia vir de quando o aluno salienta que a (b + c ) = a.b + a.c e a (b − c ) = a.b − a.c levando a crer que isto é sempre válido, podendo até dar outros exemplos como a.b = a . b e b+c b c = + para a a a os quais foi válido e generaliza esta propriedade. Robayna (1996) ainda salienta a importância de explicar ao aluno para quais operações a propriedade distributiva é válida para deixar claro que, como no exemplo citado, tal propriedade não se pode aplicar para adição. 2.2.4.2 Erros Relativos ao Uso dos Recíprocos Os erros que serão exemplificados a seguir, segundo Robayna, são conseqüência de erros cometidos na aritmética: 26 1 1 1 + = a b a+b 1 1 2 + = a b a+b 1 1 1 + = a b ab Outro erro que também pode aparecer é quando a incógnita está no denominador, por exemplo: A partir de 1 1 1 = + os alunos chegam à conclusão que 3 = x + 7 . 3 x 7 Robayna (1996) acredita que erros deste tipo vêm das seguintes situações: 1 1 x 5 a b a+b = onde x = 2 ou = em que x = 5 ou ainda + = . 2 x 3 3 3 3 3 2.2.4.3 Erros de Cancelamento Nesse grupo de erros, Robayna (1996) destaca: provavelmente derivam da regra Ax + By = A + B que x+ y Ax = A , ainda podendo dar origens a outros erros, x como por exemplo: 9x + 6 = 9x 6 4x − 3 = x −3 4 2.2.4.4 Erros Devido a Falsas Generalizações Dos Números A necessidade de generalizar os números na álgebra surge com muitíssima freqüência, pois permite formular uma regra geral a partir de um problema-exemplo com os números essências. (Robayna, 1996 p.104) 27 Tal generalização torna-se importante na resolução rápida de problemas como: ( x − 7)( x − 5) = 0 ( x − 7) = 0 ou ( x − 5) = 0 x = 7 ou x = 5 . O que torna a generalização possível no exemplo dado não é nem o 5 e nem 7, mas sim o zero. Para Robayna (1996), os alunos não tendo consciência disso e acabam cometendo erros do tipo: ( x − a )( x − b) = k ( x − a ) = k ou ( x − b) = k x = a + k ou x = b + k . 2.2.4.5 O Uso de Métodos Informais Por Parte dos Estudantes Na resolução de problemas simples, geralmente os alunos não utilizam os métodos ensinados em sala de aula, mas sim métodos próprios que julgam ser mais rápidos ou mais eficazes para resolver o que lhe é proposto. Mesmo parecendo que tais métodos informais são úteis, eles acabam deixando margem para erros quando o enunciado é um pouco mais elaborado. Robayna (1996, p. 105) dá um exemplo para ilustrar: [...] um aluno para encontrar o número total de elementos nos conjuntos de 27 e 30 elementos não usa a noção de soma, representada por 27 + 30, mas sim resolve o problema contando, é pouco provável que o aluno represente por x + y elementos o número total de elementos dos conjuntos de x e y elementos. Aqui a dificuldade está tanto na generalização do exemplo aritmético quanto na hora de escolher um procedimento apropriado e a sua representação em aritmética a partir de qual generalizar. 2.2.5 Erros na Resolução de Equações Os erros cometidos em equações são reflexos dos erros já citados anteriormente. Robayna cita alguns exemplos: 28 2.2.5.1 Erros Que Se Originam Na Transcrição Dos Conceitos Da Aritmética Para Álgebra • Erro ao calcular o menor múltiplo comum: x x x x + 7 x = 3 + fazem + 63 x = 27 + 3 9 9 9 • Fazem operações no primeiro membro da equação sem modificar o segundo: 3 x + 5 = 7 fazem 3 x + 5 − 5 = 7 onde 3 x = 7 • Trocam o sinal de um membro sem modificar o outro: Em −2 x + 3 = 5 multiplicam por (−1) só no primeiro membro, resultando 2 x − 3 = 5 Nesses casos, Robayna (1996) observa que a causa principal que leva o aluno ao erro é o problema de não ter claro o significado do símbolo de igualdade em equações. Eles não vêem a necessidade de fazer as mesmas operações nos dois membros. Em equações simples como 2 x = 8 , é fácil encontrar o valor da incógnita com a reformulação da equação. Porém, em equações mais complexas, que utilizam parênteses, frações, etc, é necessário fazer simplificações sucessivas pelas transformações e reduções. Por esse motivo Robayna (1996) fala que os alunos devem determinar: 1. 2. A natureza de cada transformação. A relação entre os novos membros da equação. 3. A igualdade ou desigualdade dos lados correspondentes consecutivos. 29 2.2.5.2 Uso Inapropriado de fórmulas ou regras de procedimentos Fora os erros cometidos na propriedade distributiva, simplificações, mal uso dos recíprocos, falsa generalização de número. Robayna (1996, p. 108) diz também que: “há erros específicos ao aplicar métodos ou formulas para resolver a equação de segundo grau ou em sistemas de equações. São erros que revelam mais falta de atenção do que mau entendimento”. Ele salienta que na equação x ² − 3 x − 6 = 0 , ao escrever x = −3 ± 9 − 24 o 2 aluno está ignorando os sinais dos coeficientes que, nesse caso, mudaria todo resultado, tanto dentro quanto fora do radical. Marquis (1997), num pequeno texto sem grandes análises, também elenca por meio de exemplos um conjunto de erros comuns em álgebra: 1. |- 3| = 3 5 2. 3².3³ = 9 5 7 3. a² . b = (ab) 4. x + y – 3(z + w) = x + y – 3z + w 5. r − (6 − s ) = r − 12 − 2 s 4 2 6. 3a + 4b = 7 ab 7. 3 x −1 = 1 4 3x 8. x 2 + y 2 = x + y 9. x + y = y x+z z 10. 1 = −1 x− y x+ y 11. x + r = x + r r s y+s 12. x a = xa b xb xa + xb a+b 13. = x + xd d 14. − x − y = xy 15. Se 2(2 − z ) < 12 então z < 4 16. 1 y 1− x y = 1− x 17. a 2 .a 5 = a10 18. (3a ) 4 = 3a 4 19. a − b = a − b b a ab 20. ( x + 4) 2 = x 2 + 16 21. r − 6 − s = r − 6 − s 4 4 4 30 22. (a 2 )5 = a 7 (MARQUIS, 1997, p. 235) 31 3 METODOLOGIA O intuito deste trabalho é diagnosticar os diferentes erros cometidos em álgebra como forma de contribuir com os professores de Matemática no entendimento do raciocínio que levou o aluno a cometê-lo. Partimos do pressuposto que essa compreensão é imprescindível para que os docentes possam estabelecer procedimento de ensino aprendizagem que leve os alunos a evitar seus equívocos conceituais e de procedimentos algébricos. Por este motivo, a pesquisa se insere na modalidade qualitativa. A coleta de dados teve como principal instrumento o próprio material didático adotado pela escola, isto é, nas ações rotineiras de ensino-aprendizagem propostas nas aulas de Matemática. Para tal, foram identificados os erros no próprio material dos alunos e comparados com aqueles levantados na Bibliografia. A coleta de dados ocorreu no decorrer do ano de 2009 com aproximadamente 70 alunos do nono ano escolar, com idade média de 14 anos, e 40 alunos de 8º ano, de idade média de 13 anos. Os alunos em questão estudam num colégio da rede particular e fazem parte de diferentes classes sócio-econômicas. Como o Colégio não possui as séries iniciais do ensino fundamental, os sujeitos da pesquisa são oriundos de colégios da rede pública e particular de ensino. Vale antecipar que, mesmo com essa origem escolar diferente, percebemos que as dificuldades e erros são muito parecidos. O Colégio prevê em seu currículo que grande parte da álgebra elementar é focada no período do oitavo e nono anos, motivo este que levou a determinação de alunos dessas séries escolares a participar da pesquisa. O espaço físico da escola em questão é bastante amplo, conta com quatro prédios, laboratório de saúde, microscopia, informática, auditório, quatro cantinas, quadra, biblioteca, loja de material escolar, academia. O colégio ainda conta com apoio áudio-visual completo para eventos. A escola funciona no período matutino e noturno, atendendo alunos de 6º ano do ensino fundamental a 3º ano do ensino médio regular, pela manhã. À noite, atende uma turma de 3º ano regular, turmas de supletivo de 6º ano do ensino fundamental a 3º ano do ensino médio, cursos técnicos, custos de graduação e pósgraduação. 32 O objetivo da instituição é formar cidadãos fiéis aos valores humanos, capaz de desenvolver sua personalidade para dar resposta aos apelos do mundo. 33 4 DIAGNOSTICANDO OS ERROS EM ALGEBRA Nesse capítulo, apresentaremos os erros que os alunos do oitavo e nono anos escolares cometem no desenvolvimento das aulas de Matemática. Para tal, indicaremos aqueles que aparecem com mais frequência em cada conteúdo curricular. 4.1 Erro 1: na Adição e Subtração de Polinômios. Alunos constantemente confundem adição de dois termos algébricos não semelhante como se fosse a multiplicação. Por exemplo: x + y com x. y . Também, é comum, somar os coeficientes de termos de mesma letra, porém de expoentes diferentes como em: 2x + 3x2 = 5x2. Ainda, além de somarem os coeficientes, somam os expoentes, 2x2 + 3x2 = 5x4, que evidencia a não apropriação de um sistema conceitual constituído por adição de polinômios, potenciação e propriedade distributiva. Como diz Robayna (1996), nessa situação, o aluno associa este símbolo a uma ação que precisa ser feita, não tendo claro que não se pode juntar os dois termos em questão porque não são semelhantes. O autor diz que esse erro é muito freqüente em alunos do ensino fundamental de 8º e 9º ano ou para aqueles que estão sendo iniciados em álgebra. 4.2 Erro 2: em Potenciação Dificuldade em perceber (assim como na aritmética) que 3 x ≠ x ³ ou ainda, que (2 x)² = 4 x ² , em vez disso, fazem (2 x)² = 2 x ² . O primeiro erro está relacionado ao conceito de potência em aritmética, visto que os alunos constantemente multiplicam 2.3 =6 ao invés de fazer 2³ = 2.2.2 = 8. Na segunda situação, o aluno não percebe a diferença de se usar o parênteses ou não. 34 4.3 Erro 3: Divisão algébrica (erros de cancelamento) Os alunos constantemente simplificam expressões do tipo eliminando o a incógnita x e obtém como quociente: representa um erro oriundo da aritmética do tipo poderia simplificar expressão da x+ y 2x , y x+5 . Ou, ainda = x , que 2 5 3.5 3 = 4 .5 4 ou, também, o aluno 5x x+5 x 5 x = x . Ele não percebe que = + = + 1. 5 5 5 5 5 Para os alunos separar em duas frações com o mesmo denominador, modifica o significado da expressão. Isso dá a entender que eles ainda não se apropriaram da múltiplas significações de frações equivalentes e adição de fração. 4.4 Erro 4: Produtos notáveis Nesse assunto os erros são das mais diversas naturezas, tanto no quadrado da soma quanto no quadrado da diferença. Observamos o mesmo erro em ambos os conceitos, conforme exemplo: ( x + 2)² = 2 x ² ou ( x + 2)² = x ² + 4 e, ainda, ( x − 2)² = −2 x ² ou ( x − 2)² = x ² − 4 . Alguns alunos com a idéia errada da “regra” dos produtos notáveis, pois fazem ( x + 3)² = x ² + 3 x + 9 , comprovando que decorar, ao invés de entender, também leva ao erro. Não está clara a diferença entre o significado da potenciação e da multiplicação para o aluno que comete esse tipo de equívoco. Ele resolve ( x + 2)² = 2( x + 2) e não percebe que um produto notável se trata de uma potenciação cuja base é uma soma e, ao multiplicá-la, recorre-se à propriedade distributiva, da seguinte forma: ( x + 2)² = ( x + 2)( x + 2) ( x + 2)² = x ² + 2 x + 2 x + 4 ( x + 2)² = x ² + 4 x + 4 35 4.5 Erro 5: Substituição em fórmulas Fórmulas simples como, por exemplo, no cálculo do comprimento da circunferência, C = 2π r . Para os alunos, torna-se difícil quando é dado o valor do contorno (comprimento) e pede-se o valor do diâmetro ou do raio. O uso de fórmulas nessa fase do ensino fundamental é vista como unilateral, isto é, só é possível determinar o valor da letra que define a fórmula, no caso C. Eles não as vêem como uma equação a ser resolvida depois da substituição do valor conhecido, e consequentemente, admitem como impossível determinar o valor da letra (incógnita) que esteja no segundo membro da igualdade. Por exemplo, quando pedimos para determinar o raio quando o comprimento da circunferência for 50 cm. Geralmente, os alunos substituirão r por 50 e calcularão C . O erro começa ao não perceber que o enunciado pede o raio, logo, esse valor é desconhecido e precisa ser calculado. 4.6 Erro 6: Valor numérico Ao atribuir valores numéricos às letras de uma expressão algébrica, constantemente, alunos do 8º ano comentem um erro grave, por exemplo em: 2 x , com x = 5 , em vez de 2.5 = 10 (dois vez cinco, igual a dez), eles entendem como 25 . Neste caso, o entendimento é que x representa um algarismo de um número. Para o aluno 2 x provavelmente será um número entre 20 a 29, ou 200 a 299,... A falta de percepção da operação de multiplicação parece ocorrer por não haver um símbolo que indique a referida operação, entre a constante 2 o valor numérico dado para x . Nesse caso, faltaria um comando operatório. 4.7 Erro 7: Igualdade Em equações, os alunos cometem o erro da troca de operações ao manipular monômios, isto é, seus termos de um membro para outro. A visão de igualdade não é clara, por isso, é difícil para eles perceberem que o símbolo representa uma comparação entre dois membros. Conceitualmente, significa dizer que o princípio de equivalência não é considerado no momento de resolver a equação. 36 Não esperávamos a ocorrência de erros dessa natureza, pois o princípio de equivalência é algo que alguns autores (FIORENTINI, 1995) e tendências no ensino de matemática têm chamado a atenção e proposto como recurso didático a analogia com a balança. Na balança, para manter o equilíbrio, devemos fazer no prato esquerdo tudo que é feito no direito e vice-verso. O equilíbrio representa o símbolo = e os pratos representam os membros da equação. Com tal analogia, o aluno associa que se tirar peso de um lado e não do outro ela ficará em desequilíbrio, o que provocará uma desigualdade. Na equação, funciona da mesma maneira: se acrescentarmos 5 no membro esquerdo da equação para anularmos o -5, precisamos adicionar 5 no membro direito para manter o “equilíbrio” (igualdade) da equação. Detalhadamente, resolveríamos 2 x − 5 = 7 da seguinte forma: 2x − 5 = 7 2x − 5 + 5 = 7 + 5 2 x = 12 2 x 12 = 2 2 x=6 Depois de se apropriar dessa forma de resolução, os alunos tendem a resumir a resolução e apenas ‘trocar de lado’ os termos com a operação contrária. Isso gera dois erros no exemplo acima caso o aluno não se aproprie corretamente do conceito de resolução de equações. O primeiro erro é diminuir 7 – 5, consequentemente, em vez de no final obter 2x = 12, chega a 2x = 2 e, por extensão, a solução é x = 1 . Outro erro é em relação à igualdade final 2x = 12. Como o sinal do coeficiente de x (2) é positivo ele é subtraído no segundo membro, isto é, foi levado em consideração o inverso aditivo, e não o inverso multiplicativo. A justificativa dada pelos alunos é de que não há um símbolo de operação entre o dois e o x. 37 4.8 Erro 8: Frações algébricas Na fração, alunos tendem a pensar que é obrigado a dividir o numerador pelo denominador. Por exemplo, em 2 , como não é possível dividir o 2 pelo x, eles x tendem a multiplicar 2 por x , ou deparam-se com uma impossibilidade de resolução. Assim como Robayna evidenciou que o aluno associa o símbolo + a uma ação de juntar ou somar, o símbolo de fração (traço horizontal que separa o numerador e denominador) é também associado à ação de dividir. Para os alunos que comentem tal erro, é aceitável que 2 = 2x . Portanto, x não admite uma incógnita como denominador, visto que não há possibilidade de dividir 2 por um número que não se conhece. O contrário (numerador como letra e denominador um número) alunos do 8º ano: também ocorre com freqüência, principalmente com x = 2 x . Dependendo do contexto, uma expressão desse tipo é a 2 solução do exercício, principalmente quando pede-se para reduzir os termos semelhantes de uma expressão algébrica. 4.9 Erro 9: Operações com frações algébricas Como dito por Robayna (1996) e Marquis (1997), os alunos freqüentemente cometem erros nas operações com frações numéricas, como: 2 5 7 + = , ou seja, somam os numeradores entre si e também os denominadores. 3 6 9 Em álgebra o problema se repete de uma forma um pouco diferente. Ao deparar-se com a fração algébrica, o estudante tende a juntar os termos, dessa forma: 3 2 5 3 2 5 + = ou ainda + = . x y xy x y x+ y A ação de juntar os termos parece ser a única solução possível para esse tipo de expressão. 38 4.10 Erro 10: Na propriedade distributiva Quando se trata do emprego da propriedade distributiva, o aluno comete vários erros. Podemos dizer que tais erros se devem à má formação do significado dos parênteses, visto que geralmente os alunos não o empregam, mesmo quando estes se fazem necessários. O erro mais comum nesse caso é x.( y + z ) = xy + z , que também foi levantado por Robayna. Tal equívoco, como em outros casos, é uma demonstração que o aluno não se apropriou do conceito da propriedade distributiva. Em nossa observação, foi possível detectar um erro ainda mais preocupante: x.( y + z ) = xyz , em que o aluno junta todos os fatores. O achado de Robayna em suas pesquisas, foi comprovado em nossa vivencia de sala de aula, que os alunos confundem-se a distributividade pela direita, como em ( y + z ).x . Eles não sabem como proceder porque entendem equivocadamente que o x deveria estar somente antes dos parênteses. Manifesta-se, ainda, desconhecimento de que a própria propriedade distributiva também é comutativa. Ainda é comum na propriedade distributiva com dois parênteses (os dois fatores são somas), o aluno juntar os termos de um deles para adequar ao modelo que eles entendem por correto. Dessa forma, ( y + z ).( x + a ) torna-se yz.( x + a ) . Ou não usar os parênteses no primeiro fator: y + z.( x + a ) , dando a entender que o resultado dessa expressão é y + zx + za . 4.11 Erro 11: Em Radicais O pensar que 3 2 é igual a 6 , em aritmética, é o que faz o aluno quando se depara com 2 x e, automaticamente, faz 2x . Isso manifesta o desconhecimento de propriedades dos radicais como também de sua inter-relação com a operação inversa de potenciação. Para introduzir um fator no radical de índice dois, como o feito dos alunos, é necessário elevá-lo a segunda potência. 39 4.12 Erro 12: Em equações do 1º grau Em equações do primeiro grau, encontramos grande parte dos erros de aprendizagem da álgebra. O pressuposto é que eles ocorrem porque é nesse tipo de igualdade que, geralmente, os alunos entram em contato pela primeira vez com as idéias da álgebra. Ou seja, a abstração começa a ser maior, o que requer o entendimento do significado dos símbolos, letras e domínio dos conceitos da aritmética. Equívocos como 2 + x = 2 x são críticos e fazem com que o aluno erre o resultado. É por englobar muitos dos erros citados anteriormente que as equações se tornam um martírio para os alunos. Para ilustrar alguns exemplos de erros comuns, vamos tomar como exemplo a equação: 3x + 7 = 6 x − 2 Como os alunos não têm claro os significados do símbolo de adição e subtração, quase sempre, eles fazem 10 x = 4 x , por juntar os termos que não são semelhantes. Como dito, anteriormente, falta-lhes o entendimento do significado de equivalência do símbolo de igualdade. Ou seja, na equação dada, podemos dizer que 3 x + 7 é equivalente a 6 x − 2 . Resolver a equação é justamente buscar o valor de x que satisfaça essa igualdade numericamente. Se os alunos tivessem o entendimento do significado do princípio de equivalência, provavelmente, perceberiam que seria um erro somar e diminuir ao mesmo tempo em membros diferentes. É comum os alunos não saberem que a propriedade comutativa não é válida para subtração. Por exemplo, na equação 3 x + 7 = 2 , adotam o seguinte procedimento: 3x + 7 = 2 3x + 7 − 7 = 7 − 2 3x = 7 − 2 No caso, os alunos pensaram corretamente em eliminar o sete no primeiro membro com a subtração de sete unidades, mas ao colocarem o sete no 40 segundo membro, eles o fazem com o sinal positivo e mudam o sinal do dois para negativo. Tal mudança se afirma na ideia de que a subtração é comutativa. Para estes alunos, 7 – 2 é o mesmo que 2 – 7. Nesse caso, os alunos continuam da seguinte forma: 3x = 7 − 2 3x = 5 x= 5 3 Mesmo com o erro cometido, percebe-se que o aluno chegou ao resultado correto. Neste caso, ele não sabe diferenciar 7 – 2 de 2 – 7. Mais um grave erro em equações é quando há necessidade de juntar termos semelhantes. Um dos alunos observados cometeu o seguinte erro: 3 x − 8 = 5 − 10 x 3 x + 10 x = 5 + 8 13 x ² = 13 Ao fazer 3x + 10x = 13x², o aluno aplica a propriedade de multiplicação de fatores de mesma base para a adição. 4.13 Erro 13: Em equações do 2º grau Os erros em equações do 2º grau são exclusivos do 9º ano. Eles repetem aqueles cometidos e tratados, anteriormente, no presente capítulo. Vale dizer que os alunos, sujeitos da pesquisa, resolveram as equações exclusivamente pela fórmula de Bháskara, mesmo tendo outros procedimentos para chegar às soluções (complemento de quadrados, soma e produto, etc). Ao serem questionados sobre o motivo dessa escolha eles responderam que esse método é geral a todas as equações do segundo grau. Preferem adotar apenas uma maneira que sirva em qualquer tipo dessas equações. 41 4.14 Erro 14: Teorema de Pitágoras Esse assunto também é pertinente apenas aos nonos anos, mas nos chamou atenção o fato de que os alunos, ao aplicar o teorema de Pitágoras (que diz que ‘a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa a ² = b ² + c ² ) cometem alguns erros. Por exemplo, determinar a medida de um cateto quando em um triângulo temos o outro cateto igual a 4cm e a hipotenusa igual a 5cm. Eles se confundem no processo de isolar a incógnita desejada: a ² = b² + c ² 5² = 4² + c ² 25² = 16² + c ² c ² = 25 + 16 c ² = 41 c = 41 cm Ainda, em Teorema de Pitágoras, alguns alunos têm dificuldade ou na conseguem identificar o cateto cujo valor e desconhecido: b ou o c? Essa dúvida é conseqüência do aluno não percebe que a propriedade comutativa é válida na soma. 42 5 CONCLUSÃO A análise dos erros cometidos pelos alunos em Álgebra (como em qualquer outro campo da matemática) é importante para que possamos identificar onde começa o erro na aprendizagem, possibilitando, corrigir a fonte do problema. Na pesquisa feita, pudemos verificar que grande parte dos erros cometidos originam da não elaboração dos diversos conceitos da aritmética e mesmo do desenvolvimento do pensamento algébrico. Por isso, os erros se manifestam em questões matemáticas pontuais como: os diferentes significados das operações e de seus respectivos símbolos matemáticos. Por exemplo, o símbolo da adição (+), para a maioria dos alunos, tem um único sentido e significado: “juntar”. Os erros levantados por Robayna e Marquis foram cometidos com muita frequência entre os alunos do 8º e 9º anos que participaram da presente pesquisa. Concordamos com os autores indicados que o motivo de tantas ocorrências se deve ao fato de o aluno estar iniciando na álgebra mais abstrata, sem ligação com situações reais. Ainda é predominante entre os alunos o pensamento aritmético. Este, muitas vezes, marcado por equívocos conceituais e, em determinados conceitos, estão também em fase de desenvolvimento. Logo, é na aritmética que eles procuram sentido para resolver as proposições algébricas. Chamou-nos atenção a convicção dos alunos de que seus raciocínios estão corretos no desenvolvimento das atividades propostas. Suas certezas transformam-se em obstáculos para perceberem seus erros e, consequentemente, são desafios a serem enfrentados pelo professor. Essa convicção isola os alunos em seus mundos de aprendizagem, isto é, tornam-lhes auto-suficientes para tomar a atitude extrema de retraírem-se, o que lhes impedem de solicitar ajuda e esclarecimentos ao professor. Atitudes que são desenvolvidas sem nenhum sintoma de maldade em relação ao professor ou por falta de interesse de aprender. Reafirmamos que trata de construções conceituais com base em raciocínios e lógicas não concernentes às idéias matemáticas produzidas historicamente. Diante dessas certezas dos alunos, o desafio docente se torna cada vez mais complexo. Isso significa dizer que as atividades de ensino devem ser 43 diversificadas e convincentes para contrapor com o pensamento dos alunos. Caso contrário, o aluno persistirá comento erros e, consequentemente, encontrará dificuldades em apreender novos conhecimentos. 44 REFERÊNCIAS BICUDO, MARIA APARECIDA. Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectivas. BOOTH, Lesley R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In: COXFORD, Arthur e SHULTE, Albert (org). As idéias da Algebra. São Paulo: Atual, 1997 D’AMBROSIO, Ubiratan. História da Matemática: Questões historiográficas e políticas e Reflexos na Educação Matemática. São Paulo:?????? 1999. FIORENTINI. Dario. Alguns modos de ver e conceber o ensino da matemática no Brasil. Zetetiké, Campinas, UNICAMP, ano 3, n.4, 1-36, 1995 GRANDO, Neiva Ignês. Dificuldades e Obstáculos em Educação Matemática. Revista Espaço Pedagógico. Passo Fundo, v.2. dez 95. MARQUIS, June. Erros comuns em álgebra. In: COXFORD, Arthur e SHULTE, Albert (org). As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1997. ROBAYNA, Martín Manuel Socas; MACHÍN, Matias Camacho; MEDINA, Maria Mercedes Palarea; DOMÍNGUEZ, Josefa Hernández Dominguez. Iniciacion Al Álgebra. Madrid: Editorial Síntese, 1996. USISKI, Zalman. Concepções sobre álgebra da escola media e utilizações das variáveis. In: COXFORD, Arthur e SHULTE, Albert (org). As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1997.
