Aulas 06

LÓGICA – Aulas - Introdução à lógica clássica
AULAS 18 - 26
CQC - Cálculo quantificacional clássico, ou cálculo de predicados de primeira ordem
Lógica – Unidade 4 - CQC – Cálculo quantificacional clássico ou de predicados
Considerações introdutórias:
 A lógica de predicados é uma extensão da lógica proposicional.
o LINGUAGEM DO CQC: Uma linguagem artificial estabelece seu alfabeto (um conjunto de
símbolos básicos) e sua gramática (as regras de formação – que dizem como combinar os
símbolos para formar expressões bem-formadas).
o
 A partir deste alfabeto, deste conjunto de caracteres, é que vamos construir as expressões
da linguagem - começando pelas expressões básicas.
 Especificando:
 Letras minúsculas a,...,t (admitindo também subscritos a1...c22, etc.): constantes
individuais, que tem a função de designar indivíduos (funcionam como nomes).
o Não se pode usar a mesma constante para indivíduos diferentes (mas
podemos usar várias constantes para fazer referência a um mesmo
indivíduo).
 Letras minúsculas u,...,z (admitindo também subscritos u1...x22, etc.): variáveis
individuais (indicam algum indivíduo ainda não especificado. Mas
gramaticalmente, funcionam como as constantes, como nomes).
 Letras maiúsculas A,...,T (admitindo também subscritos A1...C22, etc.): constantes
de predicado ou símbolos de predicado.
o Obs: O símbolo de predicado é escrito antes da constante ou variável
individual, constituindo uma fórmula atômica. Por ex.: Pa, Cb, Dx,
etc.
o Obs 2: Os predicados podem ser propriedades (ser azul, ser
brasileiro, etc.) ou relações (ser mais alto que, amar, etc.). As
relações são predicados n-ários (entre n indivíduos).
 Predicados zero-ário: C, P, etc. (uma letra maiúscula isolada)
 Ex: Está chovendo (C) (são orações sem sujeito, ou
seja, não atribuem nada a ninguém).
 Predicados unários: Pa, Rx, etc.
 Ex: x é azul (Ax), y é brasileiro (By), etc.
 Predicados binários: Haj, Rxy, etc.
 Ex: x é mais alto que y (Axy), z odeia y (Ozy), etc.
 Predicados ternários: Kabc, Rxyz, etc.
 Ex: x está sentado entre y e z (Sxyz), etc.
o Obs 3: Há várias maneiras de fixar um predicado e construir
fórmulas bem formadas, mas o importante é que, uma vez fixado um
símbolo e o que ele representa, devemos usá-lo de modo coerente.
 Operados lógicos ou conectivos: ¬,∧,∨,→,↔
 Permitem juntar duas ou mais fórmulas atômicas ou simples para formar
fórmulas complexas ou moleculares.
 Se você imaginar que fórmulas atômicas são tijolos, as fórmulas
moleculares serão como paredes e muros, construídos a partir de outras
fórmulas usando certas expressões (e, ou, etc.) como argamassa.
 Ex. de fórmulas complexas:
o (Bc ∨ Ac): Che é brasileiro ou é argentino.
o (Gjm ∧ ¬ Gmj): João gosta de Maria e Maria não gosta de João.
 Os parênteses ( ), que funcionam como pontuação. Eles evitam ambigüidades.
 Os quantificadores: ∃, ∀
o ∃ (existencial): ‘existe pelo menos um’, ‘algum’, ‘alguém’...
 Interpretação: ∃xFx significa que há pelo menos um objeto x
no domínio D que é F.
 Ex: ∃xFx (existe pelo menos um x que tem a propriedade de
ser filósofo, ou seja, alguém é filósofo).
o ∀ (universal): ‘para todo’, ‘qualquer que seja’, ‘todos’...
 Ex: ∀xFx (para todo x, x é filósofo, ou seja, todos os objetos
no domínio D são filósofos).
o As fórmulas quantificadas são chamadas de fórmulas gerais.


Fórmulas abertas: possui ao menos uma ocorrência livre de alguma variável (é preciso
analisar o escopo dos quantificadores):
o Ex: Lxx ; ∃xRxy ; ∀x(Bx → Gy) ; ∀xBx → Gx
Fórmulas fechadas: não possuem nenhuma ocorrência livre de variável (são chamadas
de sentenças).
o Ex: ∀x(Bx → Gx); ∃xRxx ; ∀xBx
 Prática de construção de árvores de formação:
 Prática de tradução para a linguagem do CQC:
o Se Pedro gosta de sopa, então Maria gosta de feijoada.
o
o
o
o
 Sp → Fm
Pedro e Maria gostam de sopa, mas José, não.
 (Sp ∧ Sm) ∧ ¬ Sj
Petistas são governistas e tucanos são oposicionistas.
 Gp ∧ Ot
O Cruzeiro ganhará o campeonato, se Éverton jogar bem e Marcelo gritar com os
jogadores.
 (Je ∧ Gm) → Cc
Se não faço dieta ou exercícios, meu peso aumenta.
 (¬De ∧ ¬Ee) → Ae
Com quantificadores:
o Algo é eterno
 ∃xEx
o Nada é eterno
 ¬∃xEx [ou ∀x¬Ex]
o Algo não é bonito
 ∃x¬Bx [ou ¬∀xBx]
o Deus ama a todos.
 ∀xAdx
o Todos amam Deus.
 ∀xAxd
o Todos amam a si mesmo.
 ∀xAxx
o Ninguém ama a si mesmo.
 ¬∃xAxx
o Não existe alguém que não ame a si mesmo.
 ¬∃x¬Axx
Proposições categóricas:
o Todos os brasileiros gostam de futebol
 ∀x(Bx → Gx)
o Nenhum santo é pecador.
 ∀x(Sx → ¬Px)
o Alguns filósofos são arrogantes.
 ∃x(Fx ∧ Ax)
o Alguns papas não são santos.
 ∃x(Px ∧ ¬Sx)
Ou ainda:
o Todos os cristãos e judeus crêem em Deus.
 ∀x((Cx ∨ Jx) → Dx)
o Qualquer homem pecador vai para o inferno.
 ∀x((Hx ∧ Px) → Ix)
o Todo homem religioso gosta de ir à missa e ajudar os pobres.
 ∀x((Hx ∧ Rx) → (Mx ∧ Ax))
Com quantificadores múltiplos:
o Todos amam alguém. [parafraseando: qualquer que seja x, há um y do qual ele gosta]
 ∀x∃yAxy
o Alguém ama todos. [parafraseando: há pelo menos um x tal que para todo y, ele ama y]
 ∃x∀yAxy
o Há alguém que não ama ninguém.
 ∃x∀y¬Axy
o Há alguém que não ama todos.
 ∃x¬∀yAxy
o Todos amam todos.
 ∀x∀y(Axy ∧ Ayx)
 A lógica de predicados permite compreender a validade de muitos outros argumentos cuja
validade não depende unicamente dos operadores verofuncionais (ela tem um alcance muito
superior).
o Ex:
O papa Francisco é cristão.
Logo, há cristãos.
Se analisado do ponto de vista proposicional, esse argumento seria inválido:
P
Logo, Q
o Já na lógica de predicados damos conta da validade do argumento acima. Vejamos como.
 Como formalizar adequadamente uma sentença na lógica de predicados? Voltemos
no exemplo acima:
 Na sentença ‘O papa Francisco é cristão’, podemos distinguir um nome (‘papa
Francisco’) e um predicado (‘é cristão’).
 Usamos os seguintes símbolos: letras minúsculas para indivíduos ou objetos (a,
b, c... t), letras minúsculas a partir de u para variáveis (u, v, x, y, z), letras
maiúsculas para propriedades (A, B, C, etc.) e os símbolos convencionais para
os operados lógicos (¬,∧,∨,→,↔).
 Sendo C uma variável predicativa para ‘é cristão’ e p uma constante individual
para ‘papa Francisco’, temos:
‘O papa Francisco é cristão’ = Cp

Já na conclusão, ao dizermos “há cristãos”, estamos quantificando, ou seja,
estamos dizendo que para a propriedade de ser um cristão é exemplificada pelo
menos por um particular. Para expressar isso formalmente, introduziu-se o
símbolo ∃ de quantificador existencial. Sendo x uma variável de objetos,
temos: ∃xCx. E o argumento inteiro:
Cp
Logo, ∃xCx

Esse argumento é válido para qualquer x, se x tem denotação (se se refere a
alguma entidade real). Do contrário, se estamos diante de nomes sem
denotação, como criaturas da mitologia, a lógica clássica erra.
o Ex:
Cérbero é um cão com três cabeças. Logo, há cães com três cabeças.
Formas argumentativas válidas e inválidas elementares na lógica de predicados:
Forma válida
∀xFx
Logo, ∃xFx
∀xFx
Logo, Fn.
Fn.
Logo, ∃xFx
Forma inválida
∃xFx
Logo, ∀xFx
∃xFx
Logo, Fn.
Fn.
Logo, ∀xFx
Bibliografia básica:

MORTARI, Cezar. Introdução à lógica. São Paulo: Ed. UNESP, 2001. (Cap. 5: Introdução ao CQC, p. 6168; Cap. 6: A sintaxe do cálculo de predicados I, p. 69-97; Cap. 7: A sintaxe do cálculo de predicados II, p.
98-119; Cap. 8: Interpretações, p. 120-128).

MURCHO, Desidério. O lugar da lógica na filosofia. Lisboa: Plátano, 2003 (cap. 5: Lógica Clássica,
trecho - p. 79-86).
Bibliografia complementar:







BERGMANN, Merrie; MOOR, James; NELSON, Jack. The logic book. 3ª ed. McGraw-Hill, 1998. (cap. 711: Predicate logic, p. 246-545).
DA COSTA, Newton; CARRION, Rejane. Introdução à lógica elementar. Porto Alegre: Ed. da
Universidade / UFRGS, 1988.
HURLEY, Patrick J. A Concise Introduction to Logic. 11ª ed. Wadsworth, 2012. (Cap. 8: Predicate logic,
p. 442-508).
LEMMON, E. J. Beginning logic. Indianapolis/Cambridge: Hackett Publishing, 1998. (Cap. 3-4: The
predicate calculus, p. 92-188).
MARGUTTI PINTO, Paulo Roberto. Introdução à lógica simbólica. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2006.
(Cap. 6: Aspectos da análise intra-sentencial, p. 205-262; Cap. 7: Métodos para avaliação de argumentos
intra-sentenciais, p. 263-304).
MATES, Benson. Elementary logic. New York: Oxford University Press, 1972.
RAUTENBERG, Wolfgang. A concise introduction to mathematical logic. Springer, 2009. (Cap. 1: Firstorder logic, p. 41-90).
Dedução Natural:
 Modelo simplificado do que é pensar de forma conseqüente, por meio da aplicação de regras
intuitivas (o que torna o estudo menos formalista e mais próximo de nossa experiência
argumentativa).
o Demonstração:
o O último item acima mencionado, as regras de produção, é o que corresponde a regras
lógicas de inferência em um sistema axiomático usual. Quer dizer, são os mecanismos que
nos permitem obter proposições (fórmulas) novas a partir do que já se tem. Num sistema
formal, portanto, podemos dizer que as regras lógicas ficam explicitamente codificadas.
Prova de validade utilizando dedução natural
 Método puramente sintático que funciona de forma mais compacta. Basicamente, o procedimento
consiste em aplicar um conjunto de regras de inferência ao conjunto de premissas, gerando
conclusões intermediárias às quais aplicam-se novamente as regras, até atingir-se a conclusão final
desejada. A esse processo chamamos deduzir, derivar ou provar a conclusão a partir do conjunto
das premissas, e a seu resultado, obviamente, uma dedução ou derivação ou prova.
o Dada as premissas, empregamos alguma regra de inferência (ou de transformação),
acrescentando uma nova linha a essa derivação. Mas quais são essas regras? São regras
postuladas, aceitas sem demonstração.
 Nada nos impede de aceitar qualquer coisa como uma regra de inferência, mas o
sistema assim resultante não teria qualquer interesse e não passaria de um jogo de
símbolos. Para que o método de dedução natural seja útil, é preciso que as regras de
inferência preservem a verdade (se as fórmulas dadas são verdadeiras, a fórmula
resultante também será).
 Tomemos então a seguinte regra: MODUS PONENS
o Tomemos então outra regra: o SILOGISMO DISJUNTIVO
o
o
o PRONTO! Mostramos que Fba é consequência lógica do conjunto de premissas dado,
fazendo uso de um método que consistiu apenas na manipulação de símbolos.
REGRAS DE INFERÊNCIA:
 Regras primitivas de dedução natural: Para cada operador, há uma regra de introdução e uma de
eliminação. A partir dessas regras, são elaboradas regras derivadas.
 Fazendo uma dedução – Exemplos:
o
o
o
o
o Depois, é preciso analisar o problema e os caminhos que podem ser seguidos. Resolução:
o
o
Bibliografia básica:
o MARGUTTI PINTO, Paulo Roberto. Introdução à lógica simbólica. Belo Horizonte: Ed.
UFMG, 2006. (Cap. 2: As principais conectivas intersentenciais, p. 49-88).
o MORTARI, Cezar. Introdução à lógica. São Paulo: Ed. UNESP, 2001. (Cap. 9:
Valorações, p. 129-154; Cap. 13: Sistemas axiomáticos e sistemas formais, p. 226-234;
Cap. 14: Dedução natural (I), p. 235-262; Cap. 15: Dedução natural (II), p. 263-267 trecho).
o MURCHO, Desidério. O lugar da lógica na filosofia. Lisboa: Plátano, 2003 (cap. 4: Forma
lógica, p. 39-65; cap. 5: Lógica Clássica, trecho - p. 66-77).
o MURCHO, Desidério. “Regras de dedução natural”. In: BRANQUINHO, João;
MURCHO, Desidério; GOMES, Nelson Gonçalves (ed.). Enciclopédia de termos lógicofilosóficos. São Paulo: Martins Fontes, 2006.
o RODRIGUES, Abílio. Lógica. São Paulo: WMF Martins Fontes, 2011. (cap. 2: A lógica
clássica, p. 26-47).
o RODRIGUES, Abílio. Verdade e validade II – lógica sentencial. (Manuscrito).
Bibliografia complementar:
o BERGMANN, Merrie; MOOR, James; NELSON, Jack. The logic book. 3ª ed. McGrawHill, 1998. (cap. 2-6: Sentential logic, p. 25-245).
o BRANQUINHO, João; MURCHO, Desidério; GOMES, Nelson Gonçalves (ed.).
Enciclopédia de termos lógico-filosóficos. São Paulo: Martins Fontes, 2006.
o DA COSTA, Newton; CARRION, Rejane. Introdução à lógica elementar. Porto Alegre:
Ed. da Universidade / UFRGS, 1988.
o DA COSTA, Newton; KRAUSE, Décio. Notas de lógica. Florianópolis: Núcleo de
Epistemologia e Lógica UFSC, 2004. (Cap. 2: Os alicerces da lógica proposicional
clássica, p. 21-48; Cap. 3: O cálculo proposicional clássico, p. 49-70).
o HURLEY, Patrick J. A Concise Introduction to Logic. 11ª ed. Wadsworth, 2012. (Cap. 6:
Propositional logic, p. 310-379; Cap. 7: Natural deduction in propositional logic, p. 380441).
o LEMMON, E. J. Beginning logic. Indianapolis/Cambridge: Hackett Publishing, 1998.
(Cap. 1-2: The propositional calculus, p. 1-91).
o MARGUTTI PINTO, Paulo Roberto. Introdução à lógica simbólica. Belo Horizonte: Ed.
UFMG, 2006. (Cap. 3: As principais expressões da lógica intersentencial, p. 89-138; Cap.
4: Avaliação de argumentos intersentenciais simples, p. 139-172; Cap. 5: Avaliação de
argumentos intersentenciais complexos, p. 173-204).
o RAUTENBERG, Wolfgang. A concise introduction to mathematical logic. Springer, 2009.
(Cap. 1: Propositional logic, p. 1-40).