Cap 11 - Unesp

ELETROMAGNETISMO I
11
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FORÇA MAGNÉTICA SOBRE
CONDUTORES
Até então, nossos estudos sobre campos magnéticos o enfatizaram como sendo originado pela
circulação de uma corrente elétrica em um meio condutor. No entanto, sabemos que estes campos
existem também nos chamados ímãs permanentes ou magnetos, com suas linhas de força fechadas
sobre si mesmo. Neste capítulo estudaremos a força exercida sobre um condutor conduzindo uma
corrente elétrica, quando colocado na presença de campos magnéticos. Enfatizaremos, no entanto, que
a força magnética exercida sobre um condutor com corrente é devida à presença de um campo
magnético externo a ele.
11.1 - EFEITO DE UM CAMPO MAGNÉTICO EM UM FIO CONDUZINDO CORRENTE
Consideremos o campo magnético uniforme gerado entre os pólos de um imã permanente, como pode
ser visto na figura 11.1.
S
N
B
Figura 11.1 Campo magnético de um imã permanente.
A seguir, um condutor conduzindo uma corrente I (A) será imerso no interior deste campo magnético,
conforme mostra a figura 11.2. O condutor tem sua direção perpendicular ao plano do papel na figura,
com a corrente saindo. Já vimos anteriormente que as linhas de campo magnético criado por esta
corrente são formadas por circunferências concêntricas ao condutor. O campo magnético gerado pela
corrente reforça o campo do imã permanente na parte de baixo do campo e o enfraquece na parte de
cima. Assim, uma força, de natureza magnética, aparecerá no condutor, levando-o na direção do
campo mais fraco, buscando um novo equilíbrio no número de linhas do campo resultante, acima e
abaixo do condutor.
N
S
I
B
Figura 11.2 Condutor conduzindo corrente imerso em um campo magnético.
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A magnitude da força que atua sobre o condutor é expressa por:
F=IBL (N)
(11.1)
onde:
L
B
I
(m)
(Wb/m2)
(A)
Comprimento (efetivo) do condutor imerso no campo
Magnitude da indução magnética do campo externo
Intensidade de corrente no condutor
Se o condutor não cortar o campo perpendicularmente (figura 11.3), a força F será expressa em função
da inclinação formada pelo ângulo θ entre a direção do condutor e o campo externo onde:
F=IBLsen θ (N)
(11.2)
I
comprimento efetivo
B
θ
Figura. 11.3 Condutor cortando campo magnético.
Generalizando, para um elemento de corrente, a intensidade da força incremental dF fica então:
dF=IBdLsen θ (N)
(11.3)
Não é difícil observar que as equações (11.2) e (11.3) são fundamentais para explicar o princípio de
funcionamento dos motores elétricos.
Resumindo, podemos utilizar uma notação vetorial para a força incremental exercida sobre um elemento
de corrente, de modo que:
r
r r
dF = I(dL ×B) ( N )
(11.4)
onde:
r
dF
I
r
B
r
dL
(N)
(A)
(T)
(m)
Vetor indicando a magnitude e direção da força em um elemento de
condutor
Corrente no condutor
Vetor indicando a magnitude e direção da densidade de fluxo
Vetor com direção do elemento de condutor, orientando a direção da
corrente
11.2 - FORÇA ENTRE DOIS CONDUTORES LINEARES E PARALELOS
Consideremos agora dois condutores filamentares, retilíneos e paralelos de comprimento L (m) cada,
separados de uma distancia R (m) no ar, como ilustra a figura 11.4 abaixo. O condutor 1 é percorrido
por uma corrente de intensidade I1 (A), e o condutor 2 por uma corrente de intensidade I2 (A) em direção
oposta ao primeiro. O condutor 1 fica sujeito a uma força devido ao campo magnético criado pela
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ELETROMAGNETISMO I
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corrente elétrica do condutor 2. Por outro lado, o condutor 2 fica sujeito a uma força de mesma
magnitude e direção oposta, devido ao campo magnético criado pela corrente do condutor 1.
R
L
F1
F2
I1
I2
Figura 11.4 Forças de repulsão em condutores percorridos por correntes opostas
O campo magnético resultante é mais forte entre os dois condutores do que fora deles, conforme é
sugerido na figura 11.5. Assim, intuitivamente podemos perceber que a força entre eles será de
repulsão, no sentido de buscar uma nova posição de equilíbrio. Isso pode ser confirmado pela regra da
mão esquerda: a força magnética F no polegar estendido é o resultado do produto vetorial entre a
corrente I no dedo médio e o campo B no indicador, formando um ângulo, no máximo reto, entre o
campo e a corrente. Neste caso particular, o campo B e a corrente I são ortogonais. Pelo mesmo
raciocínio, se as correntes estiverem na mesma direção, observamos que a força de interação entre os
condutores será agora de atração.
I1
I2
Figura 11.5 Campo magnético entre dois condutores paralelos
A magnitude da força sobre o condutor 2 é:
L
F=I 2 B1 ∫ dL=I 2 B1L ( N)
0
(11.5)
Recordando o exemplo 9.1, a indução magnética provocada pela corrente do condutor 1, na posição do
condutor 2, isto é, a uma distância R, será:
B1 =
µ 0 I1
( Wb / m 2 )
2πR
(11.6)
r
Assim, para a magnitude da força F teremos:
F=
µ 0 I1 I 2
L ( N)
2πR
(11.7)
Como os condutores tem o mesmo comprimento L, a equação (11.7) se aplica também à magnitude da
força agente sobre o condutor 1. Temos aí um par ação-reação, justificado pela 3ª. Lei de Newton.
Dividindo a equação 11.7 por L, teremos a expressão do módulo da força expresso por unidade de
comprimento: Ou seja:
F µ 0 I1I 2
=
( N / m)
L 2πR
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(11.8)
ELETROMAGNETISMO I
98
Se I1= I2, e considerando o valor de µ0 = 4 π x 10-7 H/m para o ar,
F = 2 × 10− 7
I2 L
(N)
R
(11.9)
Se L = R = 1m, F = 2 × 10 −7 N , então teremos I = 1 A. Essa medida da força é utilizada para definir o
ampère (A) como unidade de corrente elétrica no Sistema Internacional de Unidades.
Exemplo 11.1
Um fio transportando uma corrente 2 I (A) é colocado entre 2 outros fios que transportam uma corrente
de intensidade I (A) cada um, conforme mostra a figura 11.6. Os três fios são paralelos e mantém entre
si a mesma distância d (m). As três correntes estão no mesmo sentido. Determine a força magnética por
unidade de comprimento sobre cada um destes condutores aéreos.
Solução:
Seja
F1,2 = F2 ,1 =
µ 0 2I 2
2 πd
( N)
com:
F1,2
= Força sobre o condutor 1, devido à
interação entre a corrente no condutor 1 e o
campo produzido pela corrente do condutor 2.
F2,1
F1,3 = Força sobre o condutor 1, devido à
interação entre a corrente no condutor 1 e o
campo produzido pela corrente do condutor 3.
= Força sobre o condutor 3, devido à
F3,1
interação entre a corrente no condutor 1 e o
campo produzido pela corrente do condutor 1.
= Força sobre o condutor 2, devido à
interação entre a corrente no condutor 2 e o
campo produzido pela corrente do condutor 1.
F3,1
F1,3
F3,2
F1,2
Do mesmo modo
F2 ,3 = F3,2
µ 2I 2
= 0
2 πd
( N)
F2,1
F2,3
onde:
F2 ,3
= Força sobre o condutor 2, devido à
interação entre a corrente no condutor 2 e o
campo produzido pela corrente do condutor 3.
F3,2
= Força sobre o condutor 3, devido à
interação entre a corrente no condutor 3 e o
campo produzido pela corrente do condutor 2.
3
2
I
1
Figura 11.6 Três condutores conduzindo
corrente.
As forças sobre o condutor 2, F2,1 e F2 ,3
E ainda
F1,3 = F3,1 =
onde:
2I
I
µ 0I 2
4 πd
possuem a mesma magnitude, porém estão em
direções opostas. Portanto:
(N)
r
r
r
F2 = F2 ,1 + F2 ,3 = 0
A força sobre o condutor 1 será:
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F1 = F1,2 + F1,3 =
5µ 0 I 2
4 πd
( N)
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F3 = F3,1 + F3,2 =
5µ 0 I 2
4 πd
(N)
A força sobre o condutor 3 será:
11.3 - TORQUE SOBRE UMA ESPIRA PERCORRIDA POR CORRENTE - MOMENTO MAGNÉTICO
As forças que atuam sobre uma espira colocada na região de um campo magnético, tendem a fazê-la
girar em relação a um eixo. Tomemos inicialmente uma espira retangular de lados L e d, com o lado L
perpendicular ao plano do papel, como mostra a figura 11.7, representando o comprimento do elemento
finito e efetivo de corrente responsável pela metade do conjugado na espira.
r
Vamos repetir aqui a expressão da força agente em qualquer elemento dL de um condutor conduzindo
uma corrente I:
r
r r
dF= I (dL × B) ( N)
(11.10)
r
r
Se a normal n ao plano da espira forma um ângulo θ com o campo magnético presente B , então a
componente da força magnética responsável pelo torque sobre cada condutor ativo é:
Ft =ILBsenθ ( N)
(11.11)
A componente Ft da força magnética F multiplicada pela distancia d/2 ao eixo de rotação da espira é
conhecida por torque, aqui representado pela letra T e dado em N.m no Sistema Internacional de
Unidades. Neste caso, o torque resultante ou conjugado sobre a espira será dado por:
d
T=2Ft =ILBdsenθ ( N.m)
2
(11.12)
No caso desta espira retangular, L d = A onde A é a área da espira. Assim:
T=I A B sen θ (N.m)
(11.13)
θ
F
Ft
n
θ
B
d
Ft
F
Figura 11.7 Torque sobre uma espira imersa num campo magnético, conduzindo corrente.
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100
O produto I x A, de dimensão corrente x área, é conhecido como momento magnético da espira. Ele é
expresso em ampères x metro quadrado. Designando o momento magnético pela letra m a equação
(11.13) fica:
T=mBsenθ (N.m)
(11.14)
Se uma bobina é composta de N espiras, o momento magnético total sobre a bobina será então:
(A.m2)
m = N.I.A
(11.15)
Finalmente, o momento magnético poderá ser representado vetorialmente como:
r
m = m â n (A.m 2 )
(11.16)
O versor â n tem a sua orientação fornecida pela regra da mão direita, com o polegar da mão direita
estendido, quando os demais dedos se fecham acompanhando o sentido de percurso da corrente no
circuito. De modo geral, o torque será expresso então pelo seguinte produto vetorial:
r r r
T=m × B (N.m)
(11.17)
Exemplo 11.2
Uma bobina retangular com 200 espiras de 0,3 x 0,15 m2 com uma corrente de 5,0 A, está em um
campo uniforme de 0,2 T. Encontre o momento magnético e o torque máximo na bobina.
Solução
A = 0.3 × 0.15=0.045m 2
Tmax = mB= 45 × 0.2 = 9 N.m
m = nIA = 200 × 5 × 0.045= 45A.m 2
Exemplo 11.3
Um medidor de corrente d´Arsonval é constituído por uma bobina capaz de girar em torno de um eixo
numa região onde existe um campo radial com intensidade uniforme de 0.1 Wb/m2. Uma mola (espiral)
de torção oferece um torque resistente Tm = 5,87x10-5 θ N.m, com θ em radianos, contra o movimento
de rotação da bobina. Sabe-se que o enrolamento da bobina é formado por 35 espiras retangulares de
dimensões 23 mm x17 mm. Qual é o ângulo de rotação que resulta pela passagem de uma corrente de
15 mA na bobina?
Solução
θ
N
B
S
Instrumento de bobina móvel
Fig. 11.8 - Medidor de D'Arsonval
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ELETROMAGNETISMO I
Pela figura 11.8 vemos que o campo magnético
ao qual a bobina móvel é exposta, tem suas
linhas de campo distribuídas radialmente. Pela
expressão geral do torque temos:
r r r
T = m × B ( N.m)
cuja magnitude é dada por
T =m B sen θ (θ = 90 o )
O ângulo q = 90o indica uma configuração radial
do campo magnético presente no núcleo da
bobina, conforme explicado no final deste
exemplo
Assim sendo, o momento magnético na bobina
fica:
m = NI A
101
Daí,
m = 35 × 15 × 10 −3 × 23 × 17 × 10 −6 = 0,205 × 10 −3 A.m 2
O campo magnético exercerá sobre as espiras
um torque elétrico
T = 0,205 × 10 −3 × 0,1= 2,05 × 10 −5 N.m
No equilíbrio, este torque encontra reação no
torque mecânico Tm de resistência da mola do
medidor. Desta forma
T= Tm
2,05 × 10 −5 = 5,87 × 10 −5 θ
θ = 0,35rad⇒θ ≅ 20o
Este medidor de corrente é um instrumento de bobina móvel e que deve apresentar o mesmo torque
independente da posição angular. Para tal, o enrolamento com as espiras é montado ao redor de um
núcleo de ferro doce de formato cilíndrico. Desta forma, ele conduz o fluxo magnético no sentido radial
de modo que a força magnética sempre produza o mesmo torque em qualquer posição angular.
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102
EXERCÍCIOS
r
1)
Uma película de correntes com densidade laminar K = 30 ây A/m está localizada no plano z = 6
m. Um condutor filamentar está sobre o eixo y, conduzindo 6,0 A na direção ây. Calcule a força
nele exercida por unidade de comprimento.
2)
Uma espira circular de raio a m, conduzindo uma corrente I A está no plano z = h m, paralela a
uma película uniforme de corrente K = K0ay A/m localizada em z = 0. Expresse a força sobre um
comprimento infinitesimal da espira. Integre este resultado e mostre que a força total é nula.
3)
Uma barra de 3 Kg, condutora, horizontal, com 800 mm de comprimento, faz um ângulo de 60º
em relação a um campo magnético horizontal de 0.5 T. Que corrente é necessária na barra para
fazê-la flutuar? Adote a aceleração da gravidade local como sendo 10 m/s2.
4)
Dois condutores de comprimento L m percorridos por correntes I A em direções opostas são
normais a um campo magnético cuja indução tem uma magnitude B Wb/m2. A separação entre
os condutores é fixa de w m. Mostre que o torque relativo a qualquer eixo paralelo aos
condutores é dado por BILw cosθ N.m, sendo θ o ângulo formado entre a direção do campo e a
distância entre os condutores.
5)
Uma espira circular de corrente de raio r m e corrente I A está localizada sobre o plano z = 0.
Calcule o torque que resulta se a corrente está na direção â φ e existe um campo uniforme
r
B = B 0 (â x + â z ) / 2 (T ) .
6)
Duas espiras circulares de raio R e centro comum estão orientadas de forma tal que seus planos
são perpendiculares entre si. Deduza a expressão que mostra o torque de uma espira sobre a
outra.
7)
Um elemento retilíneo de corrente com 3 m de comprimento acha-se ao longo do eixo y,
centrado na origem. A corrente que o percorre vale 6 A na direção ây. Calcule a indução
r
magnética B quando este elemento de corrente experimenta uma força de 1,5(â x + â z ) / 2 N .
8)
Calcule o trabalho e a potência necessários para mover o condutor mostrado na figura abaixo de
r
−3
uma volta completa, na direção mostrada, em 20 ms se B = 2,50 x 10 â r T e a corrente é de 45
A.
I
I
I
0,03 m
z
z
0,10 m
9)
Utilizando-se o mesmo condutor e as condições do problema anterior, determine o trabalho
necessário para movê-lo descrevendo o mesmo cilindro em sentido horário.
10) Um condutor de comprimento 2,5 m localizado em z = 0, x = 4 m, conduz uma corrente de 12,0
r
A na direção − â y . Encontre B uniforme na região, se a força sobre o condutor é de 1,20 x 10-2
N, na direção (−aˆ x + aˆ z ) / 2 .
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ELETROMAGNETISMO I
103
11) Um condutor retilíneo no plano y0z conduz uma corrente I no sentido positivo do eixo y a uma
distância h de uma fita de corrente simétrica em relação ao plano y0z, de largura w e densidade
K0, no mesmo sentido da corrente do condutor. Encontre uma expressão para a força por
unidade de comprimento sobre o condutor. Qual será o resultado quando a largura da fita tornarse infinita?
r
12) Um condutor com corrente I fura ortogonalmente uma película plana de corrente K . Calcule a
intensidade da força por unidade de comprimento sobre o condutor, acima e abaixo da película.
13) A espira retangular da figura abaixo encontra-se em um campo magnético onde
r
B = 0,05(â x + â y ) / 2 T. Determine o torque em relação ao eixo z quando a espira na posição
indicada, conduzir uma corrente de 5,0 A.
z
0,08 m
I
─ 0,04 m
14) Uma espira circular de raio 0,35 m está no plano x = 0, centrada no eixo x. Na posição
coordenada (0; 0; 0,35) m a corrente tem módulo 5,0 A e está dirigida segundo − â y . Determine
o torque sobre esta espira quando imersa num campo magnético uniforme onde
r
B = 88,4(â x + â z ) µT.
15) Um condutor retilíneo de comprimento L conduz uma corrente I no sentido indicado na figura.
Calcule o trabalho e a potência necessária para fazer o condutor dar uma volta inteira numa
r
freqüência de n rotações por minuto, se B = B0 â r , com B0 uma constante positiva.
z
I
r
16) Para a mesma configuração do problema anterior, um condutor com 100 mm de comprimento
conduz uma corrente constante de intensidade 5,0 A, descrevendo um cilindro com 25 mm de
raio. Calcule o trabalho necessário para movimentar o condutor, sob velocidade constante, de φ
= 0 a φ = π no sentido anti-horário. Quanto vale o trabalho total para uma volta completa se o
sentido da corrente for invertido no semi-ciclo seguinte na presença de um campo alternado
r
onde B = −3,5 sen φ â r mT ?
17) Obtenha a expressão para a potência necessária para girar um cilindro de raio r com N
r
condutores de comprimento L contra o campo a n revoluções por minuto, se B = B 0 sen(2φ)â r e
r
as correntes I trocam de sentido em cada quadrante, quando muda o sinal de B .
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ELETROMAGNETISMO I
104
18) Um condutor com 4 m de comprimento conduz 10 A na direção â y , ao longo do eixo y entre as
r
posições y = 2 m e y = – 2 m. Se o campo B = 0,05â x T, calcule o trabalho necessário para
mover o condutor paralelamente a si mesmo com velocidade constante até a posição dada por
x = z = 2 m.
19) Um condutor está localizado ao longo do eixo z em – 1,5 ≤ z m–1 ≤1,5 e conduz uma corrente
r
−4 −0, 2 x
â y T, encontre o trabalho
fixa de 10,0 A no sentido de − â z . Para um campo B = 3,0 x 10 e
e a potência necessários para mover o condutor paralelamente ao longo do eixo x com
velocidade constante para x = 2 m e y = 0 durante 5 ms.
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