Questão 15 - Globo.com

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Questão 15
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O número áureo é uma constante real irracional, definida como a raiz positiva da equação quadrática obtida
a partir de
x+1
= x.
x
a) Reescreva a equação acima como uma equação quadrática e determine o número áureo.
b) A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … é conhecida como sequência de Fibonacci, cujo n-ésimo termo é definido recursivamente pela fórmula
1,
se n = 1 ou 2;
F(n) =
F(n – 1) + F(n – 2), se n ⬎ 2.
Podemos aproximar o número áureo, dividindo um termo da sequência de Fibonacci pelo termo anterior.
Calcule o 10o e o 11o termos dessa sequência e use-os para obter uma aproximação com uma casa decimal
para o número áureo.
Resolução
a)
x+1
= x ⇔ x + 1 = x2
x
x2 = x + 1
x2 – x – 1 = 0
1 ⫾ 公5
Δ = 5; x =
2
1 + 公5
A raiz positiva é
2
Resposta: x2 – x – 1 = 0;
b)
f1
f2
f3
f4
f5
1 + 公5
2
f6
f7
f8
f9
f10 f11
1
1
2
3
5
8 13
O 10o termo é dado por f10 = 55;
o 11o termo é dado por f11 = 89.
f11 89
=
≈ 1,6
f10 55
Resposta: 55; 89 e 1,6
21
34
55
89
fn = f(n)