Funções Recursivas - Professora Juliana Pinheiro Campos

Ciência da Computação
Teoria da Computação
(ENG10395)
Profa. Juliana Pinheiro Campos
E-mail: [email protected]
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
Funções recursivas
 Os formalismos usados para especificar algoritmos
podem ser classificados nos seguintes tipos:
• Operacional: define-se uma máquina abstrata
baseada em estados, em instruções primitivas e
na especificação de como cada instrução modifica
cada estado. Ex: MT.
• Axiomático: Associam-se regras às componentes
da linguagem. As regras permitem afirmar o que
será verdadeiro após a ocorrência de cada
cláusula, considerando-se o que era verdadeiro
antes da ocorrência. Ex: gramática.
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
Funções recursivas
• Denotacional ou funcional: Trata-se de uma
função construída a partir de funções elementares
de forma composicional, no sentido em que o
algoritmo denotado pela função pode ser
determinado em termos de suas funções
componentes. Ex: funções recursivas parciais (de
Stephen C. Kleene) e cálculo lambda (de Alonzo
Church)
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
Funções recursivas de Kleene (ou funções
recursivas parciais)
 São funções construídas sobre 3 funções naturais básicas
(funções recursivas primitivas):
• natural zero visto como uma função
• sucessor (de um número natural)
• projeção (na realidade, uma família de funções, pois
depende do n° de componentes, bem como de qual
componente deseja-se projetar)
juntamente com as seguintes operações:
• substituição composicional (generaliza o conceito
usual de composição de funções)
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
Funções recursivas de Kleene (ou funções
recursivas parciais)
• recursão (definição de uma função em termos
dela mesma)
• minimização (busca, em um tempo finito, o menor
valor para o qual uma certa condição ocorre)
constituindo uma forma compacta e natural para definir
muitas funções e suficientemente poderosa para
descrever toda função intuitivamente computável.
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Definição por indução de funções recursivas
 Quando você aprendeu a operação de exponenciação
pela primeira vez provavelmente foi da forma:
xn= x . x . … . x (n vezes)
Essa forma é bem simples de entender. Mais tarde você
aprendeu uma definição própria por indução:
x0= 1
xn+1= xn . x
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Definição por indução de funções recursivas
 Na sua forma mais simples, a definição de uma função f
por indução a partir de uma outra função g é da forma
f(0) = m
f(n + 1) = g(f(n))
Para
Associe
0
f(0) = m
1
f(1) = g(m)
2
f(2) = g(f(1)) ...
A partir de agora, consideramos funções que podem ser
obtidas usando a indução e a composição, começando por
algumas que são obviamente computáveis.
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Definição das funções recursivas primitivas
 As funções primitivas são incontestavelmente
computáveis. São elas:
• Função constante zero
fzero: N → N tal que, ∀ x Є N, fzero(x) = 0
• Sucessor
sucessor: N → N tal que, ∀ x Є N, sucessor(x) = x + 1
• Projeção
proj ki: Nk → N tal que ∀ (x1, …, xk) Є Nk, proj ki (x1, …,
xk) = xi para 1 <= i <=k (retorna o i-esimo elemento de
uma sequencia de k valores)
Ex: proj33: N3→ N (projeção da 3ª componente de uma tripla)
proj33(x, y, z) = z
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Definição das funções recursivas primitivas
 Elas são usadas para definir todas as outras funções
recursivas parciais.
 Todas as funções tratadas serão sempre entre
números naturais.
 Algumas vezes as projeções são chamadas funções
de seleção.
 Proj11 é chamada de função identidade e escrita como
id(x) = x.
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Operações básicas
 Composição (substituição composicional):
Sejam as funções parciais: g: Nk → N e f1, f2, ..., fk: Nn →N. A
função parcial: h: Nn → N é a substituição composicional de
funções, ou simplesmente substituição de funções, definida a
partir de g, f1, f2, ... fk como segue:
h(x1, x2, ..., xn) = g(f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ... fk(x1, x2, ..., xn))
h é dita definida para (x1, x2, ..., xn) se, e somente se:

fi(x1, x2, ..., xn) é definida para todo i Є {1,2,..., k}

g(f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ... fk(x1, x2, ..., xn)) é
definida
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Operações básicas
 Composição (substituição composicional):
Exemplos:
fum: sucessor(fzero)
fdois: sucessor(fum)
ftres: adição(fum, fdois)
função constante um
função constante dois
função constante três
OBS: Para qualquer número natural n a função constante
pode ser definida como a aplicação de n vezes a função
sucessor.
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Operações básicas
 Recursão primitiva
Sejam as funções parciais: f: Nn →N e g: Nn+2 → N.
A função parcial: h: Nn+1 → N é definida por recursão primitiva
a partir de f e g como segue:
h(x1, x2, ..., xn, 0 ) = f (x1, x2, ..., xn)
h(x1, x2, ..., xn, y + 1) = g(x1, x2, ..., xn, y, h(x1, x2, ..., xn, y)
A função parcial h é dita definida para (x1, x2, ..., xn, ) se, e
somente se:

f (x1, x2, ..., xn) é definida

g(x1, x2, ..., xn, i, h(x1, x2, ..., xn, i) é definida para todo i Є
{1,2,..., y}
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Operações básicas
 Recursão primitiva
Exemplo: A adição é definida usando recursão primitiva:
adição(x, 0) = id(x)
adição(x, y+1) = proj33(x, y, sucessor(adição(x, y)))
adição(3,2) =
proj33(3, 1, sucessor(adição(3, 1))) =
sucessor(adição(3, 1)) =
sucessor(proj33(3, 0, sucessor(adição(3, 0)))) =
sucessor(sucessor(adição(3, 0))) =
sucessor(sucessor(3)) =
sucessor(4) = 5
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Operações básicas
 Minimização
Seja f:Nn+1→N uma função parcial. A função parcial: h:
Nn→N é fita definida por minimização de f e é tal que, ∀(x1,
x2, ..., xn, y) Є Nn+1:
h(x1, x2, ..., xn) = min{y | f(x1, x2, ..., xn, y) = 0 e, ∀z tal que z <
f(x1, x2, ..., xn, z) é definida}
y,
A função h, para o valor (x1, x2, ..., xn) é definida como o menor
natural y tal que f(x1, x2, ..., xn, y) = 0. Adicionalmente, a condição
“∀z tal que z < y, f(x1, x2, ..., xn, z) é definida” garante que é
possível determinar, em um tempo finito, se, para qualquer valor
z menor do que y, f(x1, x2, ..., xn, z) é diferente de zero
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Operações básicas
 Minimização
Exemplo: função número zero. Suponha a função constante
fzero. Seja constZero o nº 0 nos naturais (não confundir com a
função constante zero):
constZero: 1 → N (função número zero constZero(*)= 0)
Podemos representar também como constZero: → N
Podemos definí-la por minimização da seguinte forma:
constZero = min{y | fzero(y) = 0}.
De fato, o menor natural y tal que fzero(y) = 0 é o 0.
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Funções recursivas
 Função recursiva total
Como o próprio nome indica, função recursiva total nada
mais é que uma função recursiva parcial que é total, ou seja,
definida para todos os elementos do domínio.
Como podemos ver, as seguintes classes de funções são
equivalentes:
 funções recursivas parciais e funções turingcomputáveis;
 funções recursivas totais e funções turing-computáveis
totais.
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Funções recursivas
 Operações limitadas
Uma vez que estamos limitados aos números naturais, não
podemos ter algumas operações convencionais como as
operações de subtração e divisão.
A subtração realizada em sala de aula é a subtração
limitada m – n = máx{m – n, 0}
A função divisão div(m, n):divisão inteira de m por n pode
ser realizada convencionando que o resultado é nulo
quando n = 0.
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Funções recursivas
 Predicado recursivo primitivo: é uma função
recursiva parcial que assume somente os valores 0 e
1.
Exemplo: função ezero: retorna 1 para o argumento 0 e
0, caso contrário.
e_zero(0) = fum
e_zero(n+1) = constZero
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Funções recursivas
 Predicado recursivo primitivo:
Ex: função maior_ou_igual: maior_ou_igual(m,n) = 1 quando
m >= n; e 0 caso contrário.
maior_ou_igual (m, n) = e_zero(sub(n, m)
Ex: E a função menor_que(m,n) como seria?
menor_que(m, n) = fum – maior_ou_igual(m, n)
OBS: A negação de qualquer predicado recursivo também é
um predicado recursivo.
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
 Funções recursivas
 Predicado recursivo primitivo:
Resumindo, se f e g são funções recursivas e p é um
predicado recursivo, todos os três com o mesmo
número de argumentos k, então a função definida por
casos
f(n1, …, nk) = g(n1, …, nk), se p(n1, …, nk);
f(n1, …, nk) = h(n1, …, nk), caso contrário;
também é recursiva primitiva, uma vez que pode ser
reescrita como:
f(n1, …, nk) = p(n1, …, nk) x g(n1, …, nk) + (1 - p(n1, …, nk)) x h(n1,
…, nk) ;
TEORIA DA COMPUTAÇÃO
Referências
 Diverio, T. A.; Menezes, P. B.. Teoria da Computação:
Máquinas Universais e Computabilidade. Porto
Alegre: Sagra Luzzato, 2000.
 Carnielli, W. A.; Epstein, R. L.; Computabilidade,
funções computáveis, lógica e os fundamentos da
matemática. 2.ed. São Paulo: Editora UNESP, 2009.