Grandezas proporcionais

Grandezas proporcionais
Professores João, Mauricio e Nicolas
As grandezas físicas
Em momentos anteriores, já abordamos esse conceito conhecido como grandezas físicas, entretanto, agora
trataremos mais profundamente sobre esse tema apresentando novas considerações importante.
Retomando: a definição de grandeza física baseia-se na ideia de algo que pode ajudar a interpretar a natureza
e seus fenômenos, porém, também está pautada na ideia de que esta pode ser diferenciada de outras coisas de
maneira qualitativa e também pode ser mensurado de maneira quantitativa.
De maneira simplificada, podemos assumir que uma grandeza física é algum “conceito” que utilizamos para
entender e medir a natureza!
Existem vários exemplos de grandezas físicas, dentre elas, o tempo, o volume, a corrente elétrica, dentre
muitos outros. Para compreender melhor esse conceito, podemos comparar as grandezas massa e comprimento.
Veja bem, é claramente possível diferenciar qualitativamente os dois exemplos citados: o primeiro tem a ver
com a quantidade de matéria que um corpo possui, enquanto o segundo refere-se a sua extensão em uma
determinada dimensão.
Imagine que peguemos uma barra de algum tipo de material e efetuamos a medição dessas duas grandezas.
Poderíamos por exemplo obter os valores:
Nesse caso, denotamos o comprimento pelo símbolo C e a massa de m. Como vimos em aulas passadas, o
valor 1,5 aparece com o objetivo de quantificar tais grandezas, porém, como tratam-se de grandezas diferentes,
mesmo sendo quantificadas pelo mesmo número nesse caso, note que esses valores têm significados diferentes uma
vez que são medidos de maneiras distintas (unidade de medida!)
Uma ideia inicial sobre função
As grandezas físicas são diferenciáveis entre si, entretanto, isso não significa que elas necessariamente não
têm relação, umas com as outras, e é justamente desse envolvimento que nasce a ideia de função.
Vamos exemplificar isso com o caso de um carrinho de controle remoto que se move com velocidade
constante. Como ele está em movimento, conforme o tempo passa, a posição desse carrinho com relação a trajetória
na qual ele se encontra está variando.
Note então que nesse caso, como a velocidade do carrinho é diferente
de zero, conforme o tempo varia, a posição também, logo, existe uma relação
entre eles.
Nesse caso dizemos que a posição do carro é uma função do tempo, e,
sendo assim existe a possibilidade de escrever uma “lei” matemática que
demonstra a sua relação.
O que queremos mostrar com isso é que em alguns casos é possível identificar de maneira mais fácil a ideia de
proporcionalidade envolvendo duas grandezas físicas, como é o caso do exemplo do movimento onde a velocidade é
constante. Veja a tabela a seguir:
Nessa tabela, mostramos a você um caso de um carrinho que se move com velocidade constante. Note que ela
indica a posição do carrinho para determinados instantes de tempo referentes ao seu movimento.
Como ele tem velocidade constante, esse carro percorre
distâncias iguais em tempos iguais. Note também que existe um
dado faltando nessa tabela, entretanto, sabendo a definição
apresentada por esse parágrafo é intuitivo perceber que, como
a posição desse corpo, variou em 2 metros, da primeira para a
segunda linha, podemos também perceber que tal variação
aconteceu em um intervalo de tempo de um segundo, logo,
como a velocidade é constante, é possível afirmar que, para esse
caso, o carrinho percorre 2 metros a cada um segundo.
Já que da segunda para a terceira linha o intervalo de
tempo decorrido foi de 1 segundo, o espaço percorrido será de
2 metros, portanto o valor que completa a tabela é 5 metros
(3m + 2m linha anterior + variação da posição).
Descobrir o termo que estava faltando só foi possível pois, nesse caso, o espaço e a posição são grandezas
proporcionais!
Grandezas diretamente proporcionais
Considere duas grandezas A e B. A será diretamente proporcional a grandeza B somente quando as razões
entre os valores A e os correspondentes valores de B forem iguais. Sendo assim, quando A = (a1, a2, a3, …) e B = (b1, b2,
b3, …) forem grandezas diretamente proporcionais, temos:
Onde k é a constante da proporcionalidade.
Exemplo
As grandezas tempo de vazão da água e volume de água no balde são grandezas diretamente proporcionais,
pois quanto maior o tempo de vazão da água, maior o volume de água no balde.
É possível colocar essas relações explicitadas em um gráfico:
Note que o gráfico tem forma de reta, indicando uma relação de direta proporcionalidade entre as grandezas
indicadas, ou seja, a grandeza coloca neste gráfico no eixo Y varia proporcionalmente a grandeza colocada no eixo X.
Grandezas inversamente proporcionais
Considere duas grandezas A e B. A será inversamente proporcional a grandeza B somente quando os produtos
entre os valores A e os correspondentes de B forem iguais. Sendo assim, quando A = (a1, a2, a3, …) e B = (b1, b2, b3,
…) forem grandezas inversamente proporcionais, temos:
Onde k é a constante de proporcionalidade.
Exemplo
Uma ou mais torneira enchendo um balde:
Note que agora, conforme aumentamos o número de torneiras, o tempo necessário para encher o balde
diminui, indicando uma proporcionalidade inversa.
Exercícios de Sala
1. (Unicamp) Para repor o teor de sódio no corpo humano, o indivíduo deve ingerir aproximadamente 500 mg de sódio por
dia. Considere que determinado refrigerante de 350 mL contém 35 mg de sódio. Ingerindo-se 1.500 mL desse refrigerante
em um dia, qual é a porcentagem de sódio consumida em relação às necessidades diárias?
a) 45%.
b) 60%.
c) 15%.
d) 30%.
2. (Enem) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula,
recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas.
Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de
a) 12 kg.
b) 16 kg.
c) 24 kg.
d) 36 kg.
e) 75 kg.
3. (Unicamp) O corpo humano é composto majoritariamente por água, cuja porcentagem, em massa, pode variar entre
80%, quando se nasce, e 50%, quando se morre, ou seja, perde-se água enquanto se envelhece. Considere que, aos 3 anos
de idade, 75% do corpo humano é água, e que todo o oxigênio do corpo humano seja o da água aí presente. Nesse caso,
pode-se afirmar que a proporção em massa de oxigênio no corpo é de aproximadamente
3
a)
4
2
b)
3
1
c)
2
3
d)
5
4. (Unesp) Os professores de matemática e educação física de uma escola organizaram um campeonato de damas entre os
alunos.
Pelas regras do campeonato, cada colocação admitia apenas um ocupante. Para premiar os três primeiros colocados, a
direção da escola comprou 310 chocolates, que foram divididos entre os 1.º, 2.º e 3.º colocados no campeonato, em
quantidades inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5, respectivamente. As quantidades de chocolates recebidas
pelos alunos premiados, em ordem crescente de colocação no campeonato, foram:
a) 155, 93 e 62.
b) 155, 95 e 60.
c) 150, 100 e 60.
d) 150, 103 e 57.
e) 150, 105 e 55.
Estudo Orientado:
http://educacao.globo.com/fisica/assunto/mecanica/grandezas-escalares-e-vetoriais.html
YouTube - Física - Vetores - Grandezas Escalares / Vetoriais
(https://www.youtube.com/watch?v=98sMzk4rzR0)
Tarefa Mínima
1. (Fgv) Em uma escola, a razão entre o número de alunos e o de professores é de 50 para 1. Se houvesse mais 400 alunos
e mais 16 professores, a razão entre o número de alunos e o de professores seria de 40 para 1.
Podemos concluir que o número de alunos da escola é:
a) 1000
b) 1050
c) 1100
d) 1150
e) 1200
2. (Enem) Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo
utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de
7
óleo poderão contaminar 10 milhões (10 ) de litros de água potável.
Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555), National Geographic (ed. 93) e Nova
Escola (ed. 208) (adaptado).
Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através dos encanamentos e consomem 1 000
litros de óleo em frituras por semana.
Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade?
2
a) 10
3
b) 10
4
c) 10
5
d) 10
9
e) 10
3. (Unesp) Um químico, ao desenvolver um perfume, decidiu incluir entre os componentes um aroma de frutas com
–4
concentração máxima de 10 mol/L. Ele dispõe de um frasco da substância aromatizante, em solução hidroalcoólica, com
concentração de 0,01 mol/L.
Para a preparação de uma amostra de 0,50 L do novo perfume, contendo o aroma de frutas na concentração desejada, qual
o volume em mL da solução hidroalcoólica que o químico deverá utilizar?
-1
4. (Ufrgs) A dose adequada de paracetamol para uma criança com febre é de 12 mg.kg . Sabendo que o paracetamol de
-1
uso pediátrico tem concentração de 200 mg mL e que 20 gotas perfazem 1 mL, quantas gotas um pediatra receitaria para
uma criança que pesa 30 kg?
5. (Enem) A varfarina é um fármaco que diminui a agregação plaquetária, e por isso é utilizada como anticoagulante, desde
que esteja presente no plasma, com uma concentração superior a 1,0 mg/L. Entretanto, concentrações plasmáticas
superiores a 4,0 mg/L podem desencadear hemorragias. As moléculas desse fármaco ficam retidas no espaço intravascular
e dissolvidas exclusivamente no plasma, que representa aproximadamente 60% do sangue em volume. Em um
medicamento, a varfarina é administrada por via intravenosa na forma de solução aquosa, com concentração de 3,0
mg/mL. Um indivíduo adulto, com volume sanguíneo total de 5,0 L, será submetido a um tratamento com solução injetável
desse medicamento.
Qual é o máximo volume da solução do medicamento que pode ser administrado a esse indivíduo, pela via intravenosa, de
maneira que não ocorram hemorragias causadas pelo anticoagulante?
a) 1,0 mL
b) 1,7 mL
c) 2,7 mL
d) 4,0 mL
e) 6,7 mL
Gabarito
Resposta da questão 1:
[E]
Sejam a e p, respectivamente, o número de
alunos e de professores.
Então,
a 50

a  50p
a  50p
p
1
 50p  400 40  5p  40 4


a  400 40

p  16
1
p  16
1
p  16
1

a  50p
5p  40  4p  64

Resposta da questão 2:
[E]
10L(óleo) ---------107L (litros de água)
103 L ---------------x L (litros de água)
10x = 1010  x = 109 L
Resposta da questão 3:
5 mL
Resposta da questão 4:
36 gotas
Resposta da questão 5:
[D]
a  1200
p  24
.