Apostila de Álgebra - A Magia da Matemática

Ilydio Pereira de Sá
Geraldo Lins
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
2
MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO
1ª PARTE: SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES
PARTE I - PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA)
1) INTRODUÇÃO
Observe as seguintes situações, tiradas de situações do cotidiano ou de diversos ramos da
própria matemática:
1. Vinícius tem, guardados em seu cofrinho, 350 reais. Resolveu, a partir desse
momento, fazer uma poupança de forma que colocaria no cofrinho um real no
primeiro dia, dois no segundo, três no terceiro...e assim sucessivamente, até
o 30º dia. Quanto ele terá em seu cofrinho, passados os 30 dias?
2. A população de uma cidade cresce 2% a cada ano. Se em 1990 a população
era de 25 000 habitantes, quantos serão os habitantes dessa cidade, em
2007, mantida a mesma taxa de crescimento anual?
3. Observe a seqüência abaixo:
.
.
.
.
. .
. .
. . .
. .
. . .
. . . .
1
3
6
10
Esses números são chamados de números triangulares (veja a disposição e a
quantidade de pontos de cada termo). Qual será o décimo termo dessa seqüência?
Problemas como os que apresentamos acima, que envolvem seqüências especiais,
serão facilmente resolvidos com as técnicas que estudaremos no capítulo das
progressões aritméticas e das progressões geométricas.
Quando escrevemos qualquer quantidade de números, um após o outro, temos o que
chamamos de seqüências. As seqüências são, freqüentemente, resultado da observação de
um determinado fato ou fenômeno.
Imagine, por exemplo, que uma pessoa acompanhasse a variação do dólar (compra) nos
primeiros dez dias (úteis) do mês de abril de 2003. Vejamos o resultado de sua pesquisa na
tabela a seguir:
Dia útil
Dólar
(Compra)
(Abril de 2003)
1
2
3
4
5
R$ 3,335
R$ 3,278
R$ 3,255
R$ 3,246
R$ 3,171
Dia útil
Dólar
(Abril de 2003) (Compra)
6
7
8
9
10
R$ 3,164
R$ 3,184
R$ 3,214
R$ 3,213
R$ 3,181
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Verifique que os valores listados, que possuem uma certa ordenação, constituem uma
seqüência. Convenciona-se designar por uma letra minúscula qualquer (normalmente a) a
qualquer um dos termos de uma seqüência, usando como índice um número que denota a
posição do termo na seqüência. Assim, a notação a1 representa o primeiro termo da
seqüência, que no nosso exemplo do dólar é o valor 3,335. A notação a10 representa o
décimo termo e assim sucessivamente.
Quando desejamos falar sobre um termo qualquer de uma seqüência, escrevemos
an.
Você pode usar as seqüências para registrar diversas observações, como a produção de
uma fábrica em cada mês, o número de telefonemas que você dá por dia, a taxa de
inflação mensal etc. No exemplo que mostramos, da variação do dólar, não teríamos como
saber, por exemplo, a sua cotação no dia 15, ou no dia 20, já que a seqüência é variável e
depende de diversos fatores não previsíveis.
Em nosso curso vamos estudar umas seqüências muito especiais. Por sua regularidade,
conhecendo alguns termos, podemos calcular qualquer outro. A primeira delas chama-se
Progressão Aritmética. Uma progressão aritmética é uma seqüência na qual, dado um
primeiro termo, obtemos todos os outros acrescentando sempre a mesma quantidade. Por
exemplo, vamos partir do número 7 e acrescentar 3, diversas vezes:
7
10
13
16
19
22 ...
+3 +3
+3
+3
+3
O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte chama-se razão (R).
Portanto, nesse exemplo, temos: a1 = 7 e R = 3.
Veja agora outros exemplos de progressões aritméticas e suas classificações:
3, 7, 11, 15, 19, 23 ...
Temos R = 4. Uma progressão crescente.
9, 7, 5, 3, 1, - 1, - 3, - 5, ...
Temos R = - 2. Uma progressão decrescente.
4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...
Temos R = 0.
… uma progressão estacionária.
Você já deve ter percebido que é muito fácil sabermos o valor da razão de uma progressão
aritmética. Como a razão é a quantidade que acrescentamos a cada termo para obter o
seguinte, podemos dizer que: A razão de uma progressão aritmética é a diferença entre
qualquer termo e o anterior, a partir do segundo termo.
Assim, retomando os três últimos exemplos, temos:
na 1a. progressão:
R=7 -3=4
R = 11 -7 = 4
R = 15 - 11 = 4 etc.
na 2a. progressão:
R=7-9=-2
R = 5 - 7 = - 2 etc.
na 3a. progressão:
R=4-4=0
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2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A
Passemos então a generalizar o que vimos nos exemplos. Considere a seguinte progressão
aritmética (de agora em diante representada por PA) de razão R:
a1
a2
a3
a4
a5 a6 .... an
+R + R + R + R + R + R ....
Suponha que você conhece o primeiro termo (a1), e a razão (R). Como faremos para
calcular qualquer outro termo? Observe as igualdades:
a2 = a1+ R
a3 = a1 + 2R
a4 = a1 + 3R
a5 = a1+ 4R
...................
a10 = a1 + 9R
Vemos então que, para calcular um termo qualquer (an) é preciso somar ao 1º termo, (n -1)
vezes a razão, ou seja:
Fórmula do termo geral:
an = a1 + (n - 1).R
Para entender bem o que estamos fazendo, imagine que você está no 1º degrau de uma
escada e deseja chegar ao 10º. Quantos degraus deve subir? É claro que são 9.
Se você está no 1º degrau e deseja chegar ao 25º, quantos deve subir? Deve subir 24,
lógico. Então, para chegar ao degrau número n, devemos subir (n -1) degraus.
Observe a aplicação dessa fórmula nos exemplos seguintes.
EXEMPLO 1: Qual é o trigésimo (30º) termo da progressão aritmética: 10, 17, 24, 31, 38, ...?
Solução: A razão da progressão é R = 17 -10 = 7 e o primeiro termo é a1 = 10. Desejamos
calcular o trigésimo termo, ou seja, a30.
A partir da fórmula do termo geral: an = a1 + (n - 1)R
Substituindo a letra n por 30, obtemos:
a30 = a1 + 29.R
Daí, a30 = 10 + 29 . 7
a30 = 213
Portanto, o trigésimo termo da progressão dada é 213.
EXEMPLO 2: Um aluno escreveu todos os números ímpares desde 17 até 63. Quantos
números ele escreveu?
Solução: A progressão desse exemplo é a seguinte:
17, 19, 21, 23, ..., 63.
O primeiro termo é 17, o último termo é 63 e a razão é 2. Escrevemos então:
a1 = 17
an = 63
R=2
Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, calcularemos n que é o número de
termos da progressão:
an = a1 + (n - 1).R
63 = 17 + (n - 1). 2
63 - 17 = 2n - 2
46 = 2n - 2
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5
48 = 2n
n = 24
A progressão tem, portanto, 24 termos.
EXEMPLO 3: Escreva a P.A obtida, quando inserimos 5 números entre 1 e 25?
Nesse caso, estamos querendo formar uma P.A, com sete termos, sendo que os extremos
são os números 1 e 25. Esse tipo de problema é o que chamamos de INTERPOLAÇÃO
ARITMÉTICA. É claro que o que falta obter é a razão desta P.A.
(1, __, __, __, __, __, 25).
an = a1 + (n - 1).R ou
a7 = a1 + 6. R ou 25 = 1 + 6.R ou ainda 24 = 6. R, o que acarreta R = 4. Logo, a P.A
procurada é: ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)
EXEMPLO 4:
Em janeiro, de certo ano, Lídia estava ganhando R$ 270,00 por mês. Seu patrão prometeu
aumentar seu salário em R$ 8,00 todos os meses. Quanto Lídia estará ganhando em
dezembro do ano seguinte?
Solução: Se o salário de Lídia aumenta R$ 8,00 todos os meses, então a seqüência dos
salários é uma progressão aritmética de razão igual a 8.
Vamos Montar uma tabela, para melhor entender a situação:
janeiro _ a1 = 270,00
fevereiro _ a2 = 278,00
............................................
............................................
dezembro _ a12 =
janeiro _ a13 =
............................................
............................................
dezembro _ a24 = ?
Logo, o que queremos é o valor do 24º termo dessa P.A. Usando a fórmula do termo
geral, teremos:
a24 = a1 + 23.R
a24 = 270 + 23.8
a24 = 270 + 184
a24 = 454
Portanto, com esses pequenos aumentos mensais, Lídia estará ganhando, em
dezembro do ano seguinte, R$ 454,00.
"Há grandes homens que fazem com que todos se sintam pequenos. Mas o
verdadeiro grande homem é aquele que faz com que todos se sintam grandes."
(Gilbert Keith Chesterton, escritor inglês)
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3) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
A) Propriedade Fundamental de uma P. A
Sempre que tivermos três termos consecutivos de uma P. A, o termo do meio será igual à
média aritmética dos outros dois.
Assim, se os termos: x, y, z, forem consecutivos de uma P.A, teremos que
y=
x+z
. Essa
2
propriedade decorre da própria definição da P.A, onde as diferenças entre dois termos
consecutivos devem ser iguais.
De fato, se y – x = z – y , isso acarretará que 2y = x + z ou
y=
x+z
.
2
EXEMPLO 5: Sabendo-se que ( 2x, 4x – 10, 4x , ...) são os três primeiros termos de uma
P.A, obtenha:
a) o valor de x
b) o valor da razão da P. A
c) o valor do 25º termo dessa mesma P. A
Solução:
De acordo com a propriedade apresentada, como são três termos consecutivos da P. A,
teremos:
4x - 10 =
2x + 4x
= 3x . Logo, teremos x = 10. (pergunta a).
2
b) Se x = 10, então os três primeiros termos da P.A serão (20, 30, 40) e fica fácil perceber
que a razão é igual a 10.
c) a25 = a1 + 24. R, logo, a25 = 20 + 24. 10 = 20 + 240 = 260.
B) Propriedade dos Termos Eqüidistantes.
Numa P.A finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos
extremos.
Exemplo:
9 + 11 = 7 + 13 = 5 + 15 = 3 + 17 = 20
Poderemos fazer a demonstração para o caso geral: (a1, a2, a3... ap, ... aq,.......... an)
__ p termos__
__ p termos__
Verifique que entre o primeiro termo e o termo ap existem p termos e entre o termo aq o
termo an também existem p termos. Por isso esses termos são denominados de
eqüidistantes dos extremos. Temos que provar que a soma desses dois termos (ap + aq ) é
igual à soma dos dois extremos da P.A (a1+ an).
De fato, ap = a1+ (p – 1).r e an= aq + (p – 1).r ...logo:
ap – an= a1+ (p – 1).r – (aq + (p – 1).r) = a1+ pr – r – aq – pr + r
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ap – an= a1 – aq ou então ap + aq= a1 + an o que demonstra a nossa propriedade.
C) O Gráfico de uma P.A
Podemos visualizar os termos de uma progressão aritmética por meio de um gráfico como
este:
Os valores dos termos são representados pelas barras verticais que formam o desenho de
uma escada. Nessa escada, a altura de cada degrau é a razão da progressão aritmética.
D) Uma outra fórmula (Recorrência)
Imagine que você se encontra no 3º andar de uma escada e que deseja atingir o 9º andar.
Quantos andares você terá de subir? É claro que a resposta é 6 andares. Isso, em
linguagem matemática pode ser representado por: a9 = a3 + 6 . R.
De modo geral, se estamos no degrau de número n e desejamos chegar ao degrau de
número m, devemos subir (m – n) degraus. No caso da P. A, teremos uma outra maneira
mais geral de escrever a fórmula, relacionando dois termos quaisquer e não
obrigatoriamente como primeiro termos. Ë a seguinte fórmula: am = an + (m – n) . R.
Exemplo 6:
A mesada de Luciana aumenta todos os anos de um valor constante de reais, combinado
com o seu pai. Sabemos que no 5º ano após o acordo, a mesada estava em R$ 80,00 e que
no 8º ano estava em R$ 110,00. Qual era o valor da mesada de Luciana no início desse
acordo?
Solução: Pelo que vimos na fórmula anterior, poderemos relacionar diretamente os valores
do 8º e do 5º ano de mesada.
a8 = a5 + 3 . R
Substituindo os valores conhecidos, temos:
110 = 80 + 3R, logo, teremos que 3. R = 30 ou R= 10.
Podemos agora, relacionar um desses termos (o 5º ou o 8º) com o primeiro e determinar o
valor da mesada de Luciana no início do acordo (no primeiro ano de acordo)
a5 = a1 + 4 . R ou 80 = a1 + 4.10 ou a1 = 40.
Resposta: No início (e durante todo o primeiro ano) a mesada de Luciana era de R$ 40,00.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 1)
1) Uma criança está brincando com palitos de fósforo. Observe o que ela está fazendo.
Se ela continuar construindo seguindo o mesmo critério usado até agora, quantos
quadrados ela terá construído com 250 palitos?
2) Achar três números em P. A e tais que a soma do primeiro com o terceiro seja 12 e o
produto do primeiro pelo segundo seja 24.
3) Um corpo em queda livre, partindo do repouso, cai 16 m durante o primeiro segundo, 48
m durante o segundo, 80 m durante o terceiro, etc. Calcular a distância que cai no
15o.segundo.
4) O perímetro de um triângulo retângulo é 60 m e os seus lados formam uma P. A.
Determine a área desse triângulo.
5) Qual o primeiro termo de uma P.A, de 49 termos, se o último termo vale 28 e a sua
razão é igual a ½?
6) Quantos números inteiros existem, entre 84 e 719, e que são múltiplos de 5?
7) Quantos números inteiros existem, de 13 até 902, e que NÃO são múltiplos de 3?
8) Qual a razão da P.A obtida quando inserimos 4 termos(meios aritméticos) entre 9 e 24?
9) (UNESP) Duas pequenas fábricas de calçados A e B têm fabricado, respectivamente,
3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar
sucessivamente a sua produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar
sucessivamente a sua produção em 290 pares por mês, a partir de que mês a produção
da fábrica B vai superar a produção da fábrica A?
10) Escreva uma P.A (crescente), de três termos, sabendo que a soma desses termos vale
12 e que a soma de seus quadrados vale 80.
11) Os 3 termos de uma seqüência são proporcionais aos números 3, 5 e 9. Somando 4 ao
termo do meio, a nova seqüência formada é uma P.A. Determine a seqüência inicial.
1 5 3 7
, , , ...) . Determine seus três próximos termos.
2 8 4 8
12) Considere a seqüência ( ,
13) Seja uma P.A de 7 termos e razão igual a R. Se retirarmos o segundo, o terceiro, o
quinto e o sexto termos, teremos uma outra P.A, de razão ...
14) Em uma P.A o primeiro termo é igual a 0,402 e o segundo termo é igual a 0,502. Qual o
valor do décimo termo dessa progressão?
15) Quantos termos possui uma P.A cujo primeiro termo é igual a 10x – 9y, o último é igual a
y e a razão é igual a y – x (sendo y x)?
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4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
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O texto anterior, extraído da revista Galileu Especial (Eureca), de abril de 2003, nos
mostra de uma forma simples como que o matemático alemão, Gauss, ainda criança,
conseguiu de forma genial uma prova para a soma dos termos de uma P.A. É claro que o
que está na reportagem não é uma demonstração rigorosa, nem genérica, mas, com auxílio
das propriedades que estudamos anteriormente, podemos aproveitar a idéia de Gauss e
deduzirmos tal fórmula. Vejamos:
Consideremos a soma S, de todos os termos de uma P.A (finita, é claro).
S = a1 + a2 + a3 + ........ + an
2
+ an 1 + an
É claro que tal soma não modificará, como fez Gauss, se a escrevermos em outra ordem.
Vamos escrever a mesma soma, de trás para frente:
S = an + an
1
+ an
2
+ ........ + a3 + a2 + a1
Se somarmos essas duas expressões, teremos:
2S = (a1 +an ) + (a2 + an 1 ) + (a3 + an
2
) + ........ + (an + a1 )
Já vimos anteriormente que todas essas somas, de termos eqüidistantes dos extremos, são
iguais à soma dos próprios extremos. Logo, a segunda parte da expressão obtida pode ser
substituída
por
(a1 +an ) + (a1 +an ) + (a1 +an ) + ..... (an + a1 ) = n . (a1+an )
Logo, chegamos finalmente a,
S=
(a1 + an ) . n
2
que é a fórmula clássica para obtermos
a soma dos termos de uma progressão aritmética.
UMA CURIOSIDADE... (adaptado de Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)
Podemos visualizar o que está ocorrendo durante a soma dos termos de uma P.A
associando à uma progressão aritmética a idéia de uma “escada”. Vejamos essa situação
para uma P.A de sete termos.
Estamos querendo calcular a soma dos comprimentos de todos esses degraus. Vamos usar
do mesmo artifício usado pelo nosso brilhante Gauss.
Imaginemos duas dessas “escadas” (uma delas invertida) e acopladas.
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Observando a figura, constatamos algo que já sabíamos – que as somas a1 + a7 , a2 + a6 ,
a3 + a5 , ... são todas iguais. Logo, podemos somar da seguinte forma:
Dessa forma, temos 2S = (a1 + a 7 ) . 7 ou S =
(a1 + a 7 ) . 7
2
Acredito que a “visualização” acima mostrada, bem como a história de Gauss (Revista
Galileu Especial) facilitarão que você se lembre de como proceder para somar todos os
termos de uma progressão aritmética.
Exemplo 7: Qual a soma dos 50 primeiros termos de uma P.A na qual a6 + a45 = 160?
Solução: Pela fórmula que acabamos de deduzir, sabemos que a soma dos 50 primeiros
(a1 + a50 ) . 50
mas, como sabemos que a1 + a50 = a6
2
(160) . 50
= 4000
+ a45 = 160, teremos então: S =
2
termos de uma P.A. é dada por: S =
Exemplo 8: Ao se efetuar a soma de 50 parcelas em progressão aritmética, 202 + 206 +
210 + ..., por distração não foi somada a 35ª parcela. Qual a soma que foi encontrada, por
engano?
Solução: Observamos que a razão da P.A é igual a 4 e que o primeiro termo é 202. Logo, já
podemos obter os valores da 35ª e da 50ª parcelas, necessárias à solução do problema.
Cálculo da 35ª parcela a35 = a1 + 34 . R = 202 + 34 . 4 = 338 (que terá de ser descontada do
total, já que ela foi “esquecida”).
Cálculo da 50ª parcela a50 = a1 + 49 . R = 202 + 49 . 4 = 398
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Soma das 50 parcelas = S =
12
(202 + 398) . 50
(a1 + a50 ) . 50
= 15000
=
2
2
Soma que foi encontrada, com a falta da 35ª parcela = 15 000 – 338 = 14 662
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E CALCULADORAS
(De: Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)
Hoje em dia, todos nós usamos uma máquina simples
para facilitar nossos cálculos: a máquina de calcular.
Além de realizar as quatro operações (soma,
subtração, multiplicação e divisão), a máquina calcula
raiz quadrada e tem memória. Vamos ver uma forma
interessante e simples de usar a calculadora para
facilitar o trabalho com progressões aritméticas.
Como exemplo, vamos considerar a progressão aritmética de razão R = 7, começando em
a1 = 9. Para visualizar quantos termos você quiser, digite:
A primeira vez que você acionar a tecla = a máquina vai mostrar o termo 16 (segundo termo
da P.A). Nas outras vezes que você acionar a tecla =, sucessivamente, o visor da máquina
mostrará: 23, 30, 37, 44, ...até o termo que você desejar.
A máquina de calcular também soma os termos de uma progressão aritmética. Se não
forem muitos os termos que precisamos somar, o uso da calculadora é bastante eficiente.
Vamos mostrar, como exemplo, como obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PA, cujo
primeiro termo é 15,86 e cuja razão é 0,17.
Para obter os 5 termos, procedemos como no exemplo anterior. Devemos apenas, após
cada termo que aparecer no visor, apertar a tecla M+ . Isto faz com que os termos da
progressão sejam acumulados na memória da calculadora.
Depois que você apertar pela quinta vez a tecla M+ , aperte a tecla MR e a soma dos 5
termos da progressão aparecer· no visor.
O esquema da operação que vamos fazer é o seguinte:
Iniciando por 15,86 e usando a razão 0,17, você irá obter o valor 81 para soma dos 5
primeiros termos da progressão.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 2)
1) Calcule a soma de todos os números naturais ímpares de dois algarismos.
2) Em uma casa de campo existem, ao longo da cerca, uma torneira e 18 roseiras. A
torneira está a 15 m da primeira roseira e o espaço entre as roseiras é de 1 m.
O jardineiro tem apenas um balde. Ele enche o balde na torneira, rega a primeira roseira,
volta para encher o balde, rega a segunda roseira, e assim por diante. Após regar a
décima oitava (18ª) roseira ele retorna para deixar o balde junto à torneira. Qual foi a
distância total percorrida pelo jardineiro?
3) Sendo x um número real, não nulo, calcule o valor da expressão:
x
53
.x
50
.x
47
.x
44
.....x 7
4) Calcular a soma de todos os termos de uma P.A cujo primeiro termo é 4, o último
termo é 46 e a razão é igual ao número de termos.
5) Obtenha a soma dos termos de uma P.A crescente, cujos dois primeiros termos são
2
as raízes da equação x – 10x + 24 = 0. O número de termos dessa progressão é o
dobro do valor do segundo termo.
6) Um ciclista percorre 20 km na primeira hora de prova, em seguida percorre 17 km na
segunda hora (ou seja, 37 km em 2 horas) e prossegue sempre dessa forma,
percorrendo 3 km a menos nas próximas horas de percurso. Quanto tempo ele levou
para percorrer um total de 77 km?
7) Obtenha a razão de uma P.A de 11 termos, cuja soma dos termos é 176. Sabemos
que esta razão é positiva e que a diferença entre os dois termos extremos é igual a
30.
8) Colocando-se 1540 estudantes em fila, com 1 estudante na primeira fila, 2
estudantes na segunda, 3 estudantes na terceira e assim sucessivamente, formamos
um triângulo. Quantas filas tem essa formatura?
9) (UFRJ) Um painel contêm lâmpadas vermelhas e azuis. No instante inicial (t0 = 0)
acendem-se, simultaneamente, uma lâmpada vermelha e 43 azuis. A partir daí, de 2
em 2 segundos, acendem-se as lâmpadas vermelhas e apagam-se as azuis. O
número de lâmpadas vermelhas acesas cresce em progressão aritmética de razão
igual a 4 e o de azuis decresce em progressão aritmética de razão –3. Em
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14
determinado instante teremos a mesma quantidade de lâmpadas vermelhas e azuis
acesas. Quantas lâmpadas de cada cor estarão acesas nesse momento?
10) Para escrever seus contos um escritor procede da seguinte maneira: escreve no
primeiro dia de trabalho 20 linhas, e nos dias seguintes, escreve o número de linhas
do dia anterior, acrescido de 5 linhas. Seu último conto tem 17 páginas, e em cada
página 25 linhas. Calcule em quantos dias esse conto foi escrito.
GABARITOS
SÉRIE 1
01) 83
02) 4, 6, 8
06) 127
07) 594
11) 12, 20, 36 12) 1, 9/8, 5/4
03) 464 m
08) 3
13) 3R
2
04) 150 m
09) outubro
14) 1,302
05) 180
10) (0, 4, 8)
15) 11
04) 175
09) 25
05) 180
10) 10
SÉRIE 2
01) 2475
06) 7 h
02) 846 m
07) R = 3
-483
03) x
08) 55
"Nós geralmente descobrimos o que fazer percebendo aquilo que não devemos fazer.
E, provavelmente, aquele que nunca cometeu um erro nunca fez uma descoberta."
(Samuel Smiles)
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
15
MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO – PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ
SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES
PARTE II - PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G)
1) INTRODUÇÃO
Consideremos agora a seguinte situação: uma mercadoria, que em 1990 custava 100 reais,
teve seu preço reajustado nos 4 anos seguintes, sob taxa de 10% ao ano, sobre o preço do
ano anterior. Vejamos uma tabela representativa desses preços:
Ano
Preço (R$)
1990
1991
1992
1993
1994
100,00
110,00
121,00
133,10
146,41
Se você pegar sua calculadora e dividir os valores de dois termos consecutivos dessa
seqüência, vai observar agora que os quocientes dessas divisões serão todos iguais.
Vejamos:
110 : 100 = 1,10
121 : 110 = 1,10 133,10 : 121 = 1,10 146,41 : 133,10 = 1,10
Se lembrarmos que o número decimal 1,10 corresponde a 110/100 ou 110%, constataremos
que cada preço está sendo reajustado em 10% sobre o preço do ano anterior.
Esse tipo de seqüências, onde cada termo (a partir do segundo) é obtido através da
multiplicação do termo anterior por um fator fixo, denominado razão (q), é o que chamamos
de Progressão Geométrica (PG) e que estudaremos nesse capítulo.
Valem para as progressões geométricas as mesmas notações e convenções que usamos
para as progressões aritméticas: a1 para o primeiro termo; an para o termo geral...etc. A
única diferença de notação que usaremos é que, neste caso, denotaremos a razão por q e
não R, como fizemos anteriormente, pois a razão agora é obtida pela divisão de dois termos
consecutivos da seqüência, e, você sabe que o resultado de uma divisão é denominado
quociente.
Vejamos um exemplo inicial, para fixarmos o que já mostramos. Imagine uma progressão
geométrica, de razão igual a 2, começando no número 3.
x
Perceba que, se fosse uma progressão aritmética, de razão igual a 2, começando no três, o
crescimento seria bem mais lento: 3
5
7
9
11 13 15 17
21
...
+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2
+2
Você pode perceber, claramente, a mensagem que existe em frases do tipo: “A produção
de alimentos cresce em progressão aritmética, enquanto a população mundial cresce
em progressão geométrica”.
Podemos então resumir que uma P.G é uma seqüência onde cada termo, a partir do
segundo, é obtido pelo produto do termo anterior por um fator fixo, denominado razão.
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Podemos ainda afirmar que: A razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo anterior.
Em nosso estudo, por motivos práticos, nos deteremos nas progressões geométricas de
razões positivas (que é o que ocorre na grande maioria dos exemplos práticos) e, podemos
usar a seguinte classificação para as P.G.
Ou seja, se a razão é superior a 1, a progressão geométrica é crescente, se a razão é
inferior a 1 (e positiva, como já combinamos), a progressão geométrica é decrescente e se
a razão é igual a 1, a progressão é dita estacionária.
OBS: É claro que existem progressões geométricas, normalmente teóricas, cuja razão
é negativa. Essas progressões, pelo fato de ter razão negativa, terão seus termos
variando de sinal e são ditas oscilantes.
2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G
Vamos usar um raciocínio semelhante ao que vimos para as progressões aritméticas.
Podemos, dessa forma, inferir que a fórmula para o cálculo de um termo qualquer de uma
P.G é:
( n 1)
n
1
FATO CURIOSO: Se você comparar as definições dos dois tipos de progressões que
estamos estudando (aritméticas e geométricas), observará que o que na P.A é uma soma,
na P.G se transforma em uma multiplicação. O que na P.A é uma multiplicação (ou soma de
a = a .q
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17
parcelas iguais), na P.G é uma potenciação (ou multiplicação de fatores iguais). Se lembrar
também que a razão da P.A é indicada por R, enquanto que a da P.G é indicada por q, terá
um poderoso artifício para transformar as propriedades e fórmulas obtidas para a P.A, para
as propriedades e fórmulas da P.G.
Comparemos as fórmulas dos termos gerais, da P.A e da P.G:
P.A
an = a1 + R. (n - 1)
P.G
a n = a 1.q( n
1)
Verifique, a fórmula da P.A se transforma na da P.G,
bastando substituir a soma por produto, a razão R, por q e
o produto por uma potência.
Mas, mesmo sabendo essas fórmulas, é muito mais importante do que elas saber que,
como numa escada, quantos “saltos” devemos dar para ir de um termo ao outro. Somando
sempre um valor fixo, no caso da P.A e multiplicando sempre um valor fixo, no caso da P.G.
Cabe ainda ressaltar que, a fórmula da P.G pode ser escrita a partir de um termo inicial que
denotaremos por a0 o que se mostrará bastante vantajoso em diversos exemplos práticos
que mostraremos, como na biologia e na matemática financeira. Nesses casos, a fórmula
assumirá o seguinte aspecto:
a n = a 0 .qn
Exemplo 1: (Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)
Você poderia (e deve) resolver diretamente essa questão, lembrando que do primeiro termo,
ao décimo segundo, teríamos 11 saltos da dar e, como se trata de uma P.G, era só
multiplicar o primeiro termo pela razão elevada ao expoente 11.
Exemplo 2:
Quantos termos tem a P.G (1, 3, 9, ...2187) ?
Solução:
Verificando que a razão é igual a 3 e, usando a fórmula do termo geral, teremos:
a n = a 1.q( n
1)
(n – 1)
7
ou ainda 3
= 2187 = 3 . Esse tipo de equação que obtivemos, onde a
incógnita se encontra no expoente, chamamos de equação exponencial e, como temos uma
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18
igualdade de potências de mesma base, é claro que seus expoentes terão de ser iguais,
logo, n – 1 = 7, o que acarreta n = 8.
Exemplo 3: (Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)
Existem bactérias que se reproduzem de forma extremamente rápida. Um exemplo é a
bactéria que causa a sífilis (chamada treponema pallidum): cada uma delas se transforma
em 8 iguais, no período de 1 hora. Se uma bactéria desse tipo começa a se reproduzir,
quantas elas serão 12 horas depois, supondo que nenhuma delas tenha morrido?
Solução: A população dessas bactérias forma uma P.G.
Momento inicial a1 = 1
1 hora depois a2 = 8
2 horas depois a3 = 64
..................................
Como estamos querendo a quantidade de bactérias 12 horas depois do início, temos que
obter o 13º termo dessa progressão geométrica. Logo, aplicando a fórmula do termo geral,
teremos:
a13 = a1 . q
12
12
ou a13 = 1 . 8
= 68 719 476 736 bactérias.
Exemplo 4:
(ITA) Obtenha os valores de x e y, de modo que a seqüência seja uma P.G (2, x, y, 1458)
Solução:
Verificamos que o primeiro termo é igual a 2 e que o quarto termo da P.G é igual a 1458.
Logo, aplicando a fórmula do termo geral, teremos:
a n = a 1.q( n
1)
3
3
6
3
ou ainda 1458 = 2.q . Assim, q = 729 = 3 = 9 .
3
3
Nesse caso, temos uma equação do tipo q = 9 , o que acarretará que q = 9.
Dessa forma, podemos agora completar a progressão:
(2
18 162 1458)
x9 x9
x9
Conclusão: x = 18 e y = 162.
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CALCULADORAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
(De: Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho)
Exemplo 5:
Sr. Gastão aplicou R$ 1000,00 num investimento que valorizava o seu dinheiro 2% ao mês.
Quanto ele vai ter, 4 meses após o início da aplicação?
Solução:
Esse tipo de situação, da Matemática Comercial e Financeira, é o que denominamos
JUROS COMPOSTOS ou JUROS SOBRE JUROS formará sempre uma Progressão
Geométrica, como vimos no exemplo da introdução, a razão dessa P.G é o que
denominamos FATOR DE CORREÇÃO. Nesse exemplo, o fator de correção será igual a
1,02, pois 100% + 2% corresponde a 102% ou 1,02. Logo, teremos de calcular o resultado
4
de 1000 . (1,02) . Na calculadora basta fazer 1,02 x 1000 = = = = 1082,43.
O que vimos no exemplo acima é um dos grandes usos das progressões em nossa
vida – a Matemática do Dinheiro. As progressões geométricas podem (e devem) ser
observadas como uma seqüência de termos com taxa de variação constante (seja
para aumento ou para redução).
3) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
A) Propriedade Fundamental de uma P. G
Sempre que tivermos três termos consecutivos de uma P. G (de razão positiva), o termo do
meio será igual à média geométrica dos outros dois.
Assim, se os termos: x, y, z, forem consecutivos de uma P.G, teremos que y = x.z . Essa
propriedade decorre da própria definição da P.G, onde o resultado (quociente) das divisões
entre dois termos consecutivos devem ser iguais.
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De fato, se
20
y z
= , isso acarretará que y 2 = x.z ou ainda y = x.z .
x y
Essa propriedade poderia também ser obtida diretamente da propriedade similar da P.A,
bastando fazer as substituições das operações correspondentes.
EXEMPLO 6: Sabendo-se que ( x - 2, 2x + 1, 5x + 10 ...) são os três primeiros termos de
uma P.G crescente, obtenha:
d) o valor de x
e) o valor da razão da P. G
f) o valor do 6º termo dessa mesma P. G
Solução:
De acordo com a propriedade apresentada, como são três termos consecutivos da P. G,
teremos: 2x + 1 = ( x 2).(5 x + 10) . Dessa forma, (2x + 1) 2 = ( x 2).(5 x + 10) .
2
2
4x + 4x + 1 = 5x + 10x – 10x – 20
2
x – 4x – 21 = 0. Resolvendo essa equação, obteremos os resultados 7 e –3. Como a P.G é
crescente, logo, a resposta válida será o valor que gerar uma razão maior do que 1.
• vejamos a opção x = 7, teremos a seguinte P.G (5, 15, 45), que atende à
condição do problema.
• Vejamos agora a opção x = -3, teremos a seguinte P.G (-5, -5, -5)...que não
atende ao nosso problema.
Logo a resposta da primeira pergunta é x = 7.
b) a razão da nossa P. G é q = 3 (15 : 5)
c) o sexto termo da P.G será:
a 6 = a1.q 5 = 5.3 5 = 1215
B) Propriedade dos Termos Eqüidistantes.
Numa P.G finita, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto
dos extremos.
Exemplo:
Considere a P.G (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512)
Verifique: 1 . 512 = 2 . 256 = 4 . 128 = 8 . 64 = 16 . 32 = 512.
Você pode, mais uma vez, tirar essa propriedade diretamente da propriedade similar da P.A,
substituindo a operação de ADIÇÃO, pela de MULTIPLICAÇÃO.
C) Gráfico de uma P.G
Vamos supor, para exemplo, uma P.G cujo primeiro termo fosse igual a 1 e a razão fosse
igual a 1,5. Teríamos o seguinte tipo de gráfico:
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21
Você deve lembrar que, quando estudamos o gráfico da progressão aritmética, as
extremidades dos segmentos verticais obtidos estavam em linha reta. Agora, na progressão
geométrica, essas extremidades estão sobre uma curva, denominada curva exponencial.
4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Seja S = a1 + a 2 + a 3 + ........ + an 2 + an 1 + an
Vamos multiplicar todos os termos dessa igualdade por q. Teremos então:
q.S = a1.q + a2 .q + a3 .q + ........ + an 2 .q + an 1.q + an .q
a2
a3
a4
an – 1
an
Subtraindo a primeira expressão da segunda, teremos:
q.S – S = an . q - a1 e agora, colocando o termo S, em evidência, teremos:
S. (q – 1) = an . q - a1
S=
a n .q a1
q 1
A fórmula acima pode assumir um outro aspecto, bastando substituir o an pela respectiva
expressão do termo geral da P.G. A fórmula da soma dos termos da P.G (finita) ficará então:
( qn 1)
S = a1.
(q 1)
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Portanto, temos duas expressões distintas para o cálculo da soma dos termos de uma P.G
finita. A escolha de qual usar em cada situação problema dependerá obviamente dos
parâmetros envolvidos em cada caso.
Exemplo 7:
Obtenha a soma dos 10 primeiros termos da P.G (2, 4, 8, ...)
Solução:
Para este caso, é melhor usarmos a segunda expressão da fórmula da soma da P.G, pois
temos o primeiro termo, o número de termos que queremos somar e a razão (q = 2).
( qn 1)
S = a1.
(q 1)
=
2.
(210 1)
= 2.(1024 1) = 2046
(2 1)
OBSERVAÇÃO:
Verifique que, quando numa P.G decrescente, o número de termos cresce indefinidamente
(dizemos que n tende ao infinito), a expressão dessa soma (que tenderá a um valor limite)
ficará bastante simplificada, pois o termo an tenderá a zero.
Verifique o exemplo: (12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; 0,1875; 0.09375, ...) observe que quanto
maior o número de termos, mais se aproxima de zero o último termo considerado.
Logo, a fórmula que estudamos ficará, neste caso, transformada em:
a n .q a1
S=
q 1
substituindo an por 0, teremos então
lim S =
a1
1 q
n
Exemplo 8:
Calcular a soma dos termos da P.G (16, 8, 4, 2, 1, ....)
Solução:
Verificamos que se trata do caso da P.G com razão menor que 1 (q = ½, P.G decrescente).
Quando o número de termos tender ao infinito, o último termo tenderá a zero e poderemos
aplicar a fórmula anterior, ou seja:
lim S =
a1
16
16
=
=
= 32
1
1
1 q
1
2
2
n
Exemplo 9 (PUC):
Na figura está representado um conjunto infinito de círculos C0, C1, C2, .... Os diâmetros de
todos eles estão sobre um segmento de reta de comprimento igual a 1. Além disso, o raio de
Cn é a metade do raio de Cn – 1 . A área da região hachurada na figura é:
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23
Solução:
Pela figura, verificamos que a área hachurada é igual à diferença entre a área do maior
semicírculo (C0 ) e a soma das áreas dos demais semicírculos, a partir do C1.
1
r
a) Raio do semicírculo C0 = ½ . Área desse semicírculo =
= 4 =
2
2
8
2
.
1
16 =
2
32
1
.
r2
c) Raio do semicírculo C2 = 1/8. Área desse semicírculo =
= 64 =
2
2
128
r2
b) Raio do semicírculo C1 = ¼. Área desse semicírculo =
=
2
.
Percebemos que cada área é igual a ¼ da área anterior, logo, essas infinitas áreas formam
uma P.G decrescente, de razão igual a ¼. Podemos, mais uma vez, aplicar a fórmula do
limite da soma, quando o número de parcelas tende a infinito. Considerando como primeiro
termo a área do semicírculo C1
lim S =
a1
4
= 32 = 32 =
. =
1
3
1 q
32 3 24
1
4
4
n
Finalmente, a área hachurada pedida, será igual a:
8
24
=
12
Dificuldades reais podem ser resolvidas; apenas as imaginárias são insuperáveis."
(Theodore N. Vail)
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24
4) A MATEMÁTICA E O DINHEIRO
A) OS FATORES DE CORREÇÃO
Conforme já comentamos anteriormente, o grande uso prático das progressões geométricas
está nas seqüências de taxa de variação constante. Isso ocorre em muitas situações que
envolvem dinheiro, operações bancárias e comerciais.
Para que você resolva a maioria dessas questões que, independentemente de estarem ou
não nos concursos que realizamos – e estão – achamos fundamental enfocar com mais
detalhes os fatores de correção e a matemática do dinheiro.
Muita gente acha que a “Matemática do dinheiro” serve só para pagarmos nossas contas,
conferir trocos, coisas desse tipo. Mas não é somente isso, sabemos que o dinheiro, as
transações bancárias ou comerciais, estão cada vez mais presentes na vida de todas as
pessoas.
Se perguntarmos a uma pessoa qual o valor de 100 dólares, mais 100 marcos, mais 100
reais, ela provavelmente dirá que primeiramente precisamos converter todos esses valores
para uma mesma moeda, antes de efetuarmos a soma. Analogamente, precisamos tomar
cuidado com valores monetários no tempo. Será que 3 parcelas de 100 reais, pagas com
intervalos de 30 dias, correspondem a um único pagamento de 300 reais, numa Economia
com inflação?
Infelizmente, a maioria dos livros de matemática ignora esta fato, assim como ignoram
também a inflação. Esse tipo de erro é encontrado tanto em textos para o Ensino
Fundamental e para o Ensino Médio.
Você deve concordar comigo que, sem a Matemática, não conseguiríamos entender nossos
contracheques, calcular nossos aumentos de salário, identificar os produtos que
aumentaram demasiadamente de preço, constatar e criticar as propagandas enganosas,
reivindicar nossos direitos trabalhistas, ...
Observe a reportagem seguinte:
Fonte: Revista Veja – Edição 1755 de 12 de junho de 2002
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Nossa abordagem inicial será através de um importante “segredo” da “Matemática do
dinheiro” – os fatores de correção. Você irá constatar rapidamente que, este conceito, é a
base de quase tudo o que se estuda na Matemática Comercial e Financeira e, com o auxílio
de uma calculadora simples, você poderá entender e resolver uma grande quantidade de
problemas que estão no nosso cotidiano.
Após um estudo detalhado desses fatores de correção, voltaremos à reportagem da revista
Veja, verificando as informações nela contidas.
Nossa abordagem será feita de forma contextualizada, através de pequenas histórias que
servirão para nos apresentar e familiarizar com essa Matemática inserida nas transações
financeiras e de comércio.
História 1
O salário de Maria era, em agosto de 2001, de R$ 320,00 e, após muita luta, recebeu um
reajuste de 12% no mês de setembro de 2001. Qual o valor do salário que Maria passou a
receber a partir de setembro?
Perguntamos a dois professores nossos conhecidos como resolveriam a questão acima
proposta e, obtivemos as seguintes respostas:
12% são 12 centésimos, logo,
divido 320 por 100 para achar
um centésimo, depois
Professora Ana
Acho que você concorda comigo que a solução da professora Ana está correta, uma boa
solução, vejamos sua solução completa:
320 : 100 = 3,20
3,20 x 12 = 38,40
320 + 38,40 = 358,40
12% são 12 centésimos ou
0,12... para saber quanto vale
0,12 de uma quantia, basta
Professor José
A solução do professor José, que também é muito boa, está correta também, certo?
Vejamos sua solução completa:
0,12 x 320 = 38,40
320 + 38,40 = 358,40
Verifique que os dois professores souberam aplicar seus conhecimentos para descobrir o
novo salário de Maria. O professor José apresentou uma solução um pouco mais rápida, e
ele conhece um fato importante que dá um significado da multiplicação: ele sabe que, ao
multiplicarmos 0,12 por 320,00, o resultado significa quanto vale 0,12 da quantia 320,00, ou
seja, quanto vale 12 centésimos de 320,00.
Gostaríamos que você acompanhasse conosco uma outra forma de resolver esse problema.
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26
Em agosto, a professora Maria recebia 100% do seu salário, certo? Mas em setembro
passou a receber 12 % a mais desse valor. No total, acho que você concorda comigo, ela
vai ficar com 112% desse salário!
Para achar 112% = 112/100 ou 1,12 de uma quantia, basta multiplicá-la por esse valor. Faça
na sua máquina de calcular a multiplicação 1,12 x 320,00 e compare com as respostas
encontradas pelos professores José e Ana.
Percebeu que obtivemos a mesma resposta?
“Refletindo sobre o assunto”
Alguns alunos ou professores, que resolvem essa questão como o professor José ou a
professora Ana, podem achar melhor o modo como pensavam antes e continuar resolvendo
os problemas da mesma maneira.
Mas quando relacionamos as coisas que já sabemos em Matemática podemos descobrir
novos caminhos, e isso nos leva sempre a compreender mais essa ciência. Veja ainda uma
vantagem, a última solução é bem mais rápida que as demais. Veja:
Salário de 320,00, após receber um aumento de 12%.
1,12 x 320,00 = 358,40
Em Matemática Financeira, dizemos que, nesse caso:
• A taxa de aumento percentual do salário foi de 12%
• O fator de aumento (ou multiplicador) do salário foi de 1,12.
História 2:
Durante uma liquidação, na loja “KOBRA KARO”, foi colocado um grande cartaz,
anunciando descontos de 15% para todas as mercadorias. Quanto passará a custar uma
calça jeans que, antes da promoção, custava R$58,40?
GRANDE LIQUIDAÇÃO!!!
15% EM TODAS AS MERCADORIAS
Poderíamos desenvolver uma solução mais extensa, como a que a professora Ana fez na
História 1.
15% correspondem a 15 centésimos do preço da calça.
Um centésimo do preço da calça corresponde a 58,40 : 100, que é igual a 0,584. Quinze
centésimos corresponderão a 15 x 0,584, que é igual a 8,76. Dessa forma, o preço da calça
na liquidação será: 58,40 – 8,76 = 49,64
Que tal resolvermos da forma mais rápida, como também fizemos na história 1. Verifique o
que vai ocorrer se multiplicarmos 58,40 x 0,85?
58,40 x 0,85 = 49,64
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27
Por que será que agora usamos o número 0,85 para gerar o desconto oferecido pela
loja?
Veja que podemos usar um raciocínio parecido com o que fizemos na história 1, ou seja:
Preço normal da calça = 100%. Desconto oferecido = 15%. Valor a ser cobrado na
liquidação = 100% - 15% = 85%.
Como sabemos que 85% correspondem a 85 centésimos ou a 0,85, temos a conclusão que
queríamos, encontrar o preço da calça com 15% de desconto, bastará multiplicar o preço
normal de 58,40 por 0,85.
Nesse caso temos:
• taxa percentual do desconto foi de 15%
• fator de redução (ou multiplicador) para 15% foi 0,85.
Os dois fatores (ou multiplicadores) que usamos – o de aumento na história 1 e o de
redução na história 2, são denominados FATORES DE CORREÇÃO.
Acho que você concorda comigo que todo fator de aumento será um número maior do que 1
e todo fator de redução será um número menor do que 1. Por que será?
Exemplo 9: Se o jornal anunciar, num determinado mês, que a
caderneta de poupança será corrigida pelo fator 1,025, ele estará nos
informando que os investidores estarão recebendo que correção
percentual sobre o saldo anterior?
Solução:
Como o fator 1,025 corresponde à taxa percentual de 102,5%, verificamos que a correção
das cadernetas de poupança foi de 2,5%.
Aumentos ou Reduções Sucessivos e As Progressões Geométricas.
Você sabe que em nosso dia-a-dia é bastante comum encontrarmos situações de aumentos
ou reduções sucessivas, como na caderneta de poupança, nas liquidações, nos reajustes de
impostos ou mesmo de salários (menos comum, infelizmente). O que será que ocorre com
os fatores de correção nesses casos?
Vejamos um exemplo:
Uma mercadoria sofreu dois reajustes consecutivos, de 3% e de 4%, respectivamente. Qual
o aumento percentual correspondente a essas duas correções?
Você poderia usar um recurso, bastante válido, de supor um preço inicial para essa
mercadoria (normalmente usamos o valor de 100 reais, pois facilita nossos cálculos). Em
seguida, aumentar esse preço em 3% e depois em mais 4% sobre a primeira correção.
Comparando o preço final com os 100 reais, teremos a variação percentual procurada.
Vejamos esse tipo de solução.
Preço inicial = 100 reais
primeira correção (3%) = 103 reais
segunda correção,
4% sobre 103 reais, ou seja, 0,04 x 103 = 4,12 reais, logo, o preço final será de 103 reais +
4,12 reais = 107,12 reais.
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28
Se compararmos o preço final de 107,12 reais, com o preço inicial de 100 reais, temos que o
aumento foi de 7,12 reais e, como esse acréscimo é sobre 100 reais, temos também que o
aumento percentual foi de 7,12%.
Gostaríamos de alertá-lo novamente sobre a agilidade que você pode adquirir, usando para
esse tipo de questões os fatores de correção, como já vimos anteriormente. Vejamos essa
outra possível solução.
Vamos chamar o primeiro preço da mercadoria de P. Você já deve estar sabendo que, com
um aumento de 3%, usando os fatores de correção, esse preço passará a ser de P x 1,03
(certo?). Com o segundo aumento de 4%, o preço passará a ser de P x 1,03 x 1,04 o que
corresponde a P x 1,0712, já que a multiplicação é associativa. Isto vai significar que,
independentemente do preço inicial ele está, após os dois aumentos sucessivos, sendo
multiplicado pelo fator 1,0712, o que corresponde a uma variação percentual de 7,12%, a
mesma resposta que achamos na primeira solução comentada.
Gostaríamos que você observasse esse importante fato nas transações comerciais e na
Matemática Financeira. Aumentos sucessivos (muito comuns em países como o Brasil)
geram um aumento acumulado que pode ser obtido através do PRODUTO dos fatores de
aumento correspondentes às taxas desses aumentos.
Um raciocínio parecido com esse seria feito para o caso de reduções sucessivas de preços
ou salários.
Reduções sucessivas podem ser também calculadas através do PRODUTO dos fatores de
redução correspondentes às taxas dessas reduções.
Uma crítica que fazemos à maioria dos livros didáticos do Ensino Fundamental é que eles
normalmente só abordam os chamados juros simples e, nesse caso, daria ao aluno a falsa
impressão de que os dois aumentos desse exemplo gerariam um aumento total de 7%. Tal
fato só estaria correto se os dois aumentos fossem sobre o valor inicial da mercadoria, ou
seja, se eles não fossem acumulativos, ou sucessivos – o que caracteriza uma situação
denominada juros compostos.
Exemplo 10:
Qual a variação percentual acumulada, gerada por dois aumentos sucessivos de 30%?
Solução:
Aplicando direto o conceito de fatores de correção, teremos: 1,3 x 1,3 = 1,69. Logo houve
um aumento acumulado de 69%.
Verifique que, se usássemos valores monetários, formando uma seqüência, como se trata
de taxa fixa de correção, teríamos uma situação muito particular e já conhecida nossa,
vejamos:
Supondo um valor inicial de 100 reais.
Com um primeiro aumento de 30%, teremos um segundo valor de 100 x 1,3 = 130 reais.
Com um segundo aumento de 30%, teremos um terceiro valor de 130 x 1,3 = 169 reais.
Logo, temos a seqüência (100, 130, 169), que é uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA de
razão igual a 1,3 (ou 1,30) o que corresponde a uma variação percentual fixa de 30% de
aumento.
O Fato que verificamos acima irá sempre acontecer quando as taxas de variação forem
constantes e aumentos ou reduções sucessivas. Teremos sempre a formação de
progressões geométricas.
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
29
História 3:
O remédio que o Sr. João toma diariamente, para pressão alta, custava R$ 40,00 no mês de
abril de 2001 e passou a custar R$ 48,00. Qual foi o fator de correção e o aumento
percentual correspondente?
Você já sabe que ao multiplicarmos o valor inicial pelo fator de correção teremos o valor
final, no caso o preço do remédio com a correção. Isso também significa que, dividindo o
valor final pelo valor inicial, obtém-se o fator de correção.
Valor final: valor inicial = fator de correção
No caso narrado na história 3, teremos que o fator de correção será igual a 48,00 : 40,00 =
1,225.
Espero que, nesse ponto de nosso curso, você já esteja sabendo que esse fator
corresponde a uma variação percentual de 22,5% (aumento do remédio).
Caso não tenha ainda percebido o que aconteceu, vale a pena observar que:
Quando multiplicamos o valor inicial por 1,225 (fator de correção) é como tivéssemos
multiplicado por (1 + 0,225). Multiplicar por 1 reproduz o valor inicial e multiplicar por 0,225
(ou 22,5 / 100) dará o aumento havido. Que em nosso caso corresponde a 22,5%.
Verifique também o importante fato de que os números decimais podem ser transformados
em percentagens por uma multiplicação por 100.
Veja:
0,225 = 22,5 % (0,225 x 100)
0,15 = 15% (0,15 x 100)
0,8 = 80% (0,8 x 100)
1,32 = 132% (1,32 X 100)
2,45 = 245% (2,45 X 100)
Podemos resumir o que ocorreu nessa história, quando temos o fator de aumento e
queremos obter o percentual de aumento correspondente.
Dado um fator de aumento, devemos subtrair 1 dele, para
conhecer o aumento havido.
Exemplos:
Fator de aumento
1,45
1,953
1,065
2, 86
Aumento gerado
1,45 – 1 = 0,45
1,953 – 1 = 0,953
1,065 – 1 = 0,065
2,86 – 1 = 1,86
Percentual de aumento
45%
95,3%
6,5%
186%
História 4:
Ritinha, que recebe um salário de R$ 340,00 por mês, verificou em seu contracheque que,
após todos os descontos sofridos por ela em um determinado mês, recebeu apenas
R$ 299,20. Você saberia determinar o percentual do desconto a que foi submetido o salário
de Ritinha?
Você já verificou, na história 3, que existe um modo de obtermos o fator de correção do
salário de Ritinha que, nesse caso, será um fator de redução.
Antes de continuar a leitura do comentário dessa história, verifique se você está sabendo
como determinamos o fator de correção.
Nesse caso, o fator de redução será igual a 299,20 : 340,00 = 0,88.
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
30
Qual o percentual de redução do salário de Ritinha, ao ter sido multiplicado por 0,88?
Se eu disser que é de 12%, você saberia o porque dessa minha resposta?
O fato é que o 0,88 obtido como fator de redução corresponde a uma taxa de 88%. Como o
salário de Ritinha sem os descontos, corresponde a 100%, a redução sofrida será a
diferença entre 100% e 88%, concorda?
Uma outra forma de entender essa resposta, e semelhante a que vimos no fator de
aumento, e lembrar que 0,88 é igual a (1 – 0,12) e, se multiplicarmos o salário de Ritinha por
esse fator teremos a multiplicação por 1, que recompõe o valor do salário, sem descontos,
menos a multiplicação do salário por 0,12, o que representa os descontos ou seja, um
percentual de 0,12 x 100 ou 12 %.
Dado um fator de redução, devemos subtraí-lo de 1 para
conhecer a redução ou desconto havido.
Exemplos:
Fator de redução
0,45
0,95
0,76
0, 86
Redução gerada
1 – 0,45 = 0,55
1 – 0,95 = 0,05
1 – 0,76 = 0,24
1 – 0,86 = 0,14
Percentual de redução
55%
5%
24%
14%
História 5:
Esta historinha ocorreu (ou melhor, não chegou a ocorrer) na loja do Sr. Manoel, meu
vizinho, há muitos anos atrás.
Sr. Manoel pretendia usar uma estratégia para tentar movimentar sua loja – aumentaria o
preço de tabela de todas as mercadorias em 20% e depois, anunciando uma grande
liquidação, daria descontos de 20% para todos os artigos que vendia. Achava ele que,
agindo dessa forma, venderia pelos mesmos preços de antes, com a vantagem de estar
anunciando uma liquidação. Antes de continuar a leitura dessa história, qual a sua opinião
sobre a estratégia que ele pretendia usar?
Quando ele começou a efetuar os cálculos para compor a tabela fictícia que usaria como
referência, teve o susto de verificar que não ocorria como havia planejado e que seria
obrigado a vender por um preço inferior ao que cobrava anteriormente. Chamou-me para
perguntar o que estava ocorrendo, onde estava o erro de sua estratégia e, desistiu do
artifício após minha explicação.
Vejamos o que ocorreu ...
Vamos supor que uma mercadoria custasse 100 reais, o Sr. Manoel, para compor a tabela,
teria de colocar o preço de 120 reais e quando fosse na tal “liquidação”, teria que dar um
desconto de 20% sobre os 120 reais, que corresponderia a um desconto de 24 reais. Logo,
teria de vender a mercadoria por 120 – 24 = 96 reais, gerando para ele uma perda de 4 %.
O fato é simples de ser entendido se você lembrar que o aumento inicial e o desconto
posterior foram ambos de 20%, só que sobre valores diferentes. Enquanto o aumento foi
sobre os 100 reais, o desconto teria de ocorrer sobre os 120 reais e, é óbvio que 20% sobre
120 é maior que 20% sobre 100.
Gostaria de lembrar que essa questão é também um caso de correções sucessivas
(aumento, seguido de redução) e, como já vimos anteriormente, podemos usar mais uma
vez os fatores de correção.
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31
1,2 representa o fator de correção ou multiplicador para um acréscimo de 20%, certo? E
0,80 (ou 0,8) representa o fator de correção para um desconto de 20%.
O produto 1,2 por 0,8 (aumento e redução sucessivos) gera um resultado 0,96, que é um
fator de redução. Qual o percentual dessa redução (que para o Sr. Manoel seria uma
perda)? Acertou se pensou em 4%. (lembra que temos de calcular 1 – 0,96 = 0,04 ou 4%).
História 6:
Vamos apresentar agora uma história que, provavelmente, você já se deparou com algum
fato semelhante em sua vida. Essas situações estão presentes no cotidiano de todas as
pessoas.
Uma loja anuncia a venda de um aparelho de som, com duas
possibilidades de pagamento. A vista por R$ 1500,00 ou com
uma entrada de 50% e uma segunda parcela de R$ 900,00,
paga 30 dias depois. Quanto está pagando de juros a pessoa
que escolher a segunda opção de pagamento?
Um aluno meu apresentou a seguinte solução:
•
•
•
•
Preço a vista = R$ 1500,00
Preço pago em duas parcelas = R$ 750,00 + R$ 900,00 = R$ 1650,00
Valor pago a mais (juros) = R$ 1650,00 – R$ 1500,00 = R$ 150,00
Percentual pago como juros (taxa) = 150 : 1500 = 0,10 = 10%
Você concorda com essa solução de meu aluno? Em caso negativo, apresente uma outra e
compare em seguida com o comentário apresentado.
Verifique comigo que esta solução (que aparentemente não tem nada de errada) não está
correta já que, quando o cliente paga a entrada de 50% (R$ 750,00), ele assume uma dívida
de R$ 750,00 e é sobre esse valor que nossos cálculos devem ser efetuados (é o que
denominamos de saldo devedor). Logo, os juros cobrados devem ser calculados verificandose o aumento de R$ 750,00 para R$ 900,00.
Devemos determinar o percentual de juros comparando-se os R$ 150,00 cobrados a mais,
com R$ 750,00, ou seja, 150 : 750 = 0,20 ou 20%.
Se formos usar os fatores de correção, teremos que, neste caso, o fator de aumento
corresponde a 900 : 750 = 1,20.
O fator 1,20 corresponde a um acréscimo de 1,20 - 1 = 0,20 = 20%.
Verifique que é uma resposta bem diferente da que meu aluno calculou e nós, por
desconhecimento ou falta de atenção, muitas vezes somos levados a calcular erradamente
os juros que estão inseridos nas compras que fazemos.
História 7:
Vejamos agora um fato interessante e que você talvez se assuste com a sua conclusão.
Imaginemos um jogo no qual a pessoa, em cada rodada, se ganhar recebe metade do
que possui na ocasião e se perder, perde metade do que tem no momento. Uma
pessoa, que entrou com R$ 128,00, fez 6 apostas consecutivas, ganhando 3 e perdendo
3 dessas apostas. O que podemos afirmar sobre esse apostador?
A) Que ele ganhou dinheiro.
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32
B) Que ele não ganhou, nem perdeu dinheiro.
C) Que ele poderá ganhar, ou perder dinheiro, dependendo da oredem em que
ocorrerem as 3 vitórias e as 3 derrotas.
D) Que ele perdeu 74 reais, independentemente da ordem em que ocorreram as vitórias
e as derrotas.
Solução:
Antes de mostrarmos a solução a este jogo, vamos tentar uma das hipóteses possíveis,
para buscar alguma pista, ou descartar opções de resposta.
Vamos supor que o nosso jogador tivesse ganhado as três primeiras rodadas e perdido as
três últimas.
A evolução de seu capital seria: 128
192
288
432
216
108
54. Note que o
jogador perdeu dinheiro e, como entrou com 128 reais e saiu com 54 reais a sua perda foi
de 128 – 54 = 74 reais. Com isso já podemos descartar as opções A e B, mas, será que se
as vitórias e derrotas ocorressem em outra ordem o resultado seria o mesmo? Vamos supor
agora que as vitorias e derrotas se alternassem. Vejamos o que ocorreria...
128
192
96
144
72
108
54. Percebemos que chegamos ao mesmo
resultado, uma perda de 74 reais. Mas poderia ser uma coincidência...
Vamos usar novamente os nossos fatores de correção e tentar uma explicação convincente
deste jogo.
Lembre-se que quando um valor aumenta em 50%, ele está sendo multiplicado por 1,5.
Lembre também que quando um valor reduz 50%, ele está sendo multiplicado por 0,5. O
nosso valor inicial, 128 reais, estará sendo multiplicado três vezes por 1,5 e três vezes por
0,5. Como a ordem dos fatores não altera o produto, confirmamos que, independentemente
da ordem das vitórias e derrotas, o resultado final será o mesmo. E qual será esse
resultado?
128 x 1,5x1,5x1,5x0,5x0,5x0,5 = 54
Conclusão desse surpreendente jogo. Ele perdeu 74 reais, independentemente da ordem
em que se sucederam vitórias e derrotas. (opção D)
VOLTANDO À INTRODUÇÃO DO CAPÍTULO.
Na página 23, quando começamos a conversar sobre matemática e dinheiro, exibimos uma
reportagem da revista Veja, de junho de 2002, onde temos que a inflação (naquele
momento) acumulada nos oito anos do plano Real, era de 179%.
Baseando-se nessa informação e com a ajuda dos fatores de correção que acabamos de
estudar, você poderia agora verificar se todas as informações contidas no texto estão
corretas.
Podemos agora resumir, os principais conceitos que aprendemos nas historinhas que
apresentamos, com objetivo de apresentar os fatores de correção:
Você reparou que:
Todo fator de aumento é um número superior a 1?
O fator de aumento pode ser obtido pela soma (100% + taxa de aumento
percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo:
fator de aumento para um acréscimo de 24% = 100% + 24% = 124% =
124 /100 = 1,24.
Todo fator de redução é um número inferior a 1?
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33
O fator de redução pode ser obtido pela subtração (100% - taxa de
redução percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal?
Exemplo: fator de redução para uma perda de 24% = 100% - 24% = 76%
= 76 /100 = 0,76.
Aumentos ou reduções (ou mistura dos dois) consecutivos, devem ser
calculados pelo PRODUTO DOS FATORES DE CORREÇÃO, e não pela
soma das taxas a eles correspondentes?
B) À VISTA OU A PRAZO?
Um dos problemas mais comuns de encontrarmos no nosso dia-a-dia refere-se à decisão
de comprar à vista ou a prazo uma determinada mercadoria. Somos sempre tentados pela
propaganda, com promoções do tipo “20% de desconto à vista ou em três vezes sem
acréscimo”. A decisão melhor decisão dependerá de uma série de fatores, como taxas de
juros, disponibilidade do comprador.
Vamos mostrar nessa seção que, mais uma vez, o valor do dinheiro no tempo, os fatores de
correção e as progressões geométricas serão fundamentais para nossa escolha correta.
É claro que existirão casos que as opções serão equivalentes, nesses casos, tanto faz uma
escolha ou outra. Vejamos um exemplo:
Na conseguiu um tipo de investimento que lhe paga juros de 5% ao mês pelo dinheiro que
aplicar. Ela entrou numa loja e viu que uma calça jeans pode ser comprada a vista por 80
reais ou ser adquirida com um cheque pré-datado, para 30 dias, por 84 reais. Repare que,
nesse exemplo apresentado, as duas opções são equivalentes, pois se ela aplicar os 80
reais por 30 dias, vai receber de juros 4 reais (5% de 80) o que permitirá exatamente cobrir
o cheque pré-datado.
Portanto, todas as decisões que envolvem compras ou investimentos estão apoiadas no fato
do valor que o dinheiro terá ou teve numa outra data, levando-se em conta a taxa de juros
que incide sobre os valores aplicados (pode ser a da caderneta de poupança, por exemplo).
Logo, se a taxa vigente para as aplicações (taxa de atratividade do mercado) for de 3% ao
mês, 100 reais hoje valerão 103 reais em um mês, valerão 106,09 reais em dois meses
2
(multiplicando 100 x (1,03) ), valerão 109,27 reais em três meses (multiplicando 100 x
3
n
(1,03) ), e valerão multiplicando 100 x (1,03) daqui a n meses.
Verifique que o fato que mostramos nada mais é que a utilização prática da fórmula dos
juros compostos.
Podemos assim resumir o que acabamos de mostrar:
Um valor monetário M, valerá daqui a n meses, aplicado sob taxa fixa i, ao
n
mês, M x (1 + i) . (com a taxa i expressa na sua forma decimal)
M
VALORIZAÇÃO NO TEMPO
M x (1 + i)
n
Analogamente, caso o valor fosse considerado num período anterior, ou seja, n meses ou
n
períodos antes, o valor do dinheiro seria igual a M : (1 + i)
M
DESVALORIZAÇÃO NO TEMPO
M : (1 + i)
n
PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROS
COMPOSTOS, TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM COM O QUE ACABAMOS DE
MOSTRAR. O VALOR DO DINHEIRO NUMA DATA FUTURA FICA MULTIPLICADO POR
n
n
n
n
(1 + i) (OU F )E NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR (1 + i) (OU F ).
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34
Exemplo 11:
Lídia comprou um relógio, com uma taxa de juros de 5% ao mês e a última parcela, de 80
reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2002. Acontece que Lídia ganhou um
dinheirinho extra e está propondo à loja, pagar a sua dívida no dia 10 de agosto de 2002, ou
seja, um mês antes da data estipulada. Quanto Lídia terá de pagar?
Solução:
Como se trata de uma antecipação de pagamento é claro que Lídia pagará um valor menor.
Aplicando o que vimos anteriormente, o valor será igual a 80 : (1,05) = 76,19 reais.
Exemplo 12:
Vinícius tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois,
ele pagou R$ 2500,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor
desse último pagamento?
Solução:
Entendemos que fica mais fácil perceber o que está ocorrendo mostrando um gráfico da
situação – é o que chamamos de fluxo de caixa.
5000
1
2
Devemos “empurrar” todos os valores para
uma mesma data (por exemplo para o mês 3)
e igualar as entradas (empréstimo) com as
saídas (pagamentos periódicos).
3
0
2500
x
2500 x 1,05 + x = 5000 x (1,05)
3
2625 + x = 5788,13
x = 3163,13
Resposta: Vinícius deverá pagar uma segunda parcela de R$ 3163,13
Exemplo 13:
Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou então em duas parcelas iguais de
220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que está sendo
cobrada pela loja?
Solução:
Nesse caso está faltando o valor da taxa de juros cobrada, sugerimos chamar a incógnita do
problema de F, que é o nosso fator de correção. Fica mais simples trabalhar com essa
variável do que com 1 + i. No final do problema, subtraindo 1 do valor encontrado, teremos a
taxa procurada.
Vejamos o fluxo de caixa do problema.
400
1
2
220
220
Sugerimos agora “empurrar” todos os valores
para a data 2 e igualar as entradas (valoa a
vista) com as saídas (prestações).
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35
2
400 . F = 220 . F + 220
2
2
40 . F = 22 . F + 22 ou 20. F – 11. F – 11 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau, teremos:
11 ± 121 4.20.( 11) 11 ± 1001
=
40
40
11 ± 31,64
40
42,64
Como só nos serve a resposta positiva, teremos F =
40
F=
1,067
Logo, 1 + i = 1,067 ou i = 0,067 ou ainda i = 6,7%
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE 3):
1) Obtenha o sexto termo de uma P.G, de razão positiva, onde o quinto e o sétimo
termos valem, respectivamente 9 e 16.
2) Qual o valor da soma dos sete primeiros termos de uma P.G definida por:
an = 3n 2 ?
3) A população de um país era de 3 000 000 de pessoas em 1999. Sabe-se que essa
população cresceu a uma taxa constante de 2% ao ano. Que população o país
atingiu em 2002?
4) Considere a progressão geométrica (100, 80, 64, ...). Qual a razão dessa P.G e a
sua representação como uma taxa de variação?
5) Qual o sétimo termo de uma P.G cujo quinto termo vale 5 e o oitavo termo vale 135?
6) Uma bomba de vácuo retira, em cada sucção, 2% do gás existente em certo
recipiente. Depois de 6 sucções, quanto restará do gás inicialmente existente?
7) Qual a variação da área de um retângulo cuja base sofre um aumento de 10% e a
altura sofre uma redução de 10% do seu valor?
8) A espessura de uma folha de estanho é 0,1 mm. Forma-se uma pilha com essas
folhas colocando-se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes,
tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas
operações, a altura da pilha será, aproximadamente:
a)
b)
c)
d)
e)
a altura de um poste de luz.
A altura de um prédio de 40 andares.
O comprimento da praia de Copacabana.
A distância Rio / São Paulo
O comprimento do equador terrestre.
9) (Escola Naval)
Divide-se um segmento de comprimento L em três partes iguais e retira-se a parte do
meio. Divide-se, em seguida, cada uma das partes que sobraram em três partes
iguais e retira-se a parte do meio. Repetindo-se essa operação uma infinidade de
vezes, qual será a soma dos comprimentos retirados?
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36
10) (Escola Naval)
Ações de certa companhia valorizaram-se 10% ao mês, durante cinco meses
consecutivos. Quem investiu nessas ações obteve, durante esses cinco meses, um
lucro aproximado igual a:
a) 40% b) 50% c) 55% d) 60% e) 70%
11) (UFRJ)
Certa população de bactérias dobra a cada hora. Num certo dia, às 8 horas da
manhã, a população é de 1000 bactérias. A que horas a população será de 512 000
bactérias?
12) (AFA)
2
3
A raíz da equação 1 + x + x + x + ... + = 4 é igual a :
13) Luciana comprou um aparelho de som em três prestações (30, 60 e 90 dias da data
da compra). O aparelho à vista custava R$ 900,00 e as duas primeiras parcelas
foram de R$ 400,00. Se a loja está cobrando juros de 6% ao mês, qula será o valor
do terceiro pagamento que Luciana terá de fazer?
14) Uma loja oferece duas opções de pagamento para as compras. À vista, com 30% de
desconto ou em duas parcelas iguais, sendo a primeira paga no ato da compra.
Quanto está pagando de juros, em um mês, a pessoa que escolher a opção em dois
pagamentos?
15) Lídia comprou um relógio, pagando R$ 180,00 um mês após a compra e R$ 200,00
dois meses após a compra. Se foram pagos juros de 12% sobre o saldo devedor,
qual era o preço à vista desse relógio?
GABARITO (SÉRIE 3)
01) 12
06) 87,38%
11) 17 h
02)
1093
3
07) reduz 1%
12) ¾
03) 3 183 624
08) D
13) R$198,47
04) q = 0,8 e
redução de 20%
09) L/2
14) 150%
05) 45
10) D
15) R$320,15
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37
PARTE III – ANÁLISE COMBINATÓRIA
1) “PARA COMEÇAR A CONVERSA”…
O HOMEM QUE SEMPRE GANHAVA NAS CORRIDAS DE CAVALO
“Caso verídico narrado pelo professor Manoel H. Botelho à Revista do Professor de Matemática (SBM, nº 18)
Inesperadamente, numa terça-feira, chegou-me uma carta. Envelope branco, sem nome do
remetente. Dentro, um papel dizia simplesmente:
“Sr. Manoel.
Sou seu amigo. Sei o cavalo que vai ganhar no quarto páreo do
próximo sábado. Será o cavalo nº 3.
Atenciosamente,
Antônio Silva.”
Não sou de jogar, por princípios morais e por achar que, entendendo de Matemática e Teoria
das Probabilidades, o jogo não favorece ao jogador. Nem liguei para a enigmática carta. Quem
seria Antônio Silva?
Juro, mas juro mesmo, que a única conseqüência da carta foi eu ler, pela primeira vez na
minha vida, a seção de turfe no jornal de Domingo. Surpresa! Deu o cavalo nº 3 no quarto páreo
de sábado. Fiquei surpreso, intrigado. Ao ler os comentários do cronista do jornal, entendi tudo. O
cavalo nº 3 era o segundo principal favorito. Sua chance de ganhar era grande. Assim, até eu
acerto.
A história terminaria por aí se na outra quarta-feira eu não recebesse uma nova cartinha:
“Vai dar o cavalo nº 2 no sexto páreo do domingo”.
Aquilo agora era um desafio. Corri a ler a seção de turfe no jornal. Aumentando a minha
expectativa, o comentarista dizia: “No domingo, sexto páreo, o nº 2 não terá chances”. Por
curiosidade, ouvi a transmissão da corrida pelo rádio. Suspense! Ganhou o nº 2. Um misto de
angústia e surpresa me assaltou. Como o Antônio Silva podia saber quem ia ganhar? Afinal, o
número 2 era azarão!
Na terça-feira não recebi a nova cartinha, ou seria mais honesto eu dizer, não recebi a tão
esperada cartinha. Chegou a desejada na quarta-feira. Simples e objetiva como sempre.
“Sr. Manoel.
No domingo, primeiro páreo, vai dar o número 1.
Antônio Silva.”
Embora eu não estivesse entendendo o porquê de ser eu o privilegiado receptor de tão
certeiros palpites, decidi jogar. A primeira e última vez, prometi eu.
Joguei e ganhei. Infelizmente joguei pouco e por isso pouco ganhei. Fiquei revoltado. Se muito
tivesse jogado, muito teria ganho.
A espera de uma nova cartinha foi em ambiente de alta tensão. E lá veio ela, agora na sextafeira. Os termos eram algo diferentes:
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38
“Sr. Manoel.
Graças a meus conhecimentos, o Sr. teve três indicações certas para
jogar. O Sr. deve hoje estar rico com o que ganhou. Tenho o nome do
cavalo que vai dar no próximo sábado. Não quero dinheiro. Quero apenas
que o Sr. jogue em sociedade comigo. O Sr. trará no mínimo cinqüenta
mil reais e apostaremos esse valor no cavalo que eu lhe direi. O Sr. ficará
com a metade do valor da aposta e eu, com a outra metade. Amanhã lhe
telefono. Seu amigo,
Antônio Silva.”
O homem era meu amigo, seguramente. A proposta era muito boa. Ele jogaria junto comigo
(se bem que com meu dinheiro, destaque-se). Eta homem seguro de seus conhecimentos!
Dinheiro ele não queria. Queria apenas os boletos (poules) do jogo. Retirei o dinheiro do banco e
esperei o telefonema. Não teria sido melhor ele dar o seu telefone? Não entendi o anonimato.
Nem telefone, nem endereço. Só o nome, Antônio Silva. Afinal, por que um amigo permanece
incógnito? Seria modéstia? Ou seria acanhamento desse meu amigo?
Sábado de manhã o telefone tocou. Era Antônio. Marcamos o encontro. Sábado, no centro
da cidade, em frente ao Centro de Apostas. O meu amigo Antônio me esperaria junto ao poste,
segurando um jornal aberto na Seção de Turfe.
Encontrei-o na hora certa.
Quarentão algo gordo, costeletas compridas, camisa de seda transparente, cordão de ouro
no pescoço, dente de ouro na boca, relógio de ouro no pulso. Apresentamo-nos e fomos direto ao
guichê. Cinqüenta mil reais de aposta, vinte e cinco mil de poules para mim e outro tanto para ele.
Junto ao guichê, ele finalmente falou, sussurrando o segredo. “ No quarto páreo, cavalo nº 5.”
Antônio era simpático, mas de pouca conversa. Pegou os vinte e cinco mil em poules que lhe
cabiam e despediu-se (estava com um filho com febre). Desapareceu na multidão.
Solitário, fui para casa esperar que desse o cavalo nº 5 no quarto páreo. O locutor do rádio
foi dramaticamente claro na chegada desse páreo:
“Os cavalos Príncipe da Alegria (nº 2) e Seta Dourada (nº 6) chegam juntos e cruzam a
linha de chegada”.
Perdi. Até hoje não sei o porquê. Antônio nunca mais me procurou.
Peço aos leitores ajuda para deslindar esse mistério. O mistério de Antônio, o homem que
sempre ganhava (ou quase sempre) nas corridas de cavalos.
QUAL A SUA OPINIÃO SOBRE O “TRUQUE” USADO PELO SR. ANTÔNIO. O
QUE SERÁ QUE ELE FAZIA PARA ENGANAR AS PESSOAS?
COMENTÁRIO:
O espertalhão do Sr. Antônio pegou uma lista telefônica, selecionou 10 mil pessoas
(Manoel entre elas) e dividiu-as em dez grupos, correspondentes aos 10 cavalos que
correriam um páreo. A cada grupo enviou cartas indicando um dos cavalos como
vencedor.
Os mil que receberam a indicação certa (obrigatoriamente mil), ele dividiu em 10
grupos de 100 e enviou novas dicas de cavalos para outro dia, aí por diante.
No final, Antonio sempre ganhava quando dava o bote final.
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2) COMBINATÓRIA–PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
(Adaptação do Projeto Educ@ar (USP / SC) e da aula 48 do Tele-curso, da Fundação Roberto Marinho)
2.1) Elementar: O raciocínio combinatório
Exemplo inicial: "Os sanduíches da padaria Regência
são famosos no bairro. O freguês pode escolher entre 3
tipos de pão: pão de forma, pão francês ou pão italiano.
Para o recheio há 4 opções: salame, queijo, presunto ou
mortadela. Quantos tipos de sanduíche a padaria
oferece?"
Quem encontra pela primeira vez esse tipo de problema
pode não perceber que se trata de uma situação que
envolve a multiplicação. É comum, nas primeiras tentativas, somar 3 com 4 ou listar de
forma desorganizada algumas combinações de pão com recheio.
Vejamos como o problema pode ser resolvido. Para todas as combinações possíveis,
precisamos pensar de maneira organizada. Isto pode ser conseguido, por exemplo, com a
ajuda de uma tabela retangular.
salame
queijo
presunto
mortadela
pão de pão de forma
pão de forma pão de forma
pão de forma com
mortadela
forma com salame
com queijo
com presunto
pão
pão francês
pão francês
pão francês com pão francês com
francês com salame
com queijo
presunto
mortadela
pão
pão italiano
pão italiano
pão italiano com pão italiano com
italiano com salame
com queijo
presunto
mortadela
Também podemos organizar a solução do problema deste outro modo:
Este último esquema, que lembra os galhos de uma árvore (deitada), é conhecido
como árvore das possibilidades.
Tanto com a tabela retangular como com a árvore das possibilidades, podemos
obter a solução do problema: contamos os tipos de sanduíche e chegamos a 12 tipos. O
que não se percebe ainda é o que o problema tem a ver com a multiplicação.
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40
Isso pode ser percebido com este raciocínio: para cada um dos tipos de pão
temos 4 tipos de recheio e, portanto, 4 sanduíches diferentes; como são 3 tipos de pão, os
sanduíches são 4 + 4 + 4, ou seja, 3 x 4 = 12.
Nesse raciocínio, procuramos combinar os tipos de pão com os tipos de recheio
para obter todos os tipos de sanduíche. É um exemplo de raciocínio combinatório, o qual
leva á multiplicação.
Você pode notar que a árvore de possibilidades é uma espécie de "desenho" do
raciocínio que fizemos: de cada um dos seus 3 "galhos" iniciais saem outros 4 "galhos",
dando um total de 12.
Quando podemos desenhar a árvore de possibilidades ou fazer uma tabela, como
no caso do problema dos sanduíches, o problema pode ser resolvido sem a multiplicação.
Mas, quando as possibilidades são muitas, a multiplicação facilita os cálculos. Já imaginou
desenhar a árvore se fossem 6 os tipos de pão e 12 os recheios?
Vejamos outro problema envolvendo o raciocínio combinatório.
"Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de três
algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, não pode haver repetição de
algarismo. Com outras palavras, cada número deve ter três algarismos diferentes. Quantos
números podem ser escritos nestas condições?"
•
Observe que os números 213 e 312 satisfazem as condições do problema, mas
os números 311, 413 e 1123 não servem. Para resolver o problema vamos nos imaginar
escrevendo um número de três algarismos, obedecendo as restrições mencionadas no
problema. Ao escrever o algarismo das centenas temos 3 possibilidades.
Ao escrever o algarismo das dezenas não podemos usar aquele que já foi usado
nas centenas. Portanto, para cada uma das maneiras de escolher o dígito das centenas
temos duas maneiras de escolher o das dezenas.
Ao escrever o algarismo das unidades não podemos repetir nenhum dos dois que já foram
usados nas centenas e dezenas. Logo, para cada uma das maneiras de escrever os dois
primeiros algarismos temos uma só escolha para o último dígito.
Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 2 x 1 = 6 números: 123, 132,
213, 231, 312 e 321.
O problema seguinte é parecido com o anterior. Mas há uma diferença entre eles!
•
"Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números
de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, pode
haver repetição de algarismos. Quantos e quais números podem ser
escritos nestas condições?"
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41
Vamos construir a árvore das possibilidades para este problema:
Temos 3 possibilidades para escolher o algarismo das centenas. Para cada uma delas, há
3 maneiras de escolher o dígito das dezenas. Portanto há 3 x 3 = 9 modos de escolher
aqueles dois dígitos. Para cada uma destas 9 maneiras há 3 possibilidades de escolha
para o algarismo das unidades. Portanto, nas condições do problema, é possível escrever
3 x 3 x 3 = 27 números. Na árvore das possibilidades podemos ver quais são estes
números.
2.2 ) O princípio fundamental da Contagem (ou multiplicativo)
A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, está diretamente relacionada com
atividades e técnicas para contagem do número de elementos de algum conjunto. As
primeiras atividades matemáticas que vivenciamos envolvem sempre a ação de contar
objetos de um conjunto, enumerando seus elementos.
As operações de adição e multiplicação são exemplos de técnicas matemáticas
utilizadas também para a determinação de uma quantidade. A primeira (adição) reúne ou
junta duas ou mais quantidades conhecidas; e a segunda (multiplicação) é normalmente
aprendida como uma forma eficaz de substituir adição de parcelas iguais.
A multiplicação também é a base de um raciocínio muito importante em
Matemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo constitui a
ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que seja necessário
enumerar seus elementos (como veremos nos exemplos).
Os problemas de contagem fazem parte da chamada análise combinatória.
EXEMPLO 1:
Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usar·, separou 2 saias e 3
blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.
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solução:
O princípio multiplicativo, ilustrado nesse exemplo, também pode ser enunciado da
seguinte forma:
Se uma decisão d1 pode ser tomada de n maneiras e, em seguida, outra
decisão d2 puder ser tomada de m maneiras, o número total de maneiras de
tornarmos as decisões d1 e d2 será n · m.
No exemplo anterior havia duas decisões a serem tomadas:
d1: escolher uma dentre as 3 blusas
d2: escolher uma dentre as 2 saias
Assim, Maria dispõe de 3 · 2 = 6 maneiras de tomar as decisões d1 e d2, ou seja,
6 possibilidades diferentes de se vestir.
EXEMPLO 2:
Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne assada,
salsichão), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, romeu e julieta, frutas). De
quantas maneiras diferentes um freguês pode se servir consumindo um prato quente, uma
salada e uma sobremesa?
Solução:
Esse e outros problemas da análise combinatória podem ser representados pela
conhecida árvore de possibilidades ou grafo. Veja como representamos por uma árvore o
problema do cardápio do restaurante.
Observe que nesse problema temos três níveis de decisão:
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d1: escolher um dentre os 4 tipo de pratos quentes.
d2: escolher uma dentre as 2 variedades de salada.
d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.
Usando o princípio multiplicativo, concluímos que temos 4 · 2 · 3 = 24 maneiras de
tomarmos as três decisões, ou seja, 24 opções de cardápio.
As técnicas da análise combinatória, como o princípio multiplicativo, nos fornecem
soluções gerais para atacar certos tipos de problema. No entanto, esses problemas exigem
engenhosidade, criatividade e uma plena compreensão da situação descrita. Portanto, È
preciso estudar bem o problema, as condições dadas e as possibilidades envolvidas, ou
seja, ter perfeita consciência dos dados e da resolução que se busca.
EXEMPLO 3:
Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois preços diferentes, sendo
mais baratas as opções que incluíssem frango ou salsichão com salada verde, de quantas
maneiras você poderia se alimentar pagando menos?
Solução:
Note que agora temos uma condição sobre as decisões d1 e d2:
d1: escolher um dentre 2 pratos quentes (frango ou salsichão).
d2: escolher salada verde (apenas uma opção).
d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.
Então há 2 · 1 · 3 = 6 maneiras de montar cardápios econômicos. (Verifique os
cardápios mais econômicos na árvore de possibilidades do exemplo anterior).
EXEMPLO 4:
Quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem?
Solução:
Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens: Como o algarismo
da ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões:
d1: escolher o algarismo da centena diferente de zero (9 opções).
d2: escolher o algarismo da dezena diferente do que j· foi escolhido para
ocupar a centena (9 opções).
d3: escolher o algarismo da unidade diferente dos que j· foram utilizados (8
opções).
Portanto, o total de números formados ser· 9 · 9 · 8 = 648 números.
EXEMPLO 5:
De acordo com o exemplo anterior, se desejássemos contar dentre os 648 números de 3
algarismos distintos apenas os que são pares (terminados em 0, 2, 4, 6 e 8), como
deveríamos proceder?
Solução:
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44
O algarismo das unidades pode ser escolhido de 5 modos (0, 2, 4, 6 e 8). Se o
zero foi usado como último algarismo, o primeiro pode ser escolhido de 9 modos (não
podemos usar o algarismo já empregado na última casa). Se o zero não foi usado como
último algarismo, o primeiro só pode ser escolhido de 8 modos (não podemos usar o zero,
nem o algarismo j· empregado na última casa).
Para vencer este impasse, temos três alternativas:
a) Decompor o problema em casos (que é alternativa mais natural). Contar separadamente
os números que têm zero como último algarismo (unidade = 0) e aqueles cujo último
algarismo é diferente de zero (unidade 0).
Terminando em zero temos 1 modo de escolher o último algarismo, 9 modos de
escolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio (algarismo da dezena), num total de 1
· 9 · 8 = 72 números.
Terminando em um algarismo diferente de zero temos 4 modos de escolher o
último algarismo (2, 4, 6, ou 8), 8 modos de escolher o primeiro algarismo (não podemos
usar o zero, nem o algarismo já usado na última casa) e 8 modos de escolher o algarismo
do meio (não podemos usar os dois algarismos já empregados nas casas extremas). Logo,
temos 4 · 8 · 8 = 256 números terminados em um algarismo diferente de zero. A resposta é,
portanto, 72 + 256 = 328 números.
b) Ignorar uma das restrições (que é uma alternativa mais sofisticada).
Ignorando o fato de zero não poder ocupar a centena, teríamos 5 modos de
escolher o último algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o do
meio, num total 5 · 8 · 9 = 360 números. Esses 360 números incluem números começados
por zero, que devem ser descontados. Começando em zero temos 1 modo de escolher o
primeiro algarismo (0), 4 modos de escolher o último (2, 4, 6 ou 8) e 8 modos de escolher o
do meio (n„o podemos usar os dois algarismos já empregados nas casas extremas), num
total de 1 · 4 · 8 = 32 números.
A resposta é, portanto, 360 - 32 = 328 números.
c) Claro que também poderíamos ter resolvido o problema determinando todos os números
de 3 algarismos distintos (9 · 9 · 8 = 648 números), como é o caso do Exemplo 4, e
abatendo os números ímpares de 3 algarismos distintos (5 na última casa, 8 na primeira e
8 na segunda), num total de 5 · 8 · 8 = 320 números.
Assim, a resposta seria 648 - 320 = 328 números.
Fonte: “prof. Augusto César de Oliveira Morgado no livro "Análise Combinatória e
Probabilidade" - IMPA/VITAE/1991.
EXEMPLO 6
As placas de automóveis eram todas formadas por 2 letras (inclusive K, Y e W) seguidas
por 4 algarismos. Hoje em dia, as placas dos carros estão sendo todas trocadas e
passaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quantas placas de cada
tipo podemos formar?
Solução:
No primeiro caso:
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45
Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras e cada algarismo (N) de 10 modos
distintos, a resposta é:
26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 6 760 000
No segundo caso
26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 26 · 6 760 000 = = 175 760 000
A nova forma de identificação de automóveis possibilita uma variedade 26 vezes
maior. A diferença é de 169.000.000, ou seja, 169 milhões de placas diferentes a mais do
que anteriormente.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
Exercício 1.
Numa sala há 5 homens e 5 mulheres. De quantos modos é possível selecionar um casal
homem-mulher?
Exercício 2.
a) Quantos números naturais de 2 algarismos distintos existem?
b) Quantos destes números são divisíveis por 5?
Exercício 3.
Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26
letras?
Exercício 4.
Quantos são os gabaritos possíveis para um teste de 10 questões de múltipla escolha, com
5 alternativas por questão?
Exercício: 5.
Em um grupo existem 7 pessoas, entre elas Roberto e Ana. Quantas são as filas que
podem ser formadas, de modo que Roberto seja sempre o primeiro e Ana seja sempre a
última de cada fila?
Exercício 6:
O segredo de um cofre é formado por uma seqüência de 4 números distintos de 2 dígitos
(de 00 a 99). Uma pessoa decide tentar abrir o cofre sem saber a formação do segredo
(por exemplo: 15 - 26 - 00 - 52). Se essa pessoa levar 1 segundo para experimentar cada
combinação possível, trabalhando ininterruptamente e anotando cada tentativa já feita para
não repeti-la, qual ser· o tempo máximo que poderá levar para abrir o cofre?
Exercício 7:
a) Quantas são as placas de automóvel que podem ser formadas no atual sistema de
emplacamento Brasileiro?
b) O Sr.José Carlos Medeiros gostaria de que a placa de seu automóvel tivesse as iniciais
do seu nome (na ordem correta do nome). Quantas placas existem nestas condições?
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Exercício 8:
Uma bandeira formada por 7 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores
verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não podem ser usadas cores
iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?
Exercício 9:
Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Quantos desses divisores são
pares? Quantos são ímpares? Quantos são quadrados perfeitos?
Exercício 10:
Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos?
Exercício 11:
De quantos modos podemos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8×8, de modo que não
haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna?
Exercício 12:
O conjunto A possui 4 elementos, e o conjunto B, 7 elementos. Quantas funções f :
A → B existem? Quantas delas são injetivas?
Exercício 13:
Quantos são os anagramas da palavra PRATO, que começam por uma consoante?
Exercício 14:
Formando-se todos os números possíveis, de 5 algarismos, permutando-se os dígitos
1, 2, 3, 4, 5 e escrevendo-os em ordem crescente, responda:
a) Qual será a posição ocupada pelo número 43 251?
b) Qual será o valor da soma de todos esses números formados?
Exercício 15:
Quantas siglas, de 3 letras distintas, podem ser formadas a partir da escolha dentre as
letras: A, B, C, D, E, F?
DESAFIE O SEU RACIOCÍNIO...
1) PROVÃO – MEC – 1999
A unidade de informação nos computadores digitais é o bit (abreviatura de binary
digit, ou seja, dígito binário), que pode estar em dois estados, identificados com os
dígitos 0 e 1. Usando uma seqüência de bits, podem ser criados códigos capazes de
representar números, caracteres, figuras, etc. O chamado código ASCII, por
exemplo, utiliza uma seqüência de 7 bits para armazenar símbolos usados na escrita
(letras, sinais de pontuação, algarismos, etc). Com estes 7 bits, quantos símbolos
diferentes o código ASCII pode representar?
(A) 7!
(B) 7
(C) 14
(D) 49
(E) 128
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2) PROVÃO – MEC – 1998
Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada por 4 algarismos de 0
a 9, de tal forma que não haja algarismos repetidos em posições consecutivas
assim, a senha “0120” é válida, mas “2114” não é). O número de senhas válidas é:
(A) 10.000
(B) 9.000
(C) 7.361
(D) 7.290
(E) 8.100
GABARITO – PARTE 1 – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
01) 25 Modos
02) A) 81 Números
B) 17 Números
03) 15 600 palavras
04) 9 765 625 gabaritos
05) 120 filas
06) 94 109 400 s 3 anos
07) 10 000 placas
08) 192 modos
09) a) 24 divisores
b) 18 divisores pares
c) 4 divisores quadrados
n
10) 2 subconjuntos
11) 8! = 40 320 modos
4
12) a) 7 = 2401 funções
b) 840 funções injetivas
13) 72 anagramas
14) 90ª posição
15) 120 Siglas
PROVÃO 1: E
PROVÃO 2: D
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
1) Na extração da Loteria Federal há um concurso com 80 000 bilhetes, numerados de
00 000 a 79 999. Quantos são esses bilhetes formados por números de algarismos
distintos entre si?
2) Quantos números, distintos entre si e menores que 30 000, têm exatamente 5
algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}?
3) Num acidente automobilístico, após se ouvirem várias testemunhas, concluiu-se que
o motorista culpado pelo acidente dirigia o veículo cuja placa era constituída de três
vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades
era, com certeza o dígito 2. Qual a quantidade de veículos suspeitos?
4) Dispomos de quatro cores diferentes entre si; todas elas devem ser usadas para
pintar as cinco letras da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as
vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos isso
poderá ser feito?
5) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo
um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente e que o vagãorestaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, determinar o
número de modos diferentes de montar a composição.
6) Os números dos telefones de uma cidade eram constituídos de 6 dígitos. Sabendose que o primeiro dígito nessa cidade nunca pode ser o zero, determinar o aumento
ocorrido na quantidade de novos números, quando os números telefônicos passaram
a ser de 7 dígitos, nessa cidade.
7) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes.
Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes,
determine a quantidade mínima de peças que ele deverá possuir (número de paletós
mais o número de calças).
8) Se 5 moedas distinguíveis forem lançadas simultaneamente, qual será o número de
maneiras distintas delas caírem?
9) Considerando os anagramas da palavra ENIGMA, determinar:
a) o número total de anagramas.
b) O número de anagramas que começam com a letra A
c) O número de anagramas que começam por EN.
d) O número de anagramas que começam por uma vogal.
10) Usando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, determinar a quantidade de números de 4
algarismos, que podem ser formados com eles, de forma que ao menos dois
algarismos sejam iguais.
11) Qual a quantidade de números, formados com algarismos distintos, maiores que
50 000 e menores que 90 000, e que são divisíveis por 5?
12) Deseja-se dispor em fila 05 crianças: Marcelo, Rogério, Reginaldo, Daniele e Márcia.
Calcule o número de maneiras distintas que isso poderá ser feito de modo que
Rogério e Márcia fiquem sempre vizinhos.
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13) Seis pessoas A, B, C, D, E, F ficam de pé, uma ao lado da outra, para uma
fotografia. Determinar o número de modos que elas podem se dispor, sabendo-se
que A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer sempre uma
ao lado da outra.
14) Quantos são os múltiplos de três, de quatro algarismos distintos, que podem ser
formados com os algarismos: 2, 3, 4, 6 e 9?
15) (Essa é para os “FERAS”) Num cursinho especializado em Ciências Exatas há 15
professores; cada um deles se dispõe de uma aula semanal e se ocupa de um tema
da Matemática ou da Física ou da Química. Os temas das matérias abordadas são:
Matemática: Álgebra, Geometria, Trigonometria, Geometria Analítica e Análise.
Física: Mecânica, Termologia, Oscilações, Ótica e Eletricidade.
Química: Atomística, Química Geral, Físico-Química, Química Inorgânica e Química
Orgânica.
No cursinho há três aulas diárias, de segunda a sexta, sendo uma de Matemática,
uma de Física e uma de Química. Com os nomes dos 15 professores e seus
respectivos temas, quantos são os horários diferentes que podem ser montados para
a semana?
GABARITO
01) 24 192 bilhetes
02) 240 números
03) 30 240 suspeitos
04) 24 modos
05) 600 modos
06) 8 100 000 números
07) 10 peças
08) 32 modos
09) a) 720 b) 120
c) 24 d) 360
10) 505 números
11) 2352 números
12) 48 modos
13) 144 modos
14) 72 números
15) 13 436 928 000
“PARA DESCONTRAIR (COISAS DA SALA DE AULA)”
Sinto que há um braço
levantado, mas acho
que não devo olhar
para trás...
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50
II) FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL
1) Definição:
Conforme já vimos em alguns problemas estudados anteriormente, em vários casos
surgiram produtos do tipo: 5.4.3.2.1 ou 8.7.6.5.4.3.2.1. Para estes casos é interessante
adotar-se alguma notação que simplifique este tipo de produto – surge então a notação
fatorial.
Definimos fatorial de um número natural n 2 como sendo o produto de todos os
números naturais de n até 1 – usamos a notação n !. Logo:
n! = n. (n-1).(n-2).(n-3)....3.2.1
n N, n
2
Definimos também, para os casos n = 0 e n = 1, os valores:
1! = 1 e 0! = 1
Exemplos:
a) 4! = 4.3.2.1 = 24
b) 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320
c) 6! = 6.5.4.3! = 120
3!
3!
Observação: consideremos, por exemplo, o número 6!. Verificamos que 6! = 6.5! ou
6.5.4! ou 6.5.4.3!. Ou ainda, generalizando, temos que: n! = n. (n-1)! = n.(n-1).(n-2)!. Tal
artifício de expansão com fatoriais pode ser útil em vários casos, principalmente na
resolução de equações com fatoriais. Vejamos um exemplo:
Resolva a equação: (n+1)! = 30
(n-1)!
Desenvolvendo o numerador, teremos: (n+1).n(n-1)! = 30 ou ainda (n+1).n = 30.
(n-1)!
2
Estamos diante da equação quadrática n + n – 30 = 0, cujas raízes são n = 5 ou
n = -6 (não serve).
2) Função Fatorial
Da definição de fatorial é imediato que, dado um número natural n, existe e é único o
número n!. Dessa forma podemos definir uma função f, de N em R, tal que f(x) = x!. Essa
função é chamada função fatorial, seu domínio de definição é o conjunto dos números
naturais. Faça uma construção do gráfico desta função. Ela é contínua?
Verificamos que, para todo natural x
1, tem-se: f(x) = x . f(x – 1)
Exemplos e questões propostas:
ou x
1) Qual o domínio de definição da função definida por f(x) = (x – 3) !?
Como sabemos que só está definido fatorial de números naturais, teremos: x – 3
3. Logo, o domínio pedido será o conjunto: D(f) = {x N | x 3}.
0,
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51
2) Resolva a equação: x! = 24.
Observe que equações do tipo x! = a, mesmo que a seja um número natural, muitas
vezes terá solução vazia, já que a função f(x) = x! não é sobrejetora. No caso proposto,
como 24 = 4!, teremos x! = 4!, o que acarreta a solução x = 4.
3) Será a função f(x) = x! uma função injetora? Justifique a sua resposta.
4) Por que os pontos obtidos no gráfico de f(x) = x! não foram “ligados”, formando-se
uma curva?
5) Resolva a equação: (n+1)! – n! = 17n
(n –1)!
2
6) Determine o domínio de definição da função dada pela sentença: f(x) = (-x + 1)!
7) Verifique se fatorial de um número natural pode ser definido da seguinte maneira:
Dado um número n , seu fatorial é o número f(n) = n!, definido por:
f(n) = 1, se n = 0 ou f(n) = n.f(n – 1), se n é natural e n
1.
8) Considerando ainda a função definida no exercício anterior, mostre que:
2
F(a + 2) – f(a + 1) = (a + 1). f(a + 1) = (a + 1) . f(a), para todo a natural.
3) PROBLEMAS DE CONTAGEM
A) PERMUTAÇÕES SIMPLES
Dados n objetos distintos: a1, a2, a3, .... an, cada ordenação obtida a partir desses n
objetos é denominada de uma permutação simples (porque todos são distintos) desses
elementos. Assim, como vimos anteriormente nos problemas de filas ou de anagramas, por
exemplo, temos n modos de escolha para o primeiro lugar, n – 1 modos de escolha para o
segundo lugar, ......1 modo de escolha para o último lugar, ou seja:
O número de modos de ordenar n objetos distintos é igual a n!. Podemos representar
o número de permutações simples de n objetos distintos por Pn. Logo, temos que:
Pn = n!
Exemplos:
1) Quantos são os anagramas da palavra FLAMENGO:
a) Sem quaisquer restrições? - teremos neste caso que determinar o
número de permutações simples das 8 letras distintas dessa palavra, ou
seja: P8 = 8! = 40320 anagramas.
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52
b) Que comecem por uma vogal e terminem por uma consoante? – teremos
nesse caso 3 opções de escolha para a primeira letra da palavra, 5
opções de escolha para a última letra e P6 = 6! = 720 para as demais
posições. Logo, aplicando o princípio fundamental da contagem, teremos
um total de 3 . 5. 720 = 10 800 anagramas.
c) Que tenham sempre juntas as letras A M, em qualquer ordem? Nesse
caso, essas duas letras devem ser consideradas como se fossem uma
única, acarretando a permutação de 7 elementos – as duas juntas e as 6
letras restantes, ou seja 7! = 5040 anagramas. Mas como a ordem não
foi dbefinida, elas poderão também permutar entre si, gerando 2! = 2
variações. Logo, aplicando novamente o princípio fundamental da
contagem, teremos um total de 50 040 x 2 = 10 080 anagramas.
2) Roberta, André e Bernardo fazem parte de um grupo de 7 amigos. Obtenha o
número de filas que podemos formar com esses 7 amigos, de modo que:
a) Roberta, André e Bernardo estejam sempre juntos? Agora, de forma
análoga ao que vimos no exemplo anterior, basta que consideremos
esses três amigos como se ocupassem uma única posição na fila,
teremos assim a permutação de 5 elementos – os três juntos e os 4
restantes, ou seja 5! = 120 filas. Em seguida, como a ordem deles não foi
definida, multiplicamos o resultado obtido por 3! = 6, que representa as
possíveis variações de posição entre eles. Logo, teremos um total de 120
. 6 = 720 filas nas condições do problema.
b) Roberta, André e Bernardo nunca estejam (os três) juntos na fila? Agora
basta determinarmos o totas de filas possíveis e subtrair o resultado
obtido na pergunta anterior (Por que?), teremos então 7! – 720 = 4320
anagramas.
3) De quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianças?
Devemos tomar um certo cuidado com esse tipo de problema, pois o resultado não é
igual a 5! = 120 rodas, como poderíamos pensar “apressadamente”. Verifique que a roda
ABCDE, por exemplo, tem a mesma configuração que a roda EABCD, já que o que importa
agora é a posição relativa das crianças entre si. Dessa forma cada roda pode ser virada de
5 modos que repetem a mesma configuração. Assim, o número de rodas distintas que
podemos obter será igual a 120 : 5 = 24 rodas.
O exemplo acima é o que definimos como sendo permutações circulares de n
elementos. Se repetirmos o mesmo raciocínio que usamos no exemplo anterior, teremos
que as permutações circulares de n elementos distintos serão iguais a:
PCn =
n ! = (n –1) !
n
4) Quantos são os anagramas da palavra AMORA?
Esse é outro caso que demanda um certo cuidado. A resposta seria 5! = 120
anagramas, caso todas as letras fossem distintas. Como temos duas letras A, é claro que
uma permutação entre essas duas letras não geraria anagramas novos. Assim sendo cada
anagrama foi contado 2! = 2 vezes (que são as letras repetidas). Logo, o número correto de
anagramas é 120 : 2 = 60 anagramas.
Problemas como esse é o que denominamos de Permutações com alguns
elementos repetidos. No caso da palavra amora, indicaríamos por:
2
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P5 = 5! = 60 anagramas.
2!
Analogamente, podemos generalizar para Pn , , ...=
n! .
!. !...
, , ... representam a quantidade de repetições de cada um dos elementos
repetidos.
5) Quantos são os anagramas da palavra POROROCA?
Temos uma aplicação direta da fórmula anterior, ou seja:
3, 2
P8
=
8!
= 3 360 anagramas. (o 3 indica as letras O e o 2 indica as letras R).
3! . 2!
6) Essa é para você resolver. Quantos são os anagramas da palavra URUGUAI que
começam por vogal?
7) A figura abaixo representa uma seqüência de 6 símbolos.
+ + + ^ ^ ^
Quantas são as possíveis seqüências distintas que podemos formar com esses
símbolos?
Perceba agora que estamos diante de permutações com alguns elementos repetidos,
no caso, temos:
3, 3
P6
=
6!
3!.3!
= 20 seqüências
B) ARRANJOS SIMPLES
Dados n objetos distintos: a1, a2, a3, .... an, cada ordenação de p objetos (p<n) obtida
a partir desses n objetos recebe a denominação de arranjo simples de n elementos, na taxa
p ou arranjo de n, p a p (A n,p ).
Você pode verificar que um arranjo simples é, de certa forma, similar a uma
permutação simples, sendo que em cada grupamento formado usamos apenas p elementos,
dos n distintos disponíveis.
Exemplo1: Consideremos o conjunto A formado pelas cinco vogais. Os arranjos de três
elementos tomados de A podem ser representados da seguinte maneira:
aei aeo aeu
aie aio aiu
aoe aoi aou
aue aui auo
eai eao eau
eia eio eiu
eoa eoi eou
eua eui euo
iae iao iau
iea ieo ieu
ioa ioe iou
iua iue iuo
oae oai oau
oea oei oeu
oia oie oiu
oua oue oui
uae uai uao
uea uei ueo
uia uie uio
uoa uoe uoi
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Observe que, para ocupar o lugar da primeira vogal, temos 5 possibilidades; por isso
escrevemos 5 linhas na horizontal. A segunda vogal pode ser escolhida entre as 4 restantes;
portanto, separamos quatro grupos em colunas verticais. Por fim, para a terceira vogal,
podemos escolher qualquer uma das três restantes. Indicando o número dos arranjos das 5
vogais tomadas 3 a 3 por A 5,3 no total, teremos:
A 5,3 = 5 X 4 X 3 = 60
Este resultado confirma o que já fazíamos com o princípio fundamental da contagem
(princípio multiplicativo).
Entendemos por arranjo os modos que podemos posicionar os objetos em grupo.
Uma alteração na ordem determinará um novo agrupamento.
Exemplo 2: Quantas siglas, de três letras distintas, podem ser formadas a partir das letras:
A, B, C, D, E, F e G?
Observe que você poderia resolver esse problema usando o princípio fundamental
da contagem (multiplicativo), e teria:
7 escolhas para a primeira letra da sigla, 6 escolhas para a segunda (já que são
letras distintas) e 5 possibilidades de escolha para a terceira letra da sigla. Pelo princípio
fundamental da contagem, teríamos: 7. 6. 5 = 210 siglas.
Observe que as siglas fossem com todas as 7 letras, teríamos um caso de
permutações simples e o resultado seria 7!. Note que o resultado obtido no primeiro caso
(arranjos simples), se for multiplicado por 4!, passará a dar como resultado o segundo caso
(permutações simples). Logo, podemos inferir que (A n,p ). (n – p)! = Pn.
Ou seja:
A n,p =
n! .
(n – p)!
Exemplo 3: Dez cavalos disputam um páreo no Jockei Clube. Quantos são os possíveis
trios para as três primeiras colocações nesta corrida?
Solução:
Trata-se de um caso de arranjos simples, de 10 elementos, na taxa 3, ou arranjos de
10, 3 a 3. Pelo que mostramos anteriormente, teremos:
A 10,3 = 10! = 10.9.8 = 720 possíveis trios de resultados.
7!
EXERCÍCIOS:
1) Será que no número de arranjos simples de n elementos distintos, na taxa n, igual ao
número de permutações simples, desses mesmos n elementos? Justifique a sua
resposta.
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2) De um total de 11 romances e 3 dicionários devem-se tirar 4 romances e 1 dicionário
que serão arrumados numa prateleira de tal modo que o dicionário fique sempre no
meio. De quantos modos isso poderá ser feito?
3) 1 mulher e 5 homens devem sentar-se num banco que possui 5 lugares. De quantas
formas isso poderá ser feito se a mulher deve sempre estar sentada em algum
lugar?
4) Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com os
algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?
5) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é
marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o
cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?
GABARITO
1) Sim, pois A n,n = n! = n !
0!
2) 23 760 modos
3) 600 modos
4) 4 536 números
5) 720 tentativas
ARRANJOS COM REPETIÇÃO
Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste
conjunto em uma ordem determinada (repetidos ou não). Cada uma de tais escolhas é
denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que
existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de
arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:
AR m, p = mp
Exemplos:
a) Quantas são as siglas de três letras, escolhidas a partir das letras: A, B, C, D, E, F?
3
Como dispomos de 6 letras, para escolher 3, teremos AR 6, 3 = 6 = 216 siglas.
b) De quantas maneiras diferentes podemos responder a uma prova de múltiplaescolha, com 20 questões de 5 opções cada uma?
Como temos 5 opções de escolha, para cada uma das 20 questões, teremos neste caso
20
AR 5, 20 = 5
c) Quantas são as formas distintas de se preencher um volante da loteria esportiva,
somente com palpites simples, sabendo-se que são 13 jogos e 3 opções de escolha
para cada um?
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13
Agora temos 3 opções de escolha, para cada um dos 13 jogos, logo AR 3, 13 = 3
d) A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres
alfabéticos ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente alfabético. Qual o
número de senhas possíveis?
Como o primeiro caractere da senha é obrigatoriamente uma letra, teremos 26 opções
de escolha. Para cada um dos três seguintes, teremos 36 opções de escolha (26 letras +
3
10 algarismos), Logo, a resposta é: 26 x AR 36, 3 = 26 x 36
C) COMBINAÇÕES SIMPLES
Dado um conjunto qualquer, com n elementos distintos, denominamos uma combinação
simples com p elementos distintos, desses n disponíveis, a qualquer subconjunto com p
elementos, do conjunto dado. Indicamos essas combinações, de n elementos na taxa p, por
C n ,p , C pn ou
n
(forma binomial)
p
Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não
importando a ordem em que os elementos são colocados.
Exemplo:
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
Observe que enquanto dois arranjos podem se distinguir pela ordem ou pela natureza
de seus elementos, duas combinações só se distinguem pela natureza de seus
elementos.
Contagem do Número de Combinações
Consideremos o conjunto A = {a, b, c, d}. Vimos que as combinações três a três que se
podem formar com os quatro elementos de B são: abc, abd, acd, bcd. Permutando de todas
as formas possíveis os três elementos de cada combinação, obtemos os arranjos simples de
quatro elementos três a três, como indica o quadro:
abc
abd
acd
bcd
abc
abd
acd
bcd
acb
adb
adc
bdc
bac
bad
cda
cdb
bca
bda
cad
cbd
cab
dab
dac
dbc
cba
dba
dca
dcb
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Cada combinação gera, como vemos, 3! = 6 arranjos. Portanto, as quatro combinações
geram 4 x 6 = 24 arranjos. Nesta igualdade, 4 é o número de combinações e
24 é o número de arranjos.
Indicando por
C 4,3
o número de combinações de 4 elementos 3 a 3, vale, portanto, a
relação:
C 4,3 x3! = A 4,3 ou C 4,3 =
A 4,3
3!
Usando esse mesmo raciocínio, poderemos generalizar que:
C n,p =
A n,p
p!
=
n!
(n - p)!.p!
Exemplo a: Sete pontos pertencem a um círculo. Quantos triângulos são definidos por
esses pontos?
Solução: Vejamos um dos possíveis triângulos – triângulo AFB - Se trocarmos a ordem de
seus vértices, considerando por exemplo o triângulo FBA, notamos que trata-se do mesmo
triângulo, logo é um problema de combinações simples.
Teremos então C7,3 =
7!
7.6.5.4!
=
= 35 triângulos
4!.3!
4!.6
Exemplo b: Quantos grupos de três pessoas podem ser selecionados de um conjunto de
oito pessoas ?
Solução: Também nesse caso, em qualquer grupo de três pessoas que formarmos, a ordem
das pessoas não influenciará na formação do mesmo, também teremos um caso de
combinações simples. Ou seja, C 8,3 =
8!
8.7.6.5!
=
= 56 grupos
5!.3!
5!.6
Exemplo c: Num plano, marcam-se doze pontos dos quais seis estão em linha reta.
Quantos triângulos podem ser formados unindo-se três quaisquer desses doze pontos?
Solução: É uma questão semelhante a do exemplo a, também de combinações simples,
sendo que, pelo fato de termos seis pontos alinhados, as combinações desses seis pontos,
três a três, não definirão triângulos. Sendo assim, poderemos calcular o total de
combinações desses 12 pontos, três a três e subtrair as que não formam triângulos, ou seja
a combinação dos 6 pontos alinhados, três a três. Assim sendo, a quantidade de triângulos
que poderão ser formados com os 12 pontos será:
C12,3
C 6,3 =
12!
6!
12.11.10.9!
=
9!. 3!
9!.3! 3!.3!
6.5.4.3!
= 220 20 = 200 triângulos
3!. 3!
Exemplo d: Qual o número de diagonais de um polígono convexo de n lados ?
Solução: Ainda nesse caso, temos combinações simples, já que a diagonal AB, por
exemplo, é a mesma da diagonal BA. Verifique também que teremos que fazer uma
subtração, já que unindo-se, dois a dois, os vértices de um polígono convexo, poderemos ter
diagonais ou lados desse polígono. Como queremos obter a quantidade de diagonais,
vamos calcular o total de segmentos possíveis e subtrair a quantidade de lados. Logo,
teremos:
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Solução:
Cn,2
n=
n!
n.(n - 1).(n - 2)!
-n=
(n 2)!.2!
(n 2)!.2!
n=
n.(n 1)
2
n=
n2
n 2n n.(n 3)
=
diagonais
2
2
OBS: VERIFIQUE QUE OBTIVEMOS EXATAMENTE A VELHA FÓRMULA QUE
ENSINAMOS NA 7ª SÉRIE DO FUNDAMENTAL, PARA O CÁLCULO DA QUANTIDADE
DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO.
Exemplo e: Uma urna contém 12 bolas das quais 7 são vermelhas e 5 são brancas.
De quantos modos podem ser tiradas 6 bolas das quais 2 são brancas?
Solução: Estamos novamente diante de um caso de combinações simples (verifique) e,
como queremos retirar 6 bolas, sendo 2 brancas, é lógico que as outras 4 deverão ser
vermelhas.
Teremos então que retirar 4, das 7 vermelhas disponíveis e retirar 2 das 5 brancas
disponíveis. Como são fatos simultâneos, os dois resultados deverão ser multiplicados
(princípio fundamental da contagem).
C 7,4 x C 5,2 =
7!
5!
x
= 35 x 10 = 350 modos.
3!.4! 3!. 2!
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (COMBINAÇÕES SIMPLES):
1) De um grupo de 7 professores e 10 alunos quantas comissões compostas de 2
professores e 4 alunos é possível formar?
2) Tomando-se 8 pontos sobre uma circunferência, quantos segmentos de reta, com
extremidades nestes pontos, ficam determinados?
3) Numa assembléia de quarenta cientistas, oito são físicos. Quantas comissões de
cinco membros podem ser formadas incluindo no mínimo um físico?
4) Propriedades: Mostre que:
a ) C n,0 = 1
b) C n,n = 1
c) C n,p = C n, n - p
5) Seis homens e três mulheres inscreveram-se para trabalhar com menores carentes
num projeto da prefeitura local, mas serão escolhidos apenas 5 participantes. De
quantas formas podemos escolher a equipe de modo que haja sempre, pelo menos
uma mulher?
6) Quantas partidas foram disputadas em um campeonato de futebol, disputado em um
só turno (isto é, dois times se enfrentaram uma única vez), do qual participam 16
times?
7) Uma equipe de inspeção tem um chefe, escolhido entre 4 engenheiros e 10 técnicos,
escolhidos entre 15 outros profissionais. De quantas maneiras pode ser composta
essa equipe?
8) Qual o número de subconjuntos com 2, 3 ou 4 elementos que tem um conjunto de 9
elementos?
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9) É dado um conjunto E, de 10 elementos. Quantos subconjuntos de E não são
conjuntos de 4 elementos?
10) Duas retas r e s são paralelas. Existem 4 pontos marcados sobre r e outros 5 pontos,
marcados sobre s. Quantos são os triângulos que podem ser construídos unindo-se
3 desses 9 pontos?
11) Com 7 cardiologistas e 6 neurologistas que trabalham num hospital, quer-se formar
uma junta médica de 5 elementos. Quantas juntas podem ser formadas se devem
sempre participar 3 cardiologistas e 2 neurologistas?
12) De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas
mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres?
13) Quantas saladas, contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos de 10
frutas diferentes?
GABARITO
01) 4410
02) 28
03) 456 632
06) 120
11) 525
07) 12012
12) 371
08) 246
13) 210
04) Aplicação direta
da fórmula,
lembrando que 0! = 1
05) 120
09) 814
10) 70
3) COMPLEMENTOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
A) OS LEMAS DE KAPLANSKY
Você vai estudar agora uma ferramenta importante do cálculo combinatório e que não
costuma estar presente na maioria dos textos sobre o assunto.
Observe as seguintes questões...
•
3 Provas de um concurso devem ser realizadas na primeira semana do ano. De
quantos modos é possível escolher os dias de provas, de modo que não haja
provas em dias consecutivos?
•
Dado um icoságono, quantos são os triângulos que podem ser construídos, a partir
de vértices não consecutivos desse icoságono?
•
Quantos são os anagramas da palavra araraquara que não possuem duas letras a
consecutivas?
VOCÊ CONSEGUE PERCEBER AS SEMELHANÇAS EXISTENTES NAS TRÊS
QUESTÕES PROPOSTAS ACIMA?
Existem dois teoremas (Lemas de Kaplansky) que enunciaremos a seguir e que nos
permitirão resolver questões semelhantes a que estão propostas.
Lema 1)
De quantos modos é possível formar um p-subconjunto (isto é um subconjunto com p
elementos), a partir do conjunto {1, 2, 3, ...,n}, no qual não haja números consecutivos?
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Por exemplo, se o conjunto fosse {1, 2, 3, 4, 5, 6}, teríamos 4 opções de formarmos 3subconjuntos onde não existiriam números consecutivos. Seriam os seguintes subconjuntos:
{1, 3, 5} {1, 3, 6} {1, 4, 6} {2, 4, 6}
É lógico que este processo de enumeração é exaustivo e nada prático, então, vamos
demonstrar que o número de p-subconjuntos, sem que hajam elementos consecutivos, a
partir do conjunto {1, 2, 3, ...,n} é:
f ( n, p ) = C n
p + 1, p
Para facilitar o entendimento da fórmula, vamos usar a notação
para os elementos que
farão parte do p-subconjunto e a notação para os que não farão parte dele.
Para o exemplo dado, com um conjunto de 6 elementos e subconjuntos de 3 elementos,
teríamos 3 símbolos
e 3 símbolos
e que, em cada subconjunto não poderiam estar
seguidos.
Para o subconjunto {1, 3, 5}, a simbologia respectiva seria:
Devemos perceber que, para 6 elementos, ficam definidos 7 posições possíveis (n + 1),
fixando os 3 lugares que seriam preenchidos pelos elementos que não farão parte do 3subconjunto, sobrariam 4 posições (n – p +1) para serem escolhidas 3 para serem
preenchidas pelos que farão parte do p-subconjunto.
Note que, se temos 3 elementos que não vão participar do p-subconjunto, temos 3 + 1
(n – p +1) posições para serem ocupadas pelos outros 3 elementos, que farão parte do
subconjunto. Logo, em nosso exemplo, temos uma única posição para os não participantes
( ) e C4,3 para os participantes ( ) do 3-subconjunto.
Então, generalizando, teremos a fórmula apresentada:
f ( n, p ) = C n
p + 1, p
Então, o enunciado do Lema 1 é: O número de p-subconjuntos de {1, 2, 3, ....,,n} nos
quais não há números consecutivos é:
f ( n, p ) = C n
p + 1, p
APLICAÇÕES:
1) As três provas de um vestibular devem ser realizadas na primeira semana do ano. De
quantos modos é possível escolher os dias das provas, de modo que não haja provas
em dias consecutivos?
Solução:
O que se deseja é a quantidade de 3-subconjuntos, a partir de um conjunto de 7 elementos
(os dias da semana) e de forma que não existam elementos consecutivos.
É uma aplicação imediata do 1º Lema de Kaplansky, e, aplicando a fórmula demonstrada,
teremos:
f (7, 3) = C 5 , 3 = 10
2) Uma fila de cinema tem 15 cadeiras e devem sentar-se 15 alunos de um Colégio. De
quantos modos isso poderá ser feito, sabendo que os 5 rapazes do grupo não desejam
estar em cadeiras contíguas?
Solução:
Em primeiro lugar, devemos aferir os modos de escolha das 5 cadeiras, sem que existam
cadeiras consecutivas para esses rapazes. De acordo com o 1º Lema de Kaplansky,
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teremos:
f (15, 5) = C11 , 5 = 462 .
61
Escolhidas as 5 cadeiras a serem ocupadas pelos
rapazes, devemos designar um homem para cada uma delas, e isso poderá ser feito de 5!
modos distintos. Logo, a resposta final do problema será: 462 . 5! = 55 440 modos distintos.
3) Quantos são os anagramas da palavra MISSISSIPI nos quais não há duas letras S
consecutivas?
Solução:
Essas letras deverão ocupar uma das casas _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . Devemos
agora escolher 4 casas sem que haja casas consecutivas para colocar as letras S, o que
pode ser feito de f(10,4) (Lema 1) = C10 4+1, 4 = C7, 4 = 35 modos . Em seguida, devemos
arrumar as 6 letras restantes (4 I, 1 M e 1 P) nas 6 casas restantes, o que é um caso de
permutações com elementos repetidos P64 =
6!
= 30 modos. Logo, o número de
4!
anagramas pedido será igual a 35 x 30 = 1050 anagramas.
Lema 2) O número de p-subconjuntos de {1, 2, 3, ... n} nos quais não há números
consecutivos, considerando que 1 e n são consecutivos é:
f 2 ( n, p ) =
n
n
p
Cn
p, p
Para esse segundo caso, fica mais fácil imaginar que os n elementos do conjunto estejam
arrumados em círculo, como na figura abaixo (1 e n serão consecutivos)
n
1
2
n-1
3
...
Faremos a demonstração do segundo lema, considerando o número total de p-subconjuntos
onde figure o 1, somados com o número de p-subconjuntos onde não figure o 1.
Caso A) Número de subconjuntos que incluem o 1 – Devemos neste caso, escolher p – 1
elementos no conjunto {3, 4, 5, ....., n – 1}, pois, se o 1 entra, não entrarão o 2 nem o n, para
serem companheiros do 1, em cada subconjunto, sem que hajam elementos consecutivos.
Aplicando o Lema 1, teremos:
f (n 3, p - 1) = C n
3 ( p 1) +1 , p -1
= Cn
p 1, p 1
Caso B) Número de subconjuntos nos quais o elemento 1 não figura. Para formá-los
devemos escolher p elementos em {2, 3, 4, ...., n}, não podendo ser escolhidos elementos
consecutivos. Aplicando novamente o Lema 1, teremos:
f (n 1, p) = C n
1 p +1 , p
= Cn
p, p
Logo, o resultado procurado será a soma das duas respostas obtidas (confirme!), que nos
remete à fórmula do Lema 2:
f 2 ( n, p) =
APLICAÇÃO:
n
n
p
Cn
p, p
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62
1) Ana deve ter aula de tênis três vezes por semana, durante um semestre. Quantos são os
modos de escolher os dias de aula, se Ana não deseja ter aulas em dias consecutivos?
Solução:
Ana deve escolher 3 dos elementos do conjunto {domingo, segunda-feira, terça-feira,
quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}, não podendo escolher dois dias consecutivos
e sendo domingo e sábado dias consecutivos.
De acordo com o Lema 2, teremos o seguinte número de modos:
f 2 ( 7, 3 ) =
7
7 3
C7
3,3
7
= .4 = 7
4
B) COMBINAÇÕES COMPLETAS OU COM REPETIÇÃO
Responda à pergunta: De quantos modos é possível comprar 3 sorvetes em uma loja
que os oferece em 5 sabores?
Normalmente somos levados a responder que a solução é C 5,3 = 10 . Esta
resposta não está correta. Ela estaria certa caso a pergunta fosse: De quantos modos
podemos escolher 3 sorvetes diferentes, em uma loja que os oferece em 5 sabores? Essas
10 possibilidades representam as combinações simples de 5 elementos, tomados 3 a 3.
Na questão apresentada, a resposta correta seria CR 5,3 , que são as combinações
completas de 5 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, nesse caso admitiríamos a hipótese da
pessoa escolher sabores repetidos. O cálculo das combinações completas, que veremos a
seguir, seguirá um raciocínio que já vimos anteriormente, ao estudarmos as permutações
com elementos repetidos.
Para que possamos entender melhor o nosso problema inicial, vamos supor que a
loja oferecesse os sabores: manga, abacaxi, goiaba, cereja e limão. Nas combinações
simples, desses 5 sabores, tomados 3 a 3, só teríamos composições do tipo: manga,
abacaxi, goiaba ou goiaba, cereja, limão ou abacaxi, goiaba, limão, etc...Como se pode
perceber, essa opção das combinações completas dará um resultado maior que na primeira,
que gerou 10 possibilidades de escolha.
Podemos encarar a solução do problema das combinações completas da escolha de
3 sabores (distintos ou não), numa loja que oferece 5 opções de escolha, como sendo as
soluções inteiras e não negativas da equação:
x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 3
Temos, portanto, 5 variáveis que representam a quantidade comprada, de cada um
dos sabores oferecidos.
Se você retornar à página 17 de nosso curso, verificará que já mostramos uma
solução para esse problema, através de permutações com alguns elementos repetidos. Na
ocasião, vimos que a quantidade de soluções inteiras e não negativas de uma equação do
tipo:
x1 + x 2 + x 3 + ... + ...x n = p
era dado por
Pnn 11+, pp .
No nosso exemplo da sorveteria, teremos então CR 5,3 = P73,4 =
7!
= 35.
3!. 4!
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63
Podemos então concluir, sobre as combinações completas de n elementos, p a p.
n 1, p
1+ p
CR n, p = Pn
=
(n - 1 + p) !
(n 1)! . p !
Exemplos:
1) De quantos modos podemos comprar 4 salgadinhos em uma lanchonete que oferece
7 opções de escolha de salgadinhos?
Solução: Pelo que vimos anteriormente, teremos que determinar a quantidade de
soluções inteiras e não negativas de uma equação do tipo:
x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = 4 . A solução, como mostramos, será dada por:
CR 7, 4 = P106,4 =
10 !
= 210.
6!. 4!
2) Podendo escolher entre 5 tipos de queijo e 4 marcas de vinho, de quantos modos é
possível fazer um pedido num restaurante, com duas qualidades de queijo e 3
garrafas de vinho?
Solução: temos que escolher os dois tipos de queijo, entre os 5 disponíveis (distintos
6!
= 15. Em seguida, temos que escolher
4!. 2!
6!
= 20. Logo, o
3 garrafas entre os 4 vinhos disponíveis, ou seja, CR 4, 3 = P63,3 =
3!. 3!
ou não). Isto será igual a CR 5, 2 = P64,2 =
número de pedidos de queijo e vinho, da acordo como proposto na questão, será
dado por 15 x 20 = 300.
C) PRINCÍPIO DAS GAVETAS – DIRICHLET
Na análise combinatória muitas vezes somos levados a muito mais do que simplesmente
contar os elementos de conjuntos ou seqüências. Em algumas ocasiões o que se pretende é
verificar a existência, ou não, de conjuntos que satisfaçam a determinadas propriedades.
Uma importante ferramenta para essas situações é o princípio das gavetas de Dirichlet
(1805 – 1859, matemático alemão).
PRINCÍPIO DAS GAVETAS - Se dispomos de n objetos para colocar em, no máximo,
1, gavetas, então ao menos uma delas conterá pelo menos dois objetos.
n–
Prova (por absurdo) – se cada uma das gavetas contiver, no máximo, 1 objeto, o número
total de objetos colocados será igual a n – 1, o que contraria a hipótese de dispormos de n
objetos. Logo, em uma das gavetas pelo menos teremos que colocar 2 objetos, ao menos.
EXEMPLOS:
1) Em um grupo de k pessoas, pelo menos duas delas terão de aniversariar no mesmo
mês, de acordo com o princípio das gavetas de Dirichlet, qual deve ser o menor valor
de k?
Solução:
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64
Como são 12 os meses do ano e queremos o valor mínimo de k, teremos, pelo princípio
das gavetas que k deverá ser igual a 13.
2) Quantas pessoas devemos tomar, em um grupo, no mínimo, de modo a que
possamos garantir que duas delas nasceram no mesmo dia da semana?
Solução:
Analogamente ao caso anterior, como são 7 os dias da semana, devemos ter um
mínimo de oito pessoas no grupo (7 + 1)
3) Quantas pessoas devemos tomar, em um grupo, no mínimo, de modo a que
possamos garantir que três delas nasceram no mesmo dia da semana?
Solução:
Temos agora a proposta de que possamos garantir que três dessas pessoas
nasceram no mesmo dia da semana. Teremos nesse caso um mínimo de 15 pessoas (2
x 7 + 1)
4) Em uma caixa há 12 meias brancas e 12 meias pretas. Quantas meias devemos
retirar, ao acaso, no mínimo, para que possamos garantir que retiramos um par de
meias de mesma cor?
Solução:
As quantidades de meias que estão registradas nesse exemplo só servem para nos
confundir, pois se queremos obter um par de meias de mesma cor, teremos que retirar
no mínimo três meias, já que só existem duas cores distintas.
5) Qual o número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que
possamos garantir que nele haja, pelo menos, 5 pessoas nascidas no mesmo mês?
Solução:
Devemos ter nesse grupo um mínimo de 49 pessoas, pois nesse caso, até 48
pessoas ainda não poderíamos garantir que 5 delas teriam nascido no mesmo mês,
12 meses x 4 = 48 pessoas.
EXERCÍCIOS GERAIS – MATEMÁTICA COMBINATÓRIA
Até agora estudamos vários tópicos importantes da Matemática Combinatória.
Todos esses tópicos vieram acompanhados de exemplos ilustrativos e exercícios
propostos. Vamos agora, antes de continuarmos nosso estudo, resolver uma série de
exercícios sobre todos os tópicos já estudados, a saber: Princípio Fundamental da
Contagem, Arranjos, Combinações e Permutações Simples, Arranjos, Permutações e
Combinações com Repetição e Lemas de Kaplansky.
Todos os exercícios virão com os respectivos gabaritos e você deve, sempre que
necessário, recorrer à teoria contida na apostila para tirar as suas dúvidas.
1) Dez estudantes prestam um concurso. De quantas maneiras pode ser composta
a lista dos 4 primeiros colocados?
2) Quantos são os subconjuntos, com 5 elementos, do conjunto {a, b, c, d, e, f, g},
sendo que em cada subconjunto a e b estejam sempre presentes?
3) Ainda com relação ao problema anterior, quantos são os subconjuntos de 5
elementos, do conjunto dado, aos quais não pertençam os elementos a e b?
4) Sete pessoas, entre elas José e Pedro, estão reunidas para formar uma chapa
com presidente, secretário, segundo-secretário e tesoureiro para concorrer às
eleições de um clube. Determine em quantas das possíveis chapas:
a) José é o presidente e Pedro é o tesoureiro
b) José não é o presidente e Pedro não é o tesoureiro.
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5) Um deputado quer convocar 5 entre 8 políticos de seu grupo para uma reunião.
No entanto, dois desses políticos têm forte rixa pessoal. De quantos modos pode
ser feita a convocação de maneira que não compareçam simultaneamente os
dois citados?
6) De quantas maneiras diferentes uma família de 4 pessoas pode pedir almoço (um
prato para cada pessoa), em um restaurante que oferece 8 tipos de pratos?
7) Quantas são as funções injetoras que podemos definir do conjunto A, com 5
elementos, no conjunto B, com 8 elementos?
8) Os conjuntos E e F têm, respectivamente, 4 e 10 elementos. Quantas são as
funções, de E em F, que não são injetoras?
9) Escrevendo-se em ordem crescente a lista de todos os números de 5 algarismos
distintos, formados com os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9, que lugar ocupa o número
78 695?
10) Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6 formam-se todos os números de 5 algarismos
distintos possíveis. Determine a soma de todos esses números.
11) Quantos são os anagramas da palavra BUTANOL, que apresentam a sílaba TO?
12) Quantos são os anagramas da palavra BARBARIDADE?
13) O diagrama abaixo representa algumas ruas de uma cidade. De quantos modos
uma pessoa pode dirigir-se do ponto A ao ponto B, utilizando-se sempre dos
caminhos mais curtos (uma unidade de quadradinho de cada vez, horizontal ou
vertical)?
B
A
14) Resolva a equação:
( x + 4)!+( x + 2)! 7
=
3.[( x + 3)]!
6
15) Quantas são as soluções inteiras e não negativas da equação abaixo?
x+y+z+w+g+p=5
16) Quantos são os números inteiros, maiores que 4000 e menores que 9000,
formados por algarismos distintos e que são múltiplos de 5?
17) Aninha deve freqüentar a academia de musculação duas vezes por semana,
durante todo o ano. Quantos são os modos dela escolher os dias de suas aulas
se não deseja ter aulas em dias consecutivos?
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18) Se os telefones de uma certa vila devem ter números de 5 algarismos, todos
começando com 23 e todos múltiplos de 5, então o número máximo de telefones
que a vila pode ter é:
19) 12 professores, sendo 4 de matemática, 4 de geografia e 4 de inglês, participam
de uma reunião com o objetivo de formar uma comissão que tenha 9 professores,
sendo 3 de cada disciplina. O número de formas distintas de se compor essa
comissão é:
k
20) número natural 8 . 5 tem 24 divisores inteiros e positivos. Determine o valor de
k.
21) De quantas maneiras três mães e seus respectivos três filhos podem ocupar uma
fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe sente junto de seu filho?
22) Quantas são as maneiras de um cientista escolher pelo menos duas cobaias,
num grupo de seis cobaias?
23) Um feixe de 8 retas paralelas intersecta outro conjunto de 5 retas paralelas.
Quantos são os paralelogramos determinados por essas retas?
24) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto.
Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis
podem posar para a foto?
25) Observe o código abaixo, composto por 10 sinais, de dois tipos: e (cinco de
cada um). Quantos códigos distintos poderemos obter com esses 10 símbolos?
26) Sejam duas retas paralelas r e s. Tomam-se 5 pontos distintos em r e 4 pontos
distintos em s. Qual a razão entre o número total de quadriláteros convexos e o
número total de triângulos que podem ser formados com vértices nesses pontos?
27) Sobre uma mesa colocam–se seis moedas em linha. De quantos modos
podemos obter duas caras e quatro coroas voltadas para cima?
28) Qual a quantidade de anagramas da palavra ERNESTO que começam e
terminam por consoantes?
29) Quantos são os números inteiros positivos, de cinco algarismos, em que dois
algarismos adjacentes nunca sejam iguais?
30) Um professor propôs para uma de suas turmas uma prova com 7 questões, das
quais cada aluno deveria escolher exatamente 5 questões para responder. Sabese que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos os alunos
da turma. Determine o número máximo de alunos que essa turma poderia ter.
31) Dado um decágono, quantos são os triângulos cujos vértices são vértices não
consecutivos desse polígono?
32) Quantos são os anagramas da palavra ARARAQUARA que não possuem duas
letras a consecutivas?
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Gabarito (exercícios gerais)
1) 5040
2) 10
3) 11
5) 36
8) 4 960
4) a) 20
b) 820
9) 64º
6) 1 663 200
7) 6 720
11) 720
12) 831 600
13) 35
14) x = -1
15) 252
16) 504
17) 14
18) 200
19) 64
20) k = 5
21) 48
22) 57
23) 280
24) 48
26) 6 / 7
27) 15
28) 720
29) 59 049
31) 50
10) 5 333 280
25) 252
30) 21
32) 120
4) BINÔMIO DE NEWTON
Um binômio é qualquer expressão da forma x + y, ou seja, é a representação da soma
algébrica de duas quantidades distintas.
Considere o produto dos três binômios.
(m + n )( p + q )(r + s ) = mpr + mps + mqr + mqs + npr + nps + nqr + nqs
Observe que consiste de oito termos, cada um dos quais possuindo três letras, sendo cada
letra escolhida dentre as duas, de cada um dos binômios. O princípio multiplicativo e a
propriedade distributiva nos oferecem a possibilidade de contar o número de termos de
produtos desse tipo, pois se de cada um dos três parênteses vamos escolher uma letra
entre as duas existentes, temos que o número de termos do produto será 2 3 . Naturalmente
que este raciocínio pode ser estendido para um produto contendo um número qualquer de
binômios. Se o produto for constituído de 4, 5 ou n binômios o número de termos do
desenvolvimento será respectivamente, 2 4 = 16, 2 5 = 32 ou 2 n
Vamos tomar agora o produto de seis binômios, todos iguais. Por exemplo:
(x + a )(x + a )(x + a )(x + a )(x + a )(x + a ) .
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68
Como temos 64 maneiras de selecionarmos 6 letras, uma de cada binômio, e como todos os
binômios são iguais a (x + a ) teremos termos repetidos. Por exemplo, se tomarmos a letra a
nos 2 primeiros e a letra x nos 4 últimos, teremos a 2 x 4 , que irá aparecer toda vez que a
letra a for escolhida em exatamente 2 dos 6 binômios e a letra x nos 4 restantes. Como isto
pode ser feito de C 62 maneiras diferentes, afirmamos que o termo a 2 x 4 irá aparecer este
número de vezes, o que equivale a dizer que o coeficiente de a 2 x 4 é igual a C 62 .
Observando que qualquer termo consiste do produto de 6 letras, o termo geral é da forma
a p x q , onde p + q = 6, ou seja, cada termo é da forma a p x 6 p . Como esse termo aparece
C 6p vezes a expansão acima, organizada segundo as potências decrescentes de x, é dada
por
(x + a )6
=
6
p=0
C 6p a p x 6
p
= C 60 a 0 x 6 + C 61 a1 x 5 + C 62 a 2 x 4 + C 63 a 3 x 3 + C 64 a 4 x 2 + C 65 a 5 x1 + C 66 a 6 x 0
= x 6 + 6ax 5 + 15a 2 x 4 + 20a 3 x 3 + 15a 4 x 2 + 6a 5 x + a 6
No caso geral (x + a ) , cada termo será da forma a p x n p . Note que o termo a p x n p irá
aparecer para cada escolha da letra a em p dos n fatores. Como tal escolha pode ser feita
n
de C np formas diferentes, temos: (x + a ) =
n
n
p =0
C np a p x n
p
. Além disso, como,
(x + a )n = (a + x )n , podemos concluir que, permutando-se as letras x e a teremos,
(a + x )n
=
n
p =0
C np x p a n
p
, e isto nos garante o fato já conhecido de que C np = C nn
que, pelo argumento apresentado, o coeficiente de a n p x p é dado por C nn
palavras, que , na expansão de
extremos são iguais.
Na expansão de (x + a ) =
n
n
p =0
(x + a )n ,
C np a p x n
p
p
, uma vez
ou, em outras
os coeficientes dos termos eqüidistantes dos
p
Denotamos o termo geral por T p +1 , o qual é dado por T p +1 = C np a p x n
Exemplo 1 Calcular o quarto termo da expansão de (1 + k ) 8 .
Solução: Temos aqui, x = 1, a = k, n = 8 e p + 1 = 4. Logo p = 3 e
T4 = T3+1 = C83 k 3 18 3 = 56k 3 .
Exemplo 2 Calcular o sexto termo da expansão de (x
5y) .
10
Solução: Neste caso a = -5y, n =10, p + 1 = 6 e p = 5. Portanto,
T6 = C105 ( 5 y ) x 5
5
T6 = C105 ( 5) x 5 y 5 = 787.500 x 5 y 5 .
5
Exemplo 3 Demonstrar a seguinte identidade:
p
.
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n
p =0
Solução: Como (x + a ) =
n
n
p =0
69
C np = C no + C n1 + C n2 + .... + C nn = 2 n
C np a p x n p , é fácil ver que, para x = a = 1, o lado direito desta
igualdade nos dá a soma pedida, que será igual a 2 n . Este valor representa também, o
número de subconjuntos de um conjunto contendo n elementos.
Observe que o exemplo 3 nos oferece uma importante propriedade das combinações e que
será muito útil na resolução de alguns problemas clássicos de Matemática Combinatória.
Vamos novamente destacar essa propriedade:
Cno + Cn1 + Cn2 + .... + Cnn = 2n
Exemplo 4: Quantas comissões, com no mínimo duas pessoas, podemos formar a partir de
um grupo de 15 pessoas.
Solução: É fácil constatar que a solução desse problema será dada pela soma de várias
combinações, já que as comissões poderão ter de 2 a 15 pessoas, ou seja:
15
C152 + C153 + C154 + .... + C15
Repare que, para ficarmos de acordo com a propriedade mostrada anteriormente, visando
facilitar nossos cálculos, poderemos acrescentar as combinações que estão faltando (são
duas) e depois, subtrair da resposta obtida o valor que foi acrescentado. Logo, teremos:
1
15
C150 + C15
+ C152 + C153 + C154 + ..... + C15
= 215
Mas,
C150 + C151 = 16
Dessa forma, a resposta procurada será igual a 215 - 16 = 32 752 comissões.
Listamos abaixo a expansão de (a + b ) para alguns valores de n.
n
(a + b )0 = 1
(a + b )1 = a + b
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b )4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
(a + b )5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5
(a + b )6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6
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70
Coeficientes Binominais – Triângulo de Pascal
Chamamos “Triângulo de Pascal” ao triângulo formado pelos coeficientes das expansões
acima, isto é,
• Os números que surgem em cada linha do triângulo de Pascal são exatamente os
n
mesmos coeficientes dos termos da expressão de (a + b )
• Observe também que a soma de dois termos consecutivos de uma mesma linha do
triângulo corresponde ao termo da linha imediatamente inferior, isto é, C np + C np +1 = C np++11 .
Esta propriedade é conhecida como relação de Stifel
Linha 0
1
1ª linha
1
1
2ª linha
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
5 10 10 5
1
1
1ª col
2ª col
col 0
1 6 15 20 15 6 1
.................................
Enumeramos as linhas deste triângulo de acordo com o expoente da potência da qual os
coeficientes foram retirados, isto é, a 1ª linha é “1 1” a 2ª “1 2 1” e assim sucessivamente.
Enumeramos as colunas da mesma forma, isto é, a formada só de dígitos iguais a 1 é a de
número zero e assim por diante. Observe que a soma dos elementos da linha 5 é:
C 50 + C 51 + C 52 + C 53 + C 54 + C 55 = 32 = 2 5 . Para somarmos os elementos da n-ésima linha, só
precisamos lembrar que C n0 + C n1 + C n2 + ....C nn , representa o número de subconjuntos de um
conjunto de n elementos e assim, C n0 + C n1 + C n2 + ....C nn = 2 n
Já mostramos que a soma dos elementos da n-ésima linha é igual a 2 n e que numa mesma
linha termos eqüidistantes dos extremos são iguais. No exemplo 4 mostraremos que a soma
dos
n primeiros elementos da coluna p é igual ao n-ésimo elemento da
( p +1) ésima coluna
Cada elemento do triângulo de Pascal é um número binomial e sua posição no triângulo fica
determinada por um par ordenado que indica a linha e a coluna ocupada pelo binomial. Se o
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binomial ocupa a linha n e a coluna p sua representação será
71
n
, onde n é chamado
p
numerador e p é o denominador do binomial. Devemos observar também que
n
= C np .
p
Por uma questão de comodidade iremos evitar a notação de número binomial dando
preferência a notação de combinações por ser um pouco mais familiar aos estudantes que
já completaram um curso de análise combinatória. É claro que todas as propriedades das
combinações são naturalmente legadas aos números binomiais
Veja que interessante: Uma outra justificativa do método apresentado para o
(x + a )n .
desenvolvimento dos (n + 1) termos de
Você sabe que, podemos obter o desenvolvimento de (x + a ) = (x + a) . (x + a), procedendo
da seguinte maneira:
• Multiplicando cada termo de (x + a) por x
• Multiplicando cada termo de (x + a) por a
• Somando os termos obtidos e efetuando a redução dos termos semelhantes.
2
Analogamente,
(x + a )
3
após
a
obtenção
(x + a )2
de
podemos
obter
os
termos
de
= ( x + a ) 2 .( x + a ) , procedendo da seguinte maneira:
Multiplicando cada termo de (x + a ) por x
2
•
Multiplicando cada termo de (x + a ) por a
Somando os termos obtidos e efetuando a redução dos termos semelhantes.
2
•
•
Seguindo dessa mesma forma, sucessivamente, podemos obter
raciocínio proposto nos conduz ao seguinte diagrama:
1
(x + a) =
(x + a )
2
=
x
x
(x + a )
3
(x + a )
x
4
=
=
x
x
4
x
3
2
a
a
+ 4ax
3
a
2ax
x
3ax
x
a
x
+
a
+
+
x
a
+
a
2
2
2
a
x
a
+ 3a x
+ a
+ 6a x
2
(x + a )4 , (x + a )5 ,... O
2
x
a
+
3
x
3
a
4
4a x + a
...................................................................................................
No diagrama anterior olhando apenas os coeficientes dos termos, vemos claramente a
formação do triângulo de Pascal, com seus “lados” sempre começando e terminando por 1,
tendo como “miolo” os números binomiais que podem ser obtidos através da soma dos
números “vizinhos” da linha anterior. (Idéia extraída do livro “O que é a matemática?” de
Courant e Robbins).
Exemplo 5 Demonstrar a seguinte identidade (teorema das colunas).
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72
C pp + C pp+1 + C pp+ 2 + . . .C pp+ n = C pp++n1+1 .
A principal propriedade do triângulo de Pascal (Relação de Stifel)
C np++11 = C np +1 + C np
Justifica a seqüência de igualdades abaixo:
C pp++11 = C pp +1 + C pp
C pp++21 = C pp++11 + C pp+1
C pp++31 = C pp++21 + C pp+ 2
.............................. .
C pp++n1 = C pp++n1 1 + C pp+ n
1
C pp++n1+1 = C pp++n1 + C pp+ n
Se somarmos membro a membro estas igualdades (cancelando termo iguais), teremos
C pp++n1+1 = C pp +1 + C pp + C pp+1 + C pp+ 2 + .... + C pp+ n , que é a igualdade pedida, uma vez que
C pp +1 = 0 . Na figura abaixo ilustramos o que acabamos de demonstrar.
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
5 10 10 5
1
6 15 20 15 6 1
1
7
1
1
21 35 35 21 7 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Exemplo 6: Achar uma fórmula para a soma dos n primeiros inteiros positivos.
Solução: Isto é decorrência do exemplo anterior, pois,
1 + 2 + 3 + ..... + n = C11 + C 21 + C 31 + ...... + C n1 = C n2+1 =
Exemplo 7: Prove que C n0
C n1 + C n2
n(n + 1)
2
C n3 + .... + ( 1) n C nn = 0
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(x + a )n
Devemos lembrar que
n
=
p =0
C np a p x n
p
73
, portanto basta tomarmos x = 1 e a = -1.
1
Exemplo 8: Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de x + 3
x
10
2
Escrevemos inicialmente o termo geral do desenvolvimento que é T p +1 = C
p
10
portanto, T p +1 = C10 x
p
3p
x 20
2p
= C10p x 20
5p
1
x3
p
(x )
2 10 p
,
. Como queremos que o termo independa de x,
devemos fazer 20 – 5p = 0. Logo p = 4 e assim o termo procurado é o quinto termo e seu
valor é T5 = C104 = 210 .
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – BINÔMIO DE NEWTON:
1. Determine o termo central ou médio do desenvolvimento de:
x
1
2x
2
10
2. Calcule os dois termos médios do desenvolvimento de: ( 3x + 2a )
3. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de
3
x3
7
1
2y
6
4. No desenvolvimento de (1 + x ) , os coeficientes do 14º e do 28º termos são iguais.
Determine n.
n
5. Determine o quinto termo do desenvolvimento de
7
1
2x3
x
.
Supondo o desenvolvimento ordenado segundo as potências decrescentes da primeira
parcela
.
6. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de
1
x3
x2
10
.
7. Determine o coeficiente de x 3 no desenvolvimento de
3x
8. Calcule: (x + y ) + (x
4
y)
4
4
2
x
12
.
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74
9. Explique porque não existe termo independente de x no desenvolvimento de
1
x+
x
10. Calcule m sabendo que
2 n +1
.
m
m
m
m
+
+
+ .... +
= 254 .
1
2
3
m 1
GABARITO – BINÔMIO DE NEWTON
63 5
x
8
01) T6 =
02)
03)
T4 = 22680a 3 x 4
T5 = 15120a 4 x 3
5
2
T5 =
07)
6
08)
T5 = 210
3041280
2 x 4 + 12 y 2 x 2 + 2 y 2
09) p =
04) n = 40
05)
06)
35
x
16
9
2n + 1
, logo ñ seria natural
2
10) m = 8
5) PROBABILIDADES
5.1) Origem Histórica
É possível quantificar o acaso?
Para iniciar, vamos considerar algumas hipóteses: Rita espera ansiosamente o nascimento
de seu filho, mas ela ainda não sabe qual será o sexo da criança. Em outro caso, antes do
início de um jogo de futebol, o juiz tira "cara ou coroa" com uma moeda para definir o time
que ficará com a bola. Numa terceira hipótese, toda semana, milhares de pessoas arriscam
a sorte na loteria. Problemas como os acima são, hoje, objeto de estudo das probabilidades.
Os primeiros estudos envolvendo probabilidades foram motivados pela análise de jogos de
azar. Sabe-se que um dos primeiros matemáticos que se ocupou com o cálculo das
probabilidades foi Cardano (1501-1576). Data dessa época (na obra Liber Ludo Alae) a
expressão que utilizamos até hoje para o cálculo da probabilidade de um evento (número de
casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis). Posteriormente tal relação foi
difundida e conhecida como relação de Laplace.
Com Fermat (1601-1665) e Pascal (1623-1662), a teoria das probabilidades começou a
evoluir e ganhar mais consistência, passando a ser utilizada em outros aspectos da vida
social, como, por exemplo, auxiliando na descoberta da vacina contra a varíola no século
XVIII.
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75
Laplace foi, certamente, o que mais contribuiu para a teoria das probabilidades. Seus
inúmeros trabalhos nessa área foram reunidos no monumental Tratado Analítico das
Probabilidades, onde são introduzidas técnicas poderosas como a das funções geradoras,
que são aproximações para probabilidades com o uso do cálculo integral.
Atualmente, a teoria das probabilidades é muito utilizada em outros ramos da Matemática
(como o Cálculo e a Estatística), da Biologia (especialmente nos estudos da Genética), da
Física (como na Física Nuclear), da Economia, da Sociologia, das Ciências Atuariais, da
Informática, etc.
A roleta, um dos jogos de azar preferidos
pelos apostadores nos cassinos, teve sua
origem na França do século XVIII. É
formada por 36 elementos dispostos em três
colunas de 12 números e um espaço
reservado para o zero. As chamadas
apostas simples são: sair par ou sair ímpar,
sair vermelho ou sair preto, e sair números
menores (de 1 a 18) ou sair números
maiores (de 19 a 36)
Exemplo: A probabilidade de ao lançarmos um dado sair um número ímpar é 1/2.
Esta definição a penas pode ser usada quando o conjunto dos casos é finito sendo que
todos têm a mesma possibilidade ocorrer (equiprováveis)!
5.2) Probabilidades Discretas
Definições:
Experimento Aleatório: Dizemos que um experimento qualquer é aleatório quando, se
repetido diversas vezes nas mesmas condições, pode gerar resultados diferentes.
Experimentos aleatórios acontecem a todo momento no nosso cotidiano perguntas do tipo:
será que vai chover? Qual será o resultado da partida de futebol? Quantos serão os
ganhadores da Mega-Sena da semana? São questões associadas a experimentos
aleatórios e que dependem do acaso. Experimentos aleatórios são os objetos de estudo do
cálculo de probabilidades.
Espaço Amostral: (ou de casos ou resultados): de uma experiência é o conjunto de todos
os resultados possíveis.
Acontecimento ou evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral.
A probabilidade de um acontecimento E, que é um subconjunto finito de um espaço
amostral S, de resultados igualmente prováveis, é: p(E) =
n( E )
sendo n(E) e n(S) as
n( S )
quantidades de elementos de E e de S, respectivamente.
Exemplo:
a) Qual a probabilidade de, ao lançarmos dois dados distintos, a soma dos dois números ser
7?
Solução:
O Espaço amostral será aqui representado pelos 36 pares ordenados representativos das
pontuações possíveis desses dois dados. Poderemos representá-lo por uma tabela de dupla
entrada, vejamos:
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dados
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
76
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
Assinalamos os pares ordenados que atendem à condição proposta (soma 7), logo, a
probabilidade pedida será: p =
6 1
=
36 6
16, 67 %
PROBABILIDADE X INTUIÇÃO
Lance a questão a seguir para seus alunos, logo nas aulas iniciais sobre probabilidades e
solicite que tentem estimar o resultado, intuitivamente, antes de aplicar a definição ou qualquer
processo de resolução.
“Num determinado país sabe-se que 10% da população está infectada pelo vírus do HIV.
Sabe-se também que, nos exames para detectar a doença, há 90% de acerto para o
grupo dos infectados e 80% de acerto para os não infectados. Determine”:
1. A probabilidade de que uma pessoa, cujo exame deu positivo para a doença, esteja
realmente infectada.
2. A probabilidade de que uma pessoa, cujo exame deu negativo para a doença, esteja
realmente sadia.
Solução:
Para facilitar, vamos supor que a cidade tivesse uma população de 1000 habitantes. De
acordo com o texto, teremos que 100 são portadores do vírus HIV e 900 não são portadores.
1) Total de portadores detectados pelo exame: 90 % de 100 + 20 % de 900 = 270 pessoas.
Logo, para respondermos à primeira pergunta, temos que 90 pessoas em 270 são realmente
portadores do vírus, ou probabilidade de 90 / 270 = 33,3%.
É por esse motivo que, normalmente quando um exame HIV tem re1sultado positivo, os
médicos normalmente recomendam que o mesmo seja repetido.
2) Total de não portadores detectados pelo exame: 10 % de 100 + 80% de 900 = 730
pessoas, das quais 720 são realmente não portadores desse vírus. Logo, temos a
probabilidade de 720 / 730 = 98,6 % de que uma pessoa, cujo exame deu negativo para a
doença esteja realmente sadia.
COMENTÁRIO:
Essa questão, que foi originalmente proposta aos candidatos ao Projeto Sapiens (Uma
espécie de vestibular em etapas, no Rio de Janeiro), propicia através de uma abordagem
simples e intuitiva, o enfoque de uma questão atual e de interesse de todos nas aulas de
matemática e pode, dependendo de nossos objetivos, propiciar outras discussões como
probabilidade condicional, por exemplo.
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77
5.3) Combinação de eventos
Teorema: Seja E um evento no espaço amostral S. A probabilidade do acontecimento
__
__
complementar, E , é dada por: p( E ) = 1- p(E)
Teorema: Sejam E1 e E2 dois eventos do mesmo espaço amostral S. Então:
p(E1 E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1 E2)
Exemplo:
Qual a probabilidade de um número inteiro positivo selecionado aleatoriamente do conjunto
dos inteiros positivos menores ou iguais a 100 ser divisível por 2 ou por 5?
Solução:
Sabemos que no Universo dos inteiros positivos, inferiores ou iguais a 100 (n(S) = 100), a
quantidade de números divisíveis por 2 é 50 (os pares) e a quantidade dos números
divisíveis por 5 é 20 (os terminados em zero ou em cinco). Sendo que os que são divisíveis
ao mesmo tempo por 2 ou por 5 (os múltiplos de 10) são 10. Logo, teremos:
50 1
=
100 2
20 1
p ( E2 ) =
=
100 5
10
1
E2 ) =
p( E1
=
100 10
1 1 1 3
E2 ) =
Logo, p ( E1
+
= = 60%
2 5 10 5
p( E1 ) =
Vamos a seguir apresentar mais alguns casos de combinação de eventos, a partir
de alguns exemplos propostos pelo professor Luiz Márcio Imenes em apostila da
Fundação Roberto Marinho.
EXEMPLO 1
Num grupo de jovens estudantes a probabilidade de que um jovem, escolhido ao acaso,
tenha média acima de 7,0 é 1/5. Nesse mesmo grupo, a probabilidade de que um jovem
saiba jogar futebol é 5/6. Qual a probabilidade de escolhermos um jovem (ao acaso) que
tenha média maior que 7,0 e saiba jogar futebol?
Solução:
O fato de ter média maior que 7,0 não depende do fato de saber jogar futebol, e vice-versa.
Quando isso ocorre, dizemos que os eventos são independentes.
Considere então os eventos:
A: ter média acima de 7,0.
B: saber jogar futebol.
A e B: ter média acima de 7,0 e saber jogar futebol.
Como queremos calcular P (A e B), pense o seguinte: de todos os jovens, 1/5 têm média
acima de 7,0 e 5/6 sabem jogar futebol. Ora, 5/6 de 1/5 ou seja, 5/6 . 1/5 = 1/6 sabem jogar
futebol e têm média acima de 7,0. Portanto, P (A e B) = 1/6 .
Repare que para encontrarmos P (A e B) efetuamos P (A) · P (B). Então, concluímos que,
quando A e B são eventos independentes (não têm “nada a ver” um com o outro):
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78
P (A e B) = P (A) P (B)
EXEMPLO 2
Dos 30 funcionários de uma empresa, 10 são canhotos e 25 vão de ônibus para o trabalho.
Escolhendo ao acaso um desses empregados, qual a probabilidade de que ele seja canhoto
e vá de ônibus para o trabalho?
Solução:
Considere os eventos:
A : ser canhoto
B : ir de Ônibus para o trabalho
Claro que A e B são eventos independentes, portanto um não depende em nada do outro. A
probabilidade de os dois eventos (A e B) ocorrerem simultaneamente é calculada por
P(A e B) = P (A) · P (B).
Calculando:
P (A) = 10/30 = 1/3
P (B) = 25/30 = 5/6
P (A e B) = P (A) · P (B) = 1/3 . 5/6 = 5/18
A probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho é de 5/18.
EXEMPLO 3:
Alguns atletas participam de um triathlon (prova formada por 3 etapas consecutivas:
(natação, corrida e ciclismo). A probabilidade de que um atleta escolhido ao acaso termine a
primeira etapa (natação) é 4/7. Para continuar na competição com a segunda etapa (corrida)
o atleta precisa ter terminado a natação. Dos atletas que terminam a primeira etapa, a
probabilidade de que um deles, escolhido ao acaso, termine a segunda é ¾. Qual a
probabilidade de que um atleta que iniciou a prova, e seja escolhido ao acaso, termine a
primeira e a segunda etapas?
A : terminar a 1a etapa da prova (natação).
B : terminar a 2 a etapa da prova (corrida), tendo terminado a 1a.
Note que A e B não são eventos independentes, pois, para começar a 2a etapa é
necessário, antes, terminar a 1a. Nesse caso dizemos que a ocorrência do evento B
depende (esta condicionada) à ocorrência do evento A.
Utilizamos então a notação B/A, que significa a dependência dos eventos, ou melhor, que o
evento B/A denota a ocorrência do evento B, sabendo que A já ocorreu. No caso deste
exemplo, temos: B/A terminar a 2a etapa (corrida), sabendo que o atleta terminou a 1a etapa
(natação).
E agora? Como calcular P (A e B)?
Simples: no lugar de usarmos P(B) na fórmula P(A e B) = P(A) · P(B), usaremos P(B/A) já
que a ocorrência de B depende da ocorrência de A.
O enunciado deste problema nos diz que P(A) = 4/7 e P B/A = 3/4; assim,
P(A e B) = P(A) · P B/A = 4/7 . ¾ = 3/7.
A probabilidade de que um atleta, escolhido ao acaso, termine a 1a e a 2ª etapas é 3/7.
Quando A e B não são eventos independentes a probabilidade de ocorrência de A e B é
calculada por: P (A e B) = P (A) · P (B/A) onde P (B/A) é a probabilidade de B, dado que A
já ocorreu (Probabilidade Condicional).
EXEMPLO 4
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79
No exame para tirar a carteira de motorista, a probabilidade de aprovação na prova escrita é
9/10. Depois de ser aprovado na parte teórica, há uma prova prática de direção para os que
já passaram no exame escrito, a probabilidade de passar nessa prova prática é 2/3.
Qual a probabilidade de que, escolhido um candidato ao acaso, ele seja aprovado em
ambas as provas escrita e prática e tire a carteira de motorista?
Solução:
Considere os eventos:
A: aprovação na prova escrita.
B: aprovação na prova prática de direção.
Os eventos A e B não são independentes, pois é preciso ter aprovação na prova escrita
para fazer a prova prática de direção. Como a ocorrência de B está condicionada à
ocorrência de A, criamos o evento: B/A: ter aprovação na prova prática de direção, sabendo
que o candidato foi aprovado na prova escrita.
Para calcular P(A e B), usamos: P(A e B) = P(A) · P(B/A)
Calculando:
P(A) = 9/10
P(B/A) = 2/3
P(A e B) = 9/10 . 2/3 = 3/5
A probabilidade de passar na prova escrita e na prova de direção é 3/5.
EXEMPLO 5:
Uma urna contém 4 bolas brancas e 2 vermelhas. Uma bola é retirada e, sem reposição,
uma segunda bola é retirada.
Qual a probabilidade de ambas serem brancas?
Considere os eventos:
A: retirada da primeira bola branca.
B: retirada da segunda bola branca.
Eles são dependentes, pois a probabilidade de ocorrência de B depende do que ocorreu na
retirada da primeira bola.
Então: P(A) =
Tendo sido retirada uma bola branca e não havendo reposição na urna, restam 5 bolas
sendo 3 brancas, logo, a probabilidade de retirar-se outra bola branca é
P(B\A) =
3
5
Portanto P(A
B) = P(A) P(B\A) =
2 3 2
. =
3 5 5
OBS: Este resultado poderia ser obtido diretamente da definição P(A
B) =
C 4, 2
C 6, 2
4.3
2
= 2 =
6.5 5
2
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80
EXEMPLO 6:
Na Copa América de 1995, o Brasil jogou com a Colômbia. No primeiro tempo, a seleção
brasileira cometeu 10 faltas, sendo que 3 foram cometidas por Leonardo e outras 3 por
André Cruz. No intervalo, os melhores lances foram reprisados, dentre os quais uma falta
cometida pelo Brasil, escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de que a falta escolhida seja
de Leonardo ou de André Cruz?
Solução:
Das 10 faltas, 3 foram de Leonardo e 3 de André Cruz. Portanto, os dois juntos cometeram 6
das 10 faltas do Brasil. Assim, a probabilidade de que uma das faltas seja a escolhida dentre
as 10 é 6/10 = 3/5 .
Também podemos resolver este problema da seguinte maneira:
Probabilidade de ser escolhida uma falta do Leonardo = 3/10 .
Probabilidade de ser escolhida uma falta do André Cruz = 3/10 .
A probabilidade de ser escolhida uma falta de um destes dois jogadores = 3/10 + 3/10 =
6/10 = 3/5.
Lembre-se de que qualquer uma das duas escolhas terá um resultado favorável.
Se A e B são os eventos (escolher uma falta de Leonardo ou escolher uma falta de André
Cruz), estamos interessados na probabilidade do evento A ou B.
Temos então, para esse caso que: P(A ou B) = P(A) + P(B)
Note que isso vale porque uma falta não pode ser cometida pelos dois jogadores ao mesmo
tempo, ou seja, o evento A e B é impossível.
5.3) Conceito de Probabilidade (generalização):
Problema: Se eu tiver uma moeda viciada e a lançar várias vezes o que posso esperar como
resultado?
Definição: Dado um espaço de amostras S, de um experimento com um número finito de
resultados possíveis, chama-se probabilidade de um resultado, p(s), a um valor:
0
p ( s ) 1,
s
S
s =1
s S
Modelar uma experiência deve ser medir a freqüência relativa de um acontecimento quando
o número de experiências se torna muito grande.
Exemplo: Qual a probabilidade de sair caras ou coroas numa moeda viciada em que a
chance de aparecer cara é duas vezes a chance de aparecer coroa.
Solução:
1) p(CA) =2 p(CO)
2) p(CA) + p(CO) = 1, por definição.
3) 2 p(CO) + p(CO) = 3 p(CO) = 1, de 1) e 2)
p(CO) = 1/3
p(CA) = 2/3
Definição: A probabilidade de um acontecimento E é igual à soma das probabilidades dos
resultados em E.
p(E) =
s
s E
Exemplo: Admita que tem um dado viciado de modo que o número 3 aparece duas vezes
mais que qualquer dos outros números. Qual a probabilidade de sair um número ímpar
quando lançamos o dado uma vez?
Solução:
P(3) = 2s
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81
P(1) = p(2) = p(4) = p(5) = p(6) = s
Logo, 2 s + 5 s = 1 ou s = 1/7
Seja E o evento esperado (sair um número ímpar), teremos: p(E) = p(1) + p(3) + p(5) = 4/7
Uma atividade exploratória:
Um jogo de cinco dados
Uma boa experiência que pode ser feita em classe e que, através do aumento do número de
registros, podemos verificar a aproximação do resultado obtido na prática, com o teórico.
Lançam-se cinco dados. Para ganharmos tem de sair o número 5 mas não pode sair o 6. Qual é
a probabilidade de ganhar?
Numa fase inicial do estudo das probabilidades, os alunos ainda não têm conhecimentos que
lhes permitam responder à pergunta com o valor exato. No entanto, podem obter
experimentalmente uma aproximação razoável.
Para isso, a cada grupo de alunos deve ser distribuído um conjunto de 5 dados (ou solicitar que
eles tragam de casa), pedimos que cada grupo faça uma série de sorteios (50, por exemplo) e
que registre os resultados obtidos, destacando de alguma forma os casos que forem favoráveis
ao evento proposto. Caso haja condições, podemos até simular tais sorteios numa calculadora
gráfica (TI-83, por exemplo).
Seja, por exemplo os seguintes resultados que poderiam ser obtidos por um grupo:
1
2
2
3
3
2
2
5
6
4
5
1
2
3
3
Verificamos facilmente que dos três sorteios anteriores, o único que nos é favorável é o terceiro,
ou seja, num universo de 3 sorteios, obtivemos a freqüência relativa de 1/3, ou 33%.
Se, numa turma, cada grupo fizer uns 50 sorteios, registrando o número de experiências e o
número de vezes favoráveis, facilmente chegamos a 500 resultados. Podemos juntar os
resultados de duas turmas, por exemplo e chegamos a 1000 experiências.
Num dos Colégios em que fizemos a experiência, em 1000 experiências, anotamos 276
sucessos, o que corresponde a uma freqüência relativa de 0,276 ou 27,6%.
Podemos então prever que a probabilidade de ganhar numa jogada vai ser próxima deste valor,
não longe dos 28%.
Claro que quantas mais experiências fizermos, mais confiança poderemos ter nos resultados ( e
isso devemos passar a nossos alunos, a experiência com grandes números). Se conseguirmos
juntar os resultados de várias turmas (10 000 sorteios, por exemplo), verificaremos que a
probabilidade de ocorrência do evento estará perto de 27%. Em seguida veremos o resultado
exato desta probabilidade, com o auxílio da Análise Combinatória.
Cálculo da probabilidade
Lançam-se cinco dados. Para ganharmos tem de sair o número 5 mas não pode sair o 6. Qual é
a probabilidade de ganhar?
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
82
Já vimos, experimentalmente, que o resultado procurado está próximo dos 27%. Agora vamos
obter o resultado exato.
O número de casos possíveis quando lançamos 5 dados são os arranjos com repetição dos 6
5
números, ou, pelo princípio multiplicativo: 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 = 7776
O número de casos favoráveis (sair 5 mas não sair 6) tem de ser feito em duas etapas:
Primeiro, não pode sair 6: são os arranjos com repetição dos números de 1 a 5.
5
Casos em que não sai 6 = AR 5,5 = 5 = 3125
Segundo, não pode sair 6 mas tem de sair 5. Então, aos 3125 casos anteriores temos de
subtrair os casos em que também não sai 5.
5
Casos em que não sai 6 nem 5 = AR 4,5 = 4 = 1024
Casos em que não sai 6 mas sai 5 = 3125 – 1024 = 2101
Logo:
P(sair 5 mas não sair 6) =
2101
7776
x 0,27019
A probabilidade de ganhar o jogo é praticamente igual a 27%.
Reparemos que o valor obtido experimentalmente está bastante perto do valor teórico.
5.4) AS LOTERIAS E AS PROBABILIDADES
Probabilidades e a Mega Sena
Tudo pelos milhões
Prêmio da Mega-sena será sorteado hoje
O prêmio acumulado de R$ 32 milhões da Mega-sena movimentou ontem milhares de
cariocas, em filas intermináveis nas casas lotéricas. O prêmio está acumulado há seis
semanas e, segundo a Caixa Econômica Federal, deverão ser feitas 59 milhões de apostas.
O sorteio será realizado hoje, às 20 horas, na cidade de Santo Antonio da Platina, no
Paraná.
Ontem, no Rio, casas lotéricas fizeram promoções, como a da Novo México, se propondo a
trocar um mosquito Aedes Aegypti, por um bilhete com seis dezenas. Outra promoção nessa
loja era a troca de um bilhete da Mega-sena para quem pagasse a conta de luz com baixo
consumo.
Os apostadores estão confiantes e já fazem planos com o prêmio acumulado. ''Tenho fortes
esperanças de ganhar. Faço apostas há dez anos com os mesmos números e doaria a
metade do prêmio para uma instituição de caridade'', disse o administrador de empresas
Jorge Luiz Campos.
As loterias dos shoppings e da Zona Sul ficarão abertas até uma hora antes do sorteio das
dezenas. Em alguns sites da Internet, é possível apostar as 19h45.
As repetidas - Para quem acompanha os sorteios da Mega-sena existem algumas
probabilidades que poderão fazer algum milionário no teste de logo mais. As dezenas que
mais apareceram nos resultados até agora são: 42 (34 vezes), 13 (33 vezes), 41 e 43 (30
vezes); 25, 37 e 53, que saíram 29 vezes.
Jornal do Brasil – sábado, 24 de março de 2001
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
83
INTRODUÇÃO
Entre todas as loterias existentes no Brasil, a Mega Sena é, ao menos em determinadas
ocasiões, a que desperta o maior interesse na população. Isso se deve ao fato de que, pelas
regras do jogo, de vez em quando, as quantias oferecidas serem bastante respeitáveis. A mídia
dá ampla divulgação ao fato, tratando desde as chances de que alguém ganhe o prêmio
máximo até o que o ganhador poderia fazer com todo aquele dinheiro ganho.
Nós, professores de matemática, somos sempre consultados sobre o funcionamento do jogo e
especialmente sobre a existência de alguma estratégia que possa melhorar as possibilidades
de vitória. O presente artigo faz um breve relato sobre o jogo, mostra respostas às perguntas
mais comuns e, tem como maior contribuição, o mérito do aproveitamento de um tema de
interesse de todos em nossas aulas de matemática do Ensino Médio.
O JOGO
Faremos um breve relato do jogo para os que por princípios ou por inteligência nunca se
interessaram pelo mesmo.
As apostas podem ser feitas escolhendo-se no mínimo 6 e no máximo 15 dezenas dentre as 60
disponíveis, e enumeradas de 1 a 60. Cada aposta simples de 6 dezenas custa 1 real e, se
você marca 8 dezenas, por exemplo, terá de pagar 28 reais (pois estas 8 dezenas lhe
possibilitam concorrer com 28 jogos simples, que é o resultado de C8,6). A Caixa Econômica
Federal, que administra o jogo, sorteia seis dezenas distintas e são premiadas as apostas que
contêm 4 (quadra), 5 (quina) ou todas as seis (sena) dezenas sorteadas. Se num determinado
concurso ninguém acerta as seis dezenas, o prêmio fica acumulado para o concurso seguinte.
Existem C60,6 resultados possíveis para um sorteio. Esse número é superior a 50 milhões, mais
precisamente, ele é igual a 50 063 860. Acho que todos concordamos que só alguém muito
otimista acredita que vai ganhar com uma única aposta.
VOCÊ SABIA?
Que é mais fácil obter 25 caras em 25 lançamentos de uma moeda
perfeita do que acertar na Mega Sena com um único jogo de 6
dezenas?
AS PROBABILIDADES DE SUCESSO NA MEGA-SENA
O cálculo das probabilidades de que um apostador ganhe os prêmios oferecidos é um exercício
simples e interessante de Análise Combinatória. Vamos, através de um exemplo, mostrar como
ele é resolvido.
Vamos supor que um apostador fez um jogo com 10 dezenas e estará, portanto, concorrendo
com C10,6 (210) jogos simples de 6 dezenas. Verificamos que a probabilidade de ganhar a sena
vale 210 / 50 063 860, ou aproximadamente 0,00042 %. Para que este apostador ganhe a
quadra, é necessário que quatro das seis dezenas apostadas estejam entre as dez nas quais
ele apostou e duas estejam entre as outras 50. As quatro podem ser escolhidas de C10,4 = 210
maneiras e as outras duas de C50,2 = 1225 maneiras. Existem, portanto 210 x 1225 = 257 250
resultados que dariam o prêmio da quadra para o apostador. De modo análogo mostra-se que
existem 12 600 resultados que dariam ao apostador o prêmio da quina.
Logo, os valores aproximados das probabilidades de que um apostador, que jogou 10 dezenas,
ganhe os prêmios da sena, quina e quadra são, respectivamente iguais a: 0,00042%; 0,025 %
e 0,514 %. Com raciocínio análogo são calculadas as probabilidades de apostas com um
número qualquer de dezenas.
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84
A ACUMULAÇÃO PROGRAMADA
Nas diversas loterias administradas pela Caixa, sempre que o prêmio maior não saía e a
quantia ele destinada acumulava para o concurso seguinte, o interesse dos apostadores
crescia, resultando num aumento considerável no número de apostas. Embora essa situação
fosse interessante para a Caixa, o governo e os lotéricos, a sua ocorrência dependia do acaso.
Com o objetivo de manter o interesse dos apostadores e conseqüentemente aumentar a
arrecadação, foi criada a acumulação forçada que reserva uma parte do prêmio (20% do total
destinado à Sena) para ser acrescentada ao rateio dos concursos cujos números terminam em
zero. Assim, por exemplo, em cada um dos concursos de números 201, 202, ... 209, vinte por
cento do prêmio da Sena ficam retidos para serem acrescentados ao prêmio do concurso 210.
No segundo semestre de 1999, repetidas acumulações fizeram com que o prêmio superasse
60 milhões de reais. Esse valor, em torno de 30 milhões de dólares, está no nível dos prêmios
de loterias do primeiro mundo, principalmente se levarmos em conta que, aqui no Brasil, ele é
isento de imposto de renda.
PERGUNTAS MAIS FREQÜENTES
1. Intuitivamente o que significa ter uma chance em cinqüenta milhões?
Usualmente as pessoas solicitam que se façam comparações entre a possibilidade de se
ganhar na Mega Sena, com outros eventos, como morrer de um desastre de avião, ser atingido
por um raio ou mesmo morrer de câncer. A maior dificuldade em fazer tais comparações está
no fato de que nem todos os indivíduos da população têm a mesma probabilidade de sofrer
uma dessas desgraças, enquanto que todos os que apostam 6 dezenas, por exemplo, têm a
mesma chance de ganhar. Fica mais fácil as pessoas entenderem usando exemplos
puramente aleatórios. Por exemplo, o número de habitantes do Brasil é quase igual a três
vezes o número de resultados possíveis do sorteio. Se fosse realizado um sorteio de três
prêmios entre todas os brasileiros, a sua chance de ganhar um desses prêmios seria
praticamente igual à de ganhar o prêmio máximo da Mega Sena com um jogo mínimo, de 6
dezenas.
2. Existe alguma forma de apostar que melhore as chances do apostador?
Essa pergunta é geralmente feita na sala de aula por alunos curiosos em saber se conhecemos
algum “truque” que nos facilite ganhar o prêmio. A análise dos sorteios realizados até hoje
indica que toas as dezenas são igualmente prováveis e que os resultados de diferentes
sorteios são independentes. Não existem elementos concretos que nos permitam construir um
sistema que melhore nossas chances de vitória (se existisse, provavelmente não estaríamos
dando mais aulas).
3. Se eu estiver disposto a jogar 28 reais, é melhor fazer um único jogo de 8 dezenas ou vinte e
oito jogos de 6 dezenas?
Essa é uma questão interessante, pois, embora as duas formas de jogar sejam equivalentes
(supondo 28 jogos distintos de 6 dezenas) no que diz respeito à sena, isso não é verdade com
relação à quadra e à quina. De fato, com um único jogo de 8 dezenas existirão C8,5 . C52,1 =
2912 resultados possíveis que darão o prêmio da quina ao apostador. Com um único jogo de 6
dezenas, o apostador terá C6,5 . C54,1 = 324 resultados contendo uma quina. Se os 28 jogos não
tiverem nenhuma quina em comum, o total de resultados favoráveis será igual a 28 x 324 =
9072. A probabilidade de acertarmos uma quina com o segundo sistema é mais do que três
vezes maior do que com o primeiro. Essa diferença é, pelo menos parcialmente, compensada
pelo fato de que, acertando uma quina com o jogo de 8 dezenas, receberemos três vezes o
valor do prêmio.
4. Vale a pena jogar?
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Do ponto de vista teórico, é fácil ver que a resposta é não. De fato, você estaria colocando
dinheiro num jogo que destina apenas 44% da arrecadação para os prêmios e no qual a sua
probabilidade de ganhar alguma coisa que valha a pena é muito pequena. Para aqueles que
acreditam na sorte e gostam de arriscar de vez em quando, vejam algumas sugestões:
a) Nunca aposte muito dinheiro – de fato, com a aposta de 15 dezenas, que custará 5005 reais
(verifique), a sua probabilidade de ganhar o prêmio é aproximadamente igual a 1/10000 ou
0,01%. Portanto, a probabilidade de que você perca o seu dinheiro é bem grande (99,99%). Se
você é capaz de perder cerca de 5000 reais sem se importar, é lógico que é uma pessoa que
não precisa de loterias.
b) Aposte, de preferência nos concursos de final zero – Nesses concursos você não estará
contribuindo para o prêmio de futuros ganhadores, estará concorrendo a um prêmio maior e
principalmente a quantias que os outros já perderam.
Para justificar a fraqueza de alguns em arriscar de vez em
quando, veja que, se você pode, sem sacrifício dispor de 10 reais
por semana e decidir aplicá-los num investimento de cerca de 1%
de juros ao mês, teria, em valores corrigidos, cerca de 678 reais
após um ano e. conseqüentemente, cerca de 52 000 reais após
20 anos. Com esse procedimento, sua probabilidade de ficar rico
é zero. Se você jogar 10 reais por semana, a probabilidade de que
fique rico é quase zero, mas não é zero...(poderemos conferir
esses dados no curso de Matemática Financeira Básica).
Adaptado da Revista do Professor de Matemática, nº 43 - Flavio Wagner Rodrigues (IME-USP)
EXERCÍCIOS:
1) DETERMINE AS PROBABILIDADES DE ACERTAR NA SENA, NA QUINA E NA
QUADRA, DE UM CONCURSO DA MEGA SENA, PARA UM APOSTADOR QUE JOGOU
12 DEZENAS.
2) QUANTAS QUADRAS E QUINAS ACERTOU TAMBÉM UM JOGADOR QUE APOSTOU
10 DEZENAS E ACERTOU A SENA?
3) VAMOS CONFERIR, USANDO A ANÁLISE COMBINATÓRIA, TODOS OS DADOS
CONTIDOS NAS TABELA DA MEGA-SENA APRESENTADA A SEGUIR:
Jogadas
Valor das
Apostas
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1,00
7,00
28,00
84,00
210,00
462,00
924,00
1.716,00
3.003,00
5.005,00
Probabilidade de Acerto (1 em .......)
Sena
Quina
Quadra
50.063.860
7.151.980
1.787.995
595.998
238.399
108.363
54.182
29.175
16.671
10.003
154.518
44.981
17.192
7.791
3.973
2.211
1.317
828
544
370
2.332
1.038
539
312
195
129
90
65
48
37
5.5. VERIFIQUE QUE NÃO HÁ UM ÚNICO CAMINHO CORRETO...
Uma questão que se coloca muitas vezes perante os problemas de Probabilidades é o fato de
que eles normalmente possibilitam várias formas distintas de solução.
Quase sempre isso ocorre porque, perante a situação descrita no problema, podemos encontrar
diversos espaços amostrais, dependendo da abordagem que se faça. Para calcular a
probabilidade aplicando a definição de Cardano/Laplace, devemos dividir o número de casos
favoráveis pelo número de casos possíveis. Ora, a cada espaço de resultados irá
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corresponder um diferente número de casos possíveis e, claro, um diferente número de casos
favoráveis.
O principal cuidado a ter é usar exatamente o mesmo método na contagem dos casos favoráveis
e na contagem dos casos possíveis, ou seja, não mudar de espaço de resultados durante a
resolução.
Vamos tomar como exemplo um problema e os vários modos de resolvê-lo:
Três bilhetes de cinema
A professora de História resolveu levar os seus 15 alunos para ver um filme. Como o cinema
tem filas de precisamente 15 cadeiras, comprou uma fila inteira e distribuiu os bilhetes ao
acaso pelos alunos. As alunas Ana, Beth e Carla, por serem muito amigas, gostariam de
ficar juntas e numa das extremidades da fila.
Qual a probabilidade de que isso ocorra?
Fazer um esquema ajuda, muitas vezes, a visualizar melhor o que se passa.
As três amigas querem ficar nos lugares 1, 2 e 3 ou 13, 14 e 15. Existem pelo menos quatro
processos de resolver o problema.
1º Processo
Vamos pensar apenas nos três bilhetes destinados às três amigas, não nos interessando a
ordem como elas ocuparão depois esses três lugares.
O espaço de resultados é o conjunto dos ternos não ordenados. Por exemplo, um dos seus
elementos é o terno {5, 7, 15}, que corresponde às três amigas receberem os bilhetes 5, 7 e 15
embora não saibamos o lugar exato em que cada uma delas se vai sentar.
Os casos possíveis são as diferentes maneiras delas receberem os 3 bilhetes de um conjunto de
15, ou seja, todos os ternos não ordenados formados a partir do conjunto de 15 bilhetes.
Casos Possíveis = C 15,3 = 455
Os casos favoráveis são apenas 2: ou recebem os bilhetes 1-2-3 ou os bilhetes 13-14-15.
2
P(ficarem juntas numa ponta) = 455
2º Processo
Vamos pensar nos três bilhetes destinados às três amigas, mas interessando-nos agora a ordem
como elas ocuparão depois esses três lugares. Continuamos a ignorar os outros 12 bilhetes.
O espaço de resultados é o conjunto dos ternos ordenados. Por exemplo, um dos seus
elementos é o terno {5, 7, 15}, ou seja, a Ana fica no lugar 5, a Bela no 7 e a Carla no 15.
Os casos possíveis são, portanto as diferentes maneiras de elas receberem 3 bilhetes de um
conjunto de 15, mas em que a ordem por que recebem os bilhetes é importante.
Casos Possíveis = A 15,3 = 2730
Se os bilhetes que elas receberem forem 1, 2 e 3, como a ordem interessa, há seis maneiras de
elas os ocuparem (são as permutações de 3). O mesmo se passa para os bilhetes 13, 14 e 15.
Logo, os casos favoráveis são 2 × P3 , ou seja, 12.
2
12
P(ficarem juntas numa ponta) = 2730 = 455
3º Processo
Desta vez vamos considerar todas as maneiras como os 15 alunos podem sentar-se nos 15
lugares.
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87
O espaço de resultados é constituído por todas as permutações dos 15 alunos pelas cadeiras.
Os casos possíveis são, portanto as permutações de 15. Casos Possíveis = P15 = 15!
Se as três amigas ficarem nos lugares 1, 2 e 3, podem permutar entre si, e os outros 12 alunos
também. O mesmo se passa se ficarem nos três últimos lugares. Então:
Casos Favoráveis = 2 × P3 × P12
P(ficarem juntas numa ponta) =
2 × P3 × P12
P15
2
= 455
4º Processo
Vamos calcular a probabilidade pedida admitindo que os bilhetes vão ser entregues um a um às
três amigas.
A primeira vai receber o seu bilhete. Dos 15 lugares, há 6 que lhe servem (os três primeiros e os
três últimos).
Chegou a vez da segunda. Há 14 bilhetes e a ela só servem os dois lugares que restam na
ponta onde a primeira ficou.
Finalmente, a terceira, dos 13 bilhetes restantes, tem de receber o único que sobra na ponta
onde estão as amigas.
6
2
1
12
2
P(ficarem juntas numa ponta) =
×
×
=
= 455 .
15 14 13 2730
5.6) Probabilidade e Favorabilidade:
(Erros comuns que são cometidos no cotidiano)
Trataremos agora de alguns aspectos simples da Teoria das Probabilidades e que
normalmente não são explorados em sala de aula.
•
•
confusão entre as duas medidas usuais de chance ou acaso: probabilidade e
favorabilidade (Chance)
a noção de valor esperado ou esperança matemática.
a) Confusão entre as medidas usuais de chance ou acaso
Existem duas medidas de chance: a probabilidade e a favorabilidade. As duas são
facilmente relacionáveis, mas enquanto a escola trata exclusivamente da probabilidade,
muitas são as situações do cotidiano onde se usa exclusivamente a favorabilidade, como é
o caso dos jogos esportivos e as apostas em jogos de azar. Além disso, a noção de
favorabilidade está mais próxima da medida subjetiva de chance. Está assim delineada uma
situação que tende a produzir confusões. Vale a pena recordarmos esses conceitos:
A probabilidade p de ocorrer um evento é o quociente entre a quantidade ou
medida dos casos favoráveis pela quantidade ou medida de todas as possibilidades
(favoráveis ou desfavoráveis). Já a favorabilidade desse evento é o quociente entre
as quantidade ou medida de casos favoráveis pela dos casos desfavoráveis.
No caso de um evento com um número finito de resultados, b bons ou favoráveis e r ruins
ou desfavoráveis, temos que essas definições podem ser escritas como:
p=b/(r+b)
f=b/r
É imediato ver que o valor de p (da probabilidade) sempre tem de estar entre 0 e 1, e o valor
f (da favorabilidade) entre 0 e infinito.
As duas medidas implicam um modo diferente de pensar. Por exemplo:
• em termos de probabilidade, um evento tem mais chance de ocorrer do que de não
ocorrer quando sua probabilidade for maior do que 0.5 = 50%.
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•
88
em termos de favorabilidade, um evento tem mais chance de ocorrer do que de não
ocorrer quando sua favorabilidade for maior do que um.
Apesar dessa diferença, as duas noções estão relacionadas. Com efeito, uma rápida
manipulação algébrica nos permite expressar uma em termos da outra:
p=f/(1+f)
f = p / ( 1 - p ) (VERIFIQUE)
EXEMPLO 1
Um micro-empresário concluiu que há uma chance de 3 em 2 que seu novo negócio tenha
sucesso. Traduzir isso em termos de probabilidade.
Solução:
O empresário expressou-se da maneira comum no cotidiano. Traduzindo isso para a
terminologia matemática, ele disse que a favorabilidade de seu negócio ter sucesso é f = 3/2
= 1,5, de modo que a probabilidade de sucesso é p = 1,5/2,5 = 0.6 = 60% .
EXEMPLO 2
Vejamos agora uma situação mais propensa a confusões: tratemos de expressar a chance
de tirarmos um 3 ao lançarmos um dado.
Se usarmos a probabilidade como medida de chance, diremos que a probabilidade de
sucesso é 1 / 6.
Mas o jogador prefere dizer que a favorabilidade do sucesso é 1 / 5. Claro que maior
confusão resultará se o jogador afirmar que a chance de sucesso é 1 / 5. O ouvinte poderá
entender que ele estava se referindo à probabilidade.
A principal razão dos apostadores preferirem a favorabilidade, em vez de a
probabilidade, é que essa lhe permite formular diretamente suas apostas. Com efeito, se ele
acha que tem favorabilidade 3/2 de ganhar, ele está pronto para apostar R$ 3 000 contra
R$ 2 000, ou R$ 150 contra R$ 100, etc.
Isso leva a outro aspecto interessante. A maioria dos jogadores escolhe sua aposta de um
modo intuitivo e assim, ao dizer que aposta R$ 300 contra $ 200, nem sempre significa que
ele tenha calculado o verdadeiro valor da favorabilidade e que a mesma tenha dado f = 3/2.
Caso isso efetivamente ocorra, dizemos que a aposta é honesta.
EXEMPLO 3
O time de José mantém uma performance de 8 vitórias por cada 9 partidas jogadas e José,
confiante, aposta R$ 30 contra R$ 4 que seu time de futebol ganha a próxima partida.
Pergunta-se: essa aposta é honesta?
Solução:
Para responder, precisamos calcular a chance de vitória de seu time.
Poderemos dizer que p = 8/9 e que f = 8/9 / ( 1 - 8/9 ) = 8. De modo que a aposta seria
honesta se fosse R$ 32 contra R$ 4. Como são apenas R$ 30 contra os R$ 4, José está
fazendo uma aposta desonesta e que o favorece.
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c) Esperança Matemática ou Valor Esperado
Esse conceito surgiu antes da noção de probabilidade. Historicamente, foi introduzido para
quantificar o provável ganho de um jogador, mas hoje é aplicado nas mais diversas
situações. Como é muito mal entendido, vale a pena recordar sua definição:
DEFINICÃO:
Se uma variável aleatória assume valores v 1, v 2, ... , v n cujas probabilidades são,
respectivamente: p 1, p 2, ... , p n, sendo que p 1 + p 2 + ... + p n = 1, então o valor
esperado dessa variável é:
v 1 p 1 + v 2 p 2 + ... + v n p n
EXEMPLO 1
O governo avalia em 22%, 36%, 28% e 14% a probabilidade de que a venda da estatal XYZ
renda um lucro de R$ 2 500, R$ 1 500 e R$ 500, ou um prejuízo de R$ 500 (em milhares de
reais). Qual o lucro esperado?
Solução:
valor esperado = 2 500*0.22 + 1500*0.36 + 500*0.28 - 500*0.14 = 1 160 milhares de reais.
EXEMPLO 2
Usando a noção de valor esperado, podemos facilmente ver o quão equivocada é a
expectativa dos apostadores de jogos de cassino, jogo do bicho e loterias. Nesses jogos, em
média, o jogador sempre perde.
Comecemos por uma loteria simples e fácil de entender: jogadores apostam $5 em um
número de 000 a 999, recebendo $ 2 500 se o mesmo for sorteado. Interessado? Vejamos:
as probabilidades de acertar e errar são: 0.001 e 0.999, de modo que, em cada aposta, o
jogador em média recebe: 2500 * 0.001 - 5 * 0.999 = -2,495, ou seja: ele perde, em média,
$ 2.50 cada vez que jogar.
No caso da roleta mais comumente usada no Brasil: a roda traz os números de 1 a 36 e
mais duas casas especiais denotadas por 0 e 00. Na aposta chamada "jogo no pleno" o
jogador aposta num desses 38 números e o cassino paga $36 por cada $1 apostado.
Conseqüentemente, o ganho esperado do jogador é:
36 * 1/38 - 1 * 37/38 = -0.0263
Ou seja, o jogador perde, em média, $ 0.0263 por cada $1 jogado. Observe que é mais
lucrativo ter cassino do que loteria. Procure verificar que o roubo ainda é maior se forem
usadas mais duas casas, lua e meia-lua, e que fica menor no caso das chamadas roletas
internacionais, que tem os números de 1 a 36 e mais uma casa 0. Deu para entender por
que tantas "boas almas" querem a legalização dos cassinos no Brasil ?
5.7) Aplicações na Área Biomédica – Genética
Probabilidade X Genética
Um dos ramos de grande aplicabilidade do cálculo combinatório e das probabilidades é a
Genética. Vamos agora enfocar os elementos básicos para que um professor de matemática
possa usar em suas aulas, exemplos relacionados com a biologia ou mesmo com a medicina.
A)
Elementos de Genética:
Nos organismos vivos existem duas partes componentes: o soma e o gérmem. A segunda parte
é relacionada com a reprodução, que nos animais corresponde aos gametas (óvulo e
espermatozóide). Esses gametas, tanto os masculinos como os femininos, transportam 23
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
90
cromossomas que são estruturas em forma de filamentos. Nos cromossomas é que estão
contidos os gens, que são os responsáveis pela transmissão dos caracteres hereditários.
Quando há fecundação (união do espermatozóide ao óvulo) forma-se a célula ovo ou zigoto,
com 46 cromossomas, dispostos aos pares – é o início de uma nova vida. Os dois cromossomas
que constituem cada par são denominados cromossomas homólogos e os gens que se localizam
no mesmo lugar nos cromossomas homólogos são os que chamamos de alelos.
Os gens podem ser dominantes ou recessivos e costuma-se indicar os dominantes por letras
maiúsculas e os recessivos por letras minúsculas, dessa forma, um par representado por AA
significa dois gens dominantes.
Quando um organismo tem dois alelos iguais para uma determinada característica (AA, se dois
dominantes ou aa, se dois recessivos) dizemos que os gens para esse caráter estão em
homozigose e o organismo, para essa característica é homozigoto. Quando os gens são
diferentes (Aa, um dominante e um recessivo), dizemos que há heterozigose e o organismo é
dito heterozigoto para essa característica.
O gen dominante quer esteja em homozigose ou em heterozigose manifesta seu caráter. O gen
recessivo só pode se expressar quando estiver em homozigose (aa).
B)
Modelo Matemático:
Geração parental (gametas – 50% A e 50% a) A é dominante e a é recessivo.
Aa
x
A
a
Aa
A
a
AA
Aa
aA
aa
1
4
1
4
1
4
1
4
O quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades é o seguinte:
A
A
a
1
2
AA
1
2
Aa
1
2
1
2
a
1
4
1
4
Aa
aa
1
4
1
4
APLICAÇÕES:
1) Um casal heterozigoto com pigmentação normal teve como primogênito uma criança albina.
Determinar a probabilidade de que seus dois próximos filhos sejam albinos, lembrando que
albinismo é determinado por um gene recessivo a.
SOLUÇÃO
Se olharmos a tabela e o modelo mostrados anteriormente, notamos que, pelo fato de ser um
gene recessivo, essa característica só se manifestará no caso aa (
1
). Lembramos também que
4
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91
o fato da primeira criança ter sido albina não influenciará, nesse aspecto, o hereditariedade das
futuras crianças. Logo, a probabilidade de nascer uma criança albina será de
dois próximos filhos sejam albinos será de
1
, e a de que os
4
1 1 1
. =
= 6,25%.
4 4 16
2) A queratose (anomalia na pele) é devida a um gene dominante Q. Uma mulher com
queratose, cujo pai era normal, casa-se com um homem com queratose, cuja mãe era normal.
Se esse casal tiver 3 filhos, determine a probabilidade de que os três apresentem queratose.
SOLUÇÃO:
Mulher
Homem
Qq
QQ
x
Qq
Qq
Qq
qq
3
para cada filho nascido com queratose. Como os eventos
4
são independentes, teremos para os três nascerem com a anomalia, a probabilidade de:
3 3 3 27
= 42,19%
. . =
4 4 4 64
Q é dominante, logo p =
5.8) DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL EM PROBABILIDADES
Consideremos um experimento com apenas dois resultados possíveis, que chamaremos de
sucesso e seu complementar, que chamaremos de fracasso. Vamos representar por s, a
probabilidade de ocorrência do sucesso e por f = 1 – s, a probabilidade de ocorrência do
fracasso.
Por exemplo:
Jogamos um dado honesto e consideramos sucesso a obtenção do números 3 ou 4. O fracasso
será constituído dos resultados: 1, 2, 5 ou 6. Teremos, nesse caso, s =
2 1
4 2
= ef= = .
6 3
6 3
Note, nos dois exemplos apresentados que s + f = 1 ou 100%.
Temos o seguinte teorema, denominado Teorema Binomial em Probabilidade:
“A probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em uma seqüência de n provas
independentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada prova é s e a de fracasso é f
k
n k
= 1 - s, é igual a
”
n,k
C
.s . f
Vamos fixar da seguinte forma: obtenção dos sucessos nas k primeiras provas e dos fracassos,
nas n – k provas seguintes. Dessa forma, aplicando o princípio multiplicativo, teremos a
probabilidade s.s.s..... (k fatores). f.f.f.f... (n – k) fatores, ou seja:
sk . f n
k
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92
É claro que, em outra ordem, a probabilidade seria a mesma pois apenas a ordem dos fatores se
alteraria. A probabilidade de obtermos k sucessos e n – k fracassos, em qualquer ordem é:
sk . f n
k
. Como temos
Cn , k .s k . f n
C
n,k
ordens possíveis, teremos o resultado esperado:
k
APLICAÇÕES:
1) Um aluno marca, ao acaso, as respostas em um teste de múltipla-escolha, com 10
questões e cinco alternativas para cada uma, com apenas uma certa. Qual a probabilidade dele
acertar exatamente 4 questões?
Solução:
Sabemos que s = 1/5 ou 0,2 e que f = 4/5 ou 0,8. Como queremos exatamente 4 sucessos em
n = 10 provas e os eventos são independentes, podemos aplicar o teorema binomial:
P=
C10 , 4 .0,24.0,86 = 0,088 ou 8,8%
2) Risco do efeito fatal – Admitamos que a probabilidade de que uma pessoa não morra, no
prazo de um mês após uma determinada operação de câncer é 82%. Qual a probabilidade de
que três pessoas que fizeram tal operação sobrevivam, ou seja, não morram em até um mês da
cirurgia?
Solução:
Temos, neste caso, s = 0,82 e f = 0,18. Estamos querendo que os três sobrevivam, ou seja,
k= 3, então teremos:
P=
C 3,3 .0,82 3.0,18 0 = 0,5514 ou 55,14%
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – PROBABILIDADES
1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de
aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.
Solução:
Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é igual a
3k. A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1.
Logo, k + 3k = 1 então k = 1/4.
Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%.
2 – Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de
aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num
lançamento aparecer um número primo.
Solução:
Pelo enunciado, podemos escrever: p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5).
Seja p(2) = k. Poderemos escrever: p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1,
ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1.
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93
Então, substituindo, vem:
k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1, logo, teremos k = 2/9.
Assim, temos:
p(2) = p(4) = p(6) = 2/9
p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.
O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo,
p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.
3 – Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso,
qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis?
Solução:
Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C3,2
possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a probabilidade
procurada será igual a:
P = C3,2 / C10,2 = 3/45 = 1/15
4) Lança-se um dado 8 vezes. Qual a probabilidade de sair exatamente 5 números iguais a
3?
Solução:
Sejam os eventos: Evento A: sair o número 3; Evento complementar de A = A’: não sair o
número 3. Teremos: p(A) = 1/6 = p e p(A’) = 1 – 1/6 = 5/6
Portanto, a probabilidade procurada, aplicando-se o teorema binomial, será dada por:
0,0042 ou 0,42%
5) UNESP 2000 - Numa cidade com 30000 domicílios, 10000 domicílios recebem
regularmente o jornal da loja de eletrodomésticos X, 8000 recebem regularmente o jornal do
supermercado Y e metade do número de domicílios não recebe nenhum dos dois jornais.
Determine a probabilidade de um domicílio da cidade, escolhido ao acaso, receber o jornal
da loja de eletrodoméstico X e não receber o jornal do supermercado Y.
SOLUÇÃO:
Seja n o número de pessoas que recebem os dois
jornais:
Teremos: 10000 - n + n + 8000 - n = 15 000
Logo, n = 3000.
Portanto, 3000 domicílios recebem os dois
jornais.
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94
Dessa forma, teremos 10 000 – 3000 = 7000 domicílios que só recebem o jornal do
supermercado X. Logo, a probabilidade procurada será 7000 / 30 000 = 0,233 = 23,3 %
EXERCÍCIOS GERAIS – PROBABILIDADES – QUESTÕES DE CONCURSOS
1)(Concurso para Professores do Ensino Médio – Governo do Estado do Rio de
Janeiro – 1990)
A tabela seguinte fornece, por sexo e por curso, o número de estudantes matriculados
num colégio estadual.
Homens
Mulheres
Form. Geral
400
200
Form. De
80
320
Professores
Escolhendo, ao acaso, um desses estudantes obtenha as seguintes probabilidades:
A) do elemento escolhido ser homem ou ser do curso de formação geral
B) do elemento escolhido ser mulher, dado que é do curso de formação de professores.
2) (Concurso para Professores – Macaé – Ensino Fundamental)
Uma comissão de 3 elementos será escolhida entre os alunos: Ari, Bernardo, Carlos,
David, Eurico, Fernando e Gustavo. A probabilidade de Gustavo pertencer a essa
comissão é de, aproximadamente:
a) 43% b) 45% c) 47% d) 49%
3) (Concurso para Professores CEI – RJ – 1996)
Observe a figura abaixo.
0
1
1
2
3
2
Esta figura sugere uma roleta de um programa de televisão. Gira-se o ponteiro e anotase o número que ele aponta ao parar; repete-se a operação. A probabilidade de que o
produto dos números obtidos seja igual a 6, é:
a) 1/9 b) 1/6 c) ¼ d) 1/3 e) ½
4) (Concurso para Professores – Ensino Médio – Rede Estadual RJ – 1997)
Um jogo de loteria, conhecido como Quina da Felicidade, é composto de uma cartela
numerada de 1 a 50 (01, 02, ....50). É considerado vencedor o apostador que conseguir
acertar a quina (coleção de 5 números) sorteada dentre os 50 números. João fez apenas
um jogo com 10 dezenas e Pedro fez 50 jogos distintos de 5 dezenas. Quem tem maior
probabilidade de vencer? Quais são essas probabilidades?
5) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME Valença RJ – 1998)
A turma 801 da Escola Esperança é constituída de 12 meninas e 8 meninos. Com o
objetivo de organizar uma gincana na escola, deseja-se selecionar 3 alunos para
representantes de turma. Qual a probabilidade aproximada de que essa comissão de
representantes tenha exatamente 2 meninas e 1 menino?
6) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME de São Gonçalo RJ –
1998)
Dois dados (cúbicos) distintos e honestos são lançados sobre uma mesa. A
probabilidade da soma dos valores obtidos nas faces superiores ser igual a 5 é de:
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a) 1/3
b) ¼
c) 1/5
d) 1/6
95
e) 1/9
7) (Concurso para Professores – Ensino Médio – FAETEC RJ – 1998)
Num setor em que trabalham 6 homens e 4 mulheres, será escolhida, por sorteio, uma
comissão de 2 representantes desse setor. A probabilidade de que a comissão venha a
ser formada somente por homens é de:
a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6
8) (Concurso para Professores – Fundação Educacional de Barra Mansa – 1998)
Uma caixa contém 200 bolas numeradas de 1 a 200. Retirando-se uma delas ao acaso,
a probabilidade de que ela esteja numerada com um número múltiplo de 13 é de:
a) 6,5% b) 7,0% c) 7,5% d) 8,0% e) 8,5%
9) (Concurso de Professores – SME do Rio de Janeiro – 1998)
Teresa deseja comprar 2 periquitos numa loja que tem igual número de machos e
fêmeas. Se Teresa escolhe ao acaso dois periquitos, a probabilidade de que ela compre
dos periquitos machos é:
a) 25% b) 50% c) 75% d) 80% e) 85%
8) (Concurso de Professores – SME de Mesquita – 2002)
Retirando-se 4 bolas de uma caixa contendo 3 bolas brancas, 4 bolas vermelhas e 5
bolas pretas, a probabilidade de que pelo menos uma das 4 bolas retiradas seja branca
é:
a) 41/55 b) 14/55 c) 55/14 d) 1/55
12) (Concurso para Professores – Ensino Médio – Rede Estadual RJ – 2001)
Marcos e Celia querem ter 3 filhos. A chance de que o casal tenha três filhas é de:
a) 11% b) 12,5% c) 33,3% d) 37,5%
13) (Concurso para Professores – Ensino Médio – Rede Estadual RJ – 2001)
Oito pontos sobre uma circunferência são os vértices de um octógono regular. Se 4
desses oito pontos forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de se obter um
quadrado é:
a) 1/70 b) 1/35 c) 2/35 d) 2/7
14) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME de Duque de Caxias – 2002)
Em um grupo de 20 pessoas, a probabilidade de que nele haja, pelo menos, duas
pessoas nascidas num mesmo mês é igual a:
a) 0,12 b) 0,6 c) 0,8 d) 1 e) 5/3
15) (Concurso para Professores – Ensino Fundamental – SME de Niterói – 2003)
Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. A probabilidade de sair a soma
menor do que 5, nas faces voltadas para cima desses dois dados, é:
a) 1/18 b) 5/18 c) 1/9 d) 1/36 e) 5/9
GABARITO
01) a) 68%
b) 80%
02) A
03) A
06) E
11) A
07) B
12) B
08) C
13) B
04) João
0,000119 e
0,000024
09) A
14) D
Nem mesmo toda a ciência do homem lhe bastaria
para conhecer a extensão da sua ignorância."
(Leoni Kaseff)
05) 46 %
10) 1,98 %
15) B
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96
V) Matrizes e Determinantes
1. Introdução
Quando utilizamos programas gráficos nos computadores não nos damos conta do
que está por detrás das operações que efetuamos, mas é bom que saibamos que estas
operações só são possíveis porque antes mesmo de serem desenvolvidos os
computadores, o homem já havia desenvolvido a teoria das matrizes. Programas como o
Word, o Excel e outros, não poderiam ser criados se não existissem as matrizes. Cada
movimento executado com uma figura colocada na tela de seu computador corresponde a
uma operação de matrizes. A geração dos movimentos e deformações que vemos nos
efeitos especiais de cinema, da televisão, dos games de computadores e em inúmeras
simulações científicas está baseada na multiplicação de matrizes. Nestas aplicações, nosso
problema reside na rapidez com que precisamos realizar as multiplicações para que os
resultados pareçam mais realísticos. É aí, exatamente que entra a informática e quanto mais
ágeis forem os co-processadores de nossos computadores, tanto mais e melhores serão os
benefícios que deles podemos usufruir. Problemas que envolvem campos elétricos,
magnéticos, de tensões elásticas, térmicas, e etc, são reduzidos a sistemas de equações
lineares com número excessivamente grande de equações e incógnitas cuja solução só é
plausível com o uso de matrizes. Só para termos uma idéia de o quanto as matrizes fazem
parte de nossas vidas, basta saber que a distribuição de energia elétrica, de gás e outros
serviços como telecomunicação seriam absolutamente inviáveis em grande escala, como
nas redes estaduais, não fosse o uso de matrizes gigantescas operadas por computadores.
É bem comum no nosso cotidiano estarmos interessados em comparar medidas ou
aspectos de diversos objetos. A forma mais eficiente de fazermos isso é, através de uma
tabela de dupla entrada onde, numa das entradas relacionamos os objetos a serem
observados e na outra, as medidas ou aspectos que queremos comparar. Por exemplo,
suponha que estamos precisando comprar feijão, arroz, açúcar e café. Vamos pesquisar os
menores preços nos supermercados Baratão, Bom Demais e Pague Pouco e para
anotarmos seus preços fazemos a seguinte tabela:
Baratão
Bom Demais
Pague Pouco
Feijão(Kg)
1,98
2,10
1,80
Arroz(Kg)
2,20
2,38
2,40
Açúcar(Kg)
2,55
2,15
2,30
Café(Kg)
4,30
3,95
4,15
Uma matriz é exatamente uma tabela como a que construímos acima com a única
diferença que não enfatizamos os significados das linhas e colunas (talvez por já estar
explícito).
%1,98 2,20 2,55 4,30"
2,10 2,38 2,15 3,95 ou ##2,10 2,38 2,15 3,95
#$1,80 2,40 2,30 4,15 !
1,80 2,40 2,30 4,15
1,98 2,20 2,55 4,30
Se o número de objetos a serem observados, for muito grande a disposição em forma de
matriz torna-se ainda mais eficiente. Naturalmente que o número de linhas e colunas da
matriz, isto é, o tipo de matriz, depende exclusivamente do problema que está sendo
analisado. Em geral nomeamos as matrizes com as letras latinas maiúsculas. Uma matriz A
que possui m linhas e n colunas pode ser representada por:
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
a11 a12
a13 . . . a1n
a 21 a 22
a 23 . . . a 2 n
a 31 a 32
a 33 . . . a3n
Amxn = .
.
.
.
....
.... .
.
.
...
.
a m1
.
. ...
a mn
97
= (a ij )mxn
Qualquer elemento da matriz A é da forma a ij , onde os índices i e j servem apenas para
indicar, respectivamente a linha e a coluna do elemento considerado.
2.Tipos Especiais de Matrizes
2.1 Matriz linha
É uma matriz da forma 1xn. Por exemplo: B1 x 3 = [2 0 7 ]
2.2 Matriz Coluna
É uma matriz da forma mx1. Por exemplo : C 5x1
%
#
#
=#
#
#
#$
1"
3
6
0
4!
2.3 Matriz Nula
%0 0 0 "
$0 0 0 !
È uma matriz de qualquer tipo, cujos elementos são todos nulos. Exemplo D2 x 3 = #
2.4 Matriz Quadrada
%1 3"
.
$0 5!
É uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas. Ex E 2 x 2 = #
Uma matriz quadrada de n linhas e n colunas é denominada matriz quadrada de ordem n
ou matriz nxn.
Existem dois conjuntos de elementos de uma matriz quadrada que merecem destaque, e
que são chamados de Diagonal Principal e Diagonal Secundária. Os elementos de uma
matriz quadrada A de ordem n tais que i = j, constituem a Diagonal Principal e os elementos
dessa mesma matriz A tais que i + j = n + 1, constituem a Diagonal Secundária. Exemplo.
% 2 4 6"
#
Seja a matriz A = 0 1 3
#
#$2 5 9 !
A Diagonal Principal é o conjunto DP = {2 ,1, 9} e a Diagonal Secundária é o conjunto
DS = {6 ,1, 2}
2.5 Matriz Triangular
É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima ou todos os elementos
abaixo da diagonal principal são nulos.
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
98
Ex
%1 2 5 "
N = ##0 1 4
#$0 0 3!
%3 0 0 "
M = ##2 2 0
#$1 5 7 !
2.6 Matriz Diagonal
É uma matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são todos nulos.
%3
#0
Ex. F = #
#0
#
$0
0
5
0
0
0
0
1
0
0"
0
0
4!
2.7 Matriz Identidade
É uma matriz diagonal na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a
unidade. Abaixo apresentamos exemplos de matrizes identidades de 1ª, 2ª e 3ª ordem.
I 1 = [1]
%1 0 0"
I 3 = ##0 1 0
#$0 0 1!
%1 0"
I2 = #
$0 1!
2.8 Matriz Simétrica
É uma matriz quadrada onde se observa a ij = a ji
2.9 Matriz Anti-simétrica
É uma matriz quadrada onde se observa a ij = a ji
3. Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A e B são iguais quando são do mesmo tipo mxn e apresentam elementos
que ocupam a mesma posição, iguais.
Se A = a ij mxn e B = bij mxn , então A = B * a ij = bij
( )
( )
4.Matriz Transposta
Considere uma matriz M do tipo mxn, chamamos de matriz transposta de M (representamos
por M t ) a matriz do tipo nxm que se obtém trocando ordenadamente as linhas pelas
%1 7 0"
%1 8 2 "
#
#
t
colunas da matriz M. Ex. M = 8 6 1 a transposta será a matriz M = 7 6 4
#
#
#$2 4 3!
#$0 1 3 !
5. Operações de Matrizes
5.1 Adição de matrizes
Duas matrizes são conformes para a adição se forem do mesmo tipo, e isto significa que se
as matrizes não forem do mesmo tipo não estará definida a adição entre elas. Dadas duas
matrizes do mesmo tipo mxn A = a ij mxn e B = bij mxn , a adição destas matrizes tem como
( )
( )
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
( )
resultado uma outra matriz do mesmo tipo , digamos C = cij
todo i
{1, 2, 3, ....m}e todo
j
{1, 2, 3 , ......, n}
mxn
99
tal que cij = a ij + bij para
5.1.1 Propriedades da Adição de Matrizes
A justificativa para a validade das propriedades abaixo apresentadas decorre do fato de que
adicionar matrizes implica adicionar elementos (números reais) que ocupam as mesmas
posições nas matrizes. Como a adição de números reais apresenta estas propriedades, elas
serão preservadas para a adição de matrizes.
Propriedade Comutativa
A+B=B+A
Propriedade Associativa
A+(B+C)=(A+B)+C
Existência do Elemento Neutro
A+0=0+A=A
O símbolo 0, aqui usado, representa a matriz nula de mesmo tipo que A
Existência do Elemento Oposto
A + (-A) = 0
A matriz oposta representada pelo símbolo –A, é a matriz que se obtém quando trocamos o
sinal de todos os elementos da matriz A.
Transposta da Soma
(A + B) t = A t + B t
Convém enfatizar que se A é uma matriz anti-simétrica, então A t = A . Exemplo de uma
matriz anti-simétrica:
A=
0
-2
2
1
0
3
1
3 . Observe que os elementos da diagonal principal são todos nulos.
0
6. Multiplicação de uma Matriz por um Escalar
Considerada uma matriz A do tipo mxn e um número real , o produto .A é a matriz do
tipo mxn que se obtém multiplicando todos os elementos de A por
, ou seja,
Se A = a ij mxn e
, + .A = .a ij mxn , i e j .
( )
(
)
6.1 Propriedades da multiplicação de matriz por escalar
Sejam A e B matrizes do mesmo tipo e
6.1.1
6.1.2
6.1.3
( .A ) = ( . ).A .
(A + B) = .A +
( + ).A = .A +
.B .
.B
e
números reais.
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
100
6.1.4 ( .A ) = .A t .
6.1.5 1. A = A.
t
6.2 Multiplicação de Matrizes
( )
Sejam as matrizes A = a ij
mxn
e B = (b jk )nxp . O produto de A por B ( representa-se A.B ou
AB) é a matriz C = (cik )mxp , onde qualquer elemento cik é a soma dos produtos dos
elementos da i-ésima linha de A pelos correspondentes elementos da k-ésima coluna de B.
cik = ai1 .b1k + ai 2 .b2 k + ai 3 .b3k + ...... + aim .bnk .
Observe que para definir multiplicação de matrizes é condição sine qua non que as matrizes
tenham as seguintes características: o número de colunas da primeira matriz tem que ser
igual ao número de linhas da segunda e a matriz resultante terá, por via de conseqüência, o
número de linhas e colunas respectivamente iguais ao número de linhas da primeira e ao
número de colunas da segunda matriz.
Da definição acima, decorre que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou
seja, se A e B são duas matrizes é falso afirmar que A.B = B.A. Entretanto se as matrizes A
e B forem quadradas e de mesma ordem pode acontecer de que A.B = B.A. Neste caso,
dizemos que as matrizes A e B, comutam.
Há um dispositivo prático que facilita sobremodo a multiplicação matricial que
-1 3
0
2 1
4 5
1
3
passaremos a expor. Considere as matrizes A =
-2 1
e B=
0 5 O produto
7 8
de A por B se obtém armando um dispositivo semelhante a um jogo da velha e escrevendose os elementos das matrizes como mostramos a seguir:
.
A.B
-1
-2
1
0
5
7
8
3 0
-1(-2) + 3.0 +0.7
-1.1 + 3.5 +0.8
2 1 1
2.(-2 ) + 1.0 +1.7
2.1 + 1.5 +1.8
4 5 -3
4(-2) + 5.0 +(-3).7 4.1 + 5.5 +(-3).8
A soma dos produtos dos elementos das linhas da matriz A pelos elementos das colunas da
matriz B são colocados no 4º quadrante do jogo da velha. Assim, o resultado procurado é
2
A.B =
14
3 15
29 5
Convém notar que o produto B.A sequer é possível e a matriz A.B tem o mesmo número de
linhas da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B.
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101
6.3 Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A, chamamos de matriz inversa de A e representamos por A -1 a
matriz que atende a seguinte condição A.A -1 = A -1 .A = I
6.4 Propriedades do Produto de Matrizes
Associativa
A.(B.C) =(A.B).C
Distributiva à Direita em Relação à Adição
(A + B).C = A.C + B.C
Distributiva à Esquerda em Relação à Adição
A.(B + C) = A.B + A.C
Transposta do Produto
(A.B)t
= B t .A t
Inversa do Produto
( A.B ) 1 = B
1
.A
1
Também é válida a seguinte propriedade :
(A.B) = ( .A).B = A.( .B) ,
,
Exercícios
( )
1. Considere a matriz A = a ij
2x 3
tal que
/3i 2 j se i < 2,
a ij = .
Construa a matriz A.
-i + 2 j se i 2
2. Considere a seguinte matriz, quadrada de ordem 3:
... "
%4 + m ...
A = ## m n + 8 ... .
#$ n
p 2 p 6!
Sendo A uma matriz anti-simétrica, determine os termos a12 , a13 e a 23 .
3. Seja A uma matriz quadrada de ordem 2, 0 2 a matriz nula de mesma ordem, e
A t a matriz transposta de A.
Demonstre que, se A. A t = O2 , então A = O2 .
( )
4. Seja A = aij
2x2
a matriz dos elementos
/cos( j ), se i = j
1
. Determine a matriz A 2 .
aij = .
i
,
se
sen
i
j
1
2
-
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
102
5. Considere as matrizes:
%1
A = #2
#
#$0
% 0
#
e B=# 1
# 4
2!
$
3"
1 .
"
5
1
7!
a) determine o termo x 21 da matriz ( A.B).
b) determine o termo x 22 da matriz (A.B).
6. Sejam as matrizes A =
1 2
1
e B=
3 1
3
3
.
1
Determine a matriz X, tal que X = A -1 . B
%16
#
7. Obter a segunda linha da matriz A sabendo que: A = 13
#
#$11
1
(
Calcular A + A
8.
9.
(
Calcular A + A
1
)(A
1
)
2
A
, sabendo que A
1
1
%2
=#
$5
) sabendo que A = %#18
$
1
10"
1
1
8
7!
3"
8!
2"
17!
%a
$c
10. Calcular, supondo que exista, a inversa da matriz A = #
b"
. Qual é a condição
d!
sobre a, b, c, d para que exista A 1 ?
Respostas
1
1. A =
4
1
6
3
8
2. a12 = 4 ; a13 = 8 ; a 23 = 3
3. Tome uma matriz de
2ª ordem qualquer, construa a transposta efetue o produto e use a igualdade de matrizes.
4. A 2 =
7.
1 0
0 1
a 21 = 3 ; a 22 = 2 ; a 23 = 2
288
288
72
288
5. x 21 = 1 + 4 2
8.
10
0
0
10
x 22 = 1 + 14
6. X =
1
0
1
2
9.
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
d
1
10. A
=
ad
bc
c
ad bc
b
ad bc
e ad
a
ad bc
bc
103
0
Testes de Vestibulares
1.
(Fatec-SP)
Seja
A = (a ij )
uma
matriz
/12 i + j para i < j
. Nestas condições:
a ij = . 2
1-i + 1 para i j
2
4
2
b) A =
a) A =
8
5
5
d) A =
2
2
8
5
quadrada
de
8
6
ordem
c) A =
2
5
2
tal
que
8
5
e) nda.
( )
2. (UFMT) Sejam as matrizes A = a ij
2x 3
tal que a ij = j
3i ; B = (bij )3 x 2 tal que
bij = 2i + j 2 e C = (cij )2 x 2 tal que cij = ij . O elemento de maior módulo dentre os que
formam a diagonal principal da matriz P, onde P = AB + 20C , é:
a) 20
b) 9
c) 0
d) -12
3. (UFU-MG) Se A é uma matriz diagonal de ordem 2 tal que A 2 =
e) -15
8
0
0
, então A
27
1
é a matriz:
a)
1
2
0
0
1
3
1
2
1
e)
1
b) 2
0
1
c) 2
0
1
1
0
3
d)
1
0
0
1
0
1
4. (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada,
usados num restaurante. A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada
usados na composição dos pratos tipo P1 , P2 , P3 desse restaurante.
arroz carne
1 arroz
C = 3 carne
2 salada
2
1
salada
1 prato P1
P= 1
2
2
2
1 prato P2
0 prato P3
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1 , P2 , P3 é:
7
4
9
2
2
a) 9
b) 4
c) 11
d) 6
e) 2
8
4
4
8
4
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104
1
2
1
5. (ITA-SP) Sendo A = 0
3
1
2 , então o elemento da terceira linha e primeira
2
3
coluna de sua inversa será igual a:
a)
5
8
b)
6.
(UFU-MG)
1
A=
0
2
3
a)
1
0
2
0
1
0
9
11
c)
A
solução
0
2
2
3
1
, B=
(
b) 1
6
11
2
13
d)
da
equação
e)
1
13
At X = B ,
matricial
onde
3
2 e A t é a transposta de A , é:
2
2
0
)
3
c) 2 2
0
0
2 2
2 2
2 3
2
6
1
d)
2
0
e) não existe a matriz X.
0
1
0
7. (MACKENZIE-SP) Com relação à matriz A = 1
1
0
1 a alternativa correta é:
1
0
a) A19 = I 3
b) A 20 = A
c) A 21 = A 2
d) A 22 = A 2
e) A18 = I 3
8. (CESGRANRIO) Para que valores de k existe uma única matriz
k 1
1
a) k
x
, tal que
y
2 x
0
=
?
k y
0
1
b) k = 2
c) k = 2 ou k = 1
d) k
2ek
1
e) k
2ek
1
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
105
sen
cos
1
9. (UNIRIO) Para que a matriz A = sen
1
cos
0 , seja inversível, é necessário
0
sen
que:
a)
4
+ 2k
b)
2
+ 2k
c)
k
2k
d)
%19941994
$19941994
10. (UERJ) Considere as matrizes A = #
19941994"
19941995!
Seja A 2 = A. A e B 2 = B.B . Determine a matriz C = A 2
B2
% 0
$ 1
a) #
1"
0!
%1
$0
b) #
0"
1!
% 1
$ 1
c) #
0"
0!
%0
$1
d) #
2k ±
e)
% 1
e B=#
$ 1
( A + B )( A
B)
1"
0!
e) #
%1
$0
2
1"
1!
1"
0!
Respostas dos Testes
1. c
2. d
3. a
4. a
5. b
6. d
7. e
8. e
9. c
10. a
7. Determinantes
Determinante associado a uma matriz quadrada, é o número real obtido de forma
única por meio de operações efetuadas com os elementos de matriz.
Antes de darmos uma definição formal de determinante de uma matriz quadrada
qualquer, optamos por fazer uma apresentação homeopática, mostrando primeiramente
como calcular determinantes de matrizes de 1ª, 2ª e 3ª ordens. Na verdade esses
determinantes são os mais usados nos problemas que são abordados no Ensino Médio.
Em seguida daremos uma definição geral e constataremos que a forma como
calculamos os determinantes até 3ª ordem está absolutamente de acordo com esta
definição
7.1 Determinante de 1ª ordem
O determinante de uma matriz de 1ª ordem é igual ao único elemento da matriz. Portanto, se
A = (a11 ) , o seu determinante será igual ao elemento a11 , representamos esse fato
escrevendo det A = a11 = a11 .
7.2 Determinante de 2ª ordem
O determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem é igual ao produto dos elementos da
diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Se
A=
a11
a12
a 21
a 22
, então det A =
a11
a12
a 21
a 22
= a11 .a 22
a12 .a 21 .
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106
7.3 Determinante de 3ª ordem
O determinante associado a uma matriz quadrada de ordem 3 é obtido através da seguinte
seqüência operacional:
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23 = a11 a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21 a32
a 31
a 32
a33
a13 a 22 a 31
a11 a 23 a 32
a12 a 21 a33
Indica-se, para simplificar o processo, a utilização do dispositivo de Sarrus, que consiste na
repetição ordenada das duas primeiras colunas após a barra vertical direita e nas
multiplicações (3, precedidas do sinal +) dos 3 elementos situados na direção da diagonal
principal e (3 multiplicações, precedidas do sinal -) dos 3 elementos situados na direção
da diagonal secundária.
a11 a12 a13
a11 a12
a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 =
a 31 a32 a33 a31 a 32
= a11 a 22 a 33 + a12 a 23- a-31 +-a13 a 21 a 32+ a13+ a 22+ a 31 a11 a 23 a 32 a12 a 21 a 33
8. Propriedades dos determinantes
O cálculo do determinante associado á uma matriz pode ser simplificado através de certas
propriedades. A seguir serão descritas algumas dessas propriedades e, para tal, deve-se
considerar:
i) A e B matrizes quadradas de ordem m 2 ; e ii) uma fila como sendo uma linha ou uma
coluna.
Propriedade 1 - o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta
det A = det( At ).
Propriedade 2 - se todos os elementos de uma fila de A forem nulos, então det A = 0.
Propriedade 3 - se duas filas paralelas de A forem trocadas de posição, será obtida uma
matriz B, tal que det B = - (detA).
Propriedade 4 - se todos os elementos de uma fila de A forem multiplicados por número
real k, obter-se-á uma matriz B, tal que det B = k(detA), k R.
Propriedade 5 – se duas filas paralelas de A forem formadas por elementos
respectivamente iguais, então det A = 0.
Propriedade 6 - se duas filas paralelas de A forem integradas por elementos
respectivamente proporcionais, então det A = 0.
Propriedade 7 - Teorema de Jacobi adicionando à fila de A uma outra fila paralela
(previamente multiplicada por k R ), obter-se-á uma matriz B, tal que: det B = det A.
Propriedade 8 - Teorema de Binet
det (A.B) = (detA).(det B)
Propriedade 9 - se A é uma matriz triangular (ver item 2.5), então det A é igual ao produto
dos elementos da diagonal principal de A.
Propriedade 10 - se uma fila de A é a composição linear de outras filas paralelas, então det
A = 0.
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107
Exemplo:
A=
2
0
4
2
2.2. 1.4
4
1
2
7
0
5 =
4
1
2
2( 1) 1.5
2( 2) 1.( 4)
5
4
Observe que a 2ª coluna é a combinação linear da 1ª e da 3ª colunas, e, portanto, det A = 0.
Propriedade 11 - se a matriz A é inversível, então det( A 1 ) =
1
. com det A 0.
det A
9. MENOR COMPLEMENTAR E COFATOR
( )
Definição : Chama-se Menor Complementar Dij
de um elemento a ij de uma matriz
quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando a linha i e a coluna j da matriz.
1
3
1
Por exemplo, dada a matriz A = 3
0
6
7 , o menor complementar do
5
2
elemento a 23 = 7 , de acordo com a definição acima seria o seguinte determinante:
3
0
7
= 0 . De modo análogo podemos calcular D11 =
= 42 ;
6
6
5
3
7
3
0
3
6
1
1
D12 =
= 1 ; D13 =
= 18 ; D21 =
= 9 ; D22 =
=3 ;
2
5
2
6
1
5
2
5
3
1
1
1
1
3
D31 =
= 21 ; D32 =
= 4 e finalmente D33 =
= 9
0
7
3
7
3
0
Definição : Chama-se Cofator de um elemento a ij de uma matriz ao número
D23 =
1
2
C ij = ( 1) .Dij
i+ j
Assim o cofator do elemento a 32 da matriz dada acima é : C 32 = ( 1)
3+ 2
.D32 = 4 .
Definição Geral de Determinantes
A definição geral para o determinante de uma matriz nxn será dada pelo seguinte:
Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos
dos elementos de uma fila ( linha ou coluna)pelos seus respectivos cofatores.
O teorema de Laplace nos permite calcular o determinante de uma matriz de qualquer
ordem. Como já temos regras práticas para o cálculo de determinantes de 1ª , 2ª e 3ª
ordem, só recorremos a esse teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em
diante. Convém ressaltar que o teorema de Laplace nos possibilita abaixar a ordem do
determinante. Assim, sua aplicação à um determinante de 4ª ordem, implicará no cálculo de
4 determinantes de 3ª ordem. A esta altura, pode-se perceber que o cálculo de
determinantes de 5ª ordem em diante, mesmo com a aplicação do teorema de Laplace, é
uma tarefa extremamente laboriosa e que justifica plenamente o uso de planilhas
eletrônicas, como por exemplo, o programa Lótus 1-2-3 ou Excel. De qualquer modo, a
escolha de uma fila com o maior número possível de elementos nulos facilita, por razões
óbvias, a aplicação deste teorema.
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
108
10 - SOBRE MATRIZ INVERSA
10.1 Conforme foi observado no item 6.3 da unidade sobre matrizes, a forma de se obter,
se existir, a inversa de uma matriz envolve um processo pouco prático.
No entanto, se uma matriz é inversível de ordem 2, pode-se recorrer à uma técnica
alternativa para obtenção de A 1 .
a b
1
+A 1=
c d
det A
se A =
d
c
b
a
Na verdade, é possível generalizar o processo acima para encontrar a inversa de uma
matriz de uma ordem qualquer, para tanto vamos definir a matriz adjunta de uma matriz
dada
Definição. Chama-se matriz cofatora de uma matriz A (representa-se por cof A) a matriz
que se obtém substituindo-se cada elemento da matriz A pelo seu respectivo cofator.
Definição. Chama-se matriz adjunta de uma matriz A, a matriz Adj. A = (cof A) , isto é, a
matriz transposta da matriz cofatora da matriz A dada.
Agora é possível encontrara matriz inversa de uma matriz A qualquer da seguinte forma:
t
A1=
1
Adj A , ou seja, devemos encontrar a matriz adjunta da matriz A e dividi-la pelo
det A
determinante de A.
10.2. Se A é uma matriz quadrada de ordem m, existirá A
1
se, e somente se, det A
0.
11. Determinante Especial de Vandermonde.
Determinante de Vandermonde (ou de potências) é aquele formado com potências
sucessivas de n bases distintas a, b, c, ....., k , l
14
4244
3
n
Exemplo
1
1
1
...........
1
1
a
b
c
..........
k
l
D = a2
an
b2
c2
........... k 2
.................................
1
bn
1
cn
1
............ k n
l2
1
ln
1
O cálculo do determinante de Vandermonde se efetua segundo a seguinte expressão:
D = (b a )(c a ).....(l a )(c b )(d
b ).....(k b )(l c )......(k
j )(l
j )(l k )
Exercício 1. Desenvolver o determinante de Vandermonde de bases 7, 4 , 8, 3.
Solução:
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
109
1 1
1
1
7
4
8
3
Trata-se de um determinante de 4ª ordem cuja matriz é :
. Então o
49 16 64
9
343 64 512 81
valor D do seu determinante será:
D = (4 7 )(8 7 )(3 7 )(8 4)(3 4)(3 8) = 3.1.( 4).4.( 1)(
. 5) = 240
Exercício 2. Calcule o determinante de Vandermonde de base 2x, (1 – x), (1 + x).
Solução:
Chamando de D o valor do determinante, temos:
D = [(1 x ) 2 x ].[(1 + x ) 2 x].[(1 + x )
(1
x )] = (1 3x )(1 x ).2 x = 6 x 3
8x 2 + 2 x
12. Abaixamento da ordem de um Determinante
Regra de Chió
Para abaixar a ordem de um determinante, usamos a seguinte regra atribuída ao
matemático Chio:
i)
Escolhe-se um elemento igual a 1 (não havendo, use as propriedades e torne um
elemento igual a 1)
ii)
Elimine a linha e a coluna que se cruzam no elemento 1 escolhido, e obtenha
assim o menor complementar deste elemento.
iii)
Subtraia de cada elemento do menor complementar obtido, o produto dos
elementos das filas suprimidas que se cruzam nesse elemento.
i+ j
iv)
O determinante obtido na etapa anterior deve ser precedido do sinal ( 1) ,
onde i e j representam a linha e a coluna a que pertence o elemento 1 escolhido.
Exemplo. Use a regra de Chio para calcular o determinante:
2
5
1
3
3
0
1
4 .
1
3
Solução
Escolhemos o elemento 1 que ocupa a linha 3 e a coluna 2, isto é, i = 3 e j = 2. Portanto
temos:
2
5
1
3
3
0
1
1
1
3.
3+ 2 2
4 = ( 1) .
3
5 3.0
3
1 3.3
4 0.3
= ( 1)
1
5
10
= ( 1)(4 + 50) = 54
4
EXERCÍCIOS – Série 1
1. Dê o valor do determinante abaixo sob a forma de um produto de 3 fatores.
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
a
a
a
a
a
b
b
b
c
110
1
2
6
2. Dada a matriz A = 0
3
4
1 , calcule seu determinante usando a regra
2
5
de Sarrus.
3. Usando a definição geral, calcule o determinante da matriz
A=
1
3
7
0
2
1
8
0
5
4. Encontre o valor de k para que a matriz abaixo seja inversível.
7
2
k
1
5
0
3
1
8
.
1
5. Calcule a
a2
1
1
2a
3a
4a 2 9a 2
6. Calcule x de modo que
3x 1
0
x
3
1
1
0
2 =0
1
1
1
1
1+ a
1 ...... 1
1 ....... 1
1
1 + b ...... 1
.....................................
1
1
1 .... 1 + l
7. Calcule o valor do determinante : 1
8. Usando a informação dada em 9.1, calcule a inversa da matriz
A=
3
1
2
1
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111
9. (FATEC-SP) Dê o conjunto X dos números que satisfazem a equação
0
3
1
x
x
2
2
3
0
2
x
1
0
1
=0
0
0
10. Calcule os seguintes determinantes:
1
2
a)
3
1
0
1
2
1
2
2
4
1
0
1
1
2
0
1
b)
4
2
3
2
3
2
0
3
2
3
0
4
2
3
Respostas Exercícios Série 1.
1. a (a
b )(b c )
2. - 102
1
2
5. 2a 3
6. x =
9. X = { -1, 0, 1 }
10. a) 3
4. k
3. 9
7.. a.b.c....l
5
8. A
1
=
1
1
2
3
b) – 24
EXERCÍCIOS – Série 2
1. Usando propriedades de determinantes descubra quais dentre as matrizes abaixo
têm determinante nulo.
%5
#3
A=#
#1
#
$2
% 8
# 1
C=#
# 2
#
$ 3
%2
#0
E=#
#0
#
$0
4
9
5
3
0
4
1
2
9
5
0
0
10
6
2
4
0
0
3
1
3
2
0
0
%2
#0
2. Sendo A = #
#0
#
$0
%3
#2
B=#
#5
#
$5
1"
6
3
2!
0"
0
0
5!
4"
2
3
7!
5
3
0
0
%
#
D=#
#
#
$
%
#
F=#
#
#
$
1
0
5
0
3
2
1
4
4
3
4
6
2
9
2
2
0
0
0
0
5
1
5
8
9
1
3
3
2
6
3
1
0
2
0
3
6"
8
0
0!
4"
8
6
5!
2"
5
2
5!
3 "
1
, calcule det A.
1
10!
3. Use a regra de Chio para abaixar a ordem e resolver o determinante:
Matemática no Ensino Médio – Álgebra - IAp / UERJ – Profs. Ilydio Pereira de Sá e Geraldo Lins
2
5
2
3
3
6
1
2
0
2
0
1
1
4
3
5
x
4. Obter x de modo que se tenha:
2
1
0
4
5. Calcule o determinante:
1 x
x
x +1
0
0
1
0
6
8
5
3
1
2
1
6
5
0
5
4
7
3
= 23
4
0
0
0
0
7
1
5
6
6. Prove que o determinante 1
3
9
0 é múltiplo de 13.
5
1
2
4
7. Calcule o valor do determinante 1
5
3
25
9
1
1
%a
#
8. Dadas as matrizes A = 5
#
#$ 2
112
b
3
4
c"
%a
2 e B = ## b
#$ c
6!
5
1"
3
2
2 de determinantes
3!
não nulos, para quaisquer valores de reais de a, b e c, que relação deve existir entre
os de terminantes de A e B.
% k1
#
9. Seja a matriz M = # k 4
#$ k 7
k2
k3 "
k5
k 6 na qual os elementos k1 , k 2 , k 3 , ......., k 9 , formam
k8
k9 !
uma P.G., determine o valor de det M.
%1
#
10. Calcule o valor de x, sabendo que o determinante da matriz # 1
#1
$
0 "
0
2
x
0
3
x
x
é igual
4 !
a 256
Respostas EXERCÍCIOS – SÉRIE 2
1
2
1. A, B, D, E e F
2. 300
3. 40
4.
6. use a propriedade 4
7. – 6
8. det A = 2.det B.
9. zero
5. -112
10.
3
8
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113
Sistemas Lineares
1) Introdução:
O que é uma equação linear? E um sistema linear?
Neste capítulo não só responderemos às perguntas acima, como mostraremos diversas
aplicações importantes, no cotidiano, relacionadas com esse tema. Mostraremos ainda como
as matrizes e os determinantes que, estudamos no capítulo anterior estão também relacionadas
com esse tema.
Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega
cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela
matriz:
Tipo do Recipiente I II III
A
4 3 2
B
5 2 3
C
2 2 3
Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia
deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?
Montagem do sistema linear (ou sistema do 1º grau)
4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42
3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 27
2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33
Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no
Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo
eles três grandes produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley
apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partir
da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele
denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos
de transformações lineares homogêneas.
Equação linear
É uma equação da forma
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1
onde
x1, x2, ..., xn são as incógnitas;
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114
a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (números reais ou complexos);
b1 é o termo independente (número real ou complexo).
Exemplos de equações lineares
1. 4 x + 3 y - 2 z = 0
2. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3
3. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1
Exemplos de equações não-lineares
1. 3 x + 3y
2
x = -4
2
2. x + y = 9
3. x + 2 y - 3 z w = 0
4. x2 + y2 = -9
Solução de uma equação linear
Uma seqüência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1
se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é
identicamente igual ao membro da direita, isto é:
a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1
Exemplo: A seqüência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5,
y=6 e z=7 na equação dada, teremos:
2×5 + 3×6 - 2×7 = 14
Exercícios resolvidos:
1 - Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o
valor de p?
Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p,
6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 - 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e
portanto, p = 14.
2 - Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que
o terno ordenado ( , , 2 ) é solução.
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Solução: Podemos escrever: 5 - 2 + 2 = 14. Daí, tiramos: 2 = 14 - 5
Portanto, a solução genérica será o terno ordenado ( , , 14 - 5 + 2 ).
115
+ 2
.
Observe que arbitrando-se os valores para e , a terceira variável ficará
determinada em função desses valores. Por exemplo, fazendo-se = 1, = 3,
teremos
2 = 14 - 5 + 2 = 14 - 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim,
sucessivamente. Verificamos pois que existem infinitas soluções para a equação
linear dada, sendo o terno ordenado ( , , 14 - 5 + 2 ) a solução genérica.
Agora resolva estes:
1 - Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1?
Resp : S = 3
2 - Determine o valor de p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) é
solução da equação 3x + 4y - 5z + 2t = 10. Resp : p = - 17/6
2) Sistemas de equações lineares
Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais
equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:
a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn
onde
x1, x2, ..., xn são as incógnitas;
a11, a12, ..., amn são os coeficientes;
b1, b2, ..., bm são os termos independentes.
3) Representação Matricial de um Sistema de Equações Lineares:
% x 1 " %b1 "
%a11 a 12 .... a 1n " #
#b
x2
#a
# 2
a 22 ... . a 2n #
21
#
. # x3 = #b3
#...
#
#
...
#
#
#...
a
....
a
a
$ m1 m2
mn !
#$ xn ! #$bm !
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116
Pode-se sempre usar a representação matricial de um sistema e
simplificar a sua escrita, trabalhando direto com as matrizes que o
representam.
OBS:
%a11 a 12 .... a 1n "
#a
a 22 ... . a 2n
# 21
#...
#
$am1 a m2 .... a mn !
%a11 a 12 .... a 1n b1 "
#a
a 22 ... . a 2n b 2
# 21
#...
#
$am1 a m2 .... a mn b m !
A matriz ao lado é denominada de
matriz incompleta do sistema linear.
A matriz ao lado é denominada de
matriz completa do sistema linear.
Solução de um sistema de equações lineares
Uma sequência (r1, r2, ...,rn) é solução do sistema linear:
a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn
se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.
Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear:
2x + y = 4
x + 3y = 2
x + 5y = 2
pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0,
os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.
4) Consistência de Sistemas Lineares
O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras
com relação à sua consistência:
Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução.
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117
(a) Se tem uma única solução, o sistema é determinado.
(b) Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.
Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.
Exemplos de sistemas com respeito às suas soluções
1. Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas
retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção.
x + 2y = -1
2x - y = 8
2. Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas
paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que
satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).
4x + 2y = 100
8x + 4y = 200
3. Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas
no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.
x + 3y = 4
x + 3y = 5
5) Sistemas equivalentes
Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.
Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo:
S1
3x + 6y = 42
2x - 4y = 12
S2
1x + 2y = 14
1x - 2y = 6
pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.
Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.
Exemplo: UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina)
Se os sistemas
S1:
S2:
x+y=1
x - 2y = -5
ax – by = 5
ay – bx = -1
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118
são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:
a) 1
b) 4
c) 5
d) 9
e) 10
Solução:
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos
resolver o sistema S1:
x+y=1
x - 2y = -5
Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 4 y = 2.
Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 4 x = -1.
O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema
S2. Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1,
vem:
a(-1) - b(2) = 5 + - a - 2b = 5
(I)
a(2) - b (-1) = -1 + 2 a + b = -1 (II)
Multiplicando ambos os membros da primeira equação (I) por 2, fica:
-2 a - 4b = 10
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (II),
fica: -3b = 9 4 b = - 3
Substituindo o valor encontrado para b na equação (II) acima (poderia ser também
na outra equação), teremos:
2 a + (-3) = -1 4 a = 1.
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.
Portanto a alternativa correta é a letra E.
Exemplo 2: Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,
2x - my = 10
3x + 5y = 8, seja impossível.
Solução:
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:
x = (10 + my) / 2
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:
3[(10+my) / 2] + 5y = 8
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:
3(10+my) + 10y = 16
30 + 3my + 10y = 16
(3m + 10)y = -14
y = -14 / (3m + 10)
Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x,
deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE
DIVISÃO POR ZERO.
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119
Portanto, 3m + 10 = 0, de onde conclui-se: m = -10/3, para que o sistema seja
impossível, ou seja, não possua solução.
Operações elementares sobre sistemas lineares
Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear
de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o
anterior. Na seqüência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas
operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o
resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra a
operação que foi realizada.
1. Troca de posição de duas equações do sistema
Troca a Linha 1 com a Linha 3
x + 2y - z = 2
4x + y - 5z = 9
~
2x-3y+2z=0
2x-3y+2z=0
4x + y - 5z = 9
x + 2y - z = 2
2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo
Multiplica a Linha 1 pelo número 3
x + 2y - z = 2
3x + 6y - 3z = 6
~
2x-3y+2z=0
2x-3y+2z=0
4x+y-5z=9
4x+y-5z=9
A equação resultante fica na linha 1
3. Adição de duas equações do sistema
Adição da Linha 2 com a Linha 3
x+2y-z=2
3x+6y-3z=6
~
2x -3y + 2z = 0
2x-3y+2z=0
4x + y - 5z = 9
6x - 2y - 3z = 9
A equação resultante fica na linha 3
6) Resolução de sistemas lineares por escalonamento
(Método de Gauss)
Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas
lineares. Vamos mostrar como funciona este processo através de um exemplo.
Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.
3x + y + z = 20
2x - y - z = -15
-4x + y -5z = -41
Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o
resultado na linha j. Usamos k Li->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante
k e o resultado ficou na linha i.
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Passo 1: L1-L2->L1
3x + 1y + 1z = 20
1x + 2y + 2z = 35
~
2x - 1y - 1z = -15
2x-1y-1z=-15
-4x+1y-5z=-41
-4x+1y-5z=-41
Passo 2: L2-2.L1->L2
1x + 2y + 2z = 35
1x+2y+2z=35
~
2x - 1y - 1z = -15
0x - 5y - 5z = -85
-4x+1y-5z=-41
-4x+1y-5z=-41
Passo 3: L3+4.L1->L3
1x + 2y + 2z = 35
1x+2y+2z=35
~
0x-5y-5z=-85
0x-5y-5z=-85
-4x + 1y - 5z = -41
0x + 9y + 3z = 99
Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3
1x+2y+2z=35
1x+2y+2z=35
~
0x - 5y - 5z = -85
0x + 1y + 1z = 17
0x + 9y + 3z = 99
0x + 3y + 1z = 33
Passo 5: L3-3.L2->L3
1x+2y+2z=35
1x+2y+2z=35
~
0x + 1y + 1z = 17
0x+1y+1z=17
0x + 3y + 1z = 33
0x + 0y - 2z = -18
Passo 6: (-1/2)L3->L3
1x+2y+2z=35
1x+2y+2z=35
~
0x+1y+1z=17
0x+1y+1z=17
0x + 0y - 2z = -18
0x + 0y + 1z = 9
Passo 7: L2-L3->L2
1x+2y+2z=35
1x+2y+2z=35
~
0x + 1y + 1z = 17
0x + 1y + 0z = 8
0x + 0y + 1z = 9
0x+0y+1z=9
Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1
1x + 2y + 2z = 35
1x + 0y + 0z = 1
~
0x + 1y + 0z = 8
0x+1y+0z=8
0x + 0y + 1z = 9
0x+0y+1z=9
Passo 9: Simplificar coeficientes
1x + 0y + 0z = 1
x=1
~
0x + 1y + 0z = 8
y=8
0x + 0y + 1z = 9
z=9
120
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121
Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último
sistema.
Poderíamos também fazer todas essas operações de transformação de um
sistema em outro, equivalente, escalonado, usando apenas a matriz
completa do sistema, não sendo necessário escrever as variáveis do
sistema, o que facilitaria bastante a nossa escrita. Vejamos um exemplo:
Resolva, por escalonamento (método de Gauss) o sistema:
/x + 2 y + z = 7
1
.2 x + 7 y + z = 21
1 3x 5 y + 2 z = 8
Vamos representar a matriz completa desse sistema:
%1 2 1 7 "
# 2 7 1 21
#
#$- 3 - 5 2 - 8!
Vamos multiplicar a 1ª linha por -2 e
somar com a 2ª, e também
multiplicar a 1ª linha por 3 e somar
com a 3ª teremos:
%1 2 1 7 "
# 0 3 -1 7
#
$# 0 1 5 13!
Vamos agora trocar de posição as duas últimas linhas, com o propósito de
que o coeficiente da variável y seja igual a 1 na 2ª equação.
%1 2 1 7 "
# 0 1 5 13
#
#$ 0 3 - 1 7 !
1 7 "
5 13
#
#$ 0 0 - 16 - 32!
Vamos multiplicar a 2ª linha por -3 e somar % 1 2
#0 1
com a 3ª.
Observe que o sistema já está escalonado e que a 3ª linha corresponde a
-16z = -32, ou z = 2.
A 2ª linha corresponde a: y + 5z = 13, ou y + 10 = 13, ou y = 3.
A 1ª linha corresponde a: x + 2y + z = 7, ou x + 6 + 2 = 7, ou ainda
x = -1. Logo, a solução é: S = {(-1, 3, 2)}.
OBSERVAÇÃO: Podemos discutir um sistema linear (nXn) através de seu
equivalente escalonado, ou seja, pela análise de sua última linha:
•
Se todos os coeficientes obtidos forem iguais a zero, o sistema será
INDETERMINADO, pois corresponderá a uma equação do tipo 0x +
0y + 0z + .... = 0, que é verdade para quaisquer valores de x, y, z, ...
•
Se todos os coeficientes obtidos forem iguais a zero, com exceção do
último, o sistema será IMPOSSÍVEL, pois corresponderá a uma
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122
equação do tipo 0x + 0y + 0z + ... = k G 0, que não é satisfeita para
quaisquer valores das variáveis.
•
Nos demais casos o sistema será POSSÍVEL E DETERMINADO,
admitindo apenas uma solução.
Problema de aplicação:
UFBa 1995 – A tabela abaixo indica o consumo efetuado num restaurante, em três
mesas diferentes, especificando as porções consumidas de cada alimento e a conta
em reais.
Sendo r reais a conta da mesa III, calcule r
MESA I
MESA II
MESA III
NÚMERO DE PORÇÕES CONSUMIDAS
ARROZ FEIJÃO FRANGO REFRIGE
RANTE
3
2
3
4
2
1
1
2
6
5
9
10
VALOR DA
CONTA
R$
11,00
6,00
r
Solução:
Sejam x , y e z os preços unitários (em reais) , das porções de arroz, feijão , frango e
w o preço unitário do refrigerante. Poderemos escrever o seguinte sistema linear:
3x + 2y + 3z + 4w = 11
2x + 1y + 1z + 2w = 6
6x + 5y + 9z + 10w = r
Temos então, um sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas.
Vamos resolver este sistema pelo método de escalonamento :
De modo a eliminar x na segunda e terceira equações, vamos multiplicar a primeira
equação por ( - 2 ) e a segunda equação por ( + 3), resultando:
– 6x – 4y – 6z – 8w = – 22
6x + 3y + 3z + 6w = 18
6x + 5y + 9z + 10w = r
Vamos agora substituir as segunda e terceira equações, pela soma delas com a
primeira equação, resultando:
– 6x – 4y – 6z – 8w = – 22
– y–3z–2w=–4
y + 3z + 2 w = – 22 + r
Somando as segunda e terceira equações acima, mantendo a primeira equação,
fica:
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123
– 6x – 4y – 6z – 8w = – 22
0y + 0z + 0w = – 26 + r
Daí vem imediatamente que 0 = - 26 + r , de onde concluímos inevitavelmente:
r = 26.
Portanto, a despesa da Mesa III será igual a 26 reais ( R$ 26,00 ).
7) Regra de Cramer
Você, quando era aluno do curso fundamental estudou várias técnicas para a solução de um
sistema do primeiro grau: adição, substituição, comparação, método gráfico. Agora, você vai
aprender uma regra que servirá para resolver sistemas lineares possíveis e determinados,
através do uso de DETERMINANTES. Esta regra é conhecida por REGRA DE CRAMER.
Vamos, em primeiro lugar, apresentar a solução para um sistema (2x2), ou seja, de duas
equações e duas incógnitas. Em seguida, generalizaremos a solução para um número maior de
equações e de incógnitas.
Seja o sistema:
/a11 x + a12 y = b1
.
-a21 x + a22 y = b2
vamos resolvê-lo pelo método da adição, como
fazíamos na 6ª série.
/a11 x + a12 y = b1 (.a 22 ) a 11a22 x + a12 a22 y = b1a22
.
-a21 x + a22 y = b2 (. - a 12 ) - a 21a12 x a12 a22 y = b2 a12
(I)Somando as equações obtidas, teremos:
( a11 a 22
a 21 a12 ) x = b1 a22
b2 a12
obtivemos o valor de x, através da “eliminação” do y.
/a11 x + a12 y = b1 (.a 21 ) a 11 a21 x + a12 a21 y = b1a21
.
-a21 x + a22 y = b2 (. - a 11 ) - a 21a11 x a11a22 y = b2 a11
(II) Somando as equações obtidas, teremos:
( a12 a21
a11 a22 ) y = b1 a21
b2 a11
obtivemos agora o valor de y, através da “eliminação” do x.
Observe que, se formarmos matrizes quadradas associadas ao sistema, e calcularmos seus
determinantes, teremos:
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D=
a 11
a 12
a 21
a 22
Dy =
= a 11a 22 a 12 a 21
a 11
b1
a 22
b2
Dx =
b1
a 12
b2
a 22
124
= b1 a 22 b 2 a 12
= b 2 a 11 b1a 22
Observe e responda. A partir do sistema dado, como foram obtidas as matrizes D, Dx e Dy?
Se você comparar os valores encontrados para esses determinantes com os valores obtidos
para x e y quando aplicamos o método da adição, pode concluir que:
x=
D
DX
e y= y
D
D
o que só será válido para sistemas possíveis e determinados, ou seja,
com D Z 0.
Exemplo: Resolva o sistema abaixo, aplicando a regra de Cramer.
/2 x 5 y = 2
.
-3 x + 2 y = 16
Solução:
D=
2
3
Dy =
-5
= 4 + 14 = 19 ( 0)
2
2
3
Logo, x =
Dx =
2
16
-5
= 4 + 80 = 76
2
-2
= 32 + 6 = 38
16
76
38
=4 e y=
=2
19
19
Podemos agora, generalizar esse processo para um sistema de n equações e n incógintas.
Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:
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a11 x1 + a12 x2 +...+ a1j xj +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2j xj +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
an1 xn + an2 xn +...+ anj xj +...+ ann xn = bn
A este sistema podemos associar algumas matrizes:
Matriz dos coeficientes (ou incompleta): Formada pelos coeficientes das
incógnitas do sistema, aqui indicada pela letra A.
Matriz dos coeficientes
a11 a12 ... a1j ... a1n
a21 a22 ... a2j ... a2n
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... anj ... ann
Matriz Aumentada do sistema (ou completa): Formada todos os coeficientes
das incógnitas do sistema e também pelos termos independentes.
Matriz Aumentada
a11 a12 ... a1j ... a1n b1
a21 a22 ... a2j ... a2n b2
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... anj ... ann bn
Matriz da incógnita xj: É a matriz Aj obtida ao substituirmos a coluna j (1<j<n) da
matriz A, pelos termos independentes das equações do sistema.
Matriz da incógnita xj
a11 a12 ... b1 ... a1n
a21 a22 ... b2 ... a2n
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... bn ... ann
Quando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitas
x, y e z, é comum escrever Ax, Ay e Az.
Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j=1,...,n), dividindo det(Aj) por
det(A), isto é:
xj = det(Aj) / det(A)
Se det(A)Z0
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Exemplo 1: Seja o sistema
2x + 3y + 4z = 27
1x – 2y + 3z = 15
3x + 1y + 6z = 40
A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo.
2
3
4
27
1
-2
3
15
3
1
6
40
Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das
matrizes Ax, Ay e Az, e tais matrizes são obtidas pela substituição 1ª., 2ª. e 3ª. colunas da
matriz A pelos termos independentes das três equações, temos:
6x=
27
3
4
15
-2
3
40
1
6
6y=
2
27
4
1
15
3
3
40
6
6z=
2
3
27
1
-2
15
3
1
40
Como det(Ax)=65, det(Ay)=1 e det(Az)=14, a solução do sistema é dada por:
x = det(6x)/det(A) = 65/7
y = det(6y)/det(A) = 1/7
z = det(6z)/det(A) = 14/7
Exemplo 2:
Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6
Teremos:
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Portanto, pela regra de Cramer, teremos:
x1 = 6 x1 / 6 = 120 / 24 = 5
x2 = 6 x2 / 6 = 48 / 24 = 2
x3 = 6 x3 / 6 = 96 / 24 = 4
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.
Sistemas lineares homogêneos
Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são
nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução
identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema
poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir
outras soluções além da trivial.
Exemplo: O sistema
2x - y + 3z = 0
4x + 2y - z = 0
x - y + 2z = 0
Para esse tipo de sistema basta calcular o determinante associado à sua matriz incompleta.
Caso ele seja diferente de zero, o sistema será possível e determinado, ou seja, admite apenas
a solução trivial. Caso ele seja igual a zero, o sistema será indeterminado.
No exemplo proposto, teremos:
2 -1 3
4 2 - 1 = 8 - 12 + 1 - 6 - 2 + 8 = -3
1 -1 2
Logo, como o determinante é diferente de zero, o sistema é possível e determinado, admitindo
apenas a solução trivial
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Resolva o sistema:
2) Discuta o sistema:
3) (UFR-PE) Para que valor de k
o sistema não possui solução ?
4) (FEI-SP) Para quais condições de "a" e "b"
se tem o sistema indeterminado?
5)Resolva os sistemas abaixo e classifique quanto ao número de soluções aplicando o
escalonamento.
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6)Resolva e classifique os sistemas quanto ao número de soluções, por escalonamento.
7) Em um determinado semestre, o professor de matemática aplicou três provas em sua
avaliação da aprendizagem. As questões valiam um ponto cada uma, mas os pesos das provas
eram diferentes. Fernando que acertou 3 questões na primeira prova, 6 na segunda e 6 na
terceira obteve no final 54 pontos. Jorge obteve 6, 5 e 4 acertos totalizando 47 pontos. Ana
acertou 2, 7 e 5 questões atingindo 50 pontos. Qual é o valor dos pesos de cada prova?
8) Resolva o sistema:
/x 2 z = 4
1
. y + z = 0 pelos métodos de Escalonamento de Regra de Cramer.
1x + 4 y = 6
-
9) Obtenha o valor de m, para que o sistema
/2 x y = 10
1
.3 x + 2 y = 8
1 x + my = 6
-
tenha uma única solução.
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10) Qual o valor da incógnita w no sistema:
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/x + y + z = 1
1x + y + w = 2
1
.
1x + z + w = 3
1- y + z + w = 4
Consulta aos sites:
“Matemática Essencial” – http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html
“Matemática do Científico ao Vestibular” - http://www.terra.com.br/matematica/
Livro de Referência: DANTE, Luiz Roberto. Matemática, Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 1999.
BIBLIOGRAFIA
1. BARBOSA, Ruy Madsern – Combinatória e Probabilidades – SP, Ed. Nobel, 1968
2. BATSCHELET, E. – Introdução à Matemática para Biocientistas, SP, Interciência, 1978
3. BRASIL – Revista do Professor de Matemática, SBM, nº 43
4. DANTE, L. Roberto – Matemática, Contexto e Aplicações, RJ, Ed. Ática, 1999
5. IEZZI, G ET ALLI – Fundamentos de Matemática Elementar. SP – Ed. Atual, 1997
6. IMENES, L. M, Telecurso 2000 – Fundação Roberto Marinho – Ensino Médio
7. INTERNET – www.cef.gov.br/loteria/probabilidades www.terravista.pt/enseada/1524/mat5.html - www.athena.mat.ufrgs.br
8. LIMA, ELON ET ALLI – A Matemática no Ensino Médio, RJ, SBM, 1998.
9. MORGADO, A. César e outros – Análise Combinatória e Probabilidades – impa / SBM,
1991
10. REVISTA: EDUCAÇÃO E MATEMÁTICA – APM – Associação dos Professores de
Matemática de Portugal.
11. SIMON, G. & Freund J. – Estatística Aplicada: Economia, Administração e
Contabilidade. Bookman, Porto Alegre - 2000
12. TROTTA, F. Análise Combinatória, Probabilidades e Estatística. São Paulo: Ed.
Scipione, 1988