leqcia 1

28/05/2017
diferencialuri modelebi sicocxlis Semswavlel mecnierebebSi
leqcia 3
1.6. funqcionaluri mimdevrobebi da mwkrivebi
gansazRvra 1.6.1. Tu mimdevrobis an mwkrivis wevrebi funqciebs warmoadgenen, maT
funqcionaluri mimdevrobebi da mwkrivebi ewodebaT.
Tu f n (x) , n  1,2,  , funqciebi gansazRvrulia ]a, b[ intervalze, sadac dasaSvebia a  
da b   , an sasrul [ a, b] segmentze, an naxevrad daxurul ]a, b] an [ a, b[ intervalebze,
maSin
(1.6.1)
f1 ( x) , f 2 ( x) ,  , f n (x) , 
funqcionaluri mimdevrobaa, xolo

f1 ( x)  f 2 ( x)    f n ( x)   :  f n ( x)
(1.6.2)
n 1
funqcionaluri mwkrivia.
gansazRvra 1.6.2. vityviT, rom (1.6.1) mimdevrobis zRvari f (x) -ia da amas Semdegnairad CavwerT
lim f n ( x)  f ( x) , x ]a, b[ ,
n  
Tu nebismieri dadebiTi  -sTvis (  0) moiZebneba () iseTi nomeri N ( , x) ,
damokidebuli  -ze da, sazogadod, x-ze, rom
(1.6.3)
f n ( x)  f ( x)   , roca n  N .
gansazRvra 1.6.3. vityviT, rom (1.6.1) mimdevroba Tanabrad (x-is mimarT ]a, b[ intervalze) miiswrafis f (x) -isken, Tu (1.6.3)-Si N x-ze ar aris damokidebuli.
iseve, rogorc ricxviTi mwkrivebis ganxilvisas, (1.6.2) funqcionaluri mwkrivis jami
ganimarteba, rogorc misi
n
S n ( x) :  f k ( x) , n  1,2,  ,
k 1
kerZo jamebis mimdevrobis S (x ) zRvari. Tu aseTi zRvari raime x-sTvis ar arsebobs,
mwkrivs am x wertilSi ganSladi mwkrivi ewodeba. Tu S n (x) kerZo jamebis mimdevroba
]a, b[ intervalze Tanabrad miiswrafis zRvrisken, maSin (1.6.2) mwkrivs Tanabrad krebadi
mwkrivi ewodeba.
gansazRvra 1.6.4. (1.6.2) funqcionaluri mwkrivs ewodeba absoluturad krebadi mwkrivi,
Tu (1.6.2) mwkrivTan erTad krebadia


f k ( x)
k 1
mwkrivic. winaaRmdeg SemTxvevaSi (1.6.2) mwkrivs pirobiTad krebadi mwkrivi ewodeba.
absoluturad krebad mwkrivSi wevrTa gadanacvlebiT mwkrivis jami ar icvleba.
mwkrivis krebadobisTvis aucilebelia, misi zogadi wevri nulisken miiswrafodes.
Sedarebis principi 1.6.5. Tu dadebiT ricxvTa

b
k 1
k
mwkrivi krebadia da
f k ( x)  bk , x ]a, b[ ,
maSin

f
k 1
k
( x)
mwkrivi Tanabrad da absoluturad krebadia ]a, b[ intervalze.
leqcia 3
diferencialuri modelebi sicocxlis Semswavlel mecnierebebSi
yovelive zemoTqmuli vrceldeba segmentze da naxevrad Ria intervalebze.
Teorema 1.6.6. Tanabrad krebad uwyvet funqciaTa mimdevrobis zRvari uwyveti
funqciaa.
magaliTi 1.6.7. ganvixiloT [0,1] segmentze uwyveti
x n , n  1,2,  ,
(1.6.4)
funqciebis
0, roca 0  x  1,
(1.6.5)
lim x n  
n
1, roca x  1
zRvari. zRvarSi miRebuli (1.6.5) funqcia uwyvetia [0,1[ naxevrad Ria intervalze (iq nulis
tolia), xolo x  1 wertilSi wyvetas ganicdis, radgan iq 1-is tolia. es imiTaa gamowveuli, rom
(1.6.4) mimdevroba Tanabrad krebadi araa [0,1] -ze.
Teorema 1.6.8. Tanabrad krebadi funqcionaluri mwkrivis wevr-wevra integreba SeiZleba
da mwkrivis wevrebis integralebis jami mwkrivis jamis integralis tolia:

 f
k 1
k
( x)dx   S ( x)dx .
Teorema 1.6.9. Tu funqcionaluri mwkrivi krebadia, xolo wevr-wevra gawarmoebiT
miRebuli mwkrivi Tanabrad krebadia, mwkrivis wevrebis warmoebulebis jami mwkrivis
jamis warmoebulis tolia:

f
k 1
'
k
( x)  S ' ( x) .
dasasruls moviyvanoT funqcionaluri mwkrivebis krebadobis ramdenime kriteriumi (niSani).
mwkrivis krebadobis d’alamberis*) kriteriumi zRvruli formiT 1.6.10. Tu arsebobs
f ( x)
lim n1
 q ( x) ,
n f ( x)
n
maSin (1.6.2) mwkrivi x wertilSi krebadia, roca q ( x )  1 ; ganSladia, roca q ( x )  1 ; saWiroebs damatebiT gamokvlevas, roca q ( x )  1 .
mwkrivis krebadobis koSis**) kriteriumi zRvruli formiT 1.6.11. Tu arsebobs
lim n f n ( x)  q( x) ,
n  
maSin (1.6.2) mwkrivi x wertilSi krebadia, roca q ( x )  1 ; ganSladia, roca q ( x )  1 ; saWiroebs damatebiT gamokvlevas, roca q ( x )  1 .
(1.6.2) mwkrivis zogadi wevri CavweroT Semdegi saxiT:
g (n, x)  f n ( x) .
mwkrivis krebadobis koSis integraluri kriteriumi 1.6.12. (1.6.2) mwkrivi x wertilSi
krebadia an ganSladi iqidan gamomdinare,


 g (t , x)dt : lim  g (t , x)dt
1
 
(1.6.6)
1
arasakuTrivi integrali*) x wertilSi sasrulia (krebadia) Tu ara (ganSladia).
magaliTi 1.6.13. gamovikvlioT
J. l. d’alamberi (1717 _ 1783) _ frangi maTematikosi da filosofosi
o. l. koSi (1789 _ 1857) _ frangi maTematikosi
*)
Tu integrebis erT-erTi sazRvari mainc usasruloa an integralqveSa gamosaxuleba
SemousazRvravia, integrals arasakuTrivi ewodeba.
*)
**)
2
leqcia 3
diferencialuri modelebi sicocxlis Semswavlel mecnierebebSi

1
 n
n 1
 1
1
1
1
    

2
3
n
(1.6.7)
ricxviTi mwkrivis krebadobis sakiTxi.
gamoviyenoT koSis integraluri kriteriumi. amisTvis unda ganvixiloT

dt
1 t 
arasakuTrivi integralis krebadobis sakiTxi. vTqvaT,   1, maSin


dt
dt
t 1

lim

lim
1 t    1 t   1  

1
(1.6.8)
  1
1 
 1
1
 lim 


lim


   1  
1      1   1  

1

, roca   1;

  1
 , roca   1.
(1.6.9)
vTqvaT, axla   1, maSin


dt
dt


lim
ln t 1  lim ln   ln 1  lim ln   
(1.6.10)
1 t    1 t  lim
 
  
  
(1.6.9)-dan da (1.6.10)-dan gamomdinareobs, rom (1.6.8) arasakuTrivi integrali sasrulia
(krebadia), roca   1, da araa sasruli (   -aa, ganSladia), roca   1 . amis Sesabamisad
(1.6.7) mwkrivi krebadia, roca   1 da ganSladia, roca   1 .
1.7. xarisxovani mwkrivebi. teiloris**) da maklorenis***) formulebi

a 0  a1 x  x0   a 2 x  x0     a n x  x0      a n x  x0 
2
n
n
(1.7.1)
n 0
saxis mwkrivs xarisxovani mwkrivi ewodeba.
roca x  x0 , (1.7.1) mwkrivSi mxolod pirveli wevri a 0 darCeba da amdenad mwkrivi am
wertilSi krebadia.
krebadobis radiusi 1.7.1. yoveli xarisxovani mwkrivisTvis arsebobs iseTi 0  R  
ricxvi, romelsac mwkrivis krebadobis radiusi ewodeba, rom
(i) roca x  x0  R , mwkrivi absoluturad krebadia;
(ii) roca x  x0  R , mwkrivi ganSladia;
(iii) roca x  x0  R , mwkrivi SeiZleba iyos an absoluturad krebadi, an pirobiTad krebadi,
an ganSladi.
yovel x0  R0 , x0  R0   x0  R, x0  R segmentze mwkrivi Tanabrad krebadia.
Tu R  0 , mwkrivi mxolod x 0 wertilSia krebadi, xolo roca R   , mwkrivi mTel
RerZzea krebadi.
Tu arsebobs
a
lim n 1  L ,
n  a
n
maSin (1.7.1) xarisxovani mwkrivis krebadobis radiusi
1
R .
L
marTlac,
**)
b. teilori (1685 _ 1731) _ ingliseli maTematikosi
k. makloreni (1698 _ 1646) _ Sotlandieli maTematikosi
***)
3
leqcia 3
lim
diferencialuri modelebi sicocxlis Semswavlel mecnierebebSi
a n 1  x  x0 
n 1
a n 1
x  x0  L  x  x0 ,
n   a
n
 lim
a n x  x0 
saidanac, d’alamberis kriteriumis Tanaxmad, mwkrivi krebadia, Tu
1
L  x  x0  1 , e. i., x  x0   R ,
L
da ganSladia, Tu
1
L  x  x0  1, e. i., x  x0   R .
L
magaliTi 1.7.2. ganvixiloT (1.7.1) mwkrivi, roca
n
n  
x0  0
n!: 1 2  n, 0! 1:
da
a n  n!

 n! x
n
.
(1.7.2)
k 0
radgan
lim n! x n   , roca x  0
n
(1.7.2) mwkrivi krebadia mxolod x  0 wertilSi, e. i., R  0 .
(teiloris) Teorema 1.7.3. vTqvaT, f (x) funqcias x 0 wertilis raime midamoSi aqvs n  1
rigamde CaTvliT uwyveti warmoebulebi da x nebismieri wertilia am midamoSi, maSin
arsebobs iseTi  x0    x an x    x0  , rom
 
 
f ' x0 
x  x0   f " x0 x  x0 2  f '" x0 x  x0 3  
f ( x)  f  x0  
1!
2!
3!
(1.7.3)
(n)
f x0 
n
x  x0   Rn1 ( x),

n!
sadac
f ( n1) ( )
x  x0 n1 .
Rn1 ( x) 
(n  1)!
Sedegi 1.7.4. Tu f (x) funqcias aqvs yvela rigis uwyveti warmoebuli ]x0  R, x0  R[ ,
R  0 , intervalze da yvela n-isTvis n  0,1,2,
f
( n 1)
( x)  M , roca x ]x0  R, x0  R[ ,
maSin
n 1
M x  x0
n  R 1 da x ]x0  R, x0  R[ .
Rn 1 ( x) 
(n  1)!
am SemTxvevaSi, radgan faqtoriali ufro swrafad miiswrafis usasrulobisken, vidre
maCvenebliani funqcia, amitom
lim Rn 1 ( x)  0 x ]x0  R, x0  R[
n  
da f (x) funqcia ]x0  R, x0  R[ intervalze iSleba teiloris

f ( x)  
n 0
f ( n )  x0 
x  x0 n
n!
mwkrivad.
gansazRvra 1.7.5. (1.7.3) formulas ewodeba teiloris formula lagranJis Rn1 ( x) naSTiTi
wevriT, xolo mis kerZo SemTvevas, roca x0  0 , _ maklorenis formula.
maklorenis formulas e x , sin x da cos x funqciebisTvis, romlebsac mTel RerZze
nebismieri rigis uwyveti warmoebulebi gaaCniaT, aqvs Semdegi saxe:
4
leqcia 3
diferencialuri modelebi sicocxlis Semswavlel mecnierebebSi
x x2
x n e x n1
, x ]  ,  [ ,
(1.7.4)



1! 2!
n! (n  1)!
2n
x2 x4
x2n  2
n x
n 1
cos x  1      (1)
 (1)
cos  , x ]  ,  [ , (1.7.5)
2! 4!
(2n)!
(2n  2)!
ex  1
x3 x5
x 2 n 1
x2n 3
    (1)n
 (1)n 1
sin  , x ]  ,  [ . (1.7.6)
3! 5!
(2n  1)!
(2n  3)!
samive SemTxvevaSi naSTiTi wevri nulisken miiswrafis, roca n   . amitom, Tu (1.7.4) _
(1.7.6) tolobebSi zRvarze gadavalT, roca n   , miviRebT e x , sin x da cos x funqciebis
gaSlas xarisxovan (teiloris) mwkrivebad:

xk
(1.7.7)
e x   , x ]  ,  [ ,
k  0 k!

x2k
, x ]  ,  [ ,
(1.7.8)
cos x   (1)k
(2k )!
k 0
sin x  x 
x 2k 1
, x ]  ,  [ .
(1.7.9)
sin x   (1)
(2k  1)!
k 0
(1.7.7)_(1.7.9) formulebi samarTliania kompleqsur sibrtyeSic (ix. qvemoT Tavi 2).
gansazRvra 1.7.6. Tu funqcia raime intervalze (kompleqsuri sibrtyis raime areze)
xarisxovan mwkrivad iSleba, mas ewodeba analizuri funqcia am intervalze (areSi).
funqcia analizuria raime x0 wertilSi, Tu is analizuria am wertilis raime x0   , x0    ,
  0 , midamoSi.
xarisxovani funqcia analizuria misi krebadobis nebismier wertilSi.
SeniSvna 1.7.7. arsebobs iseTi f (x) funqciis magaliTi, romelsac aqvs yvela rigis
warmoebuli x 0 -is midamoSi, magram analizuri ar aris. aseT SemTxvevaSi an misi teiloris
mwkrivis krebadobis radiusi R  0 (ix. (1.7.2)), an misi teiloris mwkrivi f (x) -isken krebadi
ar aris. magaliTad,
  12
 x
f ( x)  e , roca x  0,

0, roca x  0,
funqcias aqvs yvela rigis warmoebuli mTel RerZze, magram x  0 wertilSi analizuri araa,
radgan
f (i ) (0) : lim f (i ) ( x)  0 , i  0,1,2,  ,

k
x 0
da amdenad x  0 wertilis midamoSi misi teiloris mwkrivis yvela koeficienti da, aqedan
gamomdinare, mwkrivis jami nulis tolia; Tumca f ( x)  0 , roca x  0 .
SeniSvna 1.7.8. Tu namdvili cvladis funqcias aqvs pirveli rigis warmoebuli, es sulac ar
niSnavs, rom mas meore rigis warmoebulic aqvs. maSin, rodesac kompleqsuri cvladis
funqcias pirveli rigis warmoebulTan erTad nebismieri rigis warmoebuli gaaCnia.
Tu (1.7.7)-Si x-is nacvlad ix -s, sadac i warmosaxviTi erTeulia (ix. qvemoT Tavi 2),
CavsvamT da xarisxovani mwkrivis absoluturad krebadobas gaviTvaliswinebT, gveqneba,
rom
ix (ix ) 2 (ix )3 (ix ) 4
ix x 2 ix 3 x 4
ei x  1  


 1  
 
1!
2!
3!
4!
1! 2! 3! 4!
 x x3

x2 x4
(1.7.10)
 1

   i 
   cos x  i sin x .
2! 4!
 1! 3!

ukanaskneli tolobis dasawerad mxedvelobaSi miviReT (1.7.8) da (1.7.9) formulebi.
5
leqcia 3
diferencialuri modelebi sicocxlis Semswavlel mecnierebebSi
(1.7.10) formulas eileris*) formula ewodeba.
*)
l. eileri (1707 _ 1783) _ maTematikosi, meqanikosi da fizikosi
6