Campo na matéria II

Campo na matéria II
Aula 4
11 de setembro de 2012
1 Resumem da aula ante-
campo magnetizante
rior
~
~ ≡ B −M
~
H
µ0
com origem exclusiva no movimento das cargas
(corrente real)
A fim de explicar o magnetismo observado na
matéria Ampère propões a existência de corrente internas, hoje conhecidas como correntes de ampere. Nossos cálculos mostraram
que essas correntes de Ampère resultam numa
corrente superficial que da origem a o momento magnético responsável pelo magnetismo
na matéria
∆µm = im ∆A
˛
~ · d~s = ic
H
(2)
C
~ tem uma origem
Assim vemos que o campo H
~ O
física totalmente diferente de o campo B.
~ é produto das correntes resultantes
campo H
do movimento das cargas (“correntes verdadeiras”) em um meio condutor, enquanto o campo
A partir dessa definição foi interessante intro~
B
(
)
duzir a magnetização como sendo o momento
~ = µ0 H
~ +M
~
B
magnético por unidade de volume
resulta da contribuição das correntes verdadeiras e as correntes atômicas. Uma forma de endµm
M=
dV
tender está diferença é dizendo que o campo
~
que mostramos estar relacionado à corrente su- H é um campo de origem externa aplicada ao
~ é o campo medido
material, enquanto que B
perficial via
~ é o campo próprio
no material, entanto que M
do material.
im = 2πrM
(1)
Também mostramos que podemos escrever
Uma análise mais detalhada da lei de Ampère
~
~
evidencia que a corrente total pode ter duas uma relação simples entre M e H
componentes
~ = χm H
~
M
(3)
it = i + im
as corrente resultante do movimento de cargas onde constante χm é uma grandeza que carateo corrente real e a corrente de ampere, com isso riza o material e recebe o nome de suscetibilise faz necessário introduzir um novo campo, a dade magnética do material. A partir dessa
1
relação se chegou ao seguinte resultado
~ = µH
~
B
onde
µ = (1 + χm ) µ0
se conhece como permeabilidade magnética (absoluta) do material. As vezes resulta
útil também falar da permeabilidade relativa
do material
Figura 1: Orbita de Bohr.
e o momento de dipolo magnético associado a
µ
orbita e
Km = 1 + χm
µ0
˛
1
~
~µ = iA = i ·
~r × d~r
Finalmente, em base o valor da susceptibi2 C
lidade magnética, classificamos os materiais
como ~r = ~v dt
magnéticos como:
˛
q
µ
~=
~r × ~v dt
1. materiais ferromagnéticos: os dipoτ C
los magnéticos atômicos tendem a se alinhar uns com outros quando sujeitos a um se m é a massa da partícula, sabemos que o
momento linear está dado por p~ = m~v , dessa
campo externo.
forma
1
1
2. materiais paramagnéticas: os dipolos
~r × ~v = ~r × p~ = ~l
m
m
se alinham ao campo externo aplicado po~
rém não se influenciam mutuamente de onde L é o momento angular. Como o momento angular ser conserva num movimento
forma significativa.
sob a ação de uma força central
3. materiais diamagnéticos: os momentos
˛
q ~1
são independente entre si, a tendencia dos
τ
~µ =
l
2m τ C
momentos magnéticos é de se alinhar na
¸
direção oposta
mas
dt = τ , o período da orbita,
C
~µ = γ~l
2 Razão giromagnética
onde
Consideremos um átomo clássico, uma partícula com carga q e massa M descrevendo uma
orbita fechada em torno de um ponto O (núcleo), sob a ação de uma força central (força
coulombiana). Seja τ o período da orbita, a
corrente associada ao movimento da partícula
i=
q
2m
Assim vemos que o dipolo magnético associado a uma corrente de ampère produzida pela
circulação de uma carga q na orbita é proporcional ~l, o momento angular da orbita. A constante de proporcionalidade se chama razão giromagnética clássica. Para o caso de um eléγ=
q
τ
2
tron q = −e e m = me
γe = −
ser calculado com a teoria quântica.
e
2me
3 Resultados quânticos
O sinal (-) indica que o momento magnético é
O momento magnético associado ao spin está
antiparalelo ao momento angular.
dado por
É interessante fazer referencia a um experi~
~µs = −2γe S
mento realizado por A. Einstein e W. J. Haas
~ é o momento angular de spin. Diferenem 1915 os quais suspenderam um cilindro fino onde S
ferro através de uma fibra de vidro, dentro temente de dos momentos angulares clássicos,
de um solenoide, imantá-lo (pela passagem de o spin é diferente em alguns aspectos:
corrente) e observaram a torção da fibra de
1. Só pode ser medida uma de suas compovidro provocada pela rotação do cilindro. O
nentes
efeito é bastante pequeno. Eles encontraram
um resultado consistente com o que esperavam,
2. A componente medida é quantizada.
γ = γe , mas não tinham feito a experiencia com
cuidado.l Experiencias feitas alguns anos mais Resultados experimentais (e cálculos analítitarde dessa época mostraram que para mate- cos) mostram que a componente z do spin asriais ferromagnéticos (F e, N i, . . .) que nesses sume os seguintes valores
materiais
e
h
1
γ = 2γe = −
Sz = ms ,
para ms = ±
me
2π
2
ou seja, o dobro da clássica.
onde ms é chamado número quântico magnéA explicação para esse resultado veio com a
tico de spin e h (h = 6, 63 × 10−34 J · s) é a
descoberta do spin do elétron. Além do moconstante de Planck.
mento angular orbital em relação ao núcleo
Com isso, o momento magnético ao longo de
atômico, o elétron tem um momento angular
zé
eh
intrínseco, o spin, e como dizemos, comparáµs,z = ±
4πme
vel ao de um giroscópio em rotação em torno
de seu eixo. A magnetização em materiais fer- O valor absoluto da grandeza do lado direito
romagnéticos pe devida quase que exclusiva- se chama de magneton de Bohr:
mente ao spin.
eh
µB =
= 9, 27 × 10−24 J/T
O momento angular total J~ dos elétrons de
4πme
um átomo é a resultante de seus momentos angulares orbitais e de spin, e a razão giromag- dessa forma o momento magnético de spin ao
nética correspondente para o átomo como um longo do eixo z é igual a um µB .
Como podemos associar um momento magnético ao elétron, então teremos associada uma
energia magnética à partícula devido a presença de um campo externo
todo é da forma
~µ = gγe J~
onde g é um número positivo da ordem da unidade, conhecido como fator g de Landé e pode
~ ext
Ue = −~µe · B
3
O momento magnético associado á orbita do
spin esta dado por
~ orb
~µorb = −γ L
Resultados quânticos mostram que
Lorb,z = ml
h
2π
para ml = 0, ±1, ±2 . . . (limite)
onde ml e o numero quântico magnético orbital Figura 2: Força magnética exercida sobre elétrons atômicos que circulam em (a) sentido hoe limite e o valor máximo permitido.
rário (b) anti-horário.
Igualmente podemos associar uma energia
potencial a este momento
~ ext
U = −~µorb · B
intenso. Esse efeito é conhecido como diamagnetismo de Lamor.
4 Teoria de Lamor do dia-
Sabemos que para qualquer elétron dentro
de um átomo, a força elétrica é a responsável
pela força centrípeta, assim
magnetismo
Como já foi mencionado, é possível que um
material tenha momento magnético resultante
igual a zero. Independente de efeitos térmicos,
podemos ter materiais onde o momento linear
dos elétrons seja oposto, consequentemente o
momento magnético terá sentido oposto, resultando num momento global nulo. Ou termos
acoplamento locais de espin resultando num
momento magnético nulo. Em qualquer um
dos casos mencionado a aplicação de um campo
magnético externo pode proporcionar energia
ao sistema e alinhar os dipolos numa mesma
direção.
Ze2
4πε0 ro2
Ze2
=
4πε0 mro3
mr0 ω02 =
ω02
(4)
Vamos considerar os elétrons descritos na figura 2, os quais giram em sentidos opostos,
mas com a mesma velocidade angular dada
pela expressão anterior. Os momentos magnéticos estão dados por
µ1 = iA
(−e) ω0 ( 2 )
πr0
=
2π
Quando se aplica um campo magnético externo este interatua com a orbita dos elétrons,
devido ao fluxo magnético variável, de forma a
se obter um momento magnético induzido. Segundo a lei de Lenz a direção desse momento
magnético deve ser oposta à do campo magnético externo, pelo que se obtém uma susceptibilidade diamagnética débil. Esse efeito
pode ser ocultado pelo paramagnetismo mais
(−e) (−ω0 ) ( 2 )
πr0
2π
Até aqui temos considerado que o campo externo B é zero. Ao aplicarmos um campo externo aparece uma força magnética dada por
(
)
~ o que produz um aumento na força
q ~v × B
centrípeta do elétron a e uma diminuição no
µ2 =
4
isto é ωL ω, assim podemos despreciar ωL2
frente a ω 2 em 8, assim
elétron b. Assim, para o elétron a temos
Ze2
F1 = −
− evB = −mr0 ω
4πε0 ro2
ω = ω0 + ωL = ω1
como v = r0 ω
para o elétron a, para o elétron b
F1 =
−mr0 ω02
− er0 ωB = −mr0 ω
2
ω = ω0 − ωL = ω2
para o elétron b
Assim, o momento magnético devido ao
átomo a na presença do campo externo B é
F2 = −mr0 ω02 + er0 ωB = −mr0 ω 2
dividindo por mr02 ambas equações
µ1 =
ω 2 − 2ωωL − ω02 = 0
(5)
er2
(−e) ω1 ( 2 )
πr0 = − 0 (ω0 + ωL )
2π
2
e para o elétron b
e
ω 2 + 2ωωL − ω02 = 0
(6)
µ1 =
onde
eB
2m
é a frequência de Lamor.
Isto implica que o momento magnético total
por átomo é
(7)
ωL =
µ = µ1 + µ2
Somando ωL2 a ambos lados da equações 5
= −er02 ωL
e2 r 2 B
= − 0
2m
ω 2 − 2ωωL + ωL2 = ω02 + ωL2
ou seja
(ω − ωL ) =
2
ω02
+
ωL2
(−e) ω2 ( 2 ) er02
πr0 =
(ω0 − ωL )
2π
2
Se n é o número de átomos por unidade de vo(8) lume, então o momento magnético por unidade
de volume, que é a magnetização está dada por
De 4 e 7
M = −n
√
ωL
πε0 r03
=B
ω
me Z
e2 r02 B
2m
e como M = χH = χ (B/µ0 ), então
M
µ0
Usando B = 100T , 1 mol ocupando ≈ 1cm3 ⇒
χ=
= nµm
H
B
6×1022 atomos, assim cada átomo ocupa 1, 7×
10−29 m3 ∼ 2r0 , então é razoável supor r0 ∼
e2 r02
χ
=
−n
ωL
−10
1, 3 × 10 m. ω será máxima quando Z seja
2m
−12
mínima⇒ Z = 1, com ε0 = 8, 85 × 10 F /m Para um átomo típico n ≈ 6 × 1028 e r0 ∼
e me = 9, 11 × 10−31 kg obtemos que
1, 3 × 10−10 m, onde
ωL
≈ 8, 2 × 10−4
ω
χm = −1, 8 × 10−5
5
que concorda na ordem de magnitude dos valores mostrado na tabela da aula anterior. Observe que esse susceptividade é independente
da temperatura, o que está em acordo com os
experimentos.
6