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A sequência de Titius-Bode
Série Problemas e Soluções
Objetivos
1. Mostrar uma aplicação de uma Progressão
Geométrica que permite prever
aproximadamente as distâncias entre os
planetas e o Sol.
Sequência de
Titus-Bode
Série
Problemas e Soluções
Conteúdos
Progressão geométrica,
sequência, sistema solar.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Mostrar uma aplicação de uma
Progressão Geométrica que
permite prever
aproximadamente as
distâncias entre os planetas e
o Sol.
Sinopse
Dois adolescentes observam as
estrelas com seu tio astrônomo.
Surge a curiosidade de
determinar as distâncias entre os
astros. O tio explica que se pode
usar a lei de Bode, que utiliza
conceitos de progressão
geométrica para calcular
aproximadamente a distância
entre os planetas e o Sol.
Material relacionado
Áudios:;
Experimentos:
Introdução
Sobre a série
A série Problemas e Soluções trata de problemas típicos de matemática
do ensino médio contextualizados por uma ficção. Em cada programa
um ou dois problemas são interpretados no primeiro bloco de cinco
minutos, ao final do qual o leitor é convidado a tentar resolver. No
contexto da sala de aula, o professor então tem a oportunidade de
discutir os métodos ou as formas possíveis de resolver o problema. O
segundo bloco programa apresenta as soluções e alguns comentários
ou informações adicionais..
Durante o programa os alunos devem exercitar a sua abstração, pois
estarão apenas ouvindo os problemas e as suas soluções, mas é
sempre recomendável que os ouvintes façam anotações para melhor
aproveitar o conteúdo.
Sobre o programa
Esse programa ilustrou e resolveu o seguinte problema: Como
determinar, aproximadamente, as distâncias entre os planetas e o Sol?
O principal conteúdo desse programa é o de sequencias geradas por
uma lei recursiva, onde dado um termo e sua posição é possível obter
o seu sucessor.
No primeiro bloco são apresentados aos alunos os dados que
permitirão a previsão, de forma aproximada, das distâncias entre os
planetas e o Sol.
As informações que levam à sequência são fornecidas em três etapas:
1. Pede-se para o aluno considerar a sequencia; 0, 3, 6, 12, 24, 48,
96, 192, 384, 768, formada por números inteiros e que pode ser
Áudio
Sequência de Titius-Bode 3/7
expressa pela lei:
a1 = 0

an = a2 = 3

n−2
an = 3.2 , n ∈ IN e n > 2
2. Solicita-se ao aluno que some quatro a cada um dos termos,
obtendo a sequência; 4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, 196, 388, 772,
cuja lei que expressa a nova sequencia é dada por:
a1 = 4

an =  a2 = 7

n−2
an = (3.2 ) + 4, n ∈ IN e n > 2
3. Pede-se aos alunos que dividam os valores obtido por 10,
obtendo a sequencia; 0.4, 0.7, 1.0, 1.6, 2.8, 5.2, 10.0, 19.6,
38.8, 77.2.
Os termos da sequência obtida representam as distâncias
aproximadas dos planetas ao Sol, em UA (Unidades Astronômicas).
Uma UA é a distância média da Terra ao Sol e vale aproximadamente
150 milhões de quilômetros.
A lei que expressa a sequência final é dada por:
a1 = 0.4

.
a n =  a 2 = 0 .7

n− 2
a n = (0.3.2 ) + 0.4, n ∈ IN e n > 2
Essa sequência permite obter uma boa aproximação das distâncias
entre o sol e os astros, pelo menos até Urano, de nosso sistema solar,
como mostra os dados apresentado na tabela a seguir:
Planeta
Real
Sequencia obtida
Mercúrio
0,39
0,4
Vênus
0,72
0,7
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Sequência de Titius-Bode 4/7
Terra
1
1
Marte
1,52
1,6
Asteróides
2,65
2,8
Júpiter
5,2
5,2
Saturno
9,54
10
Urano
19,2
19,6
Netuno
30,1
38,8
Plutão
39,5
77,2
Note que a sequência não vale para a distância equivalente a posição
de Netuno, mas poderia ser considerada para Plutão. É interessante
observar que ambos os astros não eram conhecidos até o momento
que sequência foi definida. O sucesso parcial da sequência de TitiusBode revela mais a força do ajuste de uma relação à observação do
que algum princípio muito fundamental. Em outras palavras, uma
sequência do tipo
a n = a1 + (b.r n − 2 ), n ∈ IN e n > 2
onde os parâmetros a1, b e r possam ser ajustados com os dados
observados, tem pouco significado estatístico em termos de previsão
ou de princípios fundamentais. Mesmo assim, alguns pesquisadores
consideram que a lei de Titius-Bode traduz alguns fenômenos mais
fundamentais, como as simetrias das leis gravitacionais e ressonâncias
dinâmicas. Veja as referências abaixo.
Áudio
Sequência de Titius-Bode 5/7
Sugestões de atividades
Antes da execução
Recomendamos uma revisão de P.A. e P.G. e o conceito de sequência
recursiva.
Durante a execução
As informações faladas durante o programa podem ser escritas na
lousa, à medida que os locutores falarem.
Depois da execução
Para finalizar a atividade o professor pode discutir outros exemplos de
sequências famosas como a de Fibronacci discutindo a possível
aplicação desse tipo de sequencia em estudos como o do crescimento
populacional de espécimes em cativeiro.
Sugestões de leitura
Carl Murray, Stanley Dermott, Solar System Dynamics, Cambridge
University Press, sc 1.5 (1999).
Graner, F. & Dubrulle, B, Titius-Bode laws in the solar system. 1: Scale
invariance explains everything, Astronomy and Astrophysics, vol.
282, no. 1, p. 262-268 (1994).
S. Jaki, The early history of the Titius-Bode law, American Journal of
Physics, 40, pg 1014 (1972).
Ficha técnica
Conteudista Lourival Pereira Martins, Carlos Roberto Silva, Marcelo
de Melo
Revisão Samuel Rocha de Oliveira
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
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Sequência de Titius-Bode 6/7
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Jayme Vaz Jr.
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira
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Sequência de Titius-Bode 7/7