Capítulo 31 - Corrente Alternada

Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Livro texto: Fı́sica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e Zemansky - Edição: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
25 de julho de 2011
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Como os fasores facilitam a descrição senoidal das grandezas variantes.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Como os fasores facilitam a descrição senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reatância para descrever a voltagem através de um elemento de
circuito que transporta uma corrente alternada.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Como os fasores facilitam a descrição senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reatância para descrever a voltagem através de um elemento de
circuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em série com uma fem senoidal.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Como os fasores facilitam a descrição senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reatância para descrever a voltagem através de um elemento de
circuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em série com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de potência que entra ou sai de um circuito de
corrente alternada.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Como os fasores facilitam a descrição senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reatância para descrever a voltagem através de um elemento de
circuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em série com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de potência que entra ou sai de um circuito de
corrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em série responde a fems senoidais de freqüências
diferentes.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Como os fasores facilitam a descrição senoidal das grandezas variantes.
I Como usar a reatância para descrever a voltagem através de um elemento de
circuito que transporta uma corrente alternada.
I Como analisar um circuito R-L-C em série com uma fem senoidal.
I O que determina a quantidade de potência que entra ou sai de um circuito de
corrente alternada.
I Como um circuito R-L-C em série responde a fems senoidais de freqüências
diferentes.
I Por que os transformadores são úteis e como eles funcionam.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Introdução
Introdução.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Introdução
Números complexos e fasores.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
εe(t) − veR (t)
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
veR (t)
=
εe(t) − veR (t)
εe(t) = R e
I(t)
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
εe(t) − veR (t)
εe(t) = R e
I(t)
0
=
veR (t)
=
e
I(t)
=
εe(t)
ε0 iωt
=
e
R
R
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
εe(t) − veR (t)
εe(t) = R e
I(t)
0
=
veR (t)
=
e
I(t)
=
e
I(t)
=
εe(t)
ε0 iωt
=
e
R
R
Ie iωt
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
εe(t) − veR (t)
εe(t) = R e
I(t)
0
=
veR (t)
=
e
I(t)
=
e
I(t)
=
I
=
εe(t)
ε0 iωt
=
e
R
R
iωt
Ie
ε0
= I0 e iφ
R
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
εe(t) − veR (t)
εe(t) = R e
I(t)
0
=
veR (t)
=
e
I(t)
=
e
I(t)
=
I
=
XR
=
I(t)
=
εe(t)
ε0 iωt
=
e
R
R
Ie iωt
ε0
= I0 e iφ
R
R ; φ = 0 ; ε0 = XR I0
ε0
Re(e
I(t)) =
cos(ωt)
R
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Resistor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
εe(t) − veR (t)
εe(t) = R e
I(t)
0
=
veR (t)
=
e
I(t)
=
e
I(t)
=
I
=
XR
=
I(t)
=
ε0 iωt
εe(t)
=
e
R
R
Ie iωt
ε0
= I0 e iφ
R
R ; φ = 0 ; ε0 = XR I0
ε0
Re(e
I(t)) =
cos(ωt)
R
I A voltagem AC e a corrente AC em um
resistor estão em fase.
I XR é chamada de reatância resistiva.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
εe(t) − veL (t)
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
veL (t)
=
εe(t) − veL (t)
de
I(t)
εe(t) = L
= ε0 e iωt
dt
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
veL (t)
=
de
I(t)
=
εe(t) − veL (t)
de
I(t)
εe(t) = L
= ε0 e iωt
dt
Z
ε0 iωt
ε0
e iωt dt =
e
L
iωL
Z
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
veL (t)
=
de
I(t)
=
εe(t) − veL (t)
de
I(t)
εe(t) = L
= ε0 e iωt
dt
Z
ε0
ε0 iωt
e iωt dt =
e
L
iωL
e
I(t)
=
Z
Ie iωt
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
veL (t)
=
de
I(t)
=
εe(t) − veL (t)
de
I(t)
εe(t) = L
= ε0 e iωt
dt
Z
ε0
ε0 iωt
e iωt dt =
e
L
iωL
e
I(t)
=
I
=
Z
Ie iωt
ε0
ε0 −i π
=
e 2 = I0 e iφ
iωL
XL
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
veL (t)
=
de
I(t)
=
εe(t) − veL (t)
de
I(t)
εe(t) = L
= ε0 e iωt
dt
Z
ε0
ε0 iωt
e iωt dt =
e
L
iωL
e
I(t)
=
I
=
XL
=
I(t)
=
Z
Ie iωt
ε0
ε0 −i π
=
e 2 = I0 e iφ
iωL
XL
π
; ε0 = XL I0
ωL ; φ = −
2
ε0
π
Re(e
I(t)) =
cos(ωt − )
XL
2
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Indutor.
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
veL (t)
=
de
I(t)
=
εe(t) − veL (t)
de
I(t)
= ε0 e iωt
εe(t) = L
dt
Z
ε0
ε0 iωt
e iωt dt =
e
L
iωL
e
I(t)
=
I
=
XL
=
I(t)
=
Z
Ie iωt
ε0
ε0 −i π
=
e 2 = I0 e iφ
iωL
XL
π
ωL ; φ = −
; ε0 = XL I0
2
ε0
π
Re(e
I(t)) =
cos(ωt − )
XL
2
I A corrente AC em um indutor está com
atraso de fase de π2 em relação à
voltagem AC.
I XL é chamada de reatância indutiva.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
εe(t) − vec (t)
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
I Seja uma fonte fem alternada,
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
vec (t)
=
d εe(t)
dt
=
εe(t) − vec (t)
e
q (t)
εe(t) =
C
e
I(t)
1 de
q (t)
=
C dt
C
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
vec (t)
=
εe(t) − vec (t)
e
q (t)
εe(t) =
C
e
1 de
q (t)
I(t)
=
C dt
C
ε0 iωCe iωt = Ie iωt
d εe(t)
dt
e
I(t)
=
=
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
vec (t)
=
εe(t) − vec (t)
e
q (t)
εe(t) =
C
e
1 de
q (t)
I(t)
=
C dt
C
ε0 iωCe iωt = Ie iωt
ε0 i π
e 2 = I0 e iφ
Xc
d εe(t)
dt
e
I(t)
=
I
=
=
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
vec (t)
=
εe(t) − vec (t)
e
q (t)
εe(t) =
C
e
1 de
q (t)
I(t)
=
C dt
C
ε0 iωCe iωt = Ie iωt
ε0 i π
e 2 = I0 e iφ
Xc
π
1
; φ=
; ε0 = Xc I0
ωC
2
ε0
π
Re(e
I(t)) =
cos(ωt + )
Xc
2
d εe(t)
dt
e
I(t)
=
I
=
Xc
=
I(t)
=
=
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
vec (t)
=
εe(t) − vec (t)
e
q (t)
εe(t) =
C
e
1 de
I(t)
q (t)
=
C dt
C
ε0 iωCe iωt = Ie iωt
ε0 i π
e 2 = I0 e iφ
Xc
π
1
; φ=
; ε0 = Xc I0
ωC
2
ε0
π
Re(e
I(t)) =
cos(ωt + )
Xc
2
d εe(t)
dt
e
I(t)
=
I
=
Xc
=
I(t)
=
=
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Fonte AC e Capacitor.
ε(t)
=
ε0 cos(ωt) = Re(e
ε(t))
εe(t)
=
εe iωt , ε = ε0
0
=
vec (t)
=
εe(t) − vec (t)
e
q (t)
εe(t) =
C
e
1 de
q (t)
I(t)
=
C dt
C
ε0 iωCe iωt = Ie iωt
ε0 i π
e 2 = I0 e iφ
Xc
π
1
; φ=
; ε0 = Xc I0
ωC
2
ε0
π
Re(e
I(t)) =
cos(ωt + )
Xc
2
d εe(t)
dt
e
I(t)
=
I
=
Xc
=
I(t)
=
=
I A corrente AC em um capacitor está
com avanço de fase de π2 em relação à
voltagem AC.
I Xc é chamada de reatância capacitiva.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reatância capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc =
1
ωC
.
I XL = ωL.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reatância capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc =
1
ωC
.
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→ ∞
I XL =→ 0
I Se, ω → ∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→ ∞
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reatância capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc =
1
ωC
.
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→ ∞
I XL =→ 0
I Se, ω → ∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→ ∞
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reatância capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc =
1
ωC
.
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→ ∞
I XL =→ 0
I Se, ω → ∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→ ∞
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reatância capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc =
1
ωC
.
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→ ∞
I XL =→ 0
I Se, ω → ∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→ ∞
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Circuitos de Corrente Alternada(AC)
Reatância capacitiva, Indutiva e Resistiva.
I Vimos que,
I XR = R.
I Xc =
1
ωC
.
I XL = ωL.
I Se, ω → 0(Corrente Continua),
I XR = R
I Xc =→ ∞
I XL =→ 0
I Se, ω → ∞,
I XR = R
I Xc =→ 0
I XL =→ ∞
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Impedância
Fonte AC e circuito R-L.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Impedância
Fonte AC e circuito R-C.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Impedância
Fonte AC e circuito R-L-C.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Impedância
Ressonância.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
I R2 é a resistência do fio do secundário
+ resistência extra.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
I R2 é a resistência do fio do secundário
+ resistência extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
εe(t)
=
− R2 e
I2 (t)
=
de
I2 (t)
de
I1 (t)
+ L12
dt
dt
de
I1 (t)
de
I2 (t)
L21
+ L22
dt
dt
L11
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
I R2 é a resistência do fio do secundário
+ resistência extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
εe(t)
=
− R2 e
I2 (t)
=
εe(t)
e
I1 (t)
=
=
de
I2 (t)
de
I1 (t)
+ L12
dt
dt
de
I1 (t)
de
I2 (t)
L21
+ L22
dt
dt
iωt
ε0 e
I1 e iωt ; e
I2 (t) = I2 e iωt
L11
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
I R2 é a resistência do fio do secundário
+ resistência extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
εe(t)
=
− R2 e
I2 (t)
=
εe(t)
e
I1 (t)
=
=
de
I2 (t)
de
I1 (t)
+ L12
dt
dt
de
I1 (t)
de
I2 (t)
L21
+ L22
dt
dt
iωt
ε0 e
I1 e iωt ; e
I2 (t) = I2 e iωt
L11
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
εe(t)
=
I2 (t)
− R2 e
=
εe(t)
e
I1 (t)
=
=
de
I1 (t)
de
I2 (t)
+ L12
dt
dt
de
I1 (t)
de
I2 (t)
L21
+ L22
dt
dt
ε0 e iωt
I1 e iωt ; e
I2 (t) = I2 e iωt
ε0 e iωt
=
iω(L11 I1 + L12 I2 )e iωt
iωt
=
iω(L21 I1 + L22 I2 )e iωt
− V2 = −R2 I2 e
L11
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
εe(t)
=
− R2 e
I2 (t)
=
εe(t)
e
I1 (t)
=
=
de
I2 (t)
de
I1 (t)
+ L12
dt
dt
de
I1 (t)
de
I2 (t)
L21
+ L22
dt
dt
iωt
ε0 e
I1 e iωt ; e
I2 (t) = I2 e iωt
ε0 e iωt
=
iω(L11 I1 + L12 I2 )e iωt
iωt
=
iω(L21 I1 + L22 I2 )e iωt
V2
ε0
=
−
L12
=
− V2 = −R2 I2 e
L11
(L11 I1 + L12 I2 )
(L21 I1 + L22 I2 )
p
L12 = k L11 L22
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
L12
=
V2
ε0
=
p
L12 = k L11 L22
s
√
√
L22 k L11 I1 + L22 I2
√
√
−
L11
L11 I1 + k L22 I2
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores
Transformadores
L12
=
V2
ε0
=
Se, k
=
V2
ε0
p
L12 = k L11 L22
s
√
√
L22 k L11 I1 + L22 I2
√
√
−
L11
L11 I1 + k L22 I2
1
s
=
−
L22
N2
=−
L11
N1
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
O magneton de Bohr
I
=
e
T
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
O magneton de Bohr
I
=
T
=
e
T
2πr
v
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
O magneton de Bohr
I
=
T
=
I
=
e
T
2πr
v
ev
2πr
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
O magneton de Bohr
I
=
T
=
I
=
µ
=
µ
=
e
T
2πr
v
ev
2πr
IA
ev
evr
(πr 2 ) =
2πr
2
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
O magneton de Bohr
I
=
T
=
I
=
µ
=
µ
=
L
=
h = 6, 626 × 10−34 Js
e
T
2πr
v
ev
2πr
IA
ev
evr
(πr 2 ) =
2πr
2
h
mvr =
2π
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
O magneton de Bohr
−34
h = 6, 626 × 10
I
=
T
=
I
=
µ
=
µ
=
L
=
e
T
2πr
v
ev
2πr
IA
ev
evr
(πr 2 ) =
2πr
2
h
mvr =
2π
Js
µ
=
e
eh
L=
2m
4πm
9, 274 × 10−24 Am2
µ
=
9, 274 × 10−24 J/T
µ
=
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
I Vimos que efeitos magnéticos são gerados por correntes elétricas.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
I Vimos que efeitos magnéticos são gerados por correntes elétricas.
I Ampère propôs que a magnetização espontânea dos meios magnéticos deveriam
ser geradas por correntes microscópicas.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
I Vimos que efeitos magnéticos são gerados por correntes elétricas.
I Ampère propôs que a magnetização espontânea dos meios magnéticos deveriam
ser geradas por correntes microscópicas.
I A magnetização será definida pela soma dos momentos magnéticos por
~ = 1 P µ
unidade de volume: M
i ~i
V
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
I Vimos que efeitos magnéticos são gerados por correntes elétricas.
I Ampère propôs que a magnetização espontânea dos meios magnéticos deveriam
ser geradas por correntes microscópicas.
I A magnetização será definida pela soma dos momentos magnéticos por
~ = 1 P µ
unidade de volume: M
i ~i
V
I Da lei de Ampère temos,
I
~ · d~l = µ0 Iliq
B
=
µ0 (Ic + Im )
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
I Vimos que efeitos magnéticos são gerados por correntes elétricas.
I Ampère propôs que a magnetização espontânea dos meios magnéticos deveriam
ser geradas por correntes microscópicas.
I A magnetização será definida pela soma dos momentos magnéticos por
~ = 1 P µ
unidade de volume: M
i ~i
V
I Da lei de Ampère temos,
I
I
~ · d~l = µ0 Iliq
B
=
µ0 (Ic + Im )
~ · d~l − µ0 Im
B
=
µ0 Ic
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
I Vimos que efeitos magnéticos são gerados por correntes elétricas.
I Ampère propôs que a magnetização espontânea dos meios magnéticos deveriam
ser geradas por correntes microscópicas.
I A magnetização será definida pela soma dos momentos magnéticos por
~ = 1 P µ
unidade de volume: M
i ~i
V
I Da lei de Ampère temos,
I
~ · d~l = µ0 Iliq = µ0 (Ic + Im )
B
I
~ · d~l − µ0 Im = µ0 Ic
B
I
Z
~ · d~l − µ0 ~Jm · d A
~ = µ0 Ic
B
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
I Vimos que efeitos magnéticos são gerados por correntes elétricas.
I Ampère propôs que a magnetização espontânea dos meios magnéticos deveriam
ser geradas por correntes microscópicas.
I A magnetização será definida pela soma dos momentos magnéticos por
~ = 1 P µ
unidade de volume: M
i ~i
V
I Da lei de Ampère
I
~ · d~l = µ0 Iliq
B
I
~ · d~l − µ0 Im
B
I
Z
~ · d~l − µ0 ~Jm · d A
~
B
Z
I
~ · d~l − µ0 (∇ × M)
~ · dA
~
B
temos,
I
=
µ0 (Ic + Im )
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
~ · d~l − µ0
B
Z
~ · dA
~
(∇ × M)
=
µ0 Ic
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
I Vimos que efeitos magnéticos são gerados por correntes elétricas.
I Ampère propôs que a magnetização espontânea dos meios magnéticos deveriam
ser geradas por correntes microscópicas.
I A magnetização será definida pela soma dos momentos magnéticos por
~ = 1 P µ
unidade de volume: M
i ~i
V
I Da lei de Ampère
I
~ · d~l = µ0 Iliq
B
I
~ · d~l − µ0 Im
B
I
Z
~ · d~l − µ0 ~Jm · d A
~
B
Z
I
~ · d~l − µ0 (∇ × M)
~ · dA
~
B
temos,
I
=
µ0 (Ic + Im )
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
Z
~ · d~l − µ0 (∇ × M)
~ · dA
~
B
I
I
~ · d~l − µ0 M
~ · d~l
B
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
I Vimos que efeitos magnéticos são gerados por correntes elétricas.
I Ampère propôs que a magnetização espontânea dos meios magnéticos deveriam
ser geradas por correntes microscópicas.
I A magnetização será definida pela soma dos momentos magnéticos por
~ = 1 P µ
unidade de volume: M
i ~i
V
I Da lei de Ampère
I
~ · d~l = µ0 Iliq
B
I
~ · d~l − µ0 Im
B
I
Z
~ · d~l − µ0 ~Jm · d A
~
B
Z
I
~ · d~l − µ0 (∇ × M)
~ · dA
~
B
temos,
I
=
µ0 (Ic + Im )
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
Z
~ · d~l − µ0 (∇ × M)
~ · dA
~
B
I
I
~ · d~l − µ0 M
~ · d~l
B
I
~ − µ0 M)
~ · d~l
(B
I
~ · d~l
(µ0 H)
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
I Vimos que efeitos magnéticos são gerados por correntes elétricas.
I Ampère propôs que a magnetização espontânea dos meios magnéticos deveriam
ser geradas por correntes microscópicas.
I A magnetização será definida pela soma dos momentos magnéticos por
~ = 1 P µ
unidade de volume: M
i ~i
V
I Da lei de Ampère
I
~ · d~l = µ0 Iliq
B
I
~ · d~l − µ0 Im
B
I
Z
~ · d~l − µ0 ~Jm · d A
~
B
I
Z
~ · d~l − µ0 (∇ × M)
~ · dA
~
B
temos,
I
=
µ0 (Ic + Im )
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
~
B
Z
~ · d~l − µ0 (∇ × M)
~ · dA
~
B
I
I
~ · d~l − µ0 M
~ · d~l
B
I
~ − µ0 M)
~ · d~l
(B
I
~ · d~l
(µ0 H)
=
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
~
~ + M),
~
~ = B −M
~
µ0 (H
ou, H
µ0
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
I
~ · d~l = µ0 Iliq
B
I
~ · d~l − µ0 Im
B
I
Z
~ · d~l − µ0 ~Jm · d A
~
B
I
~ · d~l − µ0
B
Z
~ · dA
~
(∇ × M)
I
=
µ0 (Ic + Im )
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
~ é o campo gerado por correntes
I O campo H
de condução ou um campos externo.
~
B
Z
~ · d~l − µ0 (∇ × M)
~ · dA
~
B
I
I
~ · d~l − µ0 M
~ · d~l
B
I
~ − µ0 M)
~ · d~l
(B
I
~ · d~l
(µ0 H)
=
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
=
µ0 Ic
~
~ + M),
~
~ = B −M
~
µ0 (H
ou, H
µ0
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
~ é o campo gerado por correntes
I O campo H
de condução ou um campos externo.
~ é o campo efetivo incluindo os
I O campo B
campos gerados pelo próprio material
magnético.
~
B
=
~
~
~ + M),
~
~ = B −M
µ0 (H
ou, H
µ0
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
~ é o campo gerado por correntes
I O campo H
de condução ou um campos externo.
~ é o campo efetivo incluindo os
I O campo B
campos gerados pelo próprio material
magnético.
~ = M(
~ H),
~ ou
I De forma geral temos que, M
seja a magnetização é uma
função do
P
~ = 1
campo externo. M
~i
i µ
V
~
B
=
~
~
~ + M),
~
~ = B −M
µ0 (H
ou, H
µ0
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
~ é o campo gerado por correntes
I O campo H
de condução ou um campos externo.
~ é o campo efetivo incluindo os
I O campo B
campos gerados pelo próprio material
magnético.
~ = M(
~ H),
~ ou
I De forma geral temos que, M
seja a magnetização é uma
função do
P
~ = 1
campo externo. M
~i
i µ
V
I Quando o um material magnético for linear,
homogêneo e isotrópico teremos:
~ = χm H.
~
M
I χm é chamado de susceptibilidade
magnética.
I Km = (1 + χm ) é chamado de
pemeabilidade magnética.
~
B
=
~
~
~ + M),
~
~ = B −M
µ0 (H
ou, H
µ0
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
~ é o campo gerado por correntes
I O campo H
de condução ou um campos externo.
~ é o campo efetivo incluindo os
I O campo B
campos gerados pelo próprio material
magnético.
~ = M(
~ H),
~ ou
I De forma geral temos que, M
seja a magnetização é uma
função do
P
~ = 1
campo externo. M
~i
i µ
V
I Quando o um material magnético for linear,
homogêneo e isotrópico teremos:
~ = χm H.
~
M
I χm é chamado de susceptibilidade
magnética.
I Km = (1 + χm ) é chamado de
pemeabilidade magnética.
~
B
=
~
B
=
~
~
~ + M),
~
~ = B −M
µ0 (H
ou, H
µ0
~ = µH
~
µ0 (1 + χm )H
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
~ é o campo gerado por correntes
I O campo H
de condução ou um campos externo.
~ é o campo efetivo incluindo os
I O campo B
campos gerados pelo próprio material
magnético.
~ = M(
~ H),
~ ou
I De forma geral temos que, M
seja a magnetização é uma
função do
P
~ = 1
campo externo. M
~i
i µ
V
I Quando o um material magnético for linear,
homogêneo e isotrópico teremos:
~ = χm H.
~
M
I χm é chamado de susceptibilidade
magnética.
I Km = (1 + χm ) é chamado de
pemeabilidade magnética.
~
B
=
~
~
~ + M),
~
~ = B −M
µ0 (H
ou, H
µ0
~ = µH
~
µ0 (1 + χm )H
µ
=
µ0 (1 + χm ) = µ0 Km
~
B
=
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
~ é o campo gerado por correntes
I O campo H
de condução ou um campos externo.
~ é o campo efetivo incluindo os
I O campo B
campos gerados pelo próprio material
magnético.
~ = M(
~ H),
~ ou
I De forma geral temos que, M
seja a magnetização é uma
função
do
~ = 1 P µ
campo externo. M
i ~i
V
I Quando o um material magnético for linear,
homogêneo e isotrópico teremos:
~ = χm H.
~
M
I χm é chamado de susceptibilidade
magnética.
I Km = (1 + χm ) é chamado de
pemeabilidade magnética.
~
B
=
~
~
~ + M),
~
~ = B −M
µ0 (H
ou, H
µ0
~ = µH
~
µ0 (1 + χm )H
µ
=
µ0 (1 + χm ) = µ0 Km
~
B
=
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Magnetismo Microscópico
~ é o campo gerado por correntes
I O campo H
de condução ou um campos externo.
~ é o campo efetivo incluindo os
I O campo B
campos gerados pelo próprio material
magnético.
~ = M(
~ H),
~ ou
I De forma geral temos que, M
seja a magnetização é uma
função
do
~ = 1 P µ
campo externo. M
i ~i
V
I Quando o um material magnético for linear,
homogêneo e isotrópico teremos:
~ = χm H.
~
M
I χm é chamado de susceptibilidade
magnética.
I Km = (1 + χm ) é chamado de
pemeabilidade magnética.
~
B
=
~
~
~ + M),
~
~ = B −M
µ0 (H
ou, H
µ0
~ = µH
~
µ0 (1 + χm )H
µ
=
µ0 (1 + χm ) = µ0 Km
~
B
=
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Paramagnetismo
~
B
=
~
~
~ + M),
~
~ = B −M
µ0 (H
ou, H
µ0
~ = µH
~
µ0 (1 + χm )H
µ
=
µ0 (1 + χm ) = µ0 Km
~
B
=
I 0 < χm < 10+2
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Paramagnetismo
~
B
=
~
~ + M),
~
~ = B −M
~
µ0 (H
ou, H
µ0
~ = µH
~
µ0 (1 + χm )H
µ
=
µ0 (1 + χm ) = µ0 Km
~
B
=
I 0 < χm < 10+2
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Diamagnetismo
~
B
=
~
~ + M),
~
~ = B −M
~
µ0 (H
ou, H
µ0
~ = µH
~
µ0 (1 + χm )H
µ
=
µ0 (1 + χm ) = µ0 Km
~
B
=
I −10+2 < χm < 0
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Diamagnetismo
~
B
=
~
~
~ + M),
~
~ = B −M
µ0 (H
ou, H
µ0
~ = µH
~
µ0 (1 + χm )H
µ
=
µ0 (1 + χm ) = µ0 Km
~
B
=
I −10+2 < χm < 0
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Ferromagnetismo
~
B
=
~
~
~ + M),
~
~ = B −M
µ0 (H
ou, H
µ0
~ = µH
~
µ0 (1 + χm )H
µ
=
µ0 (1 + χm ) = µ0 Km
~
B
=
I χm > 10+3
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Ferromagnetismo
~
B
=
~
~
~ + M),
~
~ = B −M
µ0 (H
ou, H
µ0
~ = µH
~
µ0 (1 + χm )H
µ
=
µ0 (1 + χm ) = µ0 Km
~
B
=
I χm > 10+3
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Ferromagnetismo
~
B
=
~
~
~ + M),
~
~ = B −M
µ0 (H
ou, H
µ0
~ = µH
~
µ0 (1 + χm )H
µ
=
µ0 (1 + χm ) = µ0 Km
~
B
=
I χm > 10+3
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Materiais Magnéticos
Ferromagnetismo
~
B
=
~
~
~ + M),
~
~ = B −M
µ0 (H
ou, H
µ0
~ = µH
~
µ0 (1 + χm )H
µ
=
µ0 (1 + χm ) = µ0 Km
~
B
=
I χm > 10+3
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
I R1 é a resistência do fio do primário.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
I R1 é a resistência do fio do primário.
I R2 é a resistência do fio do secundário
+ resistência extra.
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
I R1 é a resistência do fio do primário.
I R2 é a resistência do fio do secundário
+ resistência extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
R1 e
I1 (t)
=
R2 e
I2 (t)
=
de
I1 (t)
de
I2 (t)
− L12
dt
dt
de
I1 (t)
de
I2 (t)
0 − L21
− L22
dt
dt
εe(t) − L11
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
I R1 é a resistência do fio do primário.
I R2 é a resistência do fio do secundário
+ resistência extra.
I Teremos duas malhas dadas por,
R1 e
I1 (t)
=
R2 e
I2 (t)
=
εe(t)
e
I1 (t)
=
=
de
I1 (t)
de
I2 (t)
− L12
dt
dt
de
I1 (t)
de
I2 (t)
0 − L21
− L22
dt
dt
ε0 e iωt
I1 e iωt ; e
I2 (t) = I2 e iωt
εe(t) − L11
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
R1 e
I1 (t)
=
I2 (t)
R2 e
=
εe(t)
e
I1 (t)
=
=
de
I1 (t)
de
I2 (t)
− L12
dt
dt
de
I1 (t)
de
I2 (t)
0 − L21
− L22
dt
dt
iωt
ε0 e
I1 e iωt ; e
I2 (t) = I2 e iωt
R1 I1 e iωt
=
ε0 e iωt − iω(L11 I1 + L12 I2 )e iωt
iωt
=
0 − iω(L21 I1 − L22 I2 )e iωt
R2 I2 e
εe(t) − L11
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
R1 e
I1 (t)
=
I2 (t)
R2 e
=
εe(t)
e
I1 (t)
=
=
de
I1 (t)
de
I2 (t)
− L12
dt
dt
de
I1 (t)
de
I2 (t)
0 − L21
− L22
dt
dt
iωt
ε0 e
I1 e iωt ; e
I2 (t) = I2 e iωt
R1 I1 e iωt
=
ε0 e iωt − iω(L11 I1 + L12 I2 )e iωt
iωt
=
0 − iω(L21 I1 − L22 I2 )e iωt
ε0
=
(R1 + iωL11 )I1 + iωL12 I2
0
=
iωL21 I1 + (R2 + iωL22 )I2
R2 I2 e
εe(t) − L11
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
R1 e
I1 (t)
=
R2 e
I2 (t)
=
εe(t)
e
I1 (t)
=
=
de
I1 (t)
de
I2 (t)
− L12
dt
dt
de
I1 (t)
de
I2 (t)
0 − L21
− L22
dt
dt
ε0 e iωt
I1 e iωt ; e
I2 (t) = I2 e iωt
R1 I1 e iωt
=
ε0 e iωt − iω(L11 I1 + L12 I2 )e iωt
iωt
=
0 − iω(L21 I1 − L22 I2 )e iωt
ε0
=
(R1 + iωL11 )I1 + iωL12 I2
0
=
iωL21 I1 + (R2 + iωL22 )I2
R1 + iωL11
iωL12
I1
iωL21
R2 + iωL22
I2
R2 I2 e
ε0
0
=
εe(t) − L11
Capı́tulo 31 - Corrente Alternada
Transformadores1
Transformadores
R1 e
I1 (t)
=
I2 (t)
R2 e
=
εe(t)
e
I1 (t)
=
=
de
I1 (t)
de
I2 (t)
− L12
dt
dt
de
I1 (t)
de
I2 (t)
0 − L21
− L22
dt
dt
ε0 e iωt
I1 e iωt ; e
I2 (t) = I2 e iωt
R1 I1 e iωt
=
ε0 e iωt − iω(L11 I1 + L12 I2 )e iωt
iωt
=
0 − iω(L21 I1 − L22 I2 )e iωt
ε0
=
(R1 + iωL11 )I1 + iωL12 I2
0
=
iωL21 I1 + (R2 + iωL22 )I2
R1 + iωL11
iωL12
I1
iωL21
R2 + iωL22
I2
R2 I2 e
ε0
0
=
I1
=
I2
=
εe(t) − L11
ε0 (R2 + iωL22 )
(R1 + iωL11 )(R2 + iωL22 ) + ω 2 L12 L21
ε0 iωL21
−
(R1 + iωL11 )(R2 + iωL22 ) + ω 2 L12 L21