Centro de Massa e Momento Linear - Física

Centro de Massa e
Momento Linear
Disciplina: Física Geral I
Professor: Carlos Alberto
Profº Carlos Alberto
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O Centro de Massa
“O centro de massa de um sistema de partículas é o
ponto que se move como se (1) toda a massa do
sistema estivesse concentrada nesse ponto e (2) todas
as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto”.
✔ Sistema de partículas
cm
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O Centro de Massa
✔ Sistema de partículas
Se x1 = 0
m1 = m 2
m1 > m2
cm
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cm
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O Centro de Massa
✔ Sistema de partículas
Podemos generalizar de duas partículas para um sistema de muitas partículas
Em 3D
(DEFINIÇÃO: CENTRO DE MASSA)
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O Centro de Massa
✔ Corpos maciços
Para cada componente
✔ Simetrias
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Exemplo 9.1: (Halliday, p220)
Três partículas de massa m1 = 1,2 kg, m2 = 2,5 kg e m3 = 3,4 kg formam um triângulo
equilátero de lado a = 140 cm. Onde fica o centro de massa desse sistema?
cm
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Exemplo 5.15: (Tipler, p148)
Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada, como
mostrado na figura abaixo.
0,2 m
0,2 m
0,4 m
0,8 m
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Exemplo 5.15: (Tipler, p148)
Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada, como
mostrado na figura abaixo.
0,2 m
y
m2
0,5
0,2
m1
0,4
0,2 m
0,4 m
0,7
x
0,8 m
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Exemplo 9.2: (Halliday, p221)
A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de raio R foi
removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de coordenadas xy da figura,
localize o centro de massa da placa.
y
x
Placa P
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Exemplo 9.2: (Halliday, p221)
A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de raio R foi
removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de coordenadas xy da figura,
localize o centro de massa da placa.
y
Placa Composta
C=R+P
CMR
CMC
CMP
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x
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Encontrando o centro de massa por integração
✔ Barra uniforme
y
dm = λ dx
x
dx
z
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Encontrando o centro de massa por integração
✔ Anel semicircular
y
ds = R dθ
dθ
θ
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x
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Movimento do centro de massa
Derivando os dois lados:
Derivando novamente os dois lados:
0
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Movimento do centro de massa
“O centro de massa se um sistema se move como uma partícula de massa M = Σm
sob a influência da força externa resultante que atua sobre o sistema”.
Movimento do CM
Movimento do corpo
(ou sistema de partículas)
Movimento das partículas
Em Relação ao CM
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Exemplo 5.16: (Tipler, p152)
Um projétil é disparado em uma trajetória tal que o faria aterrizar 55 m adiante. No
entanto, ele explode no ponto mais alto da trajetória, partindo-se em dois fragmentos de
mesma massa. Imediatamente após a explosão, um dos fragmentos possui uma
velocidade instantânea igual a zero e, depois cai na vertical. Onde aterriza o outro
fragmento? Despreze a resistência do ar.
cm
cm
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Exemplo 8.14: (Young, p260)
James está a uma distância de 20,0 m de Ramon, e ambos estão em pé sobre a
superfície lisa de um lago congelado. Ramon possui massa de 60,0 kg e James possui
massa de 90,0 kg. Na metade da distância entre os dois homens, uma caneca contendo
a bebida favorita deles está apoiada sobre o gelo. Eles puxam as extremidades de uma
corda leve esticada entre eles. Quando James se desloca 6,0 m no sentido da caneca,
em que sentido se desloca Ramon e qual é a distância percorrida por ele?
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Exemplo 5.17: (Tipler, p153)
Pedro (massa de 80 kg) e Davi (Massa de 120 kg) estão em um barco a remo (massa de
60 kg), em um lago calmo. Davi está próximo à proa, remando, e Pedro está na popa, a
2,0 m de Davi. Davi se cansa e para de remar. Pedro se oferece para remar, e, quando o
barco atinge o repouso, eles trocam de lugar. De quanto o barco se move, quando eles
trocam de lugar? (Despreze qualquer força horizontal exercida pela água)
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Momento linear
(quantidade de movimento)
Para uma partícula:
(DEFINIÇÃO)
No SI, o momento linear tem como unidade kg·m/s (quilograma vezes metro por segundo).
✔ 2ª Lei de Newton
“A taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual a força
resultante que atua sobre a partícula e tem a mesma orientação que essa força”.
Para um sistema de partículas:
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Colisão e Impulso
✔ Colisão simples
x
(DEFINIÇÃO DE IMPULSO)
(TEOREMA DO MOMENTO
LINEAR E IMPULSO)
No Sistema Internacional (SI), a unidade da grandeza impulso é N · s (newton vezes
segundo). Como N = kg · m/s2, temos:
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Colisão e Impulso
✔ Colisão simples
Se a função
é conhecida, podemos calcular
integrando a função. Se temos um
gráfico de
em função de t, podemos obter J calculando a área entre a curva e o eixo t.
Podemos definir uma força média como sendo a força constante capaz de produzir o
mesmo impulso da força de intensidade variável. Isto é:
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Exemplo 8.5: (Tipler, p.250)
Com um eficiente golpe de karatê, você parte um bloco de concreto. Seja 0,70 kg a
massa de sua mão, que se move a 5,0 m/s quando atinge o bloco, parando 6,00 mm
além do ponto de contato.
(a) Qual é o impulso que o bloco exerce sobre sua mão?
(b) Quais são o tempo aproximado de colisão e a força média que o bloco exerce sobre
sua mão?
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Exemplo 8.2: (Young, p.251)
Suponha que você jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra uma parede. Ela
colide com a parede quando está se movendo horizontalmente da direita para a esquerda
a 30 m/s, retornando horizontalmente da esquerda para direita a 20 m/s.
(a) Calcule o impulso da força resultante sobre a bola durante sua colisão com a parede.
(b) sabendo que a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache a
força horizontal média que a parede exerce sobre a bola durante a colisão.
Comumente, o intervalo de tempo
durante a qual uma bola de tênis
permanece em contato com uma
raquete é aproximadamente igual a
0,01 s. A bola visivelmente se achata
por causa da enorme força exercida
pela raquete.
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Exemplo 9.5: (Halliday, p230)
A figura é uma vista superior da trajetória de um carro de corrida ao colidir com um muro
de proteção. Antes da colisão o carro está se movendo com uma velocidade escalar vi =
70 m/s ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 30º com o muro. Após a colisão
está se movendo com velocidade escalar vf = 50 m/s, ao longo de uma linha reta que faz
um ângulo de 10º com o muro. A massa m do piloto é de 80 kg.
(a) Qual é o impulso a que o piloto é submetido após a colisão?
(b) A colisão dura 14 ms. Qual é o módulo da força média que o piloto experimenta
durante a colisão?
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Questão 33: (Halliday, p250)
Quando o cabo arrebenta e o sistema de segurança falha, um elevador cai em queda
livre de uma altura de 36 m. Durante a colisão no fundo do poço do elevador a velocidade
de um passageiro de 90 kg se anula em 5,0 ms (suponha que não há ricochete nem do
passageiro nem do elevador.) Quais são os módulos (a) do impulso e (b) da força média
experimentados pelo passageiro durante a colisão? Se o passageiro pula verticalmente
para cima com uma velocidade de 7,0 m/s em relação ao piso do elevador quando o
elevador está prestes a se chocar com o fundo do poço, quais são os módulos (c) do
impulso e (d) da força média (supondo que o tempo que o passageiro leva para parar
permaneça o mesmo)?
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Conservação do momento linear
Vimos que
Sistema isolado → Força resultante nula
Sistema fechado → # de partículas constante
“Se um sistema de partículas não está submetido a nenhuma força externa, o
momento linear total do sistema não pode variar”.
Lei de Conservação do
Momento Linear
Não confunda
Momento e Energia!!!
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Momento tem componentes
x, y e z!
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Exemplo 9.6: (Halliday, p.232)
Uma urna de votação de massa m = 6,0 kg desliza com velocidade v = 4,0 m/s em um
piso sem atrito no sentido positivo de um eixo x. A urna explode em dois pedaços. Um
pedaço, de massa m1 = 2,0 kg, se move no sentido positivo do eixo x com v1 = 8,0 m/s.
Qual é a velocidade do segundo pedaço, de massa m2?
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Exemplo 8.4: (Young p.255)
Um atirador segura um rifle de massa mR = 3,0 kg frouxamente de modo que a arma
possa recuar livremente ao disparar. Ele atira uma bala de massa mB = 5,0 g
horizontalmente com velocidade relativa ao solo dada por vB = 300 m/s. Qual é a
velocidade de recuo do rifle? Quais são os valores da energia cinética final e do momento
linear total final da bala e do rifle?
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Exemplo 9.8: (Halliday, p.233)
Ao explodir, uma cabeça-de-negro colocada no interior de um coco vazio de massa M,
inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, quebra o coco em três pedaços,
que deslizam sobre a superfície. Uma vista superior é mostrada na figura abaixo. O
pedaço C de massa 0,30M, tem uma velocidade escalar final vfC = 5,0 m/s.
(a) Qual é a velocidade do pedaço B, de massa 0,20M?
(b) Qual é a velocidade escalar do pedaço A?
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Exemplo 8.6: (Young, p.257)
Dois robôs em combate deslizam sobre uma superfície sem atrito conforme mostra a
figura 'a'. O robô A, com massa 20 kg, move-se com velocidade 2,0 m/s paralelamente ao
eixo Ox. Ele colide com o robô B, com massa de 12 kg, que está inicialmente em
repouso. Depois da colisão, verifica-se que a velocidade do robô A é de 1,0 m/s com uma
direção de faz um ângulo α = 30º com a direção inicial (figura 'b'). Qual é a velocidade
final do robô B?
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Momento e energia cinética em colisões
Antes
Depois
Energia Cinética Conservada
Colisão Elástica
Perda de Energia Cinética
Colisão inelástica
Perda Máxima
Perfeitamente
Perfeitamenteinelástica
inelástica
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Colisões inelásticas em uma dimensão
✔ Colisão inelástica unidimensional
✔ Colisões perfeitamente inelásticas unidimensionais
Antes
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Depois
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Exemplo 9.9: (Halliday, p.236)
O pêndulo balístico era usado para medir a velocidade
dos projéteis antes que os dispositivos eletrônicos fossem
inventados. A versão mostrada na figura abaixo era
composta por um bloco de madeira de massa M = 5,4 kg,
pendurado por duas cordas compridas. Uma bala de
massa m = 9,5 g é disparada conta o bloco e sua
velocidade se anula rapidamente. O sistema bloco-bala
oscila para cima, com o centro de massa subindo uma
distância h = 6,3 cm antes de o pêndulo parar
momentaneamente no final de uma trajetória em arco de
circunferência. Qual é a velocidade da bala antes da
colisão?
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Exemplo 8.9: (Young, p.261)
Um carro compacto com massa de 100o kg está se deslocando do sul para o norte em
linha reta a uma velocidade de 15 m/s quando colide contra um caminhão de massa 2000
kg que se desloca de oeste para leste a 10 m/s. Felizmente, todos os ocupantes usavam
cinto de segurança e ninguém se feriu, porém os veículos se engavetaram e passaram a
se deslocar, após a colisão, como um único corpo. A seguradora pediu para você calcular
a velocidade dos carros unidos após a colisão. Qual é a sua resposta?
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Colisões Elásticas
Antes
Depois
Pela conservação do momento:
Pela conservação da energia cinética:
Não é Solúvel!!!
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Colisões elásticas em uma dimensão
✔ Casos particulares:
i) Massas iguais
Trocam velocidade
ii) Alvo em repouso
(a)
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(b)
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Exemplo 8.13: (Tipler, p.258)
Um bloco de 4,0 kg, movendo-se para direita a 6,0 m/s, sofre uma colisão elástica frontal
com um bloco de 2,0 kg que se move para a direita a 3,0 m/s (figura). Encontre as
velocidades finais dos dois blocos.
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Exemplo 8.12: (Young, p.266)
A situação descrita na figura abaixo é uma colisão elástica entre dois discos de hóquei
sobre uma mesa de ar sem atrito. O disco A possui massa mA = 0,500 kg e o disco B
possui massa mB = 0,300 kg. O disco A possui velocidade inicial de 4,0 m/s no sentido
positivo do eixo Ox e uma velocidade final de 2,0 m/s cuja direção é desconhecida. O
disco B está inicialmente em repouso. Calcule a velocidade final vB2 e os ângulos α e β
indicados na figura.
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Exemplo 8.5: (Young, p.256)
Dois cavaleiros se deslocam em sentidos contrários em um trilho de ar linear sem atrito
(figura 'a'). Depois da colisão (figura 'b'), o cavaleiro B se afasta com velocidade final de
+2,0 m/s (figura 'c'). Qual a velocidade final do cavaleiro A?
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Exemplo 8.7: (Young, p.259)
Suponha que na colisão descrita no Exemplo 8.5 os dois cavaleiros não sejam rebatidos,
mas permaneçam colados após a colisão. As massas e as velocidades são as mesmas
do Exemplo anterior. Calcule a velocidade final v2x, comum dos dois corpos depois da
colisão, e compare a energia cinética inicial com a energia cinética final.
Exemplo 8.10: (Young, p.264)
Repetimos a experiência do trilho de ar do Exemplo 8.5, porém agora adicionamos
para-choques de molas ideais nas extremidades dos cavaleiros para que as colisões
sejam elásticas. Quais são as velocidades de A e de B depois da colisão?
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