Filtros Passivos 1 Filtros Passivos O filtro é um circuito que permite a

F i l t r os P as s i vos
O f i l t r o é um cir cuito que per mite a pas s agem de s inais apenas em
deter minadas fr eqüências . Ele pode s er clas s ificado em:
•
•
•
•
F iltr o
F iltr o
F iltr o
F iltr o
Pas s a B aix as (F.P.B .)
Pas s a Altas (F.P.A.)
Pas s a F aix a (F.P.F .)
Rej eita F aix a (F.R.F.)
Os filtr os s ão cons ider ados pas s ivos quando s ão for mados apenas por
dis pos itivos pas s ivos , como r es is tor es , capacitor es e indutor es . Outr a car acter ís tica
dos filtr os pas s ivos é o fato de o ganho de tens ão s er s empr e menor ou igual a 1
(ou 0db), j á que não pos s uem nenhum dis pos itivo ativo capaz de amplificar os
s inais .
F i l t r o P as s a B ai x as – F .P .B .
Um filtr o pas s a baix as (F .P.B .) ideal tem uma cur va de r es pos ta em
fr equência como mos tr ada na figur a abaix o:
A
Cu r va de R es pos t a em F r equ ên ci a do F i l t r o
P as s a B ai x as I deal
v
0
ùc
ù
Par a as fr eqüências abaix o da fr eqüências de cor te (ù c), o ganho é igual a
um, is to é, a tens ão de s aída é igual a tens ão de entr ada. Par a fr eqüências acima
da fr equência de cor te, o ganho é zer o, is to é a tens ão de s aída s er á nulo. Por ém,
na pr ática, não é pos s ível cons tr uir - s e um filtr o com um cor te tão br us co na
r es pos ta em fr equência.
F i l t r o P as s a B ai x as com Ci r cu i t o R L
O cir cuito RL s ér ie, como mos tr ado abaix o, funciona como um filtr o pas s a
baix as , pois nas baix as fr eqüências , o indutor compor ta- s e como uma r es is tência
baix a (X L < < R), fazendo com que a maior par te da tens ão r ecaia s obr e o r es is tor
de s aída.
Já nas fr eqüências altas , o indutor compor ta- s e como uma r es is tência alta
(XL > > R), fazendo com que a tens ão no r es is tor de s aída s ej a muito pequena.
Filtros Passivos
1
L
R
VE
VS
F i l t r o P as s a B ai xas com Ci r cu i t o R L
Nes te cir cuito, a ex pr es s ão da tens ão de s aída V s (tens ão no r es is tor ) em
função da tens ão de entr ada V E é dada por :
Av =
R
⋅ VE
R + JωL
Av =
Vs
R
=
V E R + JωL
Des ta for ma, o ganho de tens ão des te filtr o é:
Dividindo- s e o numer ador e o denominador por R, tem- s e:
AV =
1
 ωL 
1 + j

 R 
A ex pr es s ão do ganho de tens ão des te filtr o pode s er apr es entada em função
de s ua fr equência de cor te:
Ganho de T ens ão: A V =
1
ω
1 + j 
ωc
Fr equência de Cor te: ω C =



R
L
Como podemos obs er var , o ganho de tens ão é um númer o complex o e ,
por tanto, pos s ui um módulo e fas e. As s im, o ganho de tens ão s er á r epr es entado
gener icamente por um númer o complex o na for ma AV = AV á
As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função da frequência são
dadas por:
Módulo:
AV =
1
1+ (
Fase:
ω 2
)
ωC
α = −arctg
ω
ωC
A partir da expressão do módulo do ganho em função da freqUência, pode-se esboçar a
curva de resposta em frequência AV x ù des te filtro, cons iderando-se que:
Filtros Passivos
2
ù =0 ◊ AV = 1
AV
1
ù = ù C ◊ AV =
0,707
ω → ∞ ⇒ Av → 0
ùC
0
1
2
= 0,707
ù
Resposta em Frequência do F.P.B. (Módulo)
Obs er vação:
A fr eqüência de cor te é também conhecida como fr equência de meia potência,
pois é nes s a fr equência que a potência de s aída é a metade da potência de entr ada.
A par tir da ex pr es s ão da fas e do ganho em função da fr equência, pode- s e
es boçar o gr áfico á x ù , cons iderando-se que:
0
á
ù =0 ◊ -arctg 0 = 0°
ùC
ù = ù C ◊ á = -arctg 1 = -45º
ù
-45°
-90°
ω → ∞ ⇒ α → −90°
Resposta em frequência do F.P.B. (fase)
A cur va de r es pos ta em fr equência (Módulo) des te filtr o pode, também, s er dada
em decibel(dB ), calculando- s e o módulo do ganho de tens ão por :
AV(dB ) = 20.log AV
As s im:
ù =0 ◊ AV (dB) = 20.log 1 = 0dB
ù = ù C ◊ A V (dB) = 20. log
1
2
ω = 10.ω C ⇒ Av(dB ) = 20. log
ω = 100.ω C ⇒ Av (dB ) = 20. log
= −3dB
1
 10ω C
1 + 
 ωC
1



2
≅ 20. log
2
1
100
≅ 20. log
= −20dB
1
2
= −40dB
100
 100ω C 

1 + 
 ωC 
Pode- s e então, es boçar a cur va de r es pos ta em fr equência (módulo) AV(dB ) x ù
Filtros Passivos
3
0
AV(dB)
ùC
10ù C 100ù C
-3
ù
Resposta em Frequência do F.P.B. (Módulo em dB)
-20
-40
Pelos r es ultados obtidos , per cebe- s e que, a par ti da fr equência de cor te ù C,
cada vez que a fr equência aumenta de um fator igual a 10, o ganho diminui em
20dB.
D i agr am a de B ode
Uma for ma s imples e pr ática de r epr es entar a cur va de r es pos ta em
fr equência de um filtr o é atr avés do diagr ama de B ode (pr onuncia- s e B ode). Es te
diagr ama r epr es enta o módulo do ganho AV(dB ) em função da fr equência, fazendos e a apr ox imação por tr echos de r etas (as s íntotas ).
A figur a abaix o mos tr a o Diagr ama de B ode do filtr o pas s a baix as analis ado.
0
AV(dB)
-3
ùC
10ù C 100ù C
ù
Diagrama de Bode do F.P.B.
-20
-40
Des tes gr áficos , podemos concluir que:
a) A es cala do ganho de tens ão é linear , mas a es cala de fr equência é
logar ítmica, devendo o gr áfico s er feito em papel monolog.
b) Na fr equência de cor te, o ganho de tens ão é de – 3dB em r elação ao patamar .
c) Acima da fr equência de cor te, o ganho diminui à tax a de 20 dB por década.
d) D) Us ando a apr ox imação de r etas (diagr ama de B ode), o maior er r o
cometido é de 3 dB na fr equência de cor te.
E x em pl o:
Dado o cir cuito a s eguir , pede- s e:
Filtros Passivos
4
L = 100mH
VE
VS
R = 1KÙ
a) Fr equência de cor te em r d/s e em Hz.
ωC =
R
1.10 3
=
= 10 4 rd / s
L 100.10 −3
fC =
ω C 10 4
=
= 1592 Hz
2π
2π
b) E x pr es s ão complex a do ganho
AV =
1
1
1
=
=
ω
 ωL 
 ω .0,1 
1 + j
 1 + j 3  1 + j 4
10
 R 
 10 
c) Expressão do módulo do ganho
1
1
AV =
=
2
ω
 ω 
1 + ( )2
1+  4 
ωC
 10 
e) Es boçar o gr áfico do módulo do ganho em dB em função da fr equência
0
AV(dB)
-3
104
105
106
ù
-20
-40
e) A fr equência quando a difer ença de fas e entr e a entr ada e a s aída é – 45° .
α = −arctg
ω
ω
ω
ω
⇒ −45° = −arctg 4 ⇒ tg 45° = 4 ⇒ 1 = 4 ⇒ ω = 10 4 rd / s = ω C
ωC
10
10
10
F i l t r o P as s a B ai x as com Ci r cu i t o R C
O cir cuito RC s ér ie, como mos tr ado na figur a abaix o, funciona como um filtr o
pas s a baix as , pois nas baix as fr eqüências , o capacitor de s aída compor ta- s e como
uma r es is tência alta (X C> > R), fazendo comque a maior par te da tens ão r ecaia
s obr e ele.
Filtros Passivos
5
Já nas altas fr eqüências , o capacitor compor ta- s e como uma r es is tência baix a
(X C< < R), fazendo com que a tens ão na s aída s ej a muito pequena.
Nes te cir cuito , a ex pr es s ão da tens ão
R
de s aída VS (T ens ão no capacitor ) em
função da tens ão de entr ada VE é dada
por :
VE
C
VS
− jX C
VS =
.V E
R − jX C
F i l t r o P as s a B ai xas com Ci r cu i t o R C
Des ta for ma, o ganho de tens ão des te filtr o é:
1
V
− jX C
jω .C
AV = S =
Dividindo- s e o numer ador e o denominador por R e
=
1
V E R − jX C
R+
jω .C
s implificando a ex pr es s ão , tem- s e:
AV =
1
1 + jω .R.C
A ex pr es s ão do ganho de tens ão des te filtr o pode s er apr es entada em função
de s ua fr equência de cor te, com s egue:
Gan h o de T en s ão:
AV =
F r equ ên ci a de Cor t e:
1
1+ j
ωC =
ω
ωC
1
RC
Como o ganho de tens ão é um númer o complex o, ele pode s er r epr es entado
gener icamente na for ma AV = AV á.
As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função de frequência são
dadas por:
Módulo
AV =
Fase
1
1+ (
α = −arctg
ω 2
)
ωC
ω
ωC
Como se vê, estas expressões são iguais às do filtro passa baixas com circuito RL
analisado anteriormente, com a ressalva de que as freqüências de corte são calculadas de
formas diferente, pois elas dependem dos dispositivos utilizados nos filtros (RL ou RC).
Desta forma, o esboço das curvas de resposta em frequência (módulo: AV x á e fas e: á x
ù ) des te filtro, tem o mes mo as pecto que as do filtro anterior, como mos tra a figura abaixo:
Filtros Passivos
6
AV
0
1
Módulo
0,707
0
ùC
á
ùC
ù
-45°
-90°
ù
Resposta em frequência do F.P.B. (fase)
A cur va de r es pos ta em fr equência (módulo) des te filtr o pode, também, s er
dada em decibel (dB ), calculando- s e o módulo do ganho de tens ão por :
AV(dB ) = 20.log AV
Pode- s e, então es boçar a cur va de r es pos ta em fr equência (em módulo)
AV(dB ) x ù , e na for ma nor mal em diagr ama de bode:
0
AV(dB)
ùC
0
10ù C 100ù C
-3
AV(dB)
ùC
10ù C 100ù C
-3
ù
-20
-20
-40
-40
Normal
ù
Diagrama de B
Diagrama de Bode
E x em pl o:
- Pr oj etar um filtr o pas s a baix a com fc = 1KHZ .
S ol u ção:
- Adotando- s e R= 10K Ù , tem-se:
fC =
1
1
1
⇒C =
=
= 16nF
2π .R.C
2π .R. f C 2π .10.1031.103
Usando o valor comercial mais próximo C=15nF, a frequência de corte sofrerá uma
pequena alteração, porém insignificante face às tolerâncias dos dispositivos, como pode ser
observado a seguir:
fC =
1
1
=
= 1,061KHz
2π .R.C 2π .10.10315.10 − 9
F i l t r o P as s a Al t as – F .P .A.
Filtros Passivos
7
Um filtr o pas s a altas (F .P.ª ) ideal tem uma cur va de r es pos ta em fr equência,
como mos tr ada na figur a abaix o.
AV
Curva de Resposta em frequência do
Filtro Passa Altas Ideal
1
0 ùc
ù
Par a fr eqüências abaix o da fr equência de cor te (ù c), o ganho é zer o, is to é, a
tens ão de s aída é nula. Par a fr eqüências acima da fr equência de cor te, o ganho é
igual a um, is to é, a tens ão de s aída é igual à tens ão de entr ada.
Por ém, na pr ática, não é pos s ível cons tr uir - s e um filtr o com um cor te tão
br us co na r es pos ta em fr equência.
F i l t r o P as s a Al t as com Ci r cu i t o R L
O cir cuito RL s ér ie, como mos tr ado na figur a baix o, funciona como um filtr o
pas s a altas , pois nas baix as fr eqüências , o indutor de s aída compor ta- s e como uma
r es is tência baix a (X L < < R), fazendo com que a tens ão s obr e ele s ej a muito
pequena.
Já, nas altas fr eqüências , o indutor compor ta- s e como uma r es is tência alta
(X L > > R), fazendo com que a tens ão de s aída s ej a muito alta.
R
L
VE
Filtro Passa Altas com Circuito RL
VS
Nes te cir cuito, a ex pr es s ão da tens ão de s aída VS (T ens ão no indutor ) em função da
tens ão de entr ada VE é dada por :
Av =
jω .L
⋅ VE
R + JωL
Av =
Vs
jϖ .L
=
V E R + JωL
Des ta for ma, o ganho de tens ão des te filtr o é:
Dividindo- s e o numer ador e o denominador por R, tem- s e:
AV =
1
 R 
1 − j

 ω .L 
A ex pr es s ão do ganho de tens ão des te filtr o pode s er apr es entada em função de
s ua fr equência de cor te:
Filtros Passivos
8
Ganho de T ens ão: A V =
1
ω 
1 − j C 
 ω 
Fr equência de Cor te: ω C =
R
L
Como podemos obs er var , o ganho de tens ão é um númer o complex o e ,
por tanto, pos s ui um módulo e fas e. As s im, o ganho de tens ão s er á r epr es entado
gener icamente por um númer o complex o na for ma AV = AV á
As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função da frequência são
dadas por:
AV =
Módulo:
1
ω
1+ ( C )2
ω
Fase:
α = arctg
ωC
ω
A partir da expressão do módulo do ganho em função da freqUência, pode-se esboçar a
curva de resposta em frequência AV x ù des te filtro, cons iderando-se que:
ω =0⇒
AV
1
0,707
ωC
→ ∞ ⇒ AV → 0
ω
ù = ù C ◊ AV =
ùC
0
ù
ω →∞⇒
1
2
= 0,707
ωC
→ 0 ⇒ Av → 1
ω
Resposta em Frequência do F.P.A. (Módulo)
A par tir da ex pr es s ão da fas e do ganho em função da fr equência, pode- s e
es boçar o gr áfico á x ù , cons iderando-se que:
ω =0⇒
á
-90°
ù = ù C ◊ á = arctg 1 = 45º
-45°
0
ωC
→ ∞ ⇒ α → 90
ω
ùC
ù
ω → ∞ ⇒ α → −0°
Resposta em frequência do F.P.A. (fase)
A cur va de r es pos ta em fr equência (Módulo) des te filtr o pode, também, s er dada
em decibel(dB ), calculando- s e o módulo do ganho de tens ão por :
AV(dB ) = 20.log AV
Filtros Passivos
9
As s im:
ω
ω = C ⇒ Av (dB) = 20. log
100
ω=
ωC
⇒ Av (dB ) = 20. log
10
1
 100ω C
1 + 
 ωC
1



 10.ω C
1 + 
 ωC
2
ω =⇒ ω C ⇒ Av (dB) = 20. log
ω = 10.ω C ⇒ Av(dB) = 20. log



≅ 20. log
2
≅ 20. log
1
= −3dB
2
1
 ω
1 +  C
 10.ω C



2
1
= −40dB
100 2
1
100
− 20dB
≅ 20. log 1 = 0dB
Pelos r es ultados obtidos , pode- s e per ceber que, cada vez que a fr equência aumenta
de um fator igual a 10, o ganho aumenta em 20dB , até chegar à fr equência de
cor te ù C.
Pode- s e então, es boçar a cur va de r es pos ta em fr equência (módulo) AV(dB ) x ù , na
forma normal e como diagrama de Bode.
AV(dB)
0
ù C/100
AV(dB)
ù C/10 ù C
10ù C
0
ù
-3
ù C/100 ù C/10
ù C 10ù C
ù
-20
-20
-40
-40
Resposta em Frequência do F.P.A. (Módulo em dB)
Ex emplo:
Dado o cir cuito a s eguir , pede- s e:
R = 10KÙ
VE
L=10mH
VS
a) Fr equência de cor te em r d/s e em Hz
ω C 10 6
R 10.10 3
6
ωC = =
=
10
rd
/
s
f
=
=
= 159,15kHz
C
L 10.10 −3
2π
2π
b) E x pr es s ão complex a do ganho
Filtros Passivos
10
Diagrama de Bode do F.P.A.
1
AV =
1− j
R
ω .L
=
1
1
=
3
10.10
10 6
1− j
1
−
j
ω
ω .10.10 −3
c) Ex pr es s ão do módulo do ganho
1
AV =
ωC 2
)
ω
1
=
2
 10 6 

1 + 
 ω 
d) A tensão de saída para VE = 5
1+ (
0°
V e ù = 1,5. ù C
Módulo do ganho:
1
1
AV =
=
= 0,83
2
ωC 2
 1 
1+ (
)
1+  
1,5ω c
 1,5 
Fase e do ganho:
ω
1
α = arctg C = arctg
= 33,7
1,5ω C
1,5
Par a ù = 1,5. ù C :
AV = 0,83
33,7°
V
Por tanto, a tens ão de s aída nes ta fr equência vale:
VS = AV VE = 0,83
33,7° . 5 0°
= 4,15
33,7° V
e) Es boçar o gr áfico do módulo do ganho em dB em função da fr equência.
AV(dB)
0
-3
10
4
10
5
10
6
10
7
ù (rd/s)
-20
-40
F i l t r o P as s a Al t as com Ci r cu i t o R C
O cir cuito RC s ér ie, como mos tr ado abaix o, funciona como um filtor pas s a
altas , pois nas baix as fr eqüências , o capacitor compor ta- s e como uma r es is tência
alta (X C> > R), fazendo com que a tens ão s obr e o r es is tor de s aída s ej a muito
pequena.
Já, nas altas fr eqüências , o capacitor compor ta- s e como uma r es is tência
baix a (XC< < R), fazendo com que a tens ão de s aída s ej a muito alta.
Filtros Passivos
11
Nes te cir cuito, a ex pr es s ão da tens ão de
s aída V S (tens ão no r es is tor ) em função
da tens ão de entr ada V E é dada por :
C
VE
VS
R
VS =
Des ta for ma, o ganho de tens ão de
entr ada V E é dada por :
Filtro Passa Altas com Circuito RC
Av =
Vs
R
=
=
VE R − JX C
R
.VE
R − jX C
R
i
jω .C
Dividindo- s e o numer ador e o denominador por R e s implificando a ex pr es s ão, tems e:
R+
AV =
1
 R 
1 − j

 ω .R.C 
A ex pr es s ão do gan h o de t en s ão des te filtr o pode s er apr es entada em f u n ção de
s u a f r equ ên ci a de cor t e:
Ganho de T ens ão: A V =
1
ω 
1 − j C 
 ω 
Fr equência de Cor te: ω C =
1
R.C
Como podemos obs er var , o ganho de tens ão é um númer o complex o e ,
por tanto, pos s ui um módulo e fas e. As s im, o ganho de tens ão s er á r epr es entado
gener icamente por um númer o complex o na for ma AV = AV á
As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função da frequência são
dadas por:
Módulo:
AV =
1
1+ (
Fase:
ωC 2
)
ω
α = arctg
ωC
ω
Como se vê, estas expressões são iguais às do filtro passa altas com circuito RL
analisado anteriormente, com a ressalva de que as frequências de corte são calculadas de
forma diferentes, pois elas dependem dos dispositivos utilizados nos filtros (RL ou RC).
Desta forma, o esboço das curvas de resposta em frequência (módulo:AV x ù e fas e: á
x ù ) des te filtro, tem o mes mo as pecto que as do filtro anterior, conforme a figura baixo:
Filtros Passivos
12
AV
á
-90°
1
0,707
-45°
0
0
ùC
ùC
ù
ù
Resposta em frequência do F.P.A. (fase)
Resposta em Frequência do F.P.A. (Módulo)
A cur va de r es pos ta em fr equência (Módulo) des te filtr o pode, também, s er dada
em decibel(dB ), calculando- s e o módulo do ganho de tens ão por :
AV(dB ) = 20.log AV
Pode- s e então, es boçar a cur va de r es pos ta em fr equência (módulo) AV(dB ) x ù , na
forma normal e como diagrama de Bode.
AV(dB)
0
ù C/100
AV(dB)
ù C/10 ù C
10ù C
0
ù
-3
ù C/100 ù C/10
ù C 10ù C
ù
-20
-20
-40
-40
Resposta em Frequência do F.P.A. (Módulo em dB)
Diagrama de Bode do F.P.A.
Ex emplo:
Pr oj etar um filtr o pas s a altas com f c = 200Hz:
C
VE
R
VS
Adotando- s e C= 0,1 uF , tem- s e:
1
1
1
fC =
⇒R=
=
= 8 KΩ
2π .R.C
2π .C. f C 2π .0,1.10 −6.200
Us ando o valor comer cial mais pr óx imo R= 8k2 Ù , a fr equência de cor te
s ofr er á uma pequena alter ação, por ém ins ignificante face às toler âncias dos
dis pos itivos , como pode s er obs er vado à s eguir :
1
1
fC =
=
= 194 Hz
2π .R.C 2π ..8,2.10 3.0,1.10 −6
Filtros Passivos
13
I n t egr ador e D i f er en ci ador
Os cir cuitos integr ador es e difer enciador es s ão muito utilizados par a ger ar
for mas de onda muito es pecíficas como a tr iangular e a impuls iva, a par tir de uma
onda quadr ada. T ais for mas de onda têm muitas aplicações na eletr ônica.
Pelo nome des tes cir cuito, ver ifica- s e que o integr ador e o difer enciador
ex ecutam eletr icamente, r es pectivamente, as funções integr al e der ivada nos s inais
de entr ada.
I n t egr ador
O integr ador é um filtr o pas s a baix as oper ando numa fr equência muito maior
que a fr equência de cor te.Des ta for ma, a função de s aída r epr es enta a integr al da
função de entr ada.
Cas o a funão de entr ada s ej a uma onda quadr ada com fr equência f> > fc, a
s aída do integr ador apr es entar á uma onda pr aticamente tr iangular , como mos tr a a
figur a abaix o.
O funcionamento é bas tante s imples .
Cons ider ando o capacitor inicialmente
des car r egado VC(0) = 0, em t = 0 é
aplicada uma tens ão pos itiva na entr ada
com amplitude VE (0) = E.
As s im, o capacitor começa a s e car r egar
com uma cons tante de tempo T < < τ
R
VE
C
VS
Circuito Integrador
V
E
0
-VE
T/
2
T
3T/
2
t
2
T
Vc
Como a fr equência da onda quadr ada é
muito maior que a fr equência de cor te do
filtr o, ou s ej a, T < < τ , antes do capacitor
s e car r egar completamente, a tens ão de
entr ada muda s eu valor par a
VE (T /2) = - E. Então, o capacitor , que s e
encontr ava com a tens ão VC(T /2)= VC,
pas s a a s e des car r egar com a mes ma
cons tante de tempo, até atingir o valor
negativo VC(T )= - VC em τ = T , e as s im
s uces s ivamente.
Como vis to anter ior mente, a car ga do
capacitor não é linear .Por tanto, quanto
-Vc
maior for a cons tante de tempo do
cir cuito em r elação ao per íodo da tens ão
Forma de Onda do Circuito
Integrador
de entr ada, mais a for ma de onda no
capacitor s e apr ox ima da onda tr iangular , pois maior é a linear idade, embor a a s ua
amplitude s ej a menor .
0
T/2
T
3T/2
2
T
t
E x em pl o:
Dado o filtr o pas s a baix as a s eguir , qual deve s er a fr equência da onda
quadr ada de entr ada par a que o cir cuito funcione como integr ador , ou s ej a, par a
que a for ma de onda no capacitor s ej a apr ox imadamente uma onda tr iangular ?
Filtros Passivos
14
S ol u ção:
1
1
fC =
=
= 226 Hz
2π .R.C 2π ..1,5.10 3.0,47.10 −6
Par a funcionar como integr ador , a
fr equência de entr ada tem de s er muito
maior que f C. Na pr ática, is to é pos s ível
cons ider ando- s e a fr equência pelo menos
10 vezes maior que a fr equência de
cor te, is to é: f ≥ 2,26kHz
R
1 k5 Ù
VE
C
0 ,4 7 u F
VS
Circuito Integrador
D i f er en ci ador
O di f er en ci ador é um filtr o pas s a altas oper ando numa fr equência muito
menor que a fr equência de cor te. Des ta for ma, a função de s aída r epr es enta a
der i vada da função de entr ada.
Cas o a função de entr ada s ej a uma onda qu adr ada com fr equência f< < f c, a
s aída do difer enciador apr es entar á uma onda pr aticamente i m pu l s i va, como
mos tr a a figur a abaix o:
Nes te cas o, o pr incípio de
funcionamento é bas eado no fato de que
o capacitor é um cur to cir cuito par a
var iações muito br us cas de tens ão, o que
ocor r e nos ins tantes em que a tens ão de
entr ada var ia de – E par a E e vice- ver s a,
fazendo com que es s as var iações
apar eçam na s aída do cir cuito, or a na
for ma de impuls os pos itivos , or a na
for ma de impuls os negativos .
C
VE
R
VS
Circuito Diferenciador
V
E
0
-VE
T/
2
T
3T/
2
t
2
T
Vc
0
-Vc
T/2
T
3T/2
2
T
t
Forma de Onda do Circuito Diferenciador
Filtros Passivos
15
A par tir des tas var iações , como a tens ão
de entr ada per manece cons tante por um
tempo T /2, ele atua como um cir cuito
aber to. S endo T > > τ , o capacitor
des car r ega- s e r apidamente, dando o
as pecto mos tr ado na figur a ao lado.
E x em pl o:
Dado o filtr o pas s a altas a s eguir , qual deve s er a fr equência da onda
quadr ada de entr ada par a que o cir cuito funcione como difer enciador ?
S ol u ção:
1
1
fC =
=
= 4,823kHz
2π .R.C 2π .3,3.10 3.10.10 −9
Par a funcionar como difer enciador , a
fr equência de entr ada tem de s er muito
menor que f C. Na pr ática, is to é pos s ível
cons ider ando- s e a fr equência pelo menos
10 vezes menor que a fr equência de
cor te, is to é: f ≤ 482,3kHz
C= 1 0 n F
R = 3 ,3 kÙ
VE
VS
Circuito Diferenciador
Ci r cu i t os R L C
Ci r cu i t os R L C S ér i e
O cir cuito RLC s ér ie é for mado por um r es is tor , um indutor e um capacitor
ligados em s ér ie como mos tr a a figur a abaix o, cuj a cor r ente foi cons ider ada,
ar bitr ar iamente, como tendo fas e inicial nula.
i
v,i
ù
R
vR
L
vL
vL
vR
C
vR
vC
vC
Circuito RLC Série
Diagrama Fasorial
Em um cir cuito RLC s ér ie, a tens ão total aplicada é a s oma vetor ial das
tens ões no r es is tor , capacitor e indutor , is to é:
v = vR + vL + vC
Com r elação ao diagr ama fas or ial, s abe- s e que:
•
•
•
A tens ão no r es is tor es tá em fas e com a cor r ente;
A tens ão no indutor es tá adiantada de 90° em r elação à cor r ente;
A tens ão no capacitor es tá atr as ada de 90° em r elação à cor r ente.
Filtros Passivos
i
16
Por tanto, as tens ões VL e VC es tão defas adas de 180° entr e s i, s endo que a
s oma vetor ial delas é a difer ença entr e s eus módulos , com fas e igual à da
tens ão de maior módulo.
Por ex emplo, cons ider ando que VL > VC, tem- s e que:
v L + v C = ( VL - VC )
90°
A figur a abaix o, mos tr a o diagr ama de tens ões obtido a par tir do diagr ama
fas or ial da figur a anter ior e o r es pectivo diagr ama de impedância, cons ider ando que
VL > VC.
vL
V
VL -VC
Z
Ö
vR
V
T
X =
(VL − VC )
I
Ö
R=
(a) Diagrama de Tensões
VR
I
(b) Diagrama de Impedâncias
Da figur a anter ior , pode- s e obter o m ódu l o da t en s ão t ot al aplicada pelo
ger ador :
V = VR2 + (VL − VC )
2
Como VL > VC. A defas agem Ö da tens ão do ger ador em r elação à cor r ente é
pos itiva, por ém menor que 90° , devido à influência do r es is tor . I s to s ignifica que a
fas e da impedância é também pos itiva, car acter izando um cir cuito indutivo, no qual
a r eatância indutiva pr edomina s obr e a capacitiva.
No cir cuito RLC s ér ie, a i m pedân ci a com pl ex a equ i val en t e do cir cuito pode
s er calculada por :
Z = R + j (X L − X C )
ou
1 

Z = R + j  ω .L −

ω .C 

O m ódu l o da i m pedân ci a equ i val en t e do cir cuito vale:
Z = R 2 + (X L − X C )
2
Filtros Passivos
ou
17
1 

Z = R 2 +  ω .L −

ω .C 

2
A f as e da i m pedân ci a equ ival en t e do cir cuito vale:
φ = arctg
(X L − X C )
1 

 ω .L −

ω .C 

φ = arctg
R
ou
R
O fator de potência do cir cuito pode s er obtido do diagr ama de impedância e vale:
FP = cos φ =
R
Z
De tudo o que foi vis to até aqui, podemos tir ar algumas conclus ões ger ais :
* Cas o XL > XC ◊
* Cas o XL < XC ◊
* Cas o XL = XC ◊
o cir cuito é indutivo (Ö> 0° );
o cir cuito é capacitivo (Ö< 0° );
o cir cuito é r es is tivo (Ö= 0° ).
Es ta última condição (X L = X C) é chamada de r es s on ân ci a.
Ci r cu i t o R es s on an t e
Um cir cuito r es s onante é aquele que apr es enta a m en or opos i ção pos s ível à
pas s agem de cor r ente elétr ica numa deter minada fr equência f o, denominada de
f r equ ên ci a de r es s on ân ci a do cir cuito.
I s to s ignifica que as fr eqüências maior es e menor es que f 0 encontr ar ão maior
opos ição por par te do cir cuito r es s onante.
A figur a abaix o mos tr a um ci r cu i t o r es s on an t e s ér i e no qual é aplicada
uma tens ão alter nada numa deter minada fr equência.
i
R
v(t)
L
C
Quando a fr equência de tens ão é tal que X L = X C,
a r eatância indutiva é anulada pela r eatância
capacitiva, j á que es tão defas adas de 180° . I s to
s ignifica que o cir cuito compor ta- s e como s e fos s e
uma r es i s t ên ci a pu r a.
A f r equ ên ci a de r es s on ân ci a f 0 , na qual es te
fenômeno ocor r e, pode s er deter minada da
s eguinte for ma:
X L = X C = ω 0 .L =
Circuito Ressonante Série
Como ω 0 = 2π . f 0 , tem- s e que:
Filtros Passivos
18
1
1
⇒ ω 02 =
⇒
ω 0 .C
L.C
ω0 =
1
L.C
f0 =
1
2π L.C
Fr equência de r es s onância do cir cuito
◊
Os gr áficos da figur a anter ior ( Z = f( ù ) e i= f(ù )) mos tr am o compor tamento
do cir cuito r es s onante s ér ie em função da fr equência.
Z
Circuito
Capacitivo
Circuito
Indutivo
IM =
V
R
R
0
ùo
ù
0
ù0
ù
(a) Gráfico da Impedância
(b) Gráfico da Corrente
Comportamento do Circuito Ressonante Série
Des ta figur a, podem- s e tir ar as s eguintes conclus ões :
* Na fr equência de r es s onância ù 0 , o cir cuito é pur amente r es is tivo e a opos ição à
cor r ente é mínima, r es ultando numa cor r en t e m áx i m a I M ;
* Abaix o da fr equência de r es s onância, a impedância é capaci t i va ( X C> X L ) e a
cor r ente es tá adiantada em r elação à tens ão aplicada;
* Acima da fr equência de r es s onância, a impedância é i n du t i va ( X L > X C) e a
cor r ente es tá atr as ada em r elação à tens ão aplicada.
L ar gu r a de F aix a ( L F ) e F at or de Qu al i dade ( Q)
Define- s e l ar gu r a de f ai x a ( L F ) ou banda de fr equência, como s endo:
LF = f CS − f ci
Onde fcs ◊ fr equência de cor te s uper ior
fci ◊ fr equência de cor te infer ior
Na fr equência de cor te, o valor da cor r ente é apr ox imadamente 70,7% da
cor r ente de r es s onância I M, como mos tr a o gr áfico abaix o:
Filtros Passivos
19
E s te valor 70,7% cor r es ponde
i
IM
a
IM
, ou a uma queda de 3dB
2
na cor r ente máx ima.
A lar gur a de faix a depende da
qualidade da bobina. Uma bobina
ideal tem r es is tência ôhmica nula,
por ém, na pr ática, o fio da bobina
pos s ui r es is tência.
O fator de qualidade QL de
uma bobina é definido como s endo:
V
=
R
0,707.IM
fci
0
fo
f
fcs
QL =
Largura de Faixa do Circuito Ressonante
X Lo
RB
X LO = 2π . f o .L ◊ r eatância da bobina na fr equência de r es s onância
R B ◊ r es is tência ôhmica da bobina
Onde:
O f at or de qu al i dade Q do cir cuito é dado por :
Q=
Onde:
X Lo
RT
R T ◊ r es is tência ôhmica total do cir cuito
A lar gur a de faix a do cir cuito es tá r elacionada com o fator de qualidade atr avés da
ex pr es s ão:
LF =
fo
Q
Por tanto, quanto maior é a qualidade da bobina, menor é a lar gur a da faix a
ou mais aguda é a cur va i= f( ù ), is to é, melhor é o cir cuito r es s onante, pois ele s e
tor na mais s eletivo, como mos tr a a figur a abaix o:
V
IM =
R
i
0,707.IM
Q2
Q1 > Q2
0
f0
f
LF1
LF2
Filtros Passivos
20
Qualidade do Circuito Ressonante
E x em pl o:
1) E m um Cir cuito RLC s ér ie, tem- s e: R= 100 Ù , L= 1mH e C= 0,1uF. S e a tens ão do
ger ador é 10 0° V, pedem- s e:
a) Fr equência de r es s onância do cir cuito
S olução:
1
1
fo =
=
= 15,915kHz
2π L.C 2π 10 −3.10 − 7
b) A cor r ente for necida pelo ger ador na fr equência de r es s onância.
S olução:
- Na r es s onância, o cir cuito é s omente r es is tivo, por tanto:
Z = R= 100Ù
I=
V
10
=
= 100mA
Z 100
c) O ângulo de defas agem entr e tens ão do ger ador e cor r ente na r es s onância.
S olução:
- Na r es s onância, o cir cuito é s omente r es is tivo e, por tanto, o ângulo de
defas agem é zer o ( Ö = 0).
d) A cor r ente e defas agem s e f = 20k Hz
S olução:
X L = 2 ð.f.L = 2 ð.20.10 3 .10 - 3 = 125,7 Ù
XC =
1
1
=
= 79,6Ω
2π . f .L 2π .20.103.10− 7
Z = R + jω .L − j
1
= 100 + j125,7 − j 79,6 ⇒ z = 100 + j 46,1Ω = 110∠24,7 Ω
ω .C
v
10∠0
=
= 90,9∠ − 24,7 mA
Z 110∠24,7
Por tanto:
i=
Como X L > X C, nes ta fr equência o cir cuito é indutivo (20kHz > fo).
e) Cor r ente e defas agem s e f = 10kHz
S olução:
X L = 2 ð.f.L = 2 ð.10.10 3 .10 - 3 = 62,8 Ù
Filtros Passivos
XC =
21
1
1
=
= 159,2Ω
2π . f .C 2π .10.103.10 − 7
Z = R + jω .L − j
1
= 100 + j 62,8 − j159,2 ⇒ Z = 100 − j 96,4Ω = 138,9∠ − 43,9 mA
ω .C
v
10∠0
i= =
= 72,3∠43,9 mA
Z 138,4∠ − 43,9
Por tanto:
Como X C > X L , nes ta fr equência o cir cuito é capacitivo (10kHz < f o).
2- Em um cir cuito RLC s ér ie, tem- s e: VR = 6V; VC = 20V; VL = 12V e
i = 10 0° mA. Pede- s e:
a) A impedância complex a:
S olução:
R=
VR
6
=
= 600Ω
I
10.10 −3
XC =
VC
20
=
= 2kΩ
I
10.10 −3
Z = R + jω .L − j
XL =
VL
12
=
= 1,2kΩ
I
10.10 − 3
∴ X C = − j 2kΩ
1
= 0,6 + j1,2 − j 2 = 0,6 − j 0,8kΩ = 1∠ − 53o kΩ
ω .C
b) T ens ão aplicada no cir cuito
S olução:
v = Z .i = 1∠ − 53 .10∠0 = 10∠ − 53 V
c) Diagr ama Fas or ial
v,i
VL(12V)
VR(6V)
VC-VL(8V)
I (10mA)
V(10V)
ù
VC(20V)
Filtros Passivos
22
∴ X L = j1,2kΩ
3- Dado o cir cuito r es s onante a s eguir , pedem- s e:
R=10Ù
a) Fr equência de r es s onância
S olução:
L=100uH
1
1
=
= 212,68kHz
2π L.C 2π 100.10 − 6.5,6.10− 9
fo =
v
RB = 8Ù
b) F ator de qualidade da bobina
S olução:
C = 5,6nF
X Lo = 2 ð.212,68.10 3 .100.10 - 6 = 133,63 Ù
QL =
X Lo 133,63
=
= 16,7
RB
8
c) F ator de qualidade do cir cuito
i
S olução:
Q=
X Lo 133,63
=
= 7,42
RT
10 + 8
IM
0,707.IM
d) Lar gur a de faix a do cir cuito
S olução:
LF =
fo
= 212,68.103 = 28,66kHz
Q
0
198,35
212,68
227,01
F(kHz)
LF = 28,66kHz
e) Valor de R par a que a lar gur a de faix a s ej a 10% da fr equência de r es s onância
LF =
fo
212,68.10 3
⇒ 21,268.10 3 =
⇒ Q = 10
Q
Q
Ci r cu i t o R L C P ar al el o
Filtros Passivos
23
Q=
X Lo
133,63
⇒ 10 =
⇒ R = 5,363Ω
R + RB
R +8
O cir cuito RLC par alelo é for mado por um r es is tor , um indutor e um capacitor
ligados em par alelo, como mos tr a a figur a abaix o, cuj a tens ão foi cons ider ada,
ar bitr ar iamente, como tendo fas e inicial nula.
i
iR
v
iL
R
L
C
Circuito
RLC
Paralelo
Em um cir cuito RLC par alelo, a
cor r ente total for necida pelo ger ador é a
s oma vetor ial das cor r entes no r es is tor ,
capacitor e indutor , is to é:
v,i
ù
iC
iR
IC
i = iR + iL + iC
v
Com r elação ao diagr ama fas or ial,
s abe- s e que:
* A cor r ente no r es is tor es tá em fas e
com tens ão;
iL
(b) Diagrama Fasorial
* A cor r ente no indutor es tá atr as ada de 90° em r elação à tens ão;
* A cor r ente no capacitor es tá adiantada de 90° em r elação à tens ão.
Por tanto, as cor r entes i L e i C es tão defas adas de 180° entr e s i, s endo que a
s oma vetor ial delas é a difer ença entr e s eus módulos , com fas e igual à da cor r ente
de maior módulo.
Por ex emplo, cons ider ando que I C > I L , tem- s e que:
i C + i L = (I C- I L ) 90°
A figur a abaix o mos tr a o diagr ama de cor r entes obtido a par tir do diagr ama
fas or ial da figur a anter ior e o r es pectivo diagr ama de impedância, cons ider ando que
I C > I L.
Filtros Passivos
24
v,i
iC
1 1
=
Z V
ù
i
(IC - IL)
1 (I L − I C )
=
X
V
Ô
Ô
v
iR
1 IR
=
R V
iL
(a) Diagrama de Correntes
(b) Diagrama de Impedâncias
Correntes e Impedância no Circuito RLC Paralelo
Da figur a (a), pode- s e obter o m ódu l o da cor r en t e t ot al for necida pelo
ger ador :
I = I R2 + (I C − I L )
2
Como I C > I L , a defas agem Ô da cor r ente em r elação à tens ão é pos itiva,
por ém menor que 90° , devido à influência do r es is tor . I s to s ignifica que a fas e da
impedância é negativa, car acter izando um cir cuito capacitivo, no qual a r eatância
capacitiva pr edomina s obr e a indutiva.
No cir cuito RLC par alelo, a impedância complex a equivalente do cir cuito pode
s er calculada por :
1 1
1
1
= +
+
Z R jX L − jX C
Des envolvendo- s e es ta ex pr es s ão, obtém- s e a i m pedân ci a com pl ex a:
Z=
R. X L . X C
X L . X C + jR.(X L − X C )
Z=
ou
ω .R.L
ω .L + jR (ω 2 .L.C − 1)
O m ódu l o da i m pedân ci a equ i val en t e do cir cuito vale:
Z=
R. X L . X C
φ = −arctg
ou
(X L − X C )2 + R 2 .( X L − X C )2
(
)
R. ω 2 .L.C − 1
ω .L
O f at or de pot ên ci a do cir cuito pode s er obtido do diagr ama de impedância
da figur a (b), e vale:
FP = cos φ =
Filtros Passivos
1
1
R⇒
Z
FP =
25
Z
R
Nes te cas o, as conclus ões que podem s er tir adas s ão as s eguintes :
•
•
•
Cas o X L > X C ◊
Cas o X L < X C ◊
Cas o X L = X C ◊
o cir cuito é capacitivo ( Ô < 0° );
o cir cuito é indutivo ( Ô > 0° );
o cir cuito é r es is tivo ( Ô = 0° ).
Es ta última condição também cor r es ponde à r es s on ân ci a do cir cuito.
Par a o cir cuito RLC par alelo valem também as ex pr es s ões da fr equência de
r es s onância ( ù o ou f o), is to é:
ωo =
1
L.C
fo =
ou
1
2π L.C
Mas nes te cas o, como os dis pos itivos es tão em par alelo, os gr áficos da
impedância e da cor r ente (Z = f(ù ) e i= f(ù )) s ão como mos tr a a figur a abaix o:
Z
Circuito
Indutivo
Circuito
Capacitivo
i
R
Im =
V
R
ù
ùo
(a) Gráfico da Impedância
ùo
(b) Gráfico da Corrente
ù
Comportamento do Circuito Ressonante Paralelo
Des ta figur a, podem- s e tir ar as s eguintes conclus ões :
•
Na fr equência de r es s onância ù o, o cir cuito é pur amente r es is tivo e a
opos ição à cor r ente é máx ima, r es ultando numa cor r ente mínima I m;
•
Abaix o da fr equência de r es s onância, a impedância é i n du t i va ( X C > X L ) ;
•
Acima da fr equência de r es s onância, a impedância é capaci t i va ( X L > X C) .
E x em pl o:
1- Dado o cir cuito a s eguir , pedem- s e:
Filtros Passivos
26
i
R
1kÙ
v = 20∠0oV
XL
200Ù
IR
XC
500Ù
iL
IC
a) Cor r ente complex a em cada componente e cor r ente total
S olução:
iR =
v 20∠0°
=
= 20∠0° = 20mA
R
10 3
iL =
v
20∠0°
=
= 100∠90° = − j100mA
X L 200∠90°
iC =
v
20∠0°
=
= 40∠90° = j 40mA
X C 500∠ − 90°
i = i R + iC + i L = 20 + j 40 + − j100 = 20 − j 60 = 63,25∠ − 71,6°mA
b) I mpedância complex a
S olução:
Z=
v
20∠0°
=
= 316,2∠71,6°Ω
i 63,25.10 −3 ∠ − 71,6°
c) Diagr ama Fas or ial
S olução:
v,i
IC(40mA)
IR(20mA)
71,6°
IL-IC
(60mA)
V(20V)
i (63,25mA)
ù
IL(100mA)
Filtros Passivos
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Filtros Passivos
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