Cap. 8 – Distribuições contínuas e modelo normal

Estatística Aplicada às Ciências Sociais
Sexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 8 – Distribuições contínuas
e modelo normal
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Variável aleatória
variável
aleatória
discreta
contínua
os possíveis resultados estão
contidos em um conjunto
finito ou enumerável
os possíveis resultados
abrangem todo um intervalo
de números reais
Ex.
Ex.
0
1
2
3
4
Número de filhos
...
0
Altura de um indivíduo
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Exemplo (com variável discreta)
• Um jogo de azar é realizado da
seguinte forma: toma-se um círculo e
divide-se-o em quatro partes iguais, 1
a 4. Sobre o centro do círculo, é
fixado um ponteiro, o qual é girado e
anota-se o número do setor onde a
ponta do ponteiro parou.
0
2 0
3
1
4
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Distribuição de probabilidades
p(x)
0,25
x
p(x)
1
0,25
2
0,25
3
0,25
4
0,25
Total
1
0,25 0,25 0,25 0,25
0
1
2
3
4
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x
Exemplo 8.1: com variável aleatória
contínua
• Sobre o centro de um círculo, é fixado um ponteiro, o qual é
girado. Anota-se o ângulo formado pelo ponteiro com o eixo
horizontal, como na figura a seguir.
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Exemplo 8.1
α
• Construir a
distribuição de
probabilidades para o
ângulo (α) obtido
neste experimento.
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Exemplo 8.1
X = variável aleatória que
indica o ângulo formado
f(x)
1
360
Área = 1
0o
360o
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x
Exemplo 8.1
• Qual é a probabilidade de se obter um ângulo entre
30o e 60o?
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Exemplo 8.1
f(x)
1
360
P(30o < X < 60o)
= área = 0,0833
0o
30o 60o
360o
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x
Exemplo 8.2
• Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade,
um estudante do sexo masculino. Seja X a sua altura,
em centímetros.
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Exemplo 8.2
f(x)
130
140
150
160
170
180
190
200
210
x
altura (em cm.)
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Distribuição normal
f(x)
área total = 1
σ
σ
µ -σ
µ
µ+σ
x
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Exemplo 8.2
Representar:
• o evento: “o estudante selecionado ter 180 cm
ou mais” (X ≥ 180) e
• a probabilidade deste evento: P(X ≥ 180)
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Exemplo 8.2
f(x)
P(X ≥ 180)
130
140
150
160
170
180
altura (em cm.)
190
200
210
x
X ≥ 180
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Distribuição normal
• Identificada pela
média (µ) e pelo
desvio padrão (σ) .
σ
µ
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x
Média e Desvio Padrão
Mesmo σ e diferentes µ
µ1
µ2
x
(µ2 > µ1)
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Média e Desvio Padrão
Mesmo µ e diferentes σ
σ1
(σ2 > σ 1)
σ2
µ
x
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Distribuição normal
• Simetria em relação à média.
50%
Áreas iguais
µ
x
µ
µ−a
a
µ+a
x
a
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Valor padronizado
x-µ
z=
σ
σ
µ
x
x
• O valor z (valor padronizado) é uma medida relativa.
Mede o quanto x se afasta da média (µ), em unidade
de desvio padrão (σ).
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Exemplo 8.2
• Se a altura de um indivíduo for x = 190 cm, então qual
é o escore padronizado z correspondente?
x − µ 190−170
z=
=
=2
σ
10
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Exemplo 8.2
µ = 170
σ = 10
170
0
180 190
2
x
z
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Exemplo 8.2
µ = 170
σ = 10
σ
140 150 160 170
-3
-2
-1
0
180 190 200
1
2
3
x
z
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Distribuição normal
área = 68,3%
µ-σ
-1
µ µ+σ
0
1
x
z
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Distribuição normal
área = 95,4%
µ-2σ
-2
µ
0
µ+2σ
2
x
z
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Distribuição normal
área = 99,7%
µ-3σ
-3
µ
0
µ+3σ
3
x
z
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Distribuição normal padrão
Distribuição de X:
normal com µ = 170 e σ = 10
Distribuição de Z:
normal padrão
P(X > 180) = P(Z > 1)
x − µ 180−170
z=
=
=1
σ
10
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Tabela da distribuição normal padrão
Ex. Qual é a área acima de z = 0,21?
segunda decimal de z
z
0
0,0
0,1
0,2
...
1
2
...
9
(pela tabela)
0,4168
(área na cauda
superior )
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Exercício: uso da tabela
Com base na tabela da normal padronizada, calcular:
a) P(Z > 1)
0,1587 (tabela)
0
+1
z
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Exercício
Com base na tabela da normal padronizada, calcular:
b) P(Z > 1,23)
0,1093 (tabela)
0
1,23
z
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Exercício
c) P(-2 < Z < 2)
0,0228 (tabela)
-2 0 2
z
P(-2 < Z < 2) = 1 - 2.(0,0228) = 0,9544
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Exercício
• Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um
estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura,
em centímetros. Admitindo que nesta universidade os
estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão
de 10 cm, qual a probabilidade do estudante sorteado ter
altura superior a 185 cm?
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Resposta
• x = 185 cm
(µ
= 170, σ = 10)
z=?
x − µ 185 − 170
z=
=
= 1,5
σ
10
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Resposta:
P(X > 185) = P(Z > 1,5) =
0,0668 (tabela)
0
1,5
z
Então, P(X > 185) = P(Z > 1,5) = 0,0668
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Aproximação da binomial pela normal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
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Aproximação da binomial
pela normal
• Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande,
a distribuição binomial pode ser aproximada por uma
distribuição normal com:
– média
µ = nπ
– desvio padrão:
σ=
nπ (1 - π )
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Distribuições binomiais para diferentes valores de n e π.
n=2
π = 0,5
n=2
π = 0,2
p(x )
0,5
p(x )
0,7
0,6
0,4
0,5
0,3
0,4
0,2
0,3
0,2
0,1
0,1
0
0
1
2
x
0
0
1
2
x
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Distribuições binomiais para diferentes valores de n e π.
n = 10
π = 0,5
n = 10
π = 0,2
p(x )
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0
1
p(x )
0,3
2
3
4
5
6
7
8
9 10
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
x
Distribuições binomiais para diferentes valores de n e π.
n = 50
π = 0,5
n = 50
π = 0,2
p(x )
p(x )
0,15
0,1
0,1
0,05
0,05
0
5
15
25
35
45
x
0
0
10
20
30
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x
Distribuições binomiais para diferentes valores de n e π.
π = 0,5
n=2
π = 0,2
p(x )
0,5
0,6
0,4
0,5
0,3
0,4
0,2
0,3
0,1
0,2
0,1
0
0
n = 10
1
2
0
x
0
p(x )
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1
2
x
p(x )
0,3
0
n = 50
p(x )
0,7
0
x
0
p(x )
1
3
4
5
6
7
8
9 10
x
p(x )
0,15
0,1
2
0,1
0,05
0,05
0
5
15
25
35
45
x
0
0
10
20
30
x
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Aproximação da binomial pela normal
• Em geral, a distribuição binomial pode ser aproximada
por uma normal quando:
¾ nπ ≥ 5 e
¾ n(1-π) ≥ 5
• Nesse caso,
µ = nπ
σ=
nπ (1 - π )
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Exemplo 8.9
• Seja Y o número de caras em 10 lançamentos de uma
moeda perfeitamente equilibrada.
– Então, Y é binomial com n = 10 e π = 0,5.
• Calcular a probabilidade de ocorrer exatamente 4 caras.
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Cálculo pela normal e pela binomial
P (Y = 4 ) = 0 ,2 0 5 1
p ela b in om ia l
(T a b ela 2 )
f(x)
P (3 ,5 < X < 4 ,5 ) =
á rea sob a cu rva
d e u m a n o rm a l
0 ,2
0 ,1
0
0
1
2
3
3 ,5
4
5
6
7
8
9
10
x
4 ,5
Exercício: fazer o cálculo pela normal (ver solução no livro)
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Exemplo
• Em dez lançamentos de uma moeda “honesta”, qual é a
probabilidade de ocorrer mais de 6 caras?
• Pela binomial:
• P(Y > 6) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10)
= 0,117 + 0,044 + 0,010 + 0,001
= 0,172
• E pela normal?
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Exemplo
0,246
0,205
P(Y > 6) = 0,172
0,205
0,117
0,117
0,044
0,001 0,01
-1
0
1
2
0,044
0,01 0,001
3
4
5
6
7
8
9
10
Observe que em termos de área devemos considerar
acima de 6,5 (correção de continuidade)
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11
Exemplo
P(X>6,5)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
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Exemplo
P(X>6,5)
5
6,5
x
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Exemplo
µ=5
σ = 1,581139
x = 6,5
x-µ
z=
σ
=
6,5 - 5
1,581139
= 0,95
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Exemplo
0,1711
0
0,95
z
Lembrando:
a probab. exata
(pela binomial)
é de 0,1720
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