MargaridadeJesusSilvaRaposoDias - Repositório da Universidade

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Agradecimentos
Agradeço profundamente à Professora Doutora Manuela Sobral, minha
orientadora, pela disponibilidade, dedicação, conselhos e palavras de incentivo
que sempre teve para comigo durante o desenvolvimento deste trabalho.
Ao Professor Doutor George Janelidze, pelo tempo disponibilizado e pelas
valiosas sugestões.
À minha família, pelo apoio e afecto que sempre me transmitem.
Aos meus colegas e amigos, por me terem ajudado a ultrapassar alguns
obstáculos.
Ao Departamento de Matemática da Universidade dos Açores, agradeço as
condições disponibilizadas para a realização deste trabalho.
Ao Centro de Matemática da Universidade de Coimbra, agradeço o apoio
concedido.
Ao júri, presidido pelo Senhor Vice-Reitor, Doutor Jorge Manuel Rosa de
Medeiros (por delegação do Reitor), e aos vogais, Doutora Maria Manuela Oliveira de Sousa Antunes Sobral, professora catedrática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra; Doutor Jorge Manuel Senos
da Fonseca Picado, professor associado da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra; Doutora Júlia Maria Antunes Loureiro Vaz
iii
iv
de Carvalho, professora associada da Faculdade de Ciências e Tecnologia da
Universidade Nova de Lisboa; Doutora Helena de Fátima Sousa Melo, professora auxiliar da Universidade dos Açores; e Doutora Maria Isabel de Oliveira
Marques Ribeiro, professora auxiliar da Universidade dos Açores, agradeço as
críticas e sugestões feitas a esta dissertação.
Resumo
A inclusão E : CHausOrd → CHausP reord é plena, e a categoria P sp
dos espaços de Priestley é também uma subcategoria plena de CHausOrd, o
que nos permite obter a reflexão CHausOrd → P sp por composição de E com
a composição das reflexões CHausP reord → StoneP reord, StoneP reord →
P P reord e P P reord → P sp, que são aqui estudadas com pormenor. Estabelecemos semelhanças e diferenças entre a reflexão CHausOrd → P sp e a reflexão correspondente para as ordens triviais, CHaus → Stone, nomeadamente
o facto de a primeira não ser nem regular epireflectiva nem admissível.
Caracterizamos os morfismos de descida na categoria P P reord dos espaços de Stone pré-ordenados que são totalmente desconexos em relação à préordem, e em P sp. Provamos que um morfismo de P sp é morfismo de descida efectiva nessa categoria se e só se for morfismo de descida efectiva em
P P reord.
A categoria dos espaços de Priestley surge na equivalência induzida por
uma adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1 . Ela é também uma subcategoria de
T opP reord cujos objectos são limite de determinados espaços pré-ordenados
finitos e discretos.
A reflexão E−completamente regular ordenado → E−compacto ordenado,
quando E é o espaço ordenado discreto 2 = {0 < 1}, dá-nos uma terceira forma
de obter espaços de Priestley: a categoria dos espaços 2-compactos ordenados
é exactamente P sp.
v
Abstract
The full inclusion functor E : CHausOrd → ChausP reord and the fact that
the category P sp is also a full subcategory of CHausOrd gives us the reflection CHausOrd → P sp through the composition of E with the composition of
the reflections CHausP reord → StoneP reord, StoneP reord → P P reord, and
P P reord → P sp, which are described here in detail. We state similarities
and differences between the reflection CHausOrd → P sp and the corresponding reflection for the trivial orders, CHaus → Stone, namely that the former
reflection is not regular epireflective and not admissible.
We characterize the descent morphisms in the categories P P reord of preordered Stone spaces which are totally disconnected with respect to the preorder, and in P sp. We prove that a morphism in P sp is an effective descent
morphism in this category if and only if it is an effective descent morphism in
P P reord.
The induced equivalence by the dual adjunction between T opOrd and Ret0,1
lead us to the category of Priestley spaces. This category is also a subcategory of T opP reord whose objects are limits of suitable finite discrete preordered spaces, the category of limits of all such preordered spaces being exactly
P P reord.
The reflection E−ordered completely regular → E−ordered compact, when
E is the ordered discrete space 2 = {0 < 1}, gives us another way to obtain
Priestley spaces: the category of 2-ordered compact spaces is exactly P sp.
vii
Conteúdo
Introdução
1
1 Preliminares
5
1.1 Adjunções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2 Admissibilidade e unidades estáveis . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3 Monacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4 Sistemas de factorização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5 Relações binárias internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.6 Espaços de Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.7 Espaços topológicos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.8 Espaços de Priestley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2 Adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1
2.1 Adjunção entre T opOrd e
3
Retop
0,1
27
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2 Dualidade de Priestley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.3 Reflexão de CHausOrd em P sp . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Reflexão de CHausOrd em P sp
41
3.1 A Reflexão CHaus → Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2 A Reflexão de CHausP reord em
StoneP reord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.3 A Reflexão de StoneP reord em P P reord . . . . . . . . . . . .
55
3.4 A Reflexão de P P reord em P sp . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.5 A Reflexão de CHausOrd em P sp . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
ix
x
Conteúdo
4 Morfismos de descida efectiva em P sp
67
4.1 Descida e descida efectiva numa categoria . . . . . . . . . . . . .
67
4.2 Morfismos de descida efectiva em P P reord . . . . . . . . . . . .
72
4.3 Morfismos de descida efectiva em P sp . . . . . . . . . . . . . . .
77
5 Um sistema de factorização reflectivo
5.1 Factorizações reflectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
81
5.2 Factorização reflectiva definida por
I a H : P sp → P P reord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Uma terceira forma de obter espaços de Priestley
82
87
6.1 Compactificações de espaços topológicos . . . . . . . . . . . . . .
87
6.2 Compactificação de espaços topológicos ordenados . . . . . . . .
91
Considerações finais
95
Bibliografia
97
Índice de categorias
101
Introdução
A Dualidade de Priestley pode ser descrita como a equivalência induzida,
num sentido que tornaremos preciso mais adiante, por uma adjunção entre
a categoria dos espaços topológicos ordenados T opOrd e a categoria dual da
dos reticulados limitados Ret0,1 . De forma análoga, a Dualidade de Stone é
a equivalência induzida pela adjunção correspondente para as ordens triviais, isto é, a adjunção entre a categoria T op dos espaços topológicos e Ret0,1 .
No segundo caso, a adjunção e a equivalência dual determinam a reflexão da
categoria CHaus dos espaços compactos de Hausdorff na categoria Stone dos
espaços de Stone, também chamados espaços profinitos. No primeiro caso,
pelo mesmo processo, obtém-se a reflexão de CHausOrd na categoria P sp dos
espaços de Priestley.
A reflexão de CHaus em Stone bem como as propriedades das categorias
envolvidas, nomeadamente a existência de um sistema de factorização reflectivo por ela induzido em CHaus bem como do sistema que dele advém por
localização/estabilização, é um exemplo importante de reflexão onde o processo referido conduz à factorização monótona-leve, que é apresentado com
pormenor em [CJKP97] por Carboni, Janelidze, Kelly e Paré.
O estudo da reflexão correspondente da categoria CHausOrd em P sp foi o
tema proposto por M. Sobral e G. Janelidze e ponto de partida deste trabalho.
Uma generalização crucial consistiu na substituição de ordem por pré-ordem.
As novas categorias CHausP reord e P P reord permitiram-nos analisar semelhanças e diferenças entre as reflexões referidas e os contextos em que elas
são definidas.
Nas primeiras secções do Capítulo 1 apresentamos conceitos e resultados
gerais utilizados em todo o trabalho. A secção 7 contém um estudo pormeno-
1
2
Introdução
rizado de aspectos dos espaços topológicos ordenados (pré-ordenados), importantes no desenvolvimento deste trabalho. O teorema final, que generaliza
os resultados anteriores, é relativo a espaços de uma subcategoria plena C de
T op equipados com uma ordem (pré-ordem), COrd (CP reord). Razões para a
passagem de Ord a P reord são evidentes em 1.7.2, 1.7.3 e 1.7.4.
Na secção 8 estudam-se as categorias P sp dos espaços de Priestley e a
categoria P P reord dos espaços de Stone pré-ordenados que são totalmente
desconexos em relação à pré-ordem. Tal como Stone é a subcategoria plena de
T op dos espaços limites de espaços finitos e discretos([BJ90]) provamos que
P P reord é constituída pelos espaços que são limite de espaços finitos discretos
e pré-ordenados. Daí se deduz, em 1.8.8, que os espaços de Priestley são limite
de determinados espaços finitos discretos e pré-ordenados.
No Capítulo 2 a adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1 é estudada em 2.1.
Em 2.2 mostramos que a equivalência induzida é a Dualidade de Priestley.
Através da adjunção e da dualidade obtém-se a reflexão CHausOrd → P sp.
O Capítulo 3 é dedicado ao estudo da reflexão CHausOrd → P sp. Nele
começamos por analisar o caso das ordens triviais CHaus → Stone. Mostramos que ela também pode ser obtida através da adjunção correspondente
entre T op e Ret0,1 e da dualidade de Stone. Diferenças e semelhanças são
referidas, nomeadamente o facto de não ser nem regular epireflectiva nem
admissível. As reflexões CHausP reord → StoneP reord e StoneP reord →
P P reord são estudas nas secções 3.2 e 3.3, respectivamente. Mostramos que
elas não são admissíveis e apresentamos, para a primeira, uma classe de
morfismos para a qual ela é admissível. Na secção 3.4 provamos que a reflexão P P reord → P sp tem unidades estáveis. Finalmente, como a inclusão
E : CHausOrd → CHausP reord é plena e a categoria P sp é também uma
subcategoria plena de CHausOrd, obtém-se a reflexão CHausOrd → P sp por
composição de E com a composição das reflexões atrás mencionadas.
No Capítulo 4 caracterizamos morfismos de descida em P P reord e P sp
e provamos que um morfismo de P sp é morfismo de descida efectiva nessa
categoria se e só se for morfismo de descida efectiva em P P reord.
No Capítulo 5 descrevemos o sistema de factorização reflectivo induzido
3
em P P reord pela reflexão P P reord → P sp, tendo como base o estudo do sistema de factorização reflectivo induzido em P reord pela reflexão P reord →
Ord, realizado por Xarez em [Xar03].
No último capítulo começamos por estudar "E-compactificações" para um
espaço E de Hausdorff. Na terminologia introduzida por Engelking e Mrówka
([EM58]) definem-se as subcategorias plenas de T op:
E-completamente regular dos subespaços de produtos de cópias de E
e
E − compacto dos subespaços fechados de tais produtos.
Temos então a reflexão E-completamente regular→ E-compacto, a "Ecompactificação". Se E é o espaço discreto 2 = {0, 1}, elas são as categorias dos
espaços zero-dimensionais e dos espaços de Stone, respectivamente. Também
aqui P sp substitui Stone quando consideramos o espaço ordenado discreto
2 = {0 < 1}: a categoria dos espaços 2-compactos ordenados é exactamente
P sp.
1
Preliminares
Neste capítulo apresentamos conceitos e resultados gerais que são utilizados ao longo de todo o trabalho. Nomeadamente são referidos a noção e as
propriedades da adjunção, admissibilidade em estruturas de Galois, sistemas
de pré-factorização e de factorização, monacidade, relações binárias internas,
e resultados sobre espaços de Stone. Espaços topológicos ordenados e espaços
de Priestley são estudados com pormenor nas duas últimas secções. Terminamos este capítulo apresentando uma forma de construir espaços de Priestley
através de determinados espaços pré-ordenados finitos.
1.1 Adjunções
Dadas duas categorias e functores F : X → A, G : A → X, temos uma
adjunção se existe uma função ϕ que a cada par de objectos X ∈ X, A ∈ A faz
corresponder uma função bijectiva
ϕ = ϕX,A : A(F X, A) ∼
= X(X, GA)
natural em X e em A.
Esta noção, usada ao longo de todo este trabalho, é muito importante e
pode ser definida de várias formas ([Mac97], IV.1). Na proposição que se segue
referimos as formas que são utilizadas neste trabalho.
5
6
Preliminares
Proposição 1.1.1 Uma adjunção < F, G, ϕ >: X * A fica completamente
determinada por qualquer um dos items da seguinte lista:
(i) O functor G : A → X e para cada X ∈ X um objecto F0 X ∈ A e o morfismo
universal ηX : X → GF0 X de X para G. Então o functor F tem função
objecto F0 e é definido nos morfismos h : X → X 0 por GF h ◦ ηX = ηX 0 ◦ h.
(ii) Functores F , G e transformações naturais η : IX → GF e ² : F G → IA tais
que G² ◦ ηG = IG e ²F ◦ F η = IF . A adjunção < F, G, ϕ >: X * A é, nesse
caso, denotada por < F, G, η, ² >: X * A.
Numa adjunção < F, G, η, ² >: X * A, o functor F diz-se adjunto à esquerda de G e G adjunto à direita de F . Frequentemente são usadas outras
notações tais como F a G : A → X, F a G(η, ²) e
F
X
.....................................................................
⊥
.....................................................................
G
A
sendo η a unidade e ² a counidade da adjunção.
Proposição 1.1.2 Se os functores G : A → B e G0 : B → C têm adjuntos à
esquerda F e F 0 , respectivamente, então F F 0 é adjunto à esquerda de G0 G.
Dada uma subcategoria A de uma categoria B, as funções imersão, que
a cada objecto e a cada morfismo de A fazem corresponder os próprios em B,
definem um functor E : A → B, o functor inclusão.
Ao longo da tese as subcategorias consideradas são subcategorias plenas e
repletas, isto é o respectivo functor inclusão é pleno e são subcategorias fechadas para isomorfismos.
Uma subcategoria A de B diz-se reflectiva em B quando o functor inclusão
E : A → B tem adjunto esquerdo R : B → A. O functor R é chamado functor
reflector e a adjunção < R, E, η, ² >: B * A diz-se a reflexão de B em A. Em
particular, a reflexão diz-se epireflectiva (regular epireflectiva) quando as componentes da unidade da adjunção são epimorfismos (epimorfismos regulares,
isto é, morfismos que são co-igualizadores de algum par de morfismos).
Toda a subcategoria plena e repleta X de uma categoria C é fechada para
limites ([Mac97]). Relativamente a colimites, todo o diagrama em X que tem
1.1 Adjunções
7
colimite em C tem também, por reflexão, colimite em X tal como indicamos
seguidamente para co-igualizadores.
Proposição 1.1.3 Seja C uma categoria com co-igualizadores. Dada uma
subcategoria plena, repleta e reflectiva X de C e (f, g) : X → X 0 um par de
morfismos em X, o morfismo rQ ◦ q, com q : X 0 → Q co-igualizador do par (f, g)
em C e rQ a componente da unidade da reflexão associada a Q, é co-igualizador
do par de morfismos (f, g) em X.
Demonstração: Seja q : X 0 → Q o co-igualizador em C do par de morfismos
(f, g), consideremos o seguinte diagrama
X
f
.................................................
.................................................
g
q
.
X 0 ............................................... Q
rQ
.......................................
R(Q),
como q ◦ f = q ◦ g, também (rQ ◦ q) ◦ f = (rQ ◦ q) ◦ g e rQ ◦ q ∈ X. Seja h : X 0 → X 00
um morfismo em X tal que h ◦ f = h ◦ g. Como q é co-igualizador do par
(f, g) em C, então existe um único morfismo h0 : Q → X 00 tal que h0 ◦ q = h.
Mas rQ é componente da unidade da reflexão, logo existe um único morfismo
h00 : R(Q) → X 00 em X tal que h00 ◦ rQ = h0 . Portanto h00 ◦ (rQ ◦ q) = h e é o único
morfismo que satisfaz esta igualdade. Supondo que existe l : R(Q) → X 00 tal
que l ◦ (rQ ◦ q) = h, então l ◦ rQ = h00 ◦ rQ = h0 , porque q é epimorfismo e l = h00
pela unicidade de h00 . Portanto rQ ◦ q é co-igualizador do par (f, g) em X.
¤
Uma adjunção < F, G, η, ² >: X * A é uma equivalência se a unidade
η : IX → GF e a co-unidade ² : F G → IA são isomorfismos naturais. Duas
categorias dizem-se equivalentes se existe uma tal adjunção ([Mac97], IV.4).
Proposição 1.1.4 Toda a adjunção < F, G, η, ² >: A * B induz uma equivalência < F1 , G1 , η 0 , ²0 >: A1 * B1 entre A1 e B1 que são as subcategorias plenas
de A e B definidas por:
(i) X ∈ A1 se e só se ηX é um isomorfismo em A.
(ii) Y ∈ B1 se e só se ²Y é um isomorfismo em B.
que são também subcategorias repletas.
8
Preliminares
Demonstração: Seja < F, G, η, ² >: A * B uma adjunção e A1 , B1 as subcategorias plenas de A e B satisfazendo (i) e (ii), respectivamente.
Seja X ∈ A1 , então ηX : X → GF X é um isomorfismo em A, logo
F ηX : F X → F GF X é um isomorfismo.
(F ηX
)−1
: F GF X → F X tal que (F ηX
)−1
Assim existe o isomorfismo
◦ F ηX = IdF X e F ηX ◦ (F ηX )−1 =
IdF GF X .
Sabendo que ²F ◦ F η = IdF temos que
²F X ◦ F ηX = IdF X ⇒ ²F X ◦ F ηX ◦ (F ηX )−1 = IdF X ◦ (F ηX )−1
⇒ ²F X ◦ IdF GF X = (F ηX )−1
Como (F ηX
)−1
⇒ ²F X = (F ηX )−1 .
é isomorfismo, ²F X é isomorfismo, logo F X ∈ B1 .
De forma análoga, tem-se que se Y ∈ B1 então GY ∈ A1 .
Assim
obtemos
uma adjunção
< F1 , G1 , η 0 , ²0 >: A1 * B1 ,
onde
0 = η , para todo o objecto e morfismo de
F1 (X) = F (X), F1 (f ) = F (f ) e ηX
X
A1 , e G1 (Y ) = G(Y ), G1 (g) = G(g) e ²0Y = ²Y , para todo o objecto e morfismo
de B1 .
¤
1.2 Admissibilidade e unidades estáveis
Nesta secção referimos alguns conceitos e resultados relativos às estruturas categoriais de Galois introduzidos por G. Janelidze em [Jan90]. Para
informação detalhada ver [BJ01]. Em particular, averiguamos a admissibilidade e a existência de unidades estáveis de diversas adjunções.
Uma adjunção < F, G, η, ² >: C * X juntamente com duas classes de morfismos (chamadas fibrações) K e S em C e X, respectivamente, tais que
• K e S são classes estáveis para produtos fibrados e existem produtos
fibrados ao longo de morfismos de K e de S;
• K e S são classes fechadas para a composição e contêm todos os isomorfismos;
• F (K) ⊆ S e G(S) ⊆ K
1.2 Admissibilidade e unidades estáveis
9
constitui uma estrutura de Galois na categoria C.
Uma estrutura de Galois numa categoria C é admissível se para todo o objecto C em C e toda a fibração φ : X → F (C) em X a composição dos morfismos
canónicos
F (C ×GF (C) G(X)) → F G(X) → X
é um isomorfismo.
Sejam K e S as classes de todos os morfismos de codomínio B e F (B),
respectivamente. Se C/B e X/F (B) são as correspondentes categorias na adjunção associada a uma reflexão admissível < F, G, η, ² >: C * X,
< F B , GB , η B , ²B >: C/B * X/F (B)
o functor GB induz uma equivalência X/F (B) ∼ M/B onde M é constituída
B
pelos morfismos α : A → B para os quais η(A,α)
é um isomorfismo. Este facto,
bem como os que lhe correspondem para fibrações particulares, é um resultado
central da teoria referida ([BJ01] 5.1 e [CJKP97] 5.).
Consideremos K = M or(C) e S = M or(X).
Proposição 1.2.1 Uma reflexão plena, isto é uma adjunção
< F, G, η, ² >: C * X
(1.1)
cuja co-unidade ² é isomorfismo, é admissível se e só se F preserva produtos
fibrados da forma
π
B ×GF (B) G(X) ................2................... G(X)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
.
1 .....
...
...
...
...
...
..........
.
π
B
com X ∈ X.
G(ϕ)
.....................................................................
ηB
GF (B)
10
Preliminares
Definição 1.2.2 Diz-se que a reflexão (1.1) tem unidades estáveis quando o
functor F : C → X preserva qualquer produto fibrado da forma
A ×G(X) B ......................π......2............................... B
...
...
...
...
...
...
...
...
.
1 .....
...
...
...
...
...
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
π
A
β
..........................................................................
α
G(X)
Proposição 1.2.3 Se a reflexão (1.1) tem unidades estáveis e a co-unidade
² : F G → IX é um isomorfismo, então a adjunção é admissível.
1.3 Monacidade
Uma mónada T numa categoria X é um terno (T, η, µ) constituído por um
functor T : X → X e duas transformações naturais η : IX → T, µ : T 2 → T tais
que, para todo o objecto X ∈ X, os diagramas
T µX
...
...
...
...
...
...
T X .....
...
...
...
..........
.
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
µ
µX
TηX
ηT X
X
T X........................................................... T 2 X .........................................................T
..
T 3 X .................................................. T 2 X
.....
..
...
.....
.....
...
.....
.....
...
.....
.....
.....
....
.
.
.
.
.
.
.....
...
....
.....
...
.....
.....
...
.....
.....
.....
... X
.....
.....
.
.....
.
...
.
.
..
.....
TX
TX
...
.....
.....
...
.....
.....
.
.....
.....
..... .......... ...........
.
.
.......
.
.
.
µX
µ
I
T 2 X ...................................................... T X
..
I
TX
são comutativos.
Dada uma mónada em X, uma T-álgebra é um par (X, ξ) constituído por
um objecto X e um morfismo ξ : T X → X em X, chamado o morfismo de
estrutura, para o qual os diagramas
Tξ
T 2 X ...................................................... T X
...
...
...
...
...
...
X .....
...
...
...
..........
.
µ
ξ
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
ξ
T X ............................................................ X
são comutativos.
ηX
X ................................................................ T X
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
X
...
.....
.....
...
.....
.
...... .........
.
.....
I
ξ
X
1.3 Monacidade
11
Um T-morfismo entre duas T-álgebras, (X, ξ) e (Y, θ), é um morfismo
f : X → Y em X para o qual o diagrama
Tf
T X ........................................................... T Y
ξ
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
X
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
θ
f
.............................................................
Y
é comutativo.
Para qualquer mónada T numa categoria X as T-álgebras e os T-morfismos
constituem uma categoria, denotada por XT , e o functor de esquecimento
U T : XT → X tem adjunto à esquerda
FT :
X
−→
XT
X 7−→ (T X, µX )
f
7−→
Tf
T = η , para cada X ∈ X, e co-unidade ²T
com unidade ηX
X
(Y,θ) = θ, para cada
(Y, θ) ∈ XT .
Proposição 1.3.1 Se < F, U, η, ² >: X * A é uma adjunção então existe uma
mónada T em X definida da seguinte forma:
• T = UF;
• η : IX → U F ;
• µ = U ²F : U F U F → U F .
Nota: Toda a adjunção induz uma mónada e, reciprocamente, toda a mónada é induzida por (em geral por mais do que) uma adjunção. Em particular
a adjunção definida por (U T , F T ) induz a mónada T em X.
Teorema 1.3.2 Dada uma adjunção < F, U, η, ² >: X * A seja T a mónada
por ela induzida em X. Então existe um functor Φ : A → XT definido por
12
Preliminares
Φ(A) = (U A, U ²A ) e Φ(f ) = U f . Ele é o único functor para o qual U T ◦ Φ = U e
Φ ◦ F = F T , ou seja para o qual o seguinte diagrama comuta
Φ
T
A... ................................................................................................................................................................ X
...
......... .....
..... .....
..... .....
..... .....
..... .....
..... .....
..... .....
..... .....
..... .....
..... .....
..... .....
..... .....
..... .....
..... .....
..... .....
..... .....
..... .......
..... .......
....
U
F
... .....
.... .......
..... .....
..... .....
..... .........
.
.
.
.
. .
T ........... ..........
... ...
..... .....
..... .........
.
.
.
.. ..
T
..... .....
..... .....
..... .....
..... .....
........... .........
.............
.
U
F
X
O functor Φ chama-se functor de comparação de Eilenberg-Moore. Este functor permite "avaliar" a algebricidade da categoria A relativamente à mónada
induzida pela adjunção em causa.
Um functor com adjunto à esquerda diz-se pré-monádico se o functor de
comparação Φ é fiel e pleno e diz-se monádico se Φ é uma equivalência.
Da teoria das mónadas referimos seguidamente alguns factos que serão
frequentemente utilizados neste trabalho.
Proposição 1.3.3
(i) O functor Φ é pré-monádico se e só se as componentes
da co-unidade da adjunção são epimorfismos regulares.
(ii) Todo o functor monádico reflecte isomorfismos.
1.4 Sistemas de factorização
Enunciamos, aqui, definições e resultados sobre sistemas de pré-factorização e de factorização usando as notações e resultados referidos por Carboni,
Janelidze, Kelly e Paré em [CJKP97].
Um sistema de factorização numa categoria C é um par (E, M), onde E e
M são classes de morfismos de C, tal que todo o morfismo de C se factoriza de
forma única segundo um morfismo de E seguido de um morfismo de M. Mais
precisamente, se f ∈ C então f = m ◦ e com m ∈ M e e ∈ E e, se f = m0 ◦ e0 é
outra factorização (E, M) então existe um único isomorfismo g tal que g ◦ e = e0
1.4 Sistemas de factorização
13
e m0 ◦ g = m.
C ..
.
... ........
.....
..
.....
.....
...
.....
..
.....
.....
...
.....
..
.........
...
.
.
.
.
.
.
........................................................................................
.
....
.....
.....
.........
.....
..
......
.....
.
0 .........
0
.....
.
.
.....
.
.
.
...
.....
....
....
.....
.....
.....
.
....
.......... ....... .....
....
.........
......
.....
....
.
.
.
.....
....
....
.....
.....
m
e
A
f
g
B
m
e
C0
Dados morfismos p e i, numa categoria C, dizemos que p é ortogonal ao
morfismo i, e escrevemos p ↓ i, se para todo o par de morfismos u, v tais que
v ◦ p = i ◦ u existe um único morfismo w que torna o seguinte diagrama
•
p
.........................................
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.
.
.
.
...
....
...
.....
...
.....
.....
.
......... . .........
. .........
.........................................
u
•
w
i
•
...
...
...
...
...
...
.
.........
.
v
•
comutativo.
Para cada classe H de morfismos na categoria C considera-se as seguintes
classes de morfismos
H↑ = {p|p ↓ h para todo h ∈ H} e H↓ = {i|h ↓ i para todo h ∈ H}.
Um sistema de pré-factorização (E, M) em C é o par de classes de morfismos
para as quais E = M↑ e M = E↓ . Um sistema de factorização é um sistema
de pré- factorização (E, M) tal que qualquer morfismo f ∈ C se factoriza na
forma f = m ◦ e com m ∈ M e e ∈ E. Em resumo, classes de morfismos em
C constituem sistemas de factorização se verificam as condições da seguinte
proposição.
Proposição 1.4.1 Classes de morfismos (E, M) constituem sistemas de factorização se e só se
(i) E e M contêm todos os isomorfismos;
(ii) E e M são fechadas para a composição;
(iii) todo o morfismo f de C se factoriza como f = m ◦ e com m ∈ M, e ∈ E;
14
Preliminares
(iv) e ↓ m, com e ∈ E, m ∈ M.
Em particular, se todo o morfismo f : A → B numa categoria C se factoriza
na forma f = m ◦ e sendo m monomorfismo e e epimorfismo regular então
a categoria C tem um sistema de factorização (EpiReg, M ono). De facto, a
classe E dos epimorfismos regulares e a classe M dos monomorfismos numa
categoria C contêm os isomorfismos de C, portanto satisfazem a condição (i).
Essas classes também satisfazem (iv): se e = co-ig(u, v) e m ◦ s = t ◦ e com
m ∈ M então,
u
v
....................................................................
.....................................................................
A0
A
e
........................................................
C
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
s
C0
t
........................................................
m
D
como m é um monomorfismo e m ◦ s ◦ u = m ◦ s ◦ v, vem que s ◦ u = s ◦ v.
Portanto, por definição de co-igualizador, existe um único morfismo d : C → C 0
tal que d ◦ e = s. Além disso m ◦ d ◦ e = m ◦ s = t ◦ e implica que m ◦ d = t,
sendo d o único morfismo nessas condições, como é fácil verificar.
Admitindo que todo o morfismo de C tem uma factorização (E, M), isto é a
condição (iii), resta provar (ii). Dados e1 : A → B e e2 : B → C com e1 , e2 ∈ E
suponhamos que e2 ◦ e1 = m ◦ e é a factorização (E, M) de e2 ◦ e1 .
A
e1
........................................................
..
.....
B
e2
........................................................
......
.......
......
.
.......
.......
...
...
.
.....
...
...
..
...
.....
1 .....
...
.......
...
..
......
...
..
2
....
.......
...
.
.
..
.....
...
......... . .... .......
. .................
.
.
.
.
. ..
...................................................................................................................................
e
D
d
d
m
C
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
C
Por (iv) existe d1 tal que d1 ◦ e1 = e e m ◦ d1 = e2 . De m ◦ d1 = e2 e (iv) deduz-se
a existência de um único d2 tal que d2 ◦ e2 = d1 e m ◦ d2 = 1C . Como m é
monomorfismo e epimorfismo cindido é um isomorfismo, portanto e2 ◦ e1 ∈ E.
Em qualquer categoria a classe M é fechada para a composição, pois a
composição de monomorfismos é sempre um monomorfismo.
Proposição 1.4.2 Seja C uma categoria com um sistema de factorização
(EpiReg, M ono). Se X é uma subcategoria plena, repleta e regular epireflectiva
de C então
1.5 Relações binárias internas
15
(i) X tem factorizações (EpiReg, M ono);
(ii) o functor inclusão preserva e reflecte epimorfismos regulares;
(iii) se m : C → X é monomorfismo em C e X ∈ X então C ∈ X.
Proposição 1.4.3 Para um sistema de factorização (E, M) numa categoria C
tem-se as seguintes propriedades:
(i) f ∈ E ∩ M ⇒ f é um isomorfismo;
(ii) a factorização f = m ◦ e, m ∈ M, e ∈ E, de um morfismo f de C é única a
menos de um isomorfismo;
(iii) f ∈ M se e só se e ↓ f , com e ∈ E;
(iv) f ◦ g ∈ M e f ∈ M ⇒ g ∈ M,
(v) no produto fibrado
n
•
.........................................
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
a
•
•
b
m
.........................................
•
se m ∈ M, então n ∈ M.
As propriedades duais de (iii), (iv), (v) são válidas para morfismos em E. A
propriedade (v) não é em geral válida para morfismos da classe E. Os sistemas que verificam essa propriedade, isto é, tais que a classe E é estável para
produtos fibrados designam-se por sistemas de factorização estáveis.
1.5 Relações binárias internas
Definição 1.5.1 Seja C uma categoria. Uma relação binária interna em X ∈ C
é um objecto R ∈ C juntamente com um par de morfismos conjuntamente monomórfico
R
r1
....................................................
....................................................
r2
X
16
Preliminares
Definição 1.5.2 Seja C uma categoria com produtos binários.
Um par R
f
..................................
..................................
g
X de morfismos numa categoria C (ou o morfismo indu-
zido pelo produto < f, g >: R → X × X), diz-se uma relação de pré-ordem em
X se
(i) (f, g) é um par de morfismos monomórfico, isto é < f, g > é um monomorfismo;
(ii) existe um morfismo δ : X → R tal que f ◦ δ = 1X , g ◦ δ = 1X ;
(iii) existe um morfismo σ : R ×X R → R tal que f ◦ σ = f ◦ ρ1 , g ◦ σ = g ◦ ρ2 ,
onde o produto fibrado é o apresentado no seguinte diagrama
ρ2
R ×X R ............................... R
ρ
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
...
...
...
...
.
1 .....
...
.
..........
.
R
f
..............................................
g
X
Definição 1.5.3 Seja C uma categoria com produtos binários.
Um par R
f
..................................
..................................
g
X de morfismos de C (ou o morfismo induzido pelo produto
< f, g >: R → X × X), diz-se uma relação de equivalência em X se
(i) (f, g) é um par de morfismos monomórfico, isto é < f, g > é um monomorfismo;
(ii) a diagonal ∆ : X → X × X factoriza-se através de < f, g >;
(iii) existe um morfismo t : R → R tal que f ◦ t = g e g ◦ t = f ;
(iv) para o diagrama produto fibrado
A
f
g0
..............................................
R
R
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
...
...
...
..
0 .....
...
...
..........
.
f
..............................................
g
X
< f ◦ f 0 , g ◦ g 0 >: A → X × X factoriza-se através de < f, g >.
Definição 1.5.4 Uma relação de equivalência diz-se efectiva se é o par núcleo
de algum morfismo.
1.6 Espaços de Stone
17
1.6 Espaços de Stone
Um espaço topológico X diz-se
• totalmente desconexo se os únicos subconjuntos conexos de X são os subconjuntos singulares;
• totalmente separado se para quaisquer dois pontos distintos de X existe
um subconjunto aberto-fechado de X que contém um e não contém o
outro;
• zero dimensional se os subconjuntos abertos-fechados de X formam uma
base para a topologia.
Proposição 1.6.1 Para um espaço topológico X são equivalentes as seguintes
condições:
(i) X é compacto, Hausdorff e totalmente desconexo;
(ii) X é compacto e totalmente separado;
(iii) X é compacto, T0 e zero dimensional.
Um espaço de Stone, também chamado espaço profinito, é um espaço topológico satisfazendo uma e, portanto, todas as condições da proposição anterior.
Denotamos por Stone a subcategoria plena da categoria dos espaços topológicos constituída por estes espaços. Sendo uma subcategoria reflectiva ([BJ01]
3.4.4) ela é fechada para produtos e subespaços. Efectivamente, Stone é uma
subcategoria regular epireflectiva de CHaus, tendo, portanto, as propriedades
referidas em 1.4.2.
1.7 Espaços topológicos ordenados
Tal como em [DP90] um terno (X, τ, ≤) diz-se um espaço topológico ordenado (pré-ordenado) se (X, τ ) é um espaço topológico e (X, ≤) é um conjunto
parcialmente ordenado (pré-ordenado).
18
Preliminares
Neste trabalho não utilizamos a definição de espaço topológico ordenado
(pré-ordenado) de L. Nachbin ([Nac65]) visto não incluirmos a condição de a
relação de ordem (pré-ordem) ser fechada em X ×X. No entanto essa condição
surge naturalmente em determinados tipos de espaços como veremos.
A categoria T opOrd é a categoria cujos objectos são os espaços topológicos
ordenados e os morfismos são as aplicações contínuas que preservam a ordem
e o mesmo para T opP reord.
Proposição 1.7.1 As categorias T opOrd e T opP reord são completas.
Demonstração: Dado um conjunto {(Xi , τi , ≤i )|i ∈ I} de espaços topológicos
Q
ordenados o seu produto é o terno (X, τ, ≤), onde X = i∈I Xi é o produto dos
conjuntos subjacentes, τ é a topologia produto e (xi )i∈I ≤ (yi )i∈I se e só se
xi ≤i yi para todo o i ∈ I, munido das projecções pi : (X, τ, ≤) → (Xi , τi , ≤i ).
Como o espaço singular é objecto terminal em T opOrd, concluímos que esta
categoria tem produtos.
O igualizador em T opOrd de f, g : (X, τ, ≤) → (Y, τ, ≤) é o par (E, i) onde
E = {x|f (x) = g(x)} é o subconjunto de X equipado com a topologia e a ordem
de subespaço de X e i : E → X é a inclusão.
Sendo uma categoria com produtos e igualizadores T opOrd tem limites
([Mac97], capV 2, teorema 2), isto é, é uma categoria completa. E o mesmo se
verifica para T opP reord.
¤
O functor de esquecimento U : T opP reord → T op preserva limites. O resultado seguinte dá-nos uma boa razão para esse facto e diz-nos que U também
preserva colimites.
Proposição 1.7.2 O functor U : T opP reord → T op tem adjunto à esquerda e
adjunto à direita.
Demonstração: Os functores F, G : T op → T opP reord definidos em objectos
por F (X, τ ) = (X, τ, ∆X ), onde ∆X = {(x, x)|x ∈ X}, e G(X, τ ) = (X, τ, X × X)
são o adjunto à esquerda e o adjunto à direita, respectivamente.
¤
1.7 Espaços topológicos ordenados
19
Seja P reord a categoria dos conjuntos pré-ordenados e das funções que
preservam as pré-ordens. Denotemos por RX o subconjunto {(x, x0 )|x ¹ x0 } de
X × X para (X, ¹) ∈ P reord.
Lema 1.7.3 ([JS02] 2.2) Um morfismo f : (X, ¹) → (Y, ¹) é um epimorfismo
regular em P reord se e só se f (X) = Y e RY é o fecho transitivo de f × f (RX ).
Usamos também ¹X para denotar RX .
Seja V : T opP reord → P reord o functor de esquecimento.
Proposição 1.7.4 O morfismo f : (X, τ, ¹) → (Y, τ, ¹) é um epimorfismo regular em T opP reord se e só se U f é epimorfismo regular em T op e V f é epimorfismo regular em P reord.
Demonstração: Se f é um epimorfismo regular em T opP reord então f é o
co-igualizador do seu par núcleo (π1 , π2 ) e, por 1.7.2, (U π1 , U π2 ) é o par núcleo
de U f e U f é o co-igualizador de (U π1 , U π2 ). Além disso, supondo que RY
contém estritamente o fecho transitivo de f × f (RX ), seja Y 0 o espaço com o
mesmo espaço topológico subjacente de Y e RY 0 o fecho transitivo de f ×f (RX ).
O morfismo f 0 : X → Y 0 definido por f 0 (x) = f (x), para todo o x ∈ X, é tal que
f 0 ◦ π1 = f 0 ◦ π2 mas não se factoriza através de f . Consequentemente, f não
é co-igualizador de (π1 , π2 ).
Reciprocamente, se U f e V f são epimorfismos regulares em T op e P reord,
respectivamente, e g ◦ π1 = g ◦ π2 em T opP reord, então existe um morfismo
h ∈ T op tal que h ◦ f = g.
Além disso, se y ¹ y 0 em Y , pela lema anterior, existe uma sequência finita
x0 ¹ x00 , x1 ¹ x01 , . . . , xn ¹ x0n
em X tal que y = f (x0 ), f (x0i ) = f (xi+1 ), para i = 0, 1, . . . , n − 1, e y 0 = f (x0n ).
Então h(y) = g(x0 ) ¹ g(x00 ) = g(x1 ) ¹ . . . ¹ g(x0n ) = h(y 0 ) e, pela transitividade,
h(y) ¹ h(y 0 ). Portanto, h ∈ T opP reord e é o único morfismo que satisfaz a
condição h ◦ f = g.
¤
20
Preliminares
Proposição 1.7.5 T opOrd é uma subcategoria plena e regular epireflectiva de
T opP reord
Demonstração: Para X = (X, τ, ¹) em T opP reord define-se uma relação de
equivalência em X da seguinte forma
x ∼ x0 ⇔ x ¹ x0 e x0 ¹ x
e toma-se I(X) = (X/ ∼, τ, ≤) onde X/ ∼ é o conjunto quociente, τ é a topologia
quociente relativamente à projecção canónica pX : X → X/ ∼ e ≤ é o fecho
transitivo de pX × pX (RX ), que é uma ordem em X/ ∼. Então pX : X → I(X)
é a reflexão de X em T opOrd. Além disso, por 1.7.4, pX é um epimorfismo
regular sendo portanto T opOrd uma subcategoria plena e regular epireflectiva
de T opP reord.
¤
Seja CP reord a subcategoria plena de T opP reord cujos objectos são ternos
(X, τ, ¹) tais que (X, τ ) é objecto da subcategoria plena C de T op. Denotamos
por U e V os correspondentes functores de esquecimento de CP reord em C e
em P reord.
As proposições desta secção são casos particulares das que reunimos no
teorema que se segue.
Teorema 1.7.6 Em CP reord
(i) O functor U : CP reord → C tem adjunto à esquerda e à direita;
(ii) um functor D : I → CP reord tem limite se e só se U D : I → C tem limite
em C;
(iii) se C é fechada para produtos fibrados um morfismo f ∈ CP reord é epimorfismo regular se e só se U f e V f são epimorfismos regulares em C e
em P reord, respectivamente;
(iv) se, para (X, τ, ¹) ∈ CP reord, X/ ∼ com a topologia quociente pertence
ainda a C então COrd é uma subcategoria regular epireflectiva de CP reord.
1.8 Espaços de Priestley
21
1.8 Espaços de Priestley
Seja X um espaço topológico ordenado (pré-ordenado). Um subconjunto I
de X diz-se decrescente em X se
x, y ∈ X, y ∈ I e x ≤ y ⇒ x ∈ I.
Denotamos por AF D(X) o conjunto dos subconjuntos abertos-fechados decrescentes de X.
Definição 1.8.1 O espaço topológico ordenado (pré-ordenado) (X, τ, ≤) diz-se
totalmente desconexo em relação à ordem (pré-ordem) se dados x, y ∈ X tais
que y 6≤ x existe um subconjunto U aberto-fechado decrescente de X tal que
x ∈ U e y 6∈ U .
Proposição 1.8.2 Todo o espaço totalmente desconexo em relação à ordem é
espaço de Hausdorff.
Demonstração: Seja (X, τ, ≤) um espaço totalmente desconexo em relação
à ordem. Vejamos que é de Hausdorff.
Sejam x, y ∈ X tais que x 6= y.
Suponhamos que y 6≤ x. Então, como (X, τ, ≤) é totalmente desconexo em
relação à ordem, existe U , subconjunto aberto-fechado decrescente de X, tal
que x ∈ U e y ∈
/ U.
Sendo U aberto-fechado, X − U é aberto-fechado. Como y ∈
/ U , então
y ∈ X − U . Assim existem os abertos U , X − U tais que x ∈ U , y ∈ X − U e
U ∩ (X − U ) = ∅, ou seja (X, τ ) é espaço de Hausdorff.
¤
Proposição 1.8.3 Todo o subespaço de um espaço totalmente desconexo em
relação à ordem é ainda totalmente desconexo em relação à ordem.
Demonstração: Seja (X, τ, ≤) um espaço topológico totalmente desconexo
em relação à ordem. Seja A um subespaço de X.
Vejamos que A é ainda totalmente desconexo em relação à ordem.
22
Preliminares
Sejam a, a0 ∈ A tais que a 6≤ a0 . Então existe U ∈ AF D(X) tal que a0 ∈ U e
a∈
/ U . Se U é aberto-fechado decrescente de X então U ∩ A é aberto-fechado
decrescente de A, e assim A é totalmente desconexo em relação à ordem.
¤
Proposição 1.8.4 O espaço produto de espaços topológicos totalmente desconexos em relação à ordem é ainda um espaço totalmente desconexo em relação
à ordem.
Demonstração: Sejam (Xi )i∈I uma família de espaços topológicos ordenados totalmente desconexos em relação à ordem.
Q
Vejamos que o espaço topológico produto, i∈I Xi , é totalmente desconexo
em relação à ordem.
Sejam (xi )i∈I , (yi )i∈I ∈
Q
i∈I
Xi tais que (xi )i∈I 6≤ (yi )i∈I . Então existe um
índice i0 ∈ I para o qual xi0 6≤ yi0 . Em Xi0 existe Ui0 ∈ AF D(Xi0 ) tal que
yi0 ∈ Ui0 e xi0 ∈
/ Ui0 .
Q
Fazendo Ui = Xi , para todo o i 6= i0 , em U = i∈I Ui , U é um subconjunto
Q
aberto-fechado decrescente do espaço produto, i∈I Xi , tal que (yi )i∈I ∈ U e
(xi )i∈I ∈
/ U . Logo o espaço produto considerado é totalmente desconexo em
relação à ordem.
¤
Um espaço de Priestley é um espaço topológico ordenado, compacto e totalmente desconexo em relação à ordem, portanto os espaços de Priestley são
espaços de Stone visto serem espaços compactos, Hausdorff e totalmente desconexos.
Denotamos por P sp a subcategoria plena de T opOrd constituída pelos espaços de Priestley.
Proposição 1.8.5 Se X é um espaço totalmente desconexo em relação à ordem
então a relação é fechada.
Demonstração: Seja (X, τ, ≤) um espaço totalmente desconexo em relação
à ordem e seja RX = {(x, y) ∈ X × X|x ≤ y}. Mostremos que RX é um
subconjunto fechado de X × X.
1.8 Espaços de Priestley
23
Consideremos A = (X × X) − RX e vejamos que A é um aberto de X × X.
Seja (x, y) ∈ A, isto é x 6≤ y. Como X é um espaço totalmente desconexo
em relação à ordem, existe U aberto-fechado decrescente de X tal que y ∈ U e
x∈
/ U . Logo existe um subconjunto aberto de X × X, (X − U ) × U , que contém
(x, y). Vejamos que (X − U ) × U ⊆ A.
Seja (a, b) ∈ (X − U ) × U . Suponhamos que (a, b) ∈
/ A. Então a ≤ b, como
b ∈ U e U é decrescente, tem-se a ∈ U , o que é um absurdo.
¤
Em particular, num espaço de Priestley a relação de ordem é interna. De
facto, RX sendo um subespaço fechado de X × X é compacto e totalmente
desconexo em relação à ordem. Além disso P sp é uma subcategoria plena de
T opOrd.
Um espaço finito e discreto é um espaço de Priestley relativamente a qualquer ordem.
F. Borceux e G. Janelidze, em [BJ01] 3.4.7, caracterizam os espaços de
Stone como sendo limites de espaços topológicos finitos e discretos. Para obter
uma "versão ordenada" deste resultado, seguindo um raciocínio semelhante,
temos que passar a um patamar mais elevado de generalidade e considerar
os espaços de Stone pré-ordenados que são totalmente desconexos em relação à pré-ordem. A correspondente subcategoria plena de T opP reord vai ser
denotada por P P reord.
Proposição 1.8.6 As categorias P sp e P P reord são completas.
Demonstração: Como o produto de espaços compactos é compacto, de 1.8.4
e atendendo a que o objecto terminal de T opOrd e T opP reord (o espaço ordenado singular) é o terminal em P sp e em P P reord, vem que estas categorias
têm produtos.
De 1.8.2 e 1.8.3 conclui-se que o igualizador de qualquer par de morfismos
em P sp ou P P reord ainda pertence a essas categorias: basta ver que no igualizador (E, i) do par f, g : X → Y , E é um subconjunto fechado de X (porque
24
Preliminares
estamos a trabalhar com espaços Hausdorff) portanto compacto.
Concluímos portanto que P sp e P P reord tendo produtos e igualizadores
têm todos os limites.
¤
Teorema 1.8.7 Um espaço topológico pré-ordenado é objecto de P P reord se e
só se é limite de espaços pré-ordenados finitos e discretos.
Demonstração: Um espaço finito e discreto é compacto. Ele é também totalmente desconexo em relação a qualquer pré-ordem (tal como a qualquer
ordem). Pela proposição anterior concluímos que o limite de espaços pré-ordenados finitos e discretos é ainda um objecto de P P reord.
Reciprocamente, seja X ∈ P P reord e R o conjunto das relações de equivalência R em X tais que o espaço topológico quociente X/R relativamente à
projecção canónica pR : X → X/R é finito e discreto. Considerando o conjunto
R ordenado por inclusão como uma categoria seja
D : R → P P reord
o functor definido por D(R) = X/R, o espaço quociente com a relação de pré-ordem que é o fecho transitivo de pR × pR (¹X ).
Se R ⊆ R0 temos um morfismo X/R → X/R0 definido por [x]R 7→ [x]R0 ,
denotando por [x]R e por [x]R0 as correspondentes classes de equivalência de
x ∈ X.
Seja (λR : L → X/R)R∈R o limite de D. Como (pR : X → X/R)R∈R é um
cone de X para D, pela definição de limite, existe um único morfismo g em
P P reord tal que λR ◦ g = pR para todo o R ∈ R.
Pelo teorema 3.4.7 em [BJ01], g é um homeomorfismo. Suponhamos agora
que g(x) ¹ g(y) e que x 6¹ y. Então, porque X é totalmente desconexo em
relação à pré-ordem, existe U subconjunto aberto-fechado decrescente de X
tal que y ∈ U e x ∈
/ U.
Tomemos a relação de equivalência RU em X correspondente à partição
{U, X − U }. Então RU ∈ R. Vejamos que [x]RU 6¹ [y]RU .
Suponhamos que [x]RU ¹ [y]RU , então existem
x01 ¹ x1 , x02 ¹ x2 , . . . , x0n ¹ xn tais que
1.8 Espaços de Priestley
25
[x01 ]RU = [x]RU , [x1 ]RU = [x02 ]RU , . . . , [xn ]RU = [y]RU .
Assim, como y ∈ U então xn ∈ U e, também, x0n ∈ U , pois U é um subconjunto decrescente. Aplicando o mesmo raciocínio sucessivamente temos
também x01 ∈ U .
Por outro lado, x ∈
/ U logo x ∈ X − U , e, como [x01 ]RU = [x]RU , também
x01 ∈ X − U . O que é um absurdo.
Assim existe uma relação de equivalência RU ∈ R tal que [x]RU 6¹ [y]RU ,
portanto g(x) 6¹ g(y).
Portanto X é limite de espaços topológicos pré-ordenados finitos e discretos, a menos de um isomorfismo.
¤
Partindo de um espaço de Priestley X, as relações induzidas em X/R pelo
fecho transitivo podem não ser, e não são em geral, relações de ordem. Contudo o limite L sendo isomórfico em P P reord a X é ordenado: considerando os
espaços pré-ordenados X/R, mais precisamente o correspondente diagrama
em P P reord definido pela categoria R e o seu limite em P P reord obtemos o
espaço de Priestley X de que partimos.
Assim, o teorema anterior dá-nos uma forma de construir espaços de Priestley.
Corolário 1.8.8 Todo o espaço de Priestley é limite de espaços finitos, discretos e pré-ordenados.
2
Adjunção dual entre T opOrd
e Ret0,1
Seja T opOrd a categoria dos espaços topológicos ordenados e das aplicações
contínuas que preservam a ordem, definida na secção 1.7. Ret0,1 denota a
categoria cujos objectos são os reticulados limitados e que tem por morfismos
os homomorfismos de reticulados que preservam o zero e o um.
Vamos estabelecer uma adjunção entre T opOrd e a categoria dual da categoria Ret0,1 cuja equivalência induzida, no sentido de 1.1.4, é exactamente
a dualidade de Priestley. Daí se deduz a reflexão da categoria CHausOrd dos
espaços compactos Hausdorff ordenados em P sp.
2.1 Adjunção entre T opOrd e Retop
0,1
O conjunto 2 = {0, 1} com a ordem 0 < 1 é um reticulado limitado, que
denotamos por 2r . O mesmo conjunto ordenado equipado com a topologia discreta é um espaço topológico ordenado, denotado por 2t .
Para um objecto L de Ret0,1 , consideremos o conjunto Hom(L, 2r ) com a
ordem ponto a ponto, isto é f ≤ g se e só se f (a) ≤ g(a) para todo o a ∈ L,
27
28
Adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1
sendo a topologia a menor topologia na qual todos os subconjuntos
Ua = {f ∈ Hom(L, 2r )|f (a) = 1}, a ∈ L
(2.1)
e os seus complementos são subconjuntos abertos.
Proposição 2.1.1 Existe um functor U : Retop
0,1 → T opOrd que a cada
L ∈ Ret0,1 faz corresponder o espaço topológico Hom(L, 2r ) e a todo o morfismo f : L → K em Ret0,1 faz corresponder o morfismo U (f ) : Hom(K, 2r ) →
Hom(L, 2r ) definido por U (f )(g) = g ◦ f .
Demonstração: De facto, para todo o morfismo f : L → K em Ret0,1 a
aplicação
U f : Hom(K, 2r ) −→ Hom(L, 2r )
g
−→
g◦f
é contínua e preserva a ordem, pois sejam g, h ∈ Hom(K, 2r ) tais que g ≤ h,
isto é g(b) ≤ h(b) para todo o b ∈ K.
Seja a ∈ L.
U f (g)(a) = (g ◦ f )(a) = g(f (a)) ≤ h(f (a)) = (h ◦ f )(a) = U f (h)(a). Então
U f (g) ≤ U f (h), isto é U f preserva a ordem.
Mostremos que U f é uma aplicação contínua.
Seja b ∈ L.
(U f )−1 (Ub ) = {g ∈ Hom(K, 2r )|(U f )(g) ∈ Ub }
= {g ∈ Hom(K, 2r )|(g ◦ f ) ∈ Ub }
= {g ∈ Hom(K, 2r )|(g ◦ f )(b) = 1}
= {g ∈ Hom(K, 2r )|g(f (b)) = 1} = Uf (b) , subconjunto
aberto de Hom(K, 2r ).
(U f )−1 (Hom(L, 2r ) − Ub ) = {g ∈ Hom(K, 2r )|U f (g) ∈
/ Ub }
= {g ∈ Hom(K, 2r )|(g ◦ f )(b) 6= 1}
= {g ∈ Hom(K, 2r )|g(f (b)) 6= 1}
= Hom(K, 2r ) − Uf (b) , subconjunto aberto
de Hom(K, 2r ).
É óbvio que U (idL ) = idU L e que U (g ◦ f ) = U f ◦ U g já que U é uma
"elevação" do functor Hom(−, 2r ) : Retop
0,1 → Conj para T opOrd, onde Conj
denota a categoria dos conjuntos.
¤
2.1 Adjunção entre T opOrd e Retop
0,1
29
Vamos agora provar que também o functor Hom(−, 2t ) : T opOrd → Conj
admite uma "elevação" para F : T opOrd → Retop
0,1 .
Para um objecto X ∈ T opOrd, o conjunto Hom(X, 2t ) com a ordem ponto
a ponto é um reticulado limitado, onde o zero (limite inferior) e o um (limite
superior) são definidos por
θX : X → 2t , θ(x) = 0, ∀x ∈ X
ιX : X → 2t , ι(x) = 1, ∀x ∈ X,
respectivamente, e
(f ∧ g)(x) = f (x) ∧ g(x), ∀x ∈ X
(f ∨ g)(x) = f (x) ∨ g(x), ∀x ∈ X
Proposição 2.1.2 Define-se um functor F : T opOrd → Retop
0,1 fazendo corresponder a cada X ∈ T opOrd o reticulado limitado Hom(X, 2t ) e a cada morfismo f : X → Y em T opOrd a função F (f ) : Hom(Y, 2t ) → Hom(X, 2t ) tal que
F (f )(g) = g ◦ f .
Demonstração: Para qualquer morfismo f : X → Y em T opOrd a aplicação
F f : Hom(Y, 2t ) −→ Hom(X, 2t )
g
−→
g◦f
é um morfismo de reticulados limitados. De facto tem-se, para qualquer x ∈ X,
F f (θY )(x) = (θY ◦ f )(x) = θY (f (x)) = 0;
F f (ιY )(x) = (ιY ◦ f )(x) = ιY (f (x)) = 1;
F f (g ∧ h)(x) = (F f (g) ∧ F f (h))(x), ∀g, h ∈ Hom(Y, 2t );
F f (g ∨ h)(x) = (F f (g) ∨ F f (h))(x), ∀g, h ∈ Hom(Y, 2t ).
E para quaisquer g, h ∈ Hom(Y, 2t ) tais que g ≤ h, isto é tal que g(y) ≤ h(y)
para todo o y ∈ Y , g ◦ f ≤ h ◦ f . Logo F define um functor de T opOrd em Retop
0,1 .
¤
Para todo o espaço topológico ordenado X e x ∈ X a aplicação de avaliação,
avX,x : Hom(X, 2t ) → 2r tal que avX,x (i) = i(x), para todo o i ∈ Hom(X, 2t ), é
um morfismo de reticulados limitados.
30
Adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1
Proposição 2.1.3 A função que a cada X ∈ T opOrd faz corresponder
ηX : X −→ U F X = Hom(Hom(X, 2t ), 2r )
x
−→
avX,x
é uma transformação natural η : IdT opOrd → U F .
Demonstração: A aplicação ηX preserva a ordem. Vejamos que é contínua.
Seja f ∈ F X.
−1
ηX
(Uf ) = {x ∈ X|ηX (x) ∈ Uf }
= {x ∈ X|avX,x (f ) = 1}
= {x ∈ X|f (x) = 1}
= f −1 (1), subconjunto aberto de X.
−1
ηX
(U F X − Uf ) = {x ∈ X|ηX (x) ∈
/ Uf }
= {x ∈ X|avX,x (f ) 6= 1}
= f −1 (0), subconjunto aberto de X.
Sejam X, Y espaços topológicos ordenados. Seja f : X −→ Y uma aplicação
contínua que preserva a ordem. Mostremos que o seguinte diagrama comuta
X
f
η
X
.......................................
Y
UFX
...
...
...
...
...
...
...
.
.........
.
...
...
...
...
...
...
...
.
.........
.
.......................................
ηY
UF f
UFY
Seja x ∈ X.
(ηY ◦ f )(x) = ηY (f (x)) = avY,f (x) .
(U F f ◦ ηX )(x) = U F f (ηX (x)) = U F f (avX,x ) = avX,x ◦ F f .
Vejamos que avY,f (x = avX,x ◦ F f .
Seja i ∈ Hom(Y, 2t ).
avY,f (x (i) = i(f (x)).
(avX,x ◦ F f )(i) = avX,x (F f (i)) = avX,x (i ◦ f ) = (i ◦ f )(x) = i(f (x)).
¤
Para todo o reticulado limitado L e a ∈ L a aplicação avaliação,
avL,a : Hom(L, 2r ) → 2t tal que avL,a (i) = i(a) para todo o i ∈ Hom(L, 2r ), é
uma aplicação contínua que preserva a ordem.
2.1 Adjunção entre T opOrd e Retop
0,1
31
Proposição 2.1.4 A função que a cada L ∈ Ret0,1 faz corresponder
²L : L −→ Hom(Hom(L, 2r ), 2t )
a −→
avL,a
é uma transformação natural ² : IdRet0,1 → F U .
Demonstração: A aplicação ²L é um morfismo de reticulados limitados.
Seja f : L −→ K um morfismo de reticulados limitados.
Vejamos que o diagrama seguinte comuta
L
f
²L
........................................
K
FUL
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
.......................................
²K
F Uf
FUK
Seja a ∈ L.
(F U f ◦ ²L )(a) = F U f (²L (a)) = F U f (avL,a ) = avL,a ◦ U f .
(²K ◦ f )(a) = ²K (f (a)) = avK,f (a) .
Vejamos que avL,a ◦ U f = avK,f (a) .
Seja i ∈ Hom(L, 2r ).
(avL,a ◦ U f )(i) = avL,a (U f (i))
= avL,a (i ◦ f )
= (i ◦ f (a))
= i(f (a))
= avK,f (a) .
¤
Teorema 2.1.5 O functor F é adjunto à esquerda do functor U : Retop
0,1 →
T opOrd.
Demonstração: Vamos provar que os functores F , U e as transformações
naturais η e ² satisfazem as identidades triangulares, isto é que
U ²L ◦ ηU L = IdU L e F ηX ◦ ²F X = IdF X , para todo L ∈ Ret0,1 e X ∈ T opOrd.
Sejam X ∈ T opOrd e f ∈ F X.
32
Adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1
(F ηX ◦ ²F X )(f ) = F ηX (²F X (f )) = F ηX (avF X,f ) = avF X,f ◦ ηX .
Vejamos que avF X,f ◦ ηX = f .
Seja x ∈ X.
(avF X,f ◦ ηX )(x) = (avF X,f )(ηX (x)) = (avF X,f )(avX,x ) = avX,x (f ) = f (x).
Similarmente, U ²L ◦ ηU L = IdU L .
¤
2.2 Dualidade de Priestley
Vamos agora determinar a equivalência induzida, no sentido de 1.1.4, pela
adjunção definida na secção anterior.
Dado um espaço topológico ordenado X , o conjunto dos abertos-fechados
decrescentes de X, AF D(X), é um reticulado distributivo limitado para a relação de inclusão.
Proposição 2.2.1 Seja X um espaço topológico ordenado. O reticulado limitado F (X) = Hom(X, 2t ) é isomorfo a AF D(X)op .
Demonstração: Consideremos a aplicação
ϕ : Hom(X, 2t ) −→ (AF D(X))op
f
−→
f −1 ({0})
e provemos que ϕ é isomorfismo de reticulados limitados.
Dado f ∈ Hom(X, 2t ), isto é f : X → 2t é uma aplicação contínua que
preserva a ordem, f −1 ({0}) ∈ AF D(X).
Sejam f, g ∈ Hom(X, 2t ) tais que f 6= g, isto é existe x ∈ X tal que
f (x) 6= g(x), logo tem-se (x ∈ f −1 ({0}) e x ∈
/ g −1 ({0})) ou (x ∈
/ f −1 ({0}) e
x ∈ g −1 ({0})), e portanto ϕ é uma aplicação injectiva.
De seguida mostremos que ϕ é uma aplicação sobrejectiva.
Dado A ∈ AF D(X), seja f : X → 2t tal que
(
f (x) =
0 se x ∈ A,
1 se x ∈
/A
2.2 Dualidade de Priestley
33
Ora f ∈ Hom(X, 2t ) e ϕ(f ) = A. Logo ϕ é sobrejectiva.
−1
ϕ(θX ) = θX
({0}) = {x ∈ X|θX (x) = 0} = X
ϕ(ιX ) = ι−1
X ({0}) = {x ∈ X|ιX (x) = 0} = ∅
ϕ(f ∧ g) = (f ∧ g)−1 ({0}) = f −1 ({0}) ∪ g −1 ({0}) = ϕ(f ) ∪ ϕ(g), ∀f, g ∈
Hom(X, 2t ).
ϕ(f ∨ g) = (f ∨ g)−1 ({0}) = f −1 ({0}) ∩ g −1 ({0}) = ϕ(f ) ∩ ϕ(g), ∀f, g ∈
Hom(X, 2t ).
Sejam g, h ∈ Hom(X, 2t ) tais que g ≤ h, isto é g(x) ≤ h(x), para todo o
x ∈ X. Então h−1 (0) ⊆ g −1 (0).
¤
Dado um reticulado limitado L, o conjunto dos ideais primos de L, denotado por Ip (L), é um espaço topológico ordenado. A topologia tem como
subbase de abertos o conjunto
S = {Vb |b ∈ L} ∪ {IP (L) − Vc |c ∈ L},
sendo
Vb = {I ∈ Ip (L)|b ∈
/ I}.
(2.2)
Proposição 2.2.2 Para todo o reticulado distributivo limitado L o espaço topológico dos ideais primos de L, X = (Ip (L), τ ), é compacto.
Demonstração: Pelo Lema da subbase de Alexander, basta provarmos que
toda a cobertura aberta de X por elementos de S tem uma subcobertura finita.
Sejam A0 , A1 ⊆ L tais que
X⊆(
[
b∈A0
Vb ) ∪ (
[
(X − Vc ))
c∈A1
Seja J o ideal gerado por A0 e G o filtro gerado por A1 . Suponhamos que
J ∩ G = ∅, pelo Teorema do Ideal Primo, existe I ideal primo de L tal que
J ⊆I eI ∩G=∅
Como I ∈ X, então
∃b ∈ A0 : I ∈ Vb ou ∃c ∈ A1 : I ∈ (X − Vc )
34
Adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1
Se I ∈ Vb então b ∈
/ I. Mas b ∈ A0 ⊆ J ⊆ I. O que é um absurdo.
Se I ∈ (X − Vc ) então c ∈ I. Mas c ∈ A1 ⊆ G e I ∩ G = ∅. O que é um
absurdo. Então J ∩ G 6= ∅
Seja a ∈ J ∩ G.
Temos os seguintes casos:
1. Suponhamos que A0 6= ∅, A1 6= ∅
Então, como
J = (A0 ] =↓ {b1 ∨ b2 ∨ ... ∨ bn |n ∈ IN, a1 , a2 , ..., an ∈ A0 } (1)
G = [A1 ) =↓ {c1 ∧ c2 ∧ ... ∧ ck |k ∈ IN, c1 , c2 , ..., ck ∈ A1 }
existe n, k ∈ IN, b1 , ..., bn ∈ A0 , c1 , ..., ck ∈ A1 tal que
c1 ∧ ... ∧ ck ≤ a ≤ b1 ∨ ... ∨ bn .
Seja I ∈ X.
Se a ∈ I então c1 ∧ ... ∧ ck ∈ I, logo I ∈
/ Vc1 ∧...∧ck = Vc1 ∩ ... ∩ Vck . Então
I ∈ (X − Vc1 ) ∪ ... ∪ (X − Vck ).
Se a ∈
/ I então b1 ∨ ... ∨ bn ∈
/ I e, consequentemente I ∈ Vb1 ∨...∨bn = Vb1 ∪
...∪Vbn . Concluímos então que X = Vb1 ∪...∪Vbn ∪(X −Vc1 )∪...∪(X −Vck ),
isto é, existe uma subcobertura finita.
2. Suponhamos que A0 6= ∅ e A1 = ∅. Neste caso G = {1}, então a = 1
e 1 ∈ J. Existe n ∈ IN e b1 , ..., bn ∈ A0 tal que 1 ≤ b1 ∨ ... ∨ bn . Então
1 = b1 ∨ ... ∨ bn e V1 = Xb1 ∨...∨bn = Vb1 ∪ ... ∪ Vbn . Logo existe uma
subcobertura finita.
3. Se A0 = ∅ e A1 6= ∅, de uma forma similar prova-se que existe uma
subcobertura finita.
4. Se A0 = ∅ e A1 = ∅, é trivial que existe uma subcobertura finita.
¤
Proposição 2.2.3 Dado um reticulado distributivo limitado L e o espaço topológico ordenado dos ideais primos de L, X = (Ip (L), τ, ⊆), tem-se:
2.2 Dualidade de Priestley
35
(i) I, J ∈ Ip (L), J 6⊆ I ⇒ ∃a ∈ L : I ∈ Va e J ∈
/ Va ;
(ii) Os subconjuntos abertos-fechados decrescentes de X são exactamente os
conjuntos Va = {I ∈ Ip (L)|a ∈
/ I} com a ∈ L.
Demonstração:
(i) Sejam I, J ideais primos de L tais que J 6⊆ I. Então existe a ∈ L tal que
a∈J ea∈
/ I logo J ∈
/ Va e I ∈ Va .
Mais, para todo o a ∈ L, Va é um subconjunto aberto-fechado de X, porque Va ∈ S, e X − Va ∈ S.
(ii) Sejam I ∈ Va e J ∈ Ip (L) tais que J ⊆ I. Se a ∈ J temos a ∈ I, o que é um
absurdo, porque I ∈ Va , logo J ∈ Va . Então Va é decrescente.
Seja V um subconjunto aberto-fechado decrescente de X.
Se V = ∅, então V = V0 .
Se V = X então V = V1 .
Suponhamos que V 6= ∅ e V 6= X. Seja J ∈ X − V . Para todo o I ∈ V ,temse J 6⊆ I, porque V é decrescente e J ∈
/ V . Por 1, para todo o I ∈ V , existe
/ VaI . Logo
aI ∈ L tal que I ∈ VaI e J ∈
[
V ⊆
[
/
VaI e J ∈
VaI .
I∈V
I∈V
Como X é compacto e V é fechado, V é compacto. Como VaI é aberto para
todo o I ∈ V , existe U ⊆ V não vazio e finito tal que
V ⊆
[
VaI
I∈V
Seja bJ =
_
aI . Então V ⊆ VbJ e J ∈
/ VbJ .
I∈V
Seja J ∈ X − V . Tem-se
X −V ⊆
[
J∈X−V
(X − VbJ ) e V ⊆
\
J∈X−V
VbJ .
36
Adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1
Mas, X − V é fechado e consequentemente é compacto. Como X − VbJ é
aberto para todo o J ∈ X − V , existe A ⊆ (X − V ) não vazio e finito tal
que
[
X −V ⊆
\
(X − VbJ ) = X −
J∈A
\
Então V ⊇
VbJ e como V ⊆
J∈A
VbJ .
J∈A
\
VbJ , concluímos que
J∈A
V =
\
VbJ = Va
J∈A
com a =
^
bJ .
J∈A
¤
Pelas proposições anteriores podemos concluir que
Proposição 2.2.4 Para todo o reticulado distributivo limitado L o espaço dos
ideais primos de L é um espaço de Priestley.
Proposição 2.2.5 Todo o espaço de Priestley X é isomorfo ao espaço dos ideais
primos do reticulado dos seus abertos-fechados decrescentes.
Demonstração: Seja X um espaço de Priestley, consideremos a aplicação
0 : X −→ I (AF D(X))
ηX
p
x
−→
Γx
sendo Γx = {A ∈ AF D(X)|x ∈
/ A} e vejamos que é um isomorfismo.
0 é contínua e preserva a ordem.
A aplicação ηX
0 é sobrejectiva.
Mostremos que ηX
0 é sobrejectiva.
Se X = ∅ então Ip (AF D(X)) = ∅ e ηX
Suponhamos que X 6= ∅.
Seja x ∈ Ip (AF D(X)). Consideremos os seguintes conjuntos:
F0 =
[
A e F1 =
A∈x
\
A,
A∈AF D(X)−x
2.2 Dualidade de Priestley
37
temos (X − F0 ) ∩ F1 6= ∅, porque X é compacto.
0 (y) = x.
Seja y ∈ (X − F0 ) ∩ F1 . Vejamos que ηX
y ∈ (X − F0 ) ∩ F1 ⇒ y ∈ Y, y ∈
/ F0 e y ∈ F1 .
[
A⇒y∈
/ A, ∀A ∈ x.
y∈
/ F0 ⇒ y ∈
/
A∈x
y ∈ F1 ⇒ y ∈
\
A ⇒ y ∈ A, ∀A ∈ AF D(X) − x.
A∈AF D(X)−x
0 (y).
Seja A ∈ ηX
0 (y) ⇒ A ∈ Γ ⇒ y ∈
A ∈ ηX
/ A ⇒ A ∈ x.
y
Seja A ∈ x.
0 (y).
A∈x⇒y∈
/ A ⇒ A ∈ Γy ⇒ A ∈ ηX
0 é sobrejectiva.
Então ηX
Sejam x1 , x2 ∈ X tais que Γx1 ⊆ Γx2 . Suponhamos que x1 6≤ x2 , existe A
subconjunto aberto-fechado decrescente de X tal que x2 ∈ A e x1 ∈
/ A, pois X
é um espaço de Priestley. Logo A ∈ Γx1 e A ∈
/ Γx2 , o que é um absurdo.
0 é um isomorfismo.
Então ηX
¤
Proposição 2.2.6 Todo o reticulado distributivo limitado L é isomorfo ao reticulado dos abertos-fechados decrescentes dos seus ideais primos.
Demonstração: Seja L um reticulado distributivo limitado, consideremos a
aplicação
²0L : L −→ AF D(Ip (L))
a −→
Va
e mostremos que é um isomorfismo de reticulados distributivos limitados.
A aplicação ²0L é um homomorfismo de reticulados limitados.
Sejam a, b ∈ L tais que a 6= b. Suponhamos que a b. Pelo Teorema do
Ideal Primo, existe I ideal primo de L tal que b ∈ I e a ∈
/ I. Então I ∈ Va e
I∈
/ Vb , consequentemente Va 6= Vb , logo ²0L (a) 6= ²1L (b) então ²0L é injectiva.
Como AF D(Ip (L)(L)) é o reticulado dos subconjuntos abertos--fechados
decrescentes de Ip (L), e sabendo que AF D(Ip (L)) = {Va |a ∈ L} (2.2.3(ii))
então ²0L é sobrejectiva.
¤
Proposição 2.2.7 Dado um reticulado limitado L, o espaço topológico ordenado U L = Hom(L, 2r ) é isomorfo ao espaço (Ip (L), τ, ⊆op ).
38
Adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1
Demonstração: Consideremos a seguinte aplicação
ψ : Hom(L, 2r ) −→ (Ip (L))op
f
−→ f −1 ({0})
e mostremos que ψ é um homeomorfismo de ordem.
Para todo o morfismo f : L → 2r em Ret0,1 , f −1 ({0}) ∈ Ip (L).
Sejam f, g ∈ Hom(L, 2r ) tais que f 6= g, isto é existe a ∈ L tal que
f (a) 6=
g(a). Tem-se (a ∈ f −1 ({0}) e a ∈
/ g −1 ({0})) ou (a ∈
/ f −1 ({0}) e
a ∈ g −1 ({0})), logo ψ é injectiva.
Vejamos que ψ é sobrejectiva.
Seja I um ideal primo de L e f : L → 2r tal que
(
0 se a ∈ I,
f (a) =
1 se a ∈
/I
Porque I é ideal primo de L, a aplicação f é um morfismo de reticulados limitados e ψ(f ) = I. Logo ψ é sobrejectiva.
Seja b ∈ L.
ψ −1 (Vb ) = {f ∈ Hom(L, 2r )|ψ(f ) ∈ Vb }
= {f ∈ Hom(L, 2r )|f −1 ({0}) ∈ Vb }
= {f ∈ Hom(L, 2r )|b ∈
/ f −1 ({0})}
= {f ∈ Hom(L, 2r )|f (b) = 1}
= Vb , subconjunto aberto em Hom(L, 2r ).
ψ −1 (I
p (L)
− Vb ) = {f ∈ Hom(L, 2r )|ψ(f ) ∈ Ip (L) − Vb }
= {f ∈ Hom(L, 2r )|f −1 ({0}) ∈ Vb }
= {f ∈ Hom(L, 2r )|f −1 ({0}) ∈ Ip (L) − Vb }
= {f ∈ Hom(L, 2r )|f −1 ({0}) ∈
/ Vb }
= {f ∈ Hom(L, 2r )|b ∈ f −1 ({0})}
= Hom(L, 2r ) − Vb , subconjunto aberto em Hom(L, 2r ).
Então ψ é uma aplicação contínua.
Sejam f, g ∈ Hom(L, 2r ) tais que f ≤ g. Mostremos que
g −1 ({0}) ⊆ f −1 ({0}).
Seja a ∈ g −1 ({0}). Então g(a) = 0. Como f ≤ g, então f (a) ≤ g(a). Logo
f (a) = 0, isto é a ∈ f −1 ({0}).
2.3 Reflexão de CHausOrd em P sp
39
Sejam f, g ∈ Hom(L, 2r ) tais que f −1 ({0}) ⊆ g −1 ({0}). Vejamos que g ≤ f .
Seja a ∈ L.
f −1 ({0})
⊆
Se f (a) = 1, então g(a) ≤ f (a).
g −1 ({0}),
Se f (a) = 0, como
g(a) = 0, então g(a) ≤ f (a).
¤
Proposição 2.2.8 Um reticulado limitado L é distributivo se e só se ²L (2.1.4)
é um isomorfismo.
Demonstração: Seja L um reticulado distributivo limitado, então ²0L (2.2.6)
é, a menos de isomorfismo, ²L . Logo ²L é um isomorfismo.
Dado um reticulado limitado L, como U L = Hom(L, 2r ) é um espaço topológico ordenado então F U L é um reticulado distributivo limitado (2.2.1). Assim,
se ²L é um isomorfismo então L é um reticulado distributivo limitado.
¤
Proposição 2.2.9 Um espaço topológico ordenado X é um espaço de Priestley
se e só se ηX é um isomorfismo.
0 (2.2.5) é, a menos
Demonstração: Seja X um espaço de Priestley, então ηX
de isomorfismo, ηX , logo ηX é um isomorfismo.
Dado X um espaço topológico ordenado, como F X = Hom(X, 2t ) é um reticulado distributivo limitado (2.2.1), Ip (F X) é um espaço de Priestley (2.2.4),
logo U F X é um espaço de Priestley, pois é isomorfo a Ip (F X) (2.2.7). Assim,
se ηX é um isomorfismo então X é um espaço de Priestley.
¤
As proposições anteriores conduzem-nos ao seguinte teorema
Teorema 2.2.10 A adjunção < F, U, η, ² >: T opOrd * Retop
0,1 induz uma equivalência dual entre a subcategoria dos espaços de Priestley e a subcategoria
dos reticulados distributivos limitados.
2.3 Reflexão de CHausOrd em P sp
Da adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1 , utilizando a dualidade anterior,
obtemos a reflexão de CHausOrd na categoria dos espaços de Priestley, cuja
40
Adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1
unidade tem por componente no ponto X
rX = ηX : X → R(X) = Hom(Hom(X, 2t ), 2r ).
De facto temos, denotando também por F e U os correspondentes functores
contravariantes,
T opOrd
.
.........
....
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.... .....
...
F
.....................................................................
Ret0,1
.....................................................................
U
.
.........
....
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
..
.....
...... . ...
....... .........
0
.
.
.
.......................................................................
CHausOrd
.
..........
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.... ....
...
H
P sp
F
F
...........................................................................
DRet
U0
com F a restrição de F a CHausOrd, e R = U 0 F adjunto à esquerda do functor
inclusão H.
Podemos descrever a reflexão da seguinte forma
< I, H, η, ² >: CHausOrd * P sp
(2.3)
onde :
• H é o functor inclusão
• I(X, τ, ≤) = (Hom(Hom(X, 2t ), 2r ), τ1 , ≤); com ≤ a ordem ponto a ponto
e τ1 a topologia definida em (2.1).
• ηX : X → HI(X), ηX (x) = avX,x ;
• A counidade é a identidade IH = Id.
3
Reflexão de CHausOrd em
P sp
Depois de termos determinado, no capítulo anterior, a reflexão da categoria dos espaços compactos Hausdorff ordenados na categoria dos espaços
de Priestley através da adjunção dual entre a categoria dos espaços topológicos ordenados e a categoria dos reticulados limitados, damos uma nova
forma de descrever a reflexão de CHausOrd em P sp. Para tal vamos definir
functores I1 : CHausP reord → StoneP reord, I2 : StoneP reord → P P reord e
I3 : P P reord → P sp, que são adjuntos esquerdos dos respectivos functores
inclusão, H1 , H2 , H3 .
3.1 A Reflexão CHaus → Stone
A reflexão da categoria CHausOrd em P sp é, embora existindo algumas
semelhanças, bastante diferente da reflexão para o caso das ordens triviais,
CHaus → Stone. Nesta secção apresentamos algumas dessas semelhanças e
diferenças.
Em primeiro lugar salientamos que um espaço de Priestley não é apenas
um espaço de Stone ordenado.
41
42
Reflexão de CHausOrd em P sp
Exemplo 3.1.1 Seja IN∞ a compactificação de Alexandroff do espaço discreto
dos números naturais, isto é IN∞ = {1, 2, 3, · · · } ∪ {∞} e os seus subconjuntos
abertos são os subconjuntos que ou não contêm o infinito ou têm complemento
finito. Equipando IN∞ com a ordem
{(1, a)|a ∈ IN} ∪ ∆IN∞
obtemos um espaço de Stone ordenado, que denotamos por IN0∞ . Mostremos
que não é um espaço de Priestley.
Sabemos que 1 6< ∞. Suponhamos que existe V subconjunto aberto-fechado
decrescente de IN0∞ tal que ∞ ∈ V e 1 ∈
/ V.
Como V é aberto-fechado de IN0∞ e ∞ ∈ V , existe a ∈ IN tal que a ∈ V , porque V é o complementar de um conjunto finito A. Mas 1 < a e V é decrescente,
então 1 ∈ V , o que é um absurdo.
¤
À semelhança do que foi feito na secção 2.1, podemos, também, mostrar
que existe uma adjunção entre Retop
0,1 e a categoria T op dos espaços topológicos
cuja equivalência induzida, no sentido de 1.1.4, é exactamente a dualidade de
Stone, isto é a equivalência entre a categoria Stone dos espaços de Stone e a
categoria dual da categoria das álgebras de Boole.
De facto, um espaço topológico pode ser considerado como um espaço topológico ordenado com a ordem trivial: x ≤ y se e só se x = y. Assim, podemos
considerar os functores Û = GU e F̂ = F E, sendo G o functor de esquecimento
de T opOrd em T op e E a inclusão de T op em T opOrd.
Sendo X um espaço topológico e L um reticulado limitado, as aplicações
de avaliação avX,x : Hom(X, 2t ) → 2r e avL,a : Hom(L, 2r ) → 2t são, respectivamente, um morfismo de reticulados limitados e uma aplicação contínua.
Além disso ηx e ²L são respectivamente uma função contínua e um morfismo
de reticulados limitados, sendo F̂ adjunto à esquerda de Û : Retop
0,1 → T op.
Vejamos, aplicando a proposição 1.1.4, que esta adjunção induz uma equivalência entre a categoria dos espaços de Stone e a categoria dual das álgebras
de Boole.
Dado um espaço topológico X, e sendo AF (X) o conjunto de todos os subconjuntos abertos-fechados de X, (AF (X), ∩, ∪) é uma álgebra de Boole, pois é
3.1 A Reflexão CHaus → Stone
43
um reticulado distributivo complementado. Pela proposição 2.2.1, o reticulado
limitado Hom(X, 2t ), com a ordem trivial em X, é isomorfo a AF (X)op , isto é
(AF (X), ⊆op ) que é isomorfo a (AF (X), ⊆), logo é uma álgebra de Boole.
Por outro lado, dada uma álgebra de Boole B, e considerando Ip (B) o conjunto de todos os ideais primos de B, temos que (Ip (B), τ ), com τ a topologia
definida em (2.2), é um espaço topológico compacto (2.2.2).
Resta provar que (Ip (B), τ ) é totalmente separado. De facto, pela proposição 2.2.3 (i), podemos concluir que, para uma álgebra de Boole B, se
I, J ∈ Ip (B) com I 6= J então existe a ∈ B tal que I ∈ Va e J ∈
/ Va , com Va
subconjunto aberto-fechado de (Ip (B), τ ), logo (Ip (B), τ ) é um espaço de Stone.
Assim, dado um espaço topológico X, temos que F̂ (X) é uma álgebra de Boole
e, consequentemente, que Ip (F̂ X) é um espaço de Stone. Logo, pela proposição
2.2.7, Hom(F̂ X, 2r ) com a ordem trivial em X é isomorfo ao espaço de Stone
Ip (F̂ (X)), e, portanto, Û F̂ X é um espaço de Stone.
Se considerarmos, na proposição 2.2.5, X um espaço de Stone, Ip (AF (X))
e Γx = {A ∈ AF (X)|x ∈
/ A} podemos concluir que X é isomorfo a Ip (AF (X)).
Assim, como F̂ X é isomorfo a AF (X), temos que
Û F̂ X ∼
= Û (AF (X) = Hom(AF (X), 2r ) ∼
= Ip (AF (X)),
seguindo-se a proposição:
Proposição 3.1.2 Um espaço topológico X é um espaço de Stone se e só
ηX : X → Û F̂ X é um isomorfismo.
Por outro lado, dado L um reticulado distributivo, temos que F̂ Û L é uma
álgebra de Boole, pois F̂ (X) é isomorfo à álgebra de Boole AF (X) para qualquer espaço topológico X.
Pela proposição 2.2.6 podemos concluir que toda a álgebra de Boole é isomorfa a AF (Ip (B)), pois os abertos-fechados de Ip (B) são também os conjuntos
Ua com a ∈ B. Assim, como Û B é isomorfo a Ip (B), temos que
F̂ Û B ∼
= F̂ (Ip (B)) = Hom(Ip (B), 2t ) ∼
= AF (Ip (B)),
seguindo-se a proposição:
44
Reflexão de CHausOrd em P sp
Proposição 3.1.3 Um reticulado limitado L é uma álgebra de Boole se e só se
²L : L → F̂ Û L é um isomorfismo.
Teorema 3.1.4 A adjunção dual < F̂ , Û , η, ² >: T op * Retop
0,1 define a equivalência dual entre a subcategoria dos espaços de Stone e a subcategoria das
álgebras de Boole.
Da adjunção dual entre T op e Ret0,1 deduz-se a reflexão da categoria dos
espaços compactos Hausdorff na categoria dos espaços de Stone, cuja componente unidade é rX = ηX : X → R(X) = Hom(Hom(X, 2t ), 2r ). No entanto, a
reflexão pode ser definida de uma forma mais directa, tal como apresentada
em [Bou66].
Seja (X, τ ) um espaço compacto Hausdorff. Considera-se a relação de equivalência em X definida por
x ∼ y ⇔ ∃A ⊆ X conexo : x, y ∈ A.
O conjunto das componentes conexas de X, Γ(X) = {Γx |x ∈ X}, é o respectivo
conjunto quociente. Sendo τ a topologia quociente relativamente à projecção
canónica γX : X → Γ(X), que a cada ponto x de X faz corresponder a sua componente conexa Γx , então (Γ(X), τ ) é um espaço de Stone e γX é a componente
em X da reflexão de CHaus em Stone.
A categoria dos espaços compactos Hausdorff é monádica sobre a categoria
dos conjuntos, aqui denotada por Conj. O mesmo não sucede com a categoria
dos espaços compactos Hausdorff ordenados.
O functor de esquecimento | − | : CHaus → Conj, que tem por adjunto à
esquerda o functor compactificação β tal que, para cada X, β(X) é a compactificação de Stone − C̆ech do correspondente espaço discreto, é monádico ([BJ01]
5.8.7).
O functor de esquecimento | − | : CHausOrd → Conj também tem adjunto
à esquerda definido em objectos por (β(X), τ, =). No entanto não é monádico
sobre Conj, pois não reflecte isomorfismos. Por exemplo, se X é um espaço
topológico finito e discreto, a aplicação f : (X, τ, =) → (X, τ, ≤), sendo ≤X não
3.1 A Reflexão CHaus → Stone
45
trivial, é um morfismo em CHausOrd , |f | é isomorfismo em Conj e f não é
isomorfismo de ordem.
A categoria CHaus, sendo uma categoria monádica sobre Conj, é exacta
([Bor94b] 4.4.5). Portanto, qualquer morfismo em CHaus se factoriza através
de um epimorfismo regular seguido de um monomorfismo ([Bor94b] 2.1.3), isto
é a categoria tem um sistema de factorização (EpiReg, M ono). Nesta categoria os epimorfismos regulares são as aplicações contínuas sobrejectivas e os
monomorfismos são as aplicações contínuas injectivas. Consequentemente, a
reflexão CHaus → Stone é regular epireflectiva.
Analisemos estes conceitos na categoria CHausOrd.
por considerar a categoria CHausP reord.
Começamos
Pelo teorema 1.7.6 o func-
tor esquecimento U : CHausP reord → CHaus tem adjunto à esquerda,
o functor F : CHaus → CHausP reord tal que F (X, τ ) = (X, τ, ∆X ), pois
ηX = IdX : X → U F X definido por ηX (x) = x é morfismo universal de X para
U.
Vamos descrever os epimorfismos regulares em CHausP reord.
Sejam (X, τ, ¹) ∈ CHausP reord e q : X → Q um epimorfismo regular em
CHaus, isto é
π1
...
X ×Q X .............................................................................................................. X
π
q
.................................................
Q
2
é o diagrama do co-igualizador em CHaus. Equipemos o espaço Q com a préordem que é o fecho transitivo de q × q(¹X ), portanto Q ∈ CHausP reord. Seja
f : X → C um morfismo em CHausP reord tal que f ◦ π1 = f ◦ π2 . Logo,
existe um único morfismo f1 : Q → C em CHaus com f1 (a) = f (x), x ∈ q −1 (a)
e, portanto, tal que f1 ◦ q = f . Vejamos que f1 ∈ CHausP reord, isto é que
preserva a pré-ordem.
Sejam a ¹ a0 em Q, então existem x01 ¹X x1 , x02 ¹X x2 , . . ., x0n ¹X xn tais
que
q(x01 ) = a,
q(xi ) = q(x0i+1 ), para i = 1, . . . n − 1,
q(xn ) = a0 .
Mas f preserva a pré-ordem, então f (x01 ) ¹C f (x1 ), . . ., f (x0n ) ¹C f (xn ).
46
Reflexão de CHausOrd em P sp
Por outro lado, se q(xi ) = q(x0i+1 ) então f (xi ) = f (x0i+1 ) para i = 1, . . . , n − 1.
Assim, tem-se
f1 (a) = f1 (q(x01 )) = f (x01 ) ¹C f (x1 ) = f (x02 ) ¹C . . . ¹C f (xn ) = f1 (q(xn )) = f1 (a0 ).
Portanto f1 (a) ¹C f1 (a0 ), seguindo-se a proposição:
Proposição 3.1.5 Dados X ∈ CHausP reord e q : X → Q um epimorfismo
regular em CHaus, atribuindo a Q a pré-ordem obtida através do fecho transitivo de q × q(¹X ) q é epimorfismo regular em CHausP reord.
Seja f : X → Y um morfismo em CHausP reord. Consideremos a factorização
(EpiReg, M ono) de f em CHaus,
f
X ................................................................. Y
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
......
........
q
.
..........
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
m
Q
(3.1)
Atribuindo a Q ∈ CHaus a pré-ordem obtida através do fecho transitivo de
q × q(¹X ), q é epimorfismo regular em CHausP reord e o morfismo m é monomorfismo em CHaus que preserva a pré-ordem. Obtemos assim a factorização
(EpiReg, M ono) de f em CHausP reord o que implica, como provámos em 1.4,
o resultado seguinte:
Proposição 3.1.6 A categoria CHausP reord tem um sistema de factorização
(EpiReg, M ono).
Como, em (3.1), m é injectiva, Q ∈ CHausOrd, portanto CHausOrd tem o
mesmo sistema de factorização (EpiReg, M ono) que CHausP reord.
Proposição 3.1.7 A categoria CHausOrd tem um sistema de factorização
(EpiReg, M ono).
Consideremos o seguinte exemplo:
Exemplo 3.1.8 Consideremos o espaço de Stone ordenado IN0∞ descrito no
exemplo 3.1.1 e IN∗∞ o espaço compactificação de um ponto do espaço discreto
3.1 A Reflexão CHaus → Stone
47
dos números naturais com a ordem 1 menor ou igual a a, para todo o natural a,
e 1 menor que ∞ e mais nenhum par ordenado. Note-se que IN∗∞ é um espaço
de Priestley.
Seja m :IN0∞ −→ IN∗∞ tal que m(x) = x para todo x ∈ IN0∞ . Ora m é um
monomorfismo, mas IN∗∞ é um espaço de Priestley e IN0∞ não.
¤
Assim a reflexão ordenada de CHausOrd em P sp não é regular epireflectiva (1.4.2)(iii).
Uma outra diferença relevante entre estas duas reflexões é que a reflexão de CHaus em Stone é admissível, efectivamente, mais do que isso, ela
tem unidades estáveis ([BJ01] 5.8.4) enquanto que a versão ordenada não é
admissível, como podemos verificar pelo seguinte exemplo:
Exemplo 3.1.9 Sejam X = IN0∞ e I(X) = IN∗∞ os espaços descritos no exemplo
anterior: de facto, é fácil ver que ηX = m é a reflexão de X em P sp. Seja
Y = {x, y} um espaço discreto com a ordem ∆Y ∪ {(x, y)}, sendo portanto um
espaço de Priestley.
Consideremos o seguinte diagrama:
48
Reflexão de CHausOrd em P sp
I(P
)
...........................................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.............................................................................
.
.....
.....
..........
.....
.
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...
.
.....
.
2
.....
P ......
.....
.
.....
.
.....
..
.
.
.....
..
.
.
.
.
.....
..
.....
...
.......
...
......
..
y
x
I(π )
η
P
...............................................................................
...
...
...
...
...
...
.....
.....
...
...
...
...
....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.....
..................................................................................
Y
y
...............................................................................
...
...
...
...
...
...
.....
.....
...
...
.
...
...
.........
....
....
....
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
.....
................................................................................
y
π2
.........................................
x
x
...
...
...
...
...
...
.
.........
.
ϕ
π1
X
...............................................................................
...
...
.....
.....
...
...
...
...
....
....
.
.
...
...
.
.
....... . ........ .......
...
...
........ ............. ...
...
...
.... . .. .
...
...
...
...
.....
.....
...
...
..
...
.................................................................................
2 3 4 . . .∞
1
...
...
...
...
...
...
.
.........
.
I(X)
ηX
.........................................
...............................................................................
...
...
.....
.....
...
...
...
...
....
....
.
.
...
...
.
.
.
.
....... . ........ ....... ........
...
...
........ ............. ... ....
...
...
.... . .. . ...
...
...
...
...
.....
.....
...
...
..
...
.................................................................................
2 3 4 . . .∞
1
onde
• ϕ(x) = 1, ϕ(y) = ∞, sendo, portanto, uma aplicação contínua que preserva a ordem;
• o produto fibrado é o espaço P = {x, y} discreto e finito com a ordem
trivial;
• I(P ) = P , pois x 6¹ y em P e existe U = {y} ∈ AF D(P ) tal que y ∈ U e
x∈
/ U.
Claramente I(π2 ) = π2 não é um isomorfismo em P sp e isso implica que a reflexão não é admissível já que a composição dos morfismos canónicos referida
na página 9, ²Y ◦ I(π2 ) : I(P ) → I(Y ) = Y , não é isomorfismo.
¤
3.2 A Reflexão de CHausP reord em
StoneP reord
49
3.2 A Reflexão de CHausP reord em
StoneP reord
Nesta secção descrevemos a reflexão de CHausP reord em StoneP reord
usando a descrição da reflexão da categoria CHaus em Stone através das
suas componentes conexas, apresentada na secção anterior. Mostramos que
esta reflexão não é admissível e apresentamos uma classe de morfismos em
StoneP reord para a qual é admissível.
Consideremos a subcategoria plena de CHausP reord dos espaços de Stone
pré-ordenados, denotada por StoneP reord.
Seja X ∈ CHausP reord, consideremos (Γ(X), τ ) o espaço das suas componentes conexas e ηX : (X, τX , ¹X ) → (Γ(X), τ, ¹ ) onde ¹ é a pré-ordem que é
o fecho transitivo de (ηX × ηX )(¹X ), isto é
Γx ¹ Γy ⇔ ∃x01 ¹ x1 , x02 ¹ x2 , ..., x0n ¹ xn em X tais que
(3.2)
Γx = ηX (x01 ),
ηX (xi ) = ηX (x0i+1 ), para i = 1, ..., n − 1 e
ηX (xn ) = Γy .
Logo (Γ(X), τ, ¹) ∈ StoneP reord, pois (Γ(X), τ ) é um espaço de Stone.
Proposição 3.2.1 Seja X um espaço compacto Hausdorff pré-ordenado, então
ηX é a reflexão de X na categoria dos espaços de Stone pré-ordenados.
Demonstração: Sejam X um espaço pré-ordenado compacto Hausdorff e Y
um espaço de Stone com uma pré-ordem. Seja f : X → Y uma aplicação contínua preservando a pré-ordem. Provemos que existe um único g : Γ(X) → Y
tal que g ◦ ηX = f .
Seja g : Γ(X) → Y tal que g(Γx ) = f (x).
Vamos mostrar que se Γx = Γy então f (x) = f (y).
Suponhamos que f (x) 6= f (y), então existe U , subconjunto aberto-fechado
de Y , tal que f (x) ∈ U e f (y) ∈
/ U , pois Y é um espaço de Stone.
50
Reflexão de CHausOrd em P sp
Como f é uma aplicação contínua, existe f −1 (U ) subconjunto aberto-fechado de X tal que x ∈ f −1 (U ) e y ∈
/ f −1 (U ). Então y ∈
/ Γx , porque
T
Γx = {A ∈ AF (X)|x ∈ A}, mas y ∈ Γy , logo Γx 6= Γy .
É evidente que g é contínua e é o único morfismo tal que g ◦ ηX = f .
Mostremos que g preserva a pré-ordem.
Sejam Γx , Γy ∈ Γ(X) tais que Γx ¹ Γy . Então existe uma sequência finita
x01 ¹ x1 , x02 ¹ x2 , ..., x0n ¹ xn em X com Γx = ηX (x01 ), ηX (xi ) = ηX (x0i+1 ), para
i = 1, ..., n − 1, e ηX (xn ) = Γy . Como f preserva a pré-ordem,
f (x01 ) ¹ f (x1 ), f (x02 ) ¹ f (x2 ), ..., f (x0n ) ¹ f (xn ). Temos que
Γx = Γx01 ⇒ f (x) = f (x01 ),
Γx1 = Γx02 ⇒ f (x1 ) = f (x02 ),
...,
Γxn = Γy ⇒ f (xn ) = f (y).
Então f (x) ¹ f (x1 ) ¹ f (x2 ) ¹ ... ¹ f (xn ) = f (y).
Como ¹ é transitiva, f (x) ¹ f (y).
¤
O functor inclusão
H1 : StoneP reord ,→ CHausP reord
tem adjunto à esquerda, o functor I1 ,
I1 : CHausP reord → StoneP reord,
(3.3)
onde:
• I1 (X, τ, ¹X ) = (Γ(X), τ , ¹) sendo Γ(X) = {Γx |x ∈ X} e τ a topologia
quociente relativamente à projecção;
• ¹ é o fecho transitivo de ηX × ηX (¹X ) (3.2);
• I1 (f ) : I1 (X) → I1 (Y ) tal que I(f )(Γx ) = Γf (x) .
Podemos descrever a reflexão
I1
CHausP reord
.......................................................................
⊥
.......................................................................
H1
da seguinte forma:
StoneP reord
(3.4)
3.2 A Reflexão de CHausP reord em
StoneP reord
51
• H1 é o functor inclusão;
• I1 é o functor definido em (3.3);
• ηX : X → H1 I1 (X), ηX (x) = Γx ;
• a counidade, ², é a identidade I1 H1 = Id.
Como a categoria CHausP reord tem um sistema de factorização
(EpiReg, M ono) (3.1.6) e ηX , para qualquer X ∈ CHausP reord, é epimorfismo
regular (3.1.5), a reflexão é regular epireflectiva e, portanto, o functor inclusão
H1 preserva e reflecte epimorfismos regulares (1.4.2) e
Proposição 3.2.2 A categoria StoneP reord tem um sistema de factorização
(EpiReg, M ono).
Um morfismo p diz-se epimorfismo regular estável para produtos fibrados
se o seu produto fibrado ao longo de qualquer morfismo é epimorfismo regular.
Proposição 3.2.3 Um morfismo p : E → B em StoneP reord sobrejectivo é
epimorfismo regular estável para produtos fibrados se e só se ¹B = p × p(¹E ).
Demonstração: Seja p : E → B um morfismo em StoneP reord sobrejectivo.
Se ¹B = p × p(¹E ) então p é epimorfismo regular em StoneP reord, isto é a
relação de pré-ordem em B é a pré-ordem obtida através do fecho transitivo
de p × p(¹E ).
Vejamos que p é estável para produtos fibrados. Consideremos o diagrama
do produto fibrado de p ao longo de um morfismo α,
π2
E ×B A ................................ A
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
...
...
...
...
.
1 .....
...
.
..........
.
π
E
α
..............................................
p
B
Sejam a ¹ a0 em A, então α(a) ¹ α(a0 ) em B e, pela hipótese, existem e ¹ e0
em E tais que p(e) = α(a) e p(e0 ) = α(a0 ). Portanto existem (e, a) ¹ (e0 , a0 ) em
52
Reflexão de CHausOrd em P sp
E ×B A tais que π2 (e, a) = a e π2 (e0 , a0 ) = a0 . Logo π2 é epimorfismo regular em
StoneP reord.
Seja p : E → B um epimorfismo regular em StoneP reord estável para
produtos fibrados. Vejamos que ¹B = p × p(¹E ).
Sejam b ¹ b0 em B. Consideremos o espaço finito e discreto A = {b ¹ b0 },
que é um espaço de Stone pré-ordenado, e o produto fibrado de p ao longo de α,
sendo α(b) = b, α(b0 ) = b0 . Como p é epimorfismo regular estável para produtos
fibrados, então π2 é epimorfismo regular em StoneP reord e temos o seguinte
diagrama,
π2
E ×B A ..................................... A
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
...
...
...
...
...
1 .....
...
..
..........
.
π
α
...................................................
E
p
B
Assim, como b ¹ b0 em A existem x01 ¹ x1 , x02 ¹ x2 , . . . , x0n ¹ xn em E ×B A
tais que π2 (x01 ) = b, π2 (xi ) = π2 (x0i+1 ), com i = 1, ..., n − 1 e π2 (xn ) = b0 . Mas
E ×B A = (p−1 (b) × b) ∪ (p−1 (b0 ) × b0 ), logo tem-se, para algum k = 1, ..., n,
π2 (x0k ) = b e π2 (xk ) = b0 , ou seja existem e ¹ e0 em E tais que p(e) = b e
p(e0 ) = b0 , como pretendíamos mostrar.
¤
Vejamos que a reflexão não é admissível.
A preservação por I1 de produtos fibrados da forma
π2
P = B ×I1 (B) A ................................ A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
...
...
...
...
...
.
1 .....
...
...
..
..........
.
π
B
α
.................................................
ηB
I1 (B)
com A ∈ StoneP reord (que é igual à admissibilidade da reflexão) significa que
3.2 A Reflexão de CHausP reord em
StoneP reord
53
I1 (π2 ) é um isomorfismo. De facto, no diagrama
P
ηP
.............................................................
...
...
...
...
...
...
..
1 .....
...
...
...
...
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
π
B
I1 (π2 )
I1 (P ) ...................................................... I1 (A) = A
Ã'!&2%"#$
I1 (π1 )
.............................................................
ηB
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
I1 (α) = α
......................... I (B)
I1 (B) ..I..........η................=
id 1
1 B
o quadrado Ã'&!2"%$# é um produto fibrado se e só se I1 (π2 ) é um isomorfismo.
Como os morfismos ηB têm fibras conexas, I1 (π2 ) é um homeomorfismo
([CJKP97], 7.2). Portanto basta exibir um morfismo α : A → I1 (B) para o qual
I1 (π2 ) não é um isomorfismo de ordem.
Exemplo 3.2.4 Seja B ∈ CHausP reord tal que Γb ¹ Γb0 e não existem x ¹ x0
tal que Γx = Γb e Γx0 = Γb0 . Consideramos o subespaço A = {Γb ¹ Γb0 } e seja
α : A → I1 (B) a inclusão. Então no produto fibrado
P
π2
........................................................
π
B
A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
...
...
...
...
...
.
1 .....
...
...
..
.........
.
α
.................................................
ηB
I1 (B)
onde α é o morfismo inclusão, P = {(x, Γb )|x ∼ b} ∪ {(x0 , Γb0 |x0 ∼ b0 } e
I1 (π2 ) : {Γ(x,Γb ) , Γ(x0 ,Γb0 ) } → {Γb ¹ Γb0 } não é um isomorfismo de ordem. De
facto se Γ(x,Γb ) ¹ Γ(x0 ,Γb0 ) existiria x ¹ x0 tal que Γx = Γb e Γx0 = Γb0 o que
contradiz a hipótese.
¤
Consideremos a seguinte classe de morfismos sobrejectivos de StoneP reord:
Θ = {ϕ : A → B|a ¹ a0 , ϕ(a) ¹ b ¹ ϕ(a0 ) ⇒ ∃a ∈ A : a ¹ a ¹ a0 }
(3.5)
Proposição 3.2.5 A adjunção (3.4) é admissível para a classe de morfismos
Θ.
54
Reflexão de CHausOrd em P sp
Demonstração: Vejamos que o functor I1 preserva o produto fibrado representado no seguinte diagrama :
B ×I1 (B) A .....................π......2.............................. A
...
...
...
...
...
...
...
...
.
1 .....
...
...
...
...
...
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
π
B
ϕ∈Θ
..........................................................................
ηB
I1 (B)
Mostremos que I1 (π2 ) : I1 (B ×I1 (B) A) → I(A) = A, é tal que
I1 (π2 )(Γ(x,a) ) ¹ I1 (π2 )(Γ(x0 ,a0 ) ) ⇒ Γ(x,a) ¹ Γ(x0 ,a0 ) .
Sejam a, a0 ∈ A tais que a = I1 (π2 )(Γ(x,a) ), a0 = I1 (π2 )(Γ(x0 ,a0 ) ) e a ¹ a0 .
Se a ¹ a0 então ϕ(a) ¹ ϕ(a0 ) em I1 (B), isto é existe uma sequência finita
x01 ¹ x1 , x02 ¹ x2 , ..., x0n ¹ xn em X com
ϕ(a) = ηX (x01 ) = Γx01 ,
Γx1 = ηX (xi ) = ηX (x0i+1 ) = Γx0i+1 , para i = 1, ..., n − 1, e
ϕ(a0 ) = ηX (xn ) = Γxn .
Então temos
ϕ(a) ¹ Γx1 ¹ Γx2 ¹ . . . Γxn−1 ¹ ϕ(a0 ) em I1 (B).
Logo, como ϕ ∈ Θ, existem a1 , a2 , . . . an−1 ∈ A tais que
a ¹ a1 ¹ a2 ¹ . . . ¹ an−1 ¹ a0 .
Logo existe (x01 , a) ¹ (x1 , a1 ), (x02 , a1 ) ¹ (x2 , a2 ), . . . (x0n , an−1 ) ¹ (xn , a0 ) em
X ×I(B) A tais que
Γ(x,a) = ηB×I1 (B) A (x01 , a),
ηB ×I1 (B) A(x1 , a1 ) = ηB×I1 (B) A (x02 , a1 ),
. . .,
ηB×I1 (B) A (xn , an ) = Γ(x0 ,a0 ) ,
ou seja Γ(x,a) ¹ Γ(x0 ,a0 ) .
Logo I1 (π2 ) é um isomorfismo em StoneP reord.
¤
3.3 A Reflexão de StoneP reord em P P reord
55
3.3 A Reflexão de StoneP reord em P P reord
Consideremos P P reord, a subcategoria plena da categoria StoneP reord
constituída pelos espaços de Stone pré-ordenados totalmente desconexos em
relação a essa pré-ordem.
Nesta secção, caracterizamos a reflexão de StoneP reord em P P reord utilizando uma relação de pré-ordem que separa os elementos através de subconjuntos abertos-fechados decrescentes.
Seja (X, τ, ¹) um espaço de Stone com uma pré-ordem ¹. Em (X, τ ) consideremos a seguinte relação binária:
x ¹1 y ⇔ (x ¹ y) ou (∀U ∈ AF D(X, τ, ¹) : y ∈ U ⇒ x ∈ U ).
(3.6)
A relação ¹1 é uma pré-ordem em (X, τ ) e (X, τ, ¹1 ) é um espaço de Stone
totalmente desconexo em relação à pré-ordem, portanto pertence a P P reord.
Para todo o X ∈ StoneP reord, definimos ηX : (X, τ, ¹) → (X, τ, ¹1 ) por
ηX (x) = x.
Proposição 3.3.1 Seja X um espaço de Stone com uma pré-ordem. Então ηX
é a reflexão de X na categoria P P reord.
Demonstração: Sejam (X, τ, ¹) um espaço de Stone com uma pré-ordem e
(Y, τY , ¹Y ) um espaço de Stone pré-ordenado totalmente desconexo em relação
à pré-ordem.
Seja f : X → Y uma aplicação contínua que preserva a pré-ordem. Mostremos que existe um único g : (X, τ, ¹1 ) → (Y, τY , ¹Y ) tal g ◦ ηX = f .
Definamos g : (X, τ, ¹1 ) → (Y, τY , ¹Y ) por g(x) = f (x).
A aplicação g é contínua, porque f é contínua.
Sejam x1 , x2 ∈ (X, τ, ¹1 ) tais que x1 ¹1 x2 . Provemos que g(x1 ) ¹Y g(x2 ),
isto é, f (x1 ) ¹Y f (x2 ).
Se x1 ¹1 x2 então x1 ¹ x2 ou ∀U ∈AF D(X,τ,¹) x2 ∈ U ⇒ x1 ∈ U .
Se x1 ¹ x2 , então f (x1 ) ¹Y f (x2 ), pois f preserva a pré-ordem.
Consideremos que x1 x2 e ∀U ∈AF D(X,τ,¹) x2 ∈ U ⇒ x1 ∈ U e suponhamos
56
Reflexão de CHausOrd em P sp
que f (x1 ) 6¹Y f (x2 ). Então existe U ∈ AF D(Y ) tal que f (x2 ) ∈ U e f (x1 ) ∈
/ U,
pois Y é um espaço de Stone totalmente desconexo em relação à pré-ordem.
Mas se U ∈ AF D(Y ), então f −1 (U ) ∈ AF D(X), porque f é contínua e
preserva a pré-ordem, logo existe f −1 (U ) ∈ AF D(X, τ, ¹) tal que x2 ∈ f −1 (U )
e x1 ∈
/ f −1 (U ), o que é uma contradição.
A aplicação g é o único morfismo tal que g ◦ ηX = f .
¤
Assim o functor inclusão
H2 : P P reord → StoneP reord
tem adjunto esquerdo, o functor I2 :
I2 : StoneP reord → P P reord
(3.7)
onde:
• I2 (X, τ, ¹) = (X, τ, ¹1 ) sendo ¹1 a relação de pré-ordem definida em
(3.6);
• I2 (f ) : I2 (X) → I2 (Y ) tal que I2 (f ) = f ;
Podemos, então, descrever a reflexão
I2
StoneP reord
.......................................................................
⊥
P P reord
.......................................................................
(3.8)
H2
da seguinte forma:
• H2 é o functor inclusão;
• I2 é o functor definido em (3.7);
• ηX : X → H2 I2 (X) é o morfismo identidade em Conj;
• a counidade, ², é a identidade I2 H2 = Id.
Como ηX , para todo o X ∈ StoneP reord, é um bimorfismo (isto é, um morfismo que é simultaneamente monomorfismo e epimorfismo) a reflexão é bireflectiva.
3.3 A Reflexão de StoneP reord em P P reord
57
Dados (X, τ, ¹) ∈ P P reord e q : X → Q um epimorfismo regular em
StoneP reord temos que ηQ ◦ q é epimorfismo regular em P P reord (1.1.3), e,
portanto,
Proposição 3.3.2 Seja p : X → B um morfismo em P P reord, (π1 , π2 ) o seu
par núcleo e q = co − ig(π1 , π2 ) em StoneP reord. Então p é um epimorfismo
regular se e só se
(i) p é sobrejectivo ;
(ii) b ¹B b0 ⇔ (b ¹Q b0 ou ∀U ∈ AF D(Q), b0 ∈ U ⇒ b ∈ U ).
Observação 3.3.3 Dado um morfismo p : X → B em P P reord, seja RB1 a préordem definida pelo fecho transitivo de p × p(RX ) e SB o conjunto de todos os
pares (b, b0 ) ∈
/ RB1 tais que b ∈ U sempre que b0 ∈ U para todo o aberto-fechado
U de B decrescente relativamente a RB1 . Então p é epimorfismo regular se
e só se RB = RB1 ∪ SB . Em particular p é epimorfismo regular se RB = RB1
sendo portanto, nesse caso, SB = ∅.
Dado um morfismo f : X → Y em P P reord, consideremos a sua factorização (EpiReg, M ono) f = m ◦ q em StoneP reord.
Sendo q : X → Q epimorfismo regular em StoneP reord então q 0 = ηQ ◦ q é
epimorfismo regular em P P reord e, portanto, tem-se
f
X ............................................................................................................................................................................................ Y
..... .......
0
..
.....
..... ..............
.......
.....
.......
.....
.........
.....
.....
........
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
.....
..........
.....
..... Q ....
.......
..
.......
..
..... . ..
q
q
....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.....
....
.....
.....
.....
.
.
.
.
...
.....
.....
.....
....
.....
.......
.......
.......
H2 I2 Q
η
m.0..................... ................
m
Q
Ora m0 é um morfismo em P P reord injectivo, pois dados a, a0 ∈ H2 I2 Q tais que
m0 (a) = m0 (a0 ) tem-se m(a) = m(a0 ), como m é monomorfismo em StoneP reord,
então a = a0 , logo m0 é monomorfismo em P P reord e f = m0 ◦q 0 é a factorização
de f em P P reord, o que implica o seguinte resultado.
58
Reflexão de CHausOrd em P sp
Proposição 3.3.4 A categoria P P reord tem um sistema de factorização
(EpiReg, M ono).
A reflexão (3.8) não é admissível, como podemos verificar pelo exemplo
3.1.9, e, portanto, não tem unidades estáveis.
3.4 A Reflexão de P P reord em P sp
Dado (X, τ, ¹) um espaço de Stone pré-ordenado totalmente desconexo em
relação à pré-ordem, consideremos a relação de equivalência em X definida
por
x∼y⇔x¹yey¹x
Seja (X, τ1 , ≤) um espaço onde: X = X/ ∼ é o conjunto quociente, τ1 é a
topologia quociente relativamente à projecção canónica ηX : X → X e ≤ é a
ordem induzida.
Para esta relação de equivalência tem-se [x] ≤ [y] ⇔ x ¹ y.
Proposição 3.4.1 O espaço (X, τ1 , ≤) é um espaço de Priestley.
Demonstração: O espaço é compacto por ser a imagem contínua de um espaço compacto. Vejamos que é totalmente desconexo em relação à ordem.
Seja [x] [y].
[x] [y] ⇒ x y ⇒ ∃U1 ∈ AF D(X) : x ∈
/ U1 e y ∈ U1 .
Consideremos U = {[a] ∈ X|a ∈ U1 }.
−1
U é um subconjunto aberto de (X, τ1 ), porque ηX
(U ) = U1 é um subcon−1
−1
(U ), então existe a0 ∈ U1
(U ). Seja a ∈ ηX
junto aberto de X. De facto U1 ⊆ ηX
tal que [a] = [a0 ]. O que significa que a ¹ a0 e a0 ¹ a.
Então a ¹ a0 , a0 ∈ U1 e U1 ∈ AF D(X) implica que a ∈ U1 . Logo U1 =
−1
ηX
(U ).
−1
Como ηX
(X − U ) = X − U1 , U é um subconjunto fechado de (X, τ1 ).
Mostremos que U é decrescente .
Sejam [a] ≤ [b], [b] ∈ U .
3.4 A Reflexão de P P reord em P sp
59
[a] ≤ [b] ⇒ a ¹ b.
[b] ∈ U ⇒ ∀x ∈ [b], x ∈ U1 .
Seja y ∈ [a].
y ∈ [a] ⇒ y ∼ a ⇒ y ¹ a e a ¹ y. Como a ¹ b, então y ¹ b. Mas b ∈ [b], logo
b ∈ U1 , U1 ∈ AF D(X), y ¹ b, concluímos, então, que y ∈ U1 , isto é [a] ∈ U .
Ora [y] ∈ U , porque y ∈ U1 , e como x ∈
/ U1 e x ∈ [x], [x] ∈
/ U , e segue-se a
conclusão.
¤
Proposição 3.4.2 Seja (X, τ, ¹) um espaço de Stone pré-ordenado totalmente
desconexo em relação à pré-ordem, então ηX é a reflexão de X em P sp.
Demonstração: Sejam (X, τ, ¹) um espaço de Stone pré-ordenado totalmente
desconexo em relação à pré-ordem e (Y, τY , ≤Y ) um espaço de Priestley.
Seja f : (X, τ, ¹) → (Y, τY , ≤Y ) uma aplicação contínua e preservando a
pré-ordem.
Provemos que existe um único g : (X, τ1 , ≤) → (Y, τY , ≤Y ) tal que g◦ηX = f .
Definamos g : (X, τ1 , ≤) → (Y, τY , ≤Y ) por g([x]) = f (x).
Seja x1 , x2 ∈ X tal que [x1 ] = [x2 ].
Se [x1 ] = [x2 ] então x1 ∼ x2 , isto é x1 ¹ x2 e x2 ¹ x1 . Mas f preserva a
pré-ordem, logo f (x1 ) ≤Y f (x2 ) e f (x2 ) ≤Y f (x1 ), então f (x1 ) = f (x2 ), porque
≤Y é uma relação de ordem, o que implica que g([x1 ]) = g([x2 ]).
A aplicação g é contínua, pois f é uma aplicação contínua, g ◦ ηX = f e ηX
é a aplicação quociente.
Mostremos que g preserva a ordem.
Sejam [x1 ], [x2 ] ∈ X tais que [x1 ] ≤ [x2 ].
Se [x1 ] ≤ [x2 ] então x1 ¹ x2 e f (x1 ) ≤Y f (x2 ), porque f preserva a préordem, logo g([x1 ]) ≤Y g([x2 ]).
Claramente g é o único morfismo tal que g ◦ ηX = f .
Assim o functor inclusão
H3 : P sp → P P reord
tem adjunto à esquerda, o functor I3 ,
¤
60
Reflexão de CHausOrd em P sp
I3 : P P reord → P sp,
(3.9)
onde:
• I3 (X, τ, ¹) = (X, τ1 , ≤) com [x] ≤ [y] ⇔ x ¹ y;
• I3 (f ) = I3 (X) → I3 (Y ) tal que I3 (f )([x]) = [f (x)].
E a reflexão
I3
P P reord
.....................................................................................................
⊥
.....................................................................................................
P sp
(3.10)
H3
é descrita por:
• H3 é o functor inclusão;
• I3 é o functor definido em (3.9);
• ηX : X → H3 I3 (X), ηX (x) = [x];
• a counidade, ², é a identidade I3 H3 = Id.
Dado um espaço (X, τ, ¹) em P P reord e ηX : (X, τ, ¹) → (X, τ, ≤) a componente da unidade da reflexão associada a X, o morfismo
(X, τ, ¹) → X2 = (X, τ, ¹X2 ),
com [x] ¹X2 [y] ⇔ ([x] ¹X1 [y] ou ∀U ∈ AF D(X1 ), [y] ∈ U ⇒ [y] ∈ U ) e
(X, τ, ¹) → X1 = (X, τ, ¹X1 ) epimorfismo regular em StoneP reord, é um
epimorfismo regular em P P reord visto que (X, τ, ≤X1 ) = (X, τ, ≤X2 ).
Assim, a reflexão é regular epireflectiva e, como a categoria P P reord tem
um sistema de factorização (EpiReg, M ono) (3.3.4), o functor H3 preserva e
reflecte epimorfismos regulares (1.4.2) e
Proposição 3.4.3 A categoria P sp tem um sistema de factorização
(EpiReg, M ono).
3.4 A Reflexão de P P reord em P sp
61
João Xarez em [Xar03] prova que a reflexão da categoria P reord das préordens na categoria Ord das ordens tem unidades estáveis. Utilizando este
facto, provamos que a reflexão P P reorder em P sp também tem unidades estáveis. Para isso consideramos o seguinte resultado geral:
Proposição 3.4.4 Sejam C, C1 , X, X1 categorias com produtos fibrados.
Sejam (I1 , H1 , η1 , ²1 ) : C1 * X1 uma reflexão plena com unidades estáveis e
H : X → C uma imersão plena que tem adjunto esquerdo, I a H : X → C.
Se existem functores V e U que preservam produtos fibrados tais que o
seguinte diagrama comuta
I
C
V
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
C1
...................................................
X
...................................................
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
H
U
.....................I’
..............................
.
...................................................
X1
H’
(3.11)
então a adjunção < I, H, η, ² >: C * X tem unidades estáveis se U reflecte
isomorfismos.
Demonstração: Seja
P
π
2
..............................................
π
A
B
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
...
...
...
...
.
1 .....
...
.
..........
.
β
.....................................
α
H(X)
um produto fibrado em C.
Suponhamos que o diagrama
P.
p2
.........................................
I(B)
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
...
...
...
...
1 .....
...
..
.........
..
p
I(β)
..
I(A) ................................IH(X)
I(α)
é o produto fibrado de I(β) ao longo de I(α).
62
Reflexão de CHausOrd em P sp
Como I(β) ◦ I(π2 ) = I(α) ◦ I(π1 ), existe um único morfismo ϕ : I(P ) → P
tal que p2 ◦ ϕ = I(π2 ) e p1 ◦ ϕ = I(π1 ).
Por outro lado, V preserva produtos fibrados, logo o diagrama
V (π2 )
V (P ) .................................................... V (B)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
V (π1 )
V (β)
V (A) .............................................. V H(X)
V (α)
(3.12)
é um produto fibrado em C1 e V H(X) = H1 (U (X)).
Como < I1 , H1 , η1 , ²1 >: C1 * X1 tem unidades estáveis e o diagrama (3.11)
é comutativo, o seguinte diagrama
I1 (π2 )
I1 V (P ) ......................................... I1 V (B)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
I1 V (β)
I1 V (π1 )
I1 V (A) .......................... I1 H1 (U (X))
I1 V (α)
é o produto fibrado de U I(β) ao longo de U I(α).
Mas U preserva produtos fibrados, logo o seguinte diagrama
U (p2 )
U (P ) .................................................. U I(B)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
U I(β)
U (p1 )
U I(A) ............................. I1 H1 (U (X))
U I(α)
é também produto fibrado de U I(β) ao longo de U I(α).
Como existe U ϕ : U I(P ) → U (P ) tal que U I(α) ◦ U I(π1 ) = U I(β) ◦ U I(π2 ),
então U ϕ é um isomorfismo.
Ora U reflecte isomorfismos, logo ϕ é um isomorfismo, e portanto o diagrama
3.4 A Reflexão de P P reord em P sp
63
I(π2 )
I(P ) ........................................................ I(B)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
I(π1 )
I(β)
I(P ) ................................................. IH(X)
I(α)
é o produto fibrado de I(β) ao longo de I(α), logo a adjunção
< I, H, η, ² >: C * X tem unidades estáveis.
¤
Consideremos o seguinte diagrama:
I
.....................................................................
.
PP
reord .....................................................................P sp.......
.
.....
V
....
...
.....
..... ...
......
...
......
...
.....
.
.
.
.
...
..
......
...
.......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
......
......
...
......
...
......
..
......
...... . ..........
........
. ..
H
StoneP reord
.... ...
..... ... ...........
......
...
......
...
......
...
......
......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
...
..
...
....
...
...
...
...
...
...
...
.....
.....
...
...
...
...
....
....
...
...
...
...
0
...
...
...
...
...
.
.
.
.
....
.
.
....
.
.
...
.
.
.
.
....
.
.....
.
.....
.........
......
..
........
.........
StoneOrd
V0
U
U
I0
...........................................................................
P reord ...........................................................................Ord
Stone
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
..
0
Conj
H0
(3.13)
Proposição 3.4.5 O functor U reflecte isomorfismos.
Demonstração: Seja ϕ : (X, τ, ≤) → (Y, τ, ≤) um morfismo na categoria dos
espaços de Priestley.
Suponhamos que U (ϕ) : (X, ≤) → (Y, ≤) é um isomorfismo na categoria dos
conjuntos ordenados. Então ϕ é sobrejectiva, mas X, Y são espaços compactos
de Hausdorff, logo ϕ é um epimorfismo regular. Como ϕ é monomorfismo, ϕ é
um isomorfismo na categoria dos espaços de Priestley.
Proposição 3.4.6 Os functores U e V preservam produtos fibrados.
¤
64
Reflexão de CHausOrd em P sp
Demonstração: Conclui-se vendo como são construídos os limites em P sp
(1.8.3 e 1.8.4).
¤
Teorema 3.4.7 A reflexão (3.10) tem unidades estáveis.
Demonstração: O diagrama (3.13) é comutativo, os functores U e V preservam produtos fibrados , o functor U reflecte isomorfismos e a reflexão
P reord
.....................................................................
⊥
Ord
.....................................................................
tem unidades estáveis ([Xar03]), logo podemos concluir que a reflexão (3.10)
tem unidades estáveis (3.4.4).
¤
3.5 A Reflexão de CHausOrd em P sp
Aqui provamos que o functor inclusão P sp ,→ CHausOrd tem como adjunto
esquerdo o functor composição dos functores adjuntos esquerdos das inclusões
P sp ,→ P P reord ,→ StoneP reord ,→ CHausP reord restrito a CHausOrd, utilizando o resultado geral apresentado na proposição 3.5.1.
Proposição 3.5.1 Dados functores H : X → C, H 0 : X → C0 e a imersão plena
E : C → C0 tal que E ◦ H = H 0 então, se H 0 tem adjunto à esquerda I 0 , o functor
I 0 E é adjunto à esquerda de H.
0
Demonstração: Consideremos a adjunção I 0 a H 0 (η 0 , ²0 ), ηE(C)
: E(C) →
H 0 I 0 E(C) e f : E(C) → EH(X) um morfismo em C0 (e portanto em C porque C
é plena). Pela universabilidade de η 0
0
ηE(C)
E(C) ...................................................... H 0 I 0 E(C)= EHI 0 E(C)
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
......
......
f
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
.
........
.
H 0 (f 0 )
= EH(f 0 )
H 0 (X)= EH(X)
I 0 E(C)
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
.
........
.
f0 ∈ X
X
3.5 A Reflexão de CHausOrd em P sp
65
0
existe um único morfismo f 0 ∈ X tal que H 0 (f 0 ) ◦ ηE(C)
= f.
Mas H 0 (f 0 ) = EH(f 0 ) e, como E é uma imersão plena, temos a seguinte
situação em C
ηC
I 0 E(C)
C .................................................................. HI 0 E(C)
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.......
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
.
........
.
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
.
........
.
H(X)
X
f
H(f )
f ∈X
sendo portanto ηC um morfismo universal de C para H.
¤
Corolário 3.5.2 O functor H : P sp → CHausOrd tem adjunto à esquerda.
Demonstração: Estamos nas condições da proposição anterior com
CHausOrd
E
......
..... ..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
........
........
.....
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
.....
.....
.....
......
0
.....
..............................................................................................
.
.
............................................................................................
H
H
>
CHausP reord
P sp
I0
onde I 0 = I3 ◦ I2 ◦ I1 .
¤
Temos, então, a seguinte reflexão:
I
.....................................................................................................
P sp
CHausOrd.................................................⊥
....................................................
H
onde:
• H é o functor inclusão;
• I é o functor I 0 restrito a CHausOrd.
• ηX : X → HI(X), ηX (x) = [Γx ];
(3.14)
66
Reflexão de CHausOrd em P sp
• a counidade ² é a identidade IH = Id.
A reflexão (3.14) não é admissível, e portanto não tem unidades estáveis.
O contra exemplo apresentado em 3.1.9 serve também para este caso, uma
vez que também X ∈ CHausOrd e Y ∈ P sp.
4
Morfismos de descida efectiva
em P sp
Neste capítulo caracterizamos os morfismos de descida nas categorias
P P reord e P sp e provamos que um morfismo em P sp é morfismo de descida
efectiva nessa categoria se e só se é morfismo de descida efectiva em P P reord.
4.1 Descida e descida efectiva numa categoria
Apresentamos, nesta secção, as definições de morfismos de descida e de
descida efectiva numa categoria C com produtos fibrados através do functor
de comparação de Eilenberg-Moore, Φ : C/B → (C/E)T , atendendo a que, para
a fibração em causa, monacidade e descida coincidem [BR70].
Seja B um objecto numa categoria C, consideremos a categoria (C/B) cujos
α
objectos são os pares (A, α) com A um objecto e A → B um morfismo em C e os
f
f
morfismos (A, α) → (A0 , α0 ) são os morfismos A → A0 em C tais que α0 ◦ f = α.
f
Observações 4.1.1 Um morfismo A → C em C para o qual existe um morγ
f
fismo C → B pode ser visto como um morfismo (A, γ ◦ f ) → (C, γ) em (C/B).
A categoria (C/B) tem produtos fibrados e o produto fibrado de um morf
g
fismo (A, α) → (C, γ) ao longo de um morfismo (D, δ) → (C, γ) pode ser cons67
68
Morfismos de descida efectiva em P sp
truído como um produto fibrado de f ao longo de g em C. Por isso, muitas vezes, um diagrama envolvendo produtos fibrados em C também pode ser usado
como um diagrama em (C/B).
Seja C uma categoria com produtos fibrados e seja p : E → B um morfismo
em C, então existe uma adjunção associada a p, p! a p∗ : C/B → C/E.
O functor p∗ é definido por p∗ (A, α) = (E ×B A, π1 ) e p∗ (f ) = 1 ×B f
π
b2
E ×B A0 .......................................................................................................................................................................................... A0
...
.......
...
.......
...
B
.......
...
.......
...
.........
...
.......
...
...
...
...
...
...
...
... 1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
1×
f
f
E ×B A
π
b
.... .
..... ...
..... ...
.....
.
.
.
...
.
.
.....
...
........
...
........
..
.
...
...
...
.
.
.
...
...
... 0
...
...
...
...
...
..
.
...
...
...
..
...
..
... ....
.
... ..
.. .
....................
. .
.........................................................
π2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
α
π1
E
A
α
.......................................................................
p
B
com π1 , π2 as projecções.
O functor p! é definido pela composição: p!(C, γ) = (C, pγ) e p!(g) = g. A
unidade da adjunção, η, é o único morfismo tal que o seguinte diagrama
..............................................
C .......................................id
C
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
..
γ
E
.....
.....
..... (c,γ)
.....
.....
.....
......
.......
η
.........
π2 .............. .
...
.....
....
.....
E .×B C
...
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
...
1
.........
........
π
.................................................................................
p
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
..
pγ
B
comuta; a counidade ² é definida por ²(A,α) = π2 : (E ×B A, pπ1 ) → (A, α).
A esta adjunção, pela proposição 1.3.1, associamos a mónada
T = (p∗ p!, η, µ = p∗ ²p!)
em C/E, com
• T (C, γ) = (E ×B C, π1 ), (C, γ) ∈ C/E;
(4.1)
4.1 Descida e descida efectiva numa categoria
69
• T (g : (C, γ) → (C 0 , γ 0 )) = g : (E ×B C, π1 ) → (E ×B C 0 , π10 ) com
(
π10 ◦ g = π1
π20 ◦ g = g ◦ π2
(
• η : IdC/E → p ∗ p! é tal que, para (C, γ) ∈ C/E,
π1 ◦ η(C,γ) = γ
π2 ◦ η(C,γ) = 1C
• µ : p∗ p!p∗ p! → p∗ p! é tal que, para (C, γ) ∈ C/E, µ(C,γ) = p∗ ²p!(C,γ) .
A categoria das álgebras (C/E)T associada à mónada T = (T, η, µ) é constituída pelos objectos (C, γ; ξ) em que (C, γ) ∈ C/E e ξ é um morfismo de
(E ×B C, π1 ) em (C, γ) na categoria C/E tal que
ξ ◦ η(C,γ) = 1C e ξ ◦ T (ξ) = ξ ◦ µ(C,γ)
ou seja, tal que os diagramas (onde denotamos T (ξ) por ξ e µc,γ por π2 )
η(C,γ)
C .................................................. E ×B C
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
C
...
.....
.....
...
.....
...... ..........
......
1
ξ
e
E ×B (E ×B C) ........................................................... E ×B C
...
...
...
...
...
...
.
C .....
...
...
..
..........
.
π2 = µ
ξ
ξ
E ×B C ............................................ξ.................................................... C
C
comutam.
Consideremos o functor de comparação de Eilenberg-Moore
(
Φ : C/B → (C/E)T :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
Φ(A, α) = (p∗ (A, α), p∗ ²(A,α) )
Φ(f ) = p∗ (f )
70
Morfismos de descida efectiva em P sp
π20
..................................................................................................
..................
...............
.............
.............
...........
...........
..........
...........
.
.
.
.
.
.
.
..
....
.......
E ×B (E ×B A)
...
...
...
...
...
...
...
...
... 2
...
...
...
...
...
...
...
.........
...
...
...
...
.
0 .....
...
1 .....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1 .....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... .........
....... ..
.
E ×.B A
π = p∗ ²(A,α)
π
π2
E ×B A ................................................................................................. A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
π
E
...
...
...
....
..
...
...
....
..
...
...
....
..
...
...
..
.
...
...
...
..
.
.
...
...
..
...
.
.
...
.........
.
....
.....
.....
....
.
.
.
.
.....
....
....
.......
.......
π2 = ²(A,α)
pπ1
α
p
...............................................................................................................
B
Desta forma obtemos o seguinte diagrama comutativo
T
.......................................................................
C/B.................................................................Φ
(C/E)
.
.....
........ ....
......... .......
..... .....
..... .....
..... .....
..... ......
∗
..... ....
..... .....
..... ......
..... ....
..... .....
..... ......
..... ....
..... .....
..... .....
..... ......
..... .....
..... .......
....
p
p!
... ......
..... ......
..... .....
..... .........
.
.
.
.
..... ....
∗T .......... ..........
.... ....
.... .........
.
.
.
.
.... ....
..... .....
T
..... .....
..... .....
..... .........
.
.
.
.
. .
........... ........
............
.
p
p!
C/E
Definição 4.1.2 Um morfismo p : E → B diz-se um morfismo de descida se p∗
é pré-monádico, isto é, se Φ é fiel e pleno.
Definição 4.1.3 Um morfismo p : E → B diz-se um morfismo de descida efectiva se p∗ é monádico, o que significa que Φ é uma equivalência de categorias.
Proposição 4.1.4 Seja C uma categoria com produtos fibrados. O functor de
comparação Φ : C/B → (C/E)T tem um adjunto à esquerda L se e só se (C/B)
tem co-igualizadores dos pares (ξ, π2 ), para (C, γ; ξ) ∈ (C/E)T , e L(C, γ; ξ) =
(Q, δ), em que (Q, δ) é o co-domínio do co-igualizador de (ξ, π2 ) em C/B.
Definição 4.1.5 Seja C uma categoria. Um morfismo p : E → B em C é um
epimorfismo regular estável para produtos fibrados se para todo o produto
fibrado
4.1 Descida e descida efectiva numa categoria
71
π2
E ×B A ................................ A
...
...
...
...
.
1 .....
...
.
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
π
E
α
..............................................
p
B
(4.2)
π2 é epimorfismo regular. Em particular, tomando α = 1B , vem que o próprio p
é epimorfismo regular.
Uma vez que, para (A, α) ∈ C/B, ²(A,α) = π2 resulta do produto fibrado de p
com α, temos numa categoria C o seguinte resultado que será usado frequentemente nesta tese.
Proposição 4.1.6 Um morfismo p : E → B é morfismo de descida se e só se p
é um epimorfismo regular estável para produtos fibrados.
Na proposição seguinte enunciamos factos relativos à mónada induzida
pela adjunção p! a p∗ : C/B → C/E demonstrados em [ST92] e que utilizaremos para caracterizar os morfismos de descida efectiva em P P reord.
Proposição 4.1.7
Para
a
mónada
T
induzida
pela
adjunção
p! a p∗ : C/B → C/E temos que para qualquer T-álgebra (C, γ; ξ)
(i) o par (π2 , ξ) é uma relação de equivalência em C que é efectiva se e só se
α(C,γ,ξ) é um monomorfismo para toda a álgebra (C, γ, ξ);
(ii) se q =co-igualizador(π2 , ξ) então
q(c) = q(c0 ) ⇔ ξ(γ(c), c0 ) = c ⇔ ξ(γ(c0 ), c) = c0 .
Se C/B tem co-igualizadores de relações de equivalência então o functor
Φ tem adjunto à esquerda, L. A componente da unidade da adjunção
L a Φ : C ↓ B → (C/E)T no ponto (C, γ; ξ) é o único T-morfismo
α(C,γ;ξ) : (C, γ; ξ) → ΦL(C, γ; ξ)
tal que
α(C,γ;ξ) ◦ ξ = 1 ×B q(= p∗ (q)).
72
Morfismos de descida efectiva em P sp
Equivalentemente, é o único morfismo de C para o qual comutam os dois
triângulos de cima no diagrama
q
C ..................................................................................... Q
γ
... ...
...
.....
..
...
...
.....
..
...
...
.........
...
...
...
...
...
...
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.
.
.
.
.......... . ........
1
.. .......
.
........
......
.....
.....
.
.
.
.
...
2
.....
.....
π
E ×B Q
π
E
.................................................................................
p
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
..
δ
B
portanto, α(C,γ;ξ) é um monomorfismo se e só se (γ, q) é um par conjuntamente
monomórfico.
Proposição 4.1.8 Para uma T-álgebra (C, γ; ξ) as seguintes condições são equivalentes:
(i) (π2 , ξ) é uma relação de equivalência efectiva;
(ii) α(C,γ;ξ) é um monomorfismo.
Com a notação definida nesta secção enunciamos o Teorema 2.3 de [ST92].
Teorema 4.1.9 Um epimorfismo regular numa categoria C é um morfismo de
descida efectiva se e só se, para qualquer T-álgebra (C, γ; ξ), a relação de equivalência (π2 , ξ) é efectiva e o seu co-igualizador é um morfismo de descida em
C.
4.2 Morfismos de descida efectiva em P P reord
Vamos estudar os morfismos de descida efectiva em P P reord utilizando a
teoria das mónadas tal como a exposta na secção anterior.
Começamos por caracterizar os morfismos de descida em P P reord.
Proposição 4.2.1 Um morfismo p : E → B em P P reord (P sp) é morfismo de
descida se e só se ¹B = p × p(¹E ).
4.2 Morfismos de descida efectiva em P P reord
73
Demonstração: Se ¹B = p×p(¹E ) então ¹B é o fecho transitivo de p×p(¹E )
e SB = ∅ (veja observação 3.3.3). Logo p é epimorfismo regular em P P reord
(P sp).
Vejamos que é estável para produtos fibrados. Consideremos o diagrama
do produto fibrado de p ao longo de um morfismo α,
π2
E ×B A ................................ A
...
...
...
...
.
1 .....
...
.
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
π
E
α
..............................................
p
B
Sejam a ¹ a0 em A, então α(a) ¹ α(a0 ) em B, pela hipótese, existem e ¹ e0
em E tais que p(e) = α(a) e p(e0 ) = α(a0 ), portanto existem (e, a) ¹ (e0 , a0 ) em
E ×B A tais que π2 (e, a) = a e π2 (e0 , a0 ) = a0 . Logo π2 é epimorfismo regular em
P P reord (P sp).
Seja p : E → B um morfismo de descida em P P reord (P sp), então p é
epimorfismo regular estável para produtos fibrados. Vejamos que ¹B = p ×
p(¹E ).
Sejam b ¹ b0 em B. Consideremos o espaço finito e discreto A = {b ¹ b0 }
e o produto fibrado de p ao longo de α, sendo α(b) = b, α(b0 ) = b0 . Como p é
epimorfismo regular estável para produtos fibrados, então π2 é epimorfismo
regular em P P reord (P sp) e temos o seguinte diagrama,
π2
E ×B. A ..................................... A
.
...
...
...
...
...
1 .....
...
..
..........
.
π
E
q ηA0 ...........
.....
.....
......
........
A0
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
...................................................
B
...
....
p
α
com q epimorfismo regular em StoneP reord e ηA0 a reflexão de A0 em P P reord.
Mas ηA0 é a identidade em T op, logo A0 ∈ P P reord (P sp) pois é finito e discreto, portanto A0 = A. Assim, como b ¹ b0 em A, existem x01 ¹ x1 , x02 ¹
x2 , . . . , x0n ¹
xn em E ×B A tais que π2 (x01 ) = b, π2 (xi ) = π2 (x0i+1 ), com
i = 1, ..., n − 1, e π2 (xn ) = b0 . Mas E ×B A = (p−1 (b) × b) ∪ (p−1 (b0 ) × b0 ),
logo tem-se, para algum k = 1, ..., n, π2 (x0k ) = b e π2 (xk ) = b0 , ou seja existem
e ¹ e0 em E tais que p(e) = b e p(e0 ) = b0 , como pretendíamos mostrar.
¤
74
Morfismos de descida efectiva em P sp
Proposição 4.2.2 Sejam C0 uma categoria com produtos fibrados, C uma subcategoria plena de C0 fechada para produtos fibrados e p : E → B um morfismo
de C.
(i) Se p é morfismo de descida em C0 , então p é morfismo de descida em C.
(ii) Se p é morfismo de descida efectiva em C0 , então p é morfismo de descida
efectiva em C se e só se
E ×B A ∈ C ⇒ A ∈ C
para qualquer produto fibrado (4.2) em C0 .
Demonstração: Sejam Φ : C0 /B → DesC0 (p) o functor de comparação definido em C0 /B e Φ1 : C ↓ B → DesC (p) o definido em C/B.
(i) Consideremos p : E → B um morfismo de descida em C0 , logo Φ é fiel
e pleno. Como o functor Φ restringe-se e co-restringe-se a Φ1 então Φ1
também é fiel e pleno, isto é, p é um morfismo de descida em C.
(ii) Seja p : E → B um morfismo de descida efectiva em C0 , então Φ é uma
equivalência, logo p é de descida em C0 , e por (i) é também de descida
em C. Suponhamos que p é de descida efectiva em C, isto é Φ1 é uma
equivalência, e consideremos o produto fibrado
π2
E ×B A ................................ A
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
...
...
...
...
.
1 .....
...
.
..........
.
π
E
α
..............................................
p
B
em C0 com E ×B A em C.
Como π1 está em C, Φ(A, α) ∈ DesC (p), logo existe (A0 , α0 ) ∈ (C/B) tal que
Φ1 (A0 , α0 ) ∼
= Φ(A, α), como Φ restringe-se e co-restringe-se a Φ1 , temos
Φ(A0 , α0 ) = Φ1 (A0 , α0 ) e Φ(A0 , α0 ) ∼
= Φ(A, α), mas, sendo Φ fiel e pleno reflecte isomorfismos e portanto (A0 , α0 ) ∼
= (A, α), logo A0 ∼
= A em C0 . Como
4.2 Morfismos de descida efectiva em P P reord
75
A0 ∈ C e C é fechada para isomorfismos (por se fechada para produtos
fibrados), A ∈ C.
Reciprocamente, seja (C, γ, ξ) ∈ DesC (p), como C é fechada para produtos
fibrados, (C, γ, ξ) ∈ DesC0 (p).
Como Φ é uma equivalência, existe
(A, α) ∈ DesC0 (p) tal que Φ(A, α) = (C, γ, ξ), em particular, para algum q
C
γ
q
..............................................
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
E
A
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
α
..............................................
p
B
é um produto fibrado. Como C ∈ C e por hipótese A ∈ C, então
(A, α) ∈ (C/B). Como Φ1 (A, α) ∼
= Φ(A, α) = (C, γ, ξ), Φ1 é isomorficamente denso. Mas Φ1 é também fiel e pleno, pois p é de descida em C,
logo Φ1 é uma equivalência, isto é, p é um morfismo de descida efectiva
em C.
¤
Para C0 = P P reord e C = F inP reord, a categoria dos espaços pré-ordenados
finitos que se pode identificar com a subcategoria plena dos espaços finitos de
P P reord (atribuindo a cada (X, ≤) em C a topologia discreta), π2 : E ×B A → A
é sobrejectivo e E ×B A ∈ F inP reord então A ∈ F inP reord. Logo, p : E → B,
em F inP reord, é um morfismo de descida efectiva em F inP reord se é morfismo de descida efectiva em P P reord.
Morfismos de descida efectiva em F inP reord (em P reord) foram caracterizados em [JS02], Proposição 3.4, da seguinte forma:
Proposição 4.2.3 Um morfismo p : E → B em F inP reord (em P reord) é morfismo de descida efectiva se e só se para toda a cadeia b0 ≤ b1 ≤ b2 em B existe
e0 ≤ e1 ≤ e2 em E tal que p(ei ) = bi para i = 0, 1 e 2.
É agora fácil mostrar que a classe dos morfismos de descida efectiva em
P P reord é uma subclasse própria da classe dos morfismos de descida.
Exemplo 4.2.4 Seja E = {e0 , e00 , e1 , e01 , e2 , e02 } com
RE = {(e0 , e1 ), (e01 , e2 ), (e00 , e02 )} ∪ ∆E
76
Morfismos de descida efectiva em P sp
e B = {b0 , b1 , b2 } com
RB = {(b0 , b1 ), (b1 , b2 ), (b0 , b2 )} ∪ ∆B .
Então p : E → B com
p(e0 ) = p(e00 ) = b0 , p(e1 ) = p(e01 ) = b1 e p(e2 ) = p(e02 ) = b2
é um morfismo de descida em P P reord mas não é morfismo de descida efectiva
nessa categoria, pois, caso contrário, seria morfismo de descida efectiva em
F inP reord o que é falso.
¤
Para qualquer morfismo p : E → B em P P reord, (π2 , ξ) é uma relação de
equivalência efectiva pois α = α(C,γ;ξ) é monomorfismo para toda a T-álgebra
(C, γ; ξ). De facto α é injectiva como vamos provar. Consideremos o diagrama
π2
q
..
.
E ×B C ............................................................................................................ C .. ........................................................ Q
..
ξ
... .......
.....
...
.......
...
.....
...
...
...
...
...
...
....
..
.....
......... .........
. ..........
1
α
γ
........
......
.....
....
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
π
E ×B Q
π
E
Sejam
c, c0
∈ C tais que α(c) =
α(c0 ).
........................................................
p
δ
B
Como α(C,γ;ξ) (c) = (γ(c), q(c)) temos
γ(c) = γ(c0 ) e q(c) = q(c0 ).
Ora q(c) = q(c0 ) ⇔ ξ(γ(c0 ), c) = c0 ⇔ ξ(γ(c), c0 ) = c.
Como ξ(γ(c0 ), c0 ) = c0 , porque ξ ◦ η(C,γ) = 1, temos que
c = ξ(γ(c), c0 ) = ξ(γ(c0 ), c0 ) = c0 , portanto α é injectiva.
Além disso, como α(C,γ;ξ) ◦ ξ = 1 ×B q e 1 ×B q é sobrejectivo (porque q é
sobrejectivo) então α é sobrejectivo.
Vemos assim (tal como observado em [ST92], depois do corolário 2.8) que α
é um bimorfismo em qualquer categoria concreta sobre a categoria dos conjuntos cujo functor de esquecimento preserva produtos fibrados e co-igualizadores.
Neste caso, como P P reord é uma subcategoria plena de CHaus, α(C,γ;ξ) é um
homeomorfismo para todo o (C, γ; ξ).
Proposição 4.2.5 Um morfismo de descida p : E → B em P P reord é de descida efectiva se e só se para toda a T-álgebra (C, γ; ξ), se U ∈ AF D(C) então
α(U ) ∈ AF D(E ×B Q).
4.3 Morfismos de descida efectiva em P sp
77
Demonstração: Já vimos que, na adjunção L a Φ(α, β), β é um isomorfismo
natural se e só se p é morfismo de descida. Sabemos também que α(U ) é
aberto-fechado se U é aberto-fechado visto α ser homeomorfismo. Se α é um
isomorfismo em P P reord então α(U ) é decrescente se U o for.
Reciprocamente, sejam c, c0 ∈ C tais que α(c) ¹ α(c0 ). Vejamos que c ¹ c0 .
Suponhamos que c 6¹ c0 , então, como C é totalmente desconexo em relação
à pré-ordem, existe U aberto-fechado decrescente em C tal que c0 ∈ U e c ∈
/ U.
Como α é um homeomorfismo α(U ) é também aberto-fechado decrescente de
E ×B C e α(c0 ) ∈ α(U ) e α(c) ∈
/ α(U ), o que é um absurdo.
Assim α é um isomorfismo em P P reord para todo o (C, γ; ξ), logo p é morfismo de descida efectiva nessa categoria.
¤
4.3 Morfismos de descida efectiva em P sp
Como P P reord tem produtos fibrados e P sp é uma subcategoria plena e
fechada para produtos fibrados, utilizamos a proposição 4.2.2 e o facto da
reflexão ter unidades estáveis para mostrar que os morfismos de descida efectiva em P sp são os morfismos desta categoria que são morfismos de descida
efectiva em P P reord.
Como qualquer espaço finito e discreto com qualquer ordem é um espaço
de Priestley e os epimorfismos regulares em P sp são epimorfismos regulares
em P P reord, (4.2.1) é verdadeira para P sp e podemos afirmar que
Proposição 4.3.1 Um morfismo em P sp é morfismo de descida nessa categoria se e só se é morfismo de descida em P P reord.
Teorema 4.3.2 Um morfismo em P sp é morfismo de descida efectiva nessa
categoria se e só se é morfismo de descida efectiva em P P reord.
Demonstração: Seja p : E → B um morfismo em P sp de descida efectiva
em P P reord.
Dado o produto fibrado
78
Morfismos de descida efectiva em P sp
π2
E ×B A ................................ A
...
...
...
...
.
1 .....
...
.
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
π
E
α
..............................................
p
B
(4.3)
em que E, B, E ×B A ∈ P sp, vamos provar que A é um espaço de Priestley.
Sabemos que a reflexão
I3
P P reord
.......................................................................
.......................................................................
P sp
H3
tem unidades estáveis, logo, como B ∈ P sp, I3 preserva o produto fibrado (4.3).
Portanto, como o rectângulo Ã'&!1"%$# + Ã'&!2"%$# e o quadrado Ã'&!2"%#$ são produtos fibrados,
π2
E ×B A ................................................................ A
η
...
...
...
...
...
...
...
..
E×B A .....
...
...
...
...
...
.
..........
.
Ã'&!1"%$#
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
ηA
I3 (E ×B A) .............................................. I3 (A)
I3 (π2 )
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
Ã'&!2"%$#
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
E
...............................................................................
B
I3 (π1 )
I3 (p) = p
α0 = I3 (α)
concluímos que o quadrado Ã'&!1"%$# é um produto fibrado, portanto p∗ (ηA ) = ηE×B A .
Como E ×B A ∈ P sp, a reflexão correspondente é um isomorfismo, isto é p∗ (ηA )
é um isomorfismo. Como p é, em particular, um morfismo de descida efectiva
em P P reord, então o functor p∗ é monádico e, portanto, reflecte isomorfismos.
Assim ηA é um isomorfismo, logo A é um espaço de Priestley.
Reciprocamente, se p : E → B em P sp é morfismo de descida efectiva em
P sp vamos provar que é também morfismo de descida efectiva em P P reord.
Se p é morfismo de descida em P sp ele é também morfismo de descida em
P P reord (4.3.1).
4.3 Morfismos de descida efectiva em P sp
79
Seja (C, γ; ξ) uma T-álgebra da mónada induzida em P P reord/E pela adjunção p! a p∗ : P P reord ↓ B → P P reord/E e q =co-igualizador(π2 , ξ). Temos
de provar que, no diagrama
π2
..
E ×B C ............................................................................................................. C
ξ
γ
q
........................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
E
Q
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
........................................................
p
δ
B
q é morfismo de descida em P P reord.
Como a reflexão I3 : P P reord → P sp tem unidades estáveis, portanto
preserva produtos fibrados de morfismos com codomínio em P sp, temos que
(I3 (C), I3 (γ), I3 (ξ)) é uma T-álgebra para a mónada definida pela adjunção
p! a p∗ : P sp/B → P sp/E. Além disso, e atendendo a que a reflexão I3 preserva
colimites, I3 (q) =co-igualizador(I3 (π2 ), I3 (ξ)) em P sp. Então, no seguinte diagrama
C
η
q
...............................................................................
Q
Ã'!&1%"#$
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
...
...
...
...
...
...
...
...
C .....
...
...
...
...
...
.........
..
ηQ
I3 (C) ................................................................ I3 (Q)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
I3 (q)
Ã'!&2%"#$
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
...............................................................................
B
I3 (γ)
E
p
I3 (δ)
o quadrado Ã'!&2%"#$ é produto fibrado, isto é I3 (q) é morfismo de descida, pois p é
morfismo de descida efectiva em P sp.
Como p é morfismo de descida efectiva em P P reord se e só se o rectângulo
Ã'!&1%"#$ + Ã'&!2%"#$ é produto fibrado e o quadrado Ã'&!2"%$# é produto fibrado, vamos provar que
o quadrado Ã'&!1"%$# é produto fibrado.
Seja h : C → I3 (C) ×I3 (Q) Q definido por h(c) = ([c], q(c)) para todo o c ∈ C,
80
Morfismos de descida efectiva em P sp
vejamos que h é homeomorfismo e isomorfismo de ordem.
Considerando o seguinte diagrama
C .... .................
.........
... .......
.........
... ......
.........
... ......
.........
.....
.........
...
.....
.........
...
.....
.........
...
.........
.....
...
.........
.
.
.....
...
.........
.
.
......
.........
...
.........
.
.
.
.
.
...
..
......... .
...
...........
...
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..................................
...
...
3
2
...
...
.....
..........
...
.....
....
.....
.....
C ......
.....
.....
....
.....
...
.....
.
.
.
.
.
.
.
.....
...
.
.....
.......
....
...
....
...
...
...
...
...
.
...
..... 1
...
..
...
... .....
..
... ..
...
... ...
..
..
........ .....
.
.
. ......
.
...
...
..
...................................................................
...
3
...
...
...
...
..
.
...
..
...
.
...
...
...
...
...
...
..
...
.
3
...
...
...
...
... ....
... ...
... ...
.
...................
.
h
q
I3 (C) ×I
(Q)
η
Q
π
t
E ×B Q
π
I3 (C)
I (q)
...............................................................................
p
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
ηQ
I3 (Q)
I (γ)
E
Q
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
I3 (δ)
B
temos que E ×B Q é isomorfo a I3 (C) ×I3 (Q) Q, e h é, a menos de isomorfismo,
α(C,γ,ξ) , pois h = t−1 ◦ α(C,γ,ξ) .
Como o functor de esquecimento de P P reord na categoria dos conjuntos
preserva produtos fibrados e epimorfismos regulares, as componentes de α
são bimorfismos portanto são homeomorfismos.
Além disso, dados c, c0 ∈ C tais que h(c) ≤ h(c0 ), temos que [c] ≤ [c0 ] em
I3 (C) e portanto c ¹ c0 em C, logo h é isomorfismo em P P reord.
¤
5
Um sistema de factorização
reflectivo
Neste capítulo vamos descrever o sistema de factorização induzido em
P P reord pela reflexão P P reord → P sp.
5.1 Factorizações reflectivas
Dadas uma categoria C finitamente completa e X uma subcategoria reflectiva de C, define-se em C um sistema de pré-factorização (E, M) tomando
E = (H(morX))↑ , M = (H(morX))↑↓ .
Proposição 5.1.1 Sejam C uma categoria finitamente completa e
< I, H, η, ² >: C * X
uma reflexão da categoria C na subcategoria X. Tem-se
(i) f ∈ E se e só se I(f ) é um isomorfismo;
(ii) se e ∈ E e e ◦ f ∈ E então f ∈ E;
(iii) ηA : A → HI(A) está em E.
81
82
Um sistema de factorização reflectivo
Se a categoria C é finitamente bem completa, isto é, além de admitir limites finitos admite intersecções arbitrárias de subojectos, este sistema de
pré-factorização (E, M) é um sistema de factorização, como demonstrado em
[CHK85] (3.5).
Seja C uma categoria finitamente completa. Consideremos a adjunção
< I, H, η, ² >: C * X
(5.1)
Para cada objecto B em C esta adjunção induz a adjunção
< I B , H B , η B , ²B >: C/B * X/I(B),
(5.2)
da categoria dos objectos sobre B em C na categoria dos objectos sobre I(B) em
X, tal que H B a cada (X, ϕ) faz corresponder o produto fibrado de (H(X), H(ϕ))
ao longo do morfismo ηB , e I B a cada (A, α) faz corresponder (I(A), I(α)).
Proposição 5.1.2 Se a adjunção (5.1) é admissível e a co-unidade ² : IH → Id
é um isomorfismo então o morfismo f : A → B pertence a M se e só se o
diagrama
A
f
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
B
ηA
.............................................................
IA
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
If
ηB
.............................................................
IB
é um produto fibrado. Por outras palavras, o morfismo f pertence a M se e só
B
se o morfismo unidade η(A,f
) da adjunção induzida (5.2) é um isomorfismo.
Proposição 5.1.3 Se a adjunção (5.1) é admissível e a co-unidade ² : IH → Id
é um isomorfismo então (E, M) é um sistema de factorização.
5.2 Factorização reflectiva definida por
I a H : P sp → P P reord
Como a reflexão < I, H, η, ² >: P P reord * P sp tem unidades estáveis
(3.4.7), ela é admissível. Portanto, por 5.1.3, P P reord tem um sistema de
factorização reflectivo (E, M).
5.2 Factorização reflectiva definida por
I a H : P sp → P P reord
83
Adoptando a terminologia usada em [Xar03], damos descrições explicitas
da classe M das coberturas triviais e da classe E dos morfismos verticais.
Proposição 5.2.1 Um morfismo f : A → B em P P reord é vertical se e só se
verifica as duas condições seguintes:
(i) para quaisquer dois objectos a e a0 em A, se f (a) ¹ f (a0 ) em B então a ¹ a0
em A;
(ii) para qualquer objecto b em B, existe um objecto a em A tal que b ¹ f (a) e
f (a) ¹ b em B.
Demonstração: Seja f : A → B um morfismo em P P reord vertical, então
I(f ) é um isomorfismo em P sp (5.1.1 (i)). Logo f verifica as condições (i) e (ii).
De facto, sejam a, a0 ∈ A tais que f (a) ¹ f (a0 ) em B. Temos:
f (a) ¹ f (a0 ) em B ⇒ [f (a)] ≤ [f (a0 )] em I(B)
⇒ I(f )([a]) ≤ I(f )([a0 ])
⇒ [a] ≤ [a0 ] em I(A)
⇒ a ¹ a0 em A.
Seja b ∈ B, então [b] ∈ I(B). Logo existe [a] ∈ I(A) tal que I(f )([a]) = [b],
isto é, existe a ∈ A tal que b ¹ f (a) e f (a) ¹ b.
Reciprocamente, seja f : A → B um morfismo em P P reord satisfazendo as
condições (i) e (ii). O morfismo I(f ) é contínuo.
Vejamos que é sobrejectivo. Seja [b] ∈ I(B), então b ∈ B, logo pela condição
(ii) existe a ∈ A tal que b ¹ f (a) e f (a) ¹ b. Assim, existe [a] ∈ I(A) tal que
I(f )([a]) = [f (a)] = [b].
Sejam [a], [a0 ] ∈ I(A) tais que I(f )([a]) = I(f )([a0 ]). Temos,
I(f )([a]) = I(f )([a0 ]) ⇒ [f (a)] = [f (a0 )]
⇒ f (a) ∼ f (a0 )
⇒ f (a) ¹ f (a0 ) e f (a0 ) ¹ f (a)
⇒ (por (i))a ¹ a0 e a0 ¹ a
⇒ [a] = [a0 ].
Logo I(f ) é injectiva.
Assim I(f ) é um isomorfismo de ordem, pois I é um functor e f verifica
84
Um sistema de factorização reflectivo
a condição (i), portanto I(f ) é um isomorfismo em P sp, ou seja f pertence à
classe E.
¤
Proposição 5.2.2 Um morfismo f : A → B em P P reord pertence a M se e só
se as aplicações [a] → [f (a)], induzidas por f para qualquer objecto a ∈ A, são
bijecções.
Demonstração: Seja f : A → B um morfismo em P P reord tal que as aplicações [a] → [f (a)], induzidas por f para qualquer objecto a ∈ A, são bijecções.
Seja < I B , H B , η B , ²B >: P P reord ↓ B * P sp ↓ I(B) a adjunção induzida
pela adjunção < I, H, η, ² >: P P reord * P sp.
Consideremos o seguinte diagrama
.................................
ηA
..............
A
...........
... .....
B
.....
.
η
.
...
..... (A,f )
...
..
...
.....
...
.. .
...
.......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
..........
.....
.....
.
..........
....
P
f
..........
.........
.........
.........
.........
..........
........
.
2
................................................................
π
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.........
..
π1
B
I(A)
I(f )
...............................................................
ηB
I(B)
B
Mostremos que η(A,f
) é um isomorfismo.
Os objectos de P são todos os pares (b, [a]) ∈ B × I(A) tais que [b] = [f (a)].
Seja (b, [a]) ∈ P . Como [b] = [f (a)], b ∈ [f (a)], então, pela hipótese, existe
B
0
a0 ∈ [a] tal que f (a0 ) = b. Logo existe a0 ∈ A tal que η(A,f
) (a ) = (b, [a]), ou seja
B
η(A,f
) é sobrejectiva.
B
B
0
Sejam a, a0 ∈ A tais que η(A,f
) (a) = η(A,f ) (a ). Temos,
B
B
0
0
0
η(A,f
) (a) = η(A,f ) (a ) ⇒ (f (a), [a]) = (f (a ), [a ])
⇒ f (a) = f (a0 ) e [a] = [a0 ]
⇒ a, a0 ∈ [a] e f (a) = f (a0 )
⇒ (porhipótese) a = a0 .
B
B
0
0
0
B
Como η(A,f
) (a) ¹ η(A,f ) (a ) ⇔ a ¹ a , quaisquer que sejam a, a ∈ A, η(A,f ) é
um isomorfismo.
B
Reciprocamente, seja f : A → B um morfismo em P P reord tal que η(A,f
) é
5.2 Factorização reflectiva definida por
I a H : P sp → P P reord
85
um isomorfismo. Seja a ∈ A. Mostremos que a aplicação [a] → [f (a)] induzida
por f é uma bijecção.
B
Seja b ∈ [f (a)]. Como [b] = [f (a)], (b, [a]) ∈ P , então, como η(A,f
) é um
B
0
0
isomorfismo, existe a0 ∈ A tal que η(A,f
) (a ) = (b, [a]), isto é existe a ∈ [a] tal
que f (a0 ) = b.
Sejam a1 , a2 ∈ [a] tais que f (a1 ) = f (a2 ). Logo (f (a1 ), [a1 ]) = (f (a2 ), [a2 ]),
B
B
B
ou seja η(A,f
) (a1 ) = η(A,f ) (a2 ) o que implica a1 = a2 , pois η(A,f ) é injectiva.
¤
6
Uma terceira forma de obter
espaços de Priestley
A categoria dos espaços de Priestley surge na equivalência induzida por
uma adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1 (2.2.10), tal como Stone aparece na
equivalência induzida pela adjunção análoga para as ordens triviais (3.1.4).
Ela é também uma subcategoria de T opP reord cujos objectos são limite de
determinados espaços pré-ordenados, finitos e discretos (1.8.8). Neste capítulo
vamos provar que P sp substitui mais uma vez Stone na versão ordenada de
um certo tipo de compactificação.
6.1 Compactificações de espaços topológicos
Uma compactificação do espaço topológico E é um espaço compacto E1 e
uma imersão i : E → E1 tal que i(E) é denso em E1 , isto é, i(E) = E1 . Se todo
o morfismo f de E num espaço compacto E2 se factoriza através de i,
i
E ................................................................. E1
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...........
f
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
f
E2
87
88
Uma terceira forma de obter espaços de Priestley
daí resulta, em vários casos, a universabilidade de i relativamente a um functor inclusão e a definição da reflexão correspondente.
Dado um espaço topológico E, usamos a notação
Q
S
E para o produto de S
cópias de E. Chamaremos a esse tipo de espaços espaços potência de E.
Um espaço topológico X diz-se completamente regular se para todo o subconjunto fechado A de X e x ∈
/ A, existe uma função contínua f : X → [0, 1] tal
que f (x) = 0 e f (A) = 1.
Um espaço Tychonoff é um espaço Hausdorff completamente regular.
Todo o espaço topológico X em que cada um dos seus pontos tem uma base
de vizinhanças constituída por abertos-fechados diz-se zero-dimensional.
Seja E um espaço topológico Hausdorff. Consideremos a subcategoria
plena de T op dos subespaços de espaços potência de E, denotada por
E-completamente regular, e a subcategoria plena de E-completamente regular
dos subespaços fechados de espaços potência de E, denotada por E-compacto.
Sejam E um espaço topológico Hausdorff e X um espaço E-completamente
regular, ou seja, X é subespaço de um espaço potência de E, isto é, existe uma
Q
imersão X ,→ S E para algum S. Suponhamos, sem perda de generalidade,
que S é o conjunto das aplicações contínuas de X em E, S = T op(X, E). Temos,
ϕ
X ..........................................................
Q
E
S
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
..... ..........
.......
ps
s
E
sendo s uma aplicação contínua, ps a projecção e ϕ = avX,s a aplicação avaliação, isto é ϕ(x) = (s(x))s∈S .
Assim o espaço X é, por hipótese, isomorfo ao subespaço de
por ϕ(X) = {(s(x))s∈S |x ∈ X}.
Define-se R(X) como o fecho de ϕ(X) em
Q
S
Q
S
E definido
E, ϕ(X) (portanto R(X) ∈ E-
compacto) e ηX = i ◦ ϕ sendo i a imersão de ϕ(X) em ϕ(X).
6.1 Compactificações de espaços topológicos
89
Proposição 6.1.1 Dado X um subespaço de um espaço potência de um espaço
Hausdorff E, então ηX : X → R(X) é a unidade da reflexão
R : E-completamente regular → E-compacto.
Demonstração: Sejam Y um subespaço fechado do espaço potência de E e
f : X → Y um morfismo em E-completamente regular.
Para o espaço Y temos o seguinte diagrama,
X
f
.........................................
η
Q
..
.....
Y
........................
...................................
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.........
.......
Y
R(Y )
q
S0
E
...
...
...
...
...
...
.
.........
.
pq
E
sendo S 0 = T op(Y, E). Como q ∈ S 0 então q ◦ f ∈ S, logo pela definição de
Q
Q
produto existe um único morfismo h : S E → S 0 E tal que pq ◦ h = pq◦f ,
Q
E
S
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
h
Q
S0
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..... q◦f
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.......
q
....................................................
E
p
p
E
O morfismo h é definido por h((es )s∈S ) = (ês0 )s0 ∈S 0 , onde ês0 = es0 ◦f .
Portanto, h(ϕ(X)) ⊆ ϕ(Y ), porque h((s(x))s∈S ) = (s0 (f (x)))s0 ∈S 0 , e h(ϕ(X)) ⊆
h(ϕ(X)) ⊆ ϕ(Y ), isto é h(R(X)) ⊆ R(Y ), portanto a restrição h0 de h a
R(X) é uma função contínua de R(X) em R(Y ) tal que h0 ◦ ηX = ηY ◦ f ,
X
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
η
X
...............................................................................................................................................
.....
.............................................
......................................................
∼
=
ϕ(X)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
Q
ηY
...............................................................................................................................................
.....
..............................................
......................................................
∼
=
ϕ(Y )
mas, Y é subespaço fechado de
Q
é um isomorfismo. Fazendo f =
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
h
..
...
R(Y ) ..............................................
S 0 E, portanto
ηY−1 ◦ h0 tem-se
E
S
h0
f
Y
..
...
R(X) ..............................................
Q
S0
E
Y ∼
= ϕ(Y ) ∼
= ϕ(Y ) = R(Y ) e ηY
f : R(X) → Y com f ◦ ηX = f .
90
Uma terceira forma de obter espaços de Priestley
O morfismo f é o único morfismo de E-compacto tal que f ◦ ηX = f , porque,
em Haus, ηX é um epimorfismo pois é uma aplicação contínua com imagem
densa. Logo ηX é a unidade da reflexão.
¤
Se E é espaço de Hausdorff, os espaços E-completamente regulares são
exactamente aqueles que podem ser imersos de forma universal na sua "compactificação do tipo E".
Vejamos alguns exemplos,
Exemplo 6.1.2 Tomando E = I = [0, 1],
I-completamente regular= Tych,
a categoria dos espaços de Tychonoff, e
I-compacto= CHaus
¤
Exemplo 6.1.3 Tomando E = 2 = {0, 1}
2-completamente regular= zero-dimensional +T2 ,
a categoria dos espaços Hausdorff e zero-dimensional, e
2-compacto=Stone
como demonstrado por Banaschewski em [Ban55], que denota por ζ a reflexão
2-completamente regular
ζ
..............................................................................................
2-compacto
Supondo X um espaço discreto então X é Hausdorff e zero-dimensional,
portanto pertence à categoria I-completamente regular e à categoria 2-completamente regular.
Considerando a compactificação de Stone-C̆ech de X, β(X), e a reflexão de
β(X) em Stone, bem como a reflexão de X, ζ(X), em Stone, existe um único
morfismo h : β(X) → ζ(X) tal que h ◦ ηX = σX , porque ζ(X) é um espaço
6.2 Compactificação de espaços topológicos ordenados
91
compacto Hausdorff e existe um único morfismo h0 : β(X)/ ∼→ ζ(X) tal que
h0 ◦ rβ(X) = h, porque ζ(X) é espaço de Stone,
X
η
X
...........................................................................
rβ(X)
β(X) ......................................................... β(X)/ ∼
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..
X ............
.....
.....
.....
.....
......
........
σ
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
h
..
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
0
.....
.
.
.
.
....
.....
.....
..........
.
.....
h
ζ(X)
com x ∼ y se e só se Γx = Γy . Como rβ(X) ◦ηX e σX são reflexões de X em Stone,
∼ ζ(X) se e só se as componentes coentão h0 é um isomorfismo. Assim β(X) =
nexas de β(X) são conjuntos singulares, são os chamados espaços fortemente
zero-dimensionais.
Como X é um espaço topológico discreto, as componentes conexas de β(X)
são os pontos e temos β(X) ∼
= (β(X)/ ∼) ∼
= ζ(X), subespaço fechado de uma
potência de 2, logo β(X) é um espaço de Stone.
¤
6.2 Compactificação de espaços topológicos ordenados
Dado um espaço topológico Hausdorff ordenado E, consideremos as subcategorias plenas de T opOrd dos subespaços de espaços potência de E com a
ordem induzida, denotada por E-completamente regular ordenado e a categoria E-compacto ordenado dos subespaços fechados de espaços potência de E.
Temos a versão ordenada de 6.1.1 e dois exemplos importantes.
Tomando E = I = [0, 1] com a topologia e a ordem de subespaço de IR (com
a topologia e ordem usuais) a categoria I-completamente regular ordenado é
a categoria dos espaços completamente regulares ordenados, I-compacto ordenado a categoria dos espaços compactos ordenados e a reflexão
β
I-completamente regular ordenado................................................ I-compacto ordenado
é a compactificação de Nachbin-Stone C̆ech, ([Nac65], página 104).
92
Uma terceira forma de obter espaços de Priestley
Consideremos o espaço discreto ordenado 2 = {0 < 1} e as categorias
2-completamente regular ordenado e 2-compacto ordenado. Existe uma reflexão
ζ
2-completamente regular ordenado................................................. 2-compacto ordenado
que nos dá uma nova forma de obter espaços de Priestley:
tal como 2-compacto=Stone temos que 2-compacto ordenado=Psp.
Teorema 6.2.1 A categoria 2-compacto ordenado é a categoria dos espaços de
Priestley.
Demonstração: Toda a potência de 2 é um espaço de Priestley, porque, para
Q
qualquer conjunto S, S 2 é compacto e totalmente desconexo em relação à
ordem (1.8.4). Como todo o subespaço fechado de um espaço de Priestley é um
espaço de Priestley, por 1.8.3 e atendendo a que todo o subconjunto fechado de
um compacto é compacto, então todo o subespaço fechado de uma potência de
2 é um espaço de Priestley.
Reciprocamente, vejamos que se X é um espaço de Priestley então é um
subespaço fechado de alguma potência de 2.
Seja X um espaço de Priestley e S = T opOrd(X, 2) o conjunto dos morfismos de X para 2 em T opOrd. Consideremos a aplicação avaliação
Q
ϕ : X → S 2, isto é ϕ(x) = (s(x))s∈S , e temos
Q
ϕ
X .. ........................................................ S 2
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
..
.....
...... ..........
.
.
.
......
ps
s
2
O morfismo X → ϕ(X) é sobrejectivo e contínuo. Vejamos que ele é injectivo.
Sejam x, x0 ∈ X tais que x 6= x0 , então x 6≤ x0 ou x0 6≤ x. Suponhamos que
x 6≤ x0 . Então, como X é totalmente desconexo em relação à ordem, existe um
subconjunto aberto-fechado decrescente U de X tal que x0 ∈ U e x ∈
/ U . Assim
6.2 Compactificação de espaços topológicos ordenados
93
x0 ∈ U , com U aberto-fechado decrescente, e x ∈ (X − U ), com (X − U ) abertofechado crescente, logo existe um morfismo s0 : X → 2 em S tal que s0 (U ) = 0 e
s0 (X − U ) = 1. Portanto, ϕ(x) = (s(x))s∈S 6= ϕ(x0 ) = (s(x0 ))s∈S , logo X → ϕ(X)
é uma bijecção contínua e consequentemente é homeomorfismo.
Mas X → ϕ(X) é também isomorfismo de ordem, pois, como provámos, se
x 6≤ x0 então ϕ(x) 6≤ ϕ(x0 ).
Assim o espaço de Priestley X é isomorfo ao espaço ϕ(X) que é um subespaço fechado de um espaço de potências de 2, por ser subespaço compacto de
um espaço de Hausdorff.
¤
Considerações finais
O estudo da reflexão da categoria dos espaços compactos Hausdorff ordenados na categoria dos espaços de Priestley levou-nos a uma generalização, crucial para o desenvolvimento dos nossos trabalhos, que consistiu na substituição de ordem por pré-ordem. As novas categorias, a categoria dos espaços compactos Hausdorff pré-ordenados CHausP reord e a categoria dos espaços de
Stone pré-ordenados totalmente desconexos em relação à pré-ordem P P reord,
permitiram-nos analisar semelhanças e diferenças entre esta reflexão e a reflexão correspondente para o caso das ordens triviais, CHaus → Stone. Também provámos que um morfismo na categoria dos espaços de Priestley é morfismo de descida efectiva nessa categoria se e só se é morfismo de descida
efectiva em P P reord.
A adjunção entre a categoria T op dos espaços topológicos e a categoria
dual da dos reticulados limitados Ret0,1 e a equivalência por ela induzida determinam a reflexão da categoria CHaus dos espaços compactos Hausdorff na
categoria Stone dos espaços de Stone. Pelo mesmo processo obtém-se a reflexão de CHausOrd na categoria P sp dos espaços de Priestley. Tal como Stone é
a subcategoria plena de T op dos espaços limite de espaços finitos e discretos,
P P reord é a subcategoria de T opP reord dos espaços limite de espaços finitos
discretos e pré-ordenados, sendo os objectos de P sp limite de determinados
espaços desse tipo.
Se E é espaço de Hausdorff os espaços E-completamente regulares são
exactamente aqueles que podem ser imersos de forma universal na sua "compactificação do tipo E". Da mesma forma que, tomando E = 2 = {0, 1}, a
"compactificação do tipo E" é a categoria dos espaços de Stone, a "compactificação do tipo E" quando consideramos o caso ordenado e E = 2 = {0 < 1} é
a categoria dos espaços de Priestley. Assim, uma vez mais, os espaços de Pri-
95
96
Considerações finais
estley substituem os espaços de Stone quando é considerado o caso ordenado.
Temos então três formas diferentes de se obter espaços de Priestley.
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Índice de categorias
17
CHaus
(espaços topológicos
compactos Hausdorff)
17
Stone
(espaços de Stone)
18
Top
(espaços topológicos)
18
TopPreord
(espaços topológicos pré-ordenados)
18
TopOrd
(espaços topológicos ordenados)
22
Psp
(espaços de Priestley)
23
PPreord
(espaços de Stone pré-ordenados
totalmente desconexos em relação
à pré-ordem)
27
CHausOrd
(espaços topológicos
compactos Hausdorff ordenados)
27
Ret0,1
(reticulados limitados)
41
CHausPreord
(espaços topológicos compactos
Hausdorff pré-ordenados)
41
StonePreord
(espaços de Stone pré-ordenados)
63
StoneOrd
(espaços de Stone ordenados)
88
E-completamente regular
(subespaços de espaços potência de E)
88
E-compacto
(subespaços fechados de espaços potência de E)
91
E-completamente regular
(subespaços de espaços potência de E com
ordenado
a ordem induzida)
E-compacto ordenado
(subespaços fechados de espaços potência de E
91
com a ordem induzida)
101