Apresentação aula 01B

Filtros Passivos
1) Filtro Passa-baixas
É um circuito elétrico capaz de deixar passar tensão e corrente somente em baixas
freqüências, atenuando as altas freqüências.
(a) Filtro passa-baixas RC
• Função de transferência (ganho e fase)
− jX C
Ve
R − jX C
Vs =
1
1
V
1
j ϖC
jϖC
=
=
G= s =
jRCϖ + 1 1 + j(ϖRC)
Ve R + 1
jϖ C
jϖC
XC =
⎡
⎤
1
⎢G =
⎥
1 + (ϖRC) 2 ⎥⎦
⎣⎢
α = − tg −1 (ϖRC )
1
ϖC
[
1
= −j
j
• Freqüência de corte
1
1
G =
=
2
2
1 + (ϖ C RC )
• Fase em fc
α = − tg −1 (ϖRC )
1 + (ϖ C RC ) = 2
ϖC =
2
(ϖ C RC)2 = 1
1 ⎤
⎡
⎢⎣ϖ C = RC ⎥⎦ ou
]
1
RC
[α = − tg (1) = −45 ]
1 ⎤
⎡
⎢⎣f C = 2πRC ⎥⎦
−1
o
• Curva característica
G dB = 20. log G
f =0
∴ G dB = 0
∴ α = 0o
f → ∞ ∴ G dB = −∞ ∴ α = −90 o
(b) Filtro passa-baixas RL
• Função de transferência (ganho e fase)
G=
1
⎛L⎞
1 + jϖ ⎜ ⎟
⎝R⎠
⎡
⎤
1
⎢G =
⎥
1 + (ϖ.L / R ) 2 ) ⎥⎦
⎢⎣
G=
Vs
R
=
Ve R + jX L
L ⎞⎤
⎡
−1 ⎛
⎢α = − tg ⎜ ϖ R ⎟⎥
⎝
⎠⎦
⎣
X L = ϖL
• Freqüência de corte
1
1
G =
=
2
2
L⎞
⎛
1 + ⎜ ϖC ⎟
R⎠
⎝
2
L⎞
⎛
1 + ⎜ ϖC ⎟ = 2
R⎠
⎝
• Fase em fc
2
L⎞
⎛
⎜ ϖC ⎟ = 1
R⎠
⎝
R⎤
⎡
⎢⎣ϖ C = L ⎥⎦ ou
R ⎤
⎡
⎢⎣f C = 2πL ⎥⎦
⎡
−1 ⎛ L R ⎞
−1
o⎤
⎢α = − tg ⎜ R L ⎟ = − tg (1) = −45 ⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
• Curva característica
G dB = 20. log G
f =0
∴ G dB = 0
∴ α = 0o
f → ∞ ∴ G dB = −∞ ∴ α = −90 o
2) Filtro Passa-altas
É um circuito elétrico capaz de deixar passar a tensão e corrente somente em
freqüências altas, atenuando as baixas.
(a) Filtro passa-altas RC
• Função de transferência (ganho e fase)
G=
G=
⎡
ϖCR
⎢G =
2
⎢⎣
1 + (ϖCR )
R
R+
1
jϖ C
[α = 90
• Freqüência de corte
ϖ C CR
1
=
2
2
1 + (ϖ C CR )
]
− tg −1 (ϖRC)
2
2
(ϖ C CR )2 = 1
2
1 ⎤
⎡
⎢⎣ϖ C = RC ⎥⎦
[α = 90
o
⎤
⎥
⎥⎦
1 + (ϖ C CR ) = 2 (ϖ C CR )
(ϖ C CR )
1
=
2 1 + (ϖ C CR )2
• Fase em fc
R
jϖCR
=
jϖCR + 1 1 + jϖCR
jϖ C
0
− tg −1 (a ) = 450
ou
1 ⎤
⎡
⎢⎣f C = 2πRC ⎥⎦
]
• Curva característica
G dB = 20. log G
f =0
∴ G dB = −∞
f → ∞ ∴ G dB = 0
∴ α = 90 o
∴ α = 0o
(b)Filtro passa-altas RL
• Função de transferência (ganho e fase)
⎡
⎢G =
⎢⎣
G=
⎤
⎥
2
R 2 + (ϖL ) ⎥⎦
ϖL
⎡
o
−1 ⎛ ϖL ⎞ ⎤
⎢α = 90 − tg ⎜ R ⎟⎥
⎝
⎠⎦
⎣
Vs
jϖL
=
Ve R + jϖL
• Freqüência de corte
ϖC L
1
=
2
2
2
R + (ϖ C L )
R 2 + (ϖ C L ) = 2 (ϖ C L )
2
2
R 2 = (ϖC L )
2
R = ϖC L
(ϖ L)
1
= 2 C
2 R + (ϖ C L )2
2
• Fase em fc
[α
R⎤
⎡
⎢⎣ϖ C = L ⎥⎦ ou
C
= 90 0 − tg −1 (a ) = 450
R ⎤
⎡
⎢⎣f C = 2πL ⎥⎦
]
•Curva característica
G dB = 20. log G
f =0
∴ G dB = −∞
f → ∞ ∴ G dB = 0
∴ α = 90 o
∴ α = 0o
3) Filtro Passa-faixa
É um circuito elétrico capaz de deixar passar tensão e corrente somente numa
determinada faixa de freqüência, atenuando as altas e as baixas.
(a) Filtro passa-faixa LC série:
• Função de transferência (ganho e fase)
G=
jRCϖ
jϖRC + j2 ϖ 2 LC + 1
G=
jRCϖ
(1 − ϖ LC) + jϖRC
⎡
⎢G =
⎢
⎣
V
R
G= s =
Ve R + jϖL + 1
jϖ C
2
⎤
⎥
2
2 ⎥
2
(1 − ϖ LC) + (ϖRC) ⎦
ϖRC
ϖRC ⎞⎤
⎡
o
−1 ⎛
⎢α = 90 − tg ⎜ 1 − ϖ 2 LC ⎟⎥
⎝
⎠⎦
⎣
•Freqüência central: na ressonância jXL - jXC = 0, então
G =1
1 − ϖ R LC = 0
2
2
(
RCϖ R )
1=
(1 − ϖ R 2 LC)2 + (ϖ R RC)2
⎡
⎢ϖ R =
⎣
1 ⎤
ou
LC ⎥⎦
•Freqüências de corte (fci e fcs):
1
=
2
RCϖ C
(RCϖ C )2 + (1 − ϖ C 2 LC)
2
(RCϖ C )2 + (1 − ϖ C 2 LC) = 2 (RCϖ C )2
(1 − ϖ C 2 LC)2 = (RCϖ C )2
2
± (1 − ϖ C LC) = ± (RCϖ C )
2
1 − ϖ C LC = RCϖ C
2
ϖ C LC + RCϖ C − 1 = 0
2
1 ⎤
⎡
⎢f R = 2π LC ⎥
⎣
⎦
2
⎡
− RC + (RC) + 4 LC ⎤
⎢ωci =
⎥ ou
2 LC
⎢⎣
⎥⎦
2
⎡
− RC + (RC) + 4 LC ⎤
⎢f ci =
⎥
4 πLC
⎢⎣
⎥⎦
1 − ϖ C LC = − RCϖ C
2
ϖ C LC − RCϖ C − 1 = 0
2
⎡
RC +
⎢ωcs =
⎢⎣
(RC)2 + 4LC ⎤
2 LC
⎥ ou
⎥⎦
•Curva característica:
2
⎡
RC + (RC) + 4 LC ⎤
⎢f cs =
⎥
4 πLC
⎢⎣
⎥⎦
f = 0 ∴ X C = ∞ ∴ Vs = 0
∴ G (dB) = 0 ∴ α = 90 o
f → ∞ ∴ X L = ∞ ∴ Vs = 0
∴ G (dB) = 0 ∴ α = −90 o
Largura de banda:
BW = fcs − fci
Freqüência de ressonância:
fr = f 0 = fcs . fci
(b)Filtro passa-faixa LC paralelo:
TAREFA: DESENVOLVER AS EQUAÇÕES E GRÁFICOS PARA ESTE TIPO DE FILTRO
Filtros Ativos
Conceito
Filtros ativos são aqueles construídos com alguns elementos passivos associados
a elementos ativos (em geral AOP’s).
Filtro ativo = Rede passiva + Circuito ativo
Vantagens
• Eliminação de indutores, volumosos em baixas freqüências, pesados e caros;
• Facilidade de projeto de filtros complexos através da associação em cascata de estágios
simples;
• Possibilidade de se obter grande amplificação do sinal de entrada (ganho);
• Flexibilidade de projetos.
Desvantagens
• Exige fonte de alimentação;
• Resposta de freqüência limitada pelo circuito ativo;
• Difícil utilização em sistemas de média e alta potência.
Aplicações
Apesar das limitações, os filtros ativos são bastante utilizados nas áreas de
Telecomunicações, instrumentação, biomédica, etc.
Amplificadores Operacionais
Características ideais de um AOP:
• Resistência de entrada infinita;
• Resistência de saída nula;
• Ganho de tensão infinito;
• Resposta de freqüência infinita (CC a infinitos hertz);
• Insensibilidade à temperatura (DRIFT nulo).
Pinagem (μA741 ou LF351):
•1 e 5 – São destinados ao balanceamento do AOP (ajuste da tensão de OFFSET);
•2 – Entrada inversora;
•3 – Entrada não – inversora;
•4 – Alimentação negativa (-3V a –18V);
•7 – Alimentação positiva (+3V a +18V);
•6 – Saída;
•8 – Não possui nenhuma conexão.
Configuração não inversora:
O ganho na faixa de passagem (Go) é:
Go = 1 +
R3
R2
Exemplo de filtro passa-baixas RC ativo de 1a ordem em configuração não
inversora:
Função de transferência
H=
1
.G o
1 + j ϖR 1C
G=
Go
Ganho e fase
1 + (ϖ R1 C)
2
α = −tg −1 (ϖ R 1C)
Observação: Estas equações são válidas apenas para filtros de 1a ordem;
Filtros Especiais
O Diagrama de Bode de um filtro de segunda ordem é semelhante ao diagrama de um
filtro de primeira ordem, com a diferença de que a variação na queda (ou aumento) da
amplitude com a variação da freqüência é mais acentuada. Por exemplo, um filtro
Butterworth de segunda ordem reduzirá a amplitude do sinal a um quarto de seu valor
anterior cada vez que a freqüência dobrar o que corresponde a ± 40 dB por década.
Filtros de terceira ordem ou mais possuem uma definição similar. No geral, a taxa final de
atenuação de um filtro de n-ordem é ± n.20 dB por década.
Fig. 1 – Comparação entre filtros com ordens distintas para um caso “passa-baixas”.
1) Filtro Butterworth
Os filtros Butterworth foram descritos primeiramente pelo engenheiro britânico S.
Butterworth (cujo primeiro nome acredita-se ser Stephen) em sua publicação "On the
Theory of Filter Amplifiers", Wireless Engineer (também chamada de Experimental
Wireless and the Radio Engineer), vol. 7, 1930, pp. 536-541.
O filtro Butterworth é um tipo de projeto de filtros eletrônicos. Ele é desenvolvido de modo
a ter uma resposta em freqüência o mais plana, o quanto for matematicamente possível
na banda passante.
A resposta em frequência de um filtro Butterworth é muito plana (não possui ripple, ou
ondulações) na banda passante, e se aproxima do zero na banda rejeitada. Quando visto
em um gráfico logarítmico, esta resposta desce linearmente até o infinito negativo. Para
um filtro de primeira ordem, a resposta varia em ± 20 dB por década. (Todos os filtros de
primeira ordem, independentemente de seus nomes, são idênticos e possuem a mesma
resposta em frequência.) Para um filtro Butterworth de segunda ordem, a resposta em
frequência varia em ± 40 dB por década, em um filtro de terceira ordem a variação é de ±
60 dB por década e assim por diante. Os filtros Butterworth possuem uma queda na sua
magnitude como uma função linear com ω.
Fig. 2 – Exemplo de um filtro passa-baixas Butterworth de segunda ordem.
O Butterworth é o único filtro que mantém o mesmo formato para ordens mais elevadas
(porém com uma inclinação mais íngreme na banda atenuada) enquanto outras
variedades de filtros (Bessel, Chebyshev, elíptico) possuem formatos diferentes para
ordens mais elevadas.
Comparado com um filtro Chebyshev do Tipo I / Tipo II ou com um filtro elíptico, o filtro
Butterworth possui uma queda relativamente mais lenta e, portanto irá requerer uma
ordem maior para implementar um especificação de banda rejeitada particular. Entretanto,
o filtro Butterworth apresentará uma resposta em fase mais linear na banda passante do
que os filtros Chebyshev do Tipo I/Tipo II ou elípticos.
Função de transferência
Como em todos os gêneros de filtros, o modelo típico é o filtro passa-baixas, que pode ser
modificado para se tornar um filtro passa-altas, ou pode ser colocado em série com outros
filtros para formar filtros passa-faixa ou rejeita-faixa, e versões de ordem mais elevadas
destes.
A magnitude da resposta em freqüência de um filtro passa-baixas de ordem “n” pode ser
definida matematicamente como:
Onde:
•
•
•
•
•
•
G é o ganho do filtro
H é a função de transferência
j é o número imaginário
n é a ordem do filtro
ω é a freqüência angular do sinal em radianos por segundo,
ωc é a freqüência de corte (freqüência com ± 3 dB de ganho).
Comparação com outros filtros lineares
As imagens abaixo mostram a resposta em frequência do filtro Butterworth junto com
outros tipos de filtros comuns obtidos com o mesmo número de coeficientes:
Fig.3 – Comparação entre a resposta em freqüência de vários filtros
Pode-se constatar nessas imagens que o filtro Butterworth é mais plano que os outros e
não mostra ondulações (ripple). Notamos nesta imagem que os filtros Chebyshev
possuem uma queda mais acentuada do que o filtro Butterworth, porém menos acentuada
do que o filtro elíptico, porém eles apresentam menos ondulações em sua largura de
banda.
2) Filtro Chebyshev
Os filtros Chebyshev, são filtros analógicos ou digitai que possuem um aumento na
atenuação (roll-off) mais íngreme e uma maior ondulação (ripple) na banda passante que
os Filtros Butterworth filter. Os filtros Chebyshev possuem a propriedade de minimizaram
o erro entre as características do filtro idealizado e o atual com relação à faixa do filtro,
porém com ripples na banda passante. Este tipo de filtro recebeu seu nome em honra a
Pafnuty Chebyshev, devido a suas características matemáticas serem derivadas dos
polinomiais de Chebyshev.
Fig. 4 – Resposta em freqüência de um filtro Chebyshev passa-baixas do tipo I de quarta
ordem.
Filtros Chebyshev do Tipo I
É o tipo mais comum dos filtros Chebyshev. A sua característica da amplitude em
freqüência de ordem n pode ser descrita matematicamente como:
Onde:
|ε|<1
é a amplificação na freqüência de corte ω0.
OBS: a definição comum na freqüência de corte como a freqüência com um ganho de −3
dB não se aplica aos filtros Chebyshev.
é um polinomial de Chebyshev da nésima ordem, como por exemplo:
Alternativamente:
A ordem de um filtro Chebyshev é igual ao número de componentes reativos (como os
indutores) necessários para a montagem do filtro utilizando eletrônica analógica.
O ripple é comumente dado em dB:
Ripple em dB =
Um ripple de 3 dB dessa forma equivale ao valor ε = 1.
Um roll-off ainda mais íngreme pode ser obtido caso nos permitamos ripple na banda
passante. Isto irá resultar em uma menor supressão na banda atenuada. O resultado
deste processo é o filtro elíptico, também conhecido como filtro Cauer.
Filtros Chebyshev do Tipo II
Também conhecidos como Chebyshev invertidos, este tipo é menos comum, pois ele não
apresenta um roll-off tão acentuado quanto o tipo I, e requer uma maior quantidade de
componentes. Ele não possui ripple em sua banda passante, porém possui ripple na sua
banda atenuada. Sua função de transferência é:
O parâmetro ε é relacionado à atenuação da banda rejeitada em decibéis por:
Para uma atenuação de banda rejeitada de 5dB, ε = 0.6801; para uma atenuação de
10dB, ε = 0.3333. A freqüência fC = ωC/2 π é a freqüência de corte. A freqüência de 3dB fH
é relacionada a fC da seguinte forma:
3) Filtro Bessel
Em eletrônica e processamento de sinais, um filtro Bessel é uma variedade de filtro linear
com uma resposta de fase o mais plana possível. Os filtros Bessel são comumente
utilizados em sistemas de crossover de áudio.
Links
•
•
•
•
http://www.filter-solutions.com/bessel.html
http://www-k.ext.ti.com/SRVS/Data/ti/
http://www.rane.com/note147.html
http://www.crbond.com/papers/bsf.pdf
4) Filtro Comb
Fig. 5 – Espectros de diferentes filtros COMB.
Em processamento de sinais, um filtro COMB opera adicionando uma parte levemente
defasada do sinal a si mesmo, gerando anulação de fase, de modo similar à modulação
em anel. A resposta em freqüência de um filtro COMB consiste de uma série de picos
regularmente espaçados, de modo que ele parece um COMB (“pente”, em inglês).
Aplicações
Existem filtros comb 2D e 3D implementados em hardware (e ocasionalmente em
software) em decodificadores NTSC de televisão. O filtro trabalha de modo a reduzir
problemas como chiados na imagem.
Outras versões do filtro COMB podem ser encontradas em sistemas de telecomunicações
em redes terrestres. Entretanto, os filtros COMB não são encontrados em sistemas de
comunicações no espaço profundo devido às suas considerações de projeto de sistema
separadas.
Os filtros COMB podem ser utilizados para a produção de efeitos de eco. Por exemplo, se
o atraso é ajustado para alguns milisegundos, e o filtro é utilizado em sinais de áudio, ele
modela o efeito de uma cavidade cilíndrica. Isto ocorre, pois uma cavidade amplifica as
freqüências que correspondam às freqüências estacionárias passando através de seu
comprimento.
5) Filtro elíptico
Fig. 6 – Resposta em freqüência de um filtro passa-baixa elíptico de quarta ordem.
Um filtro elíptico (também conhecido como filtro de Cauer) é um filtro com ondulações
(ripple) na banda passante e na banda rejeitada.
Isto significa que ele minimiza o erro máximo em ambas as banda, ao contrário do filtro
Chebyshev, que apresenta ripple apenas na banda passante, ou no caso do Chebyshev
inverso, na banda rejeitada.
6) Filtro tipo “π” e Filtro tipo “T”
Fig. 7 – Filtros passa-baixas: (a) Filtro tipo “π”; (b) Filtro tipo “T”
Chamamos estes circuitos acima de filtros passa-baixas tipo “π” (Fig. 7a) ou tipo “T” (Fig.
7b). Observe que a reatância capacitiva diminui com o aumento da freqüência; por isso os
dois capacitores desviarão sinais de alta freqüência. Já a reatância indutiva cresce com o
aumento da freqüência e o indutor do filtro provocará a transmissão de sinais de baixa
freqüência.
Fig. 8 – Filtros passa-altas: (a) Filtro tipo “π”; (b) Filtro tipo “T”
Outra forma de filtros tipo “π” (Fig. 8a) e tipo “T” (Fig. 8b) é a configuração passa-altas.
Sua concepção é o inverso do filtro passa-baixas: ele bloqueia freqüências abaixo de
certo valor determinado pela escolha das indutâncias e capacitâncias, transmitindo as
superiores. A reatância indutiva desvia sinais de baixa freqüência, aos quais apresenta
baixa resistência, enquanto a reatância capacitiva transmite sinais de alta freqüência, aos
quais mostra pouca resistência.
Atividades Práticas
1) Projetar filtros passivos passa altas e passa baixas RC.
2) Preencher previamente a tabela com os valores esperados (Freq de corte,
Outras Freqüências, Período, Ganho Teórico e Defasagem Teórica).
3) Montar os circuitos
4) Preencher a tabela com os valores medidos
5) Calcular os erros
6) Traçar as curvas de ganho e fase através do Mathcad.
7) Colocar as medidas sobre as curvas traçadas no Mathcad.
Filtro: PassaFreq.
Período
(Hz)
T=1/freq
(seg)
F1
Ve
(Volts)
Vs
(Volts)
Ganho
teórico
(equação)
Ganho
Medido
G=Vs/Ve
Erro no
Ganho
Fase
teórica
(equação)
Fase
Medida
Erro na
fase
F2
Fcorte
F3
F4
OBS: Devem ser medidas duas freqüências antes de Fcorte e duas freqüências depois de
Fcorte.