solução das atividades com geoplano estelar - MAT-UnB

SOLUÇÃO DAS ATIVIDADES COM GEOPLANO ESTELAR
1. Somente existem duas figuras que podem ser exibidas em um círculo com cinco pontos
igualmente espaçados: um pentágono regular convexo e um polígono estrelado regular com cinco
vértices ou estrela pentagonal regular, chamado pentagrama.
2. No caso (i), notação: 1 – 3 – 5 união 2 – 4 – 6 (𝑝𝑢𝑙1 ). A figura obtida é um polígono estrelado
hexagonal impróprio ou estrela hexagonal, chamada hexagrama ou estrela de David.
Em (ii) obtemos o conjunto dos três segmentos que unem os vértices 1-4, 2-5 e 3-6; esta figura é um
polígono estrelado degenerado.
Em (iii) resulta a mesma figura estrela que em (i), mas em (iii) a construção resulta em sentido
reverso. Portanto, somente um hexagrama é obtido.
Em (iv) a figura resultante é o polígono regular original ou hexágono regular.
3. De (i) e (iii) resulta o mesmo polígono estrelado regular (I), de (ii) e (iv) resulta o mesmo
polígono estrelado regular (II); portanto, são produzidos somente duas estrelas heptagonais
regulares, que são o heptagrama (I) e o heptagrama (II).
I
II
1
4. Construção de todos os polígonos estrelados possíveis no geoplano estelar octagonal.
I
II
5. Construção de todos os polígonos estrelados possíveis no geoplano estelar eneagonal.
Na conexão de pontos: 1 – 3 – 5 – 7 – 9 – 2 – 4 – 6 - 8 (𝑝𝑢𝑙1 ) resulta o polígono estrelado regular
(I).
Na conexão: 1 – 4 – 7 união 2 – 5 – 8 união 3 - 6 – 9 (𝑝𝑢𝑙2 ) resulta o polígono estrelado impróprio
ou estrela eneagonal formada por três triângulos equiláteros entrelaçados (II).
Na conexão: 1 – 5 – 9 – 4 – 8 – 3 – 7 – 2 – 6 (𝑝𝑢𝑙3 ) obtemos o polígono regular estrelado (III).
I
II
III
2
6. Construção de todos os polígonos estrelados possíveis no geoplano estelar decagonal.
n = 10
7. Construção de todos os polígonos estrelados possíveis no geoplano estelar undecagonal.
n = 11
3
8. Use os resultados das Atividades 1- 6 para completar a seguinte tabela.
Lados do
Número de
Número de
Número de
polígono
pontos
lados
polígonos
regular
pulados
pulados
regulares
(n)
(p)
(k)
estrelados
5
1
2
1
6
1
2
0
7
1
2
2
2
3
1
2
2
3
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
4
5
8
9
10
11
1
2
1
4
9. Os números 5, 7 e 11 são números primos.
4
10. O número de polígonos regulares estrelados determinados no geoplano estelar com n = 13
pontos é cinco. Verifique a sua conjetura.
11. Existirão N =
𝑛−1
2
– 1 polígonos estrelados regulares.
5
12. Construção de todos os polígonos estrelados possíveis no geoplano estelar dodecagonal.
i)
(𝑝𝑢𝑙1 )
ii)
(𝑝𝑢𝑙2 )
iii)
(𝑝𝑢𝑙3 )
iv)
(𝑝𝑢𝑙4 )
Em (i), (ii) e (iii) são obtidas figuras estrelas que consistem, respectivamente, em dois hexágonos
regulares entrelaçados, três quadrados entrelaçados e quatro triângulos equiláteros entrelaçados.
Em (iv), com pulos de quatro pontos, ou seja, pulos de cinco lados de extensão, é obtido o único
polígono estrelado regular, chamado dodecagrama.
6
13. Construção de todos os polígonos estrelados possíveis no geoplano estelar 14-agonal.
I
II
III
IV
V
VI
VII
A figura estrela (I) é formada por dois heptágonos regulares entrelaçados.
As figuras (III) e (V) estão formadas respectivamente, por duas estrelas heptagonais entrelaçadas.
Em (II) e (IV) estão representados os únicos polígonos regulares estrelados com 14 vértices.
Observação. Dois números inteiros positivos são relativamente primos se o único divisor comum
que eles possuem é o número 1.
7
14. Formação da seguinte tabela.
Número de lados do
polígono regular (n)
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Número de inteiros N, com
1
0
2
1
2
1
4
1
5
2
𝑛
1˂ N ≤ 2 tais que N e n
são relativamente primos.
15. i) O número de polígonos estrelados regulares que podem ser formados em um geoplano estelar
18-agonal é sete.
ii) Sete polígonos estrelados regulares podem ser formados em um geoplano estelar 17-agonal.
16. Os números n e k são números relativamente primos.
8
17. Construção de todos os polígonos estrelados possíveis no geoplano estelar 18-agonal.
9
18. Construção de todos os polígonos estrelados possíveis no geoplano estelar 17-agonal.
10
19. i) O número N de polígonos estrelados regulares que podem ser formados em um geoplano
estelar 32-agonal é N = 7.
ii) O número N de polígonos estrelados regulares que podem ser formados em um geoplano estelar
31-agonal é N = 15.
20. Em um geoplano estelar n-agonal podem ser formados um número N de polígonos regulares
𝒏
estrelados, onde N é numero inteiro, com 1˂ N ≤ 𝟐 , tais que N e n são relativamente primos.
11