Módulo 7 - peb.ufrj

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Circuitos Elétricos I - EEL420
Módulo 7
Musschenbroek
Green
Gauss
Edison
Tesla
Lorentz
Conteúdo
7 - Circuitos de Segunda Ordem.................................................................................................1
7.1 - Circuito RLC linear e invariante no tempo....................................................................1
7.1.1 - Resposta à excitação zero.......................................................................................1
7.1.2 - Resposta ao estado zero..........................................................................................4
7.1.2.1 - Resposta ao degrau.........................................................................................5
7.1.2.2 - Resposta ao impulso.......................................................................................7
7.2 - Oscilação, resistência negativa e estabilidade..............................................................10
7.3 - O método do estado-espaço.........................................................................................11
7.3.1 - Equações de estado e trajetória.............................................................................12
7.3.2 - Redes lineares e invariantes.................................................................................15
7.4 - Circuitos não lineares e variáveis com o tempo...........................................................17
7.4.1 - Caso linear variável com o tempo........................................................................18
7.4.2 - Caso não linear.....................................................................................................19
7.5 - Dualidade e Analogias.................................................................................................21
7.6 - Exercícios.....................................................................................................................23
7.7 - Soluções.......................................................................................................................31
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7 Circuitos de Segunda Ordem
7.1 Circuito RLC linear e invariante no tempo
7.1.1 Resposta à excitação zero
i C i R i L=0
dv v
C⋅  i L=0
dt R
como a tensão sobre todos os componentes é a mesma temos que
di
v= L⋅ L , assim
dt
d2i
L di
C⋅L⋅ 2L  ⋅ L i L=0 ou
R dt
dt
2
d iL
dt
2
+
1 di L 1
⋅ +
⋅i =0
R⋅C dt C⋅L L
cujas condições iniciais são
i L 0=I 0 e
di L 0 v L 0 v C  0 V 0
=
=
=
.
dt
L
L
L
Se, por conveniência, definirmos
=
1
(parâmetros de amortecimento – para o circuito paralelo)
2⋅R⋅C
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1
e ω0=
1
(frequência de ressonância)
√ L⋅C
a equação anterior pode ser reescrita como
d 2 iL
dt2
+ 2⋅α⋅
di L
+ω20⋅i L =0 .
dt
Esta é uma equação diferencial de segunda ordem homogênea de coeficientes
constantes. O polinômio característico para esta equação diferencial é
s2 + 2⋅α⋅s+ω20 =0 .
Os zeros do polinômio característico são chamados de raízes características ou,
melhor dizendo, frequências naturais do circuito:
s1,2 =−± 2− 20 .
Estas raízes dependem de  e  0 , os dois parâmetros que caracterizam o
comportamento da rede de segunda ordem. Desta forma podem existir quatro respostas
distintas dependendo da posição das: raízes reais e diferentes, reais e iguais, complexo
conjugadas, com parte real nula.
a) Raízes reais (s1 e s2), negativas e diferentes (α>ω0) – circuito superamortecido
s 1⋅t
i L t =k 1⋅e k 2⋅e
s 2⋅t
onde k1 e k2 são constantes reais que dependem das condições iniciais.
b) Raízes reais (s1 e s2), iguais e negativas (α=ω0) – circuito criticamente amortecido
−⋅t
i L t = k 1k 2⋅t⋅e
onde k1 e k2 são constantes reais que dependem das condições iniciais.
c) Raízes complexo conjugadas negativas (α<ω0) – circuito subamortecido
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2
−⋅t
i L t =k 1⋅e
⋅cos  d⋅t ou
i L (t )=k 1⋅e −α⋅t⋅cos (ωd⋅t)+ k 2⋅e−α⋅t⋅sen (ωd⋅t)
onde  e  d são constantes reais que formam as raízes ( s1,2 =−± j⋅ d ), k1 e θ (ou
k1 e k2) são constantes reais que dependem das condições iniciais.
d) Raízes imaginárias (α=0) – circuito LC sem perdas (ressonante)
i L t =k 1⋅cos d⋅t ou
i L t =k 1⋅cos  d⋅t k 2⋅sen  d⋅t
onde  d é uma constante real que determina as raízes ( s1,2 =± j⋅ d =± j⋅0 ), k1 e θ
(ou k1 e k2) são constantes reais que dependem das condições iniciais.
Alguns detalhes sobre estas soluções precisam ficar evidentes:
1. Para qualquer das soluções acima as duas contantes que devem ser
determinadas (k1 e k2 ou k1 e θ) podem ser obtidas pelas condições iniciais do
problema.
2. Com exceção da solução criticamente amortecida todas as demais apresentam
duas exponenciais. Para os circuitos subamortecido e sem perdas as exponenciais são
complexas.
3. O caso sem perdas apresenta resistência infinita em paralelo com L e C
paralelos ou resistência nula em série com L e C série.
4. A energia total armazenada no circuito é igual a soma das energias acumuladas
em campo elétrico e magnético. Com o passar do tempo a energia é trocada entre o
capacitor e o indutor. Se houver resistência parte da energia será dissipada nela até que
a energia armazenada seja nula.
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5. Circuitos de segunda ordem pode ser obtidos por redes RLC e LC ou
associações de redes RC e RL ou por redes com dois capacitores ou dois indutores
independentes. Redes RC e RL passivas não apresentam resposta natural oscilatórias.
Além dos termos  e  0 , que apresentam relação direta com a resposta temporal,
outras constantes poderiam ter sido definidas para equação característica evidenciando
elementos da resposta em frequência da rede. Um parâmetro muito comum quando se trata de
resposta em frequência, e que possui uma relação direta com a resposta temporal, é o chamado
fator de mérito. O fator de mérito ou fator de qualidade, Q, é uma forma de determinar o
amortecimento relativo em uma oscilação amortecida.
Q=
0
2⋅
Para circuitos RLC
Q=ω0⋅C⋅R=
R
R
=
ω0⋅L √ L⋅C−1
Quanto menos amortecimento maior o Q. Para o caso de α=0, Q=∞ . Quando Q<1/2
o sistema é superamortecido. Quando Q=1/2 (raízes reais e iguais) o sistema é criticamente
amortecido. Quando Q>1/2 o sistema é subamortecido.
7.1.2 Resposta ao estado zero.
i C i R i L= I
d2i
L di
C⋅L⋅ 2L  ⋅ L i L= I , com condições iniciais
R dt
dt
i L  0=0 e
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4
di L 0 v L 0 v C 0
=
=
=0
dt
L
L
A solução pode ser obtida a partir da soma entre a solução homogênea e particular,
i L = i h + i p , da mesma forma que para os circuitos de primeira ordem.
Também é valida a propriedade de linearidade da resposta ao estado zero, cuja
demonstração é análoga à realizada para circuitos de primeira ordem.
7.1.2.1 Resposta ao degrau
Quando I t=u t e as raízes da equação característica são reais e iguais a resposta
geral da rede é da forma
s2⋅t
i L t = k 1k 2⋅t⋅e 1 .
Se as raízes são distintas a solução geral é da forma
i L t =k 1⋅e s ⋅t k 2⋅e s ⋅t1
1
2
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então
i L  0=k 1k 21=0 .
Derivando a resposta geral e analisando para t=0
di L 0
=k 1⋅s 1k 2⋅s 2=0 .
dt
Resolvendo o sistema de equações determinam-se as constantes
k 1=
s2
−s1
e k 2=
.
s1−s 2
s1−s 2
A resposta ao degrau unitário é, portanto
[
i L t =
]
1
s ⋅t
s ⋅t
⋅ s 2⋅e −s1⋅e 1 ⋅u t .
s1−s 2
1
2
No caso subamortecido as frequências naturais são complexas
s1,2 =−± j⋅d (na forma retangular)
 
± j⋅
s1,2 =0⋅e


2
(na forma polar)
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onde
 
∣s1∣=∣s2∣=0=   2 2d e =arctan  .
d
Se estas raízes complexo conjugadas forem substituídas na solução do problema
obtém-se
[
i L t = 1−
]
 0 −⋅t
⋅e ⋅cos d⋅t− ⋅u t .
d

v C t =u t⋅
L 0 −⋅t
⋅ ⋅e ⋅sen d⋅t  .
C d
7.1.2.2 Resposta ao impulso
No circuito da figura abaixo, uma fonte de corrente impulsiva carrega o capacitor no
instante t=0 e depois torna-se nula. A partir deste ponto, o resultado é idêntico à resposta a
excitação zero.
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Alternativamente, em redes lineares, a resposta ao impulso pode ser obtida pela
derivada da resposta ao degrau.
O equacionamento do problema já foi apresentado
d 2 i L t  L di L t 
L⋅C⋅
 ⋅
i L =t 
R dt
dt 2
e a solução para esta equação é da forma
i L t =k 1⋅e−⋅t⋅cos d⋅t .
Para o cálculo dos coeficientes k1 e θ é necessário conhecer a derivada da resposta
di L t
=−⋅k 1⋅e−⋅t⋅cos d⋅t−k 1⋅e−⋅t⋅sen d⋅t⋅ d .
dt
A corrente i L  0+  não pode ser diferente de zero, caso contrário sua derivada seria um
impulso e a segunda derivada seria uma função dublê. Desta maneira a equação de iL não teria
como ser satisfeita pois não seria possível igualar a função dublê. Assim sendo
i L  0 +=0
Apesar disto, a corrente no capacitor pode variar rapidamente e carregar
instantaneamente o capacitor. Nesta situação
1
1
1
+
v C 0 = ⋅∫ i C t  ḋt = ⋅∫ t ⋅dt =
C
C
C
como
+
di 0 
v L =L⋅ L
dt
então
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+
di L 0 
1
=
dt
C⋅L
Assim podemos calcular as constantes que nos faltam:
i L  0+ =0=k 1⋅cos 
di L 0 +
1
=
=−⋅k 1⋅cos  – k 1⋅sen ⋅ d
dt
L⋅C
uma possível solução é obtida fazendo
=900
assim
1
=−k 1⋅ d
L⋅C
logo k 1=
− 20
d
O resultado é, portanto
i L t =
 20 −⋅t
⋅e ⋅sen d⋅t ⋅u t
d
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7.2 Oscilação, resistência negativa e estabilidade
Para o caso particular do circuito de segunda ordem sem perdas, com =0 ou
Q=∞ (são a mesma coisa), qualquer excitação que contenha uma componente espectral de
frequência senoidal igual a  0=1/  L⋅C faz o circuito oscilar com a frequência de  0 . Este
circuito é chamado de ressonante ou sintonizado. Na prática, tanto o capacitor quanto o
indutor, e principalmente este último, apresentam perdas que impedem este circuito de ser um
oscilador. No máximo é possível obter um circuito subamortecido com Q de algumas
centenas. Por outro lado, se o resistor que forma o circuito RLC for negativo, então o valor de
 será negativo. Neste caso as raízes do polinômio característico podem ser:
a) se ∣∣ 0 as duas raízes são números complexo conjugados e a solução do
problema é da forma k⋅e
⋅t
⋅cos d⋅t .
b) se ∣∣ 0 as duas soluções serão reais e positivas o que leva a solução ser uma
∣s ∣⋅t
k 2⋅e∣s ∣⋅t .
soma de exponenciais com expoente positivo da forma k 1⋅e
1
2
Daí é possível deduzir que o resistor de valor negativo é um elemento ativo que
fornece energia para o sistema. Este resistor ativo pode ser obtido por diferentes
procedimentos como o uso de um diodo túnel ou o uso de técnicas de realimentação de
sistemas. Estas técnicas, entretanto só aproximam o modelo deste resistor linear para uma
determinada faixa de valores de tensão e corrente. Assim, não é incomum que, com o aumento
dos valores de tensão e corrente, o modelo de resistência negativa deixe de ser válido. Na
maioria dos casos devemos levar em conta este comportamento não linear dos circuitos e
modificar o resultado matemático obtido pela aproximação linear. Por esta razão o uso de
resistores negativos em conjunto com um circuito ressonante pode resultar em uma oscilação
não linear ou terminar queimando algum elemento do circuito por excessiva dissipação
térmica em função das elevadas tensões e correntes.
Considerando o caso genérico do circuito RLC paralelo, em relação a sua característica
oscilatória, é possível dividir o circuito em três categorias distintas com relação ao plano S.
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a) As frequências naturais estão no semiplano esquerdo. Neste caso a resposta pode ser
amortecida, criticamente amortecida ou subamortecida, sempre com uma exponencial
amortecida que faz destes circuitos assintoticamente estáveis, ou seja, na resposta a excitação
zero as variáveis de rede tendem a zero a medida que tempo tende a infinito.
b) As frequências naturais estão sobre o eixo j⋅ . Neste caso a resposta corresponde
a um sistema sem perdas que oscila infinitamente com frequência  0 como resposta a
excitação zero as variáveis de rede são oscilantes.
c) As frequências naturais estão no semiplano direito. As raízes da equação
característica apresentam parte real positiva, o que implica em exponenciais crescentes. Neste
caso a resposta a excitação zero se torna ilimitada quando o tempo tende a infinito.
7.3 O método do estado-espaço
Variáveis de estado são aquelas que determinam o estado de um circuito. Formalmente
um conjunto de dados se qualificam como estado desde que atendam as seguintes condições:
1. A qualquer instante de tempo, digamos t1, o estado em t1 e as formas de onda
de excitação (especificadas a partir de t1) determinam univocamente o estado a
qualquer instante t>t1;
2. O estado no instante t e as excitações no instante t (e às vezes algumas de suas
derivada) determinam univocamente o valor no instante t de qualquer variável de rede.
Desta forma existem infinitos modos de representar os estados de cada rede. De um
modo geral o estado de qualquer rede fica determinado por todas as tensões nos capacitores
(ou cargas) e por todas as correntes nos indutores (ou fluxo). Algumas vezes são necessárias
informações adicionais para descrever o estado da rede como a posição de uma chave ou o
estado do núcleo de indutores (saturado ou não).
O uso destas variáveis permitem que o comportamento do circuito seja descrito por um
sistema de equações diferenciais de primeira ordem do tipo
ẋ= f  x , w , t
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onde x é um vetor de estados da rede, w é um vetor que representa o conjunto de
excitação e t é o tempo.
Há três razões para este tipo de representação:
1. Facilita a programação computacional;
2. A extensão dos conceitos para redes não lineares e variáveis é mais simples;
3. Nessa forma vários conceitos teóricos de sistemas são imediatamente
aplicáveis às redes.
7.3.1 Equações de estado e trajetória
O circuito RLC abaixo apresenta um indutor e um capacitor por isso podemos
equacionar esta rede em função da corrente no indutor e da tensão no capacitor (variáveis de
estado). Como as equações serão integro diferenciais, opta-se pelo equacionamento das
derivadas das variáveis de estado em função das outras variáveis ou das entradas da rede.
di L t 1
= ⋅v C
dt
L
dv C t 
1
1
=− ⋅i L –
⋅v
dt
C
R⋅C C
onde i L e v C determinam o estado do circuito no instante t.
O estado inicial fica determinado pelas condições iniciais
i L  0= I 0
v C t=V 0
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Se desenharmos um gráfico de v C versus i L temos a trajetória estado-espaço e o
plano é chamado estado-espaço. As figuras abaixo mostram o espaço de estados para um caso
criticamente amortecido e outro subamortecido respectivamente.
Utilizando notação matricial, este sistema de equações pode ser reescrito como
dx t
=A⋅x t para t≥0
dt
x 0= x0
onde
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[ ]
0
A=
−
1
C
1
i t 
I
L
, x= L
e x 0= 0
1
v C t
v0
−
R⋅C
[ ]
[]
Assim como a solução para a equação diferencial escalar de primeira ordem, o sistema
de equações diferenciais de primeira ordem também tem como resposta uma função
exponencial.
x t = x 0⋅e A⋅t para t≥0
Para calcular estas exponenciais, cujo expoente é uma matriz, é possível utilizar a
seguinte aproximação pela série de Taylor:
e ⋅t =1⋅t
2⋅t 2 3⋅t 3

...
2!
3!
e A⋅t= I  A⋅t
A2⋅t 2 A3⋅t 3

...
2!
3!
Numericamente podemos determinar o estado-espaço da seguinte forma
dx 0
= A⋅x 0
dt
x  t ≈ x 0
dx 0
⋅ t= x 0A⋅x0⋅ t
dt
dx  t
=A⋅x  t
dt
x 2⋅ t≈ x  tA⋅x  t⋅ t
x [ k 1⋅ t ]≈ x k⋅ t  A⋅x  k⋅ t ⋅ t , para k=0, 1, 2, 3, ...
x [ k 1⋅ t ]≈ I  t⋅A⋅x k⋅ t ⋅ t
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Esta solução é semelhante ao método de Euler para solução de equações diferenciais
de primeira ordem. Quando  t tende a zero os valores calculados desta forma tendem aos
valores reais.
Para o caso de excitação não nula o equacionamento do problema torna-se
dx t
=A⋅x tb⋅w
dt
onde
[ ]
0
A=
−
1
C
1
0
I
i L t
L
, x=
, b= 1 , w=I e x 0= 0
1
v0
v C t
−
C
R⋅C
[ ]
[]
[]
A solução temporal pode ser obtida pela equação geral
t
A⋅t
x= x0⋅e ∫ e
A⋅ t −t '
⋅b⋅w t ' ⋅dt '
0
7.3.2 Redes lineares e invariantes
Para equacionar um sistema a partir das equações de estado é possível seguir a
seguinte regra:
1. Escolher uma árvore (subgrafo ligado, contém todos os nós do grafo ligado
original e não possui nenhum percurso fechado) contendo todos os capacitores e
nenhum indutor;
2. Usar as tensões de braço da árvore nos capacitores e as correntes de enlace
(braços que não pertencem a árvore escolhida) nos indutores como variáveis;
3. Escrever uma equação de corte para cada capacitor em função das outras
variáveis escolhidas no item anterior;
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4. Escrever uma equação de percurso fechado fundamental para cada indutor em
função das variáveis escolhidas no item 2.
Exemplo: Escrever as equações de estado para o circuito abaixo
Passo 1: Todos os braços que não possuem indutor.
Passo 2: vC1, i1, i2.
dv C1
=−i 1−i 2
Passo 3: C⋅
dt
Passo 4:
di 1
L1⋅ =−R1⋅i 1 – vsv C1
dt
L 2⋅
di 2
=−R2⋅i 2 v C1
dt
Assim, estas três equações descrevem os estados do circuito acima em função de
equações diferenciais de primeira ordem. Tradicionalmente estas equações são reescritas
utilizando-se equações matriciais de forma que
[ ][ ]
dv C1
1
1
0 −
−
C
C
dt
0
v C1
R
di 1
1
− 1
0 ⋅ i 1  − 1 ⋅vs
=
L1
L1
4
dt
i2
0
di 2
R
1
0
− 2
dt
L2
L2
[ ][
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]
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ou seja na forma
ẋ= A⋅xb⋅w
onde A e b dependem da topologia da rede.
Para completar a descrição do sistema basta estipular as condições iniciais
[ ]
v C1 0
x 0= x 0= i 1 0
i 2 0
Observe que a descrição do problema, tal como posto, não caracteriza as tensões de nó
nem as correntes de malha. Apesar disto qualquer destas variáveis de rede pode ser obtida
como uma função do estado e da excitação. Por exemplo, a tensão do nó 1 pode ser escrita
como
v 1 t =R1⋅i 1 tvs t
De uma forma geral, se y é uma resposta ela pode ser expressa como uma combinação
linear do vetor estado e da excitação w (para os sistemas impróprios a resposta depende das
derivadas da excitação w). Assim
y=c T⋅xd 0⋅w
onde c é um vetor constante, e d0 um escalar. Para o caso anterior
v 1=[0 R1
[]
v C1
0]⋅ i 1 1⋅vs
i2
7.4 Circuitos não lineares e variáveis com o tempo.
Os circuitos de segunda ordem não lineares e variáveis com tempo só apresentam
solução analítica em alguns poucos casos particulares. Uma possível solução consiste em
linearizar o problema por partes, o que é útil apenas quando não se possui recurso
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computacional. Alternativamente podemos descrever as não linearidades e utilizar métodos
numéricos para solucionar os problemas que se apresentam. Uma boa maneira para resolver
estes problemas passa pelo uso de equações de estado
7.4.1 Caso linear variável com o tempo
Considerando o circuito abaixo contendo todos os elementos lineares e variantes com
o tempo
v R1 t=R1 t ⋅i R1 t 
1 t =L1 t ⋅i 1 t
q t=C t⋅v t 
 2 t=L 2⋅i 2 t 
v R2 t=R 2 t⋅i R2 t 
[
]
1
1
−
L1 t
L2 t
q̇ t
qt 
0
R1 t 
1
̇ 1 t =
⋅  1 t  −1 ⋅vs t 
−
0
C t
L1 t
0
̇ 2 t
 2 t 
R2 t
1
0
−
C t
L2 t
[ ]
0
−
[ ][ ]
Via de regra, para sistemas lineares variáveis com o tempo, é mais simples escrever as
equações de estado em função de carga e do fluxo caso contrário teremos que calcular
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18
derivadas de L e C pois v L t=
d [ L t⋅it ]
d [C t ⋅v t]
e i C t=
. Além disto, desde que
dt
dt
as correntes nos capacitores não incluam impulsos, a carga é uma função contínua do tempo.
7.4.2 Caso não linear
Para simplificar também escrevemos equações de
i L = f L  ,
v C = f C q  e
v R= f R i ou i R= f R v  .
Exemplo 1:
Passo1: Todos os braços que contenham todos os capacitores e nenhum indutor
Passo2: q, 1 e  2
Passo 3:
q̇=−i 1−i 2
q̇=− f L1 1 − f L2 2 
Passo 4:
̇1=v C – v R1−vs
̇1= f C q− f R1 [ f L1  1 ]−vs
e
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̇2=v C −v R2
̇ 2= f C  q− f R2 [ f L2  2]
Assim, deixando explícita a dependência das variáveis com o tempo, as equações de
estado têm a forma
q̇=− f L1 1 − f L2 2 
̇1= f C q− f R1 [ f L1  1 ]−vs
 2= f C  q− f R2 [ f L2  2]
Exemplo 2:
Considerando os resistores definidos pelas relações i R1= f R1  v R1  e v R2= f R2 i R2 .
Passo1: Todos os braços que contenham todos os capacitores e nenhum indutor
Passo2: q1, q2, 
Passo 3:
Para o primeiro capacitor
q˙1=−i R1=− f R1  v R1 
q˙1=− f R1 v C1 v C2 −vs
q˙1=− f R1 [ f C1 q 1 f C2 q 2−vs]
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ
20
e para o segundo capacitor
q˙2= q̇1−i L
q˙2=− f R1 [ f C1  q1  f C2 q 2 −vs ]− f L 
Passo 4:
̇=v C2 −v R2
̇= f C2  q2 − f R2 [ f L ]
assim as equações de estado são
q˙1 t=− f R1 [ f C1  q1 t f C2  q2 t −vs t]
q˙2 t=− f R1 [ f C1 q1 t  f C2 q 2 t−vs t]− f L t
̇= f C2  q2 − f R2 [ f L ]
7.5 Dualidade e Analogias
O circuito RLC série abaixo pode ser equacionado como segue
i L =i R =i C =i
v L v Rv C =v
t
di
1
L⋅ R⋅iV 0 ⋅∫ i t ' ⋅dt ' =v
dt
C 0
com
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21
i L  0= I 0 e v C 0=V 0
Considerando v C como a variável de interesse temos
t
1
v C =V 0 ⋅∫ it ' ⋅dt ' e
C 0
dv
i=C⋅ C
dt
assim
d 2 vC
dv
L⋅C⋅ 2 R⋅C⋅ C v C =v
dt
dt
com
v C 0=V 0 e
dv C 0 i L 0 I 0
=
=
dt
C
C
Observa-se que há uma semelhança muito grande entre esta equação e aquela obtida
para a corrente do indutor no circuito RLC paralelo. Esta semelhança se deve a chamada
dualidade ou seja circuitos diferentes com equações de mesmo formato. A tabela abaixo
mostra como as variáveis devem são transformadas na dualidade.
Rede Original
Nó
Nó terra
Corte
Braços série
Tensões de nó
LCK
Tensão
Carga
Resistência
Indutância
Fonte de tensão
Curto circuito
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Rede Dual
Malha
Malha externa
Percurso fechado
Braços em paralelo
Correntes de malha
LTK
Corrente
Fluxo
Condutância
Capacitância
Fonte de corrente
Circuito aberto
22
Observe que no circuito série
α=
1
R
e ω0=
2⋅L
√ L⋅C
De forma semelhante a dualidade sistemas análogos podem ser obtidos quando se
compara a equação de um circuito elétrico com a equação de um outro sistema físico ou
químico.
Exemplo: Seja um bloco de massa M conectado a uma mola de constante elástica K
presa a uma parede. A massa repousa sobre uma superfície plana e horizontal com coeficiente
de atrito B. Uma força Fs atua puxando a massa para em direção contrária a da parede onde a
mola está presa. Equacionar o problema.
dv
F S −F K −F B =M⋅
dt
dv
F S =F K  x F B  vM⋅
dt
dx
d2 x
F S =K⋅xB⋅ M⋅ 2
dt
dt
Massa
Sistema Mecânico
dv
f =M⋅
dt
Sistema Elétrico
Capacitor
dv
i=C⋅
dt
Atrito
f =b⋅v
Condutor
i=G⋅v
Mola
f = f 0K⋅∫ v t⋅dt
Indutor
1
i=i 0 ⋅∫ v t ⋅dt
L
7.6 Exercícios
Para todos os exercícios deste módulo faça o gráfico da resposta e compare com a
simulação do circuito. Para os problemas literais atribua valores aos componentes antes das
simulações. Lembre-se, não comece os problemas escrevendo as condições iniciais ou em
infinito.
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23
1) O circuito de segunda ordem estava descarregado quando a chave foi fechada em
t=0. Sabendo-se que a tensão sobre o capacitor é da forma k1 + k2 ⋅ e a⋅ t ⋅ cos( ω ⋅ t + φ) , para t>0.
Calcule os parâmetros desconhecidos.
2) Para o circuito abaixo determine I1(t) para t≥0. Para t<0 o circuito está em regime
permanente.

3) No circuito abaixo determine io(t). Dados v g ( t ) = V p ⋅ cos  



 ⋅ t + θ V  ,
L⋅ C 

1
ig (t ) = I p ⋅ u(t )
4) Calcule vR5(t), dado iL(0)=1A e vC(0)=1V; b) Quais as frequências naturais do
circuito.
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24
5) Determinar VR2(t) sabendo que vC(0)=–2V e iL(0)=1A. Calcular VR2(t) para t≥0.
Escrever a resposta como soma da resposta ao estado zero e a excitação zero.
6) Encontrar a resposta completa vC(t) para t>0 para o circuito abaixo. Assuma que o
circuito estava em regime permanente para t=0- quando a chave S1 troca de posição.
7) Calcule a corrente que atravessa a rede RC e a tensão nos seus terminais. Em t(0_) o
circuito está em regime permanente. Em t(0) a chave S1 abre e a chave S2 troca de posição.
Em t=2s as chaves retornam as posições originais.
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25
8) Equacione o circuito abaixo utilizando variáveis de estado: x˙ = A ⋅ x + B ⋅ w . R6 é
um elemento linear e invariante no tempo.
9) Encontrar a corrente que passa pelo capacitor para t>0. Assuma regime permanente
antes do fechamento da chave, em t=0. Indique as frequências naturais, a resposta forçada e a
resposta natural do circuito. Considere que em t=0 o capacitor estava descarregado.
10) Considere o circuito linear e invariante abaixo. a) Escreva as equações de estado
para os capacitores e; b) mostre que as demais saídas da rede (tensões e correntes) podem ser
obtidas por uma combinação linear do vetor de estados e da excitação. *As condições iniciais
do problema são: iL1(0)=2A, iL2(0)=9A, iL3(0)=0A, vC4(0)4V e vC5(0)=6V. A fonte é is=5cos(t).
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26
11) O circuito da figura 3 está em regime permanente quando, em t=0, a chave abre.
Determine vC(t).
12) O circuito da figura abaixo está operando em regime permanente. Determine
Vab(t) conforme indicado no circuito e esboce o gráfico.
13) Para o circuito abaixo escreva um conjunto de equações de estado. Mostre,
também, que é possível determinar todas as correntes de braço em função do vetor de estado e
da excitação. Redesenhe o circuito e marque o sentido e o nome de cada corrente de braço.
14) Determine, para o circuito abaixo, I R1 t  e I R3 t . O circuito estava em regime
permanente para t<0.
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27
15) No circuito abaixo, a chave S1 troca de posição em t=0. Escreva um conjunto de
equações de estado que descreva o comportamento do circuito para t>0. A partir deste sistema
de equações determine o valor de R4 para que a tensão sobre o indutor seja oscilatória sem
amortecimento.
16) O circuito abaixo está em regime permanente para t<0. Determinar a tensão Vx(t)
para t>0.
17) Para o circuito abaixo escreva um conjunto de equações de estado. Mostre que a
corrente pela fonte V5 pode ser obtida a partir das variáveis de estado e das fontes.
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28
18) Calcule VX para t>0s. Considere V2=18·δ(t). Simplificando o circuito é possível
obter a equação diferencial sem resolver nenhum sistema de equações. Para t<0s considere
regime permanente.
19) No circuito abaixo, a chave S1 fecha em t=21s. Calcular VR6 para t>0s. Considere
I2=5u(t) ou I2=5r(t) se quiser disputar um ponto extra. Para t<0s considere regime
permanente.
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29
20) Para t 0=160ms a chave S1 fecha. Calcule I L2 t para t≥0s . Considere que
d t=t  e d t−t0= t−t 0
21) No circuito abaixo a chave S1 abre em t=1s , fecha em t=2s e abre novamente
em t=3s . Determine V C t para t≥0s .
22) Para t0s o circuito estava em repouso. Determinar V AB t  para t≥0 .
I 3=2⋅cost ⋅ut  .
a) considere I 4=12⋅ t ;
b) considere I 4=0 .
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30
23) A chave S2 abre em t=0s e a chave S3 em t=0,05s. Determine a expressão de
I R7 t . Use equações de estado para o equacionamento.
7.7 Soluções
Para todos os exercícios deste módulo faça o gráfico da resposta e compare com a
simulação do circuito. Para os problemas literais atribua valores aos componentes antes das
simulações. Lembre-se, não comece os problemas escrevendo as condições iniciais ou em
infinito.
1) O circuito de segunda ordem estava descarregado quando a chave foi fechada em
t=0. Sabendo-se que a tensão sobre o capacitor é da forma k1 + k2 ⋅ e a⋅ t ⋅ cos( ω ⋅ t + φ) , para t>0.
Calcule os parâmetros desconhecidos.
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31
2) Para o circuito abaixo determine I1(t) para t≥0. Para t<0 o circuito está em regime
permanente.
O circuito Norton formado por L11 e F1 pode ser transformado no seu Thèvenin
equivalente
L11 ' =L11
F 1 ' = L11⋅
dI 2
dI
=2⋅ 2
dt
dt
Equacionando a malha de I1
dI
dI
dI
dI
H 2−E1+6⋅I 1 +( L10 + L11 ' )⋅ 1 +2⋅ 2 =2⋅ 2 +2⋅I 2+ 4⋅ 1 +6⋅I 1=12
dt
dt
dt
dt
(1)
Equacionando a malha de I2
−H 1− E2+ V C1 +V R1=−I 1−24+ I 2 +∫ I 2⋅dt=0
dI 2
dI 1
 I 2=
dt
dt
(2)
Multiplicando a equação 2 por -2 e somando com a equação 1
dI
dI
4⋅ 1 + 6⋅I 1=12−2⋅ 1
dt
dt
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32
dI 1
I 1=2
dt
Para t =∞ os indutores são um curto e o capacitor um circuito aberto
I 2 ∞=0
I 1 ∞= K=
E1
=2A
R1
Para t=0 + , os indutores são um circuito aberto e o capacitor é um curto circuito.
Nesta condição particular, a corrente da fonte F1 se divide igualmente pelos dois indutores
I L11 (0 + )= I L10 (0 + )=
I 1 =−
I 2 (0 + )
2
I2
2
+
E H 1 24 I 1 0 
I 2 0 = 2
=
=24I 1  0+ 
R2
1
+
+
−I 1 0 + =
24I 1  0 
=8A
2
−t
I 1 t =A⋅e K
I 1 0=A2=−8
A=−10
−t
I 1 t =−10⋅e 2

3) No circuito abaixo determine io(t). Dados v g ( t ) = V p ⋅ cos  

1
L⋅ C


 ⋅ t + θ V  ,


ig (t ) = I p ⋅ u(t )
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ
33
4) Calcule vR5(t), dado iL(0)=1A e vC(0)=1V; b) Quais as frequências naturais do
circuito.
5) Determinar VR2(t) sabendo que vC(0)=–2V e iL(0)=1A. Calcular VR2(t) para t≥0.
Escrever a resposta como soma da resposta ao estado zero e a excitação zero.
6) Encontrar a resposta completa vC(t) para t>0 para o circuito abaixo. Assuma que o
circuito estava em regime permanente para t=0- quando a chave S1 troca de posição.
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ
34
Solução:
Supondo V A a tensão entre o indutor e R5 e V B a tensão entre o indutor e R4 então
V A−V 1 1
C⋅dV A
 ⋅∫ f V A−V B ⋅dtI L 0
=0 (1)
R1
L
dt
V B−0 1
 ⋅∫ V B −V A ⋅dt−I L 0=0 (2)
R2
L
Somando 1 e 2
V A V1 V B
dV
−  C⋅ A =0 (3)
R1 R1 R 2
dt
Derivando 1
d2V A
1 dV A 1 dV 1 V A V B
⋅
– ⋅

–
C⋅ 2 =0
R1 dt
R1 dt
L
L
dt
d 2V A
L dV A L dV 1
V B= ⋅
– ⋅
V A L⋅C⋅ 2 =0 (4)
R1 dt
R1 dt
dt
Substituindo 4 em 3
2
V A V1
dV
L dV A
L dV 1 V A L⋅C d V A
– 
⋅
–
⋅
 
⋅ 2 C⋅ A =0
R1 R1 R1⋅R2 dt
R1⋅R2 dt
R2
R2 dt
dt
2
dV
L⋅C d V A
L
1 1
L dV 1 V 1
⋅ 2 
C ⋅ A 
 ⋅V A =
⋅

R 2 dt
R2⋅R1
dt
R2 R1
R 2⋅R1 dt
R1
[
]
[
]
2
d VA
dV
dV
0,0416⋅
0,291⋅ 1 0,416⋅V A=0,0416⋅ 1 0,25⋅V 1
dt
dt
dt
d2V A
dV
dV
7⋅ A 10⋅V A= 1 6⋅V 1
dt
dt
dt
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ
35
Raízes da equação característica:
s1 =−2 e s 2=−5
v C 0+ =v C 0 – =
10
⋅6=6V
46
I L 0+ =I L 0 – =
10
=1A
46
dV C 0 + 
V 1−V C 0 – 
5−6
–
C⋅
=I R5 – I L 0 =
– 1=
– 1=−1,25 A
dt
R1
4
dV C 0+  −1,25
=
=−5V⋅s−1
dt
0,25
V C ∞=3V
−2⋅t
V C t=k 1⋅e
−5⋅t
k 2⋅e
k 3
V C ∞=3=k 3
+
V C 0 =6=k 1k 2 3
k 1k 2=3
dV C 0+ 
=−5=−2⋅k 1 – 5⋅k 2
dt
−2⋅k 1 – 5⋅k 2=−5
k 1=3,33 , k 2 =−0,33 e k 3=3
7) Calcule a corrente que atravessa a rede RC e a tensão nos seus terminais. Em t(0_) o
circuito está em regime permanente. Em t(0) a chave S1 abre e a chave S2 troca de posição.
Em t=2s as chaves retornam as posições originais.
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36
8) Equacione o circuito abaixo utilizando variáveis de estado: x˙ = A ⋅ x + B ⋅ w . R6 é
um elemento linear e invariante no tempo.
9) Encontrar a corrente que passa pelo capacitor para t>0. Assuma regime permanente
antes do fechamento da chave, em t=0. Indique as frequências naturais, a resposta forçada e a
resposta natural do circuito. Considere que em t=0 o capacitor estava descarregado.
10) Considere o circuito linear e invariante abaixo. a) Escreva as equações de estado
para os capacitores e; b) mostre que as demais saídas da rede (tensões e correntes) podem ser
obtidas por uma combinação linear do vetor de estados e da excitação. *As condições iniciais
do problema são: iL1(0)=2A, iL2(0)=9A, iL3(0)=0A, vC4(0)4V e vC5(0)=6V. A fonte é is=5cos(t).
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37
11) O circuito da figura 3 está em regime permanente quando, em t=0, a chave abre.
Determine vC(t).
12) O circuito da figura abaixo está operando em regime permanente. Determine
Vab(t) conforme indicado no circuito e esboce o gráfico.
13) Para o circuito abaixo escreva um conjunto de equações de estado. Mostre,
também, que é possível determinar todas as correntes de braço em função do vetor de estado e
da excitação. Redesenhe o circuito e marque o sentido e o nome de cada corrente de braço.
supondo as correntes de cima para baixo e da esquerda para a direita
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ
38
dv C v C
C 2⋅
 I 1i L2=0
dt R4
L⋅
di L2
=v C – i L2 – gm⋅v C ⋅R5
dt
dv C
v
i
I
=− C – L2 – 1
dt
R 4⋅C 2 C 2 C 2
di L2 1gm⋅R5⋅v C i L2⋅R5
=
−
dt
L2
L2
equacionar as demais correntes em função dos componentes, v C e i L2 .
14) Determine, para o circuito abaixo, I R1 t  e I R3 t . O circuito estava em regime
permanente para t<0.
Equacionando a malha V1, R1, L1 e R3.
dIR
v 1= R1⋅I R1R3⋅I R3 L1⋅ 3
dt
dIR
180u t=30⋅I R130⋅I R3120⋅ 3
dt
dI
4⋅ R3  I R3=6u t− I R1 (1)
dt
Equacionando a malha V1, R1, R2, C2.
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39
v 1= R1R 2⋅I R1 – R 2⋅I R3
1
1
⋅∫ I R1⋅dt – ⋅∫ I R3⋅dt
C1
C1
180u t=90⋅I R1 – 60⋅I R315⋅∫ I R1⋅dt – 15⋅∫ I R3⋅dt
12⋅ t=60⋅
dI R1
dI
– 4⋅ R3  I R1−I R3
dt
dt
12⋅ t=60⋅
dI R1
dI
I R1 – 4⋅ R3  I R3
dt
dt


dI R1
12⋅t =6⋅
I R1 –  6⋅u t – I R1 
dt
2⋅t6⋅u t=
dI R1 I R1
(2)

dt
3
A equação 2 é uma equação diferencial de primeira ordem. Uma vez determinado I R1
(equação 2) esta informação pode ser utilizada na equação 1, outra equação diferencial de
primeira ordem.
I R1 0=
v1
R1R2
I R1 ∞=I R3 ∞=
v1
R1 R3
I R3 0=0
15) No circuito abaixo, a chave S1 troca de posição em t=0. Escreva um conjunto de
equações de estado que descreva o comportamento do circuito para t>0. A partir deste sistema
de equações determine o valor de R4 para que a tensão sobre o indutor seja oscilatória sem
amortecimento.
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40
dv
v
C 3⋅ C3 i L1 C3 =0 (1)
dt
R3
di L1
L1⋅
i L1⋅R3 – v C3=0 (2)
dt
As equações de estado
dv C3 −v C3 i L1
=
–
(3)
dt
R3⋅C 3 C 3
di L1 v C3 R 4
=
– ⋅i (4)
dt
L1 L1 L1
De 2 temos que
v C3 =L⋅
di L1
i L1⋅R3 (5)
dt
Derivando 5
dv C3
d 2i
di
=L1⋅ 2L1 R 3⋅ L1 (6)
dt
dt
dt
Substituindo 5 e 6 em 1
d 2 i L1
di
L di
R
L1⋅C 3⋅ 2 R 4⋅C 3⋅ L1 i L1 1⋅ L1  4⋅i L1=0
dt
R3 dt
R3
dt
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ
41
2

  
d i
L di
R
L1⋅C 3⋅ 2L1  R4⋅C 3 1 ⋅ L1  1 4 ⋅i L1 =0
R3 dt
R3
dt

2
 

d i L1 R4
di
R4
1
1


⋅ L1 

⋅i =0
2
L1 R3⋅C 3 dt
L1⋅C 3 L1⋅C 3⋅R3 L1
dt
R4
1

=0
L 1 R3⋅C 3
R4
1
1

=R4 – =0
1 −2⋅1
2
1
R4 = 
2
16) O circuito abaixo está em regime permanente para t<0. Determinar a tensão Vx(t)
para t>0.
v x – v3
dv
i L2 C 2⋅ X =0
R5
dt
i L2=−C 2⋅
dv X v X v 3
– 
dt
R5 R 5
di
R6⋅i L2 L2⋅ L2 =v X
dt




dv
v
v
dv
v
v
dt
R6⋅ −C 2⋅ X – X  3 L 2⋅ −C 2⋅ X – X  3 =v X
dt
R5 R5
dt
dt
R5 R5
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ
42
2

  
d v
L dv
R
R
L dv
L 2⋅C 2⋅ 2X  R6⋅C 2 2 ⋅ X  1 6 ⋅v X = 6⋅v 3 2⋅ 3
R5 dt
R5
R5
R5 dt
dt
2
d vX
dv
dv
1001⋅ X 1001⋅10 3⋅v X =103⋅v 3 3
2
dt
dt
dt
v X 0=0
v X ∞=
v 3⋅R 6
=0,009
R5R6
dv X i C2 ( 0)
v
=
= 3 =10
dt
C2
R5⋅C 2
k =0,01999
k 1=0,0085
=30,50
17) Para o circuito abaixo escreva um conjunto de equações de estado. Mostre que a
corrente pela fonte V5 pode ser obtida a partir das variáveis de estado e das fontes.
Considerando a corrente em L2, C4, R7 e R8 de cima para baixo.
L⋅
di L2
=v R8 – v 4 – v 5=i R8⋅R8 – v 4−v5 (1)
dt
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ
43
i R8=i C4 – i V5 (2)
i V5=i L2 −i R7 (3)
i R7=
v 5v 6v C4
(4)
R7
i C4 =i V6 i 4 (5)
i V6 =−i R7 +i 3 (6)
dv
C 4⋅ C4 =i V6i 4 (7)
dt
Substituindo 6 em 5 e 5 em 2, substituindo 4 em 3 e 3 em 2 e substituindo 2 em 1
temos
di L2
R8 i 3i 4⋅R8 – v 4 – v 5
=−i L2⋅ 
dt
L2
L2
Substituindo 4 em 6 e 6 em 7 temos
dv C4 −v C4 R7⋅(i 3 +i 4 )−v 5−v 6
=
+
dt
C 4⋅R7
C 4⋅R 7
18) Calcule VX para t>0s. Considere V2=18·δ(t). Simplificando o circuito é possível
obter a equação diferencial sem resolver nenhum sistema de equações. Para t<0s considere
regime permanente.
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Explodindo a fonte V1, ficamos com V1 em série com R1 e o conjunto em paralelo
com R2. Por outro lado teremos V1 em série com R3 e o conjunto em paralelo com o série de
V2 e R4.
O equivalente Norton de V1, R1 e R2 é:
R N1=R 1 // R2 =4 
I N1 =
v1
=4,5 u (t) A
R1
O equivalente Norton de V1, R3, V2, R4 é:
R N2= R3 // R 4=2
(
I N2 =
)
v2 v1
+
=6 δ( t)+ 6 u(t ) A
R4 R 3
Explodindo a fonte I1 sobre os dois equivalentes Norton as fontes de corrente ficam
I *N1 =I N1 – i 4=4,5 u t−4 A
I *N2 =I N2 i 4 =6 t6u t 4A
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Transformando os equivalentes Norton em Thèvenin todos os elementos ficam em
série. Se considerarmos o positivo da fonte apontando para a esquerda então
RTOT =R N1 R N2=6 
V TOT = RN1⋅I *N1− RN2⋅I *N2 =18u t−16−12 t−12u t−8=6u t−12 t−24 V
Da equação característica do circuito α=
1
R
=5 , ωd =√ ω02−α2=4
=3 , ω0=
2⋅L
√ L⋅C
v X =[ A⋅cos 4⋅tB⋅sen 4⋅t ]⋅e−3⋅t C
Em regime permanente o capacitor será um circuito aberto, logo
v L ∞=0V , v C (∞)=−18V , v X (∞)=−18V
No transitório, a fonte impulsiva carrega o indutor com 12A, V TOT =−18V e
V R=R⋅i L =72V
v L (0 + )=−66V , v C 0+ =−24V , v X (0 + )=−90V
19) No circuito abaixo, a chave S1 fecha em t=21s. Calcular VR6 para t>0s. Considere
I2=5u(t) ou I2=5r(t) se quiser disputar um ponto extra. Para t<0s considere regime
permanente.
Explodindo a fonte I2 notamos dois circuitos RC paralelo, independentes, em paralelo
com uma fonte de corrente independente. Quando a chave fecha surge um circuito série
formado pela fonte V3 e os dois capacitores. Como a soma das tensões não resulta em zero há
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um redistribuição de cargas. Esta tensão inicial nos capacitores muda com o tempo até a
situação de regime permanente (divisor de tensão sobre R6). A contante de tempo, nesta
situação corresponde ao produto entre a resistência equivalente (R5//R6) e a capacitância
equivalente (C2//C3). Com a chave fechada a fonte de corrente não tem influência sobre VR6.
20) Para t 0=160ms a chave S1 fecha. Calcule I L2 t para t≥0s . Considere que
d t=t  e d t−t0= t−t 0
Sem as fontes o circuito se torna um RLC série cujas raízes do polinômio
característico são
s1,2 =−10
para t0
i L2 0 - =20A , v C 0- =0
para 0t160ms
+
v C 0 =0
1
i L2 0 + = ⋅∫ 2⋅t⋅dt=120
L
di L 0+  v L 0+ 
[i L2  0+ − I 1 ]⋅R EQ −120−20⋅0,240,16
40
=
=−
=
=−
=2000
dt
L
L2
0,02
0,02
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i L2 t = A1 A2⋅t ⋅e−10⋅t A3
i L2 ∞= A3 =20
i L2 0= A1A3
A1=100
di L 0+ 
=−10⋅A1A2 =−2000
dt
A2 =10⋅100−2000=1000
para t=160- ms
i L2 160- =8
v C 160 - =−6,4
para t=160+ ms
A fonte impulsiva I 2 modifica as condições iniciais para a próxima etapa do
problema. Os efeitos de I 2 são
1
+
v C 160 = ⋅∫ I 2⋅dt=2⋅∫ 2⋅t ⋅dt=4⋅u t 
C
1
i L2 160 + = ⋅∫ R5⋅I 2⋅dt=50⋅∫ 0,24⋅2⋅ t⋅dt=24⋅u t 
L
As condições iniciais totais são
v C 160 + =−6,44=−2,4
i L2 160 + =824=32
Para t160ms
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i L2=[ K 1⋅cos 8⋅t ' K 2⋅sen 8t ' ]⋅e−6⋅t ' K 3
i L2 ∞=20=K 3
i L2 0 + = K 120=32
K 1=12
di L2 (0 + ) v L2 (0+ )
=
=−264
dt
L
di L2 (0 + )
=−6⋅K 1 +8⋅K2=−264
dt
K 2=−24
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21) No circuito abaixo a chave S1 abre em t =1s , fecha em t =2s e abre novamente
em t =3s . Determine V C ( t ) para t ≥0s .
22) Para t < 0s o circuito estava em repouso. Determinar V AB (t ) para t ≥0 .
I 3=2⋅cos (t )⋅u(t ) .
a) considere I 4=12⋅δ(t ) ;
b) considere I 4=0 .
23) A chave S2 abre em t=0s e a chave S3 em t=0,05s. Determine a expressão de
I R7 ( t) . Use equações de estado para o equacionamento.
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−t
i R7 (t )=e ⋅[3⋅cos(3⋅t )– sen (3⋅t )]
−2⋅(t −0,05)
i R7 (t)=−2,26⋅e
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−5⋅(t −0,05)
+ 4,94⋅e
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