Prova Escrita de Matemática A 9.o Ano de Escolaridade Prova 92/1

Prova Final de 2016
Prova Escrita de Matemática A
9.o Ano de Escolaridade
Prova 92/1.a Fase
Caderno 1
1. A opção correta é a (D) .
Se a função é de proporcionalidade inversa, então, o produto das coordenadas de cada ponto do gráfico é sempre igual à constante k de proporcionalidade, ou seja, usando o ponto P: k = 5 × 21 = 105.
17 × 9 = 153 ≠ 105 → não pode ser a opção (A);
19 × 7 = 133 ≠ 105 → não pode ser a opção (B);
33 × 5 = 165 ≠ 105 → não pode ser a opção (C);
35 × 3 = 105 → é a opção (D).
2. 45% de 1700 milhões é 0,45 × 1700 = 765 .
Assim, 765 milhões = 765 000 000 = 7,65 × 108 .
3. 1.º processo:
Pelo teorema de Tales, tem-se:
—
—
— 9,6 × 4,5
—
9,6
OB ⇔ 8 = ᎏᎏ
OA = ᎏᎏ
ᎏᎏ
—
ᎏ
ᎏ ⇔ BD = 5,4
—
— ⇔ BD = ᎏ
BD
AC
BD
4,5
8
2.º processo:
Os triângulos [ABO] e [CDO] são semelhantes (critério AA), logo:
—
—
—
—
12,5
9,6 × 12,5
9,6 + BD
OD ⇔ ᎏ
OC = ᎏᎏ
= ᎏᎏᎏᎏᎏ
⇔ ᎏᎏ = 9,6 + BD
ᎏᎏ
—
—
9,6
OB
OA
8
8
—
—
⇔ 15 = 9,6 + BD ⇔ BD = 5,4
O
8
r
B
A
C
9,6
4,5
D
s
4.
4.1. Por exemplo, a reta AF (ou BG ou CH ou DE).
4.2. Volume do prisma [ABCDEFGH] = área da base × altura = 202 × h = 400h , sendo h a altura do prisma.
O raio da base do cilindro é 10 cm, logo:
Volume do cilindro = área da base × altura = π × 102 × h = 100πh .
Como a diferença entre o volume do prisma e o volume do cilindro é igual a 3000 cm3, tem-se:
3000
…
400h – 100πh = 3000 ⇔ h(400 – 100π) = 3000 ⇔ h = ᎏᎏ
400 – 100π ⇔ h = 34,948 ⇔ h ≈ 35 cm.
—
—
—
—
TC
TC
5. tg60o = ᎏᎏ
— ⇔ 1,732 ≈ ᎏᎏ ⇔ 1,732 × 25,6 ≈ TC ⇔ 44,3392 ≈ TC
25,6
MC
—
—
TC ⇔ 1 ≈ ᎏᎏᎏᎏ
44,3392 ⇔ CR
tg45o = ᎏᎏ
≈ 44,3392
—
—
CR
CR
—
Finalmente, MR = 25,6 + 44,3392 ≈ 70 m.
6. n não pode ser 282 pois 兹282 = 28 e 28 ∉ A ; assim, n = 282 + 1 = 785
© Texto
Caderno 2
7. A opção correta é a (C) .
Existe um total de 40 alunos, logo, o valor do 1.º quartil corresponde à mediana do primeiro conjunto
de 20 alunos (com as suas idades dispostas por ordem crescente), isto é, o 1.º quartil é dado pela média entre a
10.ª e a 11.ª idades (ambas iguais a 14). Assim, o valor pedido é 14.
8.
8.1. A Beatriz vence a jogada se lhe sair o número 6.
1
Como existem 6 números no total, a probabilidade de ela ganhar é ᎏ .
6
8.2.
1.º processo:
Na tabela seguinte de dupla entrada, vejamos todas as situações possíveis (onde A significa que ganha
o António, B a Beatriz e E significa empate).
António
1
2
3
4
5
6
1
E
A
A
A
A
A
2
B
E
A
A
A
A
3
B
B
E
A
A
A
4
B
B
B
E
A
A
5
B
B
B
B
E
A
6
B
B
B
B
B
E
Beatriz
N.º de casos possíveis = 36.
N.º de casos favoráveis = 15.
15
5
Portanto, a probabilidade de o António ganhar é igual a ᎏ
ᎏ= ᎏ
ᎏ .
36
12
2.º processo:
Quando o António e a Beatriz lançam os dois dados, existem 6 × 6 = 36 casos possíveis, sendo que a probabilidade de o António ganhar é igual à probabilidade de a Beatriz ganhar. Como existem 6 possibilidades para
empate (quando saem números iguais), logo, ambos têm 15 casos favoráveis (pois 15 + 15 + 6 = 36).
15
5
Portanto, a probabilidade de o António ganhar é igual a ᎏ
ᎏ= ᎏ
ᎏ .
36
12
9. A afirmação correta é a da opção (B) .
q < r ⇔ 2q < 2r → não pode ser a opção (A);
q < r ⇔ q + 2 < r + 2 → não pode ser a opção (C);
q < r ⇔ q – 2 < r – 2 → não pode ser a opção (D).
10. Observando as igualdades apresentadas, verificamos que a soma dos n primeiros números ímpares é dada por
n2, pelo que a soma dos primeiros 80 números ímpares é igual a 802 = 6400 .
11. A função f é afim, logo, é da forma f(x) = ax + b ; como o ponto de coordenadas (0,–1) pertence ao seu gráfico,
logo, b = –1 (e, portanto, f(x) = ax – 1) .
O ponto de coordenadas (5,1) pertence ao gráfico de f , pelo que se tem:
2
f(5) = 1 ⇔ a × 5 – 1 = 1 ⇔ 5a = 2 ⇔ a = ᎏ
5
2
Assim, a expressão algébrica de f é ᎏx – 1 .
5
8
830
12. ᎏᎏ
× (–1)40 = ᎏ
2
230
冢 冣
© Texto
30
× 1 = 430 = (22)30 = 22 × 30 = 260
1
13. «O número de homens é igual a um quarto do número de mulheres.» → h = ᎏ
4m
«Se a empresa contratar mais 2 homens e mais 3 mulheres, o número de homens passará a ser igual a um terço
1
do número de mulheres.» → h + 2 = ᎏ
3 (m + 3)
Assim, o sistema pedido é
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
1
h = ᎏm
4
1
h + 2 = ᎏ(m + 3)
3
2 苶4苶×苶
–2 ±兹2
苶苶–
苶 1苶×苶苶
(–3)
苶苶苶
14. x2 + 3(x – 2) = x – 3 ⇔ x2 + 3x – 6 – x + 3 = 0 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ x = ᎏᎏᎏ ⇔
2×1
a=1
–2 ± 4
b=2
–2 ±兹16
苶苶
苶
⇔ x = ᎏᎏ ⇔ x = ᎏ
c = –3
2 ⇔ x = –3 ∨ x = 1
2
5x–1
x–1
1
ᎏ
ᎏ
15. ᎏ
6 ≤ 3 ⇔ x – 1 ≤ 10x – 2 ⇔ –9x ≤ –1 ⇔ x ≥ 9
(2)
1
Portanto, o conjunto solução é –ᎏ, +⬁
9
冤
冤
16. A expressão correta é a da opção (A) .
O lado do quadrado de lado [OB] é igual a a + b , pelo que a sua área é (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
17.
17.1. A amplitude correta é a da opção (B) .
Como a reta MN é tangente à circunferência no ponto P , MPW O = 90o .
W N = 15o , logo MO
W P = 180o – 90o – 15o = 75o e, por MOP ser o ângulo ao centro relativo
Dado que OM
‰
W P = 75o .
ao arco QP , QP
= MO
17.2. Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:
— 2 —2 — 2
—
ON = OP + PN = (兹3
苶)2 +32 = 3 + 9 = 12 , logo ON = 兹1
苶2
苶
17.3. A opção correta é a (C) .
Incentro é o ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo (ou seja, é o centro de uma circunferência
inscrita num triângulo).
FIM
© Texto