Novos Resultados sobre a Distribuição Empírica da

 Novos Resultados sobre a Distribuição Empírica
da Estatística de Teste para o Sensoriamento
Espectral por sob a Hipótese H1
Cissa Costa
Rausley Adriano Amaral de Souza
Instituto Nacional de Telecomunicações - Inatel
[email protected]
Instituto Nacional de Telecomunicações - Inatel
[email protected]

Resumo—Este artigo demonstra que além da distribuição Log
Pearson III ser uma boa aproximação para a função densidade
de probabilidade da estatística de teste para a detecção por
máximo autovalor (MED), ela também se encaixa de forma
similar em outras técnicas de detecção como a (MMED), detecção
baseada na relação entre o máximo e o mínimo autovalores da
matriz de covariância do sinal recebido, e a (GLRT), detecção
baseada no máximo autovalor da matriz de covariância do sinal
sobre o traço da matriz de covariância. Todas elas utilizando o
sensoriamento espectral cooperativo, sob a hipótese de que o sinal
transmitido pela rede primária está presente. Este resultado
complementa os estudos já existentes, podendo agora dizer que a
distribuição Log Pearson III realmente é a que melhor se ajusta
em várias situações de detecção por autovalores.
Palavras
chave—autovalores,
sensoriamento
espectral
cooperativo, matriz de covariância, MMED, MED, GLRT
I. INTRODUÇÃO
Os órgãos regulatórios que controlam a banda de frequência
hoje no Brasil utilizam uma politica de alocação fixa, porém
como o espectro é limitado [1,2], o que se nota é a escassez
cada vez maior de lacunas no espectro para a concessão de
novas faixas de frequências. Logo, surge o conceito de rádio
cognitivo (RC) [3-5], uma tecnologia que permite explorar a
subutilização do espectro.
Dentro as funções de um RC, uma das mais importantes é o
sensoriamento espectral que, basicamente, são as técnicas
especialmente desenvolvidas para encontrar “lacunas” no
espectro.
O sensoriamento espectral possui duas formas de
realização. Pode ser de forma independente no qual cada rádio
faz a busca isoladamente, ou de forma cooperativa, na qual se
tem mais de um rádio sob cooperação. Pesquisas mais recente
estão voltadas para o sensoriamento cooperativo devido aos
ganhos obtidos nesta técnica de detecção [6-11].
C. Costa ([email protected]) e R. A. A. de Souza
([email protected]) pertencem ao Instituto Nacional de Telecomunicações Inatel. Av. João de Camargo, 510 - Santa Rita do Sapucaí - MG - Brasil 37540-000. Este artigo foi parcialmente financiado com recursos da Fapemig
(Demanda Universal TEC - APQ-01255-12 e bolsa de Iniciação Científica).
Para o sensoriamento espectral, existem dois parâmetros
que definem o seu desempenho. Primeiro, a Probabilidade de
Falso Alarme conhecida como P FA , onde se decide que o sinal
primário está na banda sensoriada, sendo que na verdade não
está. Segundo, é a Probabilidade de Detecção P D , onde se
decide pela presença do sinal primário e de fato o sinal está
presente na banda sensoriada.
A determinação teórica da P FA e da P D passa pelo
conhecimento da fdp (função densidade de probabilidade) da
variável de detecção. Sob a hipótese H 0 , ou seja, considerando
que o sinal primário não está presente na banda de frequência
sensoriada, já se sabe que a matriz de covariância do sinal
recebido, no caso da técnica MED, é uma matriz Wishart [12].
Devido à complexa matemática envolvendo o cálculo da
distribuição sob H 1 , ou seja, considerando que o sinal primário
está presente, ainda não há solução exata para a distribuição
dos autovalores da matriz de covariância do sinal recebido.
Recentemente, foi demostrado que a distribuição Log-Pearson
III é uma boa aproximação para a função densidade de
probabilidade da estatística de teste para detecção por máximo
autovalor (MED) [13].
Capitalizando os resultados em [13], este trabalho foi
desenvolvido com o objetivo de se encontrar uma expressão
empírica para a distribuição dos autovalores da matriz de
covariância do sinal recebido considerando duas técnicas de
detecção por autovalores sob a hipótese H 1 : MMED
(maximum-minimum eigenvalue detection) e GLRT
(generalized likelihood ratio test). A partir desta expressão,
será possível o cálculo da P FA e P D .
Portanto, este estudo tem como intuito contribuir para o
desenvolvimento dos rádios cognitivos (RC), através de uma
análise empírica em que a fdp da estatística de teste sobre a
hipótese H 1 na técnica MMED e GLRT é determinada,
permitindo que se obtenha uma expressão fechada para o
cálculo da probabilidade de detecção.
Este artigo é dividido da seguinte forma: a Sessão II
apresenta o principio de operação de cada uma das técnicas
com suas respectivas estatísticas de testes. A Sessão III
discorre sobre o método utilizado para a estimação da fdp do
máximo autovalor da matriz de covariância do sinal recebido
sobre a hipótese H 1.
II. DESENVOLVIMENTO
Para introduzir as técnicas é necessário entender o princípio
de funcionamento de ambas. No sensoriamento cooperativo
aqui estudado os dados coletados por cada RC são enviados a
um centro de fusão por meio de um canal de controle.
Após processar os dados recebidos, o centro de fusão (CF)
toma uma decisão sobre o canal sensoriado, ou seja, se está
vazio ou ocupado. A esse processo dá-se o nome de fusão de
dados (data-fusion). Mas existe outra forma de decisão, na
qual o centro de fusão recebe informações já antes decididas
por cada RC. Após recebidas, essas informações são
combinadas no CF através de operações aritiméticas binárias
até que a decisão final seja tomada. Neste caso dá-se o nome
de fusões de decisão (decision-fusion) [14].
Lembrando que em ambos os esquemas, a decisão final é
sempre tomada pelo CF, e em seguida enviada pelo canal de
controle para cada RCs. Neste trabalho, considera-se o
sensoriamento cooperativo do tipo fusão de dados, no qual
normalmente se utiliza o canal do tipo MIMO (multiple input,
multiple output).
Para desenvolver o algoritmo, adota-se que haja m antenas,
cada uma coletando n amostras do sinal recebido de p
transmissores primários durante um tempo de sensoriamento.
Da mesma forma, as amostras referentes aos sinais
transmitidos pelos p transmissores são arranjadas em uma
matriz X. A matriz H é a matriz do canal que representa o
ganho entre o transmissor primário e o RC. E finalmente, a
matriz V, que contém amostras do ruído que contamina o sinal
recebido, lembrando que o ruído aqui adotado é o AWGN
(additive white Gaussian noise). Tomando como base essa
estrutura, a matriz que contém as amostras do sinal recebido é
então Y = HX + V.
(1)
No sensoriamento cooperativo por autovalores, os espaços
no espectro são detectados por meio de testes a partir da
matriz de covariância do sinal recebido na qual tem sua
estimação de máxima verossimilhança dada pela sua média
amostral. Portanto, a matriz de covariância pode ser calculada
por
1
R @ YY† ,
n
(2)
onde ()† significa o conjugado complexo composto.
A. MMED
A variável de decisão na técnica MMED é calculada através
da seguinte equação
TMMED =
1
,
m
(3)
onde  1 e  m são, respectivamente, o máximo e o mínimo
autovalores.
B. GLRT
A técnica GLRT é calculada pela razão entre o máximo
autovalor e o traço da matriz de covariância, R, do sinal
recebido. Lembrando que o traço nada mais é do que uma
função matricial que associa a matriz à soma dos elementos da
sua diagonal principal. Essa matriz tem que ser
necessariamente uma matriz quadrada. Então
TGLRT =
1
1
m
tr(R )
=
1
1
m
å
m

i= 1 i
.
(4)
A partir de (3) e (4) utiliza-se o algoritimo de detecção: se T
> γ, considera-se que o sinal primário está presente na banda
de frequência sensoriada. Caso contrário, considera-se que o
sinal primário não está presente. Vale ressaltar que γ
representa o limiar de decisão utilizado pelo CF.
III. PROCEDIMENTOS DE TESTE
A. O teste de Kolmogorov- Smirnov
A partir do conjunto de valores encontrados na observação
da variável aleatória de decisão T, é possível selecionar
distribuições de probabilidades teóricas que possam
representar os valores encontrados. Assim o teste escolhido
aqui foi o teste de aderência Kolmogorov-Smirnov [15],
selecionado através do programa EasyFit [16].
Assim os testes foram feitos de forma separada para cada
uma das técnicas aqui estudadas, de forma a encontrar uma
tabela de classificação das dez distribuições mais bem
colocadas para cada técnica.
B. Dados
A partir do programa MATLAB foi possível obter uma
amostra de tamanho N da variável de decisão T. Foram
geradas também cada uma das matrizes citadas na sessão II, as
matrizes X, V e H, e finalmente, Y.
Para a geração das matrizes foram considerados 34
conjuntos de valores para os seguintes parâmetros: m ( número
de RCs), n (número de amostras colhidas) e SNR (relação
sinal ruído). Lembrando que todos os testes foram feitos
sempre considerando um transmissor primário (p=1).
Com estes valores foram obtidos 32 amostras de tamanho
N= 5000 da varíavel de decisão T.
C. Análise e determinação da distribuição T sobre a hipótese
H1
Para ser feita a análise, a determinação empírica da
distribuição de probabilidade de cada técnica, utilizou-se o
teste de Kolmogorov-Smirnov, como citado acima.
As Tabelas I e II demonstram a classificação das 10
distribuições mais bem colocadas no teste de aderência, assim
como o número de vezes em que cada uma esteve presente
entre as 12 primeiras colocadas nos 34 testes realizados.
Observando a tabela obtida com os testes, pode se observar
que a distribuição Log Pearson III esteve sempre a frente das
outras distribuições em ambas as técnicas aqui estudadas.
De acordo com a Tabela I, referente à técnica GLRT, a
distribuição Log Pearson III esteve entre as 10 primeiras
colocadas 32 vezes dos 32 testes obtidos, alcançando o
primeiro lugar sem deixar qualquer dúvida. Desta forma
conclui-se que a distribuição Log Pearson III representa uma
boa estimativa para a técnica GLRT.
De acordo com a Tabela II, referente à técnica MMED, a
distribuição Log Pearson III esteve novamente entre as 10
primeiras colocadas 32 vezes dos 32 testes obtidos, sendo
classificada como a mais próxima para a estimação empírica
da técnica. Assim, conclui-se que além da Log Pearson III ser
compatível com a técnica GLRT, mostrou-se é também com a
técnica MMED.
A função densidade de probabilidade da distribuição Log
Pearson III é dada por
fT  t  
1
 ln(t )  c 


t | b |  a  b

a 1
 ln(t )  c 
exp  
,
b


(5)
FREQUÊNCIA DE OCORRÊNCIAS DAS DISTRIBUIÇÕES PARA MMED.
Classificação
Distribuição
Frequência
1
Log Pearson III
32
2
Gen.Gamma(4P)
30
3
Pearson 6 (4P)
30
4
Lognormal
28
5
Gen Extreme Value
27
6
Pearson 5
27
7
Fatigue Life(3P)
26
8
Pearson 5(3P)
24
9
Johnson SB
24
10
Gamma
23
onde a, b e c são, respectivamente, os parâmetros de forma,
escala e posição de tal distribuição e () é a função Gamma.
A expressão fechada para P D será
 ln  t   c 
  a,

b
,
PD  
 a
(6)
onde (,) é a função Gamma incompleta.
A Figura 1 demonstra, como exemplo, as fdps geradas
para a técnica MMED considerando m = 5 e m = 10
RCs, n = 100 amostras coletadas e SNR = 7 dB. No
Anexo I encontra-se o código em Matlab utilizado para
plotar a Figura 1. A Figura 2 demonstra, como exemplo,
as fdps geradas para a técnica GLRT considerando m =
10 e m = 5 RCs, n = 100 amostras coletadas e SNR = 7
dB e SNR =  dB. O mesmo código em Matlab
demonstrado no Anexo I pode ser usado para plotar a
Figura 2, bastando apenas usar a expressão para o
cálculo da variável de decisão referente á técnica GLRT.
Fig. 1. Função densidade de probabilidade obtida por simulação (empíricas)
para a técnica MMED.
TABELA I
FREQUÊNCIA DE OCORRÊNCIAS DAS DISTRIBUIÇÕES PARA GLRT.
Classificação
Distribuição
Frequência
1
Log Pearson III
32
2
Pearson 6 (4P)
31
3
Gen.Gamma(4P)
30
4
Lognormal(3P)
29
5
Fatigue Life(3P)
29
6
Gen Extreme Value
27
7
Inv Gaussiana(3P)
26
8
Pearson 5(3P)
25
9
Johnson SB
23
10
Gamma 3P
20
TABELA II
Fig. 1. Função densidade de probabilidade obtida por simulação (empíricas)
para a técnica GLRT.
IV. CONCLUSÕES
Usando uma análise empírica baseada no teste de aderência
de Kolmogorov-Smirnov foi possível estimar a função
densidade de probabilidade das estatísticas de teste das
técnicas MMED e GLRT para o caso onde cada RC recebe
sinal mais ruído, isto é, quando o sinal primário está presente
na banda de frequências sensoriada. Portando, é possível
encontrar facilmente a probabilidade de detecção do algoritmo
de sensoriamento baseado em tais técnicas de detecção.
V. AGRADECIMENTOS
À Fapemig pelo apoio financeiro através de recursos
provenientes dos projetos de bolsa de Iniciação Científica e
Demanda Universal TEC - APQ-01255-12.
APÊNDICE I
O programa em Matlab apresentado a seguir tem como
objetivo gerar uma amostra de tamanho N da variável de
decisão T definida em (3), MMED, ou (4), GLRT. Os
parâmetros de entrada são N, m, n, p e 2, sendo que este
último pode assumir qualquer valor sem provocar alterações
nos resultados.
bins=100; N=20000; m=10; n=100; sigma=1;
SNR=7; p=1;
for u=1:N;
H=sqrt(1/2)*randn(m,p)+1i*sqrt(1/2)*randn
(m,p);
X=sqrt((10^(SNR/10)*sigma^2)/2)*randn(p,n
)+1i*sqrt((10^(SNR/10)*sigma^2)/2)*randn(
p,n);
V=sqrt(sigma^2/2)*randn(m,n)+1i*sqrt(sigm
a^2/2)*randn(m,n);
Y=H*X+V;
nr=Y*Y';
D(u,1)=max(eig(nr))/min(eig(nr));%MMED
%D(u,1)=max(eig(nr))/(1/m).*trace(nr);
%GLRT
End
h=hist(D,bins);
e=0;
x=linspace(min(D),max(D),bins);
d=x(1,2)-x(1,1);
e=d*N;
f=h/e;
plot(x,f,'o')
xlabel('Valores da variável de decisão
T_{MMED}')
ylabel('Função densidade de probabilidade
(fdp)'); REFERÊNCIAS
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Networks: A Survey”, Elsevier Physical Comm. 4, pp. 4062, 2010.
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Eigenvalue-based Signal Detectors with Known and
Unknown Noise Level”, In: Proc. of the IEEE ICC,
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Performance Analysis of Blindly Combined Energy
Detection for Spectrum Sensing”, IEEE PIMRC’10, 2010.
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Cooperative Eigenvalue Spectrum Sensing with a
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Vehicular Technologies - Deployment and Applications,
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[11] D. A. Guimarães de Souza, R. A. A. de Souza e A. N.
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Disponível em: http://www.mdpi.com/2224-2708/2/1/46.
[12] Wikipedia
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“Wishart
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[13] J. S. Neto, D. A. Guimarães e R. A. A. de Souza,
“Estimação Empírica da Distribuição da Estatística de
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2012.
[14]
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[15] J. E. Gentle, Random Number Generation and Monte
Carlo Methods, 2nd edition. Springer, 2005.
[16]EasyFit
Distribution
Fitting
Software.
http://www.mathwave.com/products/easyfit.html (Acesso
em 15 de Março de 2012).